平面向量在物理问题中的应用
平面向量的应用
平面向量的应用平面向量是解决空间内几何问题的重要工具之一，具有广泛的应用。
它们可以用来描述物体的位移、速度、加速度等物理量，帮助我们解决各种实际问题。
本文将介绍平面向量的应用，包括力的作用、力的分解、面积计算以及平衡条件等方面。
1. 力的作用平面向量可以用来描述力的作用。
在物体上施加力可以使其发生位移。
假设有两个力F1和F2作用在物体上，它们的大小和方向可以用平面向量表示。
若这两个力的向量分别为A和B，它们的合力可以表示为A + B。
通过求解合力向量的大小和方向，可以确定物体所受的合力。
2. 力的分解平面向量还可以用来对力进行分解。
在力的分析中，我们常常需要将一个力分解为两个或多个分力，以便更好地理解和研究物体受力情况。
将一个力F进行分解，可以得到两个力F1和F2，它们的合力等于F。
通过适当地选择分解方向和大小，可以使得问题的处理更加简单。
3. 面积计算平面向量可以用来计算平面上的面积。
设有三个非共线的向量A、B和C，它们的起点相同，可以构成一个三角形。
这个三角形的面积可以用向量的叉乘来计算，即：面积 = 1/2 * |A × B|其中，|A × B|表示叉乘的模。
通过面积计算公式，我们可以快速准确地计算出平面上各种形状的面积，如矩形、梯形、圆等。
4. 平衡条件平面向量还可以应用于力系统的平衡条件。
对于一个物体受到多个力的作用，若物体保持平衡，则所有作用力的合力必须为零。
可以将每个力表示为一个平面向量，然后将它们相加得到合力向量。
若合力向量为零，则说明物体处于平衡状态。
在实际问题中，通过平面向量的分析和计算，可以解决许多与平面运动、平衡、受力分析等相关的问题。
例如，在建筑物的结构设计中，我们可以利用平面向量对各个支点受力进行分析，保证建筑物结构的稳定性。
总结平面向量的应用广泛且重要，它们可以用于描述力的作用、力的分解、面积计算以及平衡条件的分析等方面。
通过适当地选择和计算向量，可以解决各种实际问题，并提高问题处理的准确性和效率。
5.5平面向量应用
= .
A
B
解： = ∙ = ( + ) ∙ ( + ) = ∙ + ∙ + ∙ + ∙ =
同理：
=
− ∙ + （）
（1）+（2）得：
+
= （
涉及长度问题常常考虑向量的数量积，对 与 进行计算.
（1） ， 分别对质点所做的功；
（2） ， 的合力F对质点所做的功。
17.在风速为（ − ）/的西风中，飞机以150km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向。
作
业
答
案
(3)基底向量的夹角最好是明确的(直角最合适);
(4)尽量使基底向量和所涉及的向量共线或构成三角形或构成平行四边形.
3.用向量的坐标处理问题时，建立平面直角坐标系的基本原则：
选择坐标轴和原点不当会增加解题的运算量，也会带来不必要的麻烦.具有公共原点的两
条互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系，因此在已知图形中，只要选择互相垂直的两条直
A
Q
B
P
C
课后作业：
4.在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，用向量方法证明 ⊥ .
5.如下图，在正方形ABCD中，E,F分别为AB,BC的中点。求证： ⊥ （利用向量证明）.
D
C
F
A
E
B
6.如下图，在▱ABCD中，AB=3，AD=1，∠ = ，求对角线AC和BD的长.
又因为 = − = − ； 与共线，所以我们设： = = ( − )
平面向量的应用(教师版)
平面向量的应用1 平面几何中的向量方法① 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决.② 用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”(1) 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2) 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3) 把运算结果“翻译”成几何关系.Eg 点A 、B 、C 、D 不在同一直线上(1)证明直线平行或共线：AB//CD ⇔AB⃗⃗⃗⃗⃗ //CD ⃗⃗⃗⃗⃗ (2)证明直线垂直：AB ⊥CD ⟺AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 (3)求线段比值：AB CD =|λ|且AB//CD ⇔ AB⃗⃗⃗⃗⃗ =λCD ⃗⃗⃗⃗⃗ (4)证明线段相等： AB⃗⃗⃗⃗⃗ 2=CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2⇔AB =CD 2 向量在物理中的应用① 速度、力是向量，都可以转化为向量问题；② 力的合成与分解符合平行四边形法则.【题型一】平面向量在几何中的应用【典题1】证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形.【证明】 设四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，且AO =OC ,BO =OD∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC⃗⃗⃗⃗⃗ ，即AB =DC 且AB//DC 所以四边形ABCD 是平行四边形即对角线互相平分的四边形是平行四边形.【点拨】① 证明四边形是平行四边形⇔AB =DC 且AB//DC ⇔AB⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ . ② 证明几何中的平行和长度关系可以转化为向量的倍数关系.【典题2】 已知平行四边形ABCD 的对角线为AC 、BD ，求证AC 2+BD 2=2(AB 2+AD 2) (即对角线的平方和等于邻边平方和的2倍).【证明】由 |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗|DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 两式相加得|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=2(|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2) 即AC 2+BD 2=2(AB 2+AD 2)【点拨】利用|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AB |2可证明线段长度关系.【典题3】 用向量方法证明：三角形三条高线交于一点.【证明】(分析 设H 是高线BE 、CF 的交点，再证明AH ⊥BC ，则三条高线就交于一点.)设H 是高线BE 、CF 的交点，则有BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CH ⃗⃗⃗⃗⃗ =AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∵BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CH ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB⃗⃗⃗⃗⃗ ∴(AH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 化简得AH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0C∴AH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 则AH ⊥BC (向量中证明AB ⊥CD ，只需要证明AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0) 所以三角形三条高线交于一点.【典题4】证明三角形三条中线交于一点.【证明】(分析 设BE 、AF 交于O ，证明C 、O 、D 三点共线便可)AF 、CD 、BE 是三角形ABC 的三条中线设BE 、AF 交于点O ，∵点D 是中点，∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 连接EF ，易证明∆AOB~∆FOE,且相似比是2：1，∴BO =23BE,∴CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ∴CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 即C 、O 、D 三点共线， (向量中证明三点A 、B 、C 共线，只需证明AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ∴AF 、CD 、BE 交于一点，即三角形三条中线交于一点.巩固练习1(★★) 如图，E ，F 分别是四边形ABCD 的边AD ，BC 的中点，AB =1，CD =2，∠ABC =75°，∠BCD =45°，则线段EF 的长是 ．【答案】√72【解析】 由图象，得EF →=EA →+AB →+BF →，EF →=ED →+DC →+CF →．∵E ，F 分别是四边形ABCD 的边AD ，BC 的中点，∴2EF →=(EA →+ED →)+(AB →+DC →)+(BF →+CF →)=AB →+DC →．∵∠ABC =75°，∠BCD =45°，∴＜AB →，DC →＞=60°，∴|EF|→=12√(AB →+DC →)2=12√AB →2+DC →2+2|AB|→⋅|DC|→cos ＜AB →，DC →＞=12√12+22+2×1×2×12=√72． ∴EF 的长为√72． 故答案为 √72． 2(★★) 证明勾股定理，在Rt∆ABC 中，AC ⊥BC ，AC =b ，BC =a ,AB =c ，则c 2=a 2+b 2.【证明】 由AB⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 即|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 故c 2=a 2+b 2.3(★★) 用向量方法证明 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.