陕西省高三下学期(理科)数学模拟考试卷附带答案解析

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2023届陕西省部分名校高三下学期高考仿真模拟理科数学试卷(word版)

2023届陕西省部分名校高三下学期高考仿真模拟理科数学试卷(word版)一、单选题(★★) 1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★) 2. 复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(★★) 3. 在等差数列中，，则的公差（）A．B．3C．D．4(★★★) 4. 若实数满足约束条件，则的取值范围为（）A．B．C．D．(★) 5. 已知随机变量X的分布列为：m则（）A．2B．C．D．1(★★★) 6. 函数在区间上的图象大致是（）A．B．C．D．(★★★) 7. 在正方体中，，，分别为，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．(★★) 8. 已知直线是函数（）图象的一条对称轴，则在上的值域为（）A．B．C．D．(★★) 9. 等比数列的各项均为正数，且，则（）A．8B．6C．4D．3(★★★) 10. 设，，，则（）A．B．C．D．(★★★) 11. 已知是坐标原点，是双曲线的左焦点，平面内一点满足是等边三角形，线段与双曲线交于点，且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．(★★★) 12. 在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，平面P AD⊥底面ABCD，，，，，则四棱锥P－ABCD外接球的表面积为（）A．26πB．27πC．28πD．29π二、填空题(★★) 13. 已知向量，，若，则 ______ .(★★) 14. 南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为 ______ cm.(★★) 15. 2023年杭州亚运会需招募志愿者，现从某高校的8名志愿者中任意选出3名，分别担任语言服务、人员引导、应急救助工作，其中甲、乙2人不能担任语言服务工作，则不同的选法共有 ___________ 种.(★★★★) 16. 已知函数，若恒成立，则的取值范围为 ______ ．三、解答题(★★★) 17. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，.(1)求的值；(2)若，求的面积.(★★★) 18. 赤霉素在幼芽、幼根、未成熟的种子中合成，其作用是促进细胞的生长，使得植株变高，每粒种子的赤霉素含量（单位：ng/g）直接影响该粒种子后天的生长质量.现通过生物仪器采集了赤霉素含量分别为10，20，30，40，50的种子各20粒，并跟踪每粒种子后天生长的情况，收集种子后天生长的优质数量（单位：粒），得到的数据如下表：赤霉素含量10后天生长的优2质数量(1)求关于的线性回归方程；(2)利用（1）中的回归方程，估计1000粒赤霉素含量为60ng/g的种子后天生长的优质数量. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.(★★★) 19. 如图，在直三棱柱中，，，，D，E分别是棱，的中点.(1)证明：平面；(2)求二面角的余弦值.(★★★) 20. 已知函数．(1)设．①求曲线在点处的切线方程．②试问有极大值还是极小值？并求出该极值．(2)若在上恰有两个零点，求a的取值范围．(★★★) 21. 已知椭圆，斜率为2的直线l与椭圆交于A，B两点．过点B作AB的垂线交椭圆于另一点C，再过点C作斜率为－2的直线交椭圆于另一点D．(1)若坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB的面积．(2)试问直线AD的斜率是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是定值，说明理由．(★★★) 22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线与极轴相交于，两点.(1)求曲线的极坐标方程及点的极坐标；(2)若直线的极坐标方程为，曲线与直线相交于，两点，求的面积. (★★) 23. 已知函数.(1)当时，求不等式的解集；(2)若不等式的解集非空，求的取值范围.。

