北京市海淀区北京一零一中学23届高三上学期9月月考数学含答案
北京101中学2022届高三上学期9月月考统练一数学试题(含答案).docx
2022届北京101中学高三（上）数学统练（一）一、选择题共io小题.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设集合 A = ｛y|y = 2、｝, 3 = ｛/y = Io% （1-次）｝,则A^\B=（）A. |x|-l<x<l｝B. |x|0<x<l｝C. [x\ x > ijD. 01272.数列｛%｝满足。
1。
0, a n+i =2a n（n>l）, S〃表示｛。
〃｝的前〃项和，且S n = —^~a2，则n =A. 6B. 7C. 8D. 93.△ABC中，若c = 2ocos8,则△ABC的形状为A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.锐角三角形4.若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f（l） = 8,则/（2010）-/（2009）=.A6 B. 7 C. 8 D. 9TT 7T5.函数y = sin(2x-y)在区间［-y, 7Z-］的简图是7. 设等比数列｛%｝的前〃项和为S“,贝卜％<0”是“细<0”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C,充分必要条件D.既不充分也不必要条件8. 已知y = loga （3—破）在［0,1］上是x 的减函数，则。
的取值范围是（） A.（0,1） B. （1,3） C.（0,3） D.［3,+8）9TT9. △A3C 中，内角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c.若c? =（。
2）一+6, C = ^,则△A3C 的面积为（） A. 3B.C.巧D. 3A /3226.设/'（x ）是定义域为夫的奇函数，且/（l + x ） = /（-x ）.^/yz x x -ax + 2.x> a z x10.已知函数f(x) =〈| | ，若对于任意正数上，关于X的方程f(x) = k都I X + Cl\, X V。
恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数。
2023-2024学年北京一零一中学高三上学期统考一数学试卷含详解
北京一零一中2023-2024学年度第一学期高三数学统考一（本试卷满分150分，考试时间120分钟）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}11A x x =-≤≤，{}31x B x =<，则A B ⋃=（）A.[)1,0﹣B.(),0∞- C.[]1,1- D.(],1-∞2.在复平面内，复数23ii+对应的点位于（）A .第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知等比数列{}n a 的首项和公比相等，那么数列{}n a 中与37a a 一定相等的项是（）A.5a B.7a C.9a D.10a 4.下列函数中，是偶函数且在(0,)+∞上单调递减的是（）A.2()||f x x x =-B.21()f x x =C.||()e x f x = D.()|ln |f x x =5.函数2ln xy x x=+的图象大致为A. B. C. D.6.平面向量a 与b 的夹角为60︒，(2,0)a = ，||1b = ，则2a b + 等于（）A.B. C.4D.127.已知,,a b c ∈R ，则“a b >”的一个充分而不必要条件是（）A.22a b > B.33a b > C.22a b> D.22ac bc >8.△ABC 中，若sin cos A B <，则△ABC 形状必为A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.以上答案均有可能9.如图，质点P 在以坐标原点O 为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，P 的角速度大小为2rad /s ，起点0P 为射线()0y x x =-≥与O 的交点．则当012t ≤≤时，动点P 的纵坐标y 关于t （单位：s ）的函数的单调递增区间是（）A.π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.7π11π88,⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.11π15π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.3π11π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦10.若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n Tn a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列，周期为T .已知数列{}n a 满足()10a m m =>，11,11,01n n n n na a a a a +->⎧⎪=⎨<≤⎪⎩，则下列结论中错误的是（）A.若34a =，则m 可以取3个不同的值；B.若2m ={}n a 是周期为3的数列；C.对于任意的*TN ∈且T ≥2，存在1m >，使得{}n a 是周期为T 的数列D.存在m Q ∈且2m ≥，使得数列{}n a 是周期数列二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.计算：243lg6lg(4)5--=___________.12.已知定义在R 上的偶函数()f x 在(],0-∞上是减函数，若()()12f a f a ->-，则实数a 的取值范围是___________.13.若函数()πsin 0,2y x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ω=___________，ϕ=___________.14.若24AB AC AB ⋅== ，且1AP = ，则CP AB ⋅ 的最大值为___________.15.已知函数()222f x x x t =-+，()e xg x t =-.给出下列四个结论：①当0=t 时，函数()()y f x g x =有最小值；②t ∃∈R ，使得函数()()y f x g x =在区间[)1,+∞上单调递增；③t ∃∈R ，使得函数()()y f x g x =+没有最小值；④t ∃∈R ，使得方程()()0f x g x +=有两个根且两根之和小于2.其中所有正确结论的序号是___________.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程.16.已知公差大于0的等差数列{}n a 满足2512a a +=，3435a a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若m S ，2a ，(),*i a m i ∈N 成等比数列，求m ，i 的值.17.已知ABC 的面积为再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：条件①6a =，1cos 3=-C ；条件②：A C =，7cos 9B =-.（1）b 和c 的值.（2）sin()A B -的值.18.已知函数322()2f x x ax a x =-+，R a ∈.（1）当2a =时，求()f x 在区间[1,3]上的最大值和最小值；（2）求()f x 的单调区间．19.已知函数π()2sin 6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭.（1）求()f x 的单调递减区间；（2）设π()()6g x f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.当[0,]x m ∈时，()g x 的取值范围为0,2⎡+⎣，求m 的最大值.20.已知函数()()e sin 1R xf x a x a =+-∈，（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在0x =时取得极小值，求a 的值；（3）若存在实数m ，使对任意的()0,x m ∈，都有()0f x <，求a 的取值范围.21.已知无穷数列{}n a 满足{}{}1212max ,min ,(1,2,3,)n n n n n a a a a a n ++++=-= ，其中max{,}x y 表示x ，y 中最大的数，min{,}x y 表示x ，y 中最小的数.（1）当11a =，22a =时，写出4a 的所有可能值；（2）若数列{}n a 中的项存在最大值，证明：0为数列{}n a 中的项；（3）若0(1,2,3,)n a n >= ，是否存在正实数M ，使得对任意的正整数n ，都有n a M ≤？如果存在，写出一个满足条件的M ；如果不存在，说明理由.北京一零一中2023-2024学年度第一学期高三数学统考一（本试卷满分150分，考试时间120分钟）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}11A x x =-≤≤，{}31x B x =<，则A B ⋃=（）A.[)1,0﹣B.(),0∞- C.[]1,1- D.(],1-∞【答案】D【分析】解指数不等式求出{}0B x x =<，从而求出并集.【详解】因为0313x <=，解得0x <，故{}0B x x =<，故{}{}{}0111A B x x x x x x ⋃=<⋃-≤≤=≤.故选：D2.在复平面内，复数23ii+对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【分析】先化简原式，然后根据实部虚部确定复数所在象限.【详解】2332ii i+=-，∴在复平面内对应的点的坐标为()3,2-，位于第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数与复平面的关系，属于基础题.3.已知等比数列{}n a 的首项和公比相等，那么数列{}n a 中与37a a 一定相等的项是（）A.5aB.7a C.9a D.10a 【答案】D【分析】设出公比，利用等比数列的性质进行求解.【详解】设公比为q ，则1a q =，由等比数列的性质可知3719910a a a a a q a ===.故选：D4.下列函数中，是偶函数且在(0,)+∞上单调递减的是（）A.2()||f x x x =-B.21()f x x =C.||()e x f x = D.()|ln |f x x =【答案】B【分析】利用基本初等函数的奇偶性及单调性，结合各选项进行判断即可.【详解】对于A ，由题意可知()f x 的定义域为R ,()22()()f x x x x x f x -=---=-=，所以()f x 是偶函数且在(0,)+∞上不是单调递减，不符合题意；故A 错误；对于B ，由题意可知()f x 的定义域为R ,()2211()()f f x x x x -==-=，所以()f x 是偶函数且在(0,)+∞上单调递减，符合题意；故B 正确；对于C ，由题意可知()f x 的定义域为R ,()e e ()x xf x f x --===，所以()f x 是偶函数且在(0,)+∞上单调递增；不符合题意；故C 错误；对于D ，()|ln |f x x =的定义域为(0,)+∞，不是偶函数，不符合题意；故D 错误；故选：B.5.函数2ln xy x x=+的图象大致为A. B. C. D.【答案】C【分析】当=1x -时，排除A ；当1=x e 时，排除D,从而可得结果.【详解】当=1x -时，函数2ln 1xy x x=+=，所以选项A B 不正确；当1=x e 时，函数22ln 10x y x e x e ⎛⎫=+=-< ⎪⎝⎭，所以选项D 不正确，故选C.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.6.平面向量a 与b 的夹角为60︒，(2,0)a = ，||1b = ，则2a b + 等于（）A.B. C.4D.12【答案】B【分析】转化为平面向的数量积可求出结果.【详解】因为(2,0)a=，所以||2a =，2a b +====故选：B7.已知,,a b c ∈R ，则“a b >”的一个充分而不必要条件是（）A.22a b >B.33a b > C.22a b> D.22ac bc >【答案】D【分析】根据充分条件、必要条件的定义和不等式的性质判断即可.【详解】因为由a b >推不出22a b >，由22a b >也推不出a b >，故A 不满足题意因为33a b a b >⇔>，22a b a b >⇔>，所以B 、C 不满足题意因为由22ac bc >可以推出a b >，由a b >推不出22ac bc >所以22ac bc >是a b >的充分不必要条件故选：D8.△ABC 中，若sin cos A B <，则△ABC 形状必为A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形D.以上答案均有可能【答案】C【分析】由已知结合诱导公式及三角函数的单调性，可得A+B 的范围，进而可以得解.【详解】∵sin A ＜cos B ，∴sin A ＜sin 2B π⎛⎫-⎪⎝⎭∵0＜A ＜2π，2π-<2B π-<2π∴0＜A ＜2Bπ-∴0＜A+B ＜2π∴C ＞2π∴△ABC 为钝角三角形故选C ．9.如图，质点P 在以坐标原点O 为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，P 的角速度大小为2rad /s ，起点0P 为射线()0y x x =-≥与O 的交点．则当012t ≤≤时，动点P 的纵坐标y 关于t （单位：s ）的函数的单调递增区间是（）A.π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.7π11π88,⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.11π15π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.3π11π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】根据题意求出y 关于t （单位：s ）的函数πsin 24y t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后结合正弦函数的单调性求解函数在[0,12]上的增区间.【详解】因为P 在单位圆上的角速度大小为2rad /s ，起点0P 为射线()0y x x =-≥与O 的交点，所以1A =，π2,4ωϕ==-，所以动点P 的纵坐标y 关于t （单位：s ）的函数πsin 24y t ⎛⎫=-⎪⎝⎭，由πππ2π22π,Z 242k t k k -+≤-≤+∈，得π3πππ,Z 88k t k k -+≤≤+∈，因为012t ≤≤，所以3π08t ≤≤，7π11π88t ≤≤，15π19π88t ≤≤，23π27π88t ≤≤.所以动点P 的纵坐标y 关于t （单位：s ）的函数的单调递增区间是3π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7π11π88,⎡⎤⎢⎥⎣⎦，15π19π88,⎡⎤⎢⎥⎣⎦，23π27π88,⎡⎤⎢⎣⎦.故选：B10.若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n Tn a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列，周期为T .已知数列{}n a 满足()10a m m =>，11,11,01n n n n na a a a a +->⎧⎪=⎨<≤⎪⎩，则下列结论中错误的是（）A.若34a =，则m 可以取3个不同的值；B.若m ={}n a 是周期为3的数列；C.对于任意的*TN ∈且T ≥2，存在1m >，使得{}n a 是周期为T 的数列D.存在m Q ∈且2m ≥，使得数列{}n a 是周期数列【答案】D【分析】A.若34a =，根据11,11,01n n n n na a a a a +->⎧⎪=⎨<<⎪⎩，分别对21,a a 讨论求解即可；B.若m =11,11,01n n n n n a a a a a +->⎧⎪=⎨<<⎪⎩，分别求得234,,,...a a a 即可判断；C.利用数列周期的定义运算可得；D.用反证法判断.【详解】A.若34a =，因为11,11,01n n n n na a a a a +->⎧⎪=⎨<<⎪⎩，当21a >时，2314a a -==，解得25a =，当11a >时，1215a a -==，解得16a =，当101a <<时，2115a a ==，解得115a =，当201a <<时，3214a a ==，解得214a =，当11a >时，12114a a -==，解得154a =，当101a <<时，21114a a ==，解得14a =，不合题意，故m 可以取3个不同的值，故正确；B.若m =213432111,1,1a a a a a a =-=-==+=-=，所以3n n a a +=，则数列{}n a 是周期为3的数列，故正确；C.N T *∀∈且2T ≥，若存在1m >，数列{}n a 周期为T ，不妨设1T m T -<<，则1a m =，21a m =-…()121,2T m T a -=-+∈，()10,1T m T a =-+∈，则1111T T a m T a +==-+，又11T m a a +==，所以11m m T =-+，即()2110m T m ---=，因为0m >，故解得m =，1112T T T -+->=-，112T T T -++<=，故N T *∀∈且2T≥，存在m =，使得数列{}na 周期为T ，故正确；D.假设存在m Q ∈且2m ≥，使得数列{}n a 是周期数列，当2m =时，2132111,1...(2)n a a a a n a =-=====≥，此时，数列{}n a 不是周期数列，当m>2时，当01m k <-≤时，11k a a k m k +=-=-，21111k k a a m k++==>-，若2k i a a +=，11i k ≤≤+，则()11m i m k=---，即2(1)10m m k i ki k -+-+--=，而()2(1)41k i ki k ∆=+----不为平方数，因此假设不正确，故数列{}n a 不是周期数列，故错误.故选：D【点睛】本题主要考查数列的周期性，还考查了分类讨论的思想和逻辑推理的能力，属于难题.二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.计算：3lg6lg 5-=___________.【答案】1-【分析】根据对数运算法则以及指数幂的运算化简即可求得结果.【详解】()114443lg6lg lg 6lg101612121535--=⨯-=-=-=-⎛⎫⎪⎝⎭=- .故答案为：1-12.已知定义在R 上的偶函数()f x 在(],0-∞上是减函数，若()()12f a f a ->-，则实数a 的取值范围是___________.【答案】3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【分析】根据函数的奇偶性和单调性，即可列出不等关系求解.【详解】由于()f x 在(],0-∞上是减函数，且()f x 为偶函数，所以()f x 在[)0,∞+上是增函数，若()()12f a f a ->-，则12a a ->-，平方可得222144a a a a -+>-+，解得32a >，故答案为：3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭13.若函数()πsin 0,2y x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则ω=___________，ϕ=___________.【答案】①.4②.π3-【分析】由三角函数图象性质可知5ππ11262T -=，可求得4ω=，再利用图象的对称性可计算出ϕ的取值.【详解】由图利用对称性可知，5ππ112ππ12622T ωω-==⨯=，解得4ω=；又0π,6y ⎛⎫ ⎪⎝⎭和0π,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭关于π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称，所以πsin 03ωϕ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭；即4ππ,Z 3k k ϕ+=∈，解得4ππ,Z 3k k ϕ=-∈；又π2ϕ<，所以1k =，π3ϕ=-符合题意.故答案为：4，π3-14.若24AB AC AB ⋅== ，且1AP = ，则CP AB ⋅ 的最大值为___________.【答案】2-【分析】将CP分解计算，利用向量数量积的运算即可得解.【详解】()CP AB CA AP AB ⋅=+⋅ CA AB AP AB =⋅+⋅4AP AB =-+⋅ cos 4AP AB BAP =⋅⋅∠-12cos 4BAP =⨯⨯∠-242≤-=-.故答案为：2-.15.已知函数()222f x x x t =-+，()e xg x t =-.给出下列四个结论：①当0=t 时，函数()()y f x g x =有最小值；②t ∃∈R ，使得函数()()y f x g x =在区间[)1,+∞上单调递增；③t ∃∈R ，使得函数()()y f x g x =+没有最小值；④t ∃∈R ，使得方程()()0f x g x +=有两个根且两根之和小于2.其中所有正确结论的序号是___________.【答案】①②④【分析】利用函数的最值与单调性的关系可判断①③的正误；利用函数的单调性与导数的关系可判断②的正误；取1t =-，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理可判断④的正误.【详解】对于①，当0=t 时，()()()22e xy f x g x x x ==-，则()22e xy x '=-，由0'<y可得x <<，由0y >'可得x <或x >，此时，函数()22e xy x x =-的增区间为(,-∞、)+∞，减区间为(，当0x <或2x >时，()22e 0xy x x =->，当02x <<时，()22e 0xy x x =-<，故函数()22e xy x x =-在x =处取得最小值，①对；对于②，()()()()()2222e 22e 2e 2e 1xxxxy x t x x t x t x '=--+-+=-+-+，令()e 1xh x x =-+，其中1x ≥，则()e 10xh x '=->，所以，函数()h x 在[)1,+∞上单调递增，所以，()()e 11e 0x h x x h =-+≥=>，则e 1e 0x x -≤-<，由()()22e 2e 10xxy x t x '=-+-+≥可得()22e2e 1xxx t x -≥-+，构造函数()()22e e 1xxx p x x -=-+，其中1x ≥，则()()()()23224e 42e 442e e e 1e 1x x xxx x x x x x x x p x x x ⎛⎫-+- ⎪-+-⎝⎭'==-+-+，令()2442e x q x x x =-+-，其中1x ≥，则()()242e 0x q x x x'=--<，所以，函数()q x 在[)1,+∞上单调递减，故当1x ≥时，()()112e 0q x q ≤=-<，则()0p x '<，即()p x 在[)1,+∞上单调递减，()()max 11p x p ∴==，则21≥t ，解得12t ≥，②对；对于③，()()22e xy f x g x x x t =+=-++，22e x y x '=-+，因为函数22e x y x '=-+在R 上单调递增，10x y ==-'< ，1e 0x y ='=>，所以，存在()00,1x ∈，使得0y '=，当0x x <时，0'<y ，此时函数22e x y x x t =-++单调递减，当0x x >时，0y >' ，此时函数22e x y x x t =-++单调递增，所以，对任意的实数t ，函数22e x y x x t =-++有最小值，③错；对于④，令()22e xu x x x t =-++，不妨令()010u t =+=，即取1t =-，由③可知，函数()22e 1xu x x x =-+-在()0,x -∞上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，因为()00,1x ∈，则()()000u x u <=，()22e 10u =->，所以，存在()10,2x x ∈，使得()10u x =，此时函数()u x 的零点之和为1102x x +=<，④对.故答案为：①②④.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明､演算步骤或证明过程.16.已知公差大于0的等差数列{}n a 满足2512a a +=，3435a a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若m S ，2a ，(),*i a m i ∈N 成等比数列，求m ，i 的值.【答案】（1）21,(N )n a n n *=-∈;（2）15m i =⎧⎨=⎩或31m i =⎧⎨=⎩.【分析】（1）由等差数列的性质和通项公式即可求解；（2）由等比中项的性质即可求解.【小问1详解】因为2512a a +=，所以3412a a +=，而3435a a =，所以3457a a =⎧⎨=⎩或3475a a =⎧⎨=⎩，又因为公差大于0，所以3457a a =⎧⎨=⎩，得2d =，所以3(3)21n a a n d n =+-=-.即21,(N )n a n n *=-∈【小问2详解】21((121)22)n n n a a n n S n ++-===，所以2m S m =，23a =，若m S ，2a ，i a 成等比数列，则有22m i S a a =⨯，即29i m a ⨯=，又因为,*m i ∈N ，且*i a ∈N ，所以219i m a ⎧=⎨=⎩或291i m a ⎧=⎨=⎩，解得15m i =⎧⎨=⎩或31m i =⎧⎨=⎩.17.已知ABC的面积为再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：条件①6a =，1cos 3=-C ；条件②：A C =，7cos 9B =-.（1）b 和c 的值.（2）sin()A B -的值.【答案】（1）若选①：2b =，c =8b =，c =；（2）若选①：429；若选②：2327-.【分析】若选择条件①：(1)利用同角三角函数基本关系式可求sin C 的值，利用三角形的面积公式可求a ，b 的值，进而根据余弦定理可求c 的值．(2)由正弦定理可求sin A ，sin B 的值，利用同角三角函数基本关系式可求cos A ，cos B 的值，进而根据两角差的正弦公式即可求解sin()A B -的值．若选择条件②：(1)由题意可得a c =，利用同角三角函数基本关系式可求sin B ，利用三角形的面积公式可求a ，c 的值，根据余弦定理可求b 的值．(2)由正弦定理可求sin A ，利用同角三角函数基本关系式可求cos A ，利用两角差的正弦公式即可求解sin()A B -的值．【小问1详解】若选择条件①：在ABC 中，∵1cos 3=-C ，∴(,)2C ππ∈，sin C =，∵1sin 2S ab C ==6a =，∴2b =，由余弦定理，2222cos 48c a b ab C =+-=，∴c =；若选择条件②：在ABC 中，∵A C =，∴a c =．∵7cos 9B =-，∴(,)2B ππ∈，42sin 9B ==，∵21142sin 229S ac B c ==⨯=，∴a c ==，由余弦定理，2222cos 64b a c ac B =+-=，∴8b =；【小问2详解】若选择条件①：由正弦定理sin sin sin a b c A B C==，可得62sin sin A B =，∴sin 3A =，6sin 9B =，∵,(0,2A B π∈，∴3cos 3A =，cosB =，∴sin()sin cos cos sin 39399A B A B A B -=-=⨯⨯.若选择条件②：由正弦定理得sin sin a bA B=，∴1sin sin 3a A Bb ==，∵(0,2A π∈，∴cos 3A ==，∴1723sin()sin cos cos sin ()3927A B A B A B -=-=⨯---．18.已知函数322()2f x x ax a x =-+，R a ∈.（1）当2a =时，求()f x 在区间[1,3]上的最大值和最小值；（2）求()f x 的单调区间．【答案】（1）最大值为3，最小值为0（2）答案见解析.【分析】(1)对函数求导，判断函数的单调性，根据单调性求函数的最值；(2)对函数求导，求出导函数的零点为12,3ax x a ==，对两根的大小进行分类讨论，根据导函数的值的符号，得到函数的单调区间.【小问1详解】解：（1）当2a =时，32()44f x x x x =-+，2()384f x x x '=-+()(32)(2)f x x x '=--，令()0f x '=得，23x =或2x =.当x 在区间[1,3]上变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表x(1，2)2(2，3)()f x '-+()f x 单调递减0单调递增因为(1)1,(3)3f f ==，所以()f x 在区间[1,3]上的最大值为3，最小值为0.【小问2详解】（2）22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+=--，令()0f x '=得，3ax =或x a =，当0a =时，2()30f x x '=≥，()f x 的单调递增区间为R ，无单调递减区间；当0a >时，3aa <，随着x 的变化，(),()f x f x '的变化情况如下表x(,)3a -∞3a (,)3a a a (,)a +∞()f x '+-+()f x 单调递增3427a 单调递减0单调递增所以()f x 的单调递增区间为(,3a -∞，(,)a +∞；()f x 的单调递减区间为(,)3a a .当a<0时，3aa >，随着x 的变化，(),()f x f x '的变化情况如下表x(,)a -∞a (,)3a a )3a (,)3a+∞()f x '+-+()f x 单调递增0单调递减3427a 单调递增所以()f x 的单调递增区间为(-∞，a )，(3a ，+∞)；()f x 的单调递减区间为(a ，3a ).综上所述：当0a =时，所以()f x 的()f x 的单调递增区间为R ，无单调递减区间.当0a >时，()f x 的单调递增区间为(,)3a -∞，(,)a +∞；()f x 的单调递减区间为(,)3a a .当a<0时，()f x 的单调递增区间为(,)a -∞，(,)3a +∞；()f x 的单调递减区间为(,3a a .19.已知函数π()2sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的单调递减区间；（2）设π()()6g x f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.当[0,]x m ∈时，()g x 的取值范围为0,2⎡+⎣，求m 的最大值.【答案】（1）42,2()33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）56π.【分析】（1）令322262πππkπx kπ+≤+≤+，()k Z ∈，解不等式即可求解；（2）先求出并化简()2sin 23g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()g x 的值域可得出3sin 2,132π⎡⎤⎛⎫-∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦x ，结合正弦函数的图象可知42233m πππ≤-≤，即可求出m 的最大值.【详解】（1）令322262πππkπx kπ+≤+≤+，Z k ∈.所以42233ππkπx kπ+≤≤+，()k Z ∈.所以函数()f x 的单调递减区间42,2()33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）()()4sin sin 66g x f x f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14sin cos sin 22x x x⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22cos sin x x x=+cos2)sin 2x x=-+2sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为0x m ≤≤，所以22333x m πππ-≤-≤-.因为()g x 的取值范围为0,2⎡⎣，所以sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的取值范围为3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以42233m πππ≤-≤.解得：55126m ππ≤≤.所以m 的最大值为56π.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是要熟记正弦函数的图象，灵活运用三角恒等变换将()g x 化为一名一角，能结合正弦函数的图象得出42233m πππ≤-≤.20.已知函数()()e sin 1R xf x a x a =+-∈，（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若函数()f x 在0x =时取得极小值，求a 的值；（3）若存在实数m ，使对任意的()0,x m ∈，都有()0f x <，求a 的取值范围.【答案】（1）(1)y a x =+（2）1a =-（3）(,1)-∞-【分析】（1）由导数的几何意义，即可求解；（2）由(0)0f '=求得a 值，并验证此时0x =是极小值点；（3）求出导函数()e cos x f x a x '=+，(0)1f a '=+，然后根据(0)f '的正负或0分类，注意由导函数的连续性得出()f x '在(0,)m （存在正实数m ）上()f x '与(0)f '同号，从而得函数的单调性，得函数值的正负．