【证明】如图平行四边形ABCD 对角线AC 、BD 交于点O ，∵AB⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +|OB⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|BO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2BO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|BO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ | A BC∴四边形ABCD 是菱形.4(★★)用向量方法证明 设平面上A ，B ，C ，D 四点满足条件AD ⊥BC ，BD ⊥AC ，则AB ⊥CD ．【证明】 因AD ⊥BC ，所以AD →⋅BC →=AD →⋅(AC →−AB →)=0，因BD ⊥AC ，所以AC →⋅BD →=AC →⋅(AD →−AB →)=0，于是AD →⋅AC →=AD →⋅AB →，AC →⋅AD →=AC →⋅AB →，所以AD →⋅AB →=AC →⋅AB →，(AD →−AC →)⋅AB →=0，即CD →⋅AB →=0，所以CD →⊥AB →，即AB ⊥CD ．5(★★)用向量方法证明 对角线相等的平行四边形是矩形.【证明】如图，平行四边形ABCD 对角线AC 、BD 交于点O,设OA =a ，∵对角线相等 ∴OB =OD =a∵AB⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a 2+AO ⃗⃗⃗⃗⃗ (OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )−a 2=0 ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 即AB ⊥AD∴四边形ABCD 是矩形.6(★★★) 已知向量OP 1→、OP 2→、OP 3→满足OP 1→+OP 2→+OP 3→=0，|OP 1→|=|OP 2→|=|OP 3→|=1．求证 △P 1P 2P 3是正三角形．【证明】法一 ∵OP 1→+OP 2→+OP 3→=0，∴OP 1→+OP 2→=−OP 3→．∴|OP 1→+OP 2→|=|−OP 3→|．∴|OP 1→|2+|OP 2→|2+2OP1→•OP 2→=|OP 3→|2． 又∵|OP 1→|=|OP 2→|=|OP 3→|=1，∴OP 1→•OP 2→=−12．∴|OP 1→||OP 2→|cos∠P 1OP 2=−12，即∠P 1OP 2=120°．B C同理∠P 1OP 3=∠P 2OP 3=120°．∴△P 1P 2P 3为等边三角形．法二 以O 点为坐标原点建立直角坐标系，设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)，则OP 1→=(x 1，y 1)，OP 2→=(x 2，y 2)，OP 3→=(x 3，y 3)．由OP 1→+OP 2→+OP 3→=0，得{x 1+x 2+x 3=0y 1+y 2+y 3=0.∴{x 1+x 2=−x 3y 1+y 2=−y 3.， 由|OP 1→|=|OP 2→|=|OP 3→|=1，得x 12+y 12=x 22+y 22=x 32+y 32=1∴2+2(x 1x 2+y 1y 2)=1∴|P 1P 2→|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√x 12+x 22+y 12+y 22−2x 1x 2−2y 1y 2=√2(1−x 1x 2−y 1y 2)=√3同理|P 1P 3→|=√3，|P 2P 3→|=√3∴△P 1P 2P 3为正三角形【题型二】平面向量在物理中的应用【典题1】 如图，已知河水自西向东流速为|v 0|=1m/s ，设某人在静水中游泳的速度为v 1，在流水中实际速度为v 2．(1)若此人朝正南方向游去，且|v 1|=√3m/s ，求他实际前进方向与水流方向的夹角α和v 2的大小；(2)若此人实际前进方向与水流垂直，且|v 2|=√3m/s ，求他游泳的方向与水流方向的夹角β和v 1的大小．【解析】如图，设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =v 0⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =v 1⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =v 2⃗⃗⃗⃗ ，则由题意知v 2⃗⃗⃗⃗ =v 0⃗⃗⃗⃗ +v 1⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，根据向量加法的平行四边形法则得四边形OACB 为平行四边形．(1)由此人朝正南方向游去得四边形OACB 为矩形，且|OB⃗⃗⃗⃗⃗ |=AC =√3，如下图所示，则在直角△OAC中，|v2⃗⃗⃗⃗ |=OC=√OA2+AC2=2，tan∠AOC=√31=√3，又α=∠AOC∈(0 ,π2)，所以α=π3；(2)由题意知α=∠OCB=π2，且|v2⃗⃗⃗⃗ |=|OC|=√3，BC=1，如下图所示，则在直角△OBC中，|v1⃗⃗⃗⃗ |=OB=√OC2+BC2=2，tan∠BOC=√3=√33，又∠AOC∈(0 ,π2)，所以∠BOC=π6，则β=π2+π6=2π3，答(1)他实际前进方向与水流方向的夹角α为π3，v2的大小为2m/s；(2)他游泳的方向与水流方向的夹角β为2π3，v1的大小为2m/s．【点拨】注意平行四边形法则的使用！【典题2】在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为F1⃗⃗⃗ ，F2⃗⃗⃗⃗ ，且|F1⃗⃗⃗ |=|F2⃗⃗⃗⃗ |，F1⃗⃗⃗ 与F2⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ．给出以下结论①θ越大越费力，θ越小越省力；②θ的范围为[0 ,π]；③当θ=π2时，|F1⃗⃗⃗ |=|G|；④当θ=2π3时，|F1⃗⃗⃗ |=|G|．其中正确结论的序号是．【解析】对于①，由|G|=|F1⃗⃗⃗ +F2⃗⃗⃗⃗ |为定值，所以G2=|F1⃗⃗⃗ |2+|F2⃗⃗⃗⃗ |2+2|F1⃗⃗⃗ |×|F2⃗⃗⃗⃗ |×cosθ=2|F1⃗⃗⃗ |2(1+cosθ)，解得|F1⃗⃗⃗ |2=|G|22(1+cosθ)；由题意知θ∈(0 ,π)时，y=cosθ单调递减，所以|F1⃗⃗⃗ |2单调递增，即θ越大越费力，θ越小越省力；①正确．对于②，由题意知，θ的取值范围是(0 ,π)，所以②错误．对于③，当θ=π2时，|F1⃗⃗⃗ |2=G22，所以|F1⃗⃗⃗ |=√22|G|，③错误．对于④，当θ=2π3时，|F1⃗⃗⃗ |2=|G|2，所以|F1⃗⃗⃗ |=|G|，④正确．综上知，正确结论的序号是①④．故答案为①④．【典题3】如图，重为10N的匀质球，半径R为6cm，放在墙与均匀的AB木板之间，A端锁定并能转动，B端用水平绳索BC拉住，板长AB=20cm，与墙夹角为α，如果不计木板的重量，则α为何值时，绳子拉力最小？最小值是多少？【解析】如图，设木板对球的支持力为N⃗，则N⃗=10sinα，设绳子的拉力为f．又AC=20cosα，AD=6tanα2，由动力矩等于阻力矩得|f|×20cosα=|N⃗|×6tanα2=60sinα⋅tanα2，∴|f|=6020cosα⋅sinα⋅tanα2=3cosα(1−cosα)≥3(cosα+1−cosα2)2=314=12，∴当且仅当 cosα=1−cosα 即cosα=12，亦即α=60°时，|f|有最小值12N．巩固练习1(★★) 一条渔船以6km/ℎ的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/ℎ，则这条渔船实际航行的速度大小为 ．【答案】2√10km/ℎ【解析】如图所示，渔船实际航行的速度为v AC →=v 船→+v 水→；大小为|v AC →|=|v 船→+v 水→|=√62+22 =2√10km/ℎ．2(★★) 如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F 1 ,F 2，且F 1 ,F 2与水平夹角均为45°，|F 1⃗⃗⃗ |=|F 2⃗⃗⃗⃗ |=10√2N ，则物体的重力大小为 ．【答案】20【解析】如图，∵|F 1→|=|F 2→|=10√2N ，∴|F 1→+F 2→|=10√2×√2N =20N ，∴物体的重力大小为20．故答案为 20．3(★★) 已知一艘船以5km/ℎ的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度．【答案】5√3km/ℎ【解析】如图，设AD →表示船垂直于对岸的速度，AB →表示水流的速度，以AD ，AB 为邻边作平行四边形ABCD ，则AC →就是船实际航行的速度．在Rt△ABC 中，∠CAB =30°，|AD →|=|BC →|=5，∴|AC →|=|BC →|sin30°=10，|AB →|=|BC →|tan30°=5√3．故船实际航行速度的大小为10km/ℎ，水流速度5√3km/ℎ．4 (★★)一个物体受到同一平面内三个力F 1、F 2、F 3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8m ．已知|F 1|=2N ，方向为北偏东30°；|F 2|=4N ，方向为东偏北30°；|F 3|=6N ，方向为西偏北60°，求这三个力的合力F 所做的功．【答案】24√6 J【解析】 以三个力的作用点为原点，正东方向为x 轴正半轴，建立直角坐标系． 则由已知可得OF 1→=(1，√3)，OF 2→=(2√3，2)，OF 3→=(﹣3，3√3)．∴OF →=OF 1→+OF 2→+OF 3→=(2√3−2，4√3+2)．又位移OS →=(4√2，4√2)．∴OF →•OS →=(2√3−2)×4√2+(4√3+2)×4√2=24√6(J)．。
平面向量在物理中的应用
C
10 30 km.
