积化和差和差化积公式口诀
积化和差、和差化积记忆口诀及相关练习题
积化和差记忆口诀： 积化和差得和差，余弦在后要相加；异名函数取正弦，正弦相乘取负号。
和差化积■，一"卫+ 0sinit-i- sinp = 2 si n C <JS. t 』f ・抚一0sm a —sin p = 2 cos —-— sin —亍一tan 十0二竺屮……⑸<os orcas p “ sinrffl - SI* cos a 十 cos p 二 2 cos <05 (3)cos IT -cos^ = -2si 口 •⑷j [sin (a + ^)+siii(a-/J)] cos asin 0 二 y [si 0 - ^[cos(a+^) + Gas(a —^)] sin £isin = -^[cos(n+/?J-«a8(a-p)]sin acos^1 = cosnros sin (tr+ siti(a 一0)]八tan a - tan S 二 (6)1下列等式错误的是( )A. sin( A+ B) + sin( A — B) = 2sin AcosBB. sin( A+ B) — sin( A — B) = 2cosAsin BC. cos( A+ B) + cos( A — B) = 2cosAcosBD. cos( A+ B) — cos( A — B) = 2sin AcosB2. sin 15 ° sin75 °=( )11 A.1 B.4 C3. sin105 ° + sin 15。
等于( )A .字 B. ¥ C. 4. sin37.5 ° cos7.5 ° = 5.sin70 ° cos20 ° -sin10 sin50。
的值为（) 3 3 1A. B.4 2 c. 2D6. cos72 ° — cos36。
的值为（ ）A. 3— 2 3B. 1 C . —1 D . 3 + 2 3亠 2C_ 6~27. 在厶ABC中，若 sin Asin B= cos?,则厶 ABC是（）A等边三角形B .等腰三角形C .不等边三角形D .直角三角形n8. 函数y= sin x —百cosx的最大值为（1A.2 B1a —B ) = 3,贝U cos2a — sin 3 4B 等于(33解析：选C.sin105 °+ sin15 ° = 2sin 105 +15 cos"5 — 152sin60 ° cos45 °2+ 2 . = 2(sin45 °+ sin30 ° )D.9.若COS(a + B)COS(n n10.函数 y = sin x+3 — sin x(x € [0 ,㊁])的值域是( A. [ — 2,2] B. — 1,子 C. 2，1 D.答案1解析：选D.由两角和与差的正、余弦公式展开左边可知A 、B 、C 正确.sin72 ° cos72° sin144 sin36 ° =— 2sin361 17 解析：选 B.由已知等式得 2【cos( A — B ) — cos( A + B )] = 2(1 + cos C ),又 A + B =n — c 所以 cos( A- B ) — cos( n — C ) = 1 + cosC ，A.C. D.—1(cos90 ° — cos60° ) 2' 2答案：斗-1 '4 解析：sin37.5 ° cos7.5 2【sin(37.5 + 7.5 ° ) + sin(37.5 ° - 7.5 ° )]5解析：选A.sin70 ° cos20 ° — sin10sin50 =2(sin90 + sin50 ° ) + 2(c°s60 ° — cos40 ° ) 11 113 二尹丹50 °十4—产s4° °= <6解析：选C.原式=—2sin72° + 36 2 sin 72°— 362 —2sin54 -sin18 ° =— 2cos36 ° cos72sin36 ° cos36 ° cos72sin36 ° 1，故选C.所以cos( A- B ) = 1，又一n <A — B <n,所以A — B= 0,所以A= B ,故厶ABC 为等腰三角形. 选B.8解析: 选 B.y = sin n 1 x —百 cos x = 2 sin n n + x + sin x — — x 6 6 =2 sin n 2x — 2X 6 1 1 2 = 2sin n 2x —石 1 4. 1 1 1 …ymax =2 ―4= 4. 9解析: 选 C.cos( 1 2(COS 2 1 [(2cos2• 2小 cos a — sin B ，13. —1) + (1 — 2sin 2 B )] . 2 . 2 --cos a — sin B 10 解析：选 B.y = sin n n n x + 百 —sin x = 2cos x + 6 sin 百=cos( x +n：X € 0,， n n 2 n1 -.3 2，~212解析：选B.sin15°sin75 ° =—^[cos(15 °+ 75° )—cos(15 ° —75° )]。