陕西省咸阳市2024届高三下学期高考模拟检测(二)数学(理科)试题 (含答案与解析)_2907

咸阳市2024年高考模拟检测（二）数学（理科）注意事项：1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟2．答卷前，考生务必将答题卡上密封线内的各项目填写清楚3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的．1. 若复数z 满足()1i 34i z -=+，则复数z 的共轭复数的虚部为（）A. 12-B.72C.72i D. 72-2. 已知集合105x A x x ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭，(){}22log 16B x y x ==-，则()R A B ⋂=ð（）A. ()1,4-B. []1,4-C. (]1,5-D. ()4,53. 已知在边长为1的菱形ABCD 中，角A 为60︒，若点E 为线段CD 的中点，则AE EB ⋅=（）A.B.34C. 34-D. 32-4. 已知角α始边为x 轴的非负半轴，顶点为坐标原点，若它的终边经过点()1,2P -，则sin2cos2αα+=（） A.15B. 95-C. 75-D. 15-5. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若42S =，812S =，则20S =（） A. 30B. 58C. 60D. 906. 执行如图的程序框图，则输出的结果是（）的A. 5050B. 4950C. 166650D. 1717007. 已知平面区域Ω中的点满足))110x y x y ⎡⎤⎡⎤+--+<⎣⎦⎣⎦，若在圆面222x y +≤中任取一点P ，则该点取自区域Ω的概率为（） A13B.14C. 16D.178. 当函数3sin 4cos y x x =+取得最小值时，πsin 6x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.B.C.D.9. 为了强化学生安全意识，落实“12530”安全教育，某学校让学生用这5个数字再加一个0来设定自己教室储物柜密码，若两个0之间至少有一个数字，且两0不都在首末两位，可以设置的密码共有（） A. 72B. 120C. 216D. 24010. 若将()ln ln ln y x y x =+-确定的两个变量y 与x 之间的关系看成()y f x =，则函数()y f x =的图象大致为（）A. B..C. D.11. 已知点F 为双曲线221169x y -=的右焦点，过点F 的直线l （斜率为k ）交双曲线右支于M ，N 两点，若线段MN 的中垂线交x 轴于一点P ，则MN PF=（）A.54B.58 C. 45 D. 85 12. 已知函数()222cos22x a f x x =+，若0x =是函数()f x 的唯一极小值点，则a 的取值范围为（） A. [)1,+∞ B. ()0,1 C. [)1,-+∞ D. (],1-∞第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知总体的各个个体的值由小到大依次为2,4,4,6,,,12,14,18,20a b ，且总体的平均值为10，则49a b+的最小值为________．14. P 为抛物线24y x =上任意一点，点()2,4A ，设点P 到y 轴的距离为d ，则PA d +的最小值为____________．15. 已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若cos sin a b C B =+，设点D 为边AC 的中点，且4BD AC ==，则ABC S = _____________．16. 已知三棱锥D ABC -中，4,3,5AB AC BC ===，三角形DBC 为正三角形，若二面角D BC A --为120︒，则该三棱锥的外接球的体积为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 已知正项数列{}n a 满足()2221212n n n a a a +++⋅⋅⋅+=，*N n ∈．（1）若1n n n b a a +=-，请判断并证明数列{}n b 的单调性；（2）若211n n n c a a +⎛⎫= ⎪⎝⎭，求数列{}n c 的前n 项和n S ．18. 陕西省从2022年秋季启动新高考，新高考“312++”模式中“3”为全国统一高考科目的语文、数学、外语，“1”为首选科目，要求从物理、历史2门科目中确定1门，“2”为再选科目，要求从思想政治、地理、化学、生物学4门科目中确定2门，共计产生12种组合．某班有学生50名，在选科时，首选科目选历史和物理的统计数据如下表所示：历史物理合计男生 2 23 25 女生 8 17 25 合计 104050附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．α 0.100 0050 0.010 0.005 0.001a χ 2706 3.841 6.635 7.879 10.828（1）根据表中的数据，判断是否有99%的把握认为学生选择历史与性别有关；（2）从选择历史的10名学生中任意抽取3名同学参加学校“铭记历史，强国有我”演讲比赛，设X 为抽取的三名学生中女生的人数，求X 的分布列，并求数学期望和方差．19. 在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．（1）求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；（2）是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．20. 已知两圆1C ：()22125x y -+=，2C ：()2211x y ++=，动圆C 在圆1C 的内部，且与圆1C 相内切，..与圆2C 相外切．（1）求点C 轨迹方程；（2）设点()1,0M -，()1,0N ，过点M 的直线交C 于P ，Q 两点，求PQN V 的内切圆面积的最大值． 21. 已知函数()1eln x f x a x a -=-+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()ln 1f x x x ≥-+，求a 的取值范围.（二）选考题：共10分，考生从22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．【选修4-4：坐标系与参数方程】22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos ,1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为22cos 3ρρθ-=．（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的一般方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求ABC 面积的最大值．【选修4-5：不等式选讲】23. 已知函数()2133f x x x =++-．（1）解不等式()5f x >；（2）设函数()2312g x x x m =-++，若函数()f x 与()g x 的图象无公共点，求参数m 的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的．1. 若复数z 满足()1i 34i z -=+，则复数z 共轭复数的虚部为（）A. 12-B.72C.72i D. 72-【答案】D 【解析】【分析】根据复数除法运算可求得z ，由共轭复数和虚部定义可求得结果.的的详解】由()1i 34i z -=+得：()()()()34i 1i 34i 17i 17i 1i 1i 1i 222z +++-+====-+--+， z ∴的共轭复数17i 22z =--，则其虚部为72-.故选：D.2. 已知集合105x A x x ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭，(){}22log 16B x y x ==-，则()R A B ⋂=ð（）A. ()1,4-B. []1,4-C. (]1,5-D. ()4,5【答案】B 【解析】【分析】计算出集合A 、B 后，借助补集定义及交集定义即可得. 【详解】由105x x +≥-，即()()15050x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩，解得15x -≤<，故{}15A x x =-≤<，由()22log 16y x =-，可得2160x ->，即>4x 或<4x -，故{}R 44B x x =-≤≤ð，故(){}R 14A B x x ⋂=-≤≤ð. 故选：B.3. 已知在边长为1的菱形ABCD 中，角A 为60︒，若点E 为线段CD 的中点，则AE EB ⋅=（）A.B.34C. 34-D. 32-【答案】C 【解析】【分析】借助向量的线性运算及数量积公式计算即可得【详解】2211113122444AE EB AD AB AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+-=-=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C.【4. 已知角α的始边为x 轴的非负半轴，顶点为坐标原点，若它的终边经过点()1,2P -，则sin2cos2αα+=（） A.15B. 95-C. 75-D. 15-【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数的定义求出sin α，cos α，再由二倍角公式代入计算可得. 【详解】因为角α的终边经过点()1,2P -，所以sin α==，cos α==，所以2sin2cos22sin cos 2cos 1ααααα+=+-272215=⨯+⨯-=-. 故选：C5. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若42S =，812S =，则20S =（） A. 30 B. 58C. 60D. 90【答案】D 【解析】【分析】借助等差数列片断和的性质计算即可得. 【详解】由数列{}n a 为等差数列，故4S 、84S S -、128S S -、1612S S -、2016S S -亦为等差数列，由42S =，812S =，则8410S S -=，故12818S S -=，161226S S -=，201634S S -=，即有1281830S S =+=，16122656S S =+=，12063490S S ==+. 故选：D.6. 执行如图的程序框图，则输出的结果是（）A. 5050B. 4950C. 166650D. 171700【答案】D 【解析】【分析】把问题转化成为求数列的和，根据数列求和的方法求解. 【详解】问题转化为：已知{}n a 中，n a n =，n A 是数列{}n a 的前n 项和，n S 是数列{}n A 的前n 项和.最终求100S .所以()2111222n n n A n n +==+， ()()22210011121001210022S =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+11001012015050262⨯⨯=⨯+171700=. 故选：D【点睛】关键点点睛：正整数前n 项的平方和公式：()()222211231216n n n n +++⋅⋅⋅+=++要记清，这是求解的一个重点.7. 已知平面区域Ω中的点满足))110x y x y ⎡⎤⎡⎤+--+<⎣⎦⎣⎦，若在圆面222x y +≤中任取一点P ，则该点取自区域Ω的概率为（） A.13B.14C. 16D.17【答案】B 【解析】【分析】先求出A 、B 所表示区域的面积，然后代入几何概率公式，计算即可得答案．【详解】根据题意可得集合22{(,)|2}A x y x y =+≤所表示的区域即为如图所表示的圆及内部的平面区域，面积为2π，集合))}{(,)|110B x y x y x y ⎡⎤⎡⎤=+--+<⎣⎦⎣⎦，表示的平面区域即为图中的阴影部分，设,xOA xOB αβ=∠=∠，所以tan 1,tan 1βα===-， ()tan tan tan tan 11tan tan AOB βαβαβα-∠=-===+⋅，所以π4AOB ∠=，所以阴影部分的面积为：21ππ42S r ==，根据几何概率的计算公式可得π122π4P ==，故选：B ．8. 当函数3sin 4cos y x x =+取得最小值时，πsin 6x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据辅助角公式，结合三角函数的性质可得43cos sin ,sin cos ,55x x θθ=-=-=-=-即可由和差角公式求解.详解】()3sin 4cos 5sin ,y x x x θ=+=+其中34cos ,sin ,55θθ==，当π2π,Z 2x k k θ+=-+∈时，取最小值，此时π2π,Z 2x k k θ=--+∈，故43cos sin ,sin cos,55x x θθ=-=-=-=-【故π1314s in cos 62552x x x --⎛⎫+=+=+⨯= ⎪⎝⎭，故选：A9. 为了强化学生安全意识，落实“12530”安全教育，某学校让学生用这5个数字再加一个0来设定自己教室储物柜密码，若两个0之间至少有一个数字，且两0不都在首末两位，可以设置的密码共有（） A. 72 B. 120 C. 216 D. 240【答案】C 【解析】【分析】分两个0之间有一个数字，两个数字和三个数字，结合排列知识进行求解，相加后得到答案. 【详解】从左到右的6个位置分别为,,,,,A B C D E F ，若两个0之间有一个数字，此时两个0的位置有,A C 或,B D 或,C E 或,D F 四种情况，在把剩余的4个数进行全排列，此时共有444A 96=种，若两个0之间有两个数字，此时两个0的位置有,A D 或,B E 或,C E 三种情况，剩余的4个数进行全排列，此时有443A 72=种，若两个0之间有三个数字，此时两个0的位置有,A E 或,B F 两种情况，剩余的4个数进行全排列，此时有442A 48=种，综上，可以设置的密码共有967248216++=个. 故选：C10. 若将()ln ln ln y x y x =+-确定的两个变量y 与x 之间的关系看成()y f x =，则函数()y f x =的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用对数的运算及排除法即可求解.【详解】由()ln ln lny x y x=+-得()2y x y x xy x=-=-，显然1x≠，所以21xyx=-，由0x>，0y>得1x>，所以()()211xf x xx=>-，排除AB，由()211222411xf x xx x==-++≥+=--，当且仅当2x=时取等号，可排除D．故选：C．11. 已知点F为双曲线221169x y-=的右焦点，过点F的直线l（斜率为k）交双曲线右支于M，N两点，若线段MN的中垂线交x轴于一点P，则MNPF=（）A.54B.58C.45D.85【答案】D【解析】【分析】设直线MN的方程及M N、的坐标，利用韦达定理、弦长公式计算即可.【详解】设双曲线方程22221x ya b-=，焦距2c，显然4,3,5a b c===，不妨设MN的方程为：()()()1122,,,y k x c M x y N x y=-、，MN 的中点为Q ，则1212,22x x y y Q ++⎛⎫⎪⎝⎭，联立双曲线方程()222222222222222120x y b a k x ca k x a c k a b a b y kx ck ⎧-=⎪⇒-+--=⎨⎪=-⎩，所以2222222121222222223,,4ca k a c k a b x x x x k a k b a k b +⎛⎫+==-≠± ⎪--⎝⎭，则2121222222y y x x ckb k c a k b++⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭，()2222221ab k MN a k b +==-，易知222222222,ca k cb k Q a k b a k b ⎛⎫⎪--⎝⎭，则2222222221:PQ ca k cb kl y x k a k b a k b ⎛⎫=--+⎪--⎝⎭，令2222322222222220P cb k ca k c k y x a k b a k b a k b =⇒=+=---，则()22322222221cb k c k PF c a k b a k b+=-=-- 所以285MN a PFc ==. 故选：D12. 已知函数()222cos 22x a f x x =+，若0x =是函数()f x 的唯一极小值点，则a 的取值范围为（） A. [)1,+∞ B. ()0,1C. [)1,-+∞D.(],1-∞【答案】A【解析】【分析】对a 分类讨论，通过二阶求导得出函数()f x 的单调性，得出0x =是函数()f x 的唯一极小值点的条件.【详解】因为()2222coscos 1222x a af x x x x =+=++，所以()sin f x x ax -'=+，令()()sing x f x x ax ==-+'，()cos g x x a -'=+，当1a ≥时，()cos 0g x x a '=-+≥，故()g x 单调递增，又()00g =，故当0x >时()0g x >，当0x <时()0g x <，所以()f x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，故0x =是函数()f x 的唯一极小值点，符合题意；当1a <时，()010g a =-'+<，故一定存在0m >，使得()g x 在()0,m 单调递减，此时0x =不是函数()f x 的极小值点，不合题意，综上所述，a 的取值范围为[)1,+∞，故选：A.【点睛】关键点点睛：本题关键是通过二阶求导，得出函数()f x 的单调性，对a 分类讨论得出结果.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知总体的各个个体的值由小到大依次为2,4,4,6,,,12,14,18,20a b ，且总体的平均值为10，则49a b+的最小值为________．【答案】54【解析】【分析】根据平均数得到方程，求出20a b +=，由基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由题意得0244612141110820a b +++++++=++，解得20a b +=，由于612a b <<<，故()491491941549132020204a b a b a b a b b a ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当94a bb a =，8,12a b ==时，等号成立. 故答案为：5414. P 为抛物线24y x =上任意一点，点()2,4A ，设点P 到y 轴的距离为d ，则PA d +的最小值为____________．1##1-+ 【解析】【分析】将点P 到y 轴的距离转化为到准线的距离，再转化为到焦点的距离，利用两点之间线段最短来求解.【详解】由已知得点P 到抛物线准线的距离为1d +，又抛物线焦点()1,0F ，则111111PA d PA d PA PF AF +=++-=+-≥-=-=.1.15. 已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若cos sin a b C B =+，设点D 为边AC 的中点，且4BD AC ==，则ABC S = _____________．【答案】【解析】【分析】利用正弦定理结合三角恒等变换先得B ，再根据平面向量的线性运算及数量积公式、三角形面积公式计算即可.【详解】易知(),,0,π,πA B C A B C ∈++=，sin 0C >，由正弦定理可知：()sin sin cos sin sin A B C C B B C =+=+sin cos sin cos tan B C C B B =+⇒=π6B =，又点D 为边AC 的中点，且4BD AC ==，所以22222242642cos BD BA BC BD BA BC BA BC c a ac B =+⇒=++⋅==++，由()2222162cos AC BC BA a c ac B =-⇒=+- ，cos 12ac B ac =⇒=1sin 2ABC S ac B ==△.故答案为：16. 已知三棱锥D ABC -中，4,3,5AB AC BC ===，三角形DBC 为正三角形，若二面角D BC A --为120︒，则该三棱锥的外接球的体积为________．【解析】【分析】依题意可得90BAC ∠=︒，球心O 在过BC 的中点1O 与平面ABC 垂直的直线上，同时也在过BCD △的中心2O 与平面BCD 垂直的直线上，即可得到1260O OO ∠=︒，求出22,OO O D ，从而求出三棱锥D ABC -的外接球的半径为R ，即可得到外接球的体积.【详解】解：如图，∵4,3,5AB AC BC ===，即222AB AC BC +=，∴90BAC ∠=︒. ∴球心O 在过BC 的中点1O 与平面ABC 垂直的直线上，同时也在过BCD △的中心2O 与平面BCD 垂直的直线上，. ∴这两条直线必相交于球心O . ∵二面角D BC A --的大小为120︒，易知1260O OO ∠=︒，2190OO O ∠=︒，1211133O O O D ===，2125tan 306OO O O ∴=⋅︒==，212233O D O D === ， ∴三棱锥D ABC -的外接球的半径为R OD ====∴三棱锥D ABC -的外接球的体积为3344ππ33V R ==⨯=.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 已知正项数列{}n a 满足()2221212n n n a a a +++⋅⋅⋅+=，*N n ∈．（1）若1n n n b a a +=-，请判断并证明数列{}n b 的单调性；（2）若211n n n c a a +⎛⎫= ⎪⎝⎭，求数列{}n c 的前n 项和n S ．【答案】（1）数列{}n b 是单调递减数列，证明见解析（2）1nn + 【解析】【分析】（1）根据题意，当2n ≥时，()22212112n n n a a a --++⋅⋅⋅+=，两式相减求得2n a n =，得到n b =10n n b b +-<，即可得证；（2）由n a =，可得()11111n c n n n n ==-++，结合裂项求和，即可求解.【小问1详解】解：因为()()222121N 2n n n a a a n *+++⋅⋅⋅+=∈，当1n =时，211a =；当2n ≥时，()22212112n n n a a a --++⋅⋅⋅+=，两式相减得：()()()211222n n n n n a n n +-=-=≥，又因为1n =时，2211n a a ==，因为0n a >，所以n a =，则1n n n b a a +=-=又因为1n n b b +-=-0==<所以数列{}n b 是单调递减数列．【小问2详解】解：由n a =，可得()21111111n n n c a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++⎝⎭则12311111111223341n n S c c c c n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+=-+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111nn n =-=++． 18. 陕西省从2022年秋季启动新高考，新高考“312++”模式中“3”为全国统一高考科目的语文、数学、外语，“1”为首选科目，要求从物理、历史2门科目中确定1门，“2”为再选科目，要求从思想政治、地理、化学、生物学4门科目中确定2门，共计产生12种组合．某班有学生50名，在选科时，首选科目选历史和物理的统计数据如下表所示：历史物理合计男生 2 23 25 女生 8 17 25 合计 104050附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．α 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001a χ 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828（1）根据表中的数据，判断是否有99%的把握认为学生选择历史与性别有关；（2）从选择历史的10名学生中任意抽取3名同学参加学校“铭记历史，强国有我”演讲比赛，设X 为抽取的三名学生中女生的人数，求X 的分布列，并求数学期望和方差．【答案】（1）没有（2）分布列见解析；期望为()125E X =，方差()2875D X =【解析】【分析】（1）由公式计算出2χ，对照临界表中的数据，即可得出答案；（2）求出X 的可能取值及其对应的概率，即可求出X 的分布列，再由数学期望和方差公式即可求出X 的数学期望和方差．【小问1详解】将表中的数据带入，得到：()()()()222()50(217823) 4.5 6.63525251040n ad bc a b c d a c b d χ-⨯⨯-⨯===<++++⨯⨯⨯，所以没有99%的把握认为学生选择历史与性别有关．【小问2详解】由题意知，X 的可能取值为1,2,3，则()()()2112328288333101010C C 1C C 7C 71,2,3C 15C 15C 15P X P X P X ⨯⨯=========，所以分布列为：X 12 3P115 715 715则数学期望()177121231515155E X =⨯+⨯+⨯=，方差()2221211271272812351551551575D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.19. 在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．（1）求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；（2）是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在；4AP =- 【解析】【分析】（1）根据线线垂直可证明线面垂直，进而根据线面垂直即可求证，（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解二面角即可求解. 【小问1详解】证明：如图，设,M N 分别为,EF AB 边的中点，连接,,MN DM CN ，因为⊥AE 平面,,5,4,3ABC AE CD BF AE CD BF ===∥∥，所以42AE BFMN CD +===，//MN BF ,进而MN CD ∥，即四边形CNMD 为平行四边形，可得MD CN ∥，在底面正三角形ABC 中，N 为AB 边的中点，则CN AB ⊥，又⊥AE 平面ABC ，且CN ⊂平面ABC ，所以AE CN ⊥．由于⋂=AE AB A ，且AE AB ⊂、平面ABFE ，所以CN ⊥平面ABFE ．因为,MD CN CN ⊥∥平面ABFE ，则MD ⊥平面ABFE ，又MD ⊂平面DEF ，则平面DEF ⊥平面AEFB ．【小问2详解】如图，以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，则()())0,0,5,0,2,4,E D F．设点()0,0,P t，则)()()1,1,0,2,1,0,2,4DF DE DP t =--=-=--．设平面PDF 的法向量为()1111,,n x y z = ，平面EDF 的法向量为()2222,,n x y z =．由题意知110,0,n DF n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即()111110,240,y z y t z --=-+-=⎪⎩ 令12z =，则114,y t x =-=，即14,2n t ⎫=-⎪⎭， 220,0,n DF n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即222220,20,y z y z --=-+=⎪⎩取22z =，则)22n = ，由121212π1cos ,cos32n n n n n n ⋅====，28290t t +-=，解得：4t =±-，由于点P 为线段AE 上一点，故05t ≤≤，所以4t =-，当4t =-时，二面角P DF E --所成角为锐角，即存在点P 满足，此时4AP =-．20. 已知两圆1C ：()22125x y -+=，2C ：()2211x y ++=，动圆C 在圆1C 的内部，且与圆1C 相内切，与圆2C 相外切．（1）求点C 的轨迹方程；（2）设点()1,0M -，()1,0N ，过点M 的直线交C 于P ，Q 两点，求PQN V 的内切圆面积的最大值．【答案】（1）22198x y +=（2）64π81【解析】【分析】（1）借助圆与圆的位置关系及椭圆定义计算即可得；（2）设出直线方程，联立直线与圆锥曲线的方程，得到与y 有关韦达定理；表示出PQN V 的面积，计算出PQN V 的周长，借助等面积法可表示出PQN V 的内切圆的半径，利用换元法结合对勾函数性质可得半径的最大值即可得内切圆面积的最大值.【小问1详解】设点(),C x y 为所求曲线轨迹上任意一点，动圆C 半径为r ，则15CC r =-，21CC r =+，即有121262CC CC C C +=>=，由椭圆的定义知，点C 是以()1,0-，()1,0为焦点，3a =的椭圆，则2918b =-=，所以点C 的轨迹方程为22198x y +=；【小问2详解】由题意知，直线PQ 的斜率不为0，设直线方程为1x my =-，点()11,P x y ，()22,Q x y ，联立221981x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，可得()228916640m y my +--=， ()()()222Δ1646489230410m m m =-+⨯⨯+=+>，则1221689m y y m +=+，1226489y y m =-+，1212PNQS MN y y=-==，又PNQV的周长l为4312⨯=，所以PNQV的内切圆半径2Srl===令t=，则1t≥，设函数()18f t tt=+，由对勾函数的性质可得函数()f t在1t≥时单调递增，故()9f t≥，则89r≤，此时PNQV的内切圆面积的最大值2max64ππ81S r==．.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标()11,x y，()22,x y；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x+、12x x（或12y y+、12y y）的形式；（5）代入韦达定理求解.21. 已知函数()1e lnxf x a x a-=-+.（1）讨论()f x的单调性；（2）若()ln1f x x x≥-+，求a的取值范围.【答案】（1）()f x在(),1ln a∞--上单调递减，()f x在()1ln,a∞-+上单调递增（2）[)1,+∞【解析】为【分析】（1）求出导函数，解导函数不等式结合定义域即可求解单调区间；（2）()ln 1f x x x ≥-+即ln 1ln e ln 1e ln a x x a x x +-++-≥+，令()e xg x x =+，利用单调性得ln 1ln a x x ≥+-，再构造函数()1ln h x x x =+-，利用导数研究函数最值即可求解.【小问1详解】因为()1e ln x f x a x a -=-+，定义域为R ，所以()1e 1x f x a -'=-，因为0a >，令()1e 10x f x a -'=-=，解得1ln x a =-，当1ln x a <-时，()0f x '<，则()f x 在(),1ln a ∞--上单调递减；当1ln x a >-时()0f x '>，则()f x 在()1ln ,a ∞-+上单调递增；综上：()f x 在(),1ln a ∞--上单调递减，()f x 在()1ln ,a ∞-+上单调递增.【小问2详解】因为()1e ln x f x a x a -=-+，所以()ln 1f x x x ≥-+等价于ln 1ln e ln 1ln e ln a x x a x x x x +-++-≥+=+，令()e xg x x =+，上述不等式等价于()()ln 1ln g a x g x +-≥，显然()g x 为单调增函数，所以所求不等式等价于ln 1ln a x x +-≥，即ln 1ln a x x ≥+-，令()1ln h x x x =+-，则()111x h x x x-=-='，在()0,1上，()0h x '>，()h x 单调递增，在()1,∞+上，()0h x '<，()h x 单调递减，所以()max ()10h x h ==，所以ln 0≥a ，所以1a ≥，即a 的取值范围是[)1,+∞.【点睛】关键点点睛：本题考查了导数在函数中的应用，关键是第二问题中涉及不等式恒成立问题，需将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.（二）选考题：共10分，考生从22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．【选修4-4：坐标系与参数方程】22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos ,1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为22cos 3ρρθ-=．（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的一般方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求ABC 面积的最大值．【答案】（1）()2214x y -+=，sin cos cos 0x y ααα⋅-⋅+=（2）2【解析】【分析】（1）利用公式把极坐标方程转化为直角坐标方程；消去参数t ，可把直线的参数方程化成一般方程. （2）把直线参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，表示出ABC 的面积，结合基本（均值）不等式可求最大值.【小问1详解】∵曲线C 的极坐标方程为22cos 3ρρθ-=，∴曲线C 的直角坐标方程为22230x y x +--=，即()2214x y -+=，又∵直线l 的参数方程为cos ,1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数）， ∴直线l 的一般方程为sin cos cos 0x y ααα⋅-⋅+=．【小问2详解】将直线l 的参数方程cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数）带入()2214x y -+=中，得到()()22cos 1sin 14t t αα-++=，化简可以得到：2204t t πα⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，则124t t πα⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，1220t t =-<，1212AB t t t t =+=-=====圆心C 到直线l 的距离d ==，则13sin 21sin 2222ABC S AB d αα-++=⋅⋅=≤= ，当且仅当3sin 21sin 2αα-=+，即sin 21α=时取等号．所以ABC 面积的最大值为2．【选修4-5：不等式选讲】23. 已知函数()2133f x x x =++-．（1）解不等式()5f x >；（2）设函数()2312g x x x m =-++，若函数()f x 与()g x 的图象无公共点，求参数m 的取值范围．【答案】（1）3|5x x ⎧<-⎨⎩或75x ⎫>⎬⎭（2）73,12⎛⎫-∞-⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）分类讨论去绝对值，然后列不等式求解；（2）通过观察图象可得()()f x g x =在[)1,+∞上无解，然后转化为()2min 372m x x <--，利用二次函数的性质求最值即可.【小问1详解】()125,2121334,1252,1x x f x x x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=++-=--<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，若()5f x >，即12255x x ⎧≤-⎪⎨⎪->⎩或11245x x ⎧-<<⎪⎨⎪->⎩或1525x x ≥⎧⎨->⎩，解之得35x <-或75x >，则原不等式的解集为3|5x x ⎧<-⎨⎩或75x ⎫>⎬⎭；【小问2详解】的函数()2312g x x x m =-++，若函数()f x 与()g x 的图象无公共点，即()()f x g x =在[)1,+∞上无解，可得：231252x x m x -++=-无解，即23720x x m ---=在[)1,+∞上无解，即()2min 372m x x <--，[)1,x ∞∈+，因为函数227733723612y x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，当[)1,x ∞∈+时，min 7312y =-，所以7312m <-，即m 的取值范围为73,12∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭．。