【小问1详解】()e cos x f x a x '=+，(0)1f a '=+，又(0)0f =，∴切线方程为(1)y a x =+；【小问2详解】由（1）()e cos x f x a x '=+，函数()f x 在0x =处取得极小值，则(0)0f '=，即10a +=，1a =-，设()()e cos x g x f x x '==-，则()e sin x g x x '=+，(0)1g '=，由()g x '的图象的连续性知()g x '在0x =附近是正值，因此()f x '在0x =附近是递增的，又(0)0f '=，所以()f x '在0x =附近从左到右，由负变正，()f x 在0x =左侧递减，在0x =右侧递增，(0)f 是极小值，符合题意；所以1a =-．【小问3详解】()e cos x f x a x '=+，(0)0f =，当(0)10f a '=+>，即1a >-时，由()g x '的图象的连续性知必存在0m >，使得对任意(0,)x m ∈，()0f x '>，对应()f x 递增，因此()(0)0f x f >=，不合题意，当(0)10f a '=+<，即1a <-时，由()g x '的图象的连续性知必存在0m >，使得对任意(0,)x m ∈，()0f x '<，对应()f x 递减，因此()(0)0f x f <=，满足题意，1a =-时，()e cos x f x x '=-，0x >时，e 1x >，cos 1≤x ，()e cos 0x f x x '=->恒成立，()e sin 1x f x x =--在(0,)+∞上递增，()(0)0f x f >=，不合题意，综上，a 的取值范围是(,1)-∞-．21.已知无穷数列{}n a 满足{}{}1212max ,min ,(1,2,3,)n n n n n a a a a a n ++++=-= ，其中max{,}x y 表示x ，y 中最大的数，min{,}x y 表示x ，y 中最小的数.（1）当11a =，22a =时，写出4a 的所有可能值；（2）若数列{}n a 中的项存在最大值，证明：0为数列{}n a 中的项；（3）若0(1,2,3,)n a n >= ，是否存在正实数M ，使得对任意的正整数n ，都有n a M ≤？如果存在，写出一个满足条件的M ；如果不存在，说明理由.【答案】（1）{1,3,5}（2）证明见解析（3）不存在，理由见解析【分析】（1）根据定义知0n a ≥，讨论32a >、32a <及34,a a 大小求所有4a 可能值；（2）由0n a ≥，假设存在*0N n ∈使0n n a a ≤，进而有000012max{,}n n n n a a a a ++≤≤，可得0012min{,}0n n a a ++=，即可证结论；（3）由题设1n n a a +≠(2,3,)n =，令1{|,1}n n S n a a n +=>≥，讨论S =∅、S ≠∅求证n a M >即可判断存在性.【小问1详解】由{}{}1212max ,min ,0n n n n n a a a a a ++++=-≥，133max{2,}min{2,}1a a a =-=，若32a >，则321a -=，即33a =，此时244max{3,}min{3,}2a a a =-=，当43a >，则432a -=，即45a =；当43a <，则432a -=，即41a =；若32a <，则321a -=，即31a =，此时244max{1,}min{1,}2a a a =-=，当41a >，则412a -=，即43a =；当41a <，则412a -=，即41a =-（舍）；综上，4a 的所有可能值为{1,3,5}.【小问2详解】由（1）知：0n a ≥，则{}12min ,0n n a a ++≥，数列{}n a 中的项存在最大值，故存在*0N n ∈使0n n a a ≤，(1,2,3,)n = ，由00000000121212max{,}min{,}max{,}n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++=-≤≤，所以0012min{,}0n n a a ++=，故存在00{1,2}k n n ∈++使0k a =，所以0为数列{}n a 中的项；【小问3详解】不存在，理由如下：由0(1,2,3,)n a n >= ，则1n n a a +≠(2,3,)n =，设1{|,1}n n S n a a n +=>≥，若S =∅，则12a a ≤，1i i a a +<(2,3,)i = ，对任意0M >，取11[]2M n a =+（[]x 表示不超过x 的最大整数），当1n n >时，112322()()...()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+23121...(1)n n a a a a n a M --=++++≥->；若S ≠∅，则S 为有限集，设1max{|,1}n n m n a a n +=>≥，1m i m i a a +++<(1,2,3,)i = ，对任意0M >，取21[]1m M n m a +=++（[]x 表示不超过x 的最大整数），当2n n >时，112211()()...()n n n n n m m m a a a a a a a a ---+++=-+-++-+2311...()n n m m m a a a a n m a M --++=++++≥->；综上，不存在正实数M ，使得对任意的正整数n ，都有n a M ≤.【点睛】关键点点睛：第三问，首选确定1n n a a +≠(2,3,)n =，并构造集合1{|,1}n n S n a a n +=>≥，讨论S =∅、S ≠∅研究存在性.。
北京一零一中学2022届高三9月月考统练一数学试题
北京一零一中学2022届高三9月月考统练一数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}2xA y y ==，(){}22log 1B x y x ==-，则A B =（ ）A ．{}11x x -<<B ．{}01x x <<C ．{}1x x >D ．∅2．数列{}n a 满足10a ≠，12(1)n n a a n +=≥，n S 表示{}n a 的前n 项和，且21272n S a =，则n = A ．6B ．7C ．8D ．93．ABC 中，若2cos c a B =，则ABC 的形状为 A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形D ．锐角三角形4．若()f x 是R 上周期为5的奇函数，且满足()18f =，则()()20102009f f -=. A ．6B ．7C ．8D ．95．函数sin(2)3y x π=-在区间[,]2ππ-的简图是A ．B ．C ．D ．6．设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．53-B ．13-C ．13D ．537．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a <”是“20210S <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知()log 3a y ax =-在[]0,1上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．()0,1B ．()1,3C ．()0,3D ．[)3,+∞9．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .若()226,c a b =-+,3C π=则ABC 的面积为（ ）A ．3B C D ．10．已知函数()22,,x ax x a f x x a x a⎧-+≥⎪=⎨+<⎪⎩，若对于任意正数k ，关于x 的方程()f x k =都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数a 的个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．无数二、填空题11．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若22n n S a =-，则54–S S =________.12．能够说明“若a ，b ，m 均为正数，则b m ba m a+>+”是假命题的一组整数a ，b ，m 的值依次为__________.13．设函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()3f x f π⎛⎫≥- ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为______.14．已知数列{}n a 的通项公式*21log ()2n n a n N n +=∈+，设其前n 项和为n S ，则使3n S ≤-成立的最小的自然n 为__________.三、双空题15．一种药在病人血液中的量保持在1500mg 以上时才有疗效，而低于500mg 时病人就有危险.现给某病人的静脉注射了这种药2500mg ，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，设经过x 小时后，药在病人血液中的量为mg y . （1）y 关于x 的函数解析式为______；（2）要使病人没有危险，再次注射该药的时间不能超过______小时.(精确到0.1)(参考数据：0.30.20.6170≈， 2.30.80.5986≈，7.20.80.2006≈，7.30.80.1916≈)四、解答题16．已知函数()()sin 0f x x x ωωω=>. （1）当1ω=时，求π()6f 的值；（2）当函数()f x 图象的两条相邻对称轴之间的距离是π2时， . 从①②③中任选一个，补充到上面空格处并作答.①求()f x 在区间π[0,]2上的最小值；②求()f x 的单调递增区间；③若()0f x ≥，求x 的取值范围.注：如果选择多个问题分别解答，按第一个解答计分.17．已知*{}()n a n ∈N 是各项均为正数的等比数列，116a =，323322a a +=. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设23log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ，并求n S 的最大值．18．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c b C C (sin )=. （1）求角B 的大小； （2）若3A π=，D 为ABC ∆外一点，DB CD 2,1==，求四边形ABDC 面积的最大值.19．已知函数32()f x x kx k =-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有三个零点，求k 的取值范围． 20．已知函数1()()xaxf x a R e +=∈. （1）当1a =-时，求()f x 在0x =处的切线方程； （2）已知()1f x 对任意x ∈R 恒成立，求a 的值.21．已知{}n a 是无穷数列，1a a =，2a b =且对于{}n a 中任意两项i a ，()j a i j <在{}n a 中都存在一项(2)k a j k j <<，使得2k j i a a a =-. （1）若3a =，5b =求3a ；（2）若0a b ，求证：数列{}n a 中有无穷多项为0； （3）若a b ，求数列{}n a 的通项公式.参考答案1．B 【分析】分别求出集合A 、B ，再根据交集的运算即可得出答案. 【详解】解：{}()20,xA y y ===+∞，(){}{}{}()222log 110111,1B x y x x xx x ==-=->=-<<=-， 所以()0,1A B =={}01x x <<. 故选：B. 2．B 【分析】根据12n n a a +=可知数列为等比数列，且公比为q ，利用基本元的思想，将21272n S a =转化为1,,a q n 的形式，解方程求得n 的值.【详解】由于12n n a a +=故数列是公比为2的等比数列.由21272n S a =得()11121272122n a a -=⋅-，解得7n =.故选B. 【点睛】本小题主要考查等比数列的定义，考查等比数列的前n 项和公式和通项公式的基本量计算.属于基础题. 3．B 【分析】通过三角形的内角和，以及两角和的正弦函数，化简方程，求出角的关系，即可判断三角形的形状． 【详解】因为sinC=2sinAcosB ，所以sin （A+B ）=2sinAcosB ， 所以sinAcosB-sinBcosA=0，即sin （A-B ）=0， 因为A ，B ，C 是三角形内角，所以A=B ．三角形的等腰三角形． 故答案为B ． 4．C 【详解】由()f x 是R 上周期为5的奇函数，则()()()()()()2010200901018f f f f f f -=--=+=. 故答案为:C 5．A 【详解】 将6x π=代入到函数解析式中得0y =，可排除C ，D;将x=π代入到函数解析式中求出函数值为B ，故选A ． 6．C 【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得53f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【详解】由题意可得：522213333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而21111133333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故5133f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键. 7．C 【分析】根据等比数列的前n 项和公式，判断出正确选项. 【详解】由于数列{}n a 是等比数列，所以20212021111q S a q -=⋅-，由于2021101q q ->-，所以 1202100a S <⇔<，故“10a <”是“20210S <”的充分必要条件.故选：C 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查等比数列前n 项和公式，属于基础题. 8．B 【分析】根据复合函数的单调性，进行分析求解. 【详解】由题意得：0a >，故3ax -是减函数，又30ax ->在[]0,1恒成立，所以30a ->，解得：3a <， 又()log 3a y ax =-在[]0,1上是x 的减函数， 根据复合函数的单调性得，1a >， 综上所述：13a << 故选：B. 9．C 【分析】由已知求出6ab =，即得解. 【详解】因为()226,c a b =-+所以22222226,26c a b ab ab a b c =+-+∴=+-+， 所以22cos6,63ab ab ab π=+∴=，所以ABC 的面积1sin 323S ab π===故选：C 10．B 【分析】分0a =、0a >、0a <三种情况讨论，作出函数()f x 的图象，根据已知条件可得出关于实数a 的等式与不等式，进而可求得实数a 的取值. 【详解】当0a =时，()22,0,0x x f x x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩，作出函数()f x 的图象如下图所示：由图可知，当02k <<时，关于x 的方程()f x k =有且只有一个实根，不合乎题意； 当0a >时，()22,,,x ax x a f x x a a x a x a x a ⎧-+≥⎪=+-<<⎨⎪--≤-⎩，如下图所示：函数()f x 在(),a -∞-上单调递减，在(),a a -上单调递增，在(),a +∞上单调递增，由题意可得22222a a a a -+==，解得1a =；若0a <，则()22,,x ax x af x x a x a ⎧-+≥=⎨--<⎩，如下图所示：函数()f x 在(),a -∞单调递减，在,2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，由题意可得2222280a a aa ⎧-+=-⎨∆=-≥⎩，此时a 无解. 综上所述，1a =. 故选：B. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 11．32 【分析】由11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩结合题意可得2n n a =，再利用545–S S a =即可得解.【详解】当1n =时，11122a S a ==-解得12a =；当2n ≥时，()112222n n n n n a S S a a --=-=---，整理得12n n a a -=，所以数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列，1222n nn a -=⋅=，所以54553–22S S a ===.故答案为：32. 【点睛】本题考查了n a 与n S 关系的应用，考查了等比数列的判定和通项公式的应用，属于基础题. 12．1，2，3．（答案不唯一） 【分析】根据题意，写出只要是能说明命题“若a ，b ，m 均为正数，则b m ba m a+>+”是假命题的一组正数a 、b 、m 即可． 【详解】解：命题：“若a ，b ，m 为任意的正数，则b m ba m a+>+”， 命题“若a ，b ，m 均为正数，则b m ba m a+>+”是假命题，如：1a =，2b =，3m =时，2352134b m ba m a++==<=++， ∴能够说明命题“若a ，b ，m 均为正数，则b m ba m a+>+”是假命题的一组正数a ，b ，m 的值依次为1，2，3．故答案为：1，2，3．（答案不唯一） 13．2 【分析】由题意可得()f x 的最小值为3f π⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得2362k πππωπ-+=-，k Z ∈，解方程可得ω的最小值. 【详解】解：若()3f x f π⎛⎫≥- ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，可得()f x 的最小值为3f π⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得2362k πππωπ-+=-，k Z ∈，即有26k ω=-，k Z ∈， 由0>ω，可得ω的最小值为2，此时0k =. 故答案为：2.【点睛】本题考查了三角函数的性质，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 14．14 【分析】先利用其通项公式以及对数函数的运算公式求出22log 2n S n =+．再利用对数的运算性质解不等式3n S -即可求出对应的自然数． 【详解】 解：因为21log (*)2n n a n N n +=∈+， 所以123n n S a a a a =+++⋯+22222341log log log log 3452n n +=+++⋯++ 22341log 3452n n +⎛⎫=⨯⨯⨯⋯⨯ ⎪+⎝⎭ 22log 2n =+． 32223log 321422n S n n n -∴-⇔-⇒⇒++． 故答案为：14．15．25000.8x y =⨯ 7.2 【分析】（1）利用指数函数模型求得y 关于x 的函数解析式；（2）根据题意利用指数函数的单调性列不等式，求得再次注射该药的时间不能超过的时间. 【详解】（1）由题意，该种药在血液中以每小时20%的比例衰减，给病人注射了该药2500mg ，经过x 小时后，药在病人血液中的量为002500(120)25000.8x x y =⨯-=⨯. 即y 关于x 的函数解析式为25000.8x y =⨯（2）该药在病人血液中的量保持在1500mg 以上时才有疗效，低于500mg 时病人就有危险， 令25000.8500x ⨯≥，即0.80.2x ≥又7.20.80.2006≈，且指数函数0.8x y =为减函数，所以要使病人没有危险，再次注射该药的时间不能超过7.2小时.16．（1）2；（2）答案见解析. 【分析】（1）根据1ω=，由πππ()sin 666f =求解.（2）利用辅助角法得到()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据函数()f x 图象的两条相邻对称轴之间的距离是π2，得到2ω=，进而得到2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，选①：由π02x ≤≤，得到42333x πππ≤+≤，再利用正弦函数的性质求解；选②：利用正弦函数的性质，令222,232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈求解；选③：将()0f x ≥，转化为2sin 203x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的性质求解. 【详解】（1）当1ω=时，πππ1()sin 26662f ===.（2）()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.因为函数()f x 图象的两条相邻对称轴之间的距离是π2，所以2ππ(0)T ωω==>，解得2ω=. 所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.选①：因为π02x ≤≤，所以42333x πππ≤+≤. 当4233x ππ+=，即2x π=时，()f x在区间π[0,]2上有最小值为选②：令222,232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，解得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 所以函数()f x 的单调递增区间为5ππ[π,π],1212k k k Z -+∈. 选③：因为()0f x ≥，所以2sin 203x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭.所以222,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈.解得,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈.【点睛】方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式． 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2T ωπ=，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T πω=. 3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．17．（Ⅰ）52nn a -=；（Ⅱ）()2392n S n n =--，n S 最大值为30 【分析】（Ⅰ）利用1a 和q 表示出323322a a +=，从而构造出关于q 的方程，结合{}n a 为正项数列可求得q ，根据等比数列通项公式求得结果；（Ⅱ）由（Ⅰ）得n b ，由通项公式可验证出数列{}n b 为单调递减的等差数列，根据等差数列求和公式求得n S ；根据50b =，可确定4n =或5时，n S 最大，代入可求得最大值. 【详解】（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q116a =，323322a a += 221123324832a q a q q q ∴+=+=即22320q q +-=，解得：2q =-或12q ={}n a 各项均为正数 12q ∴=1511622n n n a --⎛⎫∴=⨯= ⎪⎝⎭（Ⅱ）由（Ⅰ）得：()523log 235153nn b n n -==-=-当2n ≥时，13n n b b --=-{}n b ∴是首项为112b =，公差为3-的单调递减的等差数列()()233121922n S n n n n n ∴=--=--又50b = ∴数列{}n b 的前4项为正数∴当4n =或5时，n S 取得最大值，且最大值为4530S S ==【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解、等差数列前n 项和最值的求解问题；求解等差数列前n 项和的最值的常用方法有两种：①确定数列各项中的变号项，由数列的单调性可得最值取得的位置； ②根据前n 项和的二次函数性质来确定最值的位置.18．（1）3B π=（22+ 【分析】（1）根据正弦定理化简等式可得tan B =3B π=；（2）根据题意，利用余弦定理可得254cos BC D =-，再表示出sin BDC S D ∆=，表示出四边形ABCD S ，进而可得最值. 【详解】（1）3(sin )a b C C =，由正弦定理得：sin (sin )A B C C =在ABC ∆中，()sin sin A B C =+)sin sin cos B C B C B C +=，sin sin sin B C B C =，sin 0,sin C B B ≠=，即tan B =()0,,3B B ππ∈∴=.（2）在BCD ∆中，2,1BD CD ==22212212cos BC D ∴=+-⨯⨯⨯54cos D =-又3A π=，则ABC ∆为等边三角形，21sin 23ABCSBC π=⨯=D 又1sin sin 2BDCSBD DC D D =⨯⨯⨯=，sin ABCD S D D ∴==2sin()3D π--∴当56D π=时，四边形ABCD 2. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基础题．19．（1）详见解析；(2)4(0,)27. 【分析】（1）'2()3f x x k =-，对k 分0k ≤和0k >两种情况讨论即可； （2）()f x 有三个零点，由（1）知0k >，且(00f f ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，解不等式组得到k 的范围，再利用零点存在性定理加以说明即可. 【详解】（1）由题，'2()3f x x k =-，当0k ≤时，'()0f x ≥恒成立，所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增； 当0k >时，令'()0f x =，得x ='()0f x <，得x < 令'()0f x >，得x <x >()f x在(上单调递减，在(,-∞，)+∞上单调递增.（2）由（1）知，()f x 有三个零点，则0k >，且(00f f ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩即22203203k k ⎧+>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩，解得4027k <<， 当4027k <<>20f k =>， 所以()f x在上有唯一一个零点，同理1k --<32(1)(1)0f k k k --=--+<， 所以()f x在(1,k --上有唯一一个零点，又()f x在(上有唯一一个零点，所以()f x 有三个零点，综上可知k 的取值范围为4(0,)27. 【点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及已知零点个数求参数的范围问题，考查学生逻辑推理能力、数学运算能力，是一道中档题. 20．（1）21y x =-+；（2）1. 【分析】（1）将1a =-代入，然后求导，并得到(0),(0)f f '，最后可得结果.（2）计算()'f x ，然后按照0a =，0a <，0a >进行分类讨论，并研究原函数的单调性，利用max ()1f x =计算即可. 【详解】解：（1）当1a =-时，1()ex x f x -=，2()e x x f x -'=， 所以(0)1f =，(0)2f '=- 切线l 的斜率为(0)2k f '==-.所以()f x 在0x =处的切线方程为21y x =-+. （2）依题意，()1f x ≤对任意x ∈R 恒成立，2(1)e (1)(e )1()=(e )e x x x xax ax ax a f x ''+-+-+-'=当0a =时，1()ex f x '=-，由于e 0x >，则()0f x '<恒成立， 所以()f x 在R 内单调递减， 因为(0)1f =，故当0x <时，()1f x >，不符合题意. 当0a ≠时，令()0f x '=，得11x a=-当0a <时， 110x a=->，因为(0)1f =，那么,(),()x f x f x '的变化情况如下表：所以结合()f x 的单调性知：当0x <时，()1f x >，不符合题意. 当0a >时，,(),()x f x f x '的变化情况如下表：当01a <<时，110x a=-<，因为(0)1f =，所以结合()f x 的单调性知当11,0)x a∈-（时，()1f x >，不符合题意. 当1a >时，110x a=->，因为(0)1f =，所以结合()f x 的单调性知当10,1)x a∈-（时，()1f x >，不符合题意. 当1a =时，110a-=.由()f x 的单调性可知，max ()=(0)1f x f =，所以符合题意.综上，1a =. 【点睛】 方法点睛：求解函数在某点()00,x y 处的切线方程步骤：（1）求导；（2）00(),()f x f x '；（3）点斜式可得方程.利用导数求解含参数的恒成立问题：（1）参数分离的方法；（2）求导并按参数的范围进行讨论.21．（1）7；（2）证明见解析；（3）(1)()n a a n b a =+--，1,2,3,n =.【分析】（1）依题意代入计算可得； （2）利用反证法证明即可；（3）分a b <与a b >两种情况讨论，①当a b <时，首先证明数列{}n a 是递增数列，再证明：(1)()n a a n b a =+--，1,2,3,n =即可；②当a b >时，令n n b a =-，1,2,3,n =，结合①的结论即可得解；【详解】解：（1）取1i =，2j =，则存在24)k a k <<(，使得3212a a a =-，即3212a a a =-. 因为13a a ==，25a b ==，所以32127a a a =-=.（2）假设{}n a 中仅有有限项为0，不妨设0m a =，且当n m >时，n a 均不为0，则2m ≥. 取1i =，j m =，则存在2)k a m k m <<(，使得120k m a a a =-=，与0k a ≠矛盾．（3）①当a b <时，首先证明数列{}n a 是递增数列，即证*n N ∀∈，1n n a a +<恒成立． 若不然，则存在最小的正整数0n ，使得001n n a a +≥，且012 n a a a <<<.显然02n ≥.取0j n =，1i =，2，…，01n -，则存在00(2k a n k n <<），使得 02k n i a a a =-．因为00000121222n n n n n a a a a a a a -->->>->，所以012n a a -，022n a a -，…，0012n n a a --这01n -个不同的数恰为 01n a +，02n a +，…，021n a -这01n -项.所以001n n a a +>与001n n a a +≤矛盾. 所以数列{}n a 是递增数列.再证明： (1)()n a a n b a =+--，1,2,3,n =记,d b a =- 即证(1)n a a n d =+-，1,2,3,n =当1,2n =时，结论成立.假设存在最小的正整数0,m 使得 (1)n a a n d =+-对任意01n m ≤≤恒成立， 但010,m a a m d +≠+则02m ≥. 取0j m =，1,2,i =，01m -，则存在()002k a m k m <<，使得02k m i a a a =-因为数列{}n a 是递增数列， 所以00012121m m m a a a a a +-<<<<<<.所以0600121222m m m m a a a a a a --<<-<-.因为0012m m a a --，…022m a a -，012m a a -这01m -个数恰为 01m a +，02m a +，…021m a -这01m -项.所以()()004110002212m m m a a a a m d a m d a m d +-=-=+--+-=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 与10n m a a m d +≠+矛盾.所以 (1)()n a a n b a =+--，1,2,3,n =②当a b >时，令n n b a =-，1,2,3,n =，则1b a =-，2b b =-，且12<b b .对于{}n b 中任意两项i b ，()j b i j <，因为对任意i a ，()j a i j <，存在(2),k a j k j <<使得2k j i a a a =-， 所以()2k j i a a a -=---，即存在(2),k b j k j <<使得2k j i b b b =-. 因此数列{}n b 满足题设条件.由① 可知(1)()n b a n a b =-+--，1,2,3,,n =所以(1)()n a a n b a =+--，1,2,3,n =综上所述，(1)()n a a n b a =+--，1,2,3,n = 经检验，数列{}n a 满足题设条件. 【点睛】本题属于数列新定义问题，考查反证法的应用，以及数学归纳法的证明数列的单调性；。
2024年北京一零一中高三(上)10月月考数学试题及答案
1 2
,
又由
0
<
a
<
1,
从而
0
<
a
1 2
;
②当
1 < a < 2 时, g(x) = (a − 2)x + 4a + 1 在 (−∞, 2] 上单调递减, h(x) = 2ax−1 在 (2, +∞) 上单调
递增, 又因为 f (x) 存在最小值, 故 与 1 < a < 2 矛盾; ③当 a = 2 时,
π 6
个单位
(B) 向右平移
π 12
个单位
(D) 向右平移
π 6
个单位
5. 在菱形 ABCD 中, ∠DAB = 60◦, |A# B–| = 2, 则 |B# C– + D# C–| = ( )
√
√
√
√
(A) 3
(B) 2 3
(C) 2
(D) 2 2
北京一零一中 2024-2025 学年度第一学期高三数学统考二 第 1 页（共 4 页）
a − sin x cos x
在区间
(
π 6
,
π 3
)
上单调递增,
则实数
a
的取值范围是
＿＿＿＿＿
.
15. 若函数 f (x) = ax2 − 2x − |x2 − ax + 1| 有且仅有两个零点, 则 a 的取值范围为 ＿＿＿＿＿ .
