一道高考数学试题的多种解法
一道高考题的多种解法评析及其教学反思
一道高考题的多种解法评析及其教学反思高考是中国学生们备受关注的重要考试，它在学生们的学业生涯中扮演着至关重要的角色。
高考题是学生们检验知识掌握和思维能力的重要工具，让我们来评析一道高考题的多种解法，并思考如何在教学中提供更好的辅导与指导。
下面，我们将分析一道数学高考题：已知某数列的通项公式为an = n^3 - 2n，求数列的前n项和Sn。
这道题要求求解数列的前n项和，对于学生来说，有多种解法可以得到正确答案。
下面我将列举几种常见的解法，并对这些解法进行评析。
解法一：逐项计算法这种解法是最直观的方式，即从第一项开始逐个计算直到第n项，并将它们求和。
例如，当n=4时，数列的前4项分别为1，6，15，28，将它们求和可得50。
这种解法的优点是容易理解和操作，对于初学者来说较为友好。
然而，当n较大时，手工计算将变得极为繁琐和耗时，容易出错。
解法二：数学归纳法数学归纳法是一种常用的数学证明方法，也可以用来解决这道题。
首先，我们可以通过观察数列的前几项，猜测出数列的前n项和的通项公式为Sn = (n^2)(n-1)^2/4。
接下来，我们可以通过数学归纳法来证明这个猜测。
首先，当n=1时，显然数列的前1项和为1；其次，假设当n=k时，数列的前k项和的通项公式成立。
那么我们只需要证明当n=k+1时，数列的前k+1项和的通项公式也成立。
通过展开数列的前k+1项，并利用归纳假设，我们可以得到Sn+1 = (k^2)(k-1)^2/4 + (k+1)^3 - 2(k+1) = [(k^2)(k-1)^2 + 4(k+1)^3 - 8(k+1)]/4 = [(k-1)^2(k^2 + 4k + 4) + 4(k+1)(k+1)(k+1) - 8(k+1)]/4 = [(k-1)^2(k+2)^2 + 4(k+1)(k+1)(k+1) - 8(k+1)]/4 = [(k+2)^2(k-1)^2 + 4(k+1)(k+1)(k+1) -8(k+1)]/4 = [(k+2)^2(k-1)^2 + 4(k+1)(k+1)(k+1) - 8(k+1)(k+1)]/4 =[(k+2)^2(k-1)^2 + 4(k+1)(k+1)(k+1 - 2(k+1))]/4 = [(k+2)^2(k-1)^2 +4(k+1)(k+1)(k-1)]/4 = (k+2)^2(k-1)^2/4 + (k+1)(k+1)(k-1) =[(k+1)^2(k+2)^2 - (k+1)(k-1) + (k+1)(k-1)]/4 = [(k+1)^2(k+2)^2 - (k+1)(k-1)]/4 = [(k+1)(k+2)(k+1)(k+2) - (k+1)(k-1)]/4 = [(k+1)(k+2)(k+1)(k+2 -k+1)]/4 = [(k+1)(k+2)(k+2)(k+1)]/4 = (k+1)^2(k+2)^2/4 = (k+1)^2((k+1)-1)^2/4。
高考数学解题思路12种
高考数学解题思路12种1500字
高考数学解题思路主要包括了以下12种：
1. 定义法：通过明确题目中一些术语或概念的定义，来理解和解答问题。
2. 推理法：根据已知条件和问题要求，运用逻辑推理的方法，得出结论。
3. 构造法：通过构造出特殊的情况或对象，来找出规律或解题思路。
4. 分类讨论法：将题目中涉及的情况进行分类，分别进行讨论和分析。
5. 反证法：先假设问题的反面，然后通过推理推出矛盾的结论，从而证明原命题是正确的。
6. 代入法：将已知的数值代入方程或不等式中，来求解问题。
7. 求极值法：通过求导或其他方法，找出函数的极值点，从而解答问题。
8. 空间变换法：通过对问题中的几何图形进行平移、旋转、缩放等变换，来获得更好的解题角度。
9. 递推法：通过找出数列或几何图形中的规律，推导出后面的项或图形的特征。
10. 数学建模法：将问题抽象化为数学模型，运用数学知识来解决实际问题。
11. 统计法：通过统计已知数据的特征和规律，预测未知数据的情况。
12. 概率法：通过概率的知识和计算，来解决涉及概率的问题。
在解题过程中，根据不同的题目类型和题材，选择合适的解题思路是非常重要的。
以上所列的解题思路可以作为参考，但具体的解题方法还需要根据具体的问题进行调整和应用。
因此，多做题、多思考、多总结是提高数学解题能力的关键。
新高考全国1卷数学(经典版)(全)多种方法解析压轴题
新高考全国1卷数学（经典版）（全）多种方法解析压轴题
构造函数，不等式放缩，泰勒展开：两个方法解析2022年高考新全国1卷数学试题第7题
填空压轴题：全方位解析2022年新高考全国1卷数学试题第8题
多角度解析2022年新高考全国1卷数学试题第11题
特殊化，常规推导：从两个不同方向解析2022年新高考全国1卷数学试题第12题
两圆公切线问题——几何法，代数法：两个角度解析2022年新高考全国1卷数学试题第14题
判别式，分离参数：从两个不同角度解析2022年新高考全国1卷数学试题第15题
几何法，代数法，结论秒杀法：三种方法解析2022年新高考全国1卷数学试题第16题
方法三：使用结论
使用前作《圆锥曲线焦半径与焦点弦相关40多个结论在2015-2021年高考数学试题中的应用》中的推论2.1.2 .