2023-2024学年陕西省高三下学期高考数学(理)模拟试题(二模)含解析

2023-2024学年陕西省高三下学期数学（理）模拟试题（二模）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合(){}{ln 10},21,xA x xB y y x A =-<==-∈，则A B = （）A ．()1,3B ．()1,2C ．()1,3-D ．()1,-+∞2.如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数i1iz a =-（i 为虚数单位）为“等部复数”，则实数a 的值为（）A ．3-B ．1-C ．0D ．13.若圆锥的母线长为6π，则该圆锥的体积是（）AB ．9πC．D ．3π4.我市拟向哈密地区的三所中学派出5名教师支教，要求每所中学至少派遣一名教师，则不同的派出方法有（）A ．300种B ．150种C ．120种D ．90种5.若()()()()()42201223222nn x x x a a x a x a x -+=+-+-++- ，则564a a a +=（）A ．15B ．25C ．35D ．456.在如今这个5G 时代，6G 研究已方兴未艾.2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办.会上传出消息，未来6G 速率有望达到1Tbps ，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计6G 数据传输速率有望比5G 快100倍，时延达到亚毫秒级水平.香农公式2log (1)SC W N=+是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比.若不改变带宽W ，而将信噪比SN从11提升至499，则最大信息传递率C 会提升到原来的（）(参考数据:22log 3 1.58,log 5 2.32==)A ．2.7倍B ．2.6倍C ．2.5倍D ．2.4倍7.已知抛物线2:2(0)C y px p =>，倾斜角为6π的直线交C 于,A B 两点，若线段AB 中点的纵坐标为p 的值为（）A.12B.1C.2D.48.已知函数5()cos()124f x x π=-+，若将()y f x =的图像向右平移()0m m >个单位长度后图像关于y 轴对称，则实数m 的最小值为（）A ．10πB ．310πC ．710πD ．1110π9.已知函数()2ln 3x f x x -=+，2log 3a =，3log 4b =，32c =，则（）A ．()()()f a f b f c <<B ．()()()f a f c f b <<C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f c f b f a <<10.已知双曲线22221x y a b-=),(00>>b a 的左、右焦点分别为21F F ,，过点1F 且垂直于x 轴的直线与该双曲线的左支交于B A ,两点，若2ABF △的周长为16，则当2b 取得最大值时，该双曲线的离心率为（）AB C ．2D 11.已知函数()f x ，()g x 的定义域均为R ，()f x 为偶函数且()()23f x f x ++=，()()102g x g x +-=，则[]91()()i f i g i =+=∑（）A ．21B ．22C ．452D ．47212.已知函数()2ln 1f x x mx =+-有两个零点,a b ，且存在唯一的整数[]0,x a b ∈，则实数m 的取值范围为（）A ．e 02⎛⎫⎪⎝⎭,B ．ln 3e e ,92⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．ln 2e ,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．ln 2e ,14⎛⎤⎥⎝⎦第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸中相应的横线上.）13.已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=______．14.已知点M 在直线BC 上，点A 在直线BC 外，若AB AC AB AC +=-，且4AB =uu u r ，2AC = ，则AM的最小值为______.15.数列{}n a 中，1log (2)(N )n n a n n *+=+∈．定义：使数列{}n a 的前k 项的积为整数的数(N )k k *∈叫做期盼数，则区间[1,2023]内的所有期盼数的和等于______.16.已知正四面体-P ABC 内接于球，D 为棱AB 上点，满足3AD DB =.若存在过D 点且面积为3π的截面圆，则正四面体棱长的取值范围为______.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项的积记为n T ，且满足112n n na T a -=.(1)证明：数列{}n T 为等差数列;(2)设11n n n b T T +=，求数列{}n b 的前n 项和n S .18.(本小题满分12分)强基计划校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节.已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门科目通过的概率均为12；该考生报考乙大学，每门科目通过的概率依次为1263m ，，，其中01m <<．(1)若23m =，分别求出该考生报考甲、乙两所大学在笔试环节恰好通过一门科目的概率；(2)强基计划规定每名考生只能报考一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作决策，当该考生更希望通过乙大学的笔试时，求m 的取值范围．19.(本小题满分12分)如图，,AB CD 分别是圆台上､下底面的直径，且ABCD ，点E (异于,D C 两点)是下底面圆周上一点，AB =，圆台的高.(1)证明：不存在点E 使平面AEC ⊥平面ADE ；(2)若4DE CE ==，求二面角D AE B --的余弦值.20.(本小题满分12分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为点,,A B且4,AB =椭圆C 离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的右焦点，且斜率不为0的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，直线AM ，BN 的交于点Q ，求证：点Q 在直线4x =上.21.(本小题满分12分)已知函数221()2(0)2f x ax x a lnx a =-+≠.(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：121212()()11f x f x x x x x -<+-请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写．22．(本小题满分10分)选修44-：坐标系与参数方程．如图是以等边OAB ∆的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形，记为勒洛OAB ∆（勒洛三角形是德国机械工程专家，机械运动学家勒洛首先发现的，故命名为勒洛三角形）．在平面直角坐标系XOY 中，以坐标原点O 为极点，以X 轴非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系（规定：极径0ρ≥，极角[]π,πθ∈-），已知,A B 两点的极坐标分别为π2,6A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，π2,6B ⎛⎫ ⎪⎝⎭．(1)求AB 和OB 的极坐标方程；(2)已知M点的极坐标π12M ⎫⎪⎭，Q 是AB 上的动点，求2MQ 的取值范围．23．(本小题满分10分)选修45-：不等式选讲．已知()32f x x a x a =-++-，()()221g x x ax a =-++∈R (1)当2a =时，解关于x 的不等式()7f x ≥;(2)若对12,x x ∀∈R ，都有()()12f x g x >成立，求a 的取值范围.陕西师大附中2022-2023学年度高三年级第十一次模考试题答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)题号123456789101112答案A BD B D C C B B A CD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸中相应的横线上.）10．14．5．15．2026．16．4⎡⎤⎣⎦．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．【详解】（1）当2n ≥时，11111122222n n n n n n a T T a a T --==-=-，1122n n T T-∴=-，即12n n T T --=，又当1n =时，11111112a T a a -==，得113T a ==，∴数列{}n T 是以3为首项，2为公差的等差数列；（2）由（1）得21n T n =+，则12111(21)(23)2123n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，11111111+3557212332331122(23)n nn S n n n ⎛⎫⎛⎫--++-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭=.18．【详解】（1）设该考生报考甲大学恰好通过一门笔试科目为事件A ，该考生报考乙大学恰好通过一门笔试科目为事件B ，根据题意可得213113()C 228P A ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，211521217()2636335418P B ⎛⎫=⨯+⨯⨯⨯=⎪⎝⎭.（2）设该考生报考甲大学通过的科目数为X ，报考乙大学通过的科目数为Y ，根据题意可知，1~3,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭，则13()322E X =⨯=，515(0)(1)(1)6318P Y m m ==⨯-=-，115251111(1)(1)(1)636363183P Y m m m m ==⨯-+⨯-+⨯=-，12115211(2)(1)63636392P Y m m m m ==⨯-+⨯+⨯=+，121(3)639P Y m m ==⨯=，则随机变量Y 的分布列为Y 0123P5(1)18m -111183m -1192m +19m 111215()183936E Y m m m m =-+++=+，若()()E Y E X >，则5362m +>，故213m <<，即m 的取值范围是2,13⎛⎫⎪⎝⎭.19．【详解】(1)假设存在这样的点E 使平面AEC ⊥平面ADE ，CD 是底面直径，故EC DE ⊥，作DH AE ⊥，垂足为H ，由于平面AEC ⊥平面ADE ，平面AEC I 平面ADE AE =，DH ⊂平面ADE ，根据面面垂直的性质定理，DH ⊥平面AEC ，又EC ⊂平面AEC ，故DH EC ⊥，又DH DE D Ç=，,DH DE Ì平面ADE ，故EC ⊥平面ADE ，故EC AE ⊥，同理可证ED AE ⊥，又,,DE CE E DE CE ⋂=⊂平面CDE 于是⊥AE 平面ECD ，又圆台上下底面圆心连线垂直于底面，但显然上下底的圆心连线不和AE 平行，于是假设矛盾，故不存在点E 使平面AEC ⊥平面ADE .(2)过B 作BF CD ⊥，垂足为F ，下以F 为原点，,FB FD 为,x z 轴，过F 垂直于BD 且落在底面的射线为y 轴，建立空间直角坐标系.列出各点坐标(32,0,0),(22,0,14),(2,22,0),(0,0,14)D AE B (2,22,14)AE =-- ，(22,22,0)DE =- ，设平面ADE 的法向量(,,)n x y z =，00n AE n AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得22214022220x y z x y ⎧-+-=⎪⎨-+=⎪⎩，不妨取(7,7,1)n = ；(2,22,14)AE =-- ，(22,0,0)AB =-，设平面ABE 的法向量(,,)m a b c = ，00m AE m AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 可得222140220x y z x ⎧-+-=⎪⎨-=⎪⎩，不妨取(0,7,2)m = .于是法向量,m n 的夹角为93165cos ,551511m n m n m n⋅===⋅.由图所示二面角的大小是钝角，故二面角大小的余弦值是316555-.20．【详解】（1）因为AB 4=，椭圆C 离心率为12，所以2222412a c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得24a =，23b =.所以椭圆C 的方程是22143x y +=.（2）①若直线l 的斜率不存在时，如图，因为椭圆C 的右焦点为()1,0，所以直线l 的方程是1x =.所以点M 的坐标是31,2⎛⎫⎪⎝⎭，点N 的坐标是31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.所以直线AM 的方程是()122y x =+，直线BN 的方程是()322y x =-.所以直线AM ，BN 的交点Q 的坐标是()4,3.所以点Q 在直线4x =上.②若直线l 的斜率存在时，如图.设斜率为k .所以直线l 的方程为()1y k x =-.联立方程组()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()2223484120k x k x k +-+-=.显然0∆>.不妨设()11,M x y ，()22,N x y ，所以2122834k x x k +=+，212241234k x x k -⋅=+.所以直线AM的方程是()1122y y x x =++.令4x =，得1162=+y y x .直线BN 的方程是()2222y y x x =--.令4x =，得2222y y x =-.所以()()121212126121622222k x k x y y x x x x ---=-+-+-()()()()()()12121261222122k x x k x x x x ---+-=+-分子()()()()1212612221k x x k x x =---+-()()12211212232222k x x x x x x x x =--+--+-⎡⎤⎣⎦.()12122258k x x x x =-++⎡⎤⎣⎦()2222241258283434k k k k k ⎡⎤-⨯⎢⎥=-++⎢⎥⎣⎦22228244024322034k k k k k ⎛⎫--++== ⎪+⎝⎭.所以点Q 在直线4x =上.21．【详解】（1）22222()1a ax x a f x ax x x -+'=-+=，设22()2p x ax x a =-+．(0)x >，△318a =-，当12a 时，△0 ，()0p x，则()0f x ' ，()f x 在(0,)+∞上单调递增，当102a <<时，△0>，()p x的零点为1x =2x =，且120x x <<，令()0f x '>，得10x x <<，或2x x >，令()0f x '<，得12x x x <<，()f x ∴在，上单调递减，在，，)+∞单调递增，当0a <时，△0>，()p x 的零点为1182a，()f x ∴在1(0,2a上单调递增，在1(2a-，)+∞上单调递减．（2）证明：由（1）知，当102a <<时，()f x 存在两个极值点，不妨设120x x <<，则121x x a +=，要证：121212()()11f x f x x x x x -<+-，只要证121212121221()()()()x x x x x x f x f x x x x x -+->=-，只需要证211212122211()[()2]22x x x x x a x x a ln x x x -+-+>-，即证21121222112()2x x x a ln x x x x x -+>-，设12x t x =，(01)t <<，设函数21()2g t a lnt t t =-+，22221()t a t g t t -+∴'=-，∴△4440a =-<，22210t a t ∴-+>，()0g t ∴'<，()g t ∴在(0,1)上单调递减，则()(1)0g t g >=又121()02x x -<，则121()0()2g t x x >>-，则21121222112)2x x x a ln x x x x x -+>-，从而121212()()11f x f x x x x x -<+-．22．【详解】(1)因为AB 所在圆的直角坐标方程为224x y +=，所以AB 的极坐标方程为2ρ=，ππ,66θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦；因为π2,6A ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直角坐标是)1-，所以OB的所在的圆的直角坐标方程(()2214x y ++=，所以OB 的极坐标方程为π4cos 6ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ,63θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．(2)解：因为Q 是AB 上的动点，所以设()(),2,Q ρθθ=，ππ,66θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，在OMQ 中，由余弦定理得222π2cos 12MQ OQ OM OQ OM θ⎛⎫=+-⋅⋅- ⎪⎝⎭ππ42641212θθ⎛⎫⎛⎫=+--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由ππ,66θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得πππ,12124θ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以πcos ,1122θ⎤⎛⎫-∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，故262MQ ⎡⎤∈-⎣⎦.23．【详解】（1）当2a =时，()24f x x x =-++当2x ≥时，()24227f x x x x =-++=+≥，∴52x ≥当42x -≤<时，()67f x =≥，无解．当<4x -时，()24227f x x x x =---=--≥，∴92x ≤-综上不等式的解集为5922x x x ⎧⎫≥≤-⎨⎬⎩⎭或（2）由已知()()min max f x g x >∵()()()323242f x x a x a x a x a a =-++---+-=-≥，∴()min 42f x a =-()()2max 1g x g a a ==+∴2421a a ->+等价于2421a a ->+或2421a a -<--，解得13a <<或22a -<<-．。

陕西省高三第二次模拟考试数学(理)试题 (含答案解析)

长安一中高新一中交大附中师大附中西安中学高第二次模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合2{|(1)}(,),A x x a a i a R i A R ==+-∈⊆是虚数单位若，则a=A ．1B ．-1C ．±1D ．02．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，其中可以输出的函数是．A ．2()f x x =B ．1()f x x =C ．()ln 26f x x x =+-D ．()sin f x x =3．已知p ：存在2200,20.:,210x R mx q x R x mx ∈+≤∈-+>任意，若“p 或q”为假命题，则实数m 的取值范围是 A ．[1，+∞） B ．（一∞，一1] C ．（一∞，一2] D ．[一l ，1]4．设等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若14611,6a a a =-+=-,则当S n 取最小值时．n 等于 A ．6 B ．7 C ．8 D ．95．定义在R 上的函数()f x 满足2(6)(),31,()(2),f x f x x f x x +=-≤≤=-+当时当一1≤x<3时，(),(1)(2)(3)(2013)f x x f f f f =+++=则 A ．2013 B ．2012 C ．338D ．337 6．如果实数x 、y 满足条件1010,10x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩那么z=4x ·2-y 的最大值为A ．1B ．2C ．12D ．147．已知函数33(0)()(,)(0)(01)x x a x f x x a x a a -+-<⎧=∈-∞+∞⎨≥>≠⎩是且上的减函数，则a 的取值范围是A ．2(0,]3B ．1(,1)3 C ．（2，3） D ．12(,]238．已知F 1，F 2为双曲线22:1C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1212||2||,c o s P F P F F P F =∠则= A ．14 B ．34 C ．35 D ．459．已知球的直径SC=4，A ，B 是该球球面上的两点，AB=2．∠ASC=∠BSC=45°则棱锥S —ABC 的体积为A ．3B ．3C ．3D ．310．已知函数y=x 3-3x+c 的图像与x 恰有两个公共点．则c=A ．一2或2B ．一9或3C ．一1或1D ．一3或1第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案值填在答题卡的相应位置）11．若6(x -展开式的常数项是60，则常数a 的值为． 12．若曲线||21x y =+与直线y=b 没有公共点，则b 的取值范围是．13．椭圆2221(5x y a a+=为定值，且a >F ，直线x=m 与椭圆相交于点A 、B 。

陕西省榆林市2023届高三下学期第四次模拟考试数学(理) PDF版含解析

绝密★启用前榆林市2022～2023年度第四次模拟考试数学试题(理科)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。