和差化积、积化和差、万能公式
和差化积、积化和差、万能公式在数学的三角函数领域中，和差化积、积化和差以及万能公式是一组非常重要且实用的公式。
它们在解决各种与三角函数相关的问题时，发挥着至关重要的作用。
首先，咱们来聊聊和差化积公式。
和差化积公式包括四个，分别是：sinα ＋sinβ ＝2sin(α ＋β) ／2cos(α β) ／ 2sinα sinβ ＝2cos(α ＋β) ／2sin(α β) ／ 2cosα ＋cosβ ＝2cos(α ＋β) ／2cos(α β) ／ 2cosα cosβ ＝－2sin(α ＋β) ／2sin(α β) ／ 2这些公式的作用在于将两个三角函数的和或差转化为乘积的形式。
这在处理一些复杂的三角函数表达式时，能够大大简化计算过程。
比如说，当我们遇到形如 sin5x ＋ sin3x 的式子，如果直接计算可能会比较困难。
但通过和差化积公式，将其转化为 2sin4xcosx，计算就会变得相对简单许多。
接下来，再看看积化和差公式。
它们是：sinαcosβ ＝1/2sin(α ＋β) ＋sin(α β)cosαsinβ ＝1/2sin(α＋β) sin(α β)cosαcosβ ＝1/2cos(α ＋β) ＋cos(α β)sinαsinβ ＝－1/2cos(α ＋β) cos(α β)积化和差公式则是把两个三角函数的乘积形式转化为和或差的形式。
比如说，计算∫sin2xcos3xdx 这样的积分问题，如果先使用积化和差公式将sin2xcos3x 转化为和差形式，再进行积分运算，就会轻松不少。
最后，咱们来认识一下万能公式。
万能公式包括：sinα ＝2tan(α/2) ／（1 ＋tan²(α/2)）cosα ＝（1 tan²(α/2)）／（1 ＋tan²(α/2)）tanα ＝2tan(α/2) ／（1 tan²(α/2)）万能公式的厉害之处在于，它可以将任何一个三角函数用tan(α/2)来表示。
三角函数和差积公式的记忆口诀
三角函数和差积公式的记忆口诀三角函数和差积公式的记忆口诀一、两角和与差的正余弦公式记忆正弦异名加一起，sin(a+b)=sinacosb+cosasinb余弦同名加减异，cos(a+b)=cosacosb-sinasinb前面是a后面b二、积化和差与和差化积公式记忆积化和差公式：sinα?cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] 前正后余正弦加cosα?sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] 前余后正正弦差cosα?cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] 余余得值余弦加sinα?sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 全正变号余弦差和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] 正弦加正弦正弦在前面sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 正弦减正弦余弦在前面cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] 余弦加余弦全都是余弦cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 余弦减余弦变号改正弦记忆数学知识点的诀窍1归类记忆法就是根据识记材料的性质、特征及其内在联系，进行归纳分类，以便帮助学生记忆大量的知识。
比如，学完计量单位后，可以把学过的所有内容归纳为五类：长度单位;面积单位;体积和容积单位;重量单位;时间单位。
这样归类，能够把纷纭复杂的事物系统化、条理化，易于记忆。
2歌诀记忆法就是把要记忆的数学知识编成歌谣、口诀或顺口溜，从而便于记忆。
比如，量角的方法，就可编出这样几句歌诀：“量角器放角上，中心对准顶点，零线对着一边，另一边看度数。
”再如，小数点位置移动引起数的大小变化，“小数点请你跟我走，走路先要找准‘左’和‘右’;横撇带口是个you，扩大向you走走走;横撇加个zuo，缩小向zuo走走走;十倍走一步百倍两步走，数位不够找‘0’拉拉钩。