三、解答题共 6 小题。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
左平移
π 3
个单位长度并向下平移
1 2
个单位长度, 得到函数 g(x) 的图象. 若在 △ABC
北京一零第一中学2021-2022学年高三数学理月考试题含解析
北京一零第一中学2021-2022学年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知点为△所在平面上的一点，且，其中为实数，若点落在△的内部，则的取值范围是A． B． C． D ．参考答案：D2. 已知等差数列的公差为2,若成等比数列,则a2= （）A．-4 B．-6 C．-8 D．-10参考答案：B略3. 若2014=αk?5k+αk﹣1?5k﹣1+…+a1?51+a0?50，其中a k，a k﹣1，…，a0∈N，0＜a k＜5，0≤a k﹣1，a k﹣2，…，a1，a0＜5．现从a0，a1，…，a k中随机取两个数分别作为点P的横、纵坐标，则点P落在椭圆+=1内的概率是（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】由题意结合进位制转化求得a0，a1，…，a k，然后利用古典概型概率计算公式求得答案．【解答】解：由题意可知，把十进制数2014采用除5取余法化为五进制数：2014/5=402余4，402/5=80余2，80/5=16余0，16/5=3余1，3/5=0余3．∴2014=3?54+1?53+0?52+2?51+4?50 ．则a0=4，a1=2，a2=0，a3=1，a4=3．则从4，2，0，1，3中随机取两个数分别作为点P的横、纵坐标，共有52=25个点．其中在椭圆+=1内的点有：（0，0），（1，1），（2，2），（2，0），（2，1），（0，2），（0，1），（1，2），（1，0），（3，0），（3，1）共11个．∴点P落在椭圆+=1内的概率是．故选：A．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了进位制，训练了古典概型概率计算公式的求法，是中档题．4. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入的值分别为.则输出的值为（）A. 15B. 16C. 47D. 48参考答案：D5. 设为虚数单位，则（）A． B．C． D．参考答案：A6. 已知函数的部分图象如图所示，其中分别是函数的图象的一个最低点和一个最高点，则（）A． B． C. D．参考答案：A7. 函数的单调增区间为（）A. B．C. D．参考答案：C8. 如右图放置的六条棱长都相等的三棱锥，则这个几何体的侧视图是A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.无两边相等的三角形参考答案：【知识点】三视图.G2A解析：∵六条棱长都相等的三棱锥，它的侧视图是如图所示的等腰三角形，故选A。
北京市第101中学2024-2025学年高二上学期月考数学试卷(三)(含答案)
北京市第101中学2024-2025学年高二上学期月考数学试卷（三）一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线3x+√ 3y+1=0的倾斜角是( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°2.已知直线l1：ax−y−1=0，l2：ax+(a+2)y−1=0.若l1//l2，则实数a=( )A. 0或−3B. 0C. −3D. −1与03.“a=−1”是“直线l1：x−ay+1=0和直线l2：ax+(a+2)y+1=0(a∈R)垂直”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知Q为直线l：x+2y+1=0上的动点，点P满足QP⃗⃗⃗⃗⃗=(1,−3)，记P的轨迹为E，则( )A. E是一个半径为√ 5的圆B. E是一条与l相交的直线C. E上的点到l的距离均为√ 5D. E是两条平行直线5.已知实数x，y满足x+y+1=0，则√ (x−1)2+(y−1)2+√ (x−2)2+y2的最小值为( )A. √ 5B. 2√ 2C. √ 10D. 2√ 56.P为直线y=kx−2上一点，过P总能作圆x2+y2=1的切线，则k的最小值( )A. √ 3B. √ 33C. −√ 33D. −√ 37.若圆锥曲线C：x2+my2=1的离心率为2，则m=( )A. −√ 33B. √ 33C. −13D. 138.已知直线l过点(1,2)，且在x轴截距是在y轴截距的2倍，则直线l的方程为( )A. x+2y−5=0B. x+2y+5=0C. 2x−y=0或x+2y−5=0D. 2x−y=0或x−2y+3=09.已知直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，倾斜角分别为α1，α2，则“cos(α1−α2)>0”是“k1k2>0”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10.笛卡尔、牛顿研究过方程(x−1)(x−2)(x−3)=xy，关于这个方程的曲线有下列说法，其中正确的是( )A. 该曲线关于y轴对称B. 该曲线关于原点对称C. 该曲线不经过第三象限D. 该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市海淀区2024-2025学年高二上学期9月月考 数学试题(含解析)
一､选择题（共10小题，每小题4分，共40分，每题只有一个正确选项）1.已知，则（ ）i 1i z=-z =A.0B.1D.22.如图，在平行六面体中，（ ）1111ABCD A B C D -1AB AD AA --=A.B. C. D.1AC 1AC 1D B 1DB 3.已知，则的坐标为（ ）()()2,3,1,6,5,3A B ---ABA.B.C.D.()8,8,4--()8,8,4-()8,8,4-()8,8,4--4.如图，已知正方体的棱长为（ ）ABCD A B C D '-'''1,AA DB ⋅=''A.1D.1-5.设分别是平面的法向量，其中，若，则（12,n n,αβ()()121,,2,,2,1n y n x =-=- α∥βx y +=）A. B. C.3 D.92-72-726.已知直线的方向向量为，直线的方向向量为，则直线与所成角的度数1l()0,0,1u =2l()1v =-1l 2l 为（ ）A.B.C.D.30601201507.已知为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，则“”是“”的（ ）n αa l a n ⊥l ∥αA.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.已知点为空间不共面的四点，且向量，向量，则与,,,O A B C a OA OB OC =++ b OA OB OC =+- 不能构成空间基底的向量是（ ）,a bA. B. C. D.或OA OB OC OA OB9.在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影为点，且关于轴的对称点为点，Oxyz ()2,1,1A Oxz B y C 则两点间的距离为（ ）,B CB.C.10.在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，分别为的中点，则和ABCD ,M N ,BC ADAM 夹角的余弦值为（ ）CN A. C. D.231323-二､填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11.已知向量，则与共线的单位向量为__________.()2,3,1a =- a 12.已知向量且，则__________，__________.()()2,0,1,,2,1a b m =-=-a b ⊥ m =a b += 13.已知直线经过两点，则点到直线的距离为__________.l ()()1,0,1,2,0,0A B ()2,1,4P l 14.在空间直角坐标系中，已知.则与的夹角的Oxyz ()()()2,0,0,0,2,0,0,0,2AB AC AD ===CD CB余弦值为__________；在的投影向量__________.CD CB a = 15.以下关于空间向量的说法：①若非零向量满足，则,,a b c a ∥,b b ∥c a ∥c ②任意向量满足,,a b c ()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅ ③若为空间向量的一组基底，且，则四点共面{},,OA OB OC221333OD OA OB OC=+- ,,,A B C D ④已知向量，若，则为钝角()()1,1,,3,,9a x b x ==-310x <,a b <>其中正确命题的序号是__________.三､解答题（共4道大题，共60分）16.如图，在正方体中，为线段的中点.1111ABCD A B C D -2,AB E =11B C（1）求证：；11AA D E ⊥（2）求平面的法向量；1D BE （3）求点到平面的距离.1A 1D BE 17.如图，正三棱柱的底面边长为2，高为为的中点，为的中点.111ABC A B C -4,D 1CC E 11A B（1）求证：平面；1C E ∥1A BD （2）求直线与平面所成角的正弦值.BC 1A BD18.如图，在平行六面体中，，1111ABCD A B C D -14,2,60AB AD AA BAD ∠====与相交于点，设.1145,BAA DAA AC ∠∠==BD O 1,,AB a AD b AA c ===（1）试用基底表示向量；{},,a b c1OA （2）求的长；1OA （3）求直线与直线所成角.1OA BC19.如图，四棱锥倍，为侧棱上的点.S ABCD -P SD（1）求证：；AC SD ⊥（2）若平面，求平面与平面的夹角大小；SD ⊥PAC PAC ACD （3）在（2）的条件下，侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；SC E BE ∥PAC :SE EC 若不存在，试说明理由.参考答案一､选择题（共10小题，每小题4分，共40分，每题只有一个正确选项）1.【答案】C【分析】利用复数的乘法求出，再求出复数的模.z【详解】依题意，，则()i 1i 1iz =-=--z ==故选：C 2.【答案】C【分析】利用向量的加减法法则计算即可.【详解】1111AB AD AA DB AA DB DD D B --=-=-= 故选：C 3.【答案】B【分析】利用空间向量坐标运算即可.【详解】因为，()()2,3,1,6,5,3A B ---所以()8,8,4AB =-故选：B.4.【答案】A【分析】结合图形利用空间向量的线性运算求解即可.【详解】因为，DB DB BB AB AD BB AB AD AA '=+=-+'''=-+且，0,0AA AB AA AD ''⋅=⋅= 所以.()21AA DB AA AB AD AA AA AB AA AD AA '''''''⋅=⋅-+=⋅-⋅+= 故选：A.5.【答案】D【分析】本题根据图形关系得到，得到，解出即可.1n ∥1n 1221y x -==-,x y 【详解】，且分别是平面的法向量，则，α ∥β12,n n ,αβ1n ∥1n 则有，故，则.1221y x -==-1,42x y =-=72x y +=故选：D.6.【答案】B【分析】根据空间向量夹角公式，代入即可得到向量夹角，同时注意直线夹角的范围.cos ,u v u v u v⋅<>=⋅【详解】直线方向向量，1l ()0,0,1u= 直线方向向量，2l()1v =-，1cos ,2u v u v u v ⋅<>===-⋅所以两向量夹角为，120直线和所成角为，∴1l 2l 60故选：B.7.【答案】B【分析】根据线面平行的性质及其法向量和方向向量的关系判断即可.【详解】为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，n αal 若，则或，充分性不成立，a n ⊥ l α⊂l ∥α若，则，必要性成立，l ∥αa n ⊥所以“”是“”的必要不充分条件.a n ⊥ l ∥α故选：B.8.【答案】C【分析】利用空间向量的基底的意义即可得出.【详解】，()()()111222OC a b OA OB OC OA OB OC=-=++-+- 与不能构成空间基底；OC ∴ a b､故选：C.9.【答案】D【分析】先求得的坐标，再用两点的距离公式求解,B C 【详解】因为点在坐标平面内的射影为点，()2,1,1A Oxz B 所以，()2,0,1B 因为点关于轴的对称点为点，()2,1,1A y C 所以，()2,1,1C --所以BC ==故选：D 10.【答案】A【分析】根据正四面体性质取的中点为，即可知即为异面直线和的夹角的平面角，BN P AMP ∠AM CN 计算出各边长利用余弦定理即可求得结果.【详解】连接，取的中点为，连接，如下图所示：BN BN P ,AP MP由正四面体的棱长为1可得AM CN BN ===又分别是的中点，所以，且,M P ,BC BN MP ∥CN 12MP CN ==所以即为异面直线和的夹角的平面角，AMP∠AM CN 又易知，且，所以BN AN ⊥12PN BN ==AP ===因此，2cos 3AMP ∠==即和夹角的余弦值为.AM CN 23故选：A二､填空题（共5小题，每小题4分，共20分）11.【答案】或⎛⎝【分析】求出，再根据求解即可.aa a± 【详解】因为向量，所以()2,3,1a =-a==所以，aa ±==±所以与共线的单位向量为或.a⎛ ⎝故答案为：或.⎛ ⎝12.【答案】（1）（21##0.52【分析】利用空间向量的垂直关系即可求解；根据向量的加法及模的运算即可求解.【详解】因为，()()2,0,1,,2,1a b m =-=-当时，所以，a b ⊥210m -=所以；12m =因为，()12,0,1,,2,12a b ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ，5,2,02a b ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 所以.a b +==故答案为：.1213.【答案】3【分析】根据坐标求出，然后得到，最后用勾股定理求即可得到点到cos ,,AP AB AP<>AP 'PP 'P 直线的距离.l 【详解】如图，过点作于点P PP AB'⊥P '由题意得，，()()1,1,3,1,0,1,cos ,AP AB AP AB==-<>==，所以.AP ==cos ,3AP AP AP AB PP =⋅<='='>= 故答案为：3.14.【答案】①②12()1,1,0-【分析】先根据空间向量的坐标运算求出与的坐标，然后由向量夹角的运算公式和投影向量的计CD CB算公式即可求出结果.【详解】因为，()()()2,0,0,0,2,0,0,0,2AB AC AD ===所以，()()0,2,2,2,2,0CD AD AC CB AB AC =-=-=-=-所以，1cos ,2CD CB CD CB CD CB ⋅<>===在的投影向量为.CD CB()cos ,1,1,0CB CD CD CB CB<>=-故答案为：.()1;1,1,02-15.【答案】①③【分析】根据向量共线定理可判断①；由向量数量积的运算律可判断②；根据可判断1133AD AB CB=+③；当时可判断④.3x =-【详解】对于①，因为是非零向量，且满足，故存在实数使得，,,a b c a ∥,b b ∥c ,λμa b λ= ，故，所以，故①正确；b c μ= a c λμ= a ∥c 对于②，因为不一定共线且向量的数量积为实数，所以不一定成立，故②不正确；,a c ()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ 对于③，若为空间向量的一组基底，所以三点不共线，{},,OA OB OC,,A B C ，且，221333OD OA OB OC =+- ()()1211133333OD OA OA OB OC OB OA OB OC-=-+-=-+- 所以，则四点共面，所以③正确；1133AD AB CB=+ ,,,A B C D 对于④，当时，反向共线，有为，所以④不正确.3x =-,a b 3,,b a a b =- 180故答案为：①③.三､解答题（共4道大题，共60分）16.【答案】（1）证明见解析；（2），答案不唯一；()2,1,1-（3.【分析】（1）根据线面垂直的性质，即可证明线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，求得对应点的坐标，利用向量法即可求得结果；（3）根据（2）中所求平面的法向量，求得在平面法向量上的投影向量的长度即可.11A D 【小问1详解】因为是正方体，故可得面，1111ABCD A B C D -1AA ⊥1111A B C D又面，故可得.1D E ⊂1111A B C D 11AA D E ⊥【小问2详解】以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，如下所示：D 则可得：，()()()()110,0,2,2,2,0,1,2,2,2,0,2D B E A ()()()1111,2,0,1,0,2,2,0,0D E BE A D ==-=-设平面的法向量为，1D BE (),,m x y z =则，即，取，可得，100m D E m BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 2020x y x z +=⎧⎨-+=⎩2x =1,1y z =-=故平面的一个法向量为.1D BE ()2,1,1-【小问3详解】设点到平面的距离为，1A 1D BE d 则.11A D m d m ⋅===故点到平面.1A 1D BE17.【答案】（1）证明见解析（2【分析】（1）由已知建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用线面1C E 1A BD 平行的向量判定方法求解即可；（2）根据线面角的向量求解公式求解即可.【小问1详解】如图以A 为坐标原点，以所在直线为轴，轴，在平面内做与垂直的直线为轴1,AC AA y z ABC AC x 建立空间直角坐标系，())()()()1110,2,4,,0,2,2,,4,0,0,4,0,2,02C B D E A C ⎫⎪⎪⎭所以113 ,0,4),(2)2C E A B BD ⎫=-=-=⎪⎪⎭ 设平面的法向量为，1A BD (),,n x y z = 所以，即，100n A B n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩4020y z y z ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩令，x =1,1z y ==即为平面的一个法向量，)n = 1A BD 所以，1310102C E n ⎛⎫⋅=-⨯+⨯= ⎪⎝⎭ 又因为平面，1C E ⊄1A BD 所以平面；1C E ∥1A BD 【小问2详解】由（1）知，()),BC n == 设直线与平面所成角为，BC 1A BD θ所以，sin cos ,BC θ= 所以直线与平面.BC 1A BD 18.【答案】（1）11122OA a b c =--+（2（3）π2【分析】（1）利用空间向量的线性运算求解即可；（2）由（1）可知，然后利用数量积求模长即可；11122OA a b c =--+ （3）利用空间向量线线角的向量法求解即可.【小问1详解】()111111111;22222OA OA AA AB AD AA AB AD AA a b c =+=-++=--+=--+ 【小问2详解】，1114,2,60,45AB AD AA BAD BAA DAA ∠∠∠====== 所以，1cos604242a b a b ⋅==⨯⨯=，cos4524b c b c ⋅==⨯=，cos4548a c a c ⋅==⨯= 由（1）知，11122OA a b c =--+ 所以，22222111111322442OA a b c a b c a b a c b c ⎛⎫=--+=+++⋅-⋅-⋅= ⎪⎝⎭ 所以1OA = 【小问3详解】，BC AD b == ，21111102222OA BC a b c b a b b b c ⎛⎫⋅=--+⋅=-⋅-+⋅= ⎪⎝⎭ ，111cos ,0OA BC OA BC OA BC ⋅==所以与所成角为，1OA BC π2所以直线与直线所成角为.1OA BC π219.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，.30 :2:1SE EC =【分析】（1）由题设知，连，设交于于，由题意知平面.以为坐标原点，BD AC BD O SO ⊥ABCD O 分别为轴､轴､轴正方向，建立空间直角坐标系，求得向量与，结合数量积即可,,OB OC OS x y z OC SD 证明；AC SD ⊥（2）分别求出平面与平面的一个法向量，求法向量的夹角余弦值，即可求出结果；PAC ACD （3）要使平面，只需与平面的法向量垂直即可，结合（2）中求出的平面的一个法BE ∥PAC BE PAC 向量，即可求解.【详解】（1）证明：连接，设交于，由题意知平面.以为坐标原点，BD AC BD O SO ⊥ABCD O ，分别为轴､轴､轴正方向，建立空间直角坐标系如图.OB ,OC OSx y z O xyz -设底面边长为，则高.aSO =于是,,0,0,,0S D C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，,0,,0,OC SD ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故，从而.0OC SD ⋅= OC SD ⊥AC SD ⊥（2）由题设知，平面的一个法向量，平面的一个法向量PAC DS ⎫=⎪⎪⎭ DAC ，设所求角为，则平面与平面的夹角为.OS a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭θcos OS DS OS DS θ⋅==∴⋅ PAC DAC 30（3）在棱上存在一点使平面.由（2）知是平面的一个法向量，SC E BE ∥PAC DS PAC 且.,0,DS a CS a ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭ 设，则CE tCS = BE BC CE BC tCS=+=+ 而，()1t ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭103BE DS t ⋅=⇔= 即当时:2:1SE EC =，而不在平面内，故平面.BE DS ⊥ BE PAC BE ∥PAC。
北京101中学2021届上学期高三年级9月月考数学试卷
北京101中学2021届上学期高三年级9月月考数学试卷本试卷满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1 集合}|{},42|{2x x x B x A x>=<=，则B A ＝（ ） A )0,(-∞B )2,1()0,( -∞C )4,1()0,( -∞D R2 在复平面内，复数ii+1对应的点在（ ） A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限3 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）A338 B 316C 38D 16 4 函数x x x f 2cos sin 2)(-=在区间]2,0[π上的零点个数为（ ）A 2B 3C 4D 55 52)(y x x ++的展开式中，25y x 的系数为（ ） A 10B 20C 30D 606 如图是函数)20,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的部分图象，将函数)(x f 的图象向右平移8π个单位长度得到函数)(x g y =的图象，则下列命题正确的是（ ）A 函数)(x g 为偶函数B 函数)(x g 的图象的对称轴是直线)(4Z k k x ∈+=ππC 函数)(x g 的单调递增区间是)](4,4[Z k k k ∈+-ππππD 函数)(x g 的图象的对称中心是))(0,4(Z k k ∈π7 设F 为双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222ay x =+交于||||OF PQ =2354)2()1(22=-++y x 32||=AB 02=++k y x )5,5(-]5,5[-)52,52(-]52,52[-}{n a 2,061==a a 5,,2,1,2||1 ==-+i a a i i n a a a 21),2,1}(1,0{ =∈i a i ，使得),2,1( ==+i a a i m i 成立，则称其为10-周期序列，并称满足),2,1( ==+i a a i m i 的最小正整数m 为这个序列的周期，对于周期为m 的10-序列∑=+-==mi k i i n m k a a m k C a a a 121)1,,2,1(1)(, 是描述其性质的重要指标，下列周期为5的10-序列中，满足)4,3,2,1(51)(=≤k k C 的序列是（ ）A 11010…B 11011…C 10001…D 11001…二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分。
北京市海淀区101中学2023~2024学年初三第一学期数学月考参考答案(9月)
北京一零一中教育集团2023－2024学年度第一学期初三练习数 学 答 案 2023.9一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. （ －3，2） 10. 1b = 11. y ＝－x 2+3(答案不唯一)． 12. 75° 13. m =2 14. > 15. 2.05+2.05(1+x)+2.05(1+x)2=10.53 16. ①②④ 三、解答题（本题共68分，第17题8分、18－20题4分、21、22题5分，23－25、27题6分，26题、28题7分） 17. （1）x 2=49……………..2分x 1=23，x 2=−23．…………….4分（2）x 2－x －6＝0，（x +2）（x －3）＝0，……………..2分 x +2＝0或x －3＝0，解得：x 1=−2，x 2=3．……………..4分(其他方法均可酌情给分) 18. (1)图略 A 1的坐标为(−4,1) ……………..2分（2）图略……………..4分 19. 解：（a －2）2－3 a （a +1）=－2a 2－ 7a +4 . ……………..1分 ∵ a 是方程2x 2+7x ﹣1＝0的根，∴ 2a 2+7a －1＝0． ……………..2分∴ 2a 2+7a ＝1．∴ 原式 = 3． ……………..4分 20. （1）证明：依题意，得Δ=(k +3)2−4⋅3⋅k =k 2−6k +9=(k −3)2．∵(k −3)2≥0，∴0∆≥.∴ 该方程总有两个实数根． ……………..2分 （2）解：解方程，得x 1=1，x 2=k3． ∵该方程有一个根大于2，∴ k3>2,∴ k >6. ……………..4分 21.（1）解：∵抛物线y =2x 2+bx +c 过点(1,3)和(0,4)，∴{2+b +c =3c =4， 解得{b =−3c =4，∴该二次函数的解析式为y =2x 2−3x +4．……………..3分 （2）该抛物线的顶点坐标为323(,)48……………..5分(横纵坐标各1分) 22. 解：(1)如图所示；……………..2分(2)∵AB =5，BC =3，∠C =90°， ∴AC =√ AB 2−BC 2=4．……………..3分 ∵△DCE 由△ABC 旋转而成， ∴CE =AC =4，……………..4分 ∵∠DCE =∠ACB =90° ∴B 、C 、E 共线∴BE =BC +CE =3+4=7． …………….5分23. （1）图略 ………..2分（2）－4≤y≤5 ………..4分（3）x ＜0或x ＞3…….6分 24. （1）建系略 ……………..1分 （4，4）．……………..2分 （2）设抛物线解析式为y ＝a （x ﹣4）2+4（a ≠0），∵A （0，2）在抛物线上，∴2＝a （0﹣4）2+4，解得，a ＝﹣，∴y ＝﹣（x ﹣4）2+4，……………..4分 将y ＝0代入，得﹣（x ﹣4）2+4＝0， 解得，x 1＝4﹣4（舍去）或x 2＝4+4，……………..6分∴CD ＝4+4．答：该同学把实心球扔出米．25. (1)证明：∵△DAE 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCM ， ∴DE =DM ，∠EDM =90°．……………..1分∵正方形ABCD 中∠ADC =90°,∠EDF =45°，∴∠ADE +∠FDC =90°−∠EDF =45° ∴∠CDM +∠FDC =45°即∠FDM =45°．∴∠EDF =∠MDF ．…………….2分 在△DFE 和△DFM 中，{DF =DF,∠EDF =∠MDF,DE =DM,∴△DFE ≌△DFM(SAS)．∴EF =FM ．……………..3分(2)解：设FC =x ，则FM =x +2=EF ． 在Rt △BEF 中，BE =6−2=4，BF =6−x ，∴42+(6−x)2=(x +2)2．……………..5分 解得x =3． ∴EF =3+2=5．……………..6分26．解：（1）∵点（1，m ）在抛物线2y x bx =−+上，m ＝1 ∴11b −+=． ∴2b =．∴该抛物线的对称轴为1x =． ……………..2分 （2）①11.2t <<……………..4分 ②213y y y >>．…………..5分 理由如下：由题意可知，抛物线过原点．设抛物线与x 轴另一交点的横坐标为x ´． ∵抛物线经过点(1，m )，(2，n )，mn ＜0 ∴1＜x ´＜2．∴112t <<． 设点（－2，y 1）关于抛物线的对称轴x t =的对称点为01(,)x y ． ∵点（－2，y 1）在抛物线上， ∴点01(,)x y 也在抛物线上． 由0(2)x t t −=−− 得022x t =+． ∵112t <<，∴1＜2t ＜2．∴3＜2t ＋2＜4．∴034x <<． 由题意可知，抛物线开口向下．∴当x t >时，y 随x 的增大而减小.∵点（32，y 2），01(,)x y ，（4，y 3）在抛物线上，且0342t x <<<， ∴213y y y >>．……………..7分（本题论证要严谨完备才可以满分） 27. 解：(1) 相等；1800－2α；……………..2分(2) 成立.证明：①先证BF ＝EF延长CB 至M ，使得BM ＝CB 连接AM ， MD ; 延长DE 至N ，使得EN ＝DE 连接AN ， CN.如图∵∠ABC ＝90° ∴AB ⊥MC又∵BM=CB ∴AM ＝AC ，∠MAC ＝2α 同理 AD ＝AN ，∠DAN ＝2α∴∠MAC ＋∠DAC ＝∠DAC ＋∠DAN 即 ∠MAD ＝∠NAC ∴△AMD ≌△CAN∴MD ＝CN, ∠AMD ＝∠ACN ∵BM ＝CB ∴B 为MC 的中点 又∵F 为CD 的中点∴12BF MD =, BF// MD同理12EF NC =, EF// NC∵MD ＝CN ∴BF ＝EF; ②再证∠BFE ＝1800－2α延长MD 分别交EF 、CN 于点T 、K 如图，∵BF// MD, EF// NC∴∠BFE ＝∠MTE ＝∠MKN∵∠MKN ＝∠KMC ＋∠KCM ＝∠KMC ＋∠NCA ＋∠ACM＝∠KMC ＋∠AMD ＋∠ACM ＝∠AMC ＋∠ACM ＝2∠ACM ＝2(900－α)＝1800－2α ∴∠BFE ＝1800－2α 或如图由△AMD ≌△CAN 得∠3＝∠4 又∵∠1＝∠2∴∠MKC ＝∠MAC ＝2α ∴∠BFE ＝1800－2α法二：取AC 的中点P ，取AD 的中点Q, 连接QE,QF ，BP ，PF可证△BPF ≌△FQE 得BF ＝EF ∠BFE ＝∠BFP ＋∠PFQ+∠QFE＝∠BFP ＋∠PBF ＋∠PFQ ＝1800－∠BPF ＋∠PFQ＝1800－∠BPC －∠C PF ＋∠PFQ ＝1800－∠BPC ＝1800－2α…………….6分28.（1）2P 和3P ；………2分 （2）312m −≤≤−；………4分 （3）抛物线c bx x y ++=2的顶点坐标为（－1，n ），可设解析式为2(1)y x n =++， 其关于原点对称的抛物线解析式为2(1)y x n =−−−．ABC 以O 逆时旋转90︒得到A B C ’’’，其中(1,1),(1,3),(2,3)AB C −−−’’’．……5分 当2(1)y x n =−−−过A ’，得到n 的最大值－5．……6分当2(1)y x n =−−−过C ’，得到n 的最小值－12．……7分BAC。
北京一零一学校2023年初三数学9月月考试卷
