【初中数学】人教版八年级下册专题训练（二）中点四边形(练习题)

人教版八年级下册专题训练（二）中点四边形(146) 1.如图，在四边形ABCD中，AC=BD=6，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，求EG2+FH2的值．
2.四边形ABCD为边长等于1的菱形，顺次连接它的各边中点组成四边形EFGH(四边形EFGH称为原四边形的中点四边形)，再顺次连接四边形EFGH的各边中点组成第二个中点四边形……则按上述规律组成的第八个中点四边形
的边长等于．
3.如图所示，E,F,G,H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,AD的中点．
(1)当四边形ABCD是矩形时，四边形EFGH是形，并说明理由;
(2)当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH是正方形？并说明理由．
4.如图，在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是BC,AD,BD,AC的中点．
(1)求证：EF与GH互相平分；
(2)当四边形ABCD的边满足条件时,EF⊥GH．
5.顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得四边形是（）
A.矩形
B.平行四边形
C.菱形
D.任意四边形
6.顺次连接菱形各边中点所得到的四边形是（）
A.梯形
B.矩形
C.菱形
D.正方形
7.若四边形的对角线互相垂直，则顺次连接这个四边形各边中点所得的四边形是（）
A.平行四边形
B.矩形
C.菱形
D.正方形
8.如图，顺次连接任意四边形ABCD各边中点，所得的四边形EFGH是中点四边形．下列四个叙述：
①中点四边形EFGH一定是平行四边形；
②当四边形ABCD是矩形时，中点四边形EFGH也是矩形；
③当中点四边形EFGH是菱形时，四边形ABCD是矩形；
④当四边形ABCD是正方形时，中点四边形EFGH也是正方形．
其中正确的是(填序号)．
9.如图，在四边形ABCD中，AD=CD，AB=CB，E,F,G,H分别是AD,AB,CB,CD的中点．求证：四边形EFGH是矩形．
10.若顺次连接四边形ABCD四边的中点,得到的图形是一个矩形,则四边形ABCD一定是（）
A.矩形
B.菱形
C.对角线相等的四边形
D.对角线互相垂直的四边形
11.若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形,则该四边形一定是（）
A.矩形
B.正方形
C.对角线相等的四边形
D.对角线互相垂直的四边形
12.如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是BC，AC，AD，BD的中点，要使
四边形EFGH是菱形，四边形ABCD的边AB,CD应满足的条件是．
13.如图所示，E,F,G,H为四边形ABCD各边的中点，若对角线AC，BD的长都为20，
则四边形EFGH的周长是（）
A.80
B.40
C.20
D.10
14.如图,已知E,F,G,H分别为菱形ABCD四边的中点,AB=6cm,∠ABC=60∘,则四边形EFGH的面积为cm2.
15.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E,F,G,H分别为边AD,AB,BC,CD的中点．若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积为．
16.如图，在四边形ABCD中，AC=8，BD=6，且AC⊥BD，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA 的中点，则EG2+FH2=．
参考答案
1.【答案】:如图，连接EF ，FG ，GH ，EH ，
∵E ，H 分别是AB ，DA 的中点，
∴EH 是△ABD 的中位线，
∴EH =12BD =3. 同理可得EF ，FG ，GH 分别是△ABC ，△BCD ，△ACD 的中位线， ∴EF =GH =12AC =3，FG =12BD =3，
∴EH =EF =GH =FG =3，
∴四边形EFGH 为菱形，
∴EG ⊥HF ，且垂足为O ，
∴EG =2OE ，FH =2OH ．
在Rt △OEH 中，根据勾股定理得：OE 2+OH 2=EH 2=9，
等式两边同时乘4得4OE 2+4OH 2=9×4=36，
∴(2OE)2+(2OH)2=36，
即EG 2+FH 2=36．
【解析】:连接EH,HG,GF,FE ，根据题目条件提供的四个中点，结合中位线的性质，证明四边形EFGH 为菱形，再根据菱形的性质及勾股定理求出结果.
2.【答案】:116
【解析】:根据题意，结合图形寻找规律：第二、四、六、八个中点四边形为菱形，第一个菱形边长为12，第二个菱形边长为14，第三个菱形边长为18，第四个菱形边长为1
16，即为第八个菱形的边长
3
(1)【答案】当四边形ABCD 是矩形时，四边形EFGH 是菱形．理由：
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AC =BD ．
∵E ，F ，H 分别是AB ，BC ，AD 的中点，
∴EF=1
2AC，EH=1
2
BD，
∴EF=EH．
同理可得EF=GH=GF，
∴四边形EFGH是菱形
【解析】:利用矩形及中位线的性质，结合菱形的判定方法进行推导证明.
(2)【答案】当四边形ABCD满足AC=BD且AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形．理由：∵E，F分别是四边形ABCD的边AB，BC的中点，
∴EF∥AC，EF=1
2
AC，
同理，EH∥BD，EH=1
2BD，GF=1
2
BD，GH=1
2
AC．
∵AC=BD，
∴EF=EH=GH=GF，
∴四边形EFGH是菱形．
∵AC⊥BD，
∴EF⊥EH，
∴菱形EFGH是正方形
【解析】:根据三角形的中位线平行于第三边并等于第三边的一半，先判断出AC=BD，又正方形的四个角都是直角，可以得到正方形的邻边互相垂直，然后证出AC与BD垂直，得到四边形ABCD满足的条件.