考试时间120分钟。

2．请将各题答案填写在答题卡上。

3．本试卷主要考试内容：高考全部内容。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(杨宪伟老师工作坊)集合P ＝{－2，2}，集合Q ＝{－1，0，2，3}，则P ∪Q ＝()(A)[－2，3](C){2}(B){－2，－1，0，2，3}(D){－2，－1，0，3}2．(杨宪伟老师工作坊)复数z ＝(1－i)(3＋i)，则复数z 在复平面内对应的点位于()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限3．(杨宪伟老师工作坊)双曲线y 28－x 26＝1的一条渐近线方程为()(A)3x －4y ＝0(B)4x －3y ＝0(C)3x ＋2y ＝0(D)2x －3y ＝04．(杨宪伟老师工作坊)若tan(α＋π4)＝15，则tan α＝()(A)－23(B)23(C)－13(D)135．(杨宪伟老师工作坊)若函数f (x )＝x 2－e －ax (a ∈R )，若f (x )的图象在x ＝0处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为1，则a ＝()(A)12(B)2(C)±2(D)±126．(杨宪伟老师工作坊)将函数y ＝cos2x 的图象向右平移π20个单位长度，再把所得图象各点的横坐标缩小到原来的12(纵坐标不变)，所得图象的一条对称轴为x ＝()(A)π80(B)π60(C)π40(D)π207．(杨宪伟老师工作坊)已知a ＝log 32，b ＝0.30.5，c ＝0.5－0.4，则()(A)c＜b＜a(B)c＜a＜b(C)a＜b＜c(D)b＜c＜a 8．(杨宪伟老师工作坊)(5x2＋8x)9的展开式中含x3项的系数为()(A)C69·53·86(B)C59·54·85(C)C79·52·87(D)C49·55·84 9．(杨宪伟老师工作坊)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为BB1，CD的中点，则异面直线MN与BC1所成角的余弦值为()(A)36(B)34(C)33(D)3210．(杨宪伟老师工作坊)某学校举行了一次航天知识竞赛活动，经过班级初选后一共100名学生参加学校决赛，把他们的成绩(满分100分)分成[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95]共五组，并得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为40．分析样本数据后，发现学生的竞赛分数X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差．若某学生的成绩高于79.9即给该学生颁发优胜奖杯，则估计此次竞赛获得优秀奖杯的人数为(结果根据四舍五入保留到整数位)()参考数据：随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0. 9545，119≈10.9．(A)15(B)16(C)34(D)3511．(杨宪伟老师工作坊)已知球O的内接三棱锥P－ABC的体积为6，且PA，PB，PC的长分别为6，3，2，则三棱锥A－BOC的体积为()(A)2(B3(C)4(D)612．(杨宪伟老师工作坊)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且g(x)＝2f(x＋1)－2，2f(x)＋g(x－3)＝2．若y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，且f(1)＝3，现有四个结论：①g(0)＝4；②4为g(x)的周期；③g(x)的图象关于点(2，0)对称；④g(3)＝0．其中结论正确的编号为()(A)②③④(B)①③④(C)①②④(D)①②③第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(杨宪伟老师工作坊)已知向量a＝(3，2)，b＝(λ，－4)，若a⊥(a－b)，则λ＝▲．14．(杨宪伟老师工作坊)中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．张三和李四下棋，张三获胜的概率是13，和棋的概率是14，则张三不输的概率为．15．(杨宪伟老师工作坊)已知抛物线C：y2＝4x的顶点为O，经过过点A，且F为抛物线C 的焦点，若|AF|＝3|OF|，则△OAF的面积为．16．(杨宪伟老师工作坊)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2－b2＝3bc，sin C＝2sin B，则A＝▲．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(杨宪伟老师工作坊)(12分)已知等差数列{a n}中，a1＋a5＝7，a6＝132．(1)求{a n}的通项公式；(2)求数列{1a n a n＋1}的前n项和为S n．18．(杨宪伟老师工作坊)(12分)推进垃圾分类处理是落实绿色发展理念的必然选择．某社区开展有关垃圾分类的知识测试．已知测试中有A，B两组题，每组都有4道题目，甲对A组其中3道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题目每道题做对的概率为23，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为14．甲对B组每道题做对的概率为0.6，甲可以选择从A组中任选2道题或从B组中任选2道题．(1)若甲选择从A组中任选2道题，设X表示甲答对题目的个数，求X的分布列和期望；(2)以答对题目数量的期望为依据，判断甲应该选择哪组题答题．19．(杨宪伟老师工作坊)(12分)在如图所示的三棱锥D－ABC中，已知AB⊥AC，AB⊥AD，AC⊥AD，2AB＝AC＝AD＝4，E为AB的中点，F为AC的中点，G为CD的中点．(1)证明：AD ∥平面EFG ．(2)求平面BCD 与平面EFG 夹角的余弦值．20．(杨宪伟老师工作坊)(12分)已知函数f (x )＝12x 2－3ax ＋2a 2ln x ，a ≠0．(1)讨论f (x )的单调区间；(2)若f (x )有3个零点，求a 的取值范围．21．(杨宪伟老师工作坊)(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为34，左、右焦点分别为F 1，F 2，短轴长为27．(1)求椭圆C 的方程．(2)P 为第一象限内椭圆C 上一点，直线PF 1，PF 2与直线x ＝5分别交于A ，B 两点，记△PAB 和△PF 1F 2的面积分别为S 1，S 2，若S 1S 2＝913，求|AB |．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂22．(杨宪伟老师工作坊)[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x ＋y ＝5，圆M 以(3，0)为圆心且与l 相切．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆M 的极坐标方程；(2)若射线θ＝α(0＜α＜π2，ρ＞0)与圆M 交于点A ，B 两点，且1|OA |＋1|OB |＝17，求直线AB 的直角坐标方程．23．(杨宪伟老师工作坊)[选修4－5：不等式选讲](10分)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋2|的最小值为M ．(1)解关于x 的不等式f (x )＜M ＋|2x ＋2|；(2)若正数a ，b 满足a 2＋2b 2＝M ，求2a ＋b 的最大值．榆林市2022～2023年度第四次模拟考试数学试题解析(理科)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(杨宪伟老师工作坊)集合P ＝{－2，2}，集合Q ＝{－1，0，2，3}，则P ∪Q ＝()(A)[－2，3](C){2}(B){－2，－1，0，2，3}(D){－2，－1，0，3}【答案】B【解析】因为集合P ＝{－2，2}，集合Q ＝{－1，0，2，3}，所以P ∪Q ＝{－2，－1，0，2，3}，故选(B)．2．(杨宪伟老师工作坊)复数z ＝(1－i)(3＋i)，则复数z 在复平面内对应的点位于()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限【答案】D【解析】因为z ＝(1－i)(3＋i)＝4－2i ，所以复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，故选(D)．3．(杨宪伟老师工作坊)双曲线y 28－x 26＝1的一条渐近线方程为()(A)3x －4y ＝0(B)4x －3y ＝0(C)3x ＋2y ＝0(D)2x －3y ＝0【答案】D【解析】令y 28－x 26＝0，可得：2x ±3y ＝0，故选(D)．4．(杨宪伟老师工作坊)若tan(α＋π4)＝15，则tan α＝()(A)－23(B)23(C)－13(D)13【答案】A 【解析】解法1：因为tan(α＋π4)＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝tan α＋11－tan α＝15，所以tan α＝－23，故选(A)．解法2：tan α＝tan(α＋π4－π4)＝tan(α＋π4)－tanπ41＋tan(α＋π4)tanπ4＝－23，故选(A)．5．(杨宪伟老师工作坊)若函数f (x )＝x 2－e －ax (a ∈R )，若f (x )的图象在x ＝0处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为1，则a ＝()(A)12(B)2(C)±2(D)±12【答案】D【解析】f (x )＝x 2－e －ax ，f'(x )＝2x ＋a e －ax ，所以f'(0)＝a ，f (0)＝－1，f (x )的图象在x ＝0处的切线方程为y ＝ax －1，所以该切线与坐标轴围成三角形的面积12×1×1|a |＝1，解得：a ＝±12，故选(D)．6．(杨宪伟老师工作坊)将函数y ＝cos2x 的图象向右平移π20个单位长度，再把所得图象各点的横坐标缩小到原来的12(纵坐标不变)，所得图象的一条对称轴为x ＝()(A)π80(B)π60(C)π40(D)π20【答案】C 【解析】解法1：将函数y ＝cos2x 的图象向右平移π20个单位长度，得到的是函数y ＝cos2(x －π20)＝cos(2x －π10)，再把所得图象各点的横坐标缩小到原来的12，得到的是函数y ＝cos(4x －π10)，令4x －π10kπ(k ∈Z)，解得：x ＝π40＋kπ4(k ∈Z)，故选(C)．解法2：函数y ＝cos2x 的一条对称轴为x ＝0，将其向右平移π20个单位长度，再将横坐标缩小到原来的12，可得：x ＝π40，故选(C)．7．(杨宪伟老师工作坊)已知a ＝log 32，b ＝0.30.5，c ＝0.5－0.4，则()(A)c ＜b ＜a (B)c ＜a ＜b(C)a ＜b ＜c(D)b ＜c ＜a【答案】C【解析】因为a ＝log 32∈(0，0.5)，b ＝0.30.5∈(0.5，1)，c ＝0.5－0.4∈(1，2)，所以a ＜b ＜c ，故选(C)．8．(杨宪伟老师工作坊)(5x 2＋8x)9的展开式中含x 3项的系数为()(A)C69·53·86(B)C59·54·85(C)C79·52·87(D)C49·55·84【答案】B【解析】(5x2＋8x)9的展开式中含x3项为C59(5x2)4(8x)5＝C59·54·85x3，故选(B)．9．(杨宪伟老师工作坊)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为BB1，CD的中点，则异面直线MN与BC1所成角的余弦值为()(A)36(B)34(C)33(D)32【答案】A【解析】取B1C1的中点E，连结ME，EN，则平面ME∥CC1，所以∠EMN即为异面直线MN与BC1所成角，在△EMN中，MN＝EN＝6，ME＝2，cos∠EMN＝ME2MN＝36，故选(A)．10．(杨宪伟老师工作坊)某学校举行了一次航天知识竞赛活动，经过班级初选后一共100名学生参加学校决赛，把他们的成绩(满分100分)分成[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95]共五组，并得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为40．分析样本数据后，发现学生的竞赛分数X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差．若某学生的成绩高于79.9即给该学生颁发优胜奖杯，则估计此次竞赛获得优秀奖杯的人数为(结果根据四舍五入保留到整数位)()参考数据：随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0. 9545，119≈10.9．(A)15(B)16(C)34(D)35【答案】B【解析】由题意：第三组的频率为0.4，第四组的频率为0.15，所以μ＝50×0.1＋60×0.25＋70×0.4＋80×0.15＋90×0.1＝69；σ2＝(50－69)2×0.1＋(60－69)2×0.25＋(70－69)2×0.4＋(80－69)2×0.15＋(90－69)2×0.1＝119，σ≈10.9，P (X ＞79.9)＝1－P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)2≈0.15865，此次竞赛获得优秀奖杯的人数为：100×0.15865≈16，故选(B)．11．(杨宪伟老师工作坊)已知球O 的内接三棱锥P －ABC 的体积为6，且PA ，PB ，PC 的长分别为6，3，2，则三棱锥A －BOC 的体积为()(A)2(B3(C)4(D)6【答案】B【解析】V P －ABC ＝V C －P AB ≤13×12×PA ×PB ×PC ＝6，所以PA ，PB ，PC 互相垂直，而O 为三棱锥P －ABC V A －BOC ＝V O －ABC ＝12V D －ABC ＝12V P －ABC ＝3，故选(B)．12．(杨宪伟老师工作坊)已知函数f (x )，g (x )的定义域均为R ，且g (x )＝2f (x ＋1)－2，2f (x )＋g (x －3)＝2．若y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，且f (1)＝3，现有四个结论：①g (0)＝4；②4为g (x )的周期；③g (x )的图象关于点(2，0)对称；④g (3)＝0．其中结论正确的编号为()(A)②③④(B)①③④(C)①②④(D)①②③【答案】C【解析】因为f (x )，g (x )的定义域均为R ，g (x )＝2f (x ＋1)－2，f (1)＝3，所以g (0)＝2f (1)－2＝4，①正确；又因为2f (x )＋g (x －3)＝2，所以2f (x ＋1)＋g (x －2)＝2，g (x )＝－g (x －2)，即：g (x )＝g (x －4)，故4为g (x )的周期，②正确；因为y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，2f (x )＋g (x －3)＝2，所以g (x －3)＝g (x ＋1)关于直线x ＝1对称，g (x )关于直线x ＝2对称，③错误；而g (3)＝－g (1)＝g (1)，所以g (3)＝g (1)＝0，④正确，故选(C)．第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(杨宪伟老师工作坊)已知向量a ＝(3，2)，b ＝(λ，－4)，若a ⊥(a －b )，则λ＝▲．【答案】7【解析】因为a ⊥(a －b )，所以(a －b )•a ＝0，即：a •b ＝a 2，3λ－8＝13，λ＝7．14．(杨宪伟老师工作坊)中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．张三和李四下棋，张三获胜的概率是13，和棋的概率是14，则张三不输的概率为．【答案】712【解析】P ＝13＋14＝712．15．(杨宪伟老师工作坊)已知抛物线C ：y 2＝4x 的顶点为O ，经过过点A ，且F 为抛物线C 的焦点，若|AF |＝3|OF |，则△OAF 的面积为．【答案】2【解析】设A (x 0，y 0)，则|AF |＝x 0＋1＝3|OF |＝3，x 0＝2，|y 0|＝22，故△OAF 的面积＝12|y 0|＝2．16．(杨宪伟老师工作坊)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝2sin B ，则A ＝▲．【答案】2π3【解析】因为sin C ＝2sin B ，所以c ＝2b ，又因为a 2－b 2＝3bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2bc －3bc2bc＝－12，A ＝2π3．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．(杨宪伟老师工作坊)(12分)已知等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝7，a 6＝132．(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列{1a n a n ＋1}的前n 项和为S n ．【解析】(1)因为a 1＋a 5＝2a 3＝7，所以a 3＝72，而a 6＝132，所以{a n }的公差d ＝a 6－a 36－3＝1，a n ＝a 3＋(n －3)d ＝2n ＋12；(2)1a n a n ＋1＝4(2n ＋1)(2n ＋3)＝2(12n ＋1－12n ＋3)，S n ＝2(13－15＋15－17＋…＋12n ＋1－12n ＋3)＝2(13－12n ＋3)＝4n6n ＋9．18．(杨宪伟老师工作坊)(12分)推进垃圾分类处理是落实绿色发展理念的必然选择．某社区开展有关垃圾分类的知识测试．已知测试中有A ，B 两组题，每组都有4道题目，甲对A 组其中3道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题目每道题做对的概率为23，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为14．甲对B 组每道题做对的概率为0.6，甲可以选择从A 组中任选2道题或从B 组中任选2道题．(1)若甲选择从A 组中任选2道题，设X 表示甲答对题目的个数，求X 的分布列和期望；(2)以答对题目数量的期望为依据，判断甲应该选择哪组题答题．【解析】(1)记甲选择从A 组中任选2道题，选到的2道题都有思路为事件M ，只有1道题有思路为事件N ，则P (M )＝C 23C 24＝12，P (N )＝12．X 的可能取值为0，1，2．P (X ＝0)＝12×(1－23)2＋12×(1－23)×(1－14)＝1372；P (X ＝1)＝12×C 12×(1－23)×23＋12×[23×(1－14)＋(1－23)×14]＝3772；P (X ＝2)＝12×(23)2＋12×23×14＝1136；X 的分布列为：X 012P137237721136EX ＝0×1372＋1×3772＋2×1136＝98．(2)设甲从B 组中任选2道题作答，答对题目数量为Y ，则Y ～B (2，0.6)，EY ＝2×0.6＝1.2＞EX ＝98，故甲应该选择B 组题答题．19．(杨宪伟老师工作坊)(12分)在如图所示的三棱锥D －ABC 中，已知AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ⊥AD ，2AB ＝AC ＝AD ＝4，E 为AB 的中点，F 为AC 的中点，G 为CD 的中点．(1)证明：AD ∥平面EFG ．(2)求平面BCD 与平面EFG 夹角的余弦值．【解析】(1)因为F 为AC 的中点，G 为CD 的中点，所以AD ∥GF ，又因为AD ⊄平面EFG ，GF ⊂平面EFG ，所以AD ∥平面EFG ；(2)解法1：以A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则B (2，0，0)，D (0，0，4)，C (0，4，0)，BC →＝(－2，4，0)，DC →＝(0，4，－4)，EF →＝(－1，2，0)，FG →＝(0，0，2)，设平面BCD 的法向量为n →＝(x ，y ，z )•BC →＝0•DC →＝0x ＋2y ＝0－z ＝0，令y ＝1，则n →＝(2，1，1)，设平面EFG 的法向量为m →＝(x 1，y 1，z 1)，•EF →＝0•FG →＝0x 1＋2y 1＝01＝0，令y 1＝1，则m →＝(2，1，0)，cos<m →，n →>＝m →•n →|m →||n →|＝306，故平面BCD 与平面EFG 夹角的余弦值为306．解法2：取BD 的中点H ，连结EH ，GH ，过点A 作AM ⊥BC 于M ，交EF 于N ，连结DM 交GH 于O ，连结ON ，则H ∈平面EFG ，因为AB ⊥AD ，AC ⊥AD ，所以AD ⊥平面ABC ，AD ⊥BC ，而AM ⊥BC ，所以BC ⊥平面ADM ，又因为BC ∥GH ，所以GH ⊥平面ADM ，而平面EFG ∩平面BCD ＝GH ，所以∠MON 平即为面BCD 与平面EFG 所成角，由(1)可得：AD ∥平面EFG ，平面EFG ∩平面ADM ＝ON ，所以AD ∥ON ，∠MON ＝∠ADM ．而AM ＝AB •AC BC ＝455，DM ＝AM 2＋AD 2＝4305，cos ∠ADM ＝AD DM ＝306，故平面BCD 与平面EFG 夹角的余弦值为306．20．(杨宪伟老师工作坊)(12分)已知函数f (x )＝12x 2－3ax ＋2a 2ln x ，a ≠0．(1)讨论f (x )的单调区间；(2)若f (x )有3个零点，求a 的取值范围．【解析】(1)因为f (x )＝12x 2－3ax ＋2a 2ln x ，所以f'(x )＝(x －a )(x －2a )x ，而a ≠0，所以当a ＞0时，f (x )的增区间为(0，a )和(2a ，＋∞)，减区间为(a ，2a )；当a ＜0时，f (x )的增区间为(0，＋∞)，无减区间；(2)因为f (x )有3个零点，所以a ＞0，f (a )＝2a 2(ln a －54)＞0，f (2a )＝2a 2(ln2a －2)＜0，解得：e 54＜a ＜e 22，此时f (1)＝12－3a ＜0，f (6a )＝2a 2ln6a ＞0，f (x )在(1，a )、(a ，2a )和(2a ，6a )各有1个零点，共有3个零点，满足题意，所以a 的取值范围为(e 54，e 22)．21．(杨宪伟老师工作坊)(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为34，左、右焦点分别为F 1，F 2，短轴长为27．(1)求椭圆C 的方程．(2)P 为第一象限内椭圆C 上一点，直线PF 1，PF 2与直线x ＝5分别交于A ，B 两点，记△PAB 和△PF 1F 2的面积分别为S 1，S 2，若S 1S 2＝913，求|AB |．【解析】(1)因为e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－7a 2＝916，所以a 2＝16，b 2＝7，C 的方程为：x 216＋y 27＝1．(2)F 1(－3，0)，F 2(3，0)，设P (x 0，y 0)(0＜x 0＜4且x 0≠3)，S 1S 2＝|PA |·|PB ||PF 1|·|PF 2|＝5－x 0x 0＋3·5－x 0|x 0－3|＝913，当x 0＜3时，(5－x 0)29－x 20＞1不成立，3＜x 0＜4时，(5－x 0)2x 20－9＝913，解得：x 0＝72，|y 0|＝1058，此时S 1＝12|AB |(5－x 0)＝34|AB |＝913S 2＝913×3|y 0|，故|AB |＝910526．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(杨宪伟老师工作坊)[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x ＋y ＝5，圆M 以(3，0)为圆心且与l 相切．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆M 的极坐标方程；(2)若射线θ＝α(0＜α＜π2，ρ＞0)与圆M 交于点A ，B 两点，且1|OA |＋1|OB |＝17，求直线AB 的直角坐标方程．【解析】(1)圆M 的半径r ＝|3＋0－5|12＋12＝2，设P (ρ，θ)为圆M 上的任意一点，则在△OPM中，由余弦定理可得：2＝ρ2＋9－6ρcos θ，即：ρ2－6ρcos θ＋7＝0，故圆M 的极坐标方程为：ρ2－6ρcos θ＋7＝0；(2)令θ＝α，可得：ρ2－6ρcos α＋7＝0，1|OA |＋1|OB |＝|OA |＋|OB ||OA |·|OB |＝6cos α7＝17，解得：cos α＝16，而0＜α＜π2，故tan α＝35，直线AB 的直角坐标方程为y ＝35x ．23．(杨宪伟老师工作坊)[选修4－5：不等式选讲](10分)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋2|的最小值为M ．(1)解关于x 的不等式f (x )＜M ＋|2x ＋2|；(2)若正数a ，b 满足a 2＋2b 2＝M ，求2a ＋b 的最大值．【解析】(1)f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋2|≥|(2x －1)－(2x ＋2)|＝3，当x ＝－1时可取等号，故M ＝3，不等式f (x )＜M ＋|2x ＋2|等价于|2x －1|＜3，解得：－1＜x ＜2，故原不等式的解集为(－1，2)；(2)由柯西不等式可得：(a 2＋2b 2)[22＋(22)2]≥(2a ＋b )2，即：2a ＋b ≤362，当且仅当a ＝4b ＝263时取等号，故2a ＋b 的最大值为263．。