班级：_______________ 学号：__________ 姓名：_______________／／／／／○／／／／／○／／／／／○ 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 ○／／／／／○／／／／／○／／／／／密 封 线 内 不 要 答 题北京一零一中教育集团2023－2024学年度第一学期初三练习数 学 2023.9一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的只有一个. 1． 一元二次方程2250x x +−=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A ．2，1，5B ．2，0，－5C ．2，1，－5D ．2，0，5 2．由抛物线22y x =平移而得到抛物线22(1)2y x =−−，下列平移正确的是（）A ．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位B ．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C ．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位D ．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位3．如图，将一个正方形纸片沿图中虚线剪开，能拼成下列四个图形，其中是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．4．用配方法解方程2410x x ++=，下列变形正确的是( ) A ．()223x +=B ．()225x +=C ．()223x +=− D ． ()225x +=−5．如图，点A 、B 、C 、D 、O 都在方格纸上，若△COD 是由△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为( ) A ．30° B ．45° C ．90° D ．135°第5题图 第6题图 第7题图6．若二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，则下列四个选项正确的是（ ） A ．b ＞0，c ＜0 B ．b ＜0，c ＜0 C ．b ＞0，c ＞0D ．b ＜0，c ＞07．如图，在△ABC 中，∠BAC =120°，将△ABC 绕点C 逆时针旋转得到△DEC ，点A ，B 的对应点分别为D ，E ，连接AD. 当点A ，D ，E 在同一条直线上时，下列结论中一定正确的是（ ） A. ∠ABC =∠ADC B. CB =CD C. DE +DC =BC D. AB // CD8．在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分．“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”．对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大，收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为P ，篮框中心点为Q ，他可以选择让篮球在运行途中经过A ，B ，C ，D 四个点中的某一点并命中Q ，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”的可能性最大的线路是（ ） A ．P →A →QB ．P →B →QC ．P →C →QD ．P →D →Q二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．在平面直角坐标系中，点(3,2)P −绕原点旋转180°后所得到的点的坐标为 ．10．已知x =1 是方程x 2+bx −2=0的一个根，则b 的值为 ． 11．请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向下；②与y 轴的交点坐标为（0，3）．此二次函数的解析式可以是 ．12．如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转55°得到△ADE ，若∠E =70°且AD ⊥BC 于点F ，则∠BAC 的度数为______．13．已知关于x 的一元二次方程x 2+mx +m －1＝0有两个相等的实数根，则m 的值为 .ABCDO班级：_______________ 学号：__________ 姓名：_______________／／／／／○／／／／／○／／／／／○ 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 ○／／／／／○／／／／／○／／／／／密 封 线 内 不 要 答 题14． 在二次函数y =ax 2+bx +c(a ≠0)中，y 与x 的部分对应值如表：x ... −1 0 1 2 3 ... y...2mn...则m ，n 的大小关系为m n.(填“>”“=”或“<”)15．电影《长津湖》一上映，第一天票房2.05亿元，若每天票房的平均增长率相同，三天后累计票房收入达10.53亿元，平均增长率记作x ，方程可以列为 ．16．抛物线22y x x m =−++交x 轴于点A (a ，0)和B (b ，0)，抛物线的顶点为D ，下列四个结论：①抛物线过（2，m ）；②当m =0时，△ABD 是等腰直角三角形； ③a +b ＝4；④抛物线上有两点P (1x ，1y )和Q (2x ，2y )，若1x ＜1＜2x ，且1x ＋2x ＞2，则1y ＞2y ． 其中结论正确的序号是_____________.三、解答题（本题共68分，第17题8分、18-20题4分、21、22题5分，23-25、27题6分，26题、28题7分） 17．解方程：（1）9x 2＝4； （2） x 2－x －6＝0．18．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，△OAB 的三个顶点O(0,0)，A(4,1)，B(4,4)均在格点上．（1）画出△OAB 关于y 轴对称的△OA 1B 1，直接写出点A 1的坐标为_____________；（2）画出△OAB 绕原点O 旋转180∘后得到的△OA 2B 2．19．已知a 是方程22710x x +−=的一个根，求代数式2(2)3(1)a a a −−+的值．20．已知关于x 的一元二次方程3x 2−(k +3)x +k =0． （1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根大于2，求k 的取值范围．21．已知抛物线y =2x 2+bx +c 过点(1,3) 和(0,4) （1）求该抛物线的解析式;（2）直接写出该抛物线的顶点坐标_____________.22．如图，△ABC 是直角三角形，∠C =90°，将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°． （1）试作出旋转后的△DCE ，其中B 与D 是对应点； （2）在作出的图形中，已知AB =5，BC =3，求BE 的长．班级：_______________ 学号：__________ 姓名：_______________／／／／／○／／／／／○／／／／／○ 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 ○／／／／／○／／／／／○／／／／／密 封 线 内 不 要 答 题23．已知二次函数y ＝x 2－2x －3． （1）画出它的图象；（2）当0＜x ≤4时，y 的取值范围是 ．（3）直线y ＝kx +b 与抛物线y ＝x 2－2x －3交于点A ，B ，且点A 在y 轴上，点B 在x 轴的右半轴上，则不等式kx +b ＜x 2﹣2x ﹣3的解集为 ．第23题图 第24题图24．体育课上，一名九年级学生测试扔实心球．已知实心球经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果球出手处A 点距离地面的高度为2米，当球运行的水平距离为4米时，到达最大高度为4米的B 处（如图所示）．（1）以D 为原点，CD 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，在图中画出坐标系，点B 的坐标为 ；（2）请你计算该学生把实心球扔出多远？（结果保留根号）25．正方形ABCD 的边长为6，E ，F 分别是AB ，BC 边上的点，且∠EDF =45°，将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM ．（1）求证：EF =FM ； （2）当AE =2时，求EF 的长．26．在平面直角坐标系xOy 中，点（1，m ）和（2，n）在抛物线2y x bx =−+上．（1）若m ＝1，求该抛物线的对称轴；（2）若mn ＜0，设抛物线的对称轴为直线x t =，①直接写出t 的取值范围 ；②已知点1233(2,),(,),(4,)2y y y −在该抛物线上．将123,y y y ,按从大到小排序，并说明理由．–4–3–2–11234–5–4–3–2–112345–5O班级：_______________ 学号：__________ 姓名：_______________／／／／／○／／／／／○／／／／／○ 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 ○／／／／／○／／／／／○／／／／／密 封 线 内 不 要 答 题27．在 Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠BAC =α ，D 为AB 的中点，过D 作DE ⊥AC 于E ，连接CD ，F 为CD 的中点.（1）图1中，BF 与EF 的数量关系是________，∠BFE ＝_________（用含α的式子表示）；（2）将△ADE 绕点A 逆时针旋转至如图2所示位置，试判断 (1)中的两个结论是否依然成立？若成立，请证明你的结论.图1 图228．对于平面直角坐标系xOy 内的点P 和图形M ，给出如下定义：如果点P 绕原点O 顺时旋 转90︒得到点'P ，点'P 落在图形M 上或图形M 围成的区域内，那么称点P 是图形M 关 于原点O 的“伴随点”． 已知点(1,1),(3,1),(3,2)A B C ．（1）在点123(2,0),(1,1),(1,2)P P P −−−中，点 是线段AB 关于原点O 的“伴随点”； （2）如果点(,2)D m 是△ABC 关于原点O 的“伴随点”，直接写出m 的取值范围；（3）已知抛物线c bx x y ++=2的顶点坐标为（－1，n ），其关于原点对称的抛物线上存在 △ABC 关于原点O 的“伴随点”，求n 的最大值和最小值．F E B A C D F E B C D北京一零一中教育集团2023－2024学年度第一学期初三练习数 学 答 案 2023.9一、选择题（本题共16分，每小题2分）二、填空题（本题共16分，每小题2分）9. （ －3，2） 10. 1b = 11. y ＝－x 2+3(答案不唯一)． 12. 75° 13. m =2 14. > 15. 2.05+2.05(1+x)+2.05(1+x)2=10.53 16. ①②④ 三、解答题（本题共68分，第17题8分、18－20题4分、21、22题5分，23－25、27题6分，26题、28题7分） 17. （1）x 2=49……………..2分x 1=23，x 2=−23．…………….4分（2）x 2－x －6＝0，（x +2）（x －3）＝0，……………..2分 x +2＝0或x －3＝0，解得：x 1=−2，x 2=3．……………..4分(其他方法均可酌情给分) 18. (1)图略 A 1的坐标为(−4,1) ……………..2分（2）图略……………..4分 19. 解：（a －2）2－3 a （a +1）=－2a 2－ 7a +4 . ……………..1分 ∵ a 是方程2x 2+7x ﹣1＝0的根，∴ 2a 2+7a －1＝0． ……………..2分∴ 2a 2+7a ＝1．∴ 原式 = 3． ……………..4分 20. （1）证明：依题意，得Δ=(k +3)2−4⋅3⋅k =k 2−6k +9=(k −3)2．∵(k −3)2≥0，∴0∆≥.∴ 该方程总有两个实数根． ……………..2分 （2）解：解方程，得x 1=1，x 2=k3． ∵该方程有一个根大于2，∴ k3>2,∴ k >6. ……………..4分 21.12∴{2+b +c =3c =4， 解得{b =−3c =4，∴该二次函数的解析式为y =2x 2−3x +4．……………..3分 （2）该抛物线的顶点坐标为323(,)48……………..5分(横纵坐标各1分) 22. 解：(1)如图所示；……………..2分(2)∵AB =5，BC =3，∠C =90°， ∴AC =√ AB 2−BC 2=4．……………..3分 ∵△DCE 由△ABC 旋转而成， ∴CE =AC =4，……………..4分 ∵∠DCE =∠ACB =90° ∴B 、C 、E 共线∴BE =BC +CE =3+4=7． …………….5分23. （1）图略 ………..2分（2）－4≤y≤5 ………..4分（3）x ＜0或x ＞3…….6分 24. （1）建系略 ……………..1分 （4，4）．……………..2分 （2）设抛物线解析式为y ＝a （x ﹣4）2+4（a ≠0），∵A （0，2）在抛物线上，∴2＝a （0﹣4）2+4，解得，a ＝﹣，∴y ＝﹣（x ﹣4）2+4，……………..4分 将y ＝0代入，得﹣（x ﹣4）2+4＝0， 解得，x 1＝4﹣4（舍去）或x 2＝4+4，……………..6分25. (1)证明：∵△DAE 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCM ， ∴DE =DM ，∠EDM =90°．……………..1分∵正方形ABCD 中∠ADC =90°,∠EDF =45°，∴∠ADE +∠FDC =90°−∠EDF =45° ∴∠CDM +∠FDC =45°即∠FDM =45°．∴∠EDF =∠MDF ．…………….2分 在△DFE 和△DFM 中，{DF =DF,∠EDF =∠MDF,DE =DM,∴△DFE ≌△DFM(SAS)．∴EF =FM ．……………..3分(2)解：设FC =x ，则FM =x +2=EF ． 在Rt △BEF 中，BE =6−2=4，BF =6−x ，∴42+(6−x)2=(x +2)2．……………..5分 解得x =3． ∴EF =3+2=5．……………..6分26．解：（1）∵点（1，m ）在抛物线2y x bx =−+上，m ＝1 ∴11b −+=． ∴2b =．∴该抛物线的对称轴为1x =． ……………..2分 （2）①11.2t <<……………..4分 ②213y y y >>．…………..5分 理由如下：由题意可知，抛物线过原点．设抛物线与x 轴另一交点的横坐标为x ´． ∵抛物线经过点(1，m )，(2，n )，mn ＜0 ∴1＜x ´＜2．∴112t <<． 设点（－2，y 1）关于抛物线的对称轴x t =的对称点为01(,)x y ． ∵点（－2，y 1）在抛物线上， ∴点01(,)x y 也在抛物线上． 由0(2)x t t −=−− 得022x t =+． ∵112t <<，∴1＜2t ＜2．∴3＜2t ＋2＜4．∴034x <<．∵点（32，y 2），01(,)x y ，（4，y 3）在抛物线上，且0342t x <<<， ∴213y y y >>．……………..7分（本题论证要严谨完备才可以满分） 27. 解：(1) 相等；1800－2α；……………..2分(2) 成立.证明：①先证BF ＝EF延长CB 至M ，使得BM ＝CB 连接AM ， MD ; 延长DE 至N ，使得EN ＝DE 连接AN ， CN.如图∵∠ABC ＝90° ∴AB ⊥MC又∵BM=CB ∴AM ＝AC ，∠MAC ＝2α 同理 AD ＝AN ，∠DAN ＝2α∴∠MAC ＋∠DAC ＝∠DAC ＋∠DAN 即 ∠MAD ＝∠NAC ∴△AMD ≌△CAN∴MD ＝CN, ∠AMD ＝∠ACN ∵BM ＝CB ∴B 为MC 的中点 又∵F 为CD 的中点∴12BF MD =, BF// MD同理12EF NC =, EF// NC∵MD ＝CN ∴BF ＝EF; ②再证∠BFE ＝1800－2α延长MD 分别交EF 、CN 于点T 、K 如图，∵BF// MD, EF// NC∴∠BFE ＝∠MTE ＝∠MKN∵∠MKN ＝∠KMC ＋∠KCM ＝∠KMC ＋∠NCA ＋∠ACM＝∠KMC ＋∠AMD ＋∠ACM ＝∠AMC ＋∠ACM ＝2∠ACM ＝2(900－α)＝1800－2α ∴∠BFE ＝1800－2α 或如图由△AMD ≌△CAN 得∠3＝∠4 又∵∠1＝∠2∴∠MKC ＝∠MAC ＝2α ∴∠BFE ＝1800－2α法二：取AC 的中点P ，取AD 的中点Q, 连接QE,QF ，BP ，PF可证△BPF ≌△FQE 得BF ＝EF ∠BFE ＝∠BFP ＋∠PFQ+∠QFE＝∠BFP ＋∠PBF ＋∠PFQ ＝1800－∠BPF ＋∠PFQ＝1800－∠BPC －∠C PF ＋∠PFQ ＝1800－∠BPC ＝1800－2α…………….6分28.（1）2P 和3P ；………2分 （2）312m −≤≤−；………4分 （3）抛物线c bx x y ++=2的顶点坐标为（－1，n ），可设解析式为2(1)y x n =++， 其关于原点对称的抛物线解析式为2(1)y x n =−−−．ABC 以O 逆时旋转90︒得到A B C ’’’，其中(1,1),(1,3),(2,3)AB C −−−’’’．……5分 当2(1)y x n =−−−过A ’，得到n 的最大值－5．……6分当2(1)y x n =−−−过C ’，得到n 的最小值－12．……7分BAC。
2024-2025学年北京市海淀区高三上学期10月月考数学质量检测试题(含解析)
第一部分（选择题共402024-2025学年北京市海淀区高三上学期10月月考数学质量检测试题分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中只有一个符合题目要求．1. 已知集合{}{}220,230A x xB x x x =-£=+-<∣∣，则集合A B =U （ ）A. (]1,2-B. ()3,1-C. (],2-¥D. (],3-¥【答案】C 【解析】【分析】明确集合A 、B ，再求A B U .【详解】由20x -≤Þ2x £，所以(],2A =-¥.由2230x x +-<Þ()()310x x +-<Þ31x -<<，所以()3,1B =-.所以(],2A B È=-¥.故选：C2. 设20.3a =，0.32b =，2log 0.3c =，则,,a b c 的大小关系为A. c b a << B. c a b<< C. a b c<< D. a c b<<【答案】B 【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性判断出a,b,c 的取值范围，从而可得结果.【详解】2000.30.31a <=<=Q ，0.30221b =>=，22log 0.3log 10c =<=，c a b \<<，故选B.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-¥+¥ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.3. 复数z 满足()1i 1iza =+-，在复平面内z 所对应的点在第三象限，则实数a 可能是（ ）A. 1 B. 2C. 1- D. ―2【答案】D 【解析】【分析】由复数的四则运算化为代数形式，然后得对应点坐标，列出不等式求解即可．【详解】由()1i 1iza =+-，可得：()()()1i 1i 11i z a a a =+-=++-，由于复平面内z 所对应的点在第三象限，所以1010a a +<ìí-<î，解得1a <-.故选：D.4. 已知直线1y kx =+与圆()2234x y +-=相交于,M N两点，且MN =，则k 值为（ ）A. 2或2-B.C. 1或1-D.【答案】B 【解析】【分析】利用点到直线的距离公式结合勾股定理建立方程，求解参数即可.【详解】由题意得圆()2234x y +-=的圆心为(0,3)，半径为2，直线1y kx =+可化为10kx y -+=，且设圆心到直线的距离为d ，由点到直线的距离公式得d ，因为MN =，所以由勾股定理得224+=，解得k =k =B 正确.故选：B5. 已知数列{a n }的前n 项和为n S ，若12n n a a +=-，且248a a +=，则下列说法错误的是（ ）A. {a n }是递减的等差数列B. 数列的首项为正数C. n S 的最大值是20D. 2025-是{a n }中的项【答案】D 【解析】【分析】由定义得数列{a n }为等差数列，利用已知求出首项和公差，对AB 选项进行判断；结合数列中各项的符号求n S 的最大值判断C 选项；由通项判断D 选项.【详解】12n n a a +=-，即12n n a a +-=-，则{a n }是公差为2-的等差数列，所以{a n }是递减的等差数列，A 选项正确；等差数列{a n }公差2d =-，由248a a +=，有1248a d +=，解得18a =，所以数列的首项为正数，B 选项正确；()()()11812210n a a n d n n =+-=+-´-=-+，4n £时，0n a >；5n =时50a =；6n ³时，0n a <，所以n S 的最大值为45864220S S ==+++=，C 选项正确；由210n a n =-+可知，{a n }中的项都是偶数，2025-不是{a n }中的项，D 选项错误.故选：D.6. “sin tan 0q q +<”是“q 为第二或第四象限角”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】利用三角函数象限角的符号特征结合充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】因为sin tan tan (cos 1)0q q q q +=+<，而cos 10q +³恒成立，所以只能是tan 0q <且cos 10q +>，所以q 为第二或第四象限角，因此sin tan 0q q +<是q 为第二或第四象限角的充要条件；故选：C.7. 已知1e r ，2e r 是单位向量，且122a e e =-r r r ，22b e =r r ，若a b ^r r ，则a b -=r r （ ）A. B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先根据a b ^r r ，求出12e e ×u r u u r ，再结合向量的数量积的性质求a b -r r .【详解】因为1e r ，2e r是单位向量，所以121e e ==r r.又a b ^r r ，所以0a b ×=rr ，所以()122220e e e -×=u r u u r u u r Þ22122221e e e e ×===u r u u r u u r u u r ，所以1212e e ×=u r u u r .又2222121212234912a b e e e e e e -=-=+-×r r u r u u r u r u u r u r u u r4967=+-=.所以a b -=r r故选：D8. 在ABC V 中，90A Ð=°，3AC =，4AB =，P 为ABC V 所在平面内的动点，且1PC =．则PA PB+uuu r uuu r的最大值为（ ）A. 12B. )21C.72D.1【答案】B 【解析】【分析】由已知求出点P 的轨迹为圆，再由平面向量的平行四边形法则得出2PA PB PD +=uuu r uuu r uuu r，PD 的最大值即圆心C 到定点D 的距离加上半径，代入化简求值即可．【详解】P 为ABC V 所在平面内的动点，且1PC =，点P 的轨迹为以C 为圆心，1为半径的圆，90A Ð=°，3AC =，4AB =，取AB 的中点D ，则2PA PB PD +=uuu r uuu r uuu r，()))maxmax2212121PA PBPDCD +==+=+=+uuu r uuu r uuu r .故选：B.9. 把液体A 放在冷空气中冷却，如果液体A 原来温度是1q ℃，空气的温度是0q ℃，则t min 后液体A 的温度q ℃可由公式()0.3010e tq q q q -=+-求得.现把温度是60℃的液体A 放在13℃的空气中冷却，液体A的的温度冷却到37℃和25℃所用的时间分别为1t min ，2t min ，则21t t -的值约为（ ）（参考数据：ln 20.69»，ln 3 1.10»）A. 2.3B. 2.7C. 3.7D. 4.7【答案】A 【解析】【分析】根据题目给的温度公式，代入计算即可.【详解】由已知()10.337136013e t -=+-，()20.325136013et -=+-，所以11024ln 347t =-，21012ln 347t =-，所以211012102410lnln ln 2 2.33473473t t -=-+=».故选：A10. 设计一条美丽的丝带，其造型也可以看作图中的曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O ，且C 上的点满足：横坐标大于3-，到点()3,0F 的距离与到定直线()0x a a =<的距离之积为9，则下列说法正确的个数是（ ）①3a =-；②若点()00,x y 在C上，则0x £；③在第一象限的点的纵坐标的最大值一定大于32；④当点()00,x y 在C 上时，满足0093y x <+．A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】9a -=，将原点坐标代入可得a ；通过放缩可得不等式，进一步可判断第二个序号；取33,2æöç÷èø即可判断第三、四个序号.【详解】对于①，由题意点(),P x y 在曲线C 9a -=，因为曲线C 过原点且0a <，所以393a a -=Þ=-，故①正确；对于②，若点()00,x y 在C上，220039399x x +=³+=-³-00x x Þ-££Þ£，故②正确；39+=中，令03x =，可得032=y ，故③错误；对于④，当点()00,x y 在C 上时，由③可知点33,2æöç÷èø不满足0093y x <+，故④错误；说法正确的个数是2.故选：B.【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理.第二部分（非选择题共110分）二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．11. 直线l ：30x y --=的倾斜角为______．【答案】π4【解析】【分析】化直线方程为斜截式，求出其斜率，进而求得倾斜角.【详解】直线l ：30x y --=方程化为：3y x =-，则直线l 的斜率为1，所以直线l 倾斜角为π4.故答案为：π412. 已知斜率为1的直线l 经过双曲线2212x y -=的右焦点，并且与圆222x y r +=相切，则圆的半径r =______．的【解析】【分析】求得双曲线右焦点，进而求得直线l ，利用点到直线的距离公式可求得圆的半径.【详解】由2212x y -=，可得222,1a b ==，所以c ==，所以2212x y -=右焦点坐标为，所以直线l的方程为(0y x -=，即0x y --=，又圆222x y r +=的圆心为坐标原点(0,0)O ，半径为r ，又直线l与圆相切，所以r d ===.13. 已知()2,2a =-r ，()1,0b =r ，c a tb =+r r r ，若,,a c b c =r r r r ，则实数t =______．【答案】【解析】【分析】由向量坐标的运算求出向量c r的坐标，再根据,,a c b c =r r r r ，利用向量夹角余弦公式列方程，求出实数t 的值．【详解】由()2,2a =-r ，()1,0b =r ，则()2,2c a tb t =+=-+rr r ，又,,a c b c =r r r r ，则cos ,cos ,a c b c =r r rr ，则a c b c a c b c ××=××r r r r r r r r ，即a b a bc c××=r r rr r r ，21t-+=，解得t=，故答案为：14. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，其中1a ，92，4a 成等差数列，238a a =．且n T 的有最大值，则6S =______；n T 的最大值是______．【答案】 ①.634②. 64【解析】【分析】由题意先求得1418a a =ìí=î或1481a a =ìí=î，分析可知只有1481a a =ìí=î满足题意，进一步结合等差数列、等比数列求和公式即可求解.【详解】由题意141231449188a a a a a a a a +==ììÞíí===îî或1481a a =ìí=î，当1418a a =ìí=î时，2q =，()()()()101112121112222n n n n n n T a a a a a a -++--====L L L ，此时n T 没有最大值，故这种情况不可能存在，所以只可能1481a a =ìí=î，此时12q =，()()210111732212111111822222n n n n nnn n n n T a a a a a a -++-----éùæöæöæö===×==êúç÷ç÷ç÷èøèøèøêúëûL L L ，而二次函数272x xy -=-的对称轴是 3.5x =，所以当3n =或4时，n T 有最大值且n T 的最大值是3464T T ==，()6616181126311412a q S qéùæö-êúç÷-èøêúëû===--.故答案为：634；64.15. 设函数y =f (x )图象上的两点A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)处的切线的斜率分别为A K ，B K ，规定：(),A BK K A B ABj -=（|AB |为线段AB 的长度）叫做曲线y =f (x )在点A 与点B 间的“弯曲度”．①存在函数，使得图象上任意不同两点间的“弯曲度”是一个常数；②函数sin y x =的图象上存在不同的A ，B 两点，使得()2,πA B j =；③抛物线2y x =上存在不同的A ，B 两点，使得(),2A B j >；④A ，B 是函数e x y =图象上任意不同的两点，则(),1A B j £．上述说法中所有正确结论的序号是______．【答案】①②④【解析】【分析】根据新概念“弯曲度”的定义求出相应函数的“弯曲度”(),A B j 一一验证即可，① ②题只需要举例子说明即可；③ ④题求出“弯曲度”并证明对应的不等式可得.【详解】对于①，取()f x x =，则()1f x ¢=，因()11,A x x ，()22,B x x ，有1A B K K ==,故此时，(),0A B j =为常数，故①正确；对于② ，因()sin f x x =，()cos f x x ¢=，因1122(,sin ),(,sin )A x x B x x ，有12cos ,cos A B K x K x ==，||AB =，于是，(),A B j =不妨取120,πx x ==，此时()2,πA B j ==，故②正确；对于③ ，因2()f x x =，则()2f x x ¢=，因122212(,),(,)A x x B x x ，(),A B j ==，又212()0x x +³2£，即(),2A B j £，故③错误；对于④ ，()e x f x =，则()e xf x ¢=，因()()1212,e ,,e x x A x B x ，则(),1A B j =，当且仅当12x x =时等号成立，故(),1A B j <,故 ④正确.故答案为：①②④.【点睛】本题考查新定义，属于创新题，解题关键是转化与化归思想．与新定义有关的命题真假判断，关键根据新定义进行计算，即计算“弯曲度”(),A B j ，计算出(),A B j 后再利用相应的知识进行证明即可．三、解答题：共6个小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16. 如图，在ABC V 中，π3B Ð=，7AC =，13cos 14BAD Ð=，点D 在BC 边上（不含端点），且3BD =．（1）求AB 的长；（2）求CD 的长．【答案】（1）8 （2）2【解析】【分析】（1）在ABD △中，已知cos BAD Ð和BD 的值，以及B Ð的值，可根据正弦定理sin sin a bA B=来求解AB .（2）先求出AB 后，在ABC V 中，根据余弦定2222cos AC AB BC AB BC B =+-××求出BC ，进而得到CD BC BD =-.【小问1详解】在ABD △中，因13cos 14BAD Ð=，且(0,π)BAD ÐÎ，根据22sin cos 1a a +=，可得sin BAD Ð==已知π3B Ð=，3BD =，根据正弦定理sin sin AB BD ADB BAD =ÐÐ.又因为πADB ADC Ð+Ð=，所以sin sin ADB ADC Ð=Ð，sin sin()ADB B BAD Ð=Ð+Ð.根据两角和的正弦公式sin()sin cos cos sin A B A B A B +=+，sin()sin cos cos sin B BAD B BAD B BAD Ð+Ð=ÐÐ+ÐÐ.