三角函数(和差化积、积化和差)公式
记忆口诀（正弦余弦）正加正，正在前，余加余，余并肩正减正，余在前，余减余，负正弦生动的口诀：帅+帅=帅哥帅-帅=哥帅咕+咕=咕咕哥-哥=负嫂嫂证明过程 sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β， 将以上两式的左右两边分别相加，得sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β，设 α+β=θ，α-β=φ那么2φθα+= ，2φθβ-= 把α，β的值代入，即得Sin θ+ sin φ=2sin ⋅+2φθcos 2φθ- 积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。
即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明：()βαβαs i n s i n 221s i n s i n ∙-∙-=∙ ()()[]2sin sin cos cos sin sin cos cos βαβαβαβα+---= ()()[]βαβα--+-=cos cos 21 结果除以2这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。
sin 和cos 的值域都是[-1,1]，其和差的值域应该是[-2,2]，而积的值域确是[-1,1]，因此除以2是必须的。
也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2，如：cos(α-β)-cos(α+β)=1/2[(cos α·cos β+sin α·sin β)-(cos α·cos β-sin α·sin β)] =2sin α·sin β故最后需要除以2。
积化和差公式和和差化积公式
积化和差公式和和差化积公式
积化和差公式和和差化积公式是高中数学中常见的公式，以下是它们的定义和应用方法。
1. 积化和差公式
积化和差公式指的是将两个数的积表示为它们的和或差的形式。
具体来说，设a、b为任意两个数，则有以下公式：
a *
b = (a + b) * (a - b) / 2 + (a + b) * (b - a) / 2
这个公式的意义是把两个数的积拆分成两个平方差的和，即(a + b) * (a - b)和(b + a) * (b - a)。
因为(a + b)和(b + a)是相等的，所以它们的积也是相等的，即2 * (a + b) * (a - b)。
把这个式子展开后，就可以得到积化和差的公式。
2. 和差化积公式
和差化积公式指的是将两个数的和或差表示为它们的积的形式。
具体来说，设a、b为任意两个数，则有以下公式：
a +
b = (a^2 - b^2) / (a - b) + (a^2 - b^2) / (a + b)
a -
b = (a^2 - b^2) / (a + b) - (a^2 - b^2) / (a - b)
这个公式的意义是将两个数的和或差分别表示为它们的平方差的比值。
具体地，设两个数为a和b，则它们的平方差为(a^2 - b^2)。
将这个式子乘以一个适当的比值，即可将和或差表示为两个数的积的形式。
以上就是积化和差公式和和差化积公式的定义和应用方法。
这些公式在解决数学问题时非常有用，能够帮助我们快速计算出两个数的积、和或差。
三角函数和差化积与积化和差公式(附证明和记忆方法)
和差化积和积化和差公式
正弦、余弦的和差化积 2
cos 2sin 2sin sin βαβ
αβα-⋅+=+
2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-⋅+=- 2cos 2cos 2cos cos β
αβ
αβα-⋅+=+
2sin 2sin 2cos cos β
αβ
αβα-⋅+-=- 【注意右式前的负号】
仍然要根据证明记忆。
注意两角和差公式中，余弦的展开中含有两对同名三角函数的乘积，正弦的展开则是两对异名三角函数的乘积。
所以反过来，同名三角函数的乘积，化作余弦的和差；异名三角函数的乘积，化作正弦的和差。
是和还是差？
这是积化和差公式的使用中最容易出错的一项。
规律为：“小角”β以cosβ的形式出现时，乘积化为和；反之，则乘积化为差。
由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。
如果β的形式是cosβ，那么若把β替换为-β，结果应当是一样的，也就是含α+β和α-β的两项调换位置对结果没有影响，从而结果的形式应当是和；另一种情况可以类似说明。
