中学数学复习：第1-4讲 分式方程中的参数问题
八年级数学上册(人教课标)同步讲解：第十五章 分式方程一二三四
一、理解分式方程的定义分母中含有未知数的方程，叫做分式方程．例如，，都是分式方程．分式方程和整式方程的最大区别就在于分母中是否含有未知数（不是一般的字母系数）．例1关于x的方程：①；②；③；④；⑤.其中是分式方程的有．（只填序号）解析：根据分式方程的定义，填②③⑤．二、掌握分式方程的基本解法解分式方程的基本思想是：把分式方程转化为整式方程，然后通过求整式方程，将整式方程的解代入最简公分母中，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解就是原分式方程的解；否则这个解就不是原分式方程的解，原分式方程无解．例2 (2013年济宁)解方程.解：方程两边乘x（x﹣2），得x=3(x-2).解得x＝3．检验：当x=3时，x（x﹣2）≠0．所以，原分式方程的解为x=3．三、了解分式的增根将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含有未知数的整式，约去分母，有时就可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种解通常被称为增根．所以解分式方程一定要进行检验．分式方程检验的方法：一是将整式方程的解代入到最简公分母中，看这个最简公分母的值是否为0；二是将整式方程的解代入到原分式方程左右两边，看看两边的值是否相等．例3解方程．解：两边同乘以，得．解得．检验：当时，，因此不是原分式方程的解.所以，原分式方程无解．四、学会用分式方程解决实际问题列分式方程解实际问题的一般步骤：①审清题意：弄清题目中的已知量和未知量，并能找出表示问题含义的全部等量关系；②设未知数：有设直接未知数和间接未知数两种，并用所设的未知数表示有关的量；③找出相等关系，列出方程；④解方程；⑤检验：检验时要检验所求未知数的值是否为原分式方程的解，还要检验是否符合题目的实际意义，也就是“双重检验”；⑥写出答案：注意不要忘记答案的单位．例 4（2013年咸宁）在咸宁创建“国家卫生城市”的活动中，市园林公司加大了对市区主干道两旁植“景观树”的力度，平均每天比原计划多植5棵，现在植60棵所需的时间与原计划植45棵所需的时间相同，问现在平均每天植多少棵树.分析：设现在平均每天植树x棵，则原计划平均每天植树（x﹣5）棵．根据现在植60棵所需的时间与原计划植45棵所需的时间相同建立方程求解即可．解：设现在平均每天植树x棵，则原计划平均每天植树（x﹣5）棵．根据题意，得.解得x=20.经检验，x=20是原方程的解，且符合题意．答：现在平均每天植树20棵．。
分式方程篇(解析版)--中考数学必考考点总结+题型专训
知识回顾微专题分式方程--中考数学必考考点总结+题型专训考点一：分式方程之分式方程的解与解分式方程1.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2.分式方程的解：使分式方程成立的未知数的值叫做分式方程的解。
3.解分式方程。
具体步骤：①去分母——分式方程的两边同时乘上分母的最简公分母。
把分式方程化成整式方程。
②解整式方程。
③检验——把解出来的未知数的值带入公分母中检验公分母是否为0。
若公分母不为0，则未知数的值即是原分式方程的解。
若公分母为0，则未知数的值是原分式方程的曾根，原分式方程无解。
1．（2022•营口）分式方程3=x 的解是（）A ．x ＝2B ．x ＝﹣6C ．x ＝6D ．x ＝﹣2【分析】方程两边都乘x （x ﹣2）得出3（x ﹣2）＝2x ，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：＝，方程两边都乘x （x ﹣2），得3（x ﹣2）＝2x ，解得：x ＝6，检验：当x ＝6时，x （x ﹣2）≠0，所以x ＝6是原方程的解，即原方程的解是x ＝6，故选：C ．2．（2022•海南）分式方程12-x ﹣1＝0的解是（）A ．x ＝1B ．x ＝﹣2C ．x ＝3D ．x ＝﹣3【分析】方程两边同时乘以（x ﹣1），把分式方程化成整式方程，解整式方程检验后，即可得出分式方程的解．【解答】解：去分母得：2﹣（x ﹣1）＝0，解得：x ＝3，当x ＝3时，x ﹣1≠0，∴x ＝3是分式方程的根，故选：C ．3．（2022•毕节市）小明解分式方程33211+=+x xx ﹣1的过程如下．解：去分母，得3＝2x ﹣（3x +3）．①去括号，得3＝2x ﹣3x +3．②移项、合并同类项，得﹣x ＝6．③化系数为1，得x ＝﹣6．④以上步骤中，开始出错的一步是（）A ．①B ．②C ．③D ．④【分析】按照解分式方程的一般步骤进行检查，即可得出答案．【解答】解：去分母得：3＝2x ﹣（3x +3）①，去括号得：3＝2x ﹣3x ﹣3②，∴开始出错的一步是②，故选：B ．4．（2022•无锡）分式方程xx 132=-的解是（）A ．x ＝1B ．x ＝﹣1C ．x ＝3D ．x ＝﹣3【分析】将分式方程转化为整式方程，求出x 的值，检验即可得出答案．【解答】解：＝，方程两边都乘x （x ﹣3）得：2x ＝x ﹣3，解得：x ＝﹣3，检验：当x ＝﹣3时，x （x ﹣3）≠0，∴x ＝﹣3是原方程的解．故选：D ．5．（2022•济南）代数式23+x 与代数式12-x 的值相等，则x ＝．