南
例2 一个物体受到同一平面内三个力
F1、F2、F3的作用，沿北偏东45°方向 移动了8m，已知|F1|=2N，方向为北偏东 30°，|F2| =4N，方向为东偏北30°， |F3| =6N，方向为西偏北60°，求这三
个力的合力所做的功. F3 北
W=F·s= 24 6 J.
F1
行驶到对岸至少要几分钟？
t = d = 0.5 椿60 3.1(min) | v | 96
理论迁移
例1 一架飞机从A地向北偏西60°方
向飞行1000km到达B地，然后向C地飞行，
若C地在A地南偏西60°方向，并且A、
C两地相距2000km，求飞机从B地到C地的
位移.
北
B
位移的方向是南偏 西
A东
西30°，大小是
G
思考5：上述结论表明，若重力G一定， 则拉力的大小是关于夹角θ 的函数.在物 理学背景下，这个函数的定义域是什么？ 单调性如何？
| F1 |=
|G | 2 cos q
,
θ ∈[0°，180°)
2
思考6：|F1|有最大值或最小值吗？|F1| 与|G|可能相等吗？为什么？
探究（二）：向量在运动学中的应用 思考1：如图，一条河的两岸平行，一艘 船从A处出发到河对岸，已知船在静水中 的速度|v1|＝10㎞/h，水流速度|v2|＝ 2㎞/h，如果船垂直向对岸驶去，那么船 的实际速度v的大小是多少？
作业： P113习题2.5A组：3，4.
B组：2.
F2
西
东
南
小结作业
1.利用向量解决物理问题的基本步骤： ①问题转化，即把物理问题转化为数学 问题；②建立模型，即建立以向量为载 体的数学模型；③求解参数，即求向量 的模、夹角、数量积等；④回答问题， 即把所得的数学结论回归到物理问题.
平面向量在物理中的应用
(
１)由力的平衡 及 向 量 加 法 的 平 行 四 边 形 定
则可知:－G ＝F１ ＋F２ ,解 直 角 三 角 形,得
|G|
,
|F１|＝
|F２|＝|G|
t
anθ,当θ 从 ０
°趋于 ９０
°时,
co
sθ
|F１|,
|F２|都逐渐增大 ．
|G|
１
(
２)当|F１|＝
≤２|G|,得 c
o
sθ≥ ,又因为
点,与之相关的物理问题可以通过平面向量加以解决 ．
例 １ 质点 P 在平面上做匀速直线运动,速度向
量v＝ (
４,－３)(即点 P 的运动方向与v 相同,且每秒
移动的距离为|
设开始时质点 P 的坐标为
v|个单位)．
(－１０,
１０),则 ５s后质点 P 的坐标为( )．
A (－２,
４); B (－３０,
动量 mv 是物体的质量 m 与速度v 的乘积,是物
理中的一个重要矢量 ．
例 ３ 如 图 ２ 所 示,一 个
看出其实质就是平移向量,从 而 将 问 题 转 化 为 向 量 的
质量为 m 的 小 球 在 前 进 过 程
由已知,可以设质点度 大 小 均 为|v|,角
nθ,
大小为 m|
v|s
i
nθ,由于方向相反,所以碰撞过程中小
球的动量变化大小为 ２m|
v|s
i
nθ．
平面向量可 以 用 来 处 理 部 分 与 物 理 有 关 的 实 际
应用问题,关键在于分析平 面 向 量 与 物 理 中 实 际 应 用
两者之间的关系,通过这种关系达到求解的目的 ．
平面向量在物理中的应用
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易错辨析
探究一用向量法解决速度问题
【例1】在风速为75( 6 − 2 ) km/h的西风中,飞机以150 km/h的航速
向西北方向飞行,求没有风时飞机的航速和航向.
分析:解本题首先根据题意作图,再把物理问题转化为向量的有
关运算求解.
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探究一
探究二
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思维辨析
未能将实际物理问题转化为向量问题
典例一辆汽车在平直的公路上向西行驶,车上装着风速计和风向
标,测得风向为东偏南30°,风速为4 m/s,这时气象台报告实际风速为
2 m/s.试求风的实际方向和汽车的速度大小.
错解:设实际风速为v风,由题意知,车向正西行驶,所以风的实际方
物理问题转化成数学问题,也就是将物理量之间的关系抽象成数学
模型,另一方面是如何利用建立起来的数学模型解释和回答相关的
物理现象.
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思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的打“×”.
π
3
(2)W=F·s=|F|·|s|cos =50×60× =1 500 3(焦耳).
6
答案:(1)B (2)1 500 3
2
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平面向量在物理学中的应用
平面向量在物理学中的应用引言：平面向量是一种在数学和物理学中广泛应用的概念。
它们可以用于描述物体的位置、方向和速度，以及解决力学和电磁学等领域的问题。
本文将探讨平面向量在物理学中的重要应用，包括位移、速度、加速度以及力的合成等方面。
1. 位移（Displacement）：位移是描述物体在空间中位置变化的矢量量。
在物理学中，平面向量常用于表示位移。
根据矢量的性质，位移可以用一个有方向和大小的箭头来表示，箭头的起点和终点分别代表物体的起始位置和最终位置。
平面向量可以方便地表示物体在直线或曲线运动中的位移。
2. 速度（Velocity）：速度是物体运动中的物理量之一，表示单位时间内物体位置的改变量。
在物理学中，速度是一个矢量量，并且与位移有一定的关系。
根据矢量加法的原理，速度可以看作位移对时间的导数。
通过平面向量的运算，可以方便地计算出物体的速度，并描述其大小和方向。
3. 加速度（Acceleration）：加速度是物体运动状态的度量，指单位时间内速度的变化率。
类似于速度，加速度也是一个矢量量，并且可以通过位移对时间的导数来计算。
平面向量的加法运算可以简化加速度的计算过程，同时也可以准确地描述加速度的大小和方向。
4. 力的合成（Composition of Forces）：力的合成是指将多个力合并成一个力的过程。
在物理学中，力可以用向量来表示，力的合成则是将多个力矢量进行相加，得到一个合力矢量。
平面向量的运算规则使得力的合成变得简单明了。
通过将各个力的大小和方向用向量表示，并进行矢量相加，可以求得力的合力，从而更好地理解和分析物体所受的合力。
5. 牛顿第二定律（Newton's Second Law）：牛顿第二定律描述了物体运动的定量关系，通过力、质量和加速度之间的关系。
根据牛顿第二定律的公式 F = ma，力和加速度都可以表示成矢量形式。
平面向量的运算能够方便地进行质量和加速度之间的计算，并帮助解决相关的物理问题。
初中数学知识归纳平面向量的应用
初中数学知识归纳平面向量的应用初中数学知识归纳:平面向量的应用平面向量是初中数学中重要的概念之一，其应用领域非常广泛。
在本文中，我们将归纳总结平面向量的应用，并且探讨其在几何、物理和经济等领域中的具体应用。
一、平面向量在几何中的应用1. 平移变换：平面向量的加法运算可以用于描述平移变换。
假设有一个向量a表示某个点的位置，通过向量b可以将该点平移至另一个位置，新的位置可以表示为a+b。
平移变换在几何图形的移动和构造中有着重要的应用，例如平行四边形的构造、图形的镜像等。
2. 向量共线与线性组合：通过向量的共线性来判断线段的相似性和平面的共面性。
如果两个向量a和b共线，则可以表示为a=kb，其中k 为一个实数。
此外，通过向量的线性组合可以方便地表示平面内的任意一点。
这种方法在平面几何证明和计算中经常被使用。
3. 矢量运算：平面向量的乘法运算包括数量积和向量积。
数量积可以用于计算两个向量的夹角，通过计算a·b=|a||b|cosθ来得到。
而向量积则用于计算两个向量的面积，通过计算a×b=|a||b|sinθ来得到。
这些矢量运算在几何中常常用于求解角度、判断垂直、计算面积等问题。
二、平面向量在物理中的应用1. 力的合成与分解：平面向量可以用于描述物体所受到的力的合成与分解。
当一个物体受到多个力的作用时，可以将这些力的大小和方向表示为向量，并利用向量的运算求得它们的合力。
相反地，可以将一个力向量分解为多个力向量的和，以便更好地分析物体所受到的力的效果。
2. 平衡力与力的平衡：平面向量的概念在力的平衡问题中有着重要的应用。
当物体所受到的合力为零时，物体处于平衡状态。
利用平面向量，我们可以方便地求解力的平衡条件，并解决各种力的平衡问题。
3. 速度与加速度：平面向量可以用于描述物体的速度和加速度。
速度可以表示为物体位置矢量随时间的变化率，即v=d/dt[r(t)]，其中r(t)为位置矢量。
利用平面向量的运算可以方便地计算物体的速度和加速度，并解决相关的运动学问题。
第二章平面向量在几何物理中的应用举例【新教材】北师大版高中数学必修第二册课件
当堂检测
角度2 垂直问题
例2如图,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,四边形PECF是
矩形,用向量证明:PA⊥EF.