2022年高考新全国1卷数学试题第21题（多种方法解析）——探究圆锥曲线张角模型中三角形面积问题以及相关定理应用
注：也可以使用到角公式求直线的斜率.
多种方法解析2022年高考新全国1卷数学试题第22题。
高考数学选择题十大解法总结
高考数学选择题十大解法总结高考数学选择题从难度上讲是比其他类型题目降低了，但知识覆盖面广，要求解题熟练、准确、灵活、快速。
选择题的解题思想，渊源于选择题与常规题的联系和区别。
它在一定程度上还保留着常规题的某些痕迹。
对此查字典大学网整理了高考数学选择题十大解法，期望考生在考试中节约时刻取得更多分数。
下面是一些实例：1.特值检验法：关于具有一样性的数学问题，我们在解题过程中，能够将问题专门化，利用问题在某一专门情形下不真，则它在一样情形下不真这一原理，达到去伪存确实目的。
例：△ABC的三个顶点在椭圆4x2+5y2=6上，其中A、B两点关于原点O对称，设直线AC的斜率k1，直线BC的斜率k2，则k1k2的值为A.-5/4B.-4/5C.4/5D.2√5/5解析：因为要求k1k2的值，由题干暗示可明白k1k2的值为定值。
题中没有给定A、B、C三点的具体位置，因为是选择题，我们没有必要去求解，通过简单的画图，就可取最容易运算的值，不妨令A、B分别为椭圆的长轴上的两个顶点，C为椭圆的短轴上的一个顶点，如此直截了当确认交点，可将问题简单化，由此可得，故选B。
2.极端性原则：将所要研究的问题向极端状态进行分析，使因果关系变得更加明显，从而达到迅速解决问题的目的。
极端性多数应用在求极值、取值范畴、解析几何上面，专门多运算步骤繁琐、运算量大的题，一但采纳极端性去分析，那么就能瞬时解决问题。
3.剔除法：利用已知条件和选择支所提供的信息，从四个选项中剔除掉三个错误的答案，从而达到正确选择的目的。
这是一种常用的方法，专门是答案为定值，或者有数值范畴时，取专门点代入验证即可排除。
4.数形结合法：由题目条件，作出符合题意的图形或图象，借助图形或图象的直观性，通过简单的推理或运算，从而得出答案的方法。
数形结合的好处确实是直观，甚至能够用量角尺直截了当量出结果来。
5.递推归纳法：通过题目条件进行推理，查找规律，从而归纳出正确答案的方法。
高考数学题难题巧解思路与方法
高考数学题难题巧解思路与方法一、定义法求解所谓定义法，就是直接用数学定义解题。
选择题的命题侧重于对圆锥曲线定义的考查，凡题目中涉及焦半径、通径、准线、离心率及离心率的取值范围等问题，用圆锥曲线的第一和第二定义解题，是一种重要的解题策略。
【例1】（2008年，山东卷，理10）设椭圆C 1的离心率为135，焦点在x 轴上且长轴长为26. 若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为（ ）（A ）1342222=-y x（B ）15132222=-y x（C ）1432222=-y x（D ）112132222=-y x【巧解】由题意椭圆的半焦距为5=c ，双曲线2C 上的点P 满足|,|8||||||2121F F PF PF <=- ∴点P 的轨迹是双曲线，其中5=c ，4=a ，∴3=b ，故双曲线方程为1342222=-y x ，∴选（A ）巧练一：（2008年，陕西卷）双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别是F 1，F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）A ．6B ．3C ．2D ．33巧练二：（2008年，辽宁卷）已知点P 是抛物线x y 22=上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）（A ）217（B ）3（C ）5（D ）29 【例2】（2009年高考福建卷，理13）过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 作倾斜角为450的直线交抛物线于A 、B 两点，线段AB 的长为8，则=p ．【巧解】依题意直线AB 的方程为2p x y -=，由⎪⎩⎪⎨⎧=-=pxy p x y 222消去y 得：04322=+-p px x ，设),(11y x A ，),(22y x B ，∴p x x 321=+，根据抛物线的定义。