【分析】根据题意列方程，再根据解分式方程的步骤和方法进行计算即可．【解答】解：由题意得，＝，去分母得，3（x ﹣1）＝2（x +2），去括号得，3x ﹣3＝2x +4，移项得，3x ﹣2x ＝4+3，解得x ＝7，经检验x ＝7是原方程的解，所以原方程的解为x ＝7，故答案为：7．6．（2022•绵阳）方程113-+=-x x x x 的解是．【分析】先在方程两边乘最简公分母（x ﹣3）（x ﹣1）去分母，然后解整式方程即可．【解答】解：＝，方程两边同乘（x ﹣3）（x ﹣1），得x （x ﹣1）＝（x +1）（x ﹣3），解得x ＝﹣3，检验：当x ＝﹣3时，（x ﹣3）（x ﹣1）≠0，∴方程的解为x ＝﹣3．故答案为：x ＝﹣3．7．（2022•盐城）分式方程121-+x x ＝1的解为．【分析】先把分式方程转化为整式方程，再求解即可．【解答】解：方程的两边都乘以（2x ﹣1），得x +1＝2x ﹣1，解得x ＝2．经检验，x ＝2是原方程的解．故答案为：x ＝2．8．（2022•内江）对于非零实数a ，b ，规定a ⊕b ＝a 1﹣b1．若（2x ﹣1）⊕2＝1，则x 的值为．【分析】利用新规定对计算的式子变形，解分式方程即可求得结论．【解答】解：由题意得：＝1，解得：x ＝．经检验，x ＝是原方程的根，∴x ＝．故答案为：．9．（2022•永州）解分式方程112+-x x ＝0去分母时，方程两边同乘的最简公分母是．【分析】根据最简公分母的定义即可得出答案．【解答】解：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是x （x +1）．故答案为：x （x +1）．10．（2022•常德）方程()xx x x 25212=-+的解为．【分析】方程两边同乘2x （x ﹣2），得到整式方程，解整式方程求出x 的值，检验后得到答案．【解答】解：方程两边同乘2x （x ﹣2），得4x ﹣8+2＝5x ﹣10，解得：x ＝4，检验：当x ＝4时，2x （x ﹣2）＝16≠0，∴x ＝4是原方程的解，∴原方程的解为x ＝4．11．（2022•宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a ，b ，a ⊗b ＝a 1+b 1．若（x +1）⊗x ＝xx 12+，则x 的值为．【分析】根据新定义列出分式方程，解方程即可得出答案．【解答】解：根据题意得：+＝，化为整式方程得：x +x +1＝（2x +1）（x +1），解得：x ＝﹣，检验：当x ＝﹣时，x （x +1）≠0，∴原方程的解为：x ＝﹣．故答案为：﹣．12．（2022•成都）分式方程xx x -+--4143＝1的解为．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3﹣x ﹣1＝x ﹣4，解得：x ＝3，经检验x ＝3是分式方程的解，故答案为：x ＝3．13．（2022•牡丹江）若关于x 的方程11--x mx ＝3无解，则m 的值为（）A ．1B ．1或3C ．1或2D ．2或3【分析】先去分母，再根据条件求m ．【解答】解：两边同乘以（x ﹣1）得：mx ﹣1＝3x ﹣3，∴（m ﹣3）x ＝﹣2．当m ﹣3＝0时，即m ＝3时，原方程无解，符合题意．当m ﹣3≠0时，x ＝，∵方程无解，∴x ﹣1＝0，∴x ＝1，∴m ﹣3＝﹣2，∴m ＝1，综上：当m ＝1或3时，原方程无解．故选：B ．14．（2022•通辽）若关于x 的分式方程：2﹣221--x k ＝x-21的解为正数，则k 的取值范围为（）A ．k ＜2B ．k ＜2且k ≠0C ．k ＞﹣1D ．k ＞﹣1且k ≠0【分析】先解分式方程可得x ＝2﹣k ，再由题意可得2﹣k ＞0且2﹣k ≠2，从而求出k 的取值范围．【解答】解：2﹣＝，2（x ﹣2）﹣（1﹣2k ）＝﹣1，2x ﹣4﹣1+2k ＝﹣1，2x ＝4﹣2k ，x ＝2﹣k ，∵方程的解为正数，∴2﹣k ＞0，∴k ＜2，∵x ≠2，∴2﹣k ≠2，∴k ≠0，∴k ＜2且k ≠0，故选：B ．15．（2022•黑龙江）已知关于x 的分式方程xx m x ----1312＝1的解是正数，则m 的取值范围是（）A ．m ＞4B ．m ＜4C ．m ＞4且m ≠5D ．m ＜4且m ≠1【分析】先利用m 表示出x 的值，再由x 为正数求出m 的取值范围即可．【解答】解：方程两边同时乘以x ﹣1得，2x ﹣m +3＝x ﹣1，解得x ＝m ﹣4．∵x 为正数，∴m ﹣4＞0，解得m ＞4，∵x ≠1，∴m ﹣4≠1，即m ≠5，∴m 的取值范围是m ＞4且m ≠5．故选：C ．16．（2022•德阳）如果关于x 的方程12-+x mx ＝1的解是正数，那么m 的取值范围是（）A ．m ＞﹣1B ．m ＞﹣1且m ≠0C ．m ＜﹣1D ．m ＜﹣1且m ≠﹣2【分析】先去分母将分式方程化成整式方程，再求出方程的解x ＝﹣1﹣m ，利用x ＞0和x ≠1得出不等式组，解不等式组即可求出m 的范围．【解答】解：两边同时乘（x ﹣1）得，2x +m ＝x ﹣1，解得：x ＝﹣1﹣m ，又∵方程的解是正数，且x ≠1，∴，即，解得：，∴m 的取值范围为：m ＜﹣1且m ≠﹣2．故答案为：D ．17．