探究一
探究二
当堂检测
证明设正方形边长为 a,由于 P 是对角线 BD 上的一点,可设
=λ(0≤λ≤1).
则 = − = -λ = -λ( + )=(1-λ)-λ.
激趣诱思
知识点拨
(3)要证 A,B,C 三点共线,只要证明存在唯一一个实数 λ≠0,使=λ,
或若=a,=b,=c,存在一个实数 t,使 c=ta+(1-t)b.
(4)证明线段的垂直问题,如证明四边形是矩形、正方形,判断直线
(线段)是否垂直等,常运用向量垂直的条件:a⊥b⇔a·
b=0
| || |
π
=
2
2×
=
3
2
3
3
2
.
π
因为 0<∠EAC<2 ,所以∠EAC=6 .
反思感悟 利用平面向量解决几何中的夹角问题,本质是将平面图
形中的角视为两个向量的夹角,借助夹角公式进行求解.这类问题
也有两种方向,一是利用向量的基求解,二是利用坐标运算.在求解
过程中,务必注意向量的方向.
探究一
因为实际速度=游速+水速,所以游速为
− = ,
在 Rt△AOB 中,由已知||=4 3,||=4,
因此 ∥ ,
又因为 , 有公共点 F,所以 A,E,F 三点共线.
探究一
探究二
当堂检测
反思感悟 证明A,B,C三点共线的步骤
(1)证明其中两点组成的向量与另外两点组成的向量共线.
(2)说明两向量有公共点.
6.4.2 平面向量在物理中的应用
例题讲解
例题4 一条河的两岸平行,河的宽度d=500 m， 一艘船从A处出发到河的正对岸B处，船 航行的速度|v1|=10 km/h ,水流速度|v2|=2 km/h ，问行驶航程最短时，所用时间是 多少(精确到0.1 min) ？
解：设点B是河对岸一点，AB与河岸垂直， 那么当这艘船实际沿着AB方向航行时，船的
第六章 平面向量及其应用
6.4.2 平面向量在物理中的应用
例题讲解
例题3 在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，
夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省
力．你能从数学的角度解释这种现象吗？
F
分析：上面的问题可以抽象为如图所示的数学模型．只要分析清
楚F、G、 θ 三者之间的关系（其中F为F1、F2的合力），就得到
向量问题
(数学模型)
物理问题的结论
数学问题的解决
v1
航程最短.
如图，设v=v1＋v2 ，
v2
则 | v | | v1 |2 | v2 |2 96 (km/h).
t d 0.5 60 3.1(min) | v | 96
所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程度需要3.1 min
反思总结
用向量知识解决物理问题的一般思路如下：
物理问题
(实际问题）
了问题的数学解释．
不妨设|F1|=|F2|. 以F1、F2为邻边的四边形是菱形，力F2的合力与重力G大小相等、方向相反，
G
1 2
F
F1
cos
2
G
F1
2 c os
2
合作探究
探究： (1)为何值时，|F1|最小，最小值是多少？
G
平面向量的应用
平面向量的应用一、引言平面向量是高中数学中的重要概念，其应用广泛。
本文将从几何、物理和工程等多个方面介绍平面向量的应用。
二、几何应用1. 向量的加减法向量的加减法在几何中有着广泛的应用。
例如，在平面内，两个向量相加可以表示从一个点出发分别沿着两个方向走到达另一个点；两个向量相减可以表示从一个点出发先沿着一个方向走再沿着另一个方向回到原点。
2. 向量的数量积在几何中，向量的数量积可以用来计算两个向量之间的夹角。
例如，在平面内，如果有两条非零向量a和b，则它们之间的夹角θ满足cosθ=(a·b)/(|a||b|)，其中|a|和|b|分别表示a和b的模长。
3. 向量共线与垂直在几何中，如果两个非零向量共线，则它们可以表示同一条直线上不同位置处的两个位移向量；如果两个非零向量垂直，则它们所在直线互相垂直。
这些性质在解决平面内直线、三角形等问题时经常被用到。
三、物理应用1. 力的合成与分解在物理中，力的合成与分解是基本概念。
如果有多个力作用于同一物体，则它们可以合成为一个等效的力；如果一个力可以被分解为多个方向上的力，则每个方向上的力可以分别计算。
2. 速度和加速度在物理中，速度和加速度都可以表示为向量。
例如，在平面内，一个物体的速度可以表示为v=(x,y)，其中x和y分别表示它在x轴和y轴上的速度分量；一个物体的加速度可以表示为a=(ax,ay)，其中ax和ay分别表示它在x轴和y轴上的加速度分量。
3. 力与位移在物理中，如果一个恒定大小、方向不变的力作用于一个物体，则这个力可以表示为一条位移向量。
例如，在平面内，如果有一个恒定大小、方向不变的力F作用于一个质点P，则质点P所受到的位移d可以表示为d=(F·r)/|F|，其中r表示从P点出发指向作用点O处的位移向量。
四、工程应用1. 向量运算在工程中，向量运算经常被用来进行计算。
例如，在机械设计中，需要对各种受力情况进行分析，需要进行向量的加减法、数量积等运算。
平面向量的应用
§5.4 平面向量的应用1．向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质 a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(3)求夹角问题，利用夹角公式cos θ＝a·b|a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22 (θ为a 与b 的夹角)．2．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，这是力F 与位移s 的数量积．即W ＝F·s ＝|F||s |cos θ (θ为F 与s 的夹角)．3．平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题．此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线．( √ )(2)解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题都可以用向量解决．( √ )(3)实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算．( √ )(4)在△ABC 中，若AB →·BC →<0，则△ABC 为钝角三角形．( × )(5)(理)作用于同一点的两个力F 1和F 2的夹角为2π3，且|F 1|＝3，|F 2|＝5，则F 1＋F 2的大小为19.( √ )(6)已知平面直角坐标系内有三个定点A (－2，－1)，B (0,10)，C (8,0)，若动点P 满足：OP →＝OA →＋t (AB →＋AC →)，t ∈R ，则点P 的轨迹方程是x －y ＋1＝0. ( √ )2．(2013·福建)在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为 ( ) A. 5B ．2 5C ．5D ．10答案 C解析 ∵AC →·BD →＝0， ∴AC ⊥BD .∴四边形ABCD 的面积S ＝12|AC →|·|BD →|＝12×5×25＝5. 3．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为( ) A.π6，π3 B.2π3，π6 C.π3，π6D.π3，π3答案 C解析 由m ⊥n 得m·n ＝0，即3cos A －sin A ＝0，即2cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝0， ∵π6<A ＋π6<7π6，∴A ＋π6＝π2，即A ＝π3. 又a cos B ＋b cos A ＝2R sin A cos B ＋2R sin B cos A＝2R sin(A ＋B )＝2R sin C ＝c ＝c sin C ，所以sin C ＝1，C ＝π2，所以B ＝π－π3－π2＝π6.4．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝⎛⎭⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为__________．答案 y 2＝8x (x ≠0)解析 由题意得AB →＝⎝⎛⎭⎫2，－y 2，BC →＝⎝⎛⎭⎫x ，y 2， 又AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，即⎝⎛⎭⎫2，－y 2·⎝⎛⎭⎫x ，y 2＝0，化简得y 2＝8x (x ≠0)． 5．河水的流速为2 m/s ，一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为________．答案 226 m/s解析 如图所示小船在静水中的速度为102＋22＝226 m/s.题型一 平面向量在平面几何中的应用例1 如图所示，四边形ABCD 是正方形，P 是对角线DB 上的一点(不包括端点)，E ，F 分别在边BC ，DC 上，且四边形PFCE 是矩形，试用向量法证明：P A ＝EF .思维启迪 正方形中有垂直关系，因此考虑建立平面直角坐标系，求出所求线段对应的向量，根据向量知识证明．证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，DP ＝λ(0<λ<2)，则A (0,1)，P (22λ，22λ)，E (1，22λ)，F (22λ，0)，∴P A →＝(－22λ，1－22λ)，EF →＝(22λ－1，－22λ)，∴|P A →|＝ (－22λ)2＋(1－22λ)2＝λ2－2λ＋1， |EF →|＝(22λ－1)2＋(－22λ)2＝λ2－2λ＋1， ∴|P A →|＝|EF →|，即P A ＝EF .思维升华 用向量方法解决平面几何问题可分三步：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系．