把sin B Ð=1cos 2B Ð=，13cos 14BAD Ð=，sin BAD Ð=代入可得为131sin()142B BAD Ð+Ð=+=.再根据正弦定理sin sin AB BDADB BAD =ÐÐ，即sin 8sin BD ADB AB BADÐ===Ð.【小问2详解】已知8AB =，π3B Ð=，7AC =，在ABC V 中，根据余弦定理2222cos AC AB BC AB BC B =+-××.设BC x =，则222178282x x =+-´´，即249648x x =+-.整理得28150x x -+=，因式分解得(3)(5)0x x --=，解得3x =或5x =.因为3BD =，当3BC =时，D 与C 重合，不符合题意，所以5BC =.那么532CD BC BD =-=-=.17. 已知ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且sin cos a B b A c +=.（1）求B Ð；（2）从下列条件①，条件②，条件③中选择一个条件作为已知，使ABC V 存在且唯一确定，求ABC V 的面积.①6b =，8c =；②1cos22A =，b1+；③c =，a上的中线长为.注意：只能选一个作答，若多选，以第一个选择为准.【答案】（1）π4； （2）选②，1)ABC S =+V ；选③，16ABC S =V 【解析】【分析】（1）由正弦定理可得sin sin sin cos A B A B =，从而有sin cos B B =，即可得答案；（2）选①，则可得三角形有两个解，不符题意；选②，可得π6A =，π4B =，7π12C =，三角形存在且唯一，由正弦定理求出4AC =，再由面积公式计算即可；选③，取BC 边上中点D ，由AD AB =>=可得三角形存在且唯一，由余弦定理可得16BD =，从而求出ABD S V 的值，再利用2ABC ABD S S =△△求解即可.【小问1详解】因为sin cos a B b A c +=，由正弦定理可得sin sin sin cos sin A B B A C +=，即sin sin sin cos sin cos cos sin A B B A A B A B +=+，所以sin sin sin cos A B A B =，因为(0,π),sin 0A A ι，所以sin cos B B =，又因为cos 0,(0,π)B B ¹Î，所以tan 1B =，π4B =.【小问2详解】若选①，则有6b =，8c =，π4B =，此时sin c B =，则有sin c B b c <<，三角形有两个解，不唯一，不满足题意；若选②，则有π4B =，1cos22A =，边b1，由1cos22A =，可得π23A =或5π23A =，解得π6A =或5π6A =，当5π6A =时，5ππ13ππ6412A B +=+=>，与三角形的内角和定理矛盾，故舍去；所以π6A =，π4B =，则7π12C =，此时三角形存在且唯一，又因为边b上的高1BD =+，所以2AB BD =由sin sin AC AB B ACB =Ð，可得sin sin AB BAC ACB×==Ð=4==，所以1||||sin 1)2ABC S AB AC A =×××=+V ；若选③，则有c =，a 上的中线长为，π4B =，如图所示：此时a 上的中线长为AD AB =>=，所以三角形存在且唯一，在ABD △中，由余弦定理可得：2222cos AD AB BD AB BD B =+-××，即24082BD BD =+-×，整理得：24320BD BD --=，即(8)(4)0BD BD -+=，解得8BD =，所以11||||sin 8822ABD S AB BD B =×××=×=V ，所以216ABC ABD S S ==△△.18. 已知函数()π4cos sin 16f x x x æö=-+ç÷èø．（1）求函数()f x 的最小正周期以及单调递增区间；（2）若函数()f x 向左平移()0j j >个单位后，所得函数()g x 的图象关于π8x =对称，（ⅰ）求φ的最小值；（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若函数()()R y g x m m =-Î在区间11π0,24éùêúëû上存在零点，求m 的取值范围．【答案】（1）πT =，单调递增区间为：ππ[π,π+Z 63k k k -Î； （2）（ⅰ）5π24；（ⅱ）[1,2]m Î-；【解析】【分析】（1）由三角恒等变换得π()2sin(2)6f x x =-，根据三角函数的周期公式及正弦函数的性质求解即可；（2）（ⅰ）由题意可得()π()2sin(226g x f x x j j =+=+-，由πππ22π,Z 862k k j ´+-=+Î，可得π5π,Z 224k k j =+Î，求解即可；（ⅱ）将（ⅰ）中j 值代入，求出函数()g x 在11π0,24éùêúëû上的值域，即可得答案.【小问1详解】解：因为()π4cos sin 16f x x x æö=-+ç÷èø14cos cos )12x x x =-+2sin 2cos 1x x x =-+2cos 2x x=-π2sin(2)6x =-，所以2ππ2T ==；由πππ2π22π+,Z 262k x k k -£-£Î，解得ππππ+,Z 63k x k k -££Î，所以函数的单调递增区间为：ππ[π,π+],Z 63k k k -Î；【小问2详解】解：（ⅰ）由题意可得()π()2sin(226g x f x x j j =+=+-，又因为()g x 的图象关于π8x =对称，所以πππ22π,Z 862k k j ´+-=+Î，解得π5π,Z 224k k j =+Î，又因0j >，所以当0k =时，min 5π24j =；（ⅱ）令()0y g x m =-=，则()g x m =，为即()y g x =的图象与直线y m =在11π0,24éùêúëû上有交点.又因为5π24j =，所以()g x =π2sin(2+)4x ，因为11π0,24x éùÎêúëû，所以ππ7π26,44x éù+Îêúëû，所以π1sin(2,142x éù+Î-êúëû，[]π2sin(2)1,24x +Î-，即()[1,2]g x Î-，所以[1,2]m Î-.19. 已知椭圆E ：()222210+=>>x y a b a b ，且左、右顶点以及下顶点所构成的三角形的面（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线l ：()0y kx m km =+¹与椭圆E 交于A 、B 两点，与y 轴交于点P （与A 、B 不重合），线段AB 的垂直平分线与AB 交于点D ，与y 轴交于点Q ，O 为坐标原点．若DPO DQO S S =△△，求直线l 的斜率．【答案】（1）2213x y +=；（2）【解析】【分析】（1及已知三角形的面积，解方程组即可求出,a b ，得到椭圆方程；（2）设()11,,A x y B (x 2,y 2)，联立方程直线与椭圆方程，根据韦达定理得到212122263(1),1313km m x x x x k k-+=-×=++，求得AB 的垂直平分线方程，进而求出P Q ，的坐标，再根据条件DPO DQO S S =△△，即可求得斜率k .【小问1由题设知：122ab ï´=ïî， 解得1a b ==，，.∴椭圆E 的标准方程为：2213x y +=.【小问2详解】设()11,,A x y B (x 2,y 2)， 由l ：()0y kx m km =+¹得l 与y 轴的交点()0,P m ，联立2213x y y kx m ì+=ïíï=+î，消y 得：()222136330k x kmx m +++-=则()()()222Δ6413330km km=-+->，即22310k m -+>且212122263(1),1313km m x x x x k k-+=-×=++， ∴AB 的中点1212,22x x y y D ++æöç÷èø，即223,1313kmm D k k æö-ç÷++èø∴AB 的垂直平分线方程为：22131313m km y x k k k æö-=-+ç÷++èø，令0x =，得2213m k y -=+，∴220,13m Q k æö-ç÷+èø∵DPO DQO S S =△△ ∴OP OQ =∴2213m m k -=+，解得k =所以直线l的斜率为20. 已知函数()e xf x ax =-和()()ln Rg x ax x a =-Î．（1）当e a =时，直线l 为曲线()f x 过点()0,0的切线，求直线l 的方程；（2）若函数()ln g x ax x =-有两个零点，求实数a 的取值范围；（3）若当()0,x Î+¥，函数()2y f x =-和()y g x =有相同的最小值，求a 的值．【答案】（1）:0l y = （2）1(0,)ea Î （3）1【解析】【分析】（1）设切点，利用求导得到切线方程，代入点()0,0，求得1m =，回代即得切线方程;（2）利用参变分离法将问题转化为函数y a =与ln ()xh x x=有两个交点，结合函数图象即可求得；（3）由题意先求出参数a 的范围，利用导数分别求函数()2y f x =-和()y g x =在()0,¥+上的最小值，构造函数ln 1,()0(ln )p x x x x x x =--->，判断其单调性，结合(1)0p =即可求得参数a 的值.【小问1详解】当e a =时，()e e xf x x =-，()e e xf x ¢=-，设切点为(,e e )m A m m -，则()e e mk f m ¢==-切，故切线方程为：:(e e )(e e)()m m l y m x m --=--，因直线l 经过点()0,0，即得(e e )(e e)m m m m --=--，整理得：(1)e 0m m -=，因e 0m >，则1m =，故直线l 的方程为:0l y =；【小问2详解】因()ln g x ax x =-的定义域为(0,)+¥，由()0g x =可得ln xa x=，设ln ()xh x x =，则21ln ()x h x x -¢=，当0e x <<时，()0h x ¢>，则()h x 在(0,e)上单调递增；当e x >时，()0h x ¢<，则()h x 在(e,+)¥上单调递减，则e x =时，()h x 有极大值为1(e)eh =，且当0,x ®()h x ®-¥；当,()0x h x ®+¥®.作出函数ln ()xh x x=的图象如下:则函数()ln g x ax x =-有两个零点等价于函数y a =与ln ()xh x x=有两个交点，由图知，需使10e a <<，即1(0,)ea Î；【小问3详解】因()22e(2)x y f x a x -=-=--，则()22e x y f x a -=-=¢-¢，当0a £时，2e 0x y a -¢=->，即2e (2)x y a x -=--在R 上为增函数，此时函数无最小值，故0a >.由2e 0x y a -¢=-<解得02ln x a <<+；由2e 0x y a -¢=->解得2ln x a >+，即函数()2y f x =-在(0,2ln )a +上单调递减，在(2ln ,)a ++¥上单调递增.故()2y f x =-在2ln x a =+时有唯一的极小值即最小值，为ln min e ln ln ay a a a a a =-=-；因()ln y g x ax x ==-，(0)a >，则1()g x a x¢=-.由()0g x ¢<，可得10x a <<，由()0g x ¢>可得1x a>，即函数()y g x =在1(0,)a上单调递减，在1(,)a +¥上单调递增，故()y g x =在1x a =时有唯一的极小值即最小值，为min 1()(1ln g x g a a==+.由题意，ln 1ln a a a a -=+，即ln ln 10a a a a ---=，设ln 1,()0(ln )p x x x x x x =--->，则()1(ln 1)ln 11x xp x x x ¢==----+.再设1,()0(ln )q x x x x -=->，则221(1)1x x q x x x--+=¢=，当01x <<时，()0q x ¢>，则()q x 在(0,1)上单调递增；当1x >时，()0q x ¢<，则()q x 在(1,)+¥上单调递减，故max ()(1)10q x q ==-<，即()0p x ¢<，故()p x 在(0,)+¥上单调递减，又(1)0p =，故1x =是()p x 在(0,)+¥上的唯一零点.则由ln ln 10a a a a ---=可得1a =，即a 的值为1.【点睛】方法点睛：对于由函数的零点个数求参问题，一般可以考虑参变分离法，利用两函数的交点情况解决；也可利用导数讨论在参数的不同取值范围下，分析函数的图象变化趋势求得.21. 已知{}n a 是各项均为正整数的无穷递增数列，对于*k ÎN ，定义集合*{|}k i B i a k =Î<N ，设k b 为集合k B 中的元素个数，若k B =Æ时，规定0k b =.（1）若2n n a =，写出123,,b b b 及10b 的值；（2）若数列{}n b 是等差数列，求数列{}n a 的通项公式；（3）设集合**{|,},{|,}n n S s s n a n T t t n b n ==+Î==+ÎN N ，求证：*S T È=N 且S T Ç=Æ.【答案】（1）10b =，20b =，31b =，103b = （2）n a n = （3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据集合新定义求出前几项判断即可；（2）通过集合新定义结合等差数列性质求出11a =，然后利用反证法结合数列{}n a 的单调性求得11n n a a +-=，利用等差数列定义求解通项公式即可；（3）先利用集合性质得数列{}n n b +是递增数列，然后利用反证法结合数列{}n n b +的单调性证明S T Ç=Æ，由集合新定义及集合相等证明*S T È=N ．【小问1详解】因为2n n a =，所以123452,4,8,16,32a a a a a =====，则**12{|1},{|2}i i B i a B i a =Î<=Æ=Î<=ÆN N ，所以10b =，20b =，又{}*3{|3}1i B i a =Î<=N ，所以31b =，{}*10{|10}1,2,3i B i a =Î<=N ，所以103b =；【小问2详解】由题可知11a ³，所以1B =Æ，所以10b =.若12a m =≥，则2B =Æ，1{1}m B +=，所以20b =，11m b +=，与{}n b 是等差数列矛盾.所以11a =.设()*1n n n d a a n +=-ÎN，因为{}na 是各项均为正整数的递增数列，所以*ndÎN .假设存在*k ÎN 使得2k d ≥.设k a t =，由12k k a a +-≥得12k a t ++≥.由112k k a t t t a +=<+<+≤得t b k <，21t t b b k ++==，与{}n b 是等差数列矛盾.所以对任意*n ÎN 都有1n d =.所以数列{}n a 是等差数列，1(1)n a n n =+-=.【小问3详解】因为对于*n ÎN ，1n n B B +Í，所以1n n b b +£.所以111n n n n b n b n b ++++<++≤，即数列{}n n b +是递增数列.先证明S T Ç=Æ.假设S T ǹÆ，设正整数p S T ÎI .由于p S Î，故存在正整数i p <使得i p i a =+，所以i a p i =-.因为{}n a 是各项均为正整数的递增数列，所以11i a p i +-+≥.所以1p i b i -=-，1p i b i -+=.所以()11p i p i b p i i p --+=-+-=-，1(1)11p i p i b p i i p -+-++=-++=+.又因为数列{}n n b +是递增数列，所以p T Î/，矛盾.所以S T Ç=Æ.再证明*S T È=N .由题可知*S T ÈÍN .设*q ÎN 且q S Î/，因为数列{}n n a +是各项均为正整数的递增数列，所以存在正整数j ，使得j q j a <+.令0min{|}j j j q j a =<+.若01j =，则11q a <+，即11a q >-，所以1a q ≥.所以0q b =，所以q q b q T +=Î.若01j >，则000101j j j a q j a --+<<+，所以00101j j a q j a -<-+≤.所以0101q j b j -+=-，所以00100(1)11q j q j b q j j q -+-++=-++-=.因为001(1)q j q j b T -+-++Î，所以q T Î.所以*S T ÍÈN .综上，*S T È=N 且S T Ç=Æ.【点睛】方法点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.。
2024-2025学年北京市海淀区高三上学期10月月考数学质量检测试题
2024-2025学年北京市海淀区高三上学期10月月考数学质量检测试题第一部分（选择题共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中只有一个符合题目要求．1. 已知集合，则集合（）{}{}220,230A x xB x x x =-≤=+-<∣∣A B = A. B. (]1,2-()3,1-C.D.(],2-∞(],3-∞2. 设，，，则的大小关系为20.3a =0.32b =2log 0.3c =,,a b c A. B. C. D. c b a<<c a b<<a b c<<a c b<<3. 复数满足，在复平面内所对应的点在第三象限，则实数可能是（z ()1i 1i za =+-z a ）A. B. C. D. 121-−24. 已知直线与圆相交于两点，且，则值为1y kx =+()2234x y +-=,M N MN =k （）A. 或22-C .或或11-5. 已知数列的前项和为，若，且，则下列说法错误的是（{a n }n n S 12n n a a +=-248a a +=）A. 是递减的等差数列B. 数列的首项为正数{a n }C.的最大值是20D. 是中的项n S 2025-{a n }6. “”是“为第二或第四象限角”的（ ）sin tan 0θθ+<θA. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知，是单位向量，且，，若，则（ ）1e 2e 122a ee =- 22b e = ab ⊥a b -= A. 8.在中，，，，P 为所在平面内的动点，且ABC V 90A ∠=︒3AC =4AB =ABC V ．则的最大值为（ ）1PC =PA PB+ A. 12 B.C. )21+721+9.把液体A 放在冷空气中冷却，如果液体A 原来的温度是℃，空气的温度是℃，则1θ0θt min 后液体A 的温度℃可由公式求得.现把温度是60℃的液体A 放θ()0.3010e tθθθθ-=+-在13℃的空气中冷却，液体A 的温度冷却到37℃和25℃所用的时间分别为min ，min ，1t 2t 则的值约为（ ）（参考数据：，）21t t -ln 20.69≈ln 3 1.10≈A. 2.3B. 2.7C. 3.7D. 4.710. 设计一条美丽的丝带，其造型也可以看作图中的曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O ，且C 上的点满足：横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积3-()3,0F ()0xa a =<为9，则下列说法正确的个数是（ ）①；3a =-②若点在C 上，则；()00,x y 0x ≤③在第一象限的点的纵坐标的最大值一定大于；32④当点在C 上时，满足．()00,x y 0093y x <+A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个第二部分（非选择题共110分）二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分．11. 直线l ：的倾斜角为______．30x y --=12. 已知斜率为的直线经过双曲线的右焦点，并且与圆相切，则1l 2212x y -=222x y r +=圆的半径______．r =13. 已知，，，若，则实数______．()2,2a =-()1,0b =c a tb =+ ,,a c b c= t =14.已知等比数列的前n 项和为，前n 项积为，其中，，成等差数列，{}n a n S n T 1a 924a ．且有最大值，则______；的最大值是______．238a a =n T 6S =n T 15. 设函数图象上的两点，处的切线的斜率分别为，，规定：y =f (x )A (x 1,y 1)B (x 2,y 2)A K B K （为线段的长度）叫做曲线在点A 与点B 间的“弯曲(),A BK K A B ABϕ-=|AB |AB y =f (x )度”．①存在函数，使得图象上任意不同两点间的“弯曲度”是一个常数；②函数的图象上存在不同的A ，B 两点，使得；sin y x =()2,πA B ϕ=③抛物线上存在不同的A ，B 两点，使得；2y x =(),2A B ϕ>④A ，B 是函数图象上任意不同的两点，则．e x y =(),1A B ϕ≤上述说法中所有正确结论的序号是______．三、解答题：共6个小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16. 如图，在中，，，，点D 在BC 边上（不含端ABC V π3B ∠=7AC =13cos 14BAD ∠=点），且．3BD =（1）求AB 的长；（2）求CD 的长．17. 已知中，角所对的边分别为，且.ABC V ,,A B C ,,a b c sin cos a B b A c +=（1）求；B ∠（2）从下列条件①，条件②，条件③中选择一个条件作为已知，使存在且唯一确ABC V 定，求的面积.ABC V ①，；6b =8c =②，；1cos22A =b 1+③，上的中线长为.c =a 注意：只能选一个作答，若多选，以第一个选择为准.18. 已知函数．()π4cos sin 16f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭（1）求函数的最小正周期以及单调递增区间；()f x （2）若函数向左平移个单位后，所得函数的图象关于对称，()f x ()0ϕϕ>()g x π8x =（ⅰ）求φ的最小值；（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若函数在区间上存在零点，求的()()R y g x m m =-∈11π0,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦m 取值范围．19. 已知椭圆E ：，且左、右顶点以及下顶点所构成()222210+=>>x y a b a b（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线l ：与椭圆E 交于A 、B 两点，与y 轴交于点P （与A 、B()0y kx m km =+≠不重合），线段AB 的垂直平分线与AB 交于点D ，与y 轴交于点Q ，O 为坐标原点．若，求直线l 的斜率．DPO DQOS S=△△20. 已知函数和．()e x f x ax =-()()ln R g x ax x a =-∈（1）当时，直线l 为曲线过点的切线，求直线l 的方程；e a =()f x ()0,0（2）若函数有两个零点，求实数a 的取值范围；()lng x ax x =-（3）若当，函数和有相同的最小值，求a 的值．()0,x ∈+∞()2y f x =-()y g x =21. 已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合{}n a *k ∈N ，设为集合中的元素个数，若时，规定.*{|}k i B i a k =∈<N k b k B k B =∅0k b =（1）若，写出及的值；2nn a =123,,b b b 10b （2）若数列是等差数列，求数列的通项公式；{}n b {}n a （3）设集合，求证：且**{|,},{|,}n n S s s n a n T t t n b n ==+∈==+∈N N *S T ⋃=N .S T ⋂=∅。
北京市2025届高三上学期9月月考数学试题含答案
2024年9月份高三数学试卷月考试卷（答案在最后）一、选择题共10题，每题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.设复数()=2z i i -，则z =（）A.B.C.3 D.5【答案】B 【解析】【分析】求得z 后再求模长即可.【详解】()=221z i i i -=+,故z ==.故选：B【点睛】本题主要考查了复数的基本运算与模长运算等.属于基础题型.2.已知集合{}0,1,2A =，{}03B x x =∈<<N ，则A B = （）A.{}0,1 B.{}1,2 C.{}0,1,2 D.{}0,1,2,3【答案】C 【解析】【分析】根据并集的定义即可求解.【详解】因为{}0,1,2A =，{}{}031,2B x x =∈<<=N ，所以{}0,1,2A B ⋃=.故选：C3.下列函数中，在区间()0,∞+上单调递减的是（）A.2log y x =B.2xy -= C.y =D.3y x =【答案】B 【解析】【分析】根据函数解析式直接判断单调性.【详解】A 选项：函数2log y x =的定义域为()0,∞+，且在()0,∞+上单调递增，A 选项错误；B 选项：函数122xxy -⎛⎫== ⎪⎝⎭的定义域为R ，且在R 上单调递减，B 选项正确；C 选项：函数y =的定义域为[)1,-+∞，且在[)1,-+∞上单调递增，C 选项错误；D 选项：函数3y x =的定义域为R ，且在R 上单调递增，D 选项错误；故选：B.4.“0a b >>”是“33a b >”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合指数函数的单调性即可得出答案.【详解】因为指数函数3x y =单调递增，由0a b >>可得：33a b >，充分性成立，当33a b >时，a b >，但不一定0a b >>，必要性不成立，故选：A5.已知球O 的半径为2，球心到平面α的距离为O 被平面α截得的截面面积为（）A.πB.C.3πD.【答案】A 【解析】【分析】根据球的性质可求出截面圆的半径即可求解.【详解】设截面圆半径为r ，由球的性质可知：则截面圆的半径1r ==，所以球O 被平面α截得的截面面积为2S r ππ==，故选：A .6.在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，其终边过点()4,3P ，则tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A.7- B.17-C.1D.7【答案】D 【解析】【分析】由终边经过点的坐标可求tan α，再利用两角和的正切公式即可求解.【详解】由终边过点()4,3P ，可得3tan 4α=，所以3tan tan144tan 7341tan tan 144παπαπα++⎛⎫+=== ⎪⎝⎭--.故选：D7.已知()f x 为定义在R 上的函数，()22f =，且()()22g x f x x =+为奇函数，则()2f -=（）A.4-B.2- C.0 D.2【答案】A 【解析】【分析】根据奇函数的性质，进行赋值求解即可.【详解】因为2()(2)g x f x x =+是奇函数，所以有(1)(1)(2)1(2)10g g f f -+=-+++=即(2)4f -=-.故选：A8.木楔在传统木工中运用广泛.如图，某木楔可视为一个五面体，其中四边形ABCD 是边长为2的正方形，且,ADE BCF 均为等边三角形，//EF CD ，4EF =，则该木楔的体积为（）A.B.C.3D.3【答案】D 【解析】【分析】如图，分别过点A ，B 作EF 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接,DG CH ，取AD 的中点O ，连接GO，求出ADG BCH S S ==△△，结合三棱锥和三棱柱的体积公式计算即可.【详解】如图，分别过点A ，B 作EF 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接,DG CH ，则由题意等腰梯形ABEF 全等于等腰梯形CDEF ，则421,2EG HF AG GD BH HC -=======.取AD 的中点O ，连接GO ，因为AG GD =，所以GO AD ⊥，则GO ==，∴22ADG BCH S S ===△△.因为//AB EF ，AG EF ⊥，所以AB AG ⊥，因为四边形ABCD 为正方形，所以AB AD ⊥，又因为AD AG A = ，,AD AG ⊂平面ADG ，所以AB ⊥平面ADG ，所以⊥EF 平面AGD ，同理可证⊥EF 平面BCH ，∴多面体的体积2E ADG F BCH AGD BHC E ADG AGD BHCV V V V V V -----=++=+三棱锥三棱锥三棱柱三棱锥三棱柱18212233=⨯+=，故选：D.9.已知ABC V 是边长为2的等边三角形，点D 在线段AB 上，2AD DB =，点E 在线段CD 上，且CAE 与CDB △的面积相等，则AE BC ⋅的值为（）A.23-B.13-C.13D.23【答案】C 【解析】【分析】由CAE 与CDB △的面积相等以及2AD DB =可得2ACD CAE S S = ，从而E 是CD 的中点，再根据数量积的定义即可求得AE BC ⋅.【详解】如图所示：2AD DB =，2ACD CDB S S ∴= ，而△△=CAE CDB S S ，2ACD CAE S S ∴= ，所以E 是CD 的中点，43AD =，23BD =，111()222A AC AD BC AC B A E BC C D BC=+⋅=⋅+⋅⋅ 11cos cos()22AC BC C AD BC B =⋅+⋅π-111411222(222323=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-=.故选：C10.现实生活中，空旷田野间两根电线杆之间的电线与峡谷上空横跨深涧的观光索道的钢索有相似的曲线形态，这类曲线在数学上常被称为悬链线.在合适的坐标系中，这类曲线可用函数()()2e 0,e 2.71828ex xa b f x ab +=≠= 来表示.下列结论正确的是（）A.若0ab >，则函数()f x 为奇函数B.若0ab >，则函数()f x 有最小值C.若0ab <，则函数()f x 为增函数D.若0ab <，则函数()f x 存在零点【答案】D 【解析】【分析】根据函数奇偶性、单调性、最值以及零点的判断和求解方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A ：取1a b ==，满足0ab >，此时()e exxf x -=+，其定义域为R ，关于原点对称，且()()f x f x =-，此时()f x 为偶函数，故A 错误；对B ：()e e x x f x a b -=+，令e ,0x t t =>，故b a y a t t ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪⎝⎭若存在最小值，则()f x 有最小值，因为0ab >，故0ba>，根据对勾函数的单调性可知，,0ba y t t t=+>有最小值，无最大值，故当0a <时，,0b a y a t t t ⎛⎫ ⎪=+> ⎪ ⎪⎝⎭有最大值没有最小值，故B 错误；对C ：当0,0a b 时，满足0ab <，又e x y a =是单调减函数，e x y b -=是单调减函数，故()e exxf x a b -=+是单调减函数，故C 错误；对D ：令()0f x =，即e e 0x x a b -+=，则2e xb a =-，因为0ab <，故0ba->，解得1ln 2b x a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故当0ab <，1ln 2b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭即为函数零点，故D 正确.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题综合考查函数的性质，处理问题的关键是充分把握函数单调性和奇偶性的判断方法以及函数零点的求解过程，属综合中档题.二、填空题共5题，每题5分，共25分．11.函数()11f x x =++的定义域是_______________.【答案】[)()2,11,---+∞ 【解析】【分析】列出需满足的不等式，再取交集即为函数定义域.【详解】由题意，2010x x +≥⎧⎨+≠⎩，解得2x ≥-且1x ≠-，所以()f x 的定义域为[)()2,11,---+∞ ，故答案为：[)()2,11,---+∞ 12.已知向量()1,a m =- ，()2,1b =r ，且a b ⊥，则m =______.【答案】2【解析】【分析】由向量垂直的坐标表示即可求解.【详解】因为()1,a m =- ，()2,1b =r ，且a b ⊥，所以0a b ⋅=，即1210m -⨯+⨯=，解得2m =.