正弦-正弦积公式中的顺序相反/负号
这是一个特殊情况，完全可以死记下来。
当然，也有其他方法可以帮助这种情况的判定，如[0,π]内余弦函数的单调性。
因为这个区间内余弦函数是单调减的，所以cos(α+β)不大于cos(α-β)。
但是这时对应的α和β在[0,π]的范围内，其正弦的乘积应大于等于0，所以要么反过来把cos(α-β)放到cos(α+β)前面，要么就在式子的最前面加上负号。
三角函数和差化积与积化和差公式(附证明和记忆方法) (1)
结果除以2
这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。sin和cos的值域都是[-1,1]，其和差的值域应该是[-2,2]，而积的值域确是[-1,1]，因此除以2是必须的。
也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2，如：
cos(α-β)-cos(α+β)
=1/2[(cosα·cosβ+sinα·sinβ)-(cosα·cosβ-sinα·sinβ)]
=2sinα·sinβ
故最后需要除以2。
使用同名三角函数的和差
无论乘积项中的三角函数是否同名，化为和差形式时，都应是同名三角函数的和差。这一点主要是根据证明记忆，因为如果不是同名三角函数，两角和差公式展开后乘积项的形式都不同，就不会出现相抵消和相同的项，也就无法化简下去了。
设α+β=θ，α-β=φ
那么 ，
把α，β的值代入，即得
sinθ+sinφ=2sin cos
正切和差化积
tanα±tanβ=
cotα±cotβ=
tanα+cotβ=
tanα-cotβ=
证明：左边=tanα±tanβ=
=
= =右边
在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次
和差化积和积化和差公式
正弦、余弦的和差化积
【注意右式前的负号】
证明过程sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ，
积化和差,和差化积
积化和差,和差化积
积化和差公式：sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]，cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]，
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]，cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]，和差化积公式：sinθ+sinφ=2sincos，
sinθ-sinφ=2cossin，cosθ+cosφ=2coscos，cosθ-cosφ=-2sinsin。
1.积化和差公式口诀：正弦·余弦（＝）正加正，余弦·正弦（＝）正减正，余弦·余弦（＝）余加余，系数二分之一要牢记，角角关系变和差，公式符号记忆法一减余弦想正弦，一加余弦想余弦，异名减，同名加，幂高一次角减半。
和差化积公式口诀：正弦＋正弦，正弦在前，正弦－正弦，正弦在后，余弦＋余弦，余弦并肩，余弦－余弦，余弦靠边。
2.在一个三角形中，各边与其所对角的正弦的比相等，且该比值都等于该三角形外接圆的直径已知三角形是确定的，利用正弦定理解三角形时，其解似的唯一的，已知三角形的两边和其中一边的对角，由于该三角形具有不稳定性，所以其解不确定，可结合平面几何作图的方法及大边对大角，大角对大边定理和三角形内角和定理去考虑解决问题。
三角函数的积化和差公式和和差化积公式
三角函数的积化和差公式和和差化积公式三角函数是数学中的重要概念，它在解决几何问题、物理问题和工程问题等方面发挥着重要的作用。
本文将介绍三角函数的积化和差公式和和差化积公式，以帮助读者更好地理解和应用三角函数。
一、积化和差公式积化和差公式可以将两个三角函数的乘积表示为和差的形式，有助于简化运算和推导。
1. 正弦函数的积化和差公式：sin(A)sin(B)=1/2[cos(A-B)-cos(A+B)]sin(A)cos(B)=1/2[sin(A+B)+sin(A-B)]2. 余弦函数的积化和差公式：cos(A)cos(B)=1/2[cos(A-B)+cos(A+B)]cos(A)sin(B)=1/2[sin(A+B)-sin(A-B)]3. 正切函数的积化和差公式：tan(A)tan(B)=sin(A)sin(B)/cos(A)cos(B)=1/cos(A-B)-cos(A+B)利用积化和差公式，我们可以将复杂的三角函数乘积转化为简单的三角函数和差的形式，并进一步简化计算。