(1)平面上O ，A ，B 三点不共线，设OA →＝a ，OB →＝b ，则△OAB 的面积等于( )A.|a |2|b |2－(a ·b )2B.|a |2|b |2＋(a ·b )2C.12|a |2|b |2－(a ·b )2 D.12|a |2|b |2＋(a ·b )2 (2)在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为 ( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．三边均不相等的三角形答案 (1)C (2)A解析 (1)∵cos ∠BOA ＝a ·b|a ||b |，则sin ∠BOA ＝ 1－(a ·b )2|a |2|b |2，∴S △OAB ＝12|a ||b | 1－(a ·b )2|a |2|b |2＝12|a |2|b |2－(a ·b )2. (2)因为非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC .又cos ∠BAC ＝AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，所以∠BAC ＝π3.所以△ABC 为等边三角形． 题型二 平面向量在三角函数中的应用例2 已知在锐角△ABC 中，两向量p ＝(2－2sin A ，cos A ＋sin A )，q ＝(sin A －cos A,1＋sin A )，且p 与q 是共线向量． (1)求A 的大小； (2)求函数y ＝2sin 2B ＋cos ⎝⎛⎭⎫C －3B 2取最大值时，B 的大小．思维启迪 向量与三角函数的结合往往是简单的组合．如本题中的条件通过向量给出，根据向量的平行得到一个等式．因此这种题目较为简单． 解 (1)∵p ∥q ，∴(2－2sin A )(1＋sin A )－(cos A ＋sin A )(sin A －cos A )＝0，∴sin 2A ＝34，sin A ＝32，∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＝60°.(2)y ＝2sin 2B ＋cos ⎝⎛⎭⎫C －3B 2＝2sin 2B ＋cos ⎝⎛⎭⎫180°－B －A －3B 2＝2sin 2B ＋cos(2B －60°) ＝1－cos 2B ＋cos(2B －60°)＝1－cos 2B ＋cos 2B cos 60°＋sin 2B sin 60°＝1－12cos 2B ＋32sin 2B ＝1＋sin(2B －30°)，当2B －30°＝90°，即B ＝60°时，函数取最大值2.思维升华 解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键，准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解决．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ＋b ，sin C )，n ＝(3a ＋c ，sin B －sin A )，若m ∥n ，则角B 的大小为________．答案 5π6解析 ∵m ∥n ，∴(a ＋b )(sin B －sin A )－sin C (3a ＋c )＝0，又∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ，则化简得a 2＋c 2－b 2＝－3ac ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－32，∵0<B <π，∴B ＝5π6.题型三 平面向量在解析几何中的应用例3 已知平面上一定点C (2,0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且(PC →＋12PQ →)·(PC →－12PQ →)＝0.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)若EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任一条直径，求PE →·PF →的最值． 思维启迪 (1)直接利用数量积的坐标运算代入；(2)将PE →·PF →转化为关于y 的函数，求函数的最值． 解 (1)设P (x ，y )，则Q (8，y )． 由(PC →＋12PQ →)·(PC →－12PQ →)＝0，得|PC →|2－14|PQ →|2＝0，即(x －2)2＋y 2－14(x －8)2＝0，化简得x 216＋y212＝1.所以点P 在椭圆上，其方程为x 216＋y 212＝1.(2)∵PE →＝PN →＋NE →，PF →＝PN →＋NF →， 又NE →＋NF →＝0.∴PE →·PF →＝PN →2－NE →2 ＝x 2＋(y －1)2－1＝16(1－y 212)＋(y －1)2－1＝－13y 2－2y ＋16＝－13(y ＋3)2＋19.∵－23≤y ≤2 3.∴当y ＝－3时，PE →·PF →的最大值为19，当y ＝23时，PE →·PF →的最小值为12－4 3.综上：PE →·PF →的最大值为19； PE →·PF →的最小值为12－4 3.思维升华 平面向量与平面解析几何交汇的题目，涉及向量数量积的基本运算，数量积的求解以及轨迹、直线和圆、直线和椭圆中最值等问题，解决此类问题应从向量的坐标运算入手，这也是解决解析几何问题的基本方法——坐标法．已知点P (0，－3)，点A 在x 轴上，点Q 在y 轴的正半轴上，点M 满足P A →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．解 设M (x ，y )为所求轨迹上任一点， 设A (a,0)，Q (0，b )(b >0)， 则P A →＝(a,3)， AM →＝(x －a ，y )，MQ →＝(－x ，b －y )， 由P A →·AM →＝0，得a (x －a )＋3y ＝0.①由AM →＝－32MQ →，得(x －a ，y )＝－32(－x ，b －y )＝(32x ，32(y －b ))， ∴⎩⎨⎧x －a ＝32x ，y ＝32y －32b ，∴⎩⎨⎧a ＝－x 2，b ＝y 3.把a ＝－x 2代入①，得－x 2(x ＋x2)＋3y ＝0，整理得y ＝14x 2(x ≠0)．题型四 平面向量在物理中的应用例4 在长江南岸渡口处，江水以252 km/h 的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为________．思维启迪 题中涉及的三个速度(向量)：江水速度、渡船的速度、船实际过江的速度，三个速度的关系是本题的核心． 答案 北偏西30°解析 如图所示，渡船速度为OB →，水流速度为OA →，船实际垂直过江的速度为OD →，依题意知|OA →|＝252，|OB →|＝25.∵OD →＝OB →＋OA →，∴OD →·OA →＝OB →·OA →＋OA →2， ∵OD →⊥OA →，∴OD →·OA →＝0，∴25×252cos(∠BOD ＋90°)＋(252)2＝0，∴cos(∠BOD ＋90°)＝－12，∴sin ∠BOD ＝12，∴∠BOD ＝30°，∴航向为北偏西30°.思维升华 在使用向量解决物理问题时要注意：(1)认真分析物理问题，深刻把握物理量之间的相互关系； (2)通过抽象、概括，把物理问题转化为与之相关的向量问题； (3)利用向量知识解决这个向量问题，并获得这个向量的解；(4)利用这个结果，对原物理现象作出合理解释，即用向量知识圆满解决物理问题．质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为________． 答案 27解析 方法一 由已知条件F 1＋F 2＋F 3＝0，则F 3＝－F 1－F 2，F 23＝F 21＋F 22＋2|F 1||F 2|cos 60°＝28. 因此，|F 3|＝27.方法二 如图，|F 1F 2→|2＝|F 1|2＋ |F2|2－2|F 1||F 2|cos 60°＝12，则|OF 1→|2＋|F 1F 2→|2＝|OF 2→|2， 即∠OF 1F 2为直角，|F 3|＝2 F 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|F 1F 2→|22＝27.高考中以向量为背景的创新题典例：(1)(5分)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α·ββ·β.若两个非零的平面向量a ，b 满足a 与b 的夹角θ∈(π4，π2)，且a ∘b 和b ∘a 都在集合{n2|n ∈Z }中，则a ∘b 等于( )A.52B.32 C ．1 D.12思维启迪 先根据定义表示出a ∘b 和b ∘a ，利用其属于集合{n2|n ∈Z }，将其表示成集合中元素的形式，两式相乘即可表示出cos θ，然后利用θ∈(π4，π2)确定cos θ的取值范围，结合集合中n ∈Z 的限制条件即可确定n 的值，从而求出a ∘b 的值．解析 根据新定义，得a ∘b ＝a ·b b ·b ＝|a ||b |cos θ|b |2＝|a ||b |cos θ，b ∘a ＝b ·a a ·a ＝|a ||b |cos θ|a |2＝|b ||a |cos θ. 又因为a ∘b 和b ∘a 都在集合{n 2|n ∈Z }中，设a ∘b ＝n 12，b ∘a ＝n 22(n 1，n 2∈Z )，那么(a ∘b )·(b ∘a )＝cos 2θ＝n 1n 24，又θ∈(π4，π2)，所以0<n 1n 2<2.所以n 1，n 2的值均为1.故a ∘b ＝n 12＝12.答案 D(2)(5分)设向量a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，定义一种向量积a ⊗b ＝(a 1b 1，a 2b 2)，已知向量m＝(2，12)，n ＝(π3，0)，点P (x ，y )在y ＝sin x 的图象上运动，Q 是函数y ＝f (x )图象上的点，且满足OQ →＝m ⊗OP →＋n (其中O 为坐标原点)，则函数y ＝f (x )的值域是________．