解答高考数学题的12种方法
解答高考数学题的12种方法于把握，不要轻易放过，应争取在大题之前尽快解决，从而为解决大题赢得时间，创造一个宽松的心理基矗5.先点后面。
近年的高考数学解答题多呈现为多问渐难式的梯度题，解答时不必一气审到底，应走一步解决一步，而前面问题的解决又为后面问题准备了思维基础和解题条件，所以要步步为营，由点到面6.先高后低。
即在考试的后半段时间，要注重时间效益，如估计两题都会做，则先做高分题;估计两题都不易，则先就高分题实施分段得分，以增加在时间不足前提下的得分。
方法五、一慢一快，相得益彰有些考生只知道考场上一味地要快，结果题意未清，条件未全，便急于解答，岂不知欲速则不达，结果是思维受阻或进入死胡同，导致失败。
应该说，审题要慢，解答要快。
审题是整个解题过程的基础工程，题目本身是怎样解题的信息源，必须充分搞清题意，综合所有条件，提炼全部线索，形成整体认识，为形成解题思路提供全面可靠的依据。
而思路一旦形成，则可尽量快速完成。
方法六、确保运算准确，立足一次成功数学高考题的容量在120分钟时间内完成大小26个题，时间很紧张，不允许做大量细致的解后检验，所以要尽量准确运算(关键步骤，力求准确，宁慢勿快)，立足一次成功。
解题速度是建立在解题准确度基础上，更何况数学题的中间数据常常不但从数量上，而且从性质上影响着后继各步的解答。
所以，在以快为上的前提下，要稳扎稳打，层层有据，步步准确，不能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤，假如速度与准确不可兼得的说，就只好舍快求对了，因为解答不对，再快也无意义。
方法七、讲求规范书写，力争既对又全考试的又一个特点是以卷面为唯一依据。
这就要求不但会而且要对、对且全，全而规范。
会而不对，令人惋惜;对而不全，得分不高;表述不规范、字迹不工整又是造成高考数学试卷非智力因素失分的一大方面。
因为字迹潦草，会使阅卷老师的第一印象不良，进而使阅卷老师认为考生学习不认真、基本功不过硬、感情分也就相应低了，此所谓心理学上的光环效应。
实例解析高考数学选择题十大解法
实例解析高考数学选择题十大解法高考数学选择题从难度上讲是比其他类型题目降低了，但知识覆盖面广，要求解题熟练、准确、灵活、快速。
选择题的解题思想，渊源于选择题与常规题的联系和区别。
它在一定程度上还保留着常规题的某些痕迹。
而另一方面，选择题在结构上具有自己的特点，即至少有一个答案(若一元选择题则只有一个答案)是正确的或合适的。
因此可充分利用题目提供的信息，排除迷惑支的干扰，正确、合理、迅速地从选择支中选出正确支。
选择题中的错误支具有两重性，既有干扰的一面，也有可利用的一面，只有通过认真的观察、分析和思考才能揭露其潜在的暗示作用，从而从反面提供信息，迅速作出判断。
由于我多年从事高考试题的研究，尤其对选择题我有自己的一套考试技术，我知道无论是什么科目的选择题，都有它固有的漏洞和具体的解决办法，我把它总结为：6大漏洞、8大法则。
“6大漏洞”是指：有且只有一个正确答案;不问过程只问结果;题目有暗示;答案有暗示;错误答案有严格标准;正确答案有严格标准;“8大原则”是指：选项原则;范围较大原则;定量转定性原则;选项对比原则;题目暗示原则;选择项暗示原则;客观接受原则;语言的准确度原则。
经过我的培训，很多的学生的选择题甚至1分都不丢。
下面是一些实例：1.特值检验法：对于具有一般性的数学问题，我们在解题过程中，可以将问题特殊化，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下不真这一原理，达到去伪存真的目的。