二、和差化积公式和差化积公式是积化和差公式的逆运算，它可以将两个三角函数的和差表示为乘积的形式。
1. 正弦函数的和差化积公式：sin(A±B)=sin(A)cos(B)±cos(A)sin(B)2. 余弦函数的和差化积公式：cos(A±B)=cos(A)cos(B)∓sin(A)sin(B)3. 正切函数的和差化积公式：tan(A±B)=(tan(A)±tan(B))/(1∓tan(A)tan(B))和差化积公式在求解三角函数的和差问题时非常有用，可以将复杂的和差形式转化为简单的乘积形式。
通过积化和差公式和和差化积公式的灵活运用，我们可以简化三角函数的运算和推导过程，更高效地解决与三角函数相关的数学问题。
总结起来，三角函数的积化和差公式和和差化积公式在数学中起到了至关重要的作用。
它们通过将复杂的三角函数乘积或和差转化为简单的形式，简化了计算过程，提升了数学问题的解决效率。
和差化积 积化和差
sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2cosαcosβ=[cos(α-β)+cos(α+β)]/2sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2记忆方法积化和差公式的形式比较复杂，记忆中以下几个方面是难点，下面指出了特点各自的简单记忆方法。
结果除以2这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。
sin和cos的值域都是[-1,1]，其和差的值域应该是[-2,2]，而积的值域确是[-1,1]，因此除以2是必须的。
也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2，如：cos(α-β)-cos(α+β)=(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)=2sinαsinβ故最后需要除以2。
使用同名三角函数的和差无论乘积项中的三角函数是否同名，化为和差形式时，都应是同名三角函数的和差。
这一点主要是根据证明记忆，因为如果不是同名三角函数，两角和差公式展开后乘积项的形式都不同，就不会出现相抵消和相同的项，也就无法化简下去了。
使用哪种三角函数的和差仍然要根据证明记忆。
注意两角和差公式中，余弦的展开中含有两对同名三角函数的乘积，正弦的展开则是两对异名三角函数的乘积。
所以反过来，同名三角函数的乘积，化作余弦的和差；异名三角函数的乘积，化作正弦的和差。
是和还是差？这是积化和差公式的使用中最容易出错的一项。
规律为：“小角”β以cosβ的形式出现时，乘积化为和；反之，则乘积化为差。
由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。
如果β的形式是cosβ，那么若把β替换为-β，结果应当是一样的，也就是含α+β和α-β的两项调换位置对结果没有影响，从而结果的形式应当是和；另一种情况可以类似说明。
正弦-正弦积公式中的顺序相反/负号这是一个特殊情况，完全可以死记下来。
当然，也有其他方法可以帮助这种情况的判定，如[0,π]内余弦函数的单调性。
积化和差和差化积公式
积化和差和差化积公式一、积化和差公式积化和差公式是将两个数的乘积转化为和或差的公式。
对于任意实数a和b，积化和差公式可表示为：a*b=(a+b)/2+(a-b)/2这个公式的推导可以通过以下步骤进行：设x=(a+b)/2，y=(a-b)/2，那么可以得到：a=x+yb=x-y将a和b代入乘积的表达式中得到：a*b=(x+y)*(x-y)=x²-y²通过这个公式，我们可以将两个数的乘积表达为两个数的平方之差。
应用举例：1.计算(7+3)*(7-3)：根据公式，a=7，b=3，代入公式得：7*3=(7+3)*(7-3)=10*4=402.计算(12+8)*(12-8)：根据公式，a=12，b=8，代入公式得：12*8=(12+8)*(12-8)=20*4=80差化积公式是将两个数的差转化为乘积的公式。
对于任意实数a和b，差化积公式可表示为：a-b=(a+b)*(a-b)/(a+b)该公式的推导可以通过以下步骤进行：设x=a+b，y=a-b，那么可以得到：a=(x+y)/2b=(x-y)/2将a和b代入差的表达式中得到：a-b=((x+y)/2-(x-y)/2)=y通过这个公式，我们可以将两个数的差表达为两个数的乘积除以和。