思维启迪 根据定义先写出m ⊗OP →，进而求出OP →，确定函数y ＝f (x )的解析式． 解析 设Q (c ，d )，由新的运算可得OQ →＝m ⊗OP →＋n ＝(2x ，12sin x )＋(π3，0)＝(2x ＋π3，12sin x )，由⎩⎨⎧c ＝2x ＋π3，d ＝12sin x ，消去x 得d ＝12sin(12c －π6)， 所以y ＝f (x )＝12sin(12x －π6)，易知y ＝f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－12，12. 答案 ⎣⎡⎦⎤－12，12 温馨提醒 解答创新型问题，首先需要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，然后应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义信息题难点的关键所在方法与技巧1．向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题．2．以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法．3．向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题． 失误与防范1．注意向量夹角和三角形内角的关系，两者并不等价．2．注意向量共线和两直线平行的关系；两向量a ，b 夹角为锐角和a ·b >0不等价.A 组 专项基础训练一、选择题1．已知P 是△ABC 所在平面内一点，若CB →＝λP A →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( ) A ．△ABC 的内部B ．AC 边所在直线上 C ．AB 边所在直线上D ．BC 边所在直线上答案 B解析 由题意知：CB →－PB →＝λP A →， 即CB →＋BP →＝λP A →，∴CP →＝λP A →，即CP →与P A →共线，∴点P 在AC 边所在直线上．2．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是 ( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形答案 C解析 由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2， 得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0， 即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0,2AC →·BA →＝0， ∴AC →⊥BA →，∴A ＝90°.又根据已知条件不能得到|AB →|＝|AC →|， 故△ABC 一定是直角三角形．3．已知|a |＝2|b |，|b |≠0且关于x 的方程x 2＋|a |x －a·b ＝0有两相等实根，则向量a 与b 的夹角是( )A ．－π6B ．－π3C.π3D.2π3答案 D解析 由已知可得Δ＝|a |2＋4a·b ＝0，即4|b |2＋4·2|b |·|b |cos θ＝0，∴cos θ＝－12，又∵0≤θ≤π，∴θ＝2π3.4．已知点A (－2,0)、B (3,0)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →＝x 2，则点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线答案 D解析 P A →＝(－2－x ，－y )，PB →＝(3－x ，－y )， ∴P A →·PB →＝(－2－x )(3－x )＋y 2＝x 2，∴y 2＝x ＋6.5. 若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示，M ，N 分别是这段图象的最高点和最低点，且OM →·ON →＝0(O 为坐标原点)， 则A 等于( ) A.π6 B.712πC.76πD.73π答案 B解析 由题意知M (π12，A )，N (712π，－A )，又OM →·ON →＝π12×712π－A 2＝0，∴A ＝712π.二、填空题6．(2013·天津)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．答案 12解析 在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →， ∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →，又AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·(AD →－12AB →)＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos 60°－12|AB →|2＝1＋12×12|AB →|－12|AB →|2＝1.∴⎝⎛⎭⎫12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12. 7．已知三个力f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3,2)，f 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f 4，则f 4＝________. 答案 (1,2)解析 由物理知识知：f 1＋f 2＋f 3＋f 4＝0， 故f 4＝－(f 1＋f 2＋f 3)＝(1,2)．8．已知在平面直角坐标系中，O (0,0)，M (1,1)，N (0,1)，Q (2,3)，动点P (x ，y )满足不等式0≤OP →·OM →≤1,0≤OP →·ON →≤1，则z ＝OQ →·OP →的最大值为________．答案 3解析 OP →＝(x ，y )，OM →＝(1,1)，ON →＝(0,1)，∴OP →·OM →＝x ＋y ，OP →·ON →＝y ，即在⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋y ≤1，0≤y ≤1条件下，求z ＝2x ＋3y 的最大值，由线性规划知识，当x ＝0，y ＝1时，z max ＝3.三、解答题9．已知△ABC 中，∠C 是直角，CA ＝CB ，D 是CB 的中点，E 是AB 上一点，且AE ＝2EB ，求证：AD ⊥CE .证明 建立如图所示的直角坐标系，设A (a,0)，则B (0，a )，E (x ，y )．∵D 是BC 的中点，∴D (0，a 2)． 又∵AE →＝2EB →，即(x －a ，y )＝2(－x ，a －y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝－2x ，y ＝2a －2y ，解得x ＝a 3，y ＝23a . ∵AD →＝(0，a 2)－(a,0)＝(－a ，a 2)， OE →＝CE →＝(a 3，23a )， ∴AD →·CE →＝－a ×a 3＋23a ×a 2＝－13a 2＋13a 2＝0. ∴AD →⊥CE →，即AD ⊥CE .10．已知A ，B ，C 三点的坐标分别为A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，其α∈(π2，3π2)． (1)若|AC →|＝|BC →|，求角α的值．(2)若AC →·BC →＝－1，求tan(α＋π4)的值． 解 (1)∵AC →＝(cos α－3，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－3)，∴|AC →|＝(cos α－3)2＋sin 2α ＝10－6cos α，|BC →|＝10－6sin α.由|AC →|＝|BC →|得sin α＝cos α，又α∈(π2，3π2)，∴α＝54π. (2)由AC →·BC →＝－1，得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1，∴sin α＋cos α＝23，∴sin(α＋π4)＝23>0. 由于π2<α<3π2， ∴3π4<α＋π4<π，∴cos(α＋π4)＝－73. 故tan(α＋π4)＝－147. B 组 专项能力提升1．(2013·浙江)设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则 ( )A ．∠ABC ＝90°B ．∠BAC ＝90° C ．AB ＝ACD ．AC ＝BC答案 D解析 设BC 中点为M ，则PB →·PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫PB →＋PC →22－⎝ ⎛⎭⎪⎫PB →－PC →22＝PM →2－14CB →2， 同理P 0B →·P 0C →＝P 0M →2－14CB →2， ∵PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →恒成立，∴|PM →|≥|P 0M →|恒成立．即P 0M ⊥AB ，取AB 的中点N ，又P 0B ＝14AB ， 则CN ⊥AB ，∴AC ＝BC .故选D.2．已知在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，a·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则∠BAC ＝________. 答案 150°解析 ∵AB →·AC →<0，∴∠BAC 为钝角，又S △ABC ＝12|a||b |sin ∠BAC ＝154. ∴sin ∠BAC ＝12，∴∠BAC ＝150°. 3．