陕西省宝鸡市2023届高三下学期二模理科数学试题含解析

2023年宝鸡市高考模拟检测（二）数学（理科）（答案在最后）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷解答题又分必考题和选考题两部分，选考题为二选一.考生作答时，将所有答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，书写要工整、笔迹清楚，将答案书写在答题卡规定的位置上.3.所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.设集合{}40M x x =-<<，{}24N x x =<，则M N =（）A.{}20x x -<<B.{}22x x -<<C.{}44x x -<<D.{}42x x -<<2.设1z ，2z 为复数，则下列说法正确的为（）A.若22120z z +=，则120z z ==B.若12z z =，则1z ，2z 互为共轭复数C.若a ∈R ，i 为虚数单位，则()1i a +⋅为纯虚数D.若20z ≠，则1122z z z z = 3.直线l ：cos sin 1()x y ααα+=∈R 与曲线C ：221x y +=的交点个数为（） A.0B. 1C.2D.无法确定4.我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明，弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），记大正方形和小正方形的面积分别为1S 和2S ，若125S S =，则直角三角形的勾（较短的直角边）与股（较长的直角边）的比值为（）A.12B.13C.23D.255.设a ，b ∈R ，则“2a b +≥”是“222a b +≥”的（） A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件6.ABC △中，5AB =，7AC =，D 为BC 的中点，5AD =，则BC =（） A.3 B.3 C.22 D.427.已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，(),M x y 为C 上一动点，曲线C 在点M 处的切线交y 轴于N 点，若30FMN ∠=︒，则FNM ∠=（） A.60︒B.45︒C.30︒D.15︒8.已知函数()()lg lg 2f x x x =+-，则（） A.()f x 在()0,1单调递减，在()1,2单调递增 B.()f x 在()0,2单调递减 C.()f x 的图像关于直线1x =对称D.()f x 有最小值，但无最大值9.设m ，{}2,1,0,1,2,3n ∈--，曲线C ：221mx ny +=，则下列说法正确的为（） A.曲线C 表示双曲线的概率为15B.曲线C 表示椭圆的概率为16C.曲线C 表示圆的概率为110D.曲线C 表示两条直线的概率为1510.点(),P x y 在不等式组02030x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩表示的平面区域上，则xy 的最大值为（）A.94B. 2C.83D. 311.四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为边长为4的正方形，PBA PBC ∠=∠，PD AD ⊥，Q 为正方形ABCD 内一动点且满足QA QP ⊥，若2PD =，则三棱锥Q PBC -的体积的最小值为（）A.3B.83C.43D. 212.已知正实数x ，y ，z 满足235log log log 0x y z ==≠，给出下列4个命题： ①x y z <<②x ，y ，z 的方程x y z +=有且只有一组解 ③x ，y ，z 可能构成等差数列④x ，y ，z 不可能构成等比数列其中所有真命题的个数为（） A. 1B.2C.3D.4第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分. 13.若a ，b ，c ，d 为实数，且a c ad bcb d=-，定义函数sin 3()2cos 2cos x xf x x x=，现将()f x 的图像先向左平移512π3()g x 的图像，则()g x 的解析式为______. 14.已知非零向量a ，b ，c 满足1a b a b ==-=且1c a b --=，则c 的取值范围是______.15.若函数31()3xxf x e ex ax -=-+-无极值点，则实数a 的取值范围是______. 16.如图，已知正四面体EFGH 和正四棱锥P ABCD -的所有棱长都相等，现将正四面体EFGH 的侧面EGH 与正四棱锥P ABCD -的侧面P AB 重合（P ，E 重合；A ，H 重合；B ，G 重合）后拼接成一个新的几何体，对于新几何体，下列说法正确的有______ ①PF CD ⊥ ②PF 与BC 异面 ③新几何体为三棱柱④新几何体的6个顶点不可能在同一个球面上三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17.（本小题12分）某市作为常住人口超2000万的超大城市，注册青年志愿者人数超114万，志愿服务时长超268万小时.2022年6月，该市22个市级部门联合启动了2022年市青年志愿服务项目大赛，项目大赛申报期间，共收到331个主体的416个志愿服务项目，覆盖文明实践、社区治理与邻里守望、环境保护等13大领域.已知某领域共有50支志愿队伍申报，主管部门组织专家对志愿者申报队伍选行评审打分，并将专家评分（单位：分）分成6组：[)40,50，[)50,60，…，[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求图中m 的值；（2）从评分不低于80分的队伍中随机选取3支队伍，该3支队伍中评分不低于90分的队伍数为X ，求随机变量X 的分布列和期望. 18.（本小题12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，AB DC ∥，222CD AB AD ===，4PD =，AD CD ⊥，E 为棱PD 上一点.（1）求证：无论点E 在棱PD 的任何位置，都有CD AE ⊥成立；（2）若E 为PD 中点，求二面角A EC P --的余弦值. 19.（本小题12分）已知函数1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，等比数列{}n a 的前n 项和为()f n c -，数列{}()0n n b b >的首项为c ，且前n 项和nS 满足11(2)n n n n S S S S n ---=≥.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n T ，求使10102023n T >的最小正整数n . 20.（本小题12分）已知椭圆1C ：()222210x y a b a b+=>>，F 为左焦点，A 为上顶点，()2,0B 72AF AB=，抛物线2C 的顶点在坐标原点，焦点为F . （1）求1C 的标准方程；（2）是否存在过F 点的直线，与1C 和2C 交点分别是P ，Q 和M ，N ，使得12OPQ OMN S S =△△？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由（OPQ S △为OPQ △面积）. 21.（本小题12分）已知函数2()ln ()2a f x x x x x a =+-∈R ，且()f x 在()0,+∞内有两个极值点1x ，2x （12x x <）. （1）求实数a 的取值范围；（2）求证：1220a x x +<+.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑.按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分. 22.（选修4-4：坐标系与参数方程）（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为126126x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；（2）已知点()2,0M ，若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，求PM QM -. 23.（选修4-5：不等式选讲）（10分）已知函数()11f x x x =-++. （1）求不等式()3f x <的解集；（2）若二次函数22y x x m =--+与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围.2023年宝鸡市高考模拟检测（二）数学（理科）答案一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DDBACBCCBABC二、填空题：13.()2cos2g x x = 14.331⎡⎤⎣⎦15.{}2a a ≤ 16.①③④解答题答案17.解：（Ⅰ）由(0.00420.0220.0300.028)101m ⨯++++⨯=，解得0.012m =. （Ⅱ）由题意知不低于80分的队伍有()500.120.048⨯+=支，不低于90分的队伍有500.042⨯=支. 随机变量X 的可能取值为0，1，2.∵36385(0)14C P X C ===，21623815(1)28C C P X C ===，1262383(2)28C C P X C ===， ∴X 的分布列为X 012P514 1528 32851533()0121428284E X =⨯+⨯+⨯=. 18.（1）证明：因为PD ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PD CD ⊥，因为AD CD ⊥，AD PD D =，AD ，PD ⊂平面P AD ，所以CD ⊥平面P AD ，因为E 为棱PD 上一点，所以AE ⊂平面P AD ，所以CD AE ⊥.（2）解：因为PD ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，所以DA ，DC ，DP 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系，因为222CD AB AD ===，4PD =，所以()1,0,0A ，()0,2,0C ，()0,0,2E ，()0,0,4P ，所以()1,0,2EA =-，()0,2,2EC =-，设平面AEC 的一个法向量为(),,n x y z =，则00EA n EC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2x z y z =⎧⎨=⎩，令1z =得()2,1,1n =，因为PD AD ⊥，AD CD ⊥，PD CD D =，PD ，CD ⊂平面PCD ，所以AD ⊥平面PCD .所以平面PCE 的一个法向量为()1,0,0m DA ==，所以26cos ,36n m n m n m⋅===，因为二面角A EC P --为钝二面角，所以二面角A EC P --的余弦值为：6. 19.解：（Ⅰ）∵1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，等比数列{}n a 的前n 项和为1()3nf n c c ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴11(1)3a f c c =-=-，[][]22(2)(1)9a f c f c =---=-， [][]32(3)(2)27a f c f c =---=-，数列{}n a 是等比数列，应有3212a a q a a ==，解得1c =，13q =. ∴首项112(1)33a f c c =-=-=-， ∴等比数列{}n a 的通项公式为12112333n nn a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯=-⨯ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.∵1111(2)n n n n n n n n S S S S S S S S n -----==≥，又0n b >0n S >11n n S S -=； ∴数列{}nS 构成一个首项为1，公差为1的等差数列，1(1)1n S n n =+-⨯=，∴2n S n =，当1n =时，111b S ==，当2n ≥时，221(1)21n n n b S S n n n -=-=--=-，又1n =时也适合上式， ∴{}n b 的通项公式21n b n =-. （Ⅱ）111111(21)(21)22121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， ∴1111111112335572121n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11122121nn n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，由10102023n T >，得1010212023n n >+，得336.6n >，故满足10102023n T >的最小正整数为337. 20.解：（172AF AB =，即2272a a b =+ 由右顶点为()2,0B ，得2a =，解得23b =，所以1C 的标准方程为22143x y +=. （2）依题意可知2C 的方程为24y x =-，假设存在符合题意的直线，设直线方程为1x ky =-，()11,P x y ，()22,Q x y ，()33,M x y ，()44,N x y ，联立方程组221143x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2234690k y ky +--=，由韦达定理得122634k y y k +=+，122934y y k -=+，则212121k y y +-= 联立方程组214x ky y x=-⎧⎨=-⎩，得2440y ky +-=，由韦达定理得344y y k +=-，344y y =-，所以23441y y k -=+，若12OPQ OMN S S =△△，则123412y y y y -=-221211k k +=+63k =±，所以存在符合题意的直线方程为610x y ++=或610x y +=. 21.解：（1）()ln f x x ax '=+，因为()f x 在()0,+∞内有两个极值点，所以()f x '在()0,+∞内有两个零点，即方程ln 0x ax +=有两个正实根，即ln xa x=-有两个正实根，令ln ()x g x x =-，2ln 1()x g x x-'=，当()0,x e ∈时，()0g x '<，所以()g x 在()0,e 上单调递减，当(),x e ∈+∞时，()0g x '>，所以()g x 在(),e +∞上单调递增，又()1g e e=-，画出函数()g x 的图象如图所示，由方程ln x a x =-有两个根，得10a e-<<. （2）证明：()f x 在()0,+∞内有两个极值点1x ，2x ，由（1）可知，1122ln 0ln 0x ax x ax +=⎧⎨+=⎩，则1221ln ln x x a x x -=-，要证1220a x x +<+，只需122112ln ln 20x x x x x x -+<-+，进一步化为122112ln ln 2x x x x x x -<--+，从而得()1212122ln ln x x x x x x --<+，所以12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭<+，设12x t x =，可知t 的取值范围是()0,1，则只需证2(1)ln 1t t t -<+，令2(1)()ln 1t h t t t -=-+，则22(1)()0(1)t h t t t -'=>+，所以()h t 在()0,1上单调递增，从而()()10h t h <=，因此1220a x x +<+.22.解：（1）因为126126x t ty t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），所以222222124363124363x t t y t t ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩，所以曲线C 的普通方程为2243y x -=，因为cos 13πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以cos 3sin 2ρθρθ=，因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以直线l 的直角坐标方程为320x -=.（2）由（1）可得直线l 的参数方程3212x y s ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（s 为参数），所以22134223s ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得23123320s s ++=，设1PM s =-，2QM s =-，则1243s s +=-，12323s s =，所以()21212128163448333PM Q s s M s s =+--=-==. 23.解：（1）由题设知：113x x ++-<；①当1x >时，得()112f x x x x =++-=，23x <，解得312x <<； ②当11x -≤≤时，得()112f x x x =++-=，23<，恒成立；③当1x <-时，得()112f x x x x =---+=-，23x -<，解得312x -<<-；所以不等式的解集为：33,22⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）由二次函数222(1)1y x x m x m =--+=-+++，该函数在1x =-取得最大值1m +，因为2(1)()2(11)2(1)x x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩，所以在1x =-处取得最小值2，所以要使二次函数22y x x m =--+与函数()y f x =的图象恒有公共点，只需12m +≥，即1m ≥.。

陕西省咸阳市高三下学期理科数学高考模拟试卷

（2），即
同理
∴
当且仅当，即（）时取等号，
即的面积最小值为16.
选修4-5：不等式选讲
23.已知关于的不等式解集为（）.
（1）求正数的值；
（2）设，且，求证： .
（1）解：不等式，即不等式
∴ ，而，于是
依题意得
（2）证明：由（1）知，原不等式可化为
∵ ，
∴ ，同理，
三式相加得，当且仅当时取等号
【答案】B
【解析】由，所以其共轭复数 .故选B.
3.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设成果显著.如图是2015—2019年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是( )
（1）求数列的通项公式及其前项和；
（2）设为数列的前项的和，求证： .
（1）解：等差数列的公差为，由，得，，
即，，解得， .
∴ ， .
（2）证明：，∴ ，
∴ ，即 .
18.为了响应国家号召，促进垃圾分类，某校组织了高三年级学生参与了“垃圾分类，从我做起”的知识问卷作答，随机抽出男女各20名同学的问卷进行打分，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分的为“合格”.
（1）由以上数据绘制成2×2联表，是否有95%以上的把握认为“性别”与“问卷结果”有关？
男
女
总计
合格
不合格
总计
（2）从上述样本中，成绩在60分以下（不含60分）的男女学生问卷中任意选2个，记来自男生的个数为，求的分布列及数学期望.