（2022•重庆）关于x 的分式方程x x x a x -++--3133＝1的解为正数，且关于y 的不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧-+≤+132229a y y y 的解集为y ≥5，则所有满足条件的整数a 的值之和是（）A ．13B ．15C ．18D ．20【分析】解分式方程得得出x ＝a ﹣2，结合题意及分式方程的意义求出a ＞2且a ≠5，解不等式组得出，结合题意得出a ＜7，进而得出2＜a ＜7且a ≠5，继而得出所有满足条件的整数a 的值之和，即可得出答案．【解答】解：解分式方程得：x ＝a ﹣2，∵x ＞0且x ≠3，∴a ﹣2＞0且a ﹣2≠3，∴a ＞2且a ≠5，解不等式组得：，∵不等式组的解集为y ≥5，∴＜5，∴a ＜7，∴2＜a ＜7且a ≠5，∴所有满足条件的整数a 的值之和为3+4+6＝13，故选：A ．18．（2022•重庆）若关于x 的一元一次不等式组⎪⎩⎪⎨⎧--≥-a x x x ＜153141的解集为x ≤﹣2，且关于y 的分式方程111+=+-y ay y ﹣2的解是负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（）A ．﹣26B ．﹣24C ．﹣15D ．﹣13【分析】解不等式组得出，结合题意得出a ＞﹣11，解分式方程得出y ＝，结合题意得出a ＝﹣8或﹣5，进而得出所有满足条件的整数a 的值之和是﹣8﹣5＝﹣13，即可得出答案．【解答】解：解不等式组得：，∵不等式组的解集为x ≤﹣2，∴＞﹣2，∴a ＞﹣11，解分式方程＝﹣2得：y＝，∵y 是负整数且y ≠﹣1，∴是负整数且≠﹣1，∴a ＝﹣8或﹣5，∴所有满足条件的整数a 的值之和是﹣8﹣5＝﹣13，故选：D ．19．（2022•遂宁）若关于x 的方程122+=x mx 无解，则m 的值为（）A ．0B ．4或6C ．6D ．0或4【分析】解分式方程可得（4﹣m ）x ＝﹣2，根据题意可知，4﹣m ＝0或2x +1＝0，求出m 的值即可．【解答】解：＝，2（2x +1）＝mx ，4x +2＝mx ，（4﹣m ）x ＝﹣2，∵方程无解，∴4﹣m ＝0或2x +1＝0，即4﹣m ＝0或x ＝﹣＝﹣，∴m ＝4或m ＝0，故选：D ．20．（2022•黄石）已知关于x 的方程()1111++=++x x ax x x 的解为负数，则a 的取值范围是．【分析】先求整式方程的解，然后再解不等式组即可，需要注意分式方程的分母不为0．【解答】解：去分母得：x +1+x ＝x +a ，解得：x ＝a ﹣1，∵分式方程的解为负数，∴a ﹣1＜0且a ﹣1≠0且a ﹣1≠﹣1，∴a ＜1且a ≠0，∴a 的取值范围是a ＜1且a ≠0，故答案为：a ＜1且a ≠0．21．（2022•齐齐哈尔）若关于x 的分式方程4222212-+=++-x mx x x 的解大于1，则m 的取值范围是．【解答】解：，给分式方程两边同时乘以最简公分母（x +2）（x ﹣2），得（x +2）+2（x ﹣2）＝x +2m ，去括号，得x +2+2x ﹣4＝x +2m ，解方程，得x ＝m +1，检验：当m +1≠2，m +1≠﹣2，即m ≠1且m ≠﹣3时，x ＝m +1是原分式方程的解，根据题意可得，m +1＞1，∴m ＞0且m ≠1．知识回顾故答案为：m ＞0且m ≠1．22．（2022•泸州）若方程xx x -=+--23123的解使关于x 的不等式（2﹣a ）x ﹣3＞0成立，则实数a 的取值范围是．【分析】先解分式方程，再将x 代入不等式中即可求解．【解答】解：+1＝，+＝，＝0，解得：x ＝1，∵x ﹣2≠0，2﹣x ≠0，∴x ＝1是分式方程的解，将x ＝1代入不等式（2﹣a ）x ﹣3＞0，得：2﹣a ﹣3＞0，解得：a ＜﹣1，∴实数a 的取值范围是a ＜﹣1，故答案为：a ＜﹣1．考点二：分式方程之分式方程的应用1.列分式方程解实际应用题的步骤：①审题——仔细审题，找出题目中的等量关系。
高中数学分式方程知识点总结
高中数学分式方程知识点总结本篇文章为同学们整理了高中数学分式方程知识点，文章中包括：分式方程的认识、分式方程的解法、分式方程无解、分式方程中的字母参数问题，高中生必看。
一、分式方程的认识什么是分式方程呢?分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
分式方程的概念比较简单，分母中是否含有未知数是判断分式方程的重要依据。
判断分式方程时，不能对方程进行约分、通分变形。
在分式方程的判断中需要注意圆周率π是数值。
不是字母，也就是说，分母中含有π的方程不一定是分式方程。
二、分式方程的解法解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程再解答，体现了转化的思路。
解分式方程一般包含以下基本步骤：①观察分式方程的特征，注意看分母，能分解因式的先分解，然后去寻找最简公分数。
找最简公分母的方法：将每个分母分解因式，找出所有出现因式的最高次幂，它们的积为最简分母的因式。
②去分母，给分式方程中的每一项都乘最简公分母，再约分，把原方程转化为整式方程;注意：去分母时要给每一项都乘以最简公分母，不含分母的项不要忘乘最简公分母。
③解这个整式方程，得到整式方程的解;这一步一般需要运用到整式的乘法、合并同类项、解一元一次方程或一元二次方程等知识点，之前的基础不牢固的话，需要先去复习巩固。