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________．答案 5解析 方法一 以D 为原点，分别以DA 、DC 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x .∴D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x )，P A →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )，∴P A →＋3PB →＝(5,3a －4x )，|P A →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25，∴|P A →＋3PB →|的最小值为5.方法二 设DP →＝xDC →(0<x <1)．∴PC →＝(1－x )DC →，P A →＝DA →－DP →＝DA →－xDC →，PB →＝PC →＋CB →＝(1－x )DC →＋12DA →.∴P A →＋3PB →＝52DA →＋(3－4x )DC →，|P A →＋3PB →|2＝254DA →2＋2×52×(3－4x )DA →·DC →＋(3－4x )2·DC →2＝25＋(3－4x )2DC →2≥25，∴|P A →＋3PB →|的最小值为5.4．已知点A (2,0)，B (0,2)，C (cos α，sin α)，且0<α<π.(1)若|OA →＋OC →|＝7，求OB →与OC →的夹角；(2)若AC →⊥BC →，求tan α的值．解 (1)因为|OA →＋OC →|＝7，所以(2＋cos α)2＋sin 2α＝7，所以cos α＝12.又因为α∈(0，π)，所以α＝∠AOC ＝π3.又因为∠AOB ＝π2，所以OB →与OC →的夹角为π6.(2)AC →＝(cos α－2，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－2)．因为AC →⊥BC →，所以AC →·BC →＝0，所以cos α＋sin α＝12，①所以(cos α＋sin α)2＝14，所以2sin αcos α＝－34.又因为α∈(0，π)，所以α∈(π2，π)．因为(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝74，cos α－sin α<0，所以cos α－sin α＝－72.②由①②得cos α＝1－74，sin α＝1＋74，所以tan α＝－4＋73.5. 如图所示，已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的一动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 的直线交轨迹C 于A 、B 两点，交直线l 于点M .已知MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →，求λ1＋λ2的值．解 (1)设点P (x ，y )，则Q (－1，y )，由QP →·QF →＝FP →·FQ →，得(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，化简得P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x .(2)设直线AB 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，又M (－1，－2m)， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，消去x ，得 y 2－4my －4＝0，Δ＝(－4m )2＋16>0，故⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4. 由MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →，得y 1＋2m ＝－λ1y 1，y 2＋2m＝－λ2y 2，整理，得 λ1＝－1－2my 1，λ2＝－1－2my 2， 所以λ1＋λ2＝－2－2m (1y 1＋1y 2)＝－2－2m ·y 1＋y 2y 1y 2＝－2－2m ·4m －4＝0.。
平面向量的应用
平面向量的应用平面向量在数学和物理等领域中具有广泛的应用。
本文将探讨平面向量在几何、力学和电磁学等方面的实际应用。
一、平面向量在几何中的应用1. 平面向量的位移应用平面向量在几何中常用于描述物体的位移。
假设有一个起点为A，终点为B的平面向量AB，表示从A点移动到B点的位移。
通过平面向量的加法和减法，我们可以准确地计算出物体在平面上的位移及其方向。
2. 平面向量的无理数倍应用在几何中，平面向量的无理数倍也有重要的应用。
通过无理数倍，我们可以精确地描述两个向量之间的比例关系。
这在相似三角形的问题中常常用到，可以帮助我们得到精确的比例值。
二、平面向量在力学中的应用3. 平面向量的力的应用平面向量在力学中广泛应用于描述作用力和力的平衡问题。
通过将力的大小和方向表示成向量，我们可以方便地进行加减运算，并准确地计算出合力和分力。
4. 平面向量的力矩应用在力学中，平面向量的力矩也有重要的应用。
力矩是描述力偏转或转动作用的物理量。
通过平面向量的叉乘运算，我们可以计算出力矩的大小和方向，进而分析物体的旋转和平衡问题。
三、平面向量在电磁学中的应用5. 平面向量的电场强度应用在电磁学中，平面向量广泛应用于描述电场和电荷之间的关系。
通过平面向量表示电场强度和电荷的分布情况，我们可以方便地计算电场的强度和方向，并分析电荷之间的相互作用。
6. 平面向量的磁场强度应用在电磁学中，平面向量也用于描述磁场的强度和方向。
通过平面向量表示磁场强度和电流的分布情况，我们可以准确地计算磁场的强度和方向，并分析电流之间的相互作用。
综上所述，平面向量在几何、力学和电磁学等领域中都具有重要的应用。
通过运用平面向量的概念和运算法则，我们可以更加准确地描述和分析相关问题，为实际应用提供有力的支持。
平面向量应用平面向量解决实际问题
平面向量应用平面向量解决实际问题平面向量是研究空间中两点间的位移关系的数学工具，也是矢量分析的重要内容之一。
在实际问题中，平面向量可以广泛应用于解决各种几何、物理和工程等领域的实际问题。
本文将通过一系列实例，详细介绍平面向量在解决实际问题中的应用。
1. 位移和速度在物理学中，平面向量常被应用于研究物体的位移和速度。
考虑一个运动的物体，在不同时间点上其位置会发生变化。
如果我们用平面向量表示物体的位移，那么同一物体在不同时间点上的位移可以用向量相加来表示。
例如，一个物体在初始时刻位于坐标点A，经过一段时间后到达坐标点B，则物体的位移向量表示为向量AB。
根据物体的位移，我们可以进一步求出其速度。
速度是以单位时间内的位移来表示的，因此可以通过求位移向量的导数来计算速度向量。
具体来说，速度向量等于位移向量的导数。
对于一个运动物体，在一个无限小时间间隔dt内的位移可以表示为向量dR，那么物体的速度向量可以写为dR/dt。
通过使用平面向量来描述物体的位移和速度，我们能够更加直观地理解并计算物体的运动属性，这在物理学中具有重要的应用价值。
2. 力的合成平面向量的一个重要应用是解决力的合成问题。
在力学中，力的合成是指将多个力合并为一个等效的力。
平面向量可以用来表示力的大小和方向，从而方便进行力的合成计算。
假设我们有两个力F1和F2，它们的大小和方向分别用向量F1和F2表示。
那么这两个力的合力可以通过将这两个向量相加来求得。
具体而言，合力向量等于F1与F2的矢量和，即F = F1 + F2。
通过平面向量的合成，我们能够有效地求解多个力合成为等效力的问题，从而更好地研究和分析物体在受力作用下的运动状态。
3. 四边形的面积在几何学中，平面向量可以用于计算任意四边形的面积。
常见的情况是，当我们已知四边形的两个对角线向量时，可以通过向量叉乘来求解四边形的面积。
设四边形的对角线向量为向量A和向量B，根据向量叉乘的性质，四边形的面积可以表示为向量A与向量B的叉乘的模长的一半，即S= 1/2 |A × B|。
平面向量的应用知识点总结
平面向量的应用知识点总结
（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；
（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；
（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；
1、向量在三角函数中的应用：
（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；
（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。
2、向量在物理学中的应用：
由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。
3、向量在解析几何中的应用：
（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；
（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。
平面向量在几何、物理中的应用
1、用向量解决几何问题的步骤：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如：距离，夹角等；。
平面向量的运算与应用
平面向量的运算与应用一、简介平面向量是在平面上表示有大小和方向的量，它是向量的一种特殊形式。
在数学和物理学中，平面向量的运算和应用非常广泛，涵盖了向量的加法、减法、数乘、点乘以及叉乘等操作。
本文将深入探讨平面向量的运算及其在实际问题中的应用。
二、平面向量的表示平面向量通常用加粗的小写字母如a、b等来表示。
一个平面向量由两个有序的实数组成，表示为向量a=(a₁, a₂)。