2024届陕西省高三下册高考数学(理科)模拟检测试题(十模)附答案

2024届陕西省高三下学期高考数学（理科）模拟检测试题（十模）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合，则（）{}{}212,30A x x B x x x =-≤≤=-+>∣∣A B = A ．B ．C ．D ．R(]0,2[)1,0-[)1,3-2．定义运算，则满足（i 为虚数单位）的复数在复平面内a b ad bc c d =-i01i 2iz -=--z 对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知菱形的边长为1，，则（ABCD 60,,,AB a BC b AC A c ∠=︒=== 2a b c ++=）A B C D 4．黄地绿彩云龙纹盘是收藏于中国国家博物馆的一件明代国宝级瓷器．该龙纹盘敞口，弧壁，广底，圈足．器内施白釉，外壁以黄釉为地，刻云龙纹并填绿彩，美不胜收．黄地绿彩云龙纹盘可近似看作是圆台和圆柱的组合体，其口径，足径，高，22.5cm 14.4cm 3.8cm 其中底部圆柱高，则黄地绿彩云龙纹盘的侧面积约为（）（附：的值取3，0.8cm π）5≈A ．B ．C ．D ．2300.88cm2311.31cm2322.24cm2332.52cm5．已知函数是奇函数，则（）()()2021x x bf x a ab +=+≠-A ．B ．C ．D ．1a b +=1a b -=-21a b +=21a b -=-6．2024年中国足球乙级联赛陕西联合的主场火爆，一票难求，主办方设定了三种不同的票价分别对应球场三个不同的区域，五位球迷相约看球赛，则五人中恰有三人在同一区域的不同座位方式共有（）A ．30种B ．60种C ．120种D ．240种7．设是坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为，则直线的O (){},1x y x y +≤P OP 倾斜角不大于的概率为（）3π4A ．B ．C ．D ．345812148．一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的顶点都在球的球面上，那么球的表O O 面积是（）A ．B ．C ．D ．2π4π8π16π9．在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上存在一xOy C 2240x y y +-=1y kx =-点，使过点所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的值不可能是（）P P kA ．－1B ．C ．D 14-1210．2024年1月九省联考的数学试卷出现新结构，其中多选题计分标准如下：①本题共3小题，每小题6分，满分18分；②每道小题的四个选项中有两个或三个正确选项，全部选对得6分，有选错的得0分；③部分选对得部分分（若某小题正确选项为两个，漏选一个正确选项得3分；若某小题正确选项为三个，漏选一个正确选项得4分，漏选两个正确选项得2分）．已知在某次新结构数学试题的考试中，小明同学三个多选题中第一小题确定得满分，第二小题随机地选了两个选项，第三小题随机地选了一个选项，则小明同学多选题所有可能总得分（相同总分只记录一次）的中位数为（）A ．9B ．10C ．11D ．1211．已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与()2:20C y px p =>F l F 交于两点，为的中点，且于点的垂直平分线交轴于点，C ,A BD AB DM l ⊥,M AB x N四边形的面积为，（）DMFN p =A ．B ．C ．D ．12．已知函数，对，有()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭x ∀∈R ，，且函数在上单调递增，ππ1212f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()π02f x f x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭()f x π,010⎛⎫- ⎪⎝⎭则的值为（）ωA ．3或9B ．3C ．9D ．6第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷中相应的横线上．）13．已知双曲线的左右焦点分别为，曲线上的点()2222:10,0x y C a b a b -=>>12,F F C 满足，，则双曲线的离心率为______．M 1212π0,6F M F M MF F ⋅=∠=14．如图，四边形是圆柱的轴截面，是底面圆周上异于的一点，则下面结论ABCD E ,A B 中正确的序号是_____．（填序号）①；②；③平面；④平面平面．AE CE ⊥BE DE ⊥DE ⊥BCE ADE ⊥BCE15．已知大屏幕下端离地面3.5米，大屏幕高3米，若某位观众眼睛离地面1.5米，则这B 位观众在距离大屏幕所在的平面多远，可以获得观看的最佳视野？（最佳视野是指看到屏幕上下夹角的最大值）______米．16．已知函数，函数有两个极值点．若()()21ln 2x f x mx x mx =-+-()()g x f x ='12,x x ，则的最小值是______．110,e x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦()()12g x g x -三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）“村超”是贵州省榕江县举办的“和美乡村足球超级联赛”的简称．在2023年火爆“出圈”后，“村超”热度不减．2024年1月6日，万众瞩目的2024年“村超”新赛季在“村味”十足的热闹中拉开帷幕，一场由乡村足球发起的“乐子”正转化为乡村振兴的“路子”，为了解不同年龄的游客对“村超”的满意度，某组织进行了一次抽样调查，分别抽取年龄超过35周岁和年龄不超过35周岁各200人作为样本，每位参与调查的游客都对“村超”给出满意或不满意的评价．设事件“游客对“村超”满意”，事件“游客年龄不超过35周岁”，A =B =据统计，．()()48,515P AB P B A ==∣∣（1）根据已知条件，填写下列列联表并说明理由；22⨯年龄满意不满意合计年龄不超过35周岁年龄超过35周岁合计（2）由（1）中列联表数据，分析是否有的把握认为游客对“村超”的满意度与年22⨯99%龄有关联？附：．()()()()()22,n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++参考数据：()20P K k ≥0.100.050.0250.0100.0050.0010k 2.7063.8415.0246.6357.87910.82818．（本小题满分12分）如图，已知正方体的棱长为2，E ，F 分别为1111ABCD A B C D -的中点．1,AD CC （1）已知点满足，求证B ，E ，G ，F 四点共面；G 14DD DG =（2）求平面BA 1C 1与平面BEF 所成的锐二面角的余弦值．19．（本小题满分12分）数列的前项的最大值记为，即{}n a n n M ；前项的最小值记为，即，令{}12max ,,,n n M a a a =⋅⋅⋅n n m {}12min ,,,n n m a a a =⋅⋅⋅，并将数列称为的“生成数列”．n n n p M m =-{}n p {}n a （1）设数列的“生成数列”为，求证：；{}n p {}n q n n p q =（2）若，求其生成数列的前项和．23n n a n =-{}n p n20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>分别为下顶点为，右顶点为的面积为．12,F F A 1,B ABF △1+（1）求椭圆的方程．C （2）设不过原点的直线交椭圆于M ，N 两点，且直线OM ，MN ，ON 的斜率依次成等O C 比数列，求面积的取值范围．MON △21．（本小题满分12分）已知函数，曲线π())e ,0,2x f x x a ϕϕ-⎛⎫=+-+∈ ⎪⎝⎭在点处的切线与轴平行或重合．()y f x =(0,(0))f x （1）求的值；ϕ（2）若对恒成立，求的取值范围；0,()0x f x ∀≥≤a （3）利用下表数据证明：．1571πsin103314k k =<∑π314e π314e 78π314e 78π314e79π314e79π314e-1.0100.9902.1820.458 2.2040.454四．选做题：请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。

陕西省西安市长安区2023届高三下学期一模理科数学试题及参考答案

陕西省西安市长安区2023届高三下学期一模长安区高三质量检测数学（理科）试题注意事项：1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}04,A x x x =<≤∈N ，{}26xB x =≤，则A B ⋂=（）A.{}1,2 B.[]1,2 C.{}1,2,3 D.[]1,32.甲乙两位射击运动员参加比赛，抽取连续6轮射击比赛的成绩情况如下：甲：80、70、80、90、90、70；乙：70、80、80、80、70、80则下列说法中正确的是（）A.甲比乙平均成绩高，甲比乙成绩稳定B.甲比乙平均成绩高，乙比甲成绩稳定C.乙比甲平均成绩高，甲比乙成绩稳定D.乙比甲平均成绩高，乙比甲成绩稳定3.复数z 满足322i z =-+，则z =（）A.1i- B.1i+ C.1i-- D.1i-+4.函数()101sin 101x x f x x -=⋅+在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象大致为（）5.在ABCD □中，13AE AD = ，13CF CD = ，则BA =（）A.6955AF CE -B.2355AF CE -C.6955AF CE +D.2355AF CE +6.我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l 与太阳天顶距()0180θθ︒≤≤︒的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长度l 等于表高h 与太阳天顶距θ正切值的乘积，即tan l h θ=.对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为α，β，且()1tan 3αβ-=，若第二次的“晷影长”与“表高”相等，则第一次的“晷影长”是“表高”的（）A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍7.下列是函数()32sin sin 44f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭图像的一条对称轴的是（）A.6x π=B.4x π=C.3x π=D.2x π=8.盲盒是一种深受大众喜爱的玩具.某盲众生产厂商准备将棱长为8cm 的正四面体的魔方放入正方体盲盒内，为节约成本，使得魔方能够放入盲盒且盲盒棱长最小时，盲盒内剩余空间的体积为（）A.3642cm 3 B.31282cm 3 C.32562cm 3D.35122cm 39.已知点()4,0F 是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，重足为A ，交另一条渐近线于点B .若2AF FB =，则双曲线C 的方程为（）A.221124x y -= B.221412x y -=C.221106x y -= D.221610x y -=10.已知函数()f x 满足()()22f x f x x +-=-，若22log a b c ==，则A.()()()f a f b f c << B.()()()f b f c f a <<C.()()()f a f c f b << D.()()()f c f b f a <<11.在三棱锥A BCD -中，平面ACD ⊥平面BCD ，ACD △是以CD 为斜边的等腰直角三角形，M 为CD 中点，BM BC ⊥，24AC BC ==，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A.16πB.24πC.32πD.40π12.设函数()f x 的定义域为R ，满足()()22f x f x +=，且当(]0,2x ∈时，()()2f x x x =-.则下列结论正确的个数是（）①()78f =；②若对任意(],x m ∈-∞，都有()6f x ≤，则m 的取值范围是13,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；③若方程()()5f x m x =-恰有3个实数根，则m 的取值范围是11,4⎛⎫--⎪⎝⎭；④函数()f x 在区间[]()22,2n n n +-∈N 上的最大值为n a ，若n +∃∈N ，使得27n a n λ<-成立，则3,16λ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦.A.1B.2C.3D.4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设a 为实数，函数()2e exxf x ax -=-+的导函数为()f x '，若()f x '是偶函数，则a =_________，此时，曲线()y f x =在原点处的切线方程为_________.14.已知直线l ：10mx y ++-=与圆224x y +=交于A ，B 两点，若2AB =，则m =_________.15.已知在ABC △中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，满足2cos 2b A a c +=，且b =，则2a c -的取值范围为_________.16.在生活中，可以利用如下图工具绘制椭圆，已知O 是滑杆上的一个定点，D 可以在滑杆上自由移动，线段3OA AD ==，点E 在线段AD 上，且满足AE ED λ=，若点E 所形成的椭圆的离心率为265，则λ=_________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为洗考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足36a =，_________.在①36S a =；②420S =；③25830a a a ++=这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并解答（注：如果选择多个条件.按照第一个解答给分.在答题前应说明“我选_________”）（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2n an n b a =+，求{}n b 的前n 项和n T .如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，AD BC ∥，2PA AD CD ===，3BC =，E 为PD 的中点，F 在PC 上，满足EF PC ⊥.（1）求证：CD ⊥平面PAD ；（2）求二面角B AF C --的余弦值.19.（本小题满分12分）设抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，M C ∈，Q 在准线上，Q ，点M 到F 与到定点Q 的距离之和的最小值为4.（1）求抛物线C 的方程；（2）过F 且斜率为2的直线l 与C 交于A 、B 两点，求ABQ △的面积.20.（本小题满分12分）某学校组织知识竞答比赛，设计了两种答题方案：方案一：先回答一道多选题，从第二道开始都回答单选题；方案二：全部回答单选题.其中每道单选题答对得2分，答错得0分；多选题全部选对得3分，选对但不全得1分，有错误选项得0分.每名参与竞答的同学至多答题3道.在答题过程中得到4分或4分以上立刻停止答题.统计参与竞答的500名同学，所得结果如下表所示：男生女生选择方案一10080选择方案二200120（1）能否有90%的把握认为方案的选择与性别有关?（2）小明回答每道单选题的正确率为0.8；多选题完全选对的概率为0.3，选对且不全的概率为0.3.①若小明选择方案一，记小明的得分为X ，求X 的分布列及数学期望；②如果你是小明，为了获取更好的得分你会选择哪个方案?请通过计算说明理由.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.()20P K k ≥0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k 2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828已知函数()2e xf x x =-，求证：（1）()f x 存在唯一零点；（2）不等式()212e 1ln 0x x x x --++≥-恒成立，（二）选考题：共10分.考生从22.23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2211423t x ty t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（0t >，t 为参数）.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）已知直线l ：10x y --=与x 轴的交点为F ，且曲线C 与直线l 交于A 、B 两点，求FA FB ⋅的值.23.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】已知()13f x x x =-+-.（1）求()3f x ≤的解集；（2）已知()()221a x f x -+≥在[)3,∞上恒成立，求实数a 的取值范围.陕西省西安市长安区2023届高三一模数学（理科）长安区高三质量检测数学参考答案一、选择题：1.A2.B3.B 解析：设复数bi a z +=，则由322i z =-+可得()ibi a 223+-=+即()i bi i ab bi a a 22333223+-=+++，则2323-=-ab a ，2332=-b b a ，整理得()()0422=++-bab a b a ，当b a =时，解得1==b a ，此时i z +=1，当0422=++b ab a 时，即()2232b b a =+，结合各选项，该式均不成立.4.A解析：∵()()()x f x x x f xxx x =⋅+-=-⋅+-=--sin 101101sin 110110∴()x f 为偶函数，排除B 和D ，当20π<<x 时，0sin >x ，110>x，即()0>x f ，排除C.5.C 解析：设a AB=，b AD =，∵AD AE 31=，∴ba DE CD CE 32--=+=∵CD CF 31=，∴ab DF AD AF 32+=+=设CE n AF m BA +=，则⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-b a n a b m a 3232 ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-032132n m n m ，解得56=m ，59=n ，即CE AF BA 5956+=.6.B 解析：依题意1tan =β，则()[]()()2311131tan tan 1tan tan tan tan =-+=⋅--+-=+-=ββαββαββαα，所以第一次“晷影长”是“表高”的2倍.7.D 解析：()xx x x x x x f 2cos 22sin 4cos 4sin 24sin 24sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππππππ显然1213cos 6±≠==⎪⎭⎫ ⎝⎛ππf ，102cos 4±≠==⎪⎭⎫ ⎝⎛ππf ，12132cos 3±≠-==⎪⎭⎫⎝⎛ππf ，1cos 2-==⎪⎭⎫⎝⎛ππf ，所以函数的图象的对称轴是2π=x .8.C 解析：依题意，要使棱长为8cm 的正四面体的魔方放入正方体盲盒内，且盲盒棱长最小，则当且仅当正方体的面对角线长等于正四面体的棱长，即它们有相同的外接球，如图，正四面体ABCD 的棱长为8cm ，该正四面体的所有棱均为正方体的对应的面对角线，所以该正方体的棱长为24cm ，盲盒内剩余空间的体积为32256242421314=⨯⨯⨯⨯（cm ³）.9.A解析：双曲线C 的渐近线方程为：0=±ay bx ，不妨令点A 在直线0=-ay bx 上，1622=+b a ，如图，∵OA AF ⊥，则b bb a b AF ==+=44422，而FB AF =2即有B AF FB 22==，b AB 3=，a b AFOF OA =-=-=22224，4sin bAOF =∠，由FB AF =2知，点B A ，在y 轴同侧，于是⎪⎭⎫ ⎝⎛∈∠=∠202π，AOF AOB ，0812sin 1cos 22>-=∠-=∠b AOF AOB ，82<b ，在AOB RT ∆中，222228169b b a ABOA OB +=+=+=，由AOB OB OA ∠=cos 得：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+=8181622b b a ，整理得：()()()222282168b bb-+=-，化简得0401424=+-b b ，解得：4,1222==b a .10.B 解析：∵()()x x f x f 22-=-+∴()()x x f x f 22=+-，联立这两式得：()x x f 2-=，在R 上单调递减，在同一坐标系中作c y =，xy 2=，x y 2log =，x y =的图象，如图，∴b c a <<，故()()()a f c f b f <<.11.D 解析：∵ACD ∆是以CD 为斜边的等腰直角三角形，M 为CD 中点，4=AC ，∴CD AM ⊥，且22==MC AM ，∵42=BC ，∴2=BC ，而BC BM ⊥，故BCM ∆为等腰直角三角形，︒=∠45BMC ，︒=∠135BMD ，由题意得：球心O 在平面ACD 上的投影与M 点重合，∵平面ACD ⊥平面BCD ，∴球心O 在平面BCD 上，在平面BCD 上，过M 点作CD MH ⊥，故︒=∠45BMH ，球心O 在MH 上，设x OM =，由余弦定理得：x x BMH BM OM BM OM OB 224cos 22222-+=∠⋅-+=，则22228x OMAM AO +=+=，由22AO OB =得：x x 2242-+28x +=，解得：2-=x ，设外接球的半径为R ，则()102822=-+=R ，故该三棱锥的外接球的表面积为ππ4042=R .12.B解析：函数()x f 的定义域为R ，满足()()x f x f 22=+，即()()22-=x f x f ，且当(]2,0∈x 时，()()x x x f -=2，当(]42，∈x 时，(]2,02∈-x ，故()()()161224222-+-=--=x x x x x f ，当(]64，∈x 时，(]422，∈-x ，故()()()[]964041621222222-+-=--+--=x x x x x f 依次类推，当(]n n x 2,22-∈时，()()()()22221222121---+-=--n n x n x x f n n n ()()222122221---+-=-n n x n x n n n由此可作出函数()x f 的图象如图：对于①，()8,67∈，此时4=n ，故()87=f ，正确.对于②，当6≤x 时，()4≤x f ；结合①可知当86≤<x 时，()8≤x f ；故当()8,6∈x 时，令()638411282=-+-=x x x f ，即01955642=++x x ，∴()()013x 215-x 2=-，解得72151>=x ，72132＜=x 又()87=f ，故对任意(]m x ,∞-∈，都有()6≤x f ，则m 的取值范围是⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-213，，正确；对于③，取1-=m ，则直线5+-=x y ，过点()2,3结合图象可知()x f y =，5+-=x y 恰有3个交点，即()()5-=x m x f 恰有3个实数根，即说明1-=m 符合题意，则③错误；对于④，当(]n n x 2,22-∈时，()()()222122221---+-=-n n x n x x f n n n ，其最大值为()()121241242282--=----⨯=n n n n n n a ，若*∈∃N n ，使得72-<n a n λ成立，即1272--<n n λ，即需max1272⎪⎭⎫ ⎝⎛-<-n n λ；记1272--=n n n b ，则nn n b 2521-=+，故-+1n b n b n n 252-=1272---n n nn 292+-=，当4≤n 时，-+1n b n b ＞0，{}n b 递增；当5≥n 时，-+1n b n b ＜0，{}n b 递减.又814=b ，1635=b ，则45b b >，故1272--=n n n b 的最大值为163，则163<λ，故④错误，综合可知，结论正确的个数是2个.二、填空题13.①.0②.x y 2=解析：()ax e e x f xx 2++='-，∵()x f '是偶函数，∴()()x f x f '=-'在R x ∈上恒成立，则ax e e ax e e xx x x 22++=-+--恒成立，故0=a .∵()00=f ，()20='f ，∴曲线在原点处的切线方程为()020-=-x y ，即x y 2=.14.33-解析：由题知：()0,0O 圆心()0,0O ，半径2=r ，则点O 到直线l 的距离32122=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=AB r d ，而1132+-=m m d ，因此31132=+-m m ，解得33-=m .15.()3432，-解析：在ABC ∆中，满足c a A b 2cos 2=+，即()B A C A A B +==+sin 2sin 2sin cos sin 2，即B A A cos sin 2sin =，而()π，0∈A ，∴0sin ≠A ，故21cos =B ，又()π，0∈B ∴3π=B ，则A AB A b a sin 423sin 32sin sin ===，同理C c sin 4=，故⎪⎭⎫⎝⎛--=-=-A A C A c a 32sin 4sin 8sin 4sin 82π⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=6sin 34cos 32sin 6πA A A 又⎪⎭⎫ ⎝⎛∈320π，A ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈-266πππ，A ，故⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,216sin πA ，则()34,322-∈-c a .16.2解析：如图，以O 为原点，OD 为x 轴，过点O 作OD 的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，过点E 作OD 的垂线交OA 延长线于P ，交OD 于M ，作PE AF ⊥，垂足为F ，则OD AF ∥，∵3==AD OA ，故AOD P AF ∠=∠，ADO EAF ∠=∠，则EAF P AF ∠=∠，故AE P A =，EFPF =设AD t AE =，()10≤≤t ，则t AE P A 3==，故t OP 33+=，则P 点的轨迹方程为()22219t y x +=+，由于OD AF ∥，则t ADAE MFEF ==，故MF t EF PF ==，则()MF t PM +=1，()MF t EM -=1，设()y x E ,，则p x x =，p y tt y +-=11，而()22219t y x p p +=+，故()2221911t y t t x +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++，即为E 点轨迹方程，表示椭圆，即()()119192222=-++t y t x ，由于椭圆的离心率为562，即()()2225621919⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-t t ，解得32=t ，即AD AE 32=，由于ED AE λ=，故2=λ.三、解答题（一）必考题17.解：（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d若选择条件①63a S =，则由63=a ，得⎩⎨⎧+=+=+d a d a d a 53362111，解得⎩⎨⎧==221d a ，∴()n n a n 2122=-+=；若选择条件②204=S ，则由63=a ，得⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+=+2023446211d a d a ，解得⎩⎨⎧==221d a ，∴()n n a n 2122=-+=；若选择条件③30852=++a a a ，则由63=a ，得()⎩⎨⎧=+=+30436211d a d a ，解得⎩⎨⎧==221d a ，∴()n n a n 2122=-+=；（2）由（1）知，选择三个条件中的任何一个，都有n a n 2=，则n n a b n n n a n n242222+=+=+=，∴{}n b 的前n 项和()()n T nn +++++++++= 32124444321()()()n n n n nn ++-=+⨯+--=2143421241414.18.解:（1）∵⊥P A 平面ABCD ，⊂CD 平面ABCD ，∴CD P A ⊥，又∵CD AD ⊥，A AD P A =⋂，P AD AD P A 平面，⊂，∴P AD CD 平面⊥.（2）过A 作AD 的垂线交BC 于点M ，∵ABCD P A 平面⊥，ABCD AD AM 平面，⊂，∴AM P A ⊥，AD P A ⊥，以A 为坐标原点，以AP AD AM ，，分别为z y x ,,轴，建立空间直角坐标系如图，则()000，，A ，()012，，-B ，()022，，C ，()020，，D ，()2,0,0P .∵E 为PD 的中点，∴()110，，E ∵F 在PC 上，设()222-==，，λλPC PF ，则()λλλ2222-，，F ，故()λλλ21122--=，，EF ，∵PC EF ⊥，∴0=⋅PC EF ，即()()022,221122=-⋅--，，，λλλ即0412=-λ，∴31=λ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛343232，，F ，∴⎪⎭⎫⎝⎛=343232，，AF ，()0,12-=，AB .设平面ABF 的一个法向量为()z y x m ,,=，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=⋅=-=⋅034323202z y x m AF y x m AB ，令2=x ，则3,4-==z y ，故()3,4,2-=m ，设平面ACF 的一个法向量为()c b a n ,,=，则⎪⎩⎪⎨⎧=++=⋅=+=⋅0343232022c b a n AF b a n AC ，令1=a ，则,1=-=c b ，故()0,1,1-=n，故29582292-=⨯-==n m，由图可知二面角C AF B --为锐角，故二面角C AF B --的余弦值为2958.19.解：（1）由已知可得，⎪⎭⎫⎝⎛0,2p F ，⎪⎭⎫ ⎝⎛-p p Q 3,2.∵FQ MQ MF ≤+，当且仅当Q F M ,,三点共线时，取得最小值.又FQ MQ MF ≤+，所以4=FQ ，即()432222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛--p p p ，整理得42=p ，∵0>p ，∴2=p .∴抛物线C 的方程为x y 42=.（2）由（1）知，()0,1F ，∴直线l 的方程为()12-=x y ，()32,1-Q .联立直线l 与抛物线的方程可得：0132=+-x x .设()11,y x A ，()22,y x B ，则由韦达定理可得⎩⎨⎧==+132121x x x x ∴()()()54212122122121=-++=-+-=x x x x y y x x AB 又点()32,1-Q 到直线()12:-=x y l ，即直线022=--y x 的距离为：()()554152122321222+=-+---⨯=d ，∴ABQ ∆的面积521555415252121+=+⨯⨯=⋅⨯=d AB S .20.解：（1）由题意完善列联表如图：故()706.2315.21803202003008020020010050022<≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K 故没有90%的把握认为方案的选择与性别有关.（2）①由题意可知X 的所有可能取值为5,4,3,2,1,0，则()016.02.02.04.00=⨯⨯==X P ，()012.02.02.03.01=⨯⨯==X P ，()128.02.08.024.02=⨯⨯⨯==X P ，()108.02.08.023.02.02.03.03=⨯⨯⨯+⨯⨯==X P ，()256.08.08.04.04=⨯⨯==X P ，()480.08.08.03.08.02.03.08.03.05=⨯⨯+⨯⨯+⨯==X P .男生女生总计选择方案一10080180选择方案二200120320总计300200500故X 的分布列为：故X 的数学期望()016.4480.05256.04108.03128.02012.01=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E ②设选择方案二的得分为Y ，则Y 的可能取值为4,2,0，()008.02.02.02.00=⨯⨯==Y P ，()096.02.02.08.032=⨯⨯⨯==Y P ，()896.02.08.028.08.042=⨯⨯+⨯==Y P 故()776.3896.04096.02=⨯+⨯=Y E ，因为()X E ＞()Y E ，故为了获取更好的得分，小明会选择方案一.21.解：（1）()()x g x e x f x =-='2，()2-='xe x g .当2ln >x 时，()0>'x g ，此时函数()x g 单调递增；当2ln <x 时，()0<'x g ，此时函数()x g 单调递减；所以()04ln 22ln 22ln 2ln >-=-=e g ，即()0>x g ，所以()0>'x f 所以()x f 在()∞+∞-，上单调递增，()10=f ，()0111<-=-ef .则在()0,1-上，存在0x ，使得()00=x f ，即()x f 存在唯一零点；（2）()()()22ln ln ln ln x x x ex f x-=-=，()()12112121-+-=--=---x x e x e x f x x 令()()01ln >+-=x x x x h ，()xxx x h -=-='111.当10<<x 时，()0>'x h ，此时()x h 单调递增；当1>x 时，()0<'x h ，此时()x h 单调递减.即()()01=≤h x h ，故1ln -≤x x .∵函数()x f 在()∞+∞-，上单调递增，∴()()1ln -≤x f x f .即()0ln 12221≥+--+--x x x x ex .故不等式()0ln 1221≥+-+--x x x e x 恒成立.（二）选考题：22.解：（1）∵曲线C 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+=t t y tt x 32311422()为参数t t ,0>，∴由t t y 323-=两边平方得：x t t y 1211412222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=，而011421142222=-⋅≥-+=tt t t x ，当且仅当2214t t =，即44=t 时，等号成立，∴曲线C 的直角坐标方程为x y 122=.（2）易知直线01:=--y x l 与x 轴的交点为()0,1F ，直线的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'='+=t y t x 22221（t '为参数），代入x y 122=得0242122=-'-'t t ，X 012345P0.0160.0120.1280.1080.2560.480设B A ,两点对应的参数分别为21,t t ''，则2421='⋅'t t ，∴2421='⋅'=⋅t t FB F A .23.解：（1）依题意，()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<≤+-=3,4231,21,42x x x x x x f ，不等式()3≤x f 化为：⎩⎨⎧≤+-≤3421x x 或⎩⎨⎧≤<<3231x 或⎩⎨⎧≤-≥3423x x ，解得121≤≤x 或31<<x 或273≤≤x ，即有2721≤≤x ，∴()3≤x f 的解集为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2721，.（2）依题意，[)+∞∈∀,3x ，()()()()222252421212--≥⇔-≥+-⇔≥+-x x a x x a x f x a 12≥-x ，1210≤-<x ，于是()()()()11121222121222522222≤+⎪⎭⎫⎝⎛---=-+--=---=--x x x x x x x 当且仅当3=x 时取等号，则1≥a ，∴实数a 的取值范围是[)∞+，1.。

