初中数学-春季班-人教版-初一(学生版) 第4讲 平方根与立方根--提高班

第4讲平方根、立方根

知识点1 算术平方根

1.如果一个正数x的平方等于a，即a

x=2，那么这个正数x叫做a的算术平方根. ()0≥a a的算术平方根记为a,读作“根号a”，a叫做被开方数.

规定：0的算术平方根是0 ，即0

0=.

2.规律小结

算术平方根具有双重非负数：

（1）被开方数具有非负性，即0≥a；

（2）本身具有非负性：即.0≥

a

注：具有非负数才有算术平方根，而负数没有算术平方根.

【典例】

例1 （2020秋•辉县市校级期中）如果a是2021的算术平方根，

则2021

100

的算术平方根是()

A．

10

a

B．

100

a

C．

10

a

±D．

2

10

a

【方法总结】

本题主要考查算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．

例2（2020春•威县期末）小辰想用一块面积为2

100cm的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为2

90cm的长方形纸片，使它的长宽之比为5:3．小辰能否用这张正方形纸片裁出符合要求的纸片？若能请写出具体栽法；若不能，请说明理由．

【方法总结】

本题考查了一元二次方程的应用以及算术平方根，解题的关键是先求出所裁出的长方形纸片的长．

【随堂练习】

1．（2020 1.421267

≈⋯

≈⋯ 4.494441

确到0.1)≈___________．

2．（2020秋•滨湖区期中）已知21

+-的算术平方根为4．

a b

a-的平方根为3±，31

（1）求a、b的值；

（2）求2

+的算术平方根．

a b

知识点2 平方根开平方

1.平方根：一般地，如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根或二次方根，

x=2，那么x叫做a的平方根.

即如果a

±”，读作“正、负根号a”

正数a的平方根表示为“a

2.平方根与算术平方根的区别与联系

3.开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.

开平方是一种运算，它与平方运算是互逆运算，开平方运算的结果就是平方根，我们就是利用开平方与平方的互逆运算关系求平方根.

【典例】

例1 （2020春•丛台区校级月考）求下列各式中的:(x )

（1）29250x -=；

（2）24(21)36x -=．

A ．53

x =和2x = B ．53x =-和2x =或1x =- C ．53x =±和1x =- D ．53

x =±和2x =或1x =-

【方法总结】

此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．

例2 （2020秋•雁塔区校级月考）若x ，y 210y -=，

【方法总结】

本题考查了算术平方根以及平方根，解题时注意：一个正数的两个平方根互为相反数．

【随堂练习】

1．已知一个正数m 的两个不同的平方根是1a -与52a -，求a 和m 的值．

2．（2020秋•滨湖区期中）已知21a -的平方根为3±，31a b +-的算术平方根为4．

（1）求a 、b 的值；

（2）求2a b +的算术平方根．

知识点3 立方根

1.一般地，如果一个数x 的立方等于a ，那么这个数x 叫做a 的立方根或三次方根，这就是说，如果3x a =，那么x 叫做a 的立方根.

2.一个数a “三次根号a ”，其中a 叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方.

3.理解立方根的概念需注意两点：

（1）任意数a ；

（2）判断一个数x 是不是某数a 的立方根，就看3x 是不是等于a.

4. 立方根的性质

（1）正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0 .

（2）33

33a a -=-

（3）a a =33)(

5.开立方：求一个数立方根的运算，叫做开立方.

说明：开立方和立方互为逆运算，借助立方运算，我们可以求任意数的立方根. 【典例】

例1 （2020秋•嵊州市期中）已知某正数的两个平方根分别是1-和4a -，12b -的立方根为2．

（1）求a ，b 的值．

（2）求a b +的平方根．

【方法总结】

本题主要考查了平方根与立方根，注意一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数． 例2 （2020秋•碑林区校级月考）已知21a -的平方根是3±，31a b +-的算术平方根是4，求2a b +的立方根．

【方法总结】

此题考查了立方根，平方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．

【随堂练习】

1．（2020春•嘉陵区期末）如果37(1)18

x -+

=，试求x 的值．

2．（2020春•鱼台县期末）正数x 的两个平方根分别是2a -，27a -．

（1）求a 的值；

（2）求1x -这个数的立方根．

3．（2020春•盐池县期末）已知21a +的平方根是3±，324a b +-的立方根是2-，

求458a b -+的立方根．

综合运用

1．（20200=，则2020()a b -的值为( )

A ．1

B ．1-

C ．1±

D ．0

2．（2020a b +的值为______．