故答案为：213.将函数()()πcos 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向左平移π个单位长度后得到函数()g x 的图象，则()πg -=______；若()g x 为偶函数，则ω的最小值是______.【答案】①.2②.56【解析】【分析】根据三角函数的图象变换关系求出()g x 的解析式，从而可得()πg -的值；再利用函数是偶函数建立方程进行求解即可．【详解】解：将函数()()πcos 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象向左平移π个单位长度后得到函数()g x 的图象，即()()ππcos πcos π66g x x x ωωω⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以()πππcos ππcos 662g ωω⎛⎫-=-++== ⎪⎝⎭；若函数()g x 为偶函数，则πππ6k ω+=，Z k ∈，得16k ω=-+，Zk ∈0ω> ，∴当1k =时，ω取得最小值为56，故答案为：32；56．14.已知函数()()2ln ,1,,1,x x f x x a x ≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩其中a ∈R .若0a =，则函数()f x 的值域是______；若函数()1y f x =-有且仅有2个零点，则a 的取值范围是______.【答案】①.[0,)+∞②.(2,0]-【解析】【分析】（1）由分段函数分别求值域即可；（2）易知在1x <和1x ≥时，()1y f x =-分别有一个零点，由二次函数的零点分布情况即可求解.【详解】（1）0a =时，()2ln ,1,1x x f x x x ≥⎧=⎨<⎩，当1x ≥时，()ln ln10f x x =≥=，当1x <时，2()0f x x =≥，综上：()0f x ≥，即函数()f x 的值域是[0,)+∞.（2）()()2ln 1,111,1x x y f x x a x -≥⎧⎪=-=⎨+-<⎪⎩，当1x ≥时，令ln 10x -=，得e x =，故在[1,)+∞上，函数()1y f x =-有一个零点e x =，当1x <时，设()2()1x g x a =+-，由题意可知：()2()1x g x a =+-在(,1)-∞上有且仅有一个零点，所以1(1)0a g -<⎧⎨=⎩或(1)0<g ，解得0a =或20a -<<，所以a 的取值范围是(2,0]-.故答案为：[0,)+∞；(2,0]-.15.已知{}n a 是各项均为正数的无穷数列，其前n 项和为n S ，且()111N *n nn a S +=∈.给出下列四个结论：①1322S S S +<；②1322a a a +>；③对任意的Ν*n ∈，都有11n a n≤+；④存在常数1A >，使得对任意的*n ∈N ，都有n a A >，其中所有正确结论的序号是______.【答案】①②③【解析】【分析】首先由题设条件分析出数列{}n a 与n S 的增减性，根据n a 和n S 随着n 增大的变化情况可以判断①；然后分析1322a a a +>，发现其实际上为，3221a a a a ->-，即可以想到判断112n n n n a a a a ---->-是否成立，可建立关于()112n n n n a a a a ------的代数式，通过此对代数式正负的判断，即可判断112n n n n a a a a ---->-，即可判断②；我们可以将③中的题设转化为判断1n S n -≥是否成立，我们发现{}n a 的每一项都是大于1的，而n 个大于1的数相加大于n 个1相加，而当1n =时，1111211S a -=-=-=，即可判断1n S n -≥，即可判断③；而根据前面的研究，可以较易对④作出判断.【详解】由题意知：0n a >，∴0n S >，∵()111N *n n n a S +=∈，∴1111n na S =-<，∴1n a >，1n S >，又11111111121a S a a a +=+==，∴12a =，∵1111n n n n S a S S -=-=，∴1n n n S a S =-，∴()()()()()()1111111111111111n n n n n n n nn n n n n n n n S S S S S S S S a a S S S S S S -------------=-==------，∵n S 随着n 的增大而增大，∴10n n S S --<，∴()()11011n nn n S S S S ---<--，∴10n n a a --<，即1n n a a -<，∴n a 随着n 的增大而减小，故：{}n a 为正项单调递减无穷数列，且112n a a <≤=，∴1311231213121222S S a a a a a a a a a a a a S +=+++=+++<+++=，故①正确；∵()()11111n n n n n n S S a a S S -----=--，∴()()21121211n n n n n n S S a a S S --------=--，∴()()()()()1211121121111n n n n n n n n n n n n S S S S a a a a S S S S --------------=-----()()()()()()()12211211111n n n n n n n n n S S S S S S S S S -----------=---()()()()()()()()12111211111n n n n n n n n n n n S S S S a S a S S S S -------------⎡⎤⎣⎦=---()()()()()()()()12111211111n n n n n n n n n n n S S S S S a a S S S S ----------+--⎡⎤⎣⎦=---()()()()()()()()()121112111111n n n n n n n n n n n n S S S S S S a a S S S S --------------=---()()()()()()()121121111n n n n n n n n n n S S S S a a S S S S ----------=---，∵n S 随着n 的增大而增大，∴10n n S S --<，20n n S S --<，∴()()120n n n n S S S S ---->，n a 随着n 的增大而减小，∴10n n a a --<，10n S ->，∴()()110n n n a a S ---<，∴()()()()()()()1211210111n n n n n n n n n n S S S S a a S S S S ---------->---，∴()1120n n n n a a a a ------>，∴112n n n n a a a a ---->-，∴3221a a a a ->-，即：1322a a a +>，故②正确；∵1111111n n n n n n S S a S S S -+===+---，∴要判断11n a n≤+，即判断：11111n S n +≤+-，即判断：111n S n≤-，即判断：1n S n -≥，而1222112111n n n n S a a a a a a a n n -=-+++=-+++=+++≥⨯= ，当且仅当1n =时取等号，∴1n S n -≥对任意的Ν*n ∈都成立，∴对任意的Ν*n ∈，都有11n a n≤+，故③正确；根据以上分析可以得出：{}n a 为12n a <≤，随着n 的增大而减小的递减数列，且随着n 的增大，n a 的值无限接近1，∴存在常数1A >，对任意的Ν*n ∈，当n 足够大时，总会有1n a A <<，故④错误.故答案为：①②③.三、解答题共6题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知函数()2sin 22cos f x x x =-.（1）求()f x 的最小正周期及值域；（2）求()f x 的单调递增区间.【答案】（1）最小正周期为π，值域为1⎡⎤⎣⎦；（2）3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换将()f x 化为标准型，再求其性质即可；（2）根据（1）中所求，结合正弦函数的单调增区间，列出不等式，即可求得结果.【小问1详解】()2sin 22cos f x x x =-sin 2cos 21214x x x π⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，故()f x 的最小正周期22T ππ==，()f x 的值域为1⎡⎤⎣⎦.【小问2详解】根据（1）中所求，()214f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，令222,242k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，解得3,,88x k k k Z ππππ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦.故()f x 的单调增区间为：3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.17.已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足a 1=b 1=1,a 2+a 4=10,b 2b 4=a 5．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求和：13521n b b b b -++++…．【答案】（1）a n =2n −1.（2）312n -【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）设等差数列的公差为d ，代入建立方程进行求解；（Ⅱ）由{}n b 是等比数列，知{}21n b -依然是等比数列，并且公比是2q ，再利用等比数列求和公式求解.试题解析：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d .因为a 2+a 4=10，所以2a 1+4d =10.解得d =2.所以a n =2n −1.（Ⅱ）设等比数列的公比为q .因为b 2b 4=a 5，所以b 1qb 1q 3=9.解得q 2=3.所以2212113n n n b b q---==.从而21135213113332n n n b b b b ---++++=++++=.【名师点睛】本题考查了数列求和，一般数列求和的方法：（1）分组转化法，一般适用于等差数列+等比数列的形式；（2）裂项相消法求和，一般适用于，,等的形式；（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列⨯等比数列的形式；（4）倒序相加法求和，一般适用于首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和与倒着写和，两式相加除以2即可得到数列求和.18.在ABC V 中，a =，π6B =．再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC V 存在且唯一，并求（1）c 的值；（2）ABC V 的面积．条件①：1b =；条件②：2b =；条件③：cos 4A =．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）6142c =（2）4ABC S = 【解析】【分析】（1）若选①，根据sin a B b <<，由作圆法知满足条件的ABC V 有两个，不合题意；若选②，根据sin b a B >>，由作圆法知满足条件的ABC V 有且仅有一个，利用余弦定理可构造方程求得c 的值；若选③，利用正弦定理可求得b，由余弦定理可构造方程求得c的值；（2）利用三角形面积公式可直接求得结果.【小问1详解】若选条件①，πsin62a B==，sina B b<<∴满足条件的ABCV有两个，不合题意，∴不能选择条件①；若选条件②，πsin62a B==，sinb a B>>，∴满足条件的ABCV有且仅有一个，由余弦定理得：22222cos24b ac ac B c=+-=+=，解得：2c=或2c=（舍），2c∴=；若选条件③，()0,πA∈，cos4A=，sin4A∴==；由正弦定理得：πsin62sin24a BbA==，由余弦定理得：22222cos24b ac ac B c=+-=+=，解得：2c=或2c=（舍），则满足条件的ABCV有且仅有一个，2c+∴=.【小问2详解】由（1）知：2c=，111sin22224ABCS ac B++∴==⨯=.19.已知函数()e cosxf x x x=-．（Ⅰ）求曲线()y f x=在点(0,(0))f处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x在区间π[0,2上的最大值和最小值．【答案】(Ⅰ)1y=；（Ⅱ）最大值1；最小值2π-.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式()()()000y f f x ¢-=-中即可；（Ⅱ）设()()h x f x ='，求()h x '，根据()0h x '<确定函数()h x 的单调性，根据单调性求函数的最大值为()00h =，从而可以知道()()0h x f x '=<恒成立，所以函数()f x 是单调递减函数，再根据单调性求最值.试题解析：（Ⅰ）因为()e cos xf x x x =-，所以()()()ecos sin 1,00xf x x x f -''=-=.又因为()01f =，所以曲线=op 在点()()0,0f 处的切线方程为1y =.（Ⅱ）设()()e cos sin 1xh x x x =--，则()()e cos sin sin cos 2e sin x x h x x x x x x =--=-'-.当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，所以()h x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.所以对任意π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦有()()00h x h <=，即()0f x '<.所以函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.因此()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()01f =，最小值为22f ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的是需要两次求导数，因为通过()f x '不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设()()h x f x ='，再求()h x '，一般这时就可求得函数()h x '的零点，或是()0h x '>(()0h x '<)恒成立，这样就能知道函数()h x 的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断()y f x =的单调性，最后求得结果.20.已知()e 1xf x ax =--，a ∈R ，e 是自然对数的底数.（1）当1a =时，求函数()y f x =的极值；（2）若关于x 的方程()10f x +=有两个不等实根，求a 的取值范围；（3）当0a >时，若满足()()()1212f x f x x x =<，求证：122ln x x a +<.【答案】（1）极小值为0，无极大值.（2）()e,∞+（3）证明见解析【解析】【分析】（1）把1a =代入函数()f x 中，并求出′，根据′的正负得到()f x 的单调性，进而求出()f x 的极值.（2）()10f x +=等价于y a =与()exg x x=的图象有两个交点，求导得到函数=的单调性和极值，画出=的大致图象，数形结合求解即可.（3）求出′，并得函数=在(),ln a ∞-上单调递减，在()ln ,a ∞+上单调递增，可得则()1,ln x a ∞∈-，()2ln ,x a ∞∈+，要证122ln x x a +<，只需证122ln x a x <-，只需证()()122ln f x f a x >-，即证()()222ln f x f a x >-，令()()()2ln h x f x f a x =--，对ℎ求导证明即可.【小问1详解】当1a =时，()e 1x f x x =--，定义域为R ，求导可得()e 1xf x '=-，令()0f x '=，得0x =，当0x <时，′<0，函数()f x 在区间(),0∞-上单调递减，当0x >时，′>0，函数()f x 在区间0,+∞上单调递增，所以=在0x =处取到极小值为0，无极大值.【小问2详解】方程()1e 0xf x ax +=-=，当0x =时，显然方程不成立，所以0x ≠，则e xa x=，方程有两个不等实根，即y a =与()e xg x x =的图象有2个交点，()()21e x x g x x -'=，当0x <或01x <<时，()0g x '<，()g x 在区间(),0∞-和0,1上单调递减，并且(),0x ∞∈-时，<0，当∈0,1时，>0，当1x >时，()0g x '>，()g x 在区间1,+∞上单调递增，0x >时，当1x =时，()g x 取得最小值，()1e g =，作出函数=的图象，如图所示：因此y a =与()ex g x x=有2个交点时，e a >，故a 的取值范围为()e,∞+.【小问3详解】证明：0a >，由()e 0xf x a ='-=，得ln x a =，当ln x a <时，()0f x '<，当ln x a >时，()0f x '>，所以函数=在(),ln a ∞-上单调递减，在()ln ,a ∞+上单调递增.由题意12x x <，且()()12f x f x =，则()1,ln x a ∞∈-，()2ln ,x a ∞∈+.要证122ln x x a +<，只需证122ln x a x <-，而122ln ln x a x a <-<，且函数()f x 在(),ln a ∞-上单调递减，故只需证()()122ln f x f a x >-，又()()12f x f x =，所以只需证()()222ln f x f a x >-，即证()()222ln 0f x f a x -->，令()()()2ln h x f x f a x =--，即()()2ln 2e 1e2ln 1e e 22ln xa xx xh x ax a a x a ax a a --⎡⎤=------=--+⎣⎦，()2e e 2x x h x a a -'=+-，由均值不等式可得()2e e 220x x h x a a a -=+-≥='，当且仅当2e e x x a -=，即ln x a =时，等号成立.所以函数ℎ在上单调递增.由2ln x a >，可得()()2ln 0h x h a >=，即()()222ln 0f x f a x -->，所以()()122ln f x f a x >-，又函数()f x 在(),ln a ∞-上单调递减，所以122ln x a x <-，即122ln x x a +<得证.21.给定正整数2n ≥，设数列12,,...,n a a a 是1,2,...,n 的一个排列，对{}1,2,...,i n ∈，i x 表示以i a 为首项的递增子列的最大长度，i y 表示以i a 为首项的递减子列的最大长度.（1）若4n =，11a =，24a =，32a =，43a =，求1x 和2y ；（2）求证：{}1,2,...,1i n ∀∈-，()()22110i i i i x y x y ++-+-≠；（3）求1niii x y=-∑的最小值.【答案】（1）13x =，22y =（2）证明见解析（3）当n 为偶数时，1ni i i x y =-∑的最小值是2n；当n 为奇数时，1ni i i x y =-∑的最小值是12n -.【解析】【分析】（1）直接根据定义求解；（2）分情况讨论证明11i i i i x y x y ++-≠-，故可推知i i x y -和11i i x y ++-不能同时为零，进而得到结论；（3）对n 的奇偶性分情况讨论，并利用小问2得到的结果即可.【小问1详解】以1a 为首项的最长递增子列是134,,a a a ，以2a 为首项的最长递减子列是23,a a 和24,a a .所以13x =，22y =.【小问2详解】对{}1,2,...,1i n ∈-，由于12,,...,n a a a 是1,2,...,n 的一个排列，故1i i a a +≠.若1i i a a +<，则每个以1i a +为首项的递增子列都可以在前面加一个i a ，得到一个以i a 为首项的更长的递增子列，所以1i i x x +>；而每个以i a 为首项的递减子列都不包含1i a +，且1i i a a +<，故可将i a 替换为1i a +，得到一个长度相同的递减子列，所以1i i y y +≤.这意味着11i i i i x y x y ++->-；若1i i a a +>，同理有1i i y y +>，1i i x x +≤，故11i i i i x y x y ++-<-.总之有11i i i i x y x y ++-≠-，从而i i x y -和11i i x y ++-不能同时为零，故()()22110i i i i x y x y ++-+-≠.【小问3详解】根据小问2的证明过程知i i x y -和11i i x y ++-不能同时为零，故111i i i i x y x y ++-+-≥.情况一：当n 为偶数时，设2n k =，则一方面有()21212211112nk ki i i i i i i i i n x y x y x y k --===-=-+-≥==∑∑∑；另一方面，考虑这样一个数列12,,...,n a a a ：2121i ia k i a k i -=-+⎧⎨=+⎩，1,2,...,i k =.则对1,2,...,i k =，有21221i i x k i x k i -=-+⎧⎨=-+⎩，21211i iy k i y k i -=-+⎧⎨=-+⎩.故此时212111112nk ki i i i i i i nx y x y k --===-=-===∑∑∑.结合以上两方面，知1ni i i x y =-∑的最小值是2n .情况二：当n 为奇数时，设21n m =-，则一方面有()11121212211111112nn m m i i i i i i i i i i i i n x y x y x y x y m -----====--≥-=-+-≥=-=∑∑∑∑；另一方面，考虑这样一个数列12,,...,n a a a ：1221i i a m a m i a m i +=⎧⎪=+⎨⎪=-⎩，1,2,...,1i m =-.则对1,2,...,1i m =-，有1221i i x m x m i x m i +=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，12211i i y m y m i y m i +=⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩.故此时11221111112nm m i i i i i i i n x y x y m --===--=-==-=∑∑∑.结合以上两方面，知1ni i i x y =-∑的最小值是12n -.综上，当n 为偶数时，1ni i i x y =-∑的最小值是2n；当n 为奇数时，1niii x y=-∑的最小值是12n -.【点睛】关键点点睛：求最小（或最大）值的本质在于，先证明所求的表达式一定不小于（或不大于）某个数M ，再说明该表达式在某种情况下能取到M ，就得到了最小（或最大）值是M ，这便是“求最小（或最大）值”的本质.而在这个过程中，“想到M 的具体取值”这个过程并不存在绝对的逻辑性，可以穷尽各种手段，包括直觉、大胆猜测、高观点等，去猜出M 的值，这些内容也无需在证明过程中呈现.只要证明合乎逻辑，“如何想到M 的取值”无需交代，不影响解答的正确性.换言之，所谓“求”，便是“猜出结果，再证明结果正确”，与“算出”、“得出”本就是无关的.在高考范围内，大多数最小值和最大值问题都能够直接化为某个显而易见，容易刻画的模型，然后“直接算出”，但不可将此作为万能法宝，忘记了最小值最大值的原始定义和本质.。
2025届北京一零一中高三数学上学期统练试卷(三)附答案解析
北京一零一中2024-2025 学年度第一学期高三数学统练三班级：＿＿＿＿学号：＿＿＿＿姓名：＿＿＿＿成绩：＿＿＿＿一、选择题共 10小题.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 在复平面内，复数z 满足i 34i z =-，则z 的虚部为（ ）A. 3i B. 3i -C. 3 D. 3-【答案】D 【解析】【分析】由 i 34i z =-，化简得到43i z =--求解.【详解】解：因为复数 z 满足 i 34i z =-， 所以34i43i iz -==--，所以z 的虚部为-3，故选：D2. 已知{}n b 是等比数列，若23b =，627b =，则4b 的值为（ ）A. 9 B. 9- C. 9± D. 81【答案】A 【解析】【分析】根据等比中项的性质即可得到答案.【详解】由题得242632781b b b =×=´=，而2420b b q =×>，则49b =，故选：A.3. 已知函数()f x 的导函数()f x ¢的图象如图所示，则()f x 的极小值点为（ ）A. 1x 和4xB. 2xC. 3xD. 5x 【答案】D【解析】【分析】根据导函数的图像，确定导函数取得正负的区间，得到原函数的单调性，从而可得选项.【详解】因为当()3,x x Î-¥，()0f x ¢>，所以()f x 单调递增；当()35,x x x Î时，()0f x ¢<，当()5,x x Î+¥时，()0f x ¢>，所以()f x 在()35,x x 上单调递减，在()5,x +¥上单调递增，故()f x 的极小值点为5x .故选：D.4. 在同一个坐标系中，函数()log a f x x =，()xg x a-=，()ah x x =的图象可能是（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】先根据的单调性相反排除AD ，然后根据幂函数图象判断出a 的范围，由此可得答案.【详解】因为在同一坐标系中，所以函数()log a f x x =，()1xx g x a a -æö==ç÷èø的单调性一定相反，且图象均不过原点，故排除AD ；在BC 选项中，过原点的图象为幂函数()ah x x =的图象，且由图象可知01a <<，所以()log a f x x =单调递减，()1xx g x a a -æö==ç÷èø单调递增，故排除B ，所以C 正确.故选：C.5. 已知实数,0a b c abc >>¹，则下列结论一定正确的是（ ）A. a a b c >B. ab bc >C. 11a c< D. 2ab bc ac b +>+【答案】D 【解析】【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可.【详解】解：由题可知，0,0,0a b c ¹¹¹，A 项中，若0a b c >>>，则a ab c<，故A 项错误；B 项中，若0>>>a b c ，则0,0ab bc <>，故ab bc <，故B 项错误；C 项中，若0>>>a b c ，则11a c>，故C 项错误；D 项中，22()()ab ac b bc a ab bc b c b c a b c b Þ->-Þ-+>->+，因为,0a b c abc >>¹，则0b c ->，故2ab bc ac b +>+正确，故D 项正确.故选：D.6. 设,a b r r 是非零向量，则“a b a b +=-r r r r ”是“//a b r r”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据题意利用平面向量的三角不等式可得结论.【详解】对于充分性，易知a b a b +=-r r r r 成立的条件是,a b r r 方向相反，且a b >rr ，所以由a b a b +=-r r r r 可得//a b r r，所以充分性成立；对于必要性，若//a b r r ，,a b r r的方向也可以相同，此时满足a b a b +=+r r r r ，因此必要性不成立，所以“a b a b +=-r r r r ”是“//a b r r”的充分而不必要条件.故选：A.7. 已知函数()()()cos 20,πf x A x A j j =+><是奇函数，且3π14f æö=-ç÷èø，将()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象对应的函数为()g x ，则（ ）A. ()sin g x x = B. ()sin g x x=-C. ()πcos 4g x x æö=+ç÷èøD. ()πcos 4g x x æö=-ç÷èø【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数的性质及图象变换计算即可.【详解】由题意可知()ππZ 2k k j =+Î，π<j ，所以π2j =或π2j =-，由3π3π1cos 142f A j æöæö=-=+=-ç÷ç÷èøèø因为3π0cos 02A j æö>Þ+<ç÷èø，所以π,12A j =-=，即()πcos 2sin 22f x x x æö=-=ç÷èø，故()sin g x x =.故选：A .8. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.若甲、乙两同学当下的知识储备量均为a ，甲同学每天的“进步”率和乙同学每天的“退步”率均为2%.n 天后，甲同学的知识储备量为()12%na +，乙同学的知识储备量为()12%na -，则甲、乙的知识储备量之比为2时，需要经过的天数约为（ ）（参考数据：lg20.3010»，lg102 2.0086»，lg98 1.9912»）A. 15B. 18C. 30D. 35【答案】B 【解析】【分析】根据题意列式，结合对数运算，即可求得答案.【详解】由题意可设经过n 天后甲、乙知识储备量之比为2，则()()12%1022,29812%nnnn aa+=\=-，则lg20.3010(lg102lg98)lg2,18lg102lg98 2.0086 1.9912n n -=\=»»--（天），故选：B9. 若数列{}n a 满足12a =，1123n nn S S n a +++=+，则88S a +的值为（ ）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】B的【解析】【分析】由n S 与n a 的关系求得()()112n n S n S n +=++，从而1n S n ìüíý+îþ为常数列， 得到1n S n =+，即可求88S a +的值.【详解】由11n n n S S a ++-=及1123n nn S S n a +++=+得()()1123n n n n S S n S S +++=+-，即()()112323n n n n S S n S n S ++-+=++，即()()112n n S n S n +=++，所以112n n S S n n +=++，即1n S n ìüíý+îþ常数列，又11221S a ==，所以11n Sn =+，即1n S n =+，所以878879,81,S S a S S ===-=，所以8810S a +=.故选：B10. 2024年1月17日我国自行研制的天舟七号货运飞船在发射3小时后成功对接于空间站天和核心舱后向端口，创造了自动交会对接的记录.某学校的航天科技活动小组为了探索运动物体追踪技术，设计了如下实验：目标P 在地面轨道上做匀速直线运动；在地面上相距7m 的A ，B 两点各放置一个传感器，分别实时记录A ，B 两点与物体P 的距离.科技小组的同学根据传感器的数据，绘制了“距离-时间”函数图像，分别如曲线a ，b 所示.1t 和2t 分别是两个函数的极小值点.曲线a 经过()()0110,,,r t r 和()20,t r ，曲线b 经过()22,t r .已知211212,4m,4s rt r t r t ===，并且从0t =时刻到2=t t 时刻P 的运动轨迹与线段AB 相交.分析曲线数据可知，P 的运动轨迹与直线AB 所成夹角的正弦值以及P 的速度大小分别为（ ）A.6/s 7B.6/s 7为C.2/s 7 D.2/s 7【答案】B 【解析】【分析】建系，设点，作相应的辅助线，分析可知6m,2m AC BC v ==，结合7m AB =分析求解即可.