4
(1)【答案】证明：连接GE,GF,HF,EH．
∵E,G分别是BC,BD的中点,
∴EG=1
2
CD．
同理FH=1
2CD,FG=1
2
AB,EH=1
2
AB,
∴EG=FH,GF=EH，
∴四边形EHFG是平行四边形．∴EF与GH互相平分
【解析】:根据题中提供的四个中点，得到几组中位线，利用中位线的性质，及平行四边形的判定方法，推导出四边形EHFG是平行四边形，进而推导出结论
(2)【答案】当四边形ABCD的边满足条件AB=CD时,EF⊥GH．
【解析】:理由如下:
当EF⊥GH时,四边形EGFH是菱形,此时GF=EG．
∵EG=1
2CD,FG=1
2
AB,
∴AB=CD．
∴当四边形ABCD的边满足条件AB=CD时,EF⊥GH
5.【答案】:C
【解析】:顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，所得四边形是菱形．如图，
∵E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，
∴EH为△ABD的中位线，FG为△CBD的中位线，
∴EH∥BD，EH=1
2BD，FG∥BD，FG=1
2
BD，
∴EH∥FG，EH=FG=1
2
BD，
∴四边形EFGH为平行四边形．
又∵EF为△ABC的中位线，
∴EF=1
2
AC．
又∵EH=1
2
BD，且AC=BD，
∴EF=EH，
∴平行四边形EFGH为菱形．故选C．
6.【答案】:B
【解析】:利用菱形的性质、矩形的判定方法及中位线的性质推导出结果.
7.【答案】:B
【解析】:如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，连接各边的中点E，F，G，H，则EH∥AC，FG∥AC，EF∥BD，GH∥BD．又因为对角线AC⊥BD，所以GH⊥EH，EH⊥EF，EF⊥FG，FG⊥HG．故可判定该四边形是矩形．故选B．
8.【答案】:①④
【解析】:如图四边形ABCD，连接AC，BD．
∵E，F，G，H分别是四边形各边的中点，
∴EF∥AC，HG∥AC，EH∥BD，GF∥BD，
∴EF∥GH，EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形，故①正确．
若四边形ABCD是矩形，
则AC=BD．
∵EF=1
2AC，EH=1
2
BD，
∴EF=EH，
∴平行四边形EFGH是菱形，故②错误．
若四边形EFGH是菱形，
则AC=BD，
但四边形ABCD不一定是矩形，故③错误．
若四边形ABCD是正方形，
则AC=BD，AC⊥BD，
∴四边形EFGH是正方形，故④正确．
∴正确的叙述是①④．
9.【答案】:连接AC，BD，交于点O，如图．∵E，F，G，H分别是AD，AB，CB，CD的中点，
∴EF∥BD∥GH，EH∥AC∥FG，EF=GH=1
2BD，EH=FG=1
2
AC，
∴四边形EFGH是平行四边形．
∵AD=CD，AB=CB，
∴点D，B都在线段AC的垂直平分线上，
∴DB垂直平分AC，
∴DB⊥AC，OA=OC．
∵EF∥DB，
∴EF⊥AC．
∵FG∥AC，
∴EF⊥FG，
∴四边形EFGH是矩形
【解析】:利用三角形的中位线解题.
10.【答案】:D
【解析】:若得到的四边形是矩形，那么邻边互相垂直，根据三角形中位线定理，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解.
11.【答案】:C
【解析】:若得到的四边形是菱形，那么四条边都相等，根据三角形中位线定理，故原四边形的对角线必相等，由此得解.
12.【答案】:AB=CD
【解析】:若四边形EFGH是菱形，则GH=EH，又根据题中条件所给的四个中点，利用中位线的性质推导出AB=2GH，CD=2EH，所以AB=CD.
13.【答案】:B
【解析】:∵E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点，
∴HG=EF=1
2AC，GF=HE=1
2
BD，
∴四边形EFGH的周长
=HG+EF+GF+HE
=1
2
(AC+AC+BD+BD)
=1
2
×(20+20+20+20)
=40 14.【答案】:9√3
【解析】:连接AC,BD,相交于点O,如图所示, ∵点E,F,G,H分别是菱形四边的中点,
∴EH=1
2BD=FG,EH∥BD∥FG, EF=1
2
AC=HG,
∴四边形EHGF是平行四边形．
∵菱形ABCD中,AC⊥BD,
∴EF⊥EH,
∴平行四边形EFGH是矩形．
∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60∘,
∴∠ABO=30∘.
∵AC⊥BD,
∴∠AOB=90∘,
∴AO=1
2
AB=3cm,
∴AC=6cm．
在Rt△AOB中,由勾股定理，得OB=√AB2−OA2=3√3cm, ∴BD=6√3cm．
∵EH=1
2BD,EF=1
2
AC,
∴EH=3√3cm,EF=3cm,
∴矩形EFGH的面积=EF·EH=9√3cm2. 故答案为9√3
15.【答案】:12
【解析】:∵E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点，∴HE=1
2
AC=4,HE∥AC,GF∥AC,
∴HE∥GF．
同理，HG∥EF,HG=1
2
BD=3,
∴四边形EFGH是平行四边形．
∵AC⊥BD，
∴∠EHG=90∘,
∴四边形EFGH是矩形，
∴四边形EFGH的面积为3×4=12
16.【答案】:50
【解析】:连接HG，EH，EF，FG，
∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，
∴HG=EF=1
2AC=4，EH=FG=1
2
BD=3，
∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴HE∥BD，HE=1
2
BD，
同理FG∥BD，FG=1
2
BD，
∴四边形HEFG是平行四边形．
∵AC⊥BD，
∴HG⊥EH，
∴四边形HEFG为矩形，
∴EG2+FH2=EF2+FG2+EF2+EH2=52+52=50。