④验根，将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，那么整式方程的解是原分式方程的解;否则这个分式方程无解，x的值是这个分式方程的增根。
验根很容易被忽视，最终的解只是分式方程化为整式方程之后的解，不一定能满足分式方程的分母不为0这个条件，所以需要验根。
看一道例题：观察这个分式方程，发现分母能分解因式，所以在寻找最简公分母之前，先分解因式：最简公分母为(x-1)(x+1)，分式方程两边每一项都乘以最简公分母，注意不要忘记给常数项1也乘以最简公分母。
熟练之后，以上两步可以合并。
化为整式方程之后，进行下一步的计算，整式乘法、移项合并同类项：最终结果为：别忘了验根，可以将x的值代入分别代入原分式方程左右两边看是否相等;也可以将x的值代入最简公分母中，检验最简公分母是否为0。
含参数分式方程问题详解
分式方程参数问题求分式方程中参数（字母系数）的取值范围的问题是一类非常重要的题目，在各类试题中出现频率较高，和解分式方程的题目相比，它更能考差学生思维的全面性和敏捷程度。
在此类题目中往往首先给出分式方程解的情况，让解题者作出逆向判断，从而确定参数的取值范围。
由于分式方程是先化成整式方程求解的，并且在去分母化简的过程中容易扩大未知数的范围，所以求出的参数的取值范围也就不准确了。
例1. 已知关于x 的分式方程132323-=--+--xmxx x 无解，求m 的值。
正解：将原方程化为整式方程，得：()21-=-x m ， 因为原分式方程无解，所以()01=-m 或312=--m所以m=1或 m=35．辨析：产生错误的原因是只从字面意思来理解“无解”，认为“无解”就单单是解不出数来。
实际上，导致分式方程无解的原因有两个：①解不出数来，也就是整式方程无解；②解出的数不符合原方程，也就是整式方程虽然有解，但这个解能使最简公分母为零． 例2. 已知关于x 的分式方程323-=--x mx x 有一个正解，求m 的取值范围。
正解：将原方程化为整式方程，得：()m x x =--32∴m x -=6，∵原方程有解且是一个正解 ∴06>-m 且36≠-m ∴m 的取值范围是：m ＜6且m ≠3辨析：产生错误的原因是忽视了分式方程的解必须满足的条件：最简公分母不等于零。
误认为分式方程有一个正解就是整式方程有一个正解，从而简单处理了事。
实际上，题目隐含着一个重要的条件：x ≠3, 有一个正解并不表示所有的正数都是它的解，而表示它有一个解并且这个解是一个正数两层含义。
例3：已知关于x 的分式方程42212-=-+x m x x 的解也是不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧-≤-->-832221x x x x的一个解，求m 的取值范围。
正解：解不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧-≤-->-832221x x x x得：x ≤-2 将分式方程42212-=-+x m x x 化为整式方程，得：m x x x 2)2(42=+--解这个整式方程得：2--=m x ∴分式方程42212-=-+x mx x 的解为：2--=m x （其中m ≠0和-4） 由题意得：22-≤--m ,解得：0≥m ∴m 的取值范围是：m ＞0．辨析：产生错误的原因是忽视了分式方程的解必须满足的条件：最简公分母不等于零。
分式方程中参数问题的四种考法(解析版)(人教版)
1】．关于
x
的方程
3x x3
2
3
m
x
的解不小于1，则
m
的取值范围为
．
【答案】 m 7 且 m ¹ - 9
【分析】先解分式方程可得 x 6 m ，由题意得 6 m 1，再由 x 3，得 6 m 3 ，求
出 m 的取值范围即可．
【详解】解：
3x x3
2
3
m
x
，
3x 2 x 3 m ，
专题 09 分式方程中参数问题的四种考法
类型一、整数解问题求参数
x m 1
例．若关于
x
的不Hale Waihona Puke 式组x21
x 4
1
有解且至多有
5
个整数解，且关于
y
的方程
y
1
1
3
my 1 y
的解为整数，则符合条件的整数
m
的个数为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
x m 1
【分析】先解出不等式组的解集，然后根据不等式组
解不等式 y 3 2 y a 得： y<2a 3，
∴10 y 2a 3
∵不等式组至多有 3 个整数解，
∴ 2a 3 13 ，
∴a 8．
方程
x
1
3
x 3
a x
1
，
1 x a x 3 ，解得： x a 4 2
∵分式方程有非负整数解，
∴ x 0 （x 为非负整数）且 x 3，
情况二：当整式方程有解，是分式方程的增根，即 x=2 或 x=6， ①当 x=2 时，代入 (m 1)x 6 0 ，得： 2m 8 0
分式方程中参数的取值
分式方程中参数的取值
已知：关于x的分式方程 a 2 ＝1的解是非正数，
求a的取值范围？
x 1
小明的解答有错误。
小明同学的解答如下：
分式方程有时会产生得 a+2=x+1
而本题增根x=﹣1正好在非正数范围内，
移项、合并，得x=a+1 应考虑去掉。
∵解是非正数即x≤0
∵解是非正数即x≤0且x≠﹣1
∴a+1 ≤0 ∴ a的取值范围是 a≤－1 .