陕西省西安市高三下学期第二次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案

西安市第八十三中学高三年级第二次模拟考试理科数学试题第I卷(选择题，共60分）一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)1、设集合，集合，若A∩B=，则实数的取值范围是（）(A)(B)(C)(D)2、复数，，则=( )(A)1 (B)(C)(D)3、已知且，则是的（）(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件4、某长方体的长度为的体对角线在主视图中的投影长度为，在侧视图中的投影长度为，则该长方体的全面积为( )(A)(B)(C)6 (D)105、一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{}，若，且，，成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是（）(A)13，12 (B)12，13 (C)13，13 (D)13，146、，满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为（）(A)或（B）或（C）或（D）．或7、已知向量==,若,则的最小值为（）(A) (B) (C) (D)8、已知的三边长成公差为的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长是（）(A)(B)(C)(D)9、已知双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率为( )(A)(B) (C)(D)10、如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(0,—1)，B(,—1)，C(,1)，D(0,1)，正弦曲线f(x)=和余弦曲线g(x)=在矩形ABCD内交于点F，向矩形ABCD区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是( )(A)(B)(C)(D)11、设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为（）(A) (B) (C) (D)112、定义域为的偶函数满足对于任意的,有,且当时,,若函数在上至少有三个零点,则的取值范围是（）(A) (B) (C) (D)第II卷(非选择题，共90分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13、已知抛物线的准线方程是，则 .14、等比数列中，----------.15、的展开式中项的系数等于 .(用数值作答)16、已知函数，若实数互不相等，且满足，则的取值范围是 .三、解答题：(本大题共6小题，共70分。

陕西省高三下册第二学期第十一次模考数学(理)试题含答案【推荐】

陕师大附中高三年级第十一次模考试题数学（理科）注意事项：1.本卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 答案均写在答题纸上，满分150分，时间120分钟.2.学生领到试卷后，请检查条形码信息是否正确. 并按规定在答题纸上填写姓名、准考证号，及填涂对应的试卷类型信息.3.答卷必须用0.5mm 的黑色签字笔书写，字迹工整，笔迹清晰. 并且必须在题号所指示的答题区内作答，超出答题区域的书写无效.4.只交答题纸，不交试题卷.第 Ⅰ 卷（选择题共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分, 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合{||2}A x x =<，2{430}B x x x =-+<，则A B I 等于( ).A {21}x x -<<.B {12}x x << .C {23}x x <<.D {23}x x -<<2.设复数2z i =+，则z z -=( ).A 4.B 0 .C 2 .D 3.在等差数列{}n a 中，39a a =且公差0d <，则使前n 项和n S 取得最大值时的n 的值为( ).A 4或5.B 5或6 .C 6或7 .D 不存在4.已知位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动，质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12，则质点P 移动六次后位于点(4,2)的概率是( ).A 61()2.B 2661()2C.C 4461()2C.D 426661()2C C5.P 是双曲线22219x y a -=上一点，双曲线的一条渐近线为320x y -=，12F F 、分别是双曲线的左、右焦点，若16PF =，则2PF =( ).A 2或10 .B 2.C 10.D 96.某几何体的三视图如右图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为.A 23π.B 3π.C 29π .D 169π7.函数()f x 部分图象如图所示，则()f x 的解析式可能是( )侧视图.A ()sin f x x x =+.B cos ()xf x x=.C 3()()()22f x x x x ππ=-- .D ()cos f x x x =8.函数()f x 在定义域R 内可导，若()(2)f x f x =-，且(1)()0x f x '-<，若(0),a f =1()2b f = ,(3)c f =，则,,a b c 的大小关系是( ).A a b c >> .B b a c >> .C c b a >> .D a c b >> 9.阅读程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为( ) .A 4 .B 5.C 6 .D 710.如图，抛物线2:4W y x =与圆22:(1)25C x y -+=交于,A B两点，点P 为劣弧AB 上不同于,A B 的一个动点，与x 轴平行的直线PQ 交抛物线W 于点Q ，则PQC ∆的周长的取值范围是( ).A (10,14) .B (12,14) .C (10,12) .D (9,11)11.曲线3y x =上一点B 处的切线l 交x 轴于点A ，(OAB O ∆为原点)是以A 为顶点的等腰三角形，则切线l 的倾斜角为( ).A 30o .B 45o .C 60o .D 120o12.在平行四边形ABCD 中，0AB BD ⋅=u u u r u u u r ，22240AB BD +-=u u u r u u u r ，若将其沿BD 折成直二面角 A BD C --，则三棱锥A BDC -的外接球的表面积为( ).A 4π .B 8π .C 16π .D 2π第 Ⅱ 卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卷中相应的横线上.） 13.平面向量a r 与b r的夹角为23π，且()1,0a =r ，1b =r 则2a b +=r r ．14.在41()2x x+的展开式中，2x 的系数为． 15.设公比为q 的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2232S a =+，4432S a =+，则q = ．16.若实数,x y 满足约束条件1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，目标函数2z ax y =+仅在点(1,0)处取得最小值，则实数a 的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若cos ,cos ,cosC c A b B a 成等差数列．开始输出结束是否 1i i =+1,1S i ==i <①2iS S =+S（1）求B ；（2）若33a c +=，3b =，求ABC ∆的面积.18.(本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，ABC ∆是正三角形，AC 与BD 的交点为M ，又4PA AB ==，AD CD =，120CDA ∠=o ，点N 是CD 的中点．（1）求证：平面PMN ⊥平面PAB ；（2）求二面角A PC B --的余弦值．19.(本小题满分12分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如下：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．（1）根据表中数据写出甲公司员工A 在这10天投递的快递件数的平均数和众数；（2）为了解乙公司员工B 的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望；（3）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．20.(本小题满分12分）定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的．如图，椭圆1C 与椭圆2C 是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点．椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长是4，椭圆 22222:1(0)y x C m n m n+=>>短轴长是1，点12,F F 分别是椭圆1C 的左焦点与右焦点．（1）求椭圆1C 与2C 的方程；（2）过1F 的直线交椭圆2C 于点,M N ，求2F MN ∆面积的最大值．21.(本小题满分12分）设函数()(1)()xf x ax e a R -=+∈．（1）当0a >时，求函数()f x 的单调递增区间；（2）对任意[0,)x ∈+∞，()1f x x ≤+恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写.22.(本小题满分10分)选修44-：坐标系与参数方程选讲.在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos()13πρθ-=，,M N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．（1）写出曲线C 的直角坐标方程，并求,M N 的极坐标；（2）设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．23.(本小题满分10分)选修45-：不等式选讲. 已知函数()2f x x x a =+-+．（1）当3a =时，解不等式1()2f x ≤；（2）若关于x 的不等式()f x a ≤解集为R ，求a 的取值范围．陕师大附中高三年级第十一次模考试题答案（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 号答B C B B A D D B B C C A 案二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号13 14 15 16或答案三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. （1）因为，，成等差数列．所以，由正弦定理得，即，而，所以，由，得（2）因为，所以，又，，所以，即，所以．18.（1）在正中，，在中，因为，易证，所以为的中点，因为点是的中点，所以．因为，所以，因为，所以，因为，所以，即，因为，所以，所以，又，所以．（2）分别以直线，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，，，，．由（1）可知，为平面的一个法向量，，，设平面的法向量为，则即令，解得，，则平面的一个法向量为，，由题知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为．19.（1）甲公司员工投递快递件数的平均数为，众数为．（2）设为乙公司员工投递件数，则当时，元，当时，元，的可能取值为，的分布列为（元）（3）根据图中数据，可估算甲公司的员工该月收人为元，乙公司的员工该月收入元．20. （1）由已知，，．因为椭圆与椭圆的离心率相等，即，所以．所以椭圆的方程是，椭圆的方程是．（2）显然直线的斜率不为，故可设直线的方程为．联立得，即，所以设，，则，，所以又的高即为点到直线的距离所以的面积因为，当且仅当，即时等号成立．所以，即的面积的最大值为．21. （1）．由，，令得：．所以当时，单调递增区间是．（2）令，则成立等价于．（i）若，当，则，，而，即成立．（ii）若时，则．当，由是减函数，，又，所以，在上是减函数，此时当，．（iii）当时，，．所以在有零点．在区间，设，所以在上是减函数，即在有唯一零点，且在上，．在为增函数，即在上所以，不合题意．综上可得，符合题意的的取值范围是．22. （1）由，得．曲线的直角坐标方程为．时，，所以；时，，所以．（2）点的直角坐标为，点的直角坐标为，所以点的直角坐标为，则点的极坐标为，所以直线的极坐标方程为，．23. （1）当时，，等价于，即或或即或或解得或或，故不等式的解集为：；（2）由的不等式解集为，得函数，因为（当且仅当取“”），所以，所以或解得．。