【详解】如图，建立平面直角坐标系，设动点P 的轨迹与y 轴重合，其在120,,t t t =时刻对应的点分别为O （坐标原点），,D E ，P 的速度为m /s,0v v >，因为1122112,4m,2s,4s rt r t r t t ====，可得22m r =，由题意可知：,AD BE 均与y 轴垂直，且4m,2m,2m AD BE OD DE v ====，作BC AD ^垂足为C ，则6m,2m AC BC v ==，因为222AC BC AB +=，即236449v +=，解得v =又因为BC ∥y 轴，可知P 的运动轨迹与直线AB 所成夹角即为ABC Ð，所以P 的运动轨迹与直线AB 所成夹角的正弦值为6sin 7AC ABC ABÐ==.故选：B.【点睛】关键点点睛：建系，设动点P 的轨迹与y 轴重合，以坐标系为依托，把对应的量转化为相应的长度，进而分析求解.二、填空题共5小题.11. 已知集合A={﹣1，1，3}，B={2，2a ﹣1}，A∩B={1}，则实数a 的值是________．【答案】1【解析】【详解】由A∩B={1}知，1B Î，即2a ﹣1=1，解之得a =1，故填112. 函数 ()()043f x x =--的定义域是___________.【答案】133,,244éöæöÈ+¥÷ç÷êëøèø【解析】【分析】根据底数不为0以及二次根式的被开方数大于等于0，列式可求定义域.【详解】由题意可知210430x x -³ìí-¹î，解得12x ³且34x ¹，所以函数0()(43)f x x =-的定义域为133[,(,)244+¥U .故答案为：133[,(,)244+¥U .13. 已知命题p ：x R $Î，2210ax ax ++£，若命题p 为假命题，则实数a 的取值范围是___．【答案】[)0,1【解析】【分析】根据已知中“x R $Î，2ax 2ax 10++£”为假命题，可以得到否定命题:“x R "Î，2ax 2ax 10++>”为真命题，则问题可转化为一个函数恒成立问题，对二次项系数a 分类讨论后，综合讨论结果，即可得到答案．【详解】解：Q “x R $Î，2ax 2ax 10++£”为假命题，\其否定“x R "Î，2ax 2ax 10++>”为真命题，当a 0=时，显然成立；当a 0¹时，2ax 2ax 10++>恒成立可化为：a 024a 4a 0>ì-<íî解得0a 1<<综上实数a 的取值范围是[)0,1.故答案为[)0,1.【点睛】本题考查的知识点是命题真假判断与应用，其中根据原命题与其否定命题之间真假性相反，写出原命题的否定命题，并将问题转化为一个函数恒成立问题是解答本题的关键．14. 已知等边ABC V 的边长为4，E F ，分别是，AB AC 的中点，则EF EA ×=uuu r uuu r_______；若M N ，是线段BC 上的动点，且1MN =，则EM EN ×uuuu r uuu r的最小值为_______．【答案】 ①. 2②.114##2.75【解析】分析】第一空：通过()EF EA EA AF EA ×=+×uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 展开整理，带入数据计算即可；第二空：设,03BN t t =££，通过()()EM EN EB BM EB BN ×=+×+uuuu r uuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r展开整理，带入数据然后配方求最值.【详解】()22222cos1202EF EA EA AF EA EA AF EA ×=+×=+×=+´´=o uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r;若M N ，是线段BC 上的动点，且1MN =，不妨设N 点相对M 更靠近B 点，设,03BN t t =££，()()()2EM EN EB BM EB BN EB BM BN EB BM BN\×=+×+=++×+×uuuu r uuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuuu r uuu r ()()2221cos1201t t t t=+++++o 22111324t t t æö=-+=-+ç÷èø，当12t =时，EM EN ×uuuu r uuu r 取最小值，且为114.故答案为：2；114.15. 已知函数()[][]sin cos 23,x x f x =+其中[]x 表示不超过x 的最大整数.例如： [][][]11,0.50,0.51==-=-给出以下四个结论：①2π4;33f æö=ç÷èø②集合}R (,{)R |y y f x x Î=Î的元素个数为9;③存在R a Î，对任意的R x Î，有()()f a x f a x =-+;【④()f x x a >+对任意[0,2π]x Î都成立，则实数a 的取值范围是3,2π,2æù-¥-çúèû其中所有正确结论的序号是__________.【答案】①④【解析】【分析】利用给定定义直接判断①，卡出[]0,2πx Î，求出每个元素判断②，举反例判断③，利用题意分离参数，得到min ()a g x <，再结合给定定义求解min ()g x ，最后得到参数范围即可.【详解】对于①，由()[][]sin cos 23x x f x =+知，()2π2π1sin cos 0133242323233f x éùéùéù-êúêê-ëûëûëû=+=+=+=，故①正确，对于②，由周期性可知，()f x 的周期为2π，故讨论[]0,2πx Î即可，易得当0x =时，()01234f x =+=，当π2x =时，()10233f x =+=，当πx =时，()014233f x -=+=，当3π2x =时，()103232f x -=+=，当2πx =时，()01234f x =+=，当π(,π)2x Î时，()014233f x -=+=，当π(0,2x Î时，()00232f x =+=，当3ππ,2x Î()时，()115236f x --=+=，当3π,2π2x Î()时，()103232f x -=+=，故该集合元素个数为6，故②错误，对于③，显然在[]0,2πx Î时，()f x 的值域不关于x a =对称，故()f x 不关于x a =对称，即()()f a x f a x -¹+，故③错误，对于④，当0x =时，()012304f x x -=+-=，当π2x =时，()10ππ23322f x x -=+-=-，当2πx =时，()01232π42πf x x -=+-=-，当π(0,2x Î时，()0π232(2,2)2f x x x x -=+-=-Î-，当π,π2x æùÎçúèû时，()01444π23π,3332f x x x x -éö-=+-=-Î--÷êëø，当3ππ,2x Î()时，()11553π523(,π)6626f x x x x ---=+-=-Î--，当3π,2π2x éöÎ÷êëø时，()103333232π,π2222f x x x -æù=+-=-Î--çúèû，而()f x x a >+对任意[0,2π]x Î都成立，故()a f x x <-恒成立，令()()g x f x x =-，即min ()a g x <，而显然3()2π2g x >-，可得32π2a £-恒成立，即3,2π2a ¥æùÎ--çúèû，故④正确.故答案为：①④【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数新定义，解题关键是找合理分离参数，然后利用给定定义求解函数最值，最后得到所要求的参数范围即可．三、解答题共6小题.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16. 等差数列{}n a 中，首项11a =，且2342,,2a a a +-成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列11n n a a +ìüíýîþ的前n 项和(N )n S n *Î．【答案】（1）21n a n =- （2）21n nS n =+【解析】【分析】（1）根据等比中项的性质结合等差数列的通项公式求出d ，进而得出数列{}n a 的通项公式；（2）根据裂项相消求和法得出前n 项和为和(N )n S n *Î.【小问1详解】因为2342,,2a a a +-成等比数列，所以()()232422a a a =+-即()()()21112232a d a d a d +=+++-，解得2=d ，所以21n a n =-；【小问2详解】因为12231111n n n S a a a a a a +=+++L ，()11113352121n S n n =+++´´-´+L （），111111123352121n S n n æö=´-+-++-ç÷-+èøL ，11122121n n S n n æö=-=ç÷++èø．17. 已知函数2()cos 2cos 222x x xf x =-．（1）求f(π3)的值；（2）求函数()f x 的单调递减区间及对称轴方程．【答案】（1）0； （2）2π5π2π,2π,33k k k éù++ÎêúëûZ ，2ππ,3x k k =+ÎZ ．【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简得π()2sin()16f x x =--，把π3x =代入函数解析式中，即可f(π3)的值；（2）由正弦函数单调性和对称性，由整体代入法求解可得.【小问1详解】由2()cos 2cos 222x x xf x =-得()(cos 1)f x x x =-+cos 1x x =--π2sin()16x =--所以πππ()2sin(10336f =--=.【小问2详解】令ππ3π2π2π,262k x k k +£-£+ÎZ ，得2π5π2π2π,33k x k k +££+ÎZ 所以函数()f x 的单调递减区间是2π5π2π,2π,Z33k k k éù++Îêúëû令πππ,62x k k -=+ÎZ ，得2ππ,3x k k =+ÎZ 即函数()f x 的对称轴方程2ππ,3x k k =+ÎZ 18. 已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2222sin b c a bc A +=-．（1）求A 的大小；（2）若D 是边AB 的中点，且2CD =，求c +的取值范围．【答案】（1）3π4A = （2）(4,【解析】【分析】（1）根据余弦定理可以求解；（2）令ACD q Ð=，利用正弦定理，把边长,b c 都用q 表示，最后用三角函数知识解得取值范围.【小问1详解】因为2222sin b c a bc A+=-所以2222sin cos sin 22b c a bc A A A bc bc+-==-=-，所以tan 1A =-，又因为()0,πA Î，所以3π4A =；【小问2详解】令ACD q Ð=,因为3π4A =，所以π04q æöÎç÷èø，由正弦定理可得：2π3πππsin 4sin sin sin 444q q q b CD b b A æö=Þ=Þ=-ç÷æöæöèø--ç÷ç÷èøèø23πsin sin sin sin 4qq q AD CD AD AD A =Þ=Þ=,所以2q c AD ==，所以π4q q q c æö+=+-=ç÷èø，又因为π04q æöÎç÷èø，，所以cos q öÎ÷÷ø所以(4,c +Î19. 已知函数()2112ln 2f x a x x x x æöæö=+---ç÷ç÷èøèø.（1）求()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线方程；（2）讨论()f x 的单调区间.【答案】（1）12y =- （2）答案见解析【解析】【分析】（1）由导数的几何意义求解切线方程即可；（2）先将f ′(x )整理为()()()()211,0x x f x a x x x×-¢+-=>，只需考虑()()1x a x --的符号即可，根据二次函数的图象性质对参数a 分类讨论可得结果.【小问1详解】()()()21111,10,12f x a x f f x x æöæö=---==-ç÷ø¢ç÷èèø¢.故()f x 的图象在点(1,f (1))处的切线方程为12y =-.【小问2详解】()()()()2211111,0x x f x a x a x x x x x +-æöæö=---=×->ç÷ç÷èøèø¢.①当0a £时，令()0f x ¢=，解得1x =，有x(0,1)1(1,+∞)f ′(x )+-()f x Z极大值]故单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,+∞).②当0a >时，令()0f x ¢=，解得1x =或x a =.当01a <<时，x()0,a a(),1a 1(1,+∞)f ′(x )-+-()f x ]极小值Z极大值]故单调递增区间为(),1a ，单调递减区间为()()0,,1,a ¥+，当1a =时，()()0,f x f x ¢£的单调递减区间为(0,+∞)，无单调递增区间.当1a >时，x(0,1)1()1,a a(),a ¥+f ′(x )-0+0-()f x ]极小值Z 极大值]单调递增区间为()1,a ，单调递减区间为()()0,1,,a ¥+.综上，当0a £时，()f x 的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,+∞)；当01a <<时，单调递增区间为(),1a ，单调递减区间为()()0,,1,a ¥+；当1a =时，单调递减区间为(0,+∞)，无单调递增区间；当1a >时，单调递增区间为()1,a ，单调递减区间为()()0,1,,a ¥+.20. 已知()()21e axf x x x =--在0x =处的切线方程为0x y b ++=．（1）求实数,a b 的值；（2）证明：()f x 仅有一个极值点0x ，且()034f x <-．（3）若()()1e kxg x kx x =--，是否存在k 使得()1g x ³-恒成立，存在请求出k 的取值范围，不存在请说明理由．【答案】（1）2,1a b == （2）证明见详解 （3）不存在，理由见详解【解析】【分析】（1）求出()f x 的导数，根据切线方程求出a ，b 的值即可；（2）求导可得()24e1xf x x ¢=-，令()()g x f x ¢=，利用导数可得()g x 的单调性，结合零点存在性定理可得()g x 在10,4æöç÷èø上存在唯一零点0x ，且0204e 1x x ×=，进而可得()f x 的单调性，可判断极值情况；结合0204e1x x ×=代入化简()0001124f x x x æö=-+ç÷èø，运算得证；（3）问题转化为()1e 1kxkx x -³-，对x ÎR 恒成立，当0k £时，显然上式不成立；当0k >时，令()()1e 1kx x kx x j =--+，利用导数可得存在1210,x k æöÎç÷èø，使得()10x j ¢=，当()10,x x Î时，()0x j ¢<，即()x j 单调递减，此时()()00x j j <=，上式不能恒成立，得解.【小问1详解】由题意，()()22e 1axf x ax a ¢=+--，则()011f a ¢=-=-，解得2a =，又()01f =-，可得切点为()0,1-，代入0x y b ++=，得1b =.所以实数2,1a b ==.【小问2详解】由（1）得()()221exf x x x =--，则()24e 1x f x x ¢=-，令()()g x f x ¢=，()()24e 12xg x x ¢\=+，令()0g x ¢>，得12x >-，令()0g x ¢<，得12x <-，所以()g x 在1,2æö-¥-ç÷èø上单调递减，在1,2æö-+¥ç÷èø上单调递增，所以()1min 12e 102g x g -æö=-=--<ç÷èø，且当0x <时，()0g x <，()010g =-<，121e 104g æö=->ç÷èø，所以()g x 在10,4æöç÷èø上存在唯一零点0x ，使得()00g x =即0204e 1x x ×=，当()0,x x Î-¥时，()0g x <，即()0f x ¢<，()f x 单调递减，当()0,x x Î+¥时，()0g x >，即()0f x ¢>，()f x 单调递增，所以()f x 仅存在一个极值点0x ，010,4x æöÎç÷èø，()()()020000000011121e 21424x f x x x x x x x x æö=--=-´-=-+ç÷èø，又函数14y x x =+，10,4x æöÎç÷èø，而224104x y x-¢=<，所以14y x x =+在10,4x æöÎç÷èø上单调递减，则1544y x x =+>，所以()0153244f x <-=-.【小问3详解】若存在k ，使得()1g x ³-恒成立，即()1e 1kxkx x -³-，对x ÎR 恒成立，当0k £时，当1x >时，则()1e 0kxkx -<，显然上式不成立；当0k >时，令()()1e 1kxx kx x j =--+，()00j =，则()2e 1kxx k x j ¢=-，令()()G x x j ¢=，则()()21e 0kx G x kkx ¢=+>在[)0,+¥上恒成立，所以()G x 即()x j ¢在[)0,+¥上单调递增，又()01j ¢=-，121e 10k k j æö¢=->ç÷èø，所以存1210,x k æöÎç÷èø，使得()10x j ¢=，所以当()10,x x Î时，()0x j ¢<，即()x j 单调递减，此时()()00x j j <=，所以()0x j ³不恒成立，故当0k >时，不存在k 满足条件.综上，不存在k ，使得()1g x ³-恒成立.【点睛】关键点睛：本题第三问，解题的关键是将问题转化为()1e 1kxkx x -³-，对x ÎR 恒成立，分0k £和0k >讨论，其中0k >时，令()()1e 1kxx kx x j =--+，利用导数判断求解找出矛盾.21. 有穷数列12,,,(2)n a a a n >L 中，令()()*1,1,,p p q S p q a a a p q n p q +=+++£££ÎNL ，当p =q在时，规定(),p S p q a =.（1）已知数列3213,,,--，写出所有的有序数对(),p q ，且p q <，使得(),0S p q >；（2）已知整数列12,,,,n a a a n L 为偶数，若(),11,2,,2n S i n i i æö-+=ç÷èøL ，满足：当i 为奇数时，(),10S i n i -+>；当i 为偶数时，(),10S i n i -+<.求12n a a a +++L 的最小值；（3）已知数列12,,,n a a a L 满足()1,0S n >，定义集合(){}1,0,1,2,,1A i S i n i n =+>=-L .若{}()*12,,,k A i i i k =ÎN L 且为非空集合，求证：()121,k i i i S n a a a >+++L .【答案】（1）()1,4、()2,3、()2,4、()3,4 （2）1n - （3）证明见解析【解析】【分析】（1）结合题意，逐个计算即可得；（2）由题意可得()1,0S n >，()2,10S n -<，可得当2n i ¹时，有12i n i a a -++³，当2ni =时，1221n na a ++³，结合11i n i i n i a a a a -+-++³+，即可得解；（3）将()()121,k i i i S n a a a -+++L 展开，从而得到证明m i a 与1m i a +之间的项之和，1121i a a a -+++L ，112k k i i n a a a -+++++L 都为正数，即可得证.【小问1详解】(),p q 为()1,4时，()(),321310S p q =-++-+=>，(),p q 为()2,3时，()(),2110S p q =+-=>，(),p q 为()2,4时，()(),21340S p q =+-+=>，(),p q 为()3,4时，()(),1320S p q =-+=>，故p q <，且使得(),0S p q >的有序数对有()1,4、()2,3、()2,4、()3,4；【小问2详解】由题意可得()1,0S n >，()2,10S n -<，又n a 为整数，故()1,1S n ³，()2,11S n -£-，则()()11,2,12n S n S n a a --=+³，同理可得()()212,13,22n S n S n a a ----=+£-，即有212n a a -+³，同理可得，当2ni ¹时，有12i n i a a -++³，即当2ni ¹时，有112i n i i n i a a a a -+-++³+³，当2n i =时，122,1122n n n n S a a +æö+=+³ç÷èø，故()()12121122n n n n n a a a a a a a a a -+æö+++=++++++ç÷ç÷èøL L ()()121122n n n na a a a a a -+æö++++++ç÷ç÷èø³L 22112n n -æö=+=-ç÷èø；【小问3详解】对于数列12,,,n a a a L ，{}12,,,k A i i i =L ，不妨设12k i i i <<<L ，①首先考虑()1121,2,,,21m m k i i m k i i n --³=£<£-L 的情况，由于()1,0S i n £，()11,0S i n +>，故10i a <，同理20i a <，L ，0k i a <，故()121,0k i i i S n a a a >>+++L .②再考虑12,,,k i i i L 中有连续一段是连续的正整数的情况，此时1,p i A -Ï1,q i A +Ï11,,1,,1),111m m i i m p p q p q k +-==+-££-£-L ,因为()()121,,p p q p i i q i S i n S i n a a a ++-+=+++L ，()()10,,p q S i n S i n -+<，故这说明此连续q p -项的和为负.同理，当含有多段的连续正整数的情况时，每段的和为负，再由①中结论，可得()121,0k i i i S n a a a >>+++L .③若在①②中1211,2,,,m m i i i m i A +===ÏL ，由于()1,0m S i n +>，的此时去掉前m 项，则可转化①②的情况，所以有()121,0k i i i S n a a a >>+++L .④若{}()1,2,3,,1A m m n =£-L ，则210m m n a a a +++++>L ，所以此时有()121,k i i i S n a a a >+++L ，综上，结论成立.【点睛】关键点点睛：本题最后一小问关键点在于将()()121,k i i i S n a a a -+++L 展开，从而得到证明m i a 与1m i a +之间的项之和，1121i a a a -+++L ，112k k i i n a a a -+++++L 都为正数，即可得证.。
北京101中学2024-2025学年高二上九月份数学月考试卷
2024北京一零一中高二（上）统练一数 学一、选择题共10小题.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 在空间直角坐标系O xyz −中，点()()1,2,1,1,2,1A B −−，则（ ）A. 直线AB ∥坐标平面xOyB. 直线AB ⊥坐标平面xOyC. 直线AB ∥坐标平面xOzD. 直线AB ⊥坐标平面xOz2. 在三棱柱111ABC A B C −中，D 为棱11B C 的中点．设,,AB a AC b ==1AA c =，用基底{},,a b c 表示向量AD ，则AD =（ ）A.1122a b c ++ B. a b c ++ C. 1122a b c −+ D. 12a b c −++3. 已知a ，b 为两条直线，α，β为两个平面，且满足a α⊂，b β⊂，l αβ=，//a l ，则“a 与b 异面”是“直线b 与l 相交”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，M ，N 分别为11A B 和1BB 的中点，那么直线AM 与CN 夹角的余弦值为（ ）A.2B.10C.35D.255. 在正四面体ABCD 中，棱AB 与底面BCD 所成角的正弦值为（ ）A.3B.3C.13D.36. 正四棱锥的侧棱长是底面边长的k 倍，则k 的取值范围是（ ）A. (0,)+∞B. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C. )+∞D. ,2⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭7. 在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板ABC 折起，使得二面角A BC D −−为直二面角，得图2所示四面体ABCD ．小明对四面体ABCD 中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断：①CD ⊥平面ABC ；②AB ⊥平面ACD ；③平面ABD ⊥平面ACD ；④平面ABD ⊥平面BCD ．其中判断正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 48. 在2023年3月12日马来西亚吉隆坡举行的Yong Jun KL Speedcubing 比赛半决赛中，来自中国的9岁魔方天才王艺衡以4.69秒的成绩打破了“解三阶魔方平均用时最短”吉尼斯世界纪录称号.如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层转动了45︒之后，表面积增加了（ ）A. 54B. 54−C. 108−D. 81−9. 如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，点M 在线段1BC （不含端点）上运动，则下列结论正确的是（ ）①1111ABCD A B C D −的外接球表面积为48π；②异面直线1A M 与1AD 所成角的取值范围是ππ,32⎛⎤ ⎥⎝⎦； ③直线1//A M 平面1ACD ；④三棱锥1D AMC −的体积随着点M 的运动而变化. A. ①②B. ①③C. ②③D. ③④10. 如图1，某同学在一张矩形卡片上绘制了函数()5πsin π6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的部分图象，A ，B 分别是()f x 图象的一个最高点和最低点，M 是()f x 图象与y 轴的交点，⊥BD OD ，现将该卡片沿x 轴折成如图2所示的直二面角A OD B −−，在图2中，则下列结果不正确的是（ ）A. AB =B. 点D 到平面ABM 的距离为14C. 点D 到直线AB 的距离为3D. 平面OBD 与平面ABM 夹角的余弦值为7二、填空题共6小题.11. 已知a ，b 是空间两向量，若3,2,7a b a b ==−=，则a 与b 的夹角为______．12. 三个空间向量a ，b ，c 不共面，且存在实数,,x y z ，使x y z ++=0a b c .则222x y z ++=__________.13. 如图，圆锥PO 的体积为1V ，过PO 的中点O '作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，设圆柱体积为2V ，则12:V V =______．14. 如图，在长方体1111ABCD A B C D −中，12AA AB ==，1BC =，点P 在侧面11A ABB 上．若点P 到直线1AA 和CD 的距离相等，则1A P 的最小值是____．15. 如图，在四棱锥P ABCD −中，PA ⊥底面ABCD ，DAB ∠为直角，//AB CD ，AD CD ==2AB ，E ，F 分别为PC ，CD 的中点，(0)PA kAB k =>，且二面角E BD C −−的平面角大于30︒，则k的取值范围是__________.16. 已知单位向量i j k ，，两两的夹角均为θ（0θπ<<，且2πθ≠），若空间向量a 满足a xi y j zk =++，(,,)x y z R ∈，则有序实数组(,,)x y z 称为向量a 在“仿射”坐标系O xyz −（O 为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作(,,)a x y z θ=，有下列命题： ①已知()13,2a θ=−，(4,0,2)b θ=，则a b ＝０；②已知3(,,0)a x y π=，3(0,0,)b z π=，其中,,0x y z >，则当且仅当x y =时，向量,a b 的夹角取得最小值；③已知()111,,a x y z θ=，()222,,b x y z θ=，则()123232,,a b x x y y z z θ+=+++；④已知()31,0,0OA π=，3(0,1,0)OB π=，3(0,0,1)OC π=，则三棱锥O ABC −的表面积S =其中真命题为________（写出所有真命题的序号）．三、解答题共2小题.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17. 如图，在四棱锥P ABCD −中，BD PC ⊥，四边形ABCD 是正方形，PB ==，E 是棱PD 上的动点，且PE PD λ=.（1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）是否存在实数λ，使得平面P AB 与平面AEC 所成夹角的余弦值是23？若存在.求出λ的值；若不存在，请说明理由.18. 如图，正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2，E 为BC 的中点.点M 在1BD 上.再从下列三个条件中选择一个作为已知，使点M 唯一确定，并解答问题.条件①：MA MC = 条件②：EM AD ⊥； 条件③：//EM 平面11CDD C . （1）求证：M 为1BD 的中点；（2）求直线EM 与平面MCD 所成角的大小，及点E 到平面MCD 的距离.参考答案一、选择题共10小题.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 【答案】C【分析】首先求向量AB 的坐标，再判断向量AB 与坐标平面的法向量的关系，即可判断选项. 【详解】由题意可知，()2,0,2AB =−−， 平面xOy 的法向量为()0,0,1m =， 因为AB m λ≠，且0AB m ⋅≠所以AB 与m 既不平行也不垂直，所以直线AB 与坐标平面xOy 既不平行也不垂直， 故AB 错误；坐标平面xOz 的法向量为()0,1,0n =，0AB n ⋅=，所以AB n ⊥，且AB ⊄平面xOz ，故C 正确，D 错误.故选：C 2. 【答案】A【分析】取BC 的中点E ，连接AE ，DE ，根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】取BC 的中点E ，连接AE ，DE ，因为E 是BC 的中点，()12AE AB AC =+， 所以()()11111111222222AD AE ED AB AC ED AB AC AA AB AC AA a b c =+=++=++=++=++. 故选：A 3. 【答案】C【分析】根据空间中线、面关系结合充分、必要条件分析判断.【详解】当“a 与b 异面”，若直线b 与l 不相交，由于,b l β⊂，则//b l ， 又//a l ，则//a b ，这与a 和b 异面相矛盾，故直线b 与l 相交， 故“a 与b 异面”是“直线b 与l 相交”的充分条件；当“直线b 与l 相交”，若a 与b 不异面，则a 与b 平行或相交， 若a 与b 平行，又//a l ，则//l b ，这与直线b 和l 相交相矛盾； 若a 与b 相交，设ab A =，则A α∈且A β∈，得A l ∈，即A 为直线,a l 的公共点，这与//a l 相矛盾；综上所述：a 与b 异面，即“a 与b 异面”是“直线b 与l 相交”的必要条件； 所以“a 与b 异面”是“直线b 与l 相交”的充分必要条件. 故选：C. 4. 【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求解. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系：则()()111,,1,1,1,,1,0,0,0,1,022M N A C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以110,,1,1,0,22AM CN ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以122cos ,554AM CN AM CN AM CN⋅===⋅， 故选：D 5. 【答案】B【分析】根据题意作出线面角的平面角，利用线面垂直和勾股定理即可求出正弦值为3. 【详解】如下图所示：取O 为底面BCD 的中心，E 为底面CD 的中点，连接,AO BE ；由正四面体性质易知AO ⊥底面BCD ，且,,O B E 三点共线， 所以ABE ∠即为棱AB 与底面BCD 所成角的平面角，取正四面体ABCD 的棱2AB =，可得BE =由正三角形中心可得233BO BO ==，勾股定理可得3AO =所以3sin 23AO ABE AB ∠===；故选：B 6. 【答案】D【分析】由题意设出底面边长，列出关于,k a 的不等式求解即可.