∴a+1 ≤0且a+1 ≠﹣1 ∴ a的取值范围是 a≤－1 且a≠﹣2.
请你帮他判断一下是否正确。
归纳：
在求分式方程中参数的取值范围时，应先 解出方程的解（用含参数的代数式表示）， 再根据解的范围得到不等式，同时考虑增根 是否在此范围内，是否要去掉。最后求出参 数的范围。
分式方程的含参问题
分式方程的含参问题解含有参数的分式方程解含有参数的分式方程的基本方法是将等式中的参数看作常数，用含有参数的代数式表示未知数的值。
例如，对于关于x的方程1/(x-1)+a=1(a≠1)，可以通过在等式两边乘以最简公分母x-1，然后整理方程，得到x=(a-2)/(a-1)。
在解决含有参数的分式方程时，需要注意将参数看作常数进行运算，用含有参数的代数式表示方程的解。
已知含有参数的分式方程有特殊解，求参数的值如果已知含有参数的分式方程有特殊解，可以将这个特殊解代入原式，然后求解参数的值。
例如，对于关于x的方程(x+12a-3)/(x-2a+5)=0，如果已知其解为0，可以将x=0代入原式，建立关于参数a的方程，然后解出a的值。
在解决这种问题时，需要注意方程的解有意义这个前提条件。
已知含有参数的分式方程解的范围，求参数的值如果已知含有参数的分式方程解的范围，可以用含有参数的代数式将方程的解表示出来，然后根据解的范围建立与参数有关的关系式。
例如，对于关于x的方程x^m-2/(x-3)(x-3)，如果已知其解为正数，可以将m看作常数，表示出方程的解为x=6-m/(x-3)，然后根据解的范围建立关于m的关系式，解出m的取值范围。
在解决这种问题时，需要注意方程的解为正且原式有意义这两个前提条件。
解含有参数的分式方程的基本方法是将等式中的参数看作常数，用含有参数的代数式表示未知数的值。
例如，对于关于x的方程1/(x-1)+a=1(a≠1)，可以通过在等式两边乘以最简公分母x-1，然后整理方程，得到x=(a-2)/(a-1)。
在解决含有参数的分式方程时，需要注意将参数看作常数进行运算，用含有参数的代数式表示方程的解。
如果已知含有参数的分式方程有特殊解，可以将这个特殊解代入原式，然后求解参数的值。
例如，对于关于x的方程(x+12a-3)/(x-2a+5)=0，如果已知其解为0，可以将x=0代入原式，建立关于参数a的方程，然后解出a的值。
分式方程的字母参数问题 2022--2023学年鲁教版八年级数学上册
《分式方程的字母参数问题》导学案备课人： 备课时间： 使用时间： 姓名：一、学习目标：掌握分式方程的字母参数求值或者求取值范围的方法。
二、学习过程：题型一：知道分式方程的解，求参数的值。
1. 若分式方程的解为x =3，则a 的值为 ．2. 关于x 的方程4332=-+x a ax 的根为x =1，则a 应取值 ．3.若4x =是分式方程213a x x -=-的根，则a 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6题组二：已知分式方程解是正数（负数、非负数、非正数），求参数的取值范围。
1.若关于x 的分式方程：121222kx x --=--的解为正数，则k 的取值范围为（ ）A ．2k <B ．2k <且0k ≠C ．1k >-D ．1k >-且0k ≠2.已知关于x 的分式方程312m x -=+的解是负数，则m 的取值范围是 。
3.若分式方程212x kx +=--的解为非负数，则k 的取值范围是 。
52)1()(2-=--x a ax4.已知关于x的分式方程21ax++=1的解是非正数，则a的取值范围是。
【解题关键】理解分式方程的解为正数（或负数、非负数、非正数）含义：（1）最简公分母不为零（2）解>0（或解<0或解≥0或解≤0）.【友情提示】分式方程的解为正数（或负数、非负数、非正数）的题目可按如下步骤进行：（1）化分式方程为整式方程（2）用含有未知数的代数式表示x（3）根据有解判断最简公分母不为零且解>（或解<0或解0或解0）.题组三：已知分式方程有增根或者无解，求参数的值。
1.若分式方程无解，则的值为_________。
2.（变式）若分式方程有增根，则的值为_________。
3.关于x的方程21122x mx x-=+--有增根，则m的值是。
4.（变式）关于x的方程无解，则m的值是。
5.若关于x的方程15122axx x--=--有增根，则a的值是。
中考专题分式方程中的参数问题(共18张PPT)优秀课件资料
无结
【分析】分式方程无解的条件是： 去分母后所得整式方程无解，或解 这个整式方程得到的解使原方程的 分母等于0．
总结2： 分式方程无解的条件：
1.方程有增根（分母为0） 2.去分母后所得整式方程无解
三.已知方程解的正负性，求参数的取值范围
若关于x的分式方程 负数，则m的取值范围是
的解是非
【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据方 程的解为非负数得出不等式，且不等于增根，再 求解．
四、检测：
当a为何值时，关于x的方程
无解．
【解析】方程两边同乘（x+2）（x﹣2）得： （1+a）（x+2）+（x﹣2）＝3， 整理得：（a+2）x＝3﹣2a， （i）当a+2＝0，即a＝﹣2时，原方程无解； （ii）当a+2≠0，原方程有增根x＝2或﹣2， 当x＝2时，2a+4＝3﹣2a，即a
当x＝﹣2时，﹣2a﹣4＝3﹣2a，无解，
【解析】去分母得m+3＝x﹣1， 整理得x＝m+4，
因为分式方程的解是非负数，
所以m+4≥0且m+4≠1， 解得m≥﹣4且m≠﹣3，
总结3： 参数取值范围
1.方程的解大于0或者小于0 2.方程无增根情况
分式方程的增根是指：分式方程化成整式方程后， 整式方程有解，但是该解使得分式方程的分母为0 分式方程无解是指：分式方程化成整式方程后：① 整式方程无解；②整式方程有解，但是该解刚好使 得分式方程的分母为0，是增根，导致分式方程也 无解。
【分析】（1）分式方程无解，即化成整式 方程时无解，或者求得的x能令最简公分母 为0，据此进行解答． （2）通过解分式方程得到x的值，然后根 据已知条件列出关于m的不等式，通过解 不等式可以求得m的值．