2024陕西省铜川市高三下学期三模理数试题及答案

铜川市2024年高三年级第三次模拟考试数学（理科）试题注意事项：1.本试卷共4页，全卷满分150分，答题时间120分钟2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}21,2,,230A m B xx x ==--<∣，若A B B ⋃=，则实数m 的值可能是（）A.0B.1C.2D.32.设复数z 满足()i 14i z -=，则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知双曲线()22:10y C x m m+=≠的一条渐近线方程为y =，则C 的焦点坐标为（）A.()B.(0,C.()1,0±D.()0,1±4.已知甲种杂交水稲近五年的产量数据为9.8,10.0,10.0,10.0,10.2，乙种杂交水稻的产量数据为9.6,9.7,10.0,10.2,10.5，则下列说法错误的是（）A.甲种的样本极差小于乙种的样本极差B.甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数C.甲种的样本中位数等于乙种的样本中位数D.甲种的样本方差大于乙种的样本方差5.若函数()312,1,log ,1a a x a x y x x ⎧-+<=⎨⎩…在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（）A.10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B.10,5⎛⎤ ⎥⎝⎦C.11,53⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.1,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭6.已知πcos cos 3αα⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.12-B.12C.34-D.347.已知,a b 为正实数，则“1a b <”是“11a ab b +<+”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.已知函数()sin2cos2f x x x =-，则下列说法中不正确的是（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f xC.()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D.ππ88f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9.已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且()1f x +为奇函数，若()()033f f +=，则（）A.()()11f x f x -=+B.()20253f =C.函数()f x 的周期为2D.()20243f =10.在正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别为1,,BC CD DD 的中点，若4AB =，则平面EFG 截正方体所得截面的面积为（）A.B.C.D.11.榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，在连接部分通过紧密的拼接，使得整个结构能够承受大量的重量，并且具有较高的抗震能力.这其中木楔子的运用，使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，木楔子是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛､木片等.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形ABCD 是边长为2的正方形，且,ADE BCF 均为正三角形，EF ∥,4CD EF =，则该木楔子的外接球的体积为（）A.16πB.32πC.32π3 D.64π312.已知12F F ､为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左､右焦点，点P 在C 上且位于第一象限，圆1O 与线段1F P 的延长线､线段2PF 以及x 轴均相切，12PF F 的内切圆的圆心为2O .若圆1O 与圆2O 外切，且圆1O 与圆2O 的面积之比为9，则椭圆C 的离心率为（）A.12 B.35二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.有5名学生准备去照金香山，药王山，福地湖，玉华宫这4个景点游玩，每名学生必须去一个景点，每个景点至少有一名学生游玩，则不同的游玩方式有__________种.14.已知点O 为ABC 外接圆的圆心，且0OA OB CO ++=，则cos ,AC BC = __________.15.已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，点D 是AB 的中点.若22cos a b c B +=，且1,AC CD ==，则AB =__________.16.若函数()2ln xf x ax x=+有两个极值点，则实数a 的取值范围为__________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足：1*12444,n n n a a a n n -+++=⋅∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12231111113m m a a a a a a ++++< ，求正整数m 的最大值.18.（本小题满分12分）学校团委和工会联合组织教职员工进行益智健身活动比赛.经多轮比赛后，由教师甲､乙作为代表进行决赛.决赛共设三个项目，每个项目胜者得10分，负者得-5分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的获得冠军.已知教师甲在三个项目中获胜的概率分别为0.4,0.6,0.6，各项目的比赛结果相互独立.甲､乙获得冠军的概率分别记为12,p p .（1）判断甲､乙获得冠军的实力是否有明显差别（若12p p -…，则认为甲､乙获得冠军的实力有明显差别，否则认为没有明显差别）；（2）用X 表示教师甲的总得分，求X 的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，PD ⊥平面ABCD ，点E 是PA 的中点，F 是线段PB 上（包括端点）的动点，2PD AD ==.（1）求证：PC ∥平面EBD ；（2）若直线EF 与平面PBC 的夹角为60，求PF BF的值.20.（本小题满分12分）过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线l 交C 于,M N 两点，若直线l 垂直于x 轴，则OMN 的面积为2，其中O 为原点.（1）求抛物线C 的方程；（2）抛物线C 的准线上是否存在点P ，使得当PM PN ⊥时，OMN 的面积为.若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数()ln 13ex f x ax x x =++-.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若函数()f x 存在零点，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.考生从22､23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为5cos 4,5sin 3x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设,M N 是曲线C 上的两点，且OM ON ⊥，求OMN 面积的最大值.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()122f x x x =-++.（1）求不等式()9f x …的解集；（2）记函数()f x 的最小值为M ，若正数,,a b c 满足1235M a b c++=+，证明：322a b c ++…铜川市2024年高三年级第三次模拟考试数学（理科）试题参考答案及评分标准一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.A 【解析】依题意{13}B xx =-<<∣，由A B B ⋃=，可得m B ∈，当0m =时，符合题意，应选A 项；当1m =或2时，不符合集合中元素的互异性，从而排除B,C 项；当3m =时，m B ∉，从而排除D 项.2.D 【解析】复数()()()4i 1i 4i 22i,i 11i 1i z --===-∴--+--复数z 在复平面内对应的点位于第四象限.故选D 项.3.A 【解析】易知0m <，令220y x m+=，解得y ==，即2m =-，从而c ==C 的焦点坐标为().故选A 项.4.D 【解析】10.2-9.8=0.4，10.5-9.6=0.9>0.4，故A 正确；()19.810.010.010.010.210.05x =⨯++++=甲，1(9.69.710.010.210.5)10.05x x =⨯++++==乙甲，故B 正确；甲种的样本中位数为10.0，乙种的样本中位数为10.0，故C 正确.222(9.810)(10.210)5s -+-=甲，22222(9.610)(9.710)(10.210)(10.510)5s -+-+-+-=乙，显然甲种的样本方差小于乙种的样本方差，故D 错误.5.C 【解析】函数()312,1,log ,1aa x a x y x x ⎧-+<=⎨⎩…在R 上单调递减，310,01,312log 1,a a a a a -<⎧⎪∴<<⎨⎪-+⎩…解得1153a <….故选C 项.6.A 【解析】π1πcos cos cos sin 326ααααα⎛⎫⎛⎫--=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2πππππ1sin 2sin 2cos 212sin 662662αααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=-+=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦.故选A.7.C 【解析】若1a b <，根据糖水不等式可得11a ab b +<+，充分性得证；若11a a b b +<+，则ab a ba b +<+，即a b <，故1a b<，必要性得证.8.C 【解析】依题意()π24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则函数()f x ，最小值正周期为π，从而可排除A,B 选项.ππππ,1,4848f f ⎛⎫⎛⎫-<--=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ππ48f f ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不可能单调递增，应选C 项.ππππ228842f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦为偶函数，从而ππ88f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而可排除D 选项.9.D 【解析】()1f x + 为奇函数，()()11f x f x ∴-+=-+，又()f x 为偶函数，()()()()11,11f x f x f x f x ∴-+=-∴-=-+，故A 项错误.即()()()()()2,42,f x f x f x f x f x =-+∴+=-+=∴函数()f x 的周期为4，即C 项错误.由()()11f x f x -+=-+，令0x =，得()()()()()()()10,3110,20251506410f f f f f f f ==-==∴=+⨯==，即B 项错误.又()()()()()()033,03,20240506403f f f f f f +=∴=∴=+⨯==，故选D 项.10.D 【解析】如图，过点G 作EF 的平行线交1BB 于点J ，过点J 作FG 的平行线交11A B 于点I ，过点I 作EF 的平行线交11A D 于点H ，易知点,,J I H 都在截面EFG 内，且都是其所在棱的中点，从而所得截面是边长为)16sin602S ⎛=⨯⨯=⎝ .故选D.11.C 【解析】如图，分别过点,A B 作EF 的垂线，垂足分别为,G H ，连接,DG CH ，则4212EG -==，故AG ===取AD 的中点O '，连接GO '，又,AG GD GO AD '=∴⊥，则GO ='=.由对称性易知，过正方形ABCD 的中心1O 且垂直于平面ABCD 的直线必过线段EF 的中点2O ，且所求外接球的球心O 在这条直线上，如图.设球O 的半径为R ，则22211R OO AO =+，且22222R OO EO =+，从而22122OO OO =+，即()()12122OO OO OO OO +-=，当点O 在线段12O O 内（包括端点）时，有12OO OO GO ='+=，可得12OO OO -=，从而1OO =，即球心O 在线段EF 的中点，其半径2R =.当点O 在线段12O O 外时，)2212222O O OO OO =+=+，解得20OO =（舍）.故所求外接球的体积34π32π33R V ==.故选C 项.12.A 【解析】由已知及平面几何知识可得圆心12O O ､在12PF F ∠的角平分线上.如图，设圆12O O ､与x 轴的切点分别为,A B ，由平面几何知识可得，直线2PF 为两圆的公切线，公切点D 也在12PF F ∠的角平分线上，则1122PF F F c ==，由椭圆的定义知122PF PF a +=，则222PF a c =-，222221,2F D PF a c F A F B F D a c ∴==-∴===-，11222F A F F F A c a c a c ∴=+=+-=+，()112223F B F F F B c a c c a ∴=-=--=-.又圆1O 与圆2O 的面积之比为9,∴圆1O 与圆2O 的半径之比为3，2O B ∥12111,F B O B O A F AO A∴=，即313c a a c -=+，故椭圆C 的离心率12e =.二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.240 【解析】先从5名学生中选2人组成一组，有25C 10=种方法，然后将4组学生分配到4个景点，有4424A =种方法，由分步计数原理知共有1024240⨯=种不同的游玩方式.14.12-【解析】由0OA OB CO ++= ，得OA OB OC += ，由O 为ABC 外接圆的圆心，得OA OB OC ==，如图，结合向量加法的几何意义知，四边形OACB 为菱形，且60CAO ∠= ，故120ACB ∠=.故1cos ,2AC BC =- .【解析】22cos ,2sin sin 2sin cos a b c B A B C B +=∴+= ，又()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+ ，12sin cos sin 0,cos 2B C B C ∴+=∴=-.CD 为ABC 的一条中线，()12CD CA CB ∴=+，()222124CD CA CB CA CB ∴=++⋅ ，即2311121442a a ⎡⎤⎛⎫=++⨯⨯⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，解得2a =，或1a =-（舍）.由余弦定理得AB c ====.16.410,6e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【解析】()21ln 2xf x ax x -=+'，令()0f x '=，得3ln 12x a x-=.令()3ln 12x g x x -=，则()443ln 2xg x x'-=.令()00g x '=，则03ln 4x =，即04ln 3x =，即340e x =.当00x x <<时，()()0,g x g x '>单调递增；当0x x >时，()()0,g x g x '<单调递减.()0max0344041ln 113()22e 6e x g x g x x --∴====，又当0x +→时，()g x ∞→-；当x ∞→+时，()0g x +→，∴当4106e a <<时，方程3ln 12x a x-=有两个正根，从而函数()f x 有两个极值点.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第11~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.解：（1）当1n =时，1144a ==，当2n …时，112444n n n a a a n -+++=⋅ ，()211214414n n n a a a n ---∴+++=-⋅ ，两式相减，得()()1114414431n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=⋅+，31n a n ∴=+，显然14a =也符合上式，∴数列{}n a 的通项公式为31n a n =+.（2）由（1）知()()111111313433134m m a a m m m m +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，1223111111111113477103134m m a a a a a a m m +⎛⎫∴+++=-+-++- ⎪++⎝⎭ 1111343413m ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭，解得16m <.∴正整数m 的最大值为15.18.解：（1）不妨设教师甲在三个项目中获胜的事件依次为,,A B C ，则教师甲获得冠军的概率()()()()1p P ABC P ABC P ABC P ABC =+++0.40.60.60.60.60.60.40.40.60.40.60.40.552=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，则教师乙获得冠军的概率2110.448p p =-=，120.376p p ∴-=≈，12p p ∴-<∴甲､乙获得冠军的实力没有明显差别.（2）易知X 的所有取值为15,0,15,30-，()150.60.40.40.096P X ∴=-=⨯⨯=，()00.60.40.60.60.60.40.40.40.40.352P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，()150.40.60.40.40.40.60.60.60.60.408P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，()300.40.60.60.144P X ==⨯⨯=，则X 的分布列为：X-1501530P 0.0960.3520.4080.144()150.09600.352150.408300.1449E X ∴=-⨯+⨯+⨯+⨯=.19.解：（1）证明：如图，连接AC 交BD 于点O ，连接EO ，四边形ABCD 是正方形，O ∴为AC 的中点，E 是PA 的中点，EO ∴∥PC ，EO ⊂ 平面,EBD PC ⊄平面,EBD PC ∴∥平面EBD .（2）易知,,DA DC DP 两两垂直，以D 为原点，,,DA DC DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()2,2,0,0,2,0,0,0,2,1,0,1B C P E .()()()2,0,0,2,2,2,1,0,1CB PB PE ∴==-=- ，设PF PB λ= ，则01λ…….()()()2,2,21,0,121,2,12EF PF PE λλλλ∴=-=---=-- .设平面PBC 的法向量为(),,n x y z = ，则0,0,n CB n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即20,2220,x x y z =⎧⎨+-=⎩令1y =，则()0,1,1n =.cos ,||||n EF n EF n EF ⋅∴<>=== 又直线EF 与平面PBC 的夹角为60，=，解得13λ=.12PFBF ∴=.20.解：（1）根据抛物线概念易知,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线l 垂直于x 轴，∴不妨设00,,,22p p M y N y ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，代入22(0)y px p =>，可得0y p =，2MN p ∴=.11||||22222OMN p S OF MN p ∴==⨯⨯= ，解得2p =.∴抛物线C 的方程为24y x =.（2）由（1）易知抛物线C 的准线方程为()1,1,0x F =-，设点()()()11221,,,,,P m M x y N x y -，当直线l 的斜率等于0时，不符合题意；故可设直线l 的方程为：1x ty =+，联立24,1,y x x ty ⎧=⎨=+⎩消去x 得2440y ty --=，2Δ16160t =+>，得t ∈R ，由韦达定理得12124,4y y t y y +==-，()()1122,1,1,0PM PN PM PN x y m x y m ⊥∴⋅=+-⋅+-= ，()()()()121211x x y m y m ∴+++--()2121212121x x x x y y m y y m =++++-++()()()21222212121211164y y y y y y m y y m =++++-++()()()2212212121212121164y y y y y y y y m y y m ⎡⎤=++-++-++⎣⎦2211(4)81444t mt m ⎡⎤=+++--+⎣⎦22244(2)0t mt m t m =-+=-=，2t m ∴=.()2241MN y t =-===+ ，原点O 到直线l的距离d =()2114122OMN S d MN t ∴==+= 1t =±.2m ∴=±.∴存在点()1,2P -±，符合题目要求.21.解：（1）当1a =时，()ln 13ex f x x x x =++-，()2ln 1x f x x∴-'=+.()()312,11e f f =-'∴=，∴所求切线方程为()()11y f x -=-，即31ey x =+-.（2）函数()f x 存在零点，等价于方程ln 130ex ax x x ++-=有正根，即23ln 1e x x a x -+-=有解，令()23ln 1e x x g x x -+=，则()332ln 1e x x g x x '--=.令()32ln 1e h x x x =--，则()32e h x x=-'，令()320e h x x =-='，得02e 3x =，当2e 03x <<时，()()0,h x h x '<单调递减；当2e 3x >时，()()0,h x h x '>单调递增；()2e 2e 12ln 33h x h ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭…，当0x +→时，()h x ∞→+；当x ∞→+时，()h x ∞→+，又()2e 2e 312ln 0,11033e h h ⎛⎫=-<=-> ⎪⎝⎭，∴存在1021x x x <<<，使得()()120h x h x ==.1132ln 10e x x ∴--=，即1113ln 1ln ex x x -+=-，∴当10x x <<时，()()0,g x g x '>单调递增；当12x x x <<时，()()0,g x g x '<单调递减；当2x x >时，()()0,g x g x '>单调递增.又()111122113ln 1ln e 0x x x g x x x -+-==<，当0x +→时，()g x ∞→-；当x ∞→+时，()0g x -→，0a ∴-<，即0a >.∴实数a 的取值范围为()0,∞+.（二）选考题：共10分.考生从22､23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.解：（1）曲线C 的参数方程为5cos 4,5sin 3x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），消去参数α可得22(4)(3)25x y -+-=，即22860x y x y +--=，又由222cos ,sin ,,x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩可得28cos 6sin 0ρρθρθ--=，∴曲线C 的极坐标方程为8cos 6sin ρθθ=+.（2）由（1）易知曲线C 的标准方程为22(4)(3)25x y -+-=，∴曲线C 是以()4,3C 为圆心，半径为5的圆，且过原点O ，又,OM ON MN ⊥∴过圆心，且OMN 为直角三角形.222100OM ON MN ∴+==.()22112524OMN S OM ON OM ON ∴=⨯+= …，当OM ON ==.OMN ∴ 面积的最大值为25.23.解：（1）()33,2,1225,21,33,1,x x f x x x x x x x ---⎧⎪=-++=+-<<⎨⎪+⎩ ......∴不等式()9f x ...等价于2,339,x x -⎧⎨--⎩......或21,59,x x -<<⎧⎨+⎩ (1)339,x x ⎧⎨+⎩……解得42x --……或21x -<<或12x …….∴不等式()9f x …的解集为[]4,2-.（2）由（1）易知min ()3f x M ==，即1238a b c ++=，方法一：()112332328a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭1262963438b c a c a b a a b b c c ⎛⎫=++++++++ ⎪⎝⎭126926108b a c a c b a b a c b c ⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭11028⎛++=+ ⎝…当且仅当3a c ===时，等号成立.方法二：()21233216a b c a b c ⎛⎫+++++=+ ⎪⎝⎭…，即322a b c +++…当且仅当3a c ===时，等号成立.。