【详解】设正四棱锥的底面边长为a ，正四棱锥的高为h ，侧棱长度为l ，则l =√(√22a)2+ℎ2=ka >√22a ，解得2k >，所以k 的取值范围是,2∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.故选：D. 7. 【答案】C【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解. 【详解】对于①中，因为二面角A BC D −−为直二面角，可得平面ABC ⊥平面BCD ， 又因为平面ABC平面BCD BC =，DC BC ⊥，且DC ⊂平面BCD ，所以DC ⊥平面ABC ， 所以①正确；对于②中，由DC ⊥平面ABC ，且AB ⊂平面ABC ，可得AB CD ⊥， 又因为AB AC ⊥，且ACCD C =，,AC CD ⊂平面ACD ，所以AB ⊥平面ACD ，所以②正确；对于③中，由AB ⊥平面ACD ，且AB ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面ACD ，所以③正确； 对于④，中，因为DC ⊥平面ABC ，且DC ⊂平面BCD ，可得平面ABC ⊥平面BCD ， 若平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ⋂平面ABC AB =，可得AB ⊥平面BCD ， 又因为⊂BC 平面BCD ，所以AB BC ⊥，因为AB 与BC 不垂直，所以矛盾，所以平面ABD 和平面BCD 不垂直，所以D 错误. 故选：C.8. 【答案】C【分析】利用截面图，得出魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积，再利用几何关系求出多出的一个小三角形的面积，进而可求出结果. 【详解】如图，转动了45︒后，此时魔方相对原来魔方多出了16个小三角形的面积，显然小三角形为等腰直角三角形，设直角边x ，则有23x +=，得到32x =−，由几何关系得：阴影部分的面积为21127(3)2242S =−=−，所以增加的面积为1271616(10842S S ==−=−. 故选：C. 9. 【答案】C【分析】根据正方体棱长可知其外接球半径为R =其表面积为12π，可判断①错误；建立空间直角坐标系，利用空间向量11,A D M A 夹角的余弦值可求得②正确，求出平面1ACD 的法向量为()1,1,1n =，可知1n A M ⊥，即③正确，易知点M 到平面1ACD 的距离是定值，利用等体积法可知三棱锥1D AMC −的体积为定值，即④错误.【详解】对于①，根据题意，设棱长为2的正方体外接球半径为R ,则满足22224222R =++，可得R =此时外接球的表面积为24π12πR =，可知①错误；对于②，以D 为坐标原点，以1,,DA DC DD 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：则()()()()()1112,0,0,0,0,2,2,0,2,2,2,0,0,2,2A D A B C ，所以()()()1112,0,2,0,2,2,2,0,2AD A B BC =−=−=−，设()12,0,2BM BC λλλ==−，其中01λ<<；可得()()()110,2,22,0,22,2,22A A B BM M λλλλ=+=−+−=−−， 异面直线1A M 与1AD 所成角的余弦值为111111cos 2,AD AD AD A M A M A M ===⋅， 易知01λ<<时，(]22331,1,3,441λλλλ⎡⎫−+∈∈⎪⎢−+⎣⎭， 可得1111cos 0,,2A AD M ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭， 所以异面直线1A M 与1AD 所成角的取值范围是ππ,32⎛⎤⎥⎝⎦，即②正确； 对于③，由②可知()12,2,22A M λλ=−−，()0,2,0C ，则()2,2,0AC =−； 设平面1ACD 的法向量为(),,n x y z =，又()12,0,2AD =−，则1220220n AC x y n AD x z ⎧⋅=−+=⎪⎨⋅=−+=⎪⎩，取1x =，则1,1y z ==； 所以平面1ACD 的法向量为()1,1,1n =，此时()()12,2,221,1,10n A M λλ⋅=−−⋅=，可得1n A M ⊥，又1A M ∉平面1ACD ， 所以直线1//A M 平面1ACD ，即③正确；对于④，根据正方体性质1//BC 平面1ACD ，所以11D AMC M D AC V V −−=， 易知直线1BC 到平面1ACD 的距离是定值，底面1ACD 的面积为定值，所以三棱锥1M D AC V −的体积为定值，因此三棱锥1D AMC −的体积不会随点M 的运动而变化，即④错误； 综上所述，正确的结论为②③. 故选：C【点睛】方法点睛：求解异面直线所成角的方法：（1）平移法：将两异面直线通过平移作出其平面角，再利用余弦定理取得余弦值；（2）向量法：建立空间直角坐标系利用空间向量所成的角与异面直线所成的角的关系，求得两向量夹角的余弦值. 10. 【答案】C【分析】根据给定条件，求出图1中点 A,B,D,M 的坐标，建立空间直角坐标系，求出图2中点A,B,D,M 的坐标，再逐项判断作答.【详解】在图1中，由()5πsin π6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，得1,13A ⎛⎫− ⎪⎝⎭，2,13B ⎛⎫− ⎪⎝⎭，2,03D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,2M ⎛⎫⎪⎝⎭， 在图2中，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz −，则10,,13A ⎛⎫− ⎪⎝⎭，21,,03B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,0,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20,,03D ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则()1,1,1AB =−，得3AB =，A 正确．设平面ABM 的法向量为(),,n x y z =，110,,32AM ⎛⎫=−⎪⎝⎭， 则00n AB n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即011032x y z y z +−=⎧⎪⎨−=⎪⎩，取3y =，则2z =，=1x −， 所以平面ABM 的一个法向量()1,3,2n =−，所以点D 到平面ABM的距离为11414DB n n ⋅==，B 正确． 取()1,0,0a DB ==，()31,1,1,3333AB u AB⎛⎫==−=− ⎪ ⎪⎝⎭， 则21a =，33a u ⋅=，所以点D 到直线AB ()2263a a u −⋅=，C 错误． 平面OBD 的一个法向量为()0,0,1m =，则平面OBD 与平面ABM 夹角的余弦值为27114m n m n⋅==⨯，D 正确. 故选：C.二、填空题共6小题.11. 【答案】π3【分析】利用平方的方法化简已知条件，从而求得a 与b 的夹角. 【详解】设a 与b 的夹角为θ，所以根据2222cos a b a b a b θ−=+−⋅⋅，794232cos θ=+−⨯⨯⨯，即1cos 2θ=， 又0πθ≤≤，π3θ∴=． 故答案为：π312. 【答案】0【分析】由条件，结合空间向量基本定理可求,,x y z ，由此可求结论. 【详解】因为x y z ++=0a b c ，a ，b ，c 不共面， 所以0x =，0y =，0z =， 所以2220x y z ++=. 故答案为：0. 13. 【答案】83【分析】设圆锥PO 的高为2h ，底面半径为2r ，分别计算圆锥和圆柱的体积即可求解.【详解】设圆锥PO 的高为2h ，底面半径为2r ，则22118(2)233r h V r h ππ=⨯⨯⨯=，因为O '为PO 的中点，所以圆柱的底面半径为r ，高为h ，则222V r h r h ππ=⨯⨯=， 所以128:3V V =. 故答案为：8314.【详解】如图在面A 1ABB 1建立P 面直角坐标系，设P （x ，y ）．（0≤x ≤2，0≤y ≤2）∵点P 到直线AA 1和CD的距离相等，x =x 2=y 2+1．∴A 1=≥∴当P，1）时，A 1P点睛：本题直接解答比较困难，采用坐标法比较简洁易懂，所以方法的选择很关键. 当我们遇到直角三角形、等腰三角形、矩形、长方体等有垂直关系的几何图形时，可以尝试利用坐标法解答,看是否简洁.15.【答案】,15⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】建立如图所示空间直角坐标系，设1AB =，向量法表示出二面角E BD C −−的平面角的余弦值，结合题意建立关于k 的不等式，解之即可得到实数k 的取值范围．【详解】以A 为原点，以,,AB AD AP 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系如图所示，设1AB =，则()()()()()0,0,0,1,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,,1,1,2k A B C D P k E ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ()1,2,0BD =−，0,1,2k BE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且平面CDB 的一个法向量为()0,0,1m =，设平面EDB 的一个法向量为n ⃗ =(x,y,z )，则 20102n BD x y n BE y kz ⎧⋅=−+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1y =，有22,x z k ==−，可得22,1,n k ⎛⎫=− ⎪⎝⎭ ，设二面角E BD C −−的大小为θ，则2cos cos ,2k m n θ==<，化简得2415k >，所以15k>， 所以实数k 的取值范围∞⎫+⎪⎪⎝⎭.故答案为：15∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭16. 【答案】②③【分析】①利用定义表示a 与b ，并利用空间向量数量积的运算律和定义来进行验证；②作出图形，设OB b =，OA a =，结合图形得出当AOB ∆的面积取最小值时a 与b 的夹角最小，从而判断结论的正误；③利用“仿射”坐标的定义，结合空间向量加法的运算律来进行验证；④根据“仿射”坐标的定义判断出三棱锥O ABC −是棱长为1的正四面体，于此可得出该三棱锥的表面积. 【详解】①由定义可得()()()()1,3,24,0,23242a b i j k i k θθ⋅=−⋅=+−⋅+412412cos i k θ=+⋅−=，∵0θπ<<，2πθ≠，0a b ∴⋅≠，故①错误；②如图，设OB b =，OA a =，则点A 在平面xOy 上，点B 在z 轴上，由图易知当x y =时，AOB ∆取得最小值，即向量a 与b 的夹角取得最小值，故②正确；③根据“仿射”坐标的定义可得()(()()111222111222,,,,)a b x y z x y z x i y j z k x i y j z k θθ+=+=+++++()()()(121212121212,)x x i y y j z z k x x y y z z θ=+++++=+++，故③正确；④由已知可知三棱锥O ABC −为正四面体，棱长为1，其表面积为1422S =⨯⨯= 故答案为②③.【点睛】本题考查空间向量的新定义，在验证各命题时要严格根据题中定义来理解，结合空间向量加减法以及数量积的运算律来计算，考查推理能力，属于难题.三、解答题共2小题.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，13λ=【分析】（1）由题设BD AC ⊥，根据线面垂直的判定得BD ⊥平面PAC ，再由线面垂直的性质有BD PA ⊥，并由勾股定理证AB PA ⊥，最后应用线面垂直的判定证结论；（2）构建空间直角坐标系，写出相关点的坐标，应用向量法求面面角的余弦值，结合已知列方程求参数λ，即可判断存在性.【小问1详解】因为四边形ABCD 是正方形，则BD AC ⊥， 且BD PC ⊥，,AC PC ⊂平面PAC ，AC PC C =，所以BD ⊥平面PAC ，且PA ⊂平面PAC ，可得BD PA ⊥，又因为PB ==，所以222PB AB PA =+，即AB PA ⊥，由,AB BD ⊂平面ABCD ，且AB BD B =，所以PA ⊥平面ABCD .【小问2详解】由（1）可知：PA ⊥平面ABCD ，且AB AD ⊥， 如图，以A 为坐标原点建立空间之间坐标系，不妨设2PA =，则()()()()0,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,2A C D P ， 可得()()()()2,2,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2===−=AC AD PD AP ，则()[]0,2,2,0,1λλλλ==−∈PE PD ，可得()0,2,22λλ=+=−AE AP PE ，设平面平面AEC 的法向量(),,n x y z =，则()2202220n AC x y n AE y z λλ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+−=⎪⎩，令1y λ=−，则1,λλ=−=−x z ，可得()1,1,λλλ=−−−n ， 且平面P AB 的法向量()0,1,0m =，由题意可得：(2cos ,3λ⋅===⋅n m n m n m， 整理得23210λλ+−=，解得13λ=或1λ=−（舍去）， 所以存在实数λ，λ的值为13. 18. 【答案】（1）证明见解析 （2）30︒ 【分析】（1）分别选条件①②③，结合线面平行位置关系的判定定理和性质定理，即可得证；（2）以D 为原点，建立空间直角坐标系，求得向量(,,)011=−EM 和平面MCD 的法向量为(1,0,1)m =−，利用向量的夹角公式，求得1sin 2θ=，结合sin d EM θ=，即可求解. 【小问1详解】选条件①：由MA MC =，根据正方体1111ABCD A B C D −的对称性，此时点M 为1BD 上的任意一点，所以不成立； 选条件②：EM AD ⊥，连接1CD ，在正方体1111ABCD A B C D −中，由⊥BC 平面11CDD C ， 因为1CD ⊂平面11CDD C ，所以1BC CD ⊥， 又因为EM AD ⊥，//AD BC 所以EM BC ⊥， 因为1,EM CD ⊂平面1BCD ，所以1//EM CD ， 又因为E 为BC 的中点， 所以M 为1BD 的中点． 选择条件 ③：//EM 平面11CDD C ，连接1CD ，因为//EM 平面11CDD C ，EM ⊂平面1BCD ， 且平面1BCD ⋂平面111CDD C CD =，所以1//EM CD ， 因为E 为BC 的中点，所以M 为1BD 的中点．【小问2详解】在正方体1111ABCD A B C D −中，1,,DA DC DD 两两互相垂直，建立空间直角坐标系，如图所示，则(0,0,0),(0,2,0),(1,2,0),(1,1,1)D C E M ， 所以(0,2,0)DC =，(1,1,1)DM =，(,,)011=−EM ，设平面MCD 的法向量为(,,)m x y z =，则0m DC y m DM x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩，令1x =，则0,1y z ==−．于是(1,0,1)m =−，设直线EM 与平面MCD 所成的角为θ，则1sin cos ,2m EM m EM m EMθ⋅===⋅， 所以直线EM 与平面MCD 所成角的大小为30， 点E 到平面MCD的距离为2sin sin 302d EM θ===.。
2023北京一零一中高三(上)统练二数学
北京一零一中2023-2024学年度第一学期高三数学统练二一、选择题共10小题。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.已知P是复平面内表示复数a+b i(a,b∈R)的点,若复数a+b i是虚数,则点P( )(A)在虚轴上(B)不在虚轴上(C)在实轴上(D)不在实轴上【参考答案】(2023通州高一下期末1)D2.若ab>0,且a<b,则下列不等式一定成立的是( )(A)a2<b2(B)1a<1b(C)b a+a b>2(D)a+b2>√ab【参考答案】C对于A,当a=−2,b=−1时,选项A错误;对于B,1a −1b=b−aab>0,故1a>1b,故B错误;对于C,由于ab>0,所以ba +ab−2=b2+a2−2abab=(a−b)2ab>0,故C正确;对于D,当a和b都为负值时,选项D错误.3.下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是( )(A)f(x)=−ln x(B)f(x)=12x (C)f(x)=−1x(D)f(x)=3|x−1|【参考答案】(2023高考北京4)C对于A,因为y=ln x在(0,+∞)上单调递增,y=−x在(0,+∞)上单调递减,所以f(x)=−ln x在(0,+∞)上单调递减,故A错误;对于B,因为y=2x在(0,+∞)上单调递增,y=1x 在(0,+∞)上单调递减,所以f(x)=12x在(0,+∞)上单调递减,故B错误;对于C,因为y=1x在(0,+∞)上单调递减,y=−x在(0,+∞)上单调递减,所以f(x)=−1x 在(0,+∞)上单调递增,故C正确;对于D,因为f(12)=3|12−1|=312=√3,f(1)=3|1−1|=30=1,f(2)=3|2−1|=3,显然f(x)=3|x−1|在(0,+∞)上不单调,D错误.4.已知a=lg13,b=30.1,c=sin3,则( )(A)a>b>c(B)b>c>a(C)b>a>c(D)c>b>a 【参考答案】(2023朝阳高二下期末5)B5.已知{a n }为等比数列,下面结论中正确的是( )(A)若a 2=a 4,则a 2=a 3(B)若a 3>a 1,则a 4>a 2(C)a 2+a 42a 3(D)a 22+a 242a 23【参考答案】(2023顺义高二下期末8)D 6.在△ABC 中,∠C =90◦,AC =BC =√2,P 为△ABC 所在平面内的动点,且PC =1,则|# –PA +# –PB |的最大值为( )(A)16(B)10(C)8(D)4【参考答案】(2023房山一模8)D由题意,PC =1可得,点P 的轨迹为以C 为圆心,1为半径的圆,取AB 的中点D ,则# –PA +# –PB =2# –PD ,所以|# –PA +# –PB |max =2|# –PD |max =2(|CD |+1)=2×(12√2+2+1)=4.7.设a ,b 为非零向量,|a |=|b |,则“a ,b 夹角为钝角”是“|a +b |<√2|a |”的( )(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件【参考答案】(2023东城高一下期末8)A8.中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴,一般情况下,折扇可看作是由从一个圆面中剪下的扇形制作而成.设制作扇子的扇形面积为S 1,圆面中剩下部分的面积为S 2,当S 1S 2=√5−12≈0.618时,扇面看上去形状较为美观.那么,此时制作扇子的扇形圆心角约为( )(A)π(B)5π6(C)3π4(D)2π3【参考答案】(2023顺义高一上期末10)C设扇子的扇形的圆心角为α1,圆面中剩下部分的圆心角为α2,半径为r ,则S 1S 2=12α1r 212α2r 2=√5−12≈0.618,即α1=√5−12α2,又α1+α2=2π,√5−12α2+α2=2π,故α2=4π√5+1=(√5−1)π,所以α1=√5−12α2=(3−√5)π,α1=(3−√5)×180◦≈137.5◦≈3π4.9.二维码与生活息息相关,我们使用的二维码主要是21×21大小的,即441个点,根据0和1的二进制编码,一共有2441种不同的码,假设我们1秒钟用掉1万个二维码,1万年约为3×1011秒,那么大约可以用( )(参考数据:lg2≈0.3,lg3≈0.5)(A)10117万年(B)117万年(C)10205万年(D)205万年【参考答案】A由题意大约能用24413×1011×104万年,则lg24413×1015=441lg2−lg3−15≈441×0.3−0.5−15≈117,所以24413×1011×104≈10117.10.已知数列{a n}满足:对任意的n∈N∗,总存在m∈N∗,使得S n=a m,则称{a n}为“回旋数列”.有以下四个结论:①若a n=2023n,则{a n}为“回旋数列”;②设{a n}为等比数列,且公比q为有理数,则{a n}为“回旋数列”;③设{a n}为等差数列,当a1=1,d<0时,若{a n}为“回旋数列”,则d=−1;④若{a n}为“回旋数列”,则对任意n∈N∗,总存在m∈N∗,使得a n=S m.其中正确结论的个数是( )(A)1(B)2(C)3(D)4【参考答案】B①由a n=2023n可得S n=2023(1+2+3+···+n)=2023×n(n+1)2,由S n=a m可得2023×n(n+1)2=2023m,取m=n(n+1)2即可,则{a n}为“回旋数列”,故①正确;②当q=1时,S n=na1,a m=a1,由S n=a m可得na1=a1,故当n=2时,很明显na1=a1不成立,故{a n}不是“回旋数列”,②错误;③{a n}是等差数列,故a m=1+(m−1)d,S n=n+n(n−1)2d,因为数列{a n}是“回旋数列”,所以1+(m−1)d=n+n(n−1)2d,即m=n−1d +n(n−1)2+1,其中n(n−1)2为非负整数,所以要保证n−1d恒为整数,故d为所有非负整数的公约数,且d<0,所以d=−1,故③正确;④由①可得当a n=2023n 时,{a n}为“回旋数列”,取a2=2023×2,S m=2023×m(m+1)2,显然不存在m,使得S m=a2=2023×2,故④错误.二、填空题共5小题。
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北京101中学2023届上学期高三年级9月月考数学试卷一、选择题共10小题。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合M ＝｛x ∈Z |1g （x -1）≤0｝，N ＝｛x ∈Z|x |＜2}，则M N ＝（ ） A.φB. （1，2）C. （-2，2］D. {-1，0，1，2｝2. 如果-1，a ，b ，c ，-9成等比数列，那么（ ） A. b ＝3，ac ＝9B. b ＝-3，ac ＝9C. b ＝3，ac ＝-9D. b ＝-3，ac ＝-93. 设)(x f ，)(x g 都是单调函数，有如下四个命题：①若)(x f 单调递增，)(x g 单调递增，则)(x f -)(x g 单调递增； ②若)(x f 单调递增，)(x g 单调递减，则)(x f -)(x g 单调递增； ③若)(x f 单调递减，)(x g 单调递增，则)(x f -)(x g 单调递减； ④若)(x f 单调递减，)(x g 单调递减，则)(x f -)(x g 单调递减。
其中，正确的命题是（ ） A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④4. 若ab ＞0，且a ＜b ，则下列不等式一定成立的是（ ） A. 22b a <B.a 1＜b1C.2>+ba ab D.2ba +＞ab 5. 已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若CcB b A a cos cos cos ==，则△ABC 是（ ）A. 钝角三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形，但不是等腰三角形6. 已知函数)(x f ＝cos 2ωx -sin 2ωx （ω＞0）的最小正周期为π，则（ ） A. )(x f 在（0，2π）内单调递增B. )(x f 在（0，2π）内单调递减 C. )(x f 在（4π，43π）内单调递增D. )(x f 在（4π，43π）内单调递减7. 若)(x f 是R 上周期为5的奇函数，且满足f （1）＝1，f （2）＝2，则f （3）-f （4）＝（ ）A. -1B. 1C. -2D. 28. 下图是下列四个函数中的某个函数在区间［-3，3］的大致图像，则该函数是（ ）A. 1323++-=x xx yB. 123+-=x xx yC. 1cos 22+=x xx yD. 1sin 22+=x xy 9. 已知函数)(x f ＝x 3+x 2-2|x |-k 。
若存在实数x 0，使得f （-x 0）＝-f （x 0）成立，则实数k 的取值范围是（ ）A. ［-1，+∞）B. （-∞，-1］C. ［0，+∞）D. （-∞，0］10. 信息熵是信息论中的一个重要概念。
设随机变量X 所有可能的取值为1，2，…，n ，且P （X ＝i ）＝p i ＞0（i ＝1，2，…，n ），11=∑=ni ip，定义X 的信息熵H （X ）＝i ni i p p ln 1∑=-。
给出下面四个结论：①若n ＝1，则H （x ）＝0； ②若n ＝2，则当211=p 时，H （x ）取得最小值； ③若np i 1=，则H （x ）随着n 的增大而增大； ④若n ＝10，随机变量Y 所有可能的取值为1，2，…，5，且P （Y ＝j ）＝p j +p 11-j （j ＝1，2，…，5），则H （X ）＞H （Y ）。
其中，正确结论的个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题共5小题。
11. 在△ABC 中，a ＝3，b ＝22，B ＝2A ，则cosA ＝___________。
12. 若函数)(x f ＝⎪⎩⎪⎨⎧=>+<-0,0,0,,0,12x x a x x x a 为奇函数，则参数a 的值为___________。
13. 已知数列｛a n ｝满足a n +1＝12+n n a a ，n ∈N *，若a 3＝71，则a 1＝____________。
14. 如图，将钢琴上的12个键依次记为a 1，a 2，…，a 12，设1≤i ＜j ＜k ≤12。
若k -j ＝3且j -i ＝4，则称a i ，a j ，a k 为原位大三和弦；若k -j ＝4且j -i ＝3，则称a i ，a j ，a k 为原位小三和弦。
用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为__________。
15. 已知函数)(x f ＝sin2x -x 3，若函数)(x g ＝f （x -4）+23x ，则函数)(x g 的图像的对称中心为__________；若数列｛a n ｝为等差数列，a 1+a 2+a 3+…+a 11＝44，则g （a 1）+g （a 2）+…+g （a 11）＝__________。
三、解答题共6小题。
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16. 已知函数)(x f ＝A sin （ωx +ϕ）（A ＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π）的部分图像如图所示，在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知。
（1）求函数)(x f 的解析式；（2）设函数)(x g ＝)(x f ·cos （2x +3π），若)(x g 在区间［0，m］上单调递减，求m 的最大值。
条件①：c -a ＝2π；条件②：b ＝3π； 条件③：c ＝127π。
17. 记S n 为等差数列｛a n ｝的前n 项和，已知S 9＝-a 5。
（1）若a 3＝4，求｛a n ｝的通项公式； （2）若a 1＞0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围。
18. 记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积分别为S 1，S 2，S 3，且S 1-S 2+S 3=23，sin B=31。
（1）求△ABC 的面积； （2）若sinA sinC=32，求b 。
19. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<+--≥=.0,12,0,2)(2x x x x x f x（1）求))1((-f f 的值； （2）求不等式)(x f ＞1的解集；（3）当x 0＜0时，是否存在使得0)()(00=--x f x f 成立的x 0值？若存在，直接写出x 0的值；若不存在，说明理由。
20. 已知函数221)1()(ax e x x f x--=（a ∈R ）。
（1）当a ＝0时，求曲线y ＝)(x f 在x ＝0处的切线方程； （2）求函数)(x f 在［1，2］上的最小值。
21. 已知数列A ：a 1，a 2，…，a N （N≥4），其中a 1，a 2，…，a N ∈Z ，且a 1＜a 2＜…＜a N 。
若数列,~,~:~21a a A …，a ~N 满足a ~1＝a 1，a ~N ＝a N ，当i ＝2，3，…，N -1时，a ~i ＝a i -1+1或a i +1-1，则称A ~：a~1，a ~2，…，a ~N 为数列A 的“紧数列”。
例如，数列A ：2，4，6，8的所有“紧数列”为2，3，5，8；2，3，7，8；2，5，5，8；2，5，7，8。
（1）直接写出数列A ：1，3，6，7，8的所有“紧数列”A ~；（2）已知数列A 满足：a 1＝1，a N ＝2N ，若数列A 的所有“紧数列”A ~均为递增数列，求证：所有符合条件的数列A 的个数为N+1；（3）已知数列A 满足：a 1＝0，a 2＝2，对于数列A 的一个“紧数列”A ~，定义集合S （A ~）＝｛a i -a ~i |i ＝2，3，…，N -1｝，如果对任意x ∈S （A ~），都有-x S （A ~），那么称A ~为数列A 的“强紧数列”。
若数列A 存在“强紧数列”，求a N 的最小值。
（用关于N 的代数式表示）参考答案1. D2. （2006高考北京文6）B3. （2001高考全国理10）C4. （2022房山一模3）C5. （2022朝阳高一下期末4）B6. （2022昌平高三上期末7）B7. （2010高考安徽理4）A8. （2022高考全国乙文8）A设)(x f ＝123+-x xx ，则f （1）＝0，故排除B ；设h （x ）＝1cos 22+x x x ，当x ∈（0，2π）时，0＜cos x ＜1，所以h （x ）＝1cos 22+x x x <122+x x≤1，故排除C ；设)(x g ＝1sin 22+x x ，则g（3）＝103sin 2＞0，故排除D 。
9. （2019海淀高三上期中7）A由f （-x 0）＝-f （x 0）得-x 30+x 20-2|x 0|-k ＝-（x 30+x 20-2|x 0|-k ），整理得k ＝x 20-2|x 0|，所以k ∈［-1，+∞）。
10. （2020高考山东（改编）12）C 11. （2021丰台一模13）36。
12. （2022高考上海8）1。
13. （2022东城高二上期末13）31。
14. （2020高考全国II 文（改编）3）10。
15. （原创）（4，6），66。
16. （2022西城高三上期末17） （1）选条件①②； 因为c -a ＝2π，所以2T ＝2π，即T ＝π，则ω＝T π2＝2。
由题意可知A ＝2，则)(x f ＝2sin （2x +ϕ）。
因为b ＝3π，f （b ）＝2sim （32π+ϕ）＝0，所以πϕπk =+32，k ∈Z ，即ϕ＝32π-+k π。
因为0＜ϕ＜π，所以ϕ＝3π，k ＝1。
所以)(x f ＝2sin （2x +3π）。
选条件①③： 因为c -a ＝2π，所以22π=T ，即T ＝π，则ω＝22=T π。
由题意可知A ＝2，则)(x f ＝2sin （2x +ϕ）。
因为c ＝127π，f （c ）＝2sin （67π+ϕ）＝-2， 所以67π+ϕ＝23π+2k π，k ∈Z ，即ϕ＝3π+2k π。
因为0＜ϕ＜π，所以ϕ＝3π，k ＝0。
所以)(x f ＝2sin （2x +3π）。
选条件②③： 因为b ＝3π，c ＝127π，所以c -b ＝4π＝4T ，即T ＝π，则ω＝T π2＝2。
由题意可知A ＝2，则)(x f ＝2sin （2x +ϕ）。
因为c ＝127π，)(c f ＝2sin （67π+ϕ）＝-2， 所以67π+ϕ＝23π+2k π，k ∈Z ，即ϕ＝3π+2k π。
因为0＜ϕ＜π，所以ϕ＝3π，k ＝0。
所以)(x f ＝2sin （2x +3π）。
（2）由题意得)(x g ＝sin （4x +32π）。
方法一：函数y ＝sin x 的单调递减区间为［2π+2k π，23π+2k π］（k ∈Z ）。
由2π+2k π≤4x +32π≤23π+2k π，得-224ππk +≤x ≤2245ππk +。