分式经典题型分类例题及练习题

分式的运算

（一）、分式定义及有关题型

题型一：考查分式的定义

【例1】下列代数式中：y x y

x y x y x b

a b a y x x -++-+--1

,

,,21,2

2

π，是分式的 有：

.

题型二：考查分式有意义的条件

【例2】当x 有何值时，下列分式有意义

（1）

4

4+-x x （2）

2

32+x x （3）

1

22-x （4）

3||6--x x

（5）x

x 11-

题型三：考查分式的值为0的条件

【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0.

（1）

3

1

+-x x （2）

4

2||2

--x x （3）

6

5322

2----x x x x

题型四：考查分式的值为正、负的条件

【例4】（1）当x 为何值时，分式

x -84

为正； （2）当x 为何值时，分式

2

)1(35-+-x x

为负；

（3）当x 为何值时，分式3

2

+-x x 为非负数.

练习：

1．当x 取何值时，下列分式有意义：

（1）

3

||61

-x

（2）

1

)1(32++-x x （3）

x

111+

2．当x 为何值时，下列分式的值为零：

（1）4

|

1|5+--x x

（2）

5

62522+--x x x

3．解下列不等式 （1）01

2

||≤+-x x （2）

03

252

>+++x x x

（二）分式的基本性质及有关题型

1．分式的基本性质：

M B M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯= 2．分式的变号法则：b

a

b a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数

【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.

（1）y x y

x 4

1313221+- （2）

b

a b

a +-04.003.02.0

题型二：分数的系数变号

【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.

（1）

y

x y

x --+- （2）b

a a ---

（3）b

a ---

题型三：化简求值题

【例3】已知：511=+y x ，求

y

xy x y

xy x +++-2232的值.

【例4】已知：21=-x

x ，求221

x

x +的值.

【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求y

x 241

-的值.

练习：

1．不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.

（1）y

x y x 5.008.02.003.0+-

（2）b a b

a 10

141534.0-+

2．已知：31=+x x ，求1

242

++x x x 的值.

3．已知：311=-b a ，求a

ab b b

ab a ---+232的值.

4．若0106222=+-++b b a a ，求b

a b

a 532+-的值.

5．如果21<

x x x |

||1|1+

---.

（三）分式的运算

1．确定最简公分母的方法：

①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.

2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；

②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂.

题型一：通分

【例1】将下列各式分别通分.

（1）c

b a

c a b ab c 225,

3,2--； （2）a b b b a a 22,--； （3）

2

2,

21,

1

2

2

2

--+--x x x

x x

x x ； （4）a

a -+21

,

2

题型二：约分

【例2】约分：

（1）

3

22016xy y x -； （2）n m m n --2

2； （3）6

222---+x x x x .

题型三：分式的混合运算

【例3】计算：

（1）4

2232)()()(a

bc ab c c b a ÷-⋅-；

（2）2

2233)()()3(

x

y x y y x y x a +-÷-⋅+；

（3）

m

n m

n m n m n n m ---+-+22；

（4）11

2

---a a a ；

（5）

8

7

4321814121111x x x x x x x x +-+-+-+--；