应用举例：1.计算7-3：根据公式，a=7，b=3，代入公式得：7-3=(7+3)*(7-3)/(7+3)=10*4/10=42.计算12-8：根据公式，a=12，b=8，代入公式得：12-8=(12+8)*(12-8)/(12+8)=20*4/20=4综上所述，积化和差和差化积公式是数学中非常重要的公式，通过这两个公式，我们可以将乘法运算转化为加法或减法运算，从而简化计算过程，提高计算效率。
同时，这两个公式也是解决复杂问题的有效工具之一，能够帮助我们更好地理解和应用数学知识。
三角函数和差化积公式
三角函数积化和差公式
积化和差公式是初等数学三角函数部分的一组恒等式，积化和差公式将两个三角函数值的积化为另两个三角函数值的和的常数倍，达到降次的作用。
三角函数积化和差公式
1三角函数积化和差公式
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
2积化和差记忆口诀
积化和差得和差，余弦在后要相加；异名函数取正弦，正弦相乘取负号。
解释：
（1）积化和差最后的结果是和或者差；
（2）若两项相乘，后者为cos项，则积化和差的结果为两项相加；若不是，则结果为两项相减；
（3）若两项相乘，一项为sin，另一项为cos，则积化和差的结果中都是sin项；
（4）若两项相乘，两项均为sin，则积化和差的结果前面取负号。
积化和差和差化积的公式
积化和差和差化积的公式在数学中，积化和差和差化积是两个非常重要的公式。
这两个公式可以帮助我们简化数学运算，使得我们在解决数学问题时更加高效和准确。
在本文中，我们将详细介绍这两个公式的概念、应用和相关的例子。
一、积化和差积化和差是指将两个数的乘积转化为两个数的和与差的形式。
这个公式的表达式如下：(a+b)×(a-b)=a-b其中，a和b是任意两个数。
这个公式的证明可以通过展开左边的式子，即：(a+b)×(a-b)=a×a-a×b+b×a-b×b=a-ab+ab-b=a-b因此，积化和差的公式得证。
这个公式可以帮助我们在计算中简化运算，例如：例1：计算（7+5）×（7-5）的结果。
根据积化和差的公式，我们可以将（7+5）×（7-5）转化为（7-5），即：（7+5）×（7-5）=7-5=49-25=24因此，（7+5）×（7-5）的结果为24。
例2：计算（3+2x）×（3-2x）的结果。
同样地，我们可以将（3+2x）×（3-2x）转化为（3-（2x）），即：（3+2x）×（3-2x）=3-（2x）=9-4x因此，（3+2x）×（3-2x）的结果为9-4x。
二、差化积差化积是指将两个数的差转化为两个数的积的形式。
这个公式的表达式如下：a-b=(a+b)×(a-b)同样地，a和b是任意两个数。
这个公式的证明可以通过将右边的式子展开，即：(a+b)×(a-b)=a×a-a×b+b×a-b×b=a-ab+ab-b=a-b因此，差化积的公式得证。
这个公式同样可以帮助我们在计算中简化运算，例如：例3：计算7-5的结果。
根据差化积的公式，我们可以将7-5转化为（7+5）×（7-5），即：7-5=(7+5)×(7-5)=12×2=24因此，7-5的结果为24。
积化和差与和差化积公式
积化和差与和差化积公式一、积化和差公式积化和差公式是将两个数的积转化为它们的和与差的公式。
其表达式为：1.(a+b)(a-b)=a^2-b^2其中，a和b为任意的实数。
这个公式的推导方法可以通过将公式两边进行展开来证明。
具体证明过程如下：左边的式子展开为(a + b)(a - b) = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2右边的式子为a^2-b^2由于左右两边表达式相等，所以(a+b)(a-b)=a^2-b^2成立。
积化和差公式的一个直接应用就是对差的平方进行因式分解。
通过这个公式，我们可以将差的平方分解为积的形式，从而简化计算和解题。
例如，对于2^2-1^2，可以使用积化和差公式进行因式分解：2^2-1^2=(2+1)(2-1)=3所以，2^2-1^2等于3和差化积公式是将两个数的和与差转化为它们的积的公式。
其表达式为：1.a^2-b^2=(a+b)(a-b)与积化和差公式相对应，这个公式也可以通过将公式两边进行展开来证明。
具体证明过程如下：左边的式子展开为a^2-b^2右边的式子为(a + b)(a - b) = a^2 - ab + ab - b^2 = a^2 - b^2由于左右两边表达式相等，所以a^2-b^2=(a+b)(a-b)成立。
和差化积公式的一个重要应用是对完全平方进行因式分解。
通过这个公式，我们可以将完全平方分解为积的形式，进而进行求解和计算。