如何求分式方程中参数的值
数学篇学思导引在学习分式方程时，我们会遇到分子含有参数，要求分式方程中参数的值的问题.解答这类问题的基本思路是把分式方程转化为整式方程.但在解答过程中，若对含参数分式方程的解的情况分析不当，极易导致错误.对此，笔者针对如下几种情况，探讨了如何求分式方程中参数的值.一、已知分式方程有增根，求参数的值分式方程出现增根的原因是在去分母的过程中，方程两边同时乘以了一个可能使最简公分母为0的整式，致使未知数的取值范围发生了变化.因此，在求分式方程中参数的值时，若已知分式方程有增根，同学们要注意如下两点：一是准确去分母，把分式方程转化为整式方程；二是令最简公分母为零，求出其增根，再把增根代入所得的整式方程中，求出参数的值.例1若关于x 的方程1x -3+m x -4=4m +2x 2-7x +12有增根，则m 的值为_______.解：原方程两边同乘以(x -3)(x -4)，去分母整理可得：(1+m )x =7m +6①.因为关于x 的分式方程有增根，所以(x -3)(x -4)=0，解得x =3或x =4.当x =3时，方程①为：3（1+m ）4=7m +6，即4m =-3，解得m =-34.当x =4时，方程①为：4（1+m ）=7m +6，即3m =-2，解得m =23.评注：分式方程的增根，既是分式方程去分母后所得整式方程的根，也是使分式方程最简公分母为零的未知数的值.所以，令分式方程最简公分母为零，是破解分式方程有增根问题的重要突破口.二、已知分式方程无解，求参数的值有解，故而原分式方程无解；二是原分式方程去分母整理后所得到的整式方程有解，但该解为原分式方程的增根，从而导致原分式方程无解.所以，在求分式方程参数的值时，若已知分式方程无解，同学们要注意对整式方程无解、整式方程有解但该解为原分式方程的增根这两种情况进行分类讨论.例2当p 为何值时，关于x 的分式方程x x -2+p x +2=x x +2无解？解：原方程两边同乘以(x -2)(x +2)，可得(x +2)x +p (x -2)=x (x -2)，整理可得(p +4)x =2p .(1)当p +4=0，即p =-4时，整式分方程无解，原分式方程也无解.（2）当p +4≠0时，整式方程有解，该解为x =2p p +4.因为原分式方程无解，所以x -2=0或x +2=0，即2p p +4+2=0或2p p +4-2=0.当2p p +4+2=0时，p =-2；当2p p +4-2=0时，p 不存在，应舍去.所以当p =-4或p =-2时，原分式方程无解.评注：在解答分式方程无解问题时，若分式方程去分母后所得的整式方程可以化为ax =b (b ≠0)的形式时，要注意分a =0和a ≠0两种情况进行讨论.当a =0时，整式方程无解，此时原分式方程也无解；当a ≠0时，整式方程有解x =b a，此解为原分式方程的增根，此时原分式方程无解.如何求分式方程中参数的值广东省珠海市斗门区斗门镇初级中学叶春甜数学篇学思导引数、负数、非正数、非负数等.在求分式方程中参数的值时，若已知分式方程有解，同学们要注意如下两点：一是认真审读题目，弄清题设中解的情况，即明确该解是正数，还是负数等；二是参数的取值要使分式有意义，即分式方程的分母不能为零.例3若关于x 的分式方程x +a x -5+6a 5-x=4的解为正数，则a 的值满足（）.A.a <4B.a >-4C.a <4且a ≠1D.a >-4且a ≠-1分析：本题分式方程有根，求解时既要考虑根为正数的情形，又要考虑分式方程的分母不能为零.解：原方程同时乘以（x -5），可得（x +a ）-6a =4(x -5)，整理可得3x =20-5a ，解得x =20-5a 3.因为分式方程的解为正数，所以20-5a 3>0，即20-5a >0，解得a <4.又因为x -5≠0，所以x ≠5，即20-5a 3≠5，解得a ≠1.所以当a <4,且a ≠1时，原分式方程的解为正数，故正确答案为C 项.评注：求分式方程参数的取值范围，一般先去分母，化分式方程为整式方程；然后用含参数的代数式把分式方程的解表示出来，再由分式方程中解的条件（正数、负数等），将其转化为不等式问题.在这一过程中，同学们特别要注意分式方程有解的隐含条件：分母不能为零.总之，分式方程中参数的值或取值范围与分式方程的增根、无解、有解息息相关.在平时做题时，同学们要仔细审题，把握已知条件，尤其是隐含条件，并注意结合具体情况展开分类讨论，及时检验和修正，从而规避漏解、多解以及错解，提高解题的准确性.我们知道，在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.那么，如何证明两条直线平行呢？有关两条直线平行的证明方法有许多，笔者归纳了如下三种常用的证明方法，以期对同学们证题有所帮助.一、利用“平行线判定定理”平行线的判定定理是指两条直线被第三条直线所截，如果同位角、内错角相等，或同旁内角互补，那么这两条直线平行，简称为“同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.”它是判定两直线平行的基本定理，也是证明两条直线平行最为常用的一种方法.例1如图1所示，在△MNP 中，∠MNP =90°，NQ 是MP 边上的中线，将△MNQ 沿MN 边所在的直线折叠，使得点Q恰好落在点R 处，从而得到四边形MPNR .求证：RN ∥MP .分析：要想证明RN ∥MP ，关键是确定第三条直线.观察图形，很容易看出，这两条直线是被MN 所截的，由题意易知NQ =MQ ，∠QMN =∠QNM ，∠RNM =∠QNM ，这样易推出∠QMN =∠RNM ，再由“内错角相等，两直线平行”进而得到RN ∥MP .证明：因为NQ 是MP 边上的中线，且∠MNP =90°，所以NQ =MQ ，∠QMN =∠QNM .例谈证明两条直线平行的常用方法江阴市夏港中学姚菁菁图127。
中考复习——由方程的解求参数问题(学生版)