其中，a₁和a₂分别表示向量在x轴和y轴方向上的分量。
三、平面向量的加法平面向量的加法是指将两个向量的对应分量相加，形成一个新的向量。
设有两个平面向量a=(a₁, a₂)和b=(b₁, b₂)，它们的和向量c=(c₁, c₂)的计算公式为：c₁ = a₁ + b₁c₂ = a₂ + b₂四、平面向量的减法平面向量的减法是指将两个向量的对应分量相减，形成一个新的向量。
设有两个平面向量a=(a₁, a₂)和b=(b₁, b₂)，它们的差向量c=(c₁, c₂)的计算公式为：c₁ = a₁ - b₁c₂ = a₂ - b₂五、平面向量的数乘平面向量的数乘是指将一个向量的每个分量与一个实数相乘，形成一个新的向量。
设有一个平面向量a=(a₁, a₂)，它与实数k的数乘结果为向量b=(b₁, b₂)，计算公式为：b₁ = k * a₁b₂ = k * a₂六、平面向量的点乘平面向量的点乘，也称为数量积或内积，是指将两个向量的对应分量相乘后相加，得到一个标量值。
设有两个平面向量a=(a₁, a₂)和b=(b₁, b₂)，它们的点乘结果为一个标量c，计算公式为：c = a₁ * b₁ + a₂ * b₂七、平面向量的叉乘平面向量的叉乘，也称为向量积或外积，是指通过两个向量构建一个新的向量，新向量与原来两个向量均垂直。
由于平面向量的叉乘结果是一个新的向量，因此只有在三维空间中才有叉乘的定义，在平面上并没有叉乘的运算。
八、平面向量的应用1. 平面向量在几何中的应用：平面向量的运算可以用来解决几何中的一些问题，如求线段的中点、判断线段是否平行、判断线段是否垂直等。
平面向量的数量积和叉积的物理应用
平面向量的数量积和叉积的物理应用平面向量是物理学中经常使用的数学工具，它们在分析和描述物体的运动、力和能量等方面具有重要的应用。
平面向量的数量积和叉积则是两种常见的运算，它们在解决物理问题时起到了至关重要的作用。
本文将介绍平面向量的数量积和叉积在物理学中的具体应用。
一、平面向量的数量积的物理应用平面向量的数量积也称为点积，表示两个向量之间的乘积并相加的结果。
在物理学中，平面向量的数量积常用于计算功、能量以及求解两个向量之间的夹角等。
1. 功和能量的计算在物理学中，功可以用平面向量的数量积来表示。
当力F沿着位移d的方向作用时，力对位移的功可以表示为W = F·d，其中F为力向量，d为位移向量。
这里的·表示数量积运算。
同样，能量E也可以用数量积来表示，其公式为E = F·d。
2. 夹角的求解平面向量的数量积还可以用于求解两个向量之间的夹角。
设两个向量A和B，它们的数量积可以表示为A·B = |A||B|cosθ，其中|A|和|B|分别为A和B的模，θ为A和B之间的夹角。
通过这个公式，我们可以利用给定的量来求解夹角的大小。
二、平面向量的叉积的物理应用平面向量的叉积也称为叉乘，是一个向量运算，结果是一个新的向量。
在物理学中，平面向量的叉积常用于计算力矩、电磁感应以及面积等。
1. 力矩的计算力矩是物理学中用于描述力对物体产生旋转效果的物理量。
当一个力F作用在与参考点的距离为r的杠杆上时，力矩M可以表示为M = r × F，其中×表示叉积运算。
通过叉积，我们可以计算出力矩的大小和方向。
2. 电磁感应定律的应用平面向量的叉积在电磁学中有重要的应用。
根据法拉第电磁感应定律，当一个导线在磁场中运动时，产生的感应电动势可以表示为E = B × l，其中B为磁感应强度，l为导线的长度。
通过叉积的计算，我们可以确定感应电动势的大小和方向。
3. 面积的计算平面向量的叉积还可以用于计算平面上任意形状区域的面积。
用向量解决几何问题的步骤平面向量的应用举例知识点
一、平面向量在几何、物理中的应用
1、用向量解决几何问题的步骤：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如：距离，夹角等；
（3）把运算结果“翻译”成几何关系。
2、用向量中的有关知识研究物理中的相关问题，步骤如下：
（1）问题的转化，即把物理问题转化为数学问题；
（2）模型的建立，即建立以向量为主题的数学模型；
（3）求出数学模型的有关解；
（4）将问题的答案转化为相关的物理问题。
二、平面向量在几何、物理中的应用
1、向量在平面几何中的应用：
（1）证明线段相等平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时也用到向量减法的定义；
（2）证明线段平行，三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用到向量共线的条件；
（3）证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件；
1、向量在三角函数中的应用：
（1）以向量为载体研究三角函数中最值、单调性、周期等三角函数问题；
（2）通过向量的线性运算及数量积、共线来解决三角形中形状的判断、边角的大小与关系。
2、向量在物理学中的应用：
由于力、速度是向量，它们的分解与合成与向量的加法相类似，可以用向量方法来解决，力做的功就是向量中数量积的一种体现。
3、向量在解析几何中的应用：
（1）以向量为工具研究平面解析几何中的坐标、性质、长度等问题；
（2）以向量知识为工具研究解析几何中常见的轨迹与方程问题。
平面向量的应用(解析版)
平面向量的应用(解析版)平面向量的应用(解析版)平面向量是数学中一个重要的概念，它在现实生活中有着广泛的应用。
本文将通过解析的方式介绍平面向量的应用。
以下是几个实际问题，通过解析平面向量可以得到解决。
1. 物体运动的描述在物理学中，我们经常需要描述物体的运动。
平面向量可以用来描述物体在平面上的位置和运动情况。
我们可以用一个有向线段来表示一个物体的位移，该有向线段的长度表示位移的大小，而箭头的指向表示位移的方向。
通过将位移向量进行相加、相减和缩放等运算，可以得到物体相对于某一初始位置的位置矢量，从而描述物体的运动轨迹和速度等信息。
2. 力的合成和分解在力学中，我们经常需要计算合力和分力的情况。
平面向量可以用来描述物体受到的力以及力的作用方向。
对于多个力的合力，我们可以通过将这些力的向量相加得到。
同样地，对于一个力的分解，我们可以将该力的向量按照一定比例分解为多个力的向量。
通过使用平面向量，我们可以更加方便地计算合力和分力的大小和方向。
3. 平面图形的性质在几何学中，平面向量可以用来描述和证明平面图形的性质。
例如，通过向量的加法可以证明平行四边形的对角线互相平分；通过向量的减法可以证明平行四边形的对边相等；通过向量的数量积可以计算平面图形的面积；通过向量的夹角可以判断平面图形是否垂直或平行等等。
平面向量在解析几何中起到了重要的作用，使得我们能够更加简单地研究平面图形的性质。
4. 导航和地图定位在导航和地图定位中，平面向量可以用来表示位置和方向。
我们可以将某一固定点作为原点，建立一个坐标系，通过向量来表示目标位置相对于原点的位置矢量。
同时，我们也可以通过向量的加法和缩放来表示导航的方向和距离。
通过平面向量，我们可以更加准确地确定目标位置，并指导我们的行进方向。
总结:平面向量的应用涉及到物理学、力学、几何学、导航和地图等多个领域。
通过解析平面向量，我们可以更加方便地描述物体的运动，计算合力和分力，研究平面图形的性质，以及进行导航和地图定位。
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平面向量在物理问题中的应用平面向量是解决物理问题的重要工具之一，它能够描述物体在平面
内的位移、速度和加速度等性质，广泛应用于力学、电磁学、动力学
等物理学领域。
本文将从力学、电磁学和动力学三个方面介绍平面向
量在物理问题中的应用。
一、力学中的平面向量应用
力学是研究物体运动和受力情况的学科，平面向量在力学问题中扮
演着重要的角色。
1. 位移和速度：位移是物体从一个位置到另一个位置的变化，速度
是物体在单位时间内位移的变化率。
在力学问题中，我们可以利用平
面向量来表示位移和速度。
假设一个物体位于平面上的点P，其位移向量为r，那么P点的速度向量v就是位移向量r对时间的导数。
2. 力和加速度：力是物体所受的作用，而加速度是物体单位时间内
速度的改变量。
根据牛顿第二定律，力的大小等于物体质量乘以加速
度的大小。
在力学问题中，我们可以使用平面向量来描述力和加速度。
假设一个物体受力F，质量为m，加速度向量为a，则根据牛顿第二定
律可以得到F = ma。
二、电磁学中的平面向量应用
电磁学是研究电荷和电流、电场和磁场相互作用的学科，平面向量
在电磁学问题中也有重要应用。
1. 电场和电势：电场是由电荷产生的一种力场。
在电磁学问题中，
平面向量可以用来描述电场的强弱和方向。
假设一个电荷在空间中的
位置为点P，电场向量E就是点P处的电场强度对于位置的导数。
而
电势则是描述电场能量的标量量，是电场在单位正电荷上的做功。
在
电磁学中，我们可以利用平面向量来计算电势。
2. 磁场和磁感应强度：磁场是由电流产生的一种力场。
在电磁学问
题中，平面向量可以用来描述磁场的强弱和方向。
假设一个电流在空
间中的位置为点P，磁感应强度向量B就是点P处的磁场强度对于位
置的导数。
磁场力的大小可以通过安培力定律来计算，利用平面向量
可以方便地进行计算。
三、动力学中的平面向量应用
动力学是研究物体运动的原因和规律的学科，平面向量在动力学问
题中也有广泛应用。
1. 动量和力矩：动量是物体的运动状态的度量，等于质量乘以速度。
根据牛顿第二定律，力的大小等于动量对时间的导数。
在动力学问题中，平面向量可以用来描述动量和力的方向和大小。
力矩是描述物体
受力转动的效果，也可以使用平面向量来求解。
2. 能量和功：能量是物体的运动状态的度量，可以分为动能和势能。
动能等于质量乘以速度的平方的一半，势能是物体由于位置而具有的
能量。
在动力学问题中，平面向量可以用来计算物体的能量和功。
综上所述，平面向量在物理问题中的应用广泛且重要。
在力学、电
磁学和动力学中，平面向量可以用来描述物体的位移、速度、加速度、力、力矩、电场、电势、磁场、磁感应强度、动量、能量和功等性质。
掌握了平面向量的基本概念和运算规律，我们可以更加高效地解决各
种物理问题，深入理解物理规律。