例如，对于9-4，可以使用和差化积公式进行因式分解：9-4=(3+2)(3-2)=5所以，9-4等于5三、应用举例使用积化和差与和差化积公式，我们可以简化计算和解题过程。
下面通过几个例子来加深理解：例1：计算16^2-9^2我们可以使用和差化积公式，将16^2和9^2视为完全平方进行因式分解：16^2-9^2=(16+9)(16-9)=25×7=175所以，16^2-9^2等于175例2：解方程x^2-25=0我们可以使用和差化积公式，将x^2和25视为完全平方进行因式分解：x^2-25=(x+5)(x-5)=0根据零乘法，要使得等式成立，必有x+5=0或x-5=0解这个方程得到x=-5或x=5所以，方程x^2-25=0的解为x=-5或x=5例3：求解2a^2 + 5ab - 3b^2的因式分解我们可以使用积化和差公式，对中间的5ab进行分解：2a^2 + 5ab - 3b^2 = 2a^2 + 2ab + 3ab - 3b^2=2a(a+b)+3b(a+b)=(2a+3b)(a+b)所以，2a^2 + 5ab - 3b^2的因式分解为(2a + 3b)(a + b)。
和差化积 积化和差
[基本要求][知识要点]1、积化和差公式：sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得。
其中后两个公式可合并为一个：sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]2、和差化积公式sinθ+sinφ=2sin cossinθ-sinφ=2cos sincosθ+cosφ=2cos coscosθ-cosφ=-2sin sin和差化积公式是积化和差公式的逆用形式，要注意的是：①其中前两个公式可合并为一个：sinθ+sinφ=2sin cos②积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想。
③只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积。
④合一变形也是一种和差化积。
⑤三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解，因此，因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用。
3、积化和差与积差化积是一种孪生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替使用。
如在一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降幂公式，然后应用和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算。
和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值。
正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段。
[例题选讲]1、求下列各式的值①cos40°+cos60°+cos80°+cos160°②cos23°-cos67°+2sin4°+cos26°③csc40°+ctg80°④cos271°+cos71°cos49°+cos249°解：①cos40°+cos60°+cos80°+cos160°=+cos80°+2cos100°cos60°=+cos80°-cos80°=②cos23°-cos67°+2sin4°cos26°=2sin45°sin22°+(sin30°-sin22°)=sin22°+-sin22°=③csc40°+ctg80°=+=======2cos30°=④解法一：cos271°+cos71°cos49°+cos249°=(cos71°+cos49°)2-cos71°cos49°=(2cos60°cos11°)2-(cos120°+cos22°)=cos211°+-cos22°=cos211°+-(2cos211°-1)=cos211°+-cos211°+=解法二：cos271°+cos71°cos49°+cos249°=+(cos120°+cos22°)+=+cos142°-+cos22°++=+(cos142°+cos98°)++cos22°=+cos120°cos22°+cos22°=解法三设x=cos271°+cos71°cos49°+cos249°y=sin271°+sin71°sin49°+sin249°则x+y=2(cos71°cos49°+sin71°sin49°)=2+cos22°x-y=(cos271°-sin271°)+(cos71°cos49°-sin71°sin49°)+(cos249°-sin249°) =cos142°+cos120°+cos98°=-+(cos142°+cos98°)=-+2cos120°cos22°=--cos22°联立二式得x=2、已知sinα+sinβ= cosα+cosβ=求tgαtgβ的值解：①2+②2得 