中考复习——由方程的解求参数问题专题练习一、选择题1、x =1是关于x 的方程2x -a =0的解，则a 的值是（ ）．A. -2B. 2C. -1D. 12、关于x 的分式方程2x +3x a -=0解为x =4，则常数a 的值为（ ）． A. a =1 B. a =2 C. a =4 D. a =103、如果2是方程x 2-3x +k =0的一个根，则常数k 的值为（ ）．A. 1B. 2C. -1D. -24、已知关于x ，y 的二元一次方程组231ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的解为11x y =⎧⎨=-⎩，则a -2b 的值是（ ）．A. -2B. 2C. 3D. -35、若11x y =⎧⎨=⎩.和21x y =⎧⎨=-⎩.是方程mx +ny =6的两组解，则m 、n 的值是（ ）． A. 4，2 B. 2，4 C. -4，-2 D. -2，-46、若x =-2是关于x 的一元二次方程x 2-52ax +a 2=0的一个根，则a 的值是（ ）． A. 1或4 B. -1或-4 C. -1或4 D. 1或-47、关于x 的一元一次方程2x a -2+m =4的解为x =1，则a +m 的值为（ ）．A. 9B. 8C. 5D. 48、已知32x y =⎧⎨=-⎩是方程组23ax by bx ay +=⎧⎨+=-⎩的解，则a +b 的值是（ ）． A. -1 B. 1 C. -5 D. 59、已知方程34a a ---a =14a -，且关于x 的不等式组x a x b⎧⎨≤⎩＞.只有4个整数解，那么b 的取值范围是（ ）A. -1＜b ≤3B. 2＜b ≤3C. 8≤b ＜9D. 3≤b ＜410、若关于x 的方程3x m x +-+33m x -=3的解为正数，则m 的取值范围是（ ）． A. m ＜92 B. m ＜92且m ≠32C. m ＞-94D. m ＞-94且m ≠-3411、如果关于x 的分式方程1a x +-3=11x x -+有负分数解，且关于x 的不等式组()243412a x x x x ⎧-≥--⎪⎨++⎪⎩＜.的解集为x ＜-2，那么符合条件的所有整数a 的积是（ ）． A. -3 B. 0 C. 3 D. 912、若关于x 的一元一次不等式组()()1144223122x a x x ⎧-≤⎪-⎪⎨-⎪+⎪⎩＜的解集是x ≤a ，且关于y 的分式方程2411y a y y y -----=1有非负整数解，则符合条件的所有整数a 的和为（ ）． A. 0B. 1C. 4D. 6 二、填空题13、已知x =2是关于x 的方程a （x +1）=12a +x 的解，则a 的值是______． 14、若关于x 、y 的二元一次方程3x -ay =1有一个解是32x y =⎧⎨=⎩，则a =______．15、若关于x 、y 的二元一次方程组325x y x ay +=⎧⎨-=⎩的解是1x b y =⎧⎨=⎩，则a b 的值为______．16、已知m 是关于x 的方程x 2-2x -3=0的一个根，则（ ）2（m 2-2m ）=______．17、方程2x -4=0的解也是关于方程x 2+mx +2=0的解，则m 的值为______．18、已知关于x 、y 的方程221255x y a x y a +=+⎧⎨+=-⎩的解满足x +y =-3，则a 的值为______． 19、已知关于x ，y 的二元一次方程组2321x y k x y +=⎧⎨+=-⎩.的解互为相反数，则k 的值是______． 20、若关于x 、y 的二元一次方程组34355x y m x y -=+⎧⎨+=⎩的解满足x +y ≤0，则m 的取值范围是______．21、已知21xy=⎧⎨=⎩是关于x，y的二元一次方程组71ax byax by+=⎧⎨-=⎩的一组解，则a+b=______．22、已知关于x的方程22x mx+-=3的解是正数，则m的取值范围为______．23、若关于x的方程22x-+2x mx+-=2的解为正数，则m的取值范围是______．24、关于x的分式方程2111x ax x----=3的解为非负数，则a的取值范围为______．三、解答题25、关于x的方程3x2+mx-8=0有一个根是23，求另一个根及m的值．26、已知关于x、y的方程组52111823128x y ax y a+=+⎧⎨-=-⎩的解满足x＞0，y＞0，求实数a的取值范围．27、己知关于x，y的二元一次方程组2352x yx y k-=⎧⎨-=⎩的解满足x＞y，求k的取值范围．28、人教版教科书对分式方程验根的归纳如下：“解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程中的分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．否则，这个解不是原分式方程的解．”请你根据对这段话的理解，解决下面问题：已知关于x的方程点111m xx x----=0无解，方程x2+kx+6=0的一个根是m．（1）求m和k的值．（2）求方程x2+kx+6=0的另一个根．29、已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a-c）=0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．（1）如果x=-1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由．（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．。
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专题04 分式方程中的参数问题
考纲要求:
1. 了解分式方程的概念
2.会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个），会对分式方程的解进行检验.