2+2(sinαsinβ+cosαcosβ)=∴cos(α-β)=②2-①2得 cos2α+cos2β+2(cosαcosβ-sinαsinβ)=-∴2cos(α+β)cos(α-β)+2cos(α+β)=-∴2²cos(α+β)+2cos(α+β)=-∴cos(α+β)=-又sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]=-(--)=cosαcosβ=[cosα+β)+cos(α-β)]=[-+]=-∴tgαtgβ==-=-3、设函数f(x)=asinωx+bcosωx+1 (a、b≠0 ω＞0 )的周期是π，f(x)有最大值7且f()= +4(1)求a、b的值(2)若α≠kπ+β (k∈z) 且α、β是f(x)=0的两根求tg(α+β)的值。
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积化和差和差化积公式口诀
积化和差和差化积公式是数学中的两个重要公式，它们可以在求解各种数学问题中发挥重要作用。
为了更好地掌握这两个公式，我们需要深入了解它们的原理和应用。
本文将从以下几个方面进行讲解。
一、积化和差公式
积化和差公式是指将两个数的积转化为它们的和与差的形式。
具体来说，假设有两个数a和b，那么它们的积可以表示为：
a×b = (a+b)×(a-b) + b^2 - a^2
这个公式的证明非常简单，我们可以通过展开右侧的式子来得到左侧的积：
(a+b)×(a-b) + b^2 - a^2
= a^2 - b^2 + b^2 - a^2
= a×b
积化和差公式的应用非常广泛，它可以用来简化各种复杂的数学运算。
例如，我们可以通过这个公式来求解下列问题：
1. 求解a^2+b^2的值
根据积化和差公式，我们有：
a^2+b^2 = (a+b)×(a-b) + b^2 - a^2
= (a+b)×(a-b) + (b-a)×(b+a)
= (a+b)×(a-b) - (a+b)×(b-a)
= (a+b)×(a-b-b+a)
= (a+b)×(-2b)
2. 求解(a+b)^2的值
根据积化和差公式，我们有：
(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2
= a^2+b^2+2ab
= (a+b)×(a-b) + b^2 - a^2 + 2ab
= (a+b)×(a+b) - (a-b)×(a-b)
二、和差化积公式
和差化积公式是指将两个数的和或差转化为它们的积的形式。
具体来说，假设有两个数a和b，那么它们的和或差可以表示为：
a+b = (a+b)^2 - (a-b)^2 / 4
a-b = (a-b)^2 - (a+b)^2 / 4
这个公式的证明较为复杂，我们可以通过分别展开右侧的式子来得到左侧的和或差。
例如，对于a+b，我们有：
(a+b)^2 - (a-b)^2 / 4
= (a^2+2ab+b^2) - (a^2-2ab+b^2) / 4
= 2ab
和差化积公式的应用也非常广泛，它可以用来简化各种复杂的数学运算。
例如，我们可以通过这个公式来求解下列问题：
1. 求解sin(a+b)的值
根据和差化积公式，我们有：
sin(a+b) = sinacosb + cosasinb
= (sinacosb + cosasinb)^2 - (cosacosb - sinasinb)^2 / 4
= 2sinacosbcosasinb
= 2sin(a)cos(b) + 2sin(b)cos(a)
2. 求解cos(a-b)的值
根据和差化积公式，我们有：
cos(a-b) = cosacosb + sinasinb
= (cosacosb + sinasinb)^2 - (sinacosb - cosasinb)^2 / 4 = 2cosacosb - 2sinasinb
= 2cos(a)cos(b) + 2sin(a)sin(b)
总结：
积化和差和差化积公式是数学中的两个重要公式，它们可以用来简化各种复杂的数学运算。
通过对这两个公式的深入了解和应用，我们可以更好地掌握数学知识，提高数学解题的能力。