3.会用分式方程解决简单的事件问题.
基础知识回顾:
1.分式方程的定义：
分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
2.解分式方程的一般步骤：
()1去分母化分式方程为整式方程.
()2解这个整式方程，求出整式方程的根.
()3检验，得出结论.一般代入原方程的最简公分母进行检验.
3.增根.增根是分式方程化为整式方程的根，但它使得原分式方程的分母为零.
应用举例:
招数一、分式方程增根问题：增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母0，确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
【例1】（2017山东省聊城市）如果解关于x的分式方程
2
1
22
m x
x x
-=
--
时出现增根，那么m的值为（）
A．﹣2B．2C．4D．﹣4
招数二、分式方程无解问题：分式方程无解分为以下两种情况：①原方程解不出数来，也就是整式方程无解；②整式方程能解出来，但是解出来的数使得原分式方程的分母为零，也就是所谓的增根，所以切记一定要讨论。
【例2】关于x的方程32
2
11
x m
x x
-
=+
++
无解，则m的值为（）
A．﹣5B．﹣8C．﹣2D．5
招数三、已知分式方程解的范围求参数范围问题：明确告诉了解的范围，首先还是要按正常步骤解出方程，解中肯定带有参数，再根据解的范围求参数的范围，注意：最后一定要讨论增根的问题.
【例3】若关于x的方程
3
3
33
x m m
x x
+
+=
--
的解为正数，则m的取值范围是（）
A ．m ＜92
B ．m ＜92且m ≠32
C ．m ＞94-
D ．m ＞94-且m ≠34- 【例4】已知关于x 的分式方程111k x k x x ++=+-的解为负数，则k 的取值范围是 ． 招数四、与其它方程或不等式结合求参数问题：
【例5】关于x 的两个方程260x x --=与213
x m x =+-有一个解相同，则m = ． 【例6】从﹣3，﹣1，12，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a ，若数a 使关于x 的不等式组1(27)330
x x a ⎧+≥⎪⎨⎪-<⎩无解，且使关于x 的分式方程2133x a x x --=---有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a 的值之和是（ ）
A ．﹣3
B ．﹣2
C ．﹣
D ．12
方法、规律归纳:
1.按照基本步骤解分式方程时，关键是确定各分式的最简公分母，若分母为多项式时，应首先进行因式分解，将分式方程转化为整式方程，给分式方程乘最简公分母时，应对分式方程的每一项都乘以最简公分母，不能漏乘常数项；
2．检验分式方程的根是否为增根，即分式方程的增根是去分母后整式方程的某个根，如果它使分式方程的最简公分母为0.则为增根． 增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母0，确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
3. 分式方程的增根和无解并非同一个概念，分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解；分式方程的增根是去分母后整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根．
实战演练: 1. 若分式方程
211x m x x
-=--有增根，则这个增根是 2.（2017江苏省宿迁市）若关于x 的分式方程1322m x x x
-=---有增根，则实数m 的值是 ． 3.（2017四川省攀枝花市）若关于x 的分式方程7311
mx x x +=--无解，则实数m =_______． 4. 若关于x 的分式方程2213m x x x
+-=-无解，则m 的值为( ) A. －32 B. 1 C. 32或2 Ｄ－12或－32
5（2017湖北省荆州市）若关于x 的分式方程121k x -=+的解为负数，则k 的取值范围为 ． 6.(2017四川泸州第15题)关于x 的分式方程2322x m m x x ++=--的解为正实数，则实数m 的取值范围是 ．
7 （2017黑龙江省龙东地区）已知关于x 的分式方程3133
x a x -=-的解是非负数，那么a 的取值范围是（ ） A ．a ＞1 B ．a ≥1 C ．a ≥1且a ≠9 D ．a ≤1
8（2017四川省凉山州）若关于x 的方程2230x x +-=与213x x a
=+-有一个解相同，则a 的值为（ ） A ．1 B ．1或﹣3 C ．﹣1 D ．﹣1或3
【答案】C ．
9. （2017重庆）若数a 使关于x 的分式方程2411a x x
+=--的解为正数，且使关于y 的不等式组21322()0
y y y a +⎧->⎪⎨⎪-≤⎩的解集为y ＜﹣2，则符合条件的所有整数a 的和为（ ） A ．10 B ．12 C ．14 D ．16
10．（2017重庆B ）若数a 使关于x 的不等式组2122274x x x a
-⎧≤-+⎪⎨⎪+>-⎩有且仅有四个整数解，且使关于y 的分式方程2222a y y
+=--有非负数解，则满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．3 B ．1 C ．0 D ．﹣3。