例：△ABC的三个顶点在椭圆4x2+5y2=6上，其中A、B两点关于原点O对称，设直线AC的斜率k1，直线BC的斜率k2，则k1k2的值为A.-5/4B.-4/5C.4/5D.2√5/5解析：因为要求k1k2的值，由题干暗示可知道k1k2的值为定值。
题中没有给定A、B、C三点的具体位置，因为是选择题，我们没有须要去求解，通过简单的画图，就可取容易计算的值，不妨令A、B分别为椭圆的长轴上的两个顶点，C为椭圆的短轴上的一个顶点，这样直接确认交点，可将问题简单化，由此可得，故选B。
高考数学六大解题方法
高考数学六大解题方法（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高中高考数学选择题的10种常用解法
高考数学的10 种常用解法解数学有两个根本思路：一是直接法；二是接法①充分利用干和支两方面提供的信息，快速、准确地作出判断是解的根本策略。
②解的根本思想是：既要看到通常各常的解思想，原上都可以指的解答；更看到。
根据的特殊性，必定存在着假设干异于常的特殊解法。
我需把两方面有机地合起来，具体具体分析。
1、直接求解法11、如果log7log 3log 2 x0 ，那么x 2 等于〔〕A1B3C3D236942、方程xsin x 的数解的个数〔〕100A 61B 62C 63D 64精1． f(x)=x(sinx+1)+ax 2,f(3)=5, f(－ 3)=() (A) － 5(B) － 1(C)1(D) 无法确定2．假设定在数集R 上的函数 y=f(x+1)－1的反函数是 y=f(x－ 1),且 f(0)=1, f(2001) 的 ( )(A)1(B)2000(C)2001(D)20023.奇函数 f(x) 足： f(x)=f(x+2) ，且当 x∈ (0,1)， f(x)=2 x－ 1, f (log 1 24) 的2〔A 〕1〔 B 〕5〔 C〕5〔 D 〕23 2224244． a>b>c,n∈ N,且11n恒成立， n的最大是〔〕b c aa b c(A)2(B)3(C)4(D)55.如果把 y=f(x) 在 x=a及 x=b 之的一段象近似地看作直的一段，a≤ c≤b，那么 f(c)的近似可表示〔〕1f (a) f (b)(B) f (a) f (b) (C) f (a)c a[ f (b) f (a)] (D) f (a)c a(A)b a b [ f (b) f (a)]2a6．有三个命：①垂直于同一个平面的两条直平行；② 平面的一条斜 l 有且有一个平面与垂直；③异面直a, b 不垂直，那么 a 的任一平面与 b 都不垂直。
其中正确的命的个数 ().1C7．数列 1,1+2,1+2+2 2, ⋯ ,1+2+22+⋯ +2n－1, ⋯的前 99 的和是〔〕〔 A 〕 2100－ 101〔 B〕 299－ 101〔 C〕 2100－ 99〔 D〕 299－ 99精答案： B DACCDA2、特例法把特殊值代入原题或考虑特殊情况、 特殊位置， 从而作出判断的方法称为特例法〔特殊值法〕(1) 、从特殊结构入手3 一个正四面体，各棱长均为2 ，那么对棱的距离为〔〕A 、1B 、1C 、 2D 、222(2)、从特殊数值入手4、 sin xcos x1 x2 ，那么 tan x 的值为〔 〕,54 B 、4 3 3 4A 、或 4C 、D 、33435、△ ABC 中， cosAcosBcosC 的最大值是〔〕3 1 C 、 11A 、3B 、D 、882(3) 、从特殊位置入手6、如图 2，一个正三角形内接于一个边长为 a 的正三角形中，问x 取什么值时，内接正三角形的面积最小〔〕A 、aB 、aC 、aD 、3 a 图 223 427、双曲线 x 2y 2 1的左焦点为 F ，点 P 为左支下半支异于顶点的任意一点，那么直线PF的斜率的变化范围是〔〕A 、 ( ,0)B 、 ( , 1) U (1, )C 、 ( ,0) U (1, )D 、 (1, )(4) 、从变化趋势入手8、用长度分别为 2、3、 4、 5、6〔单位： cm 〕的 5 根细木棍围成一个三角形〔允许连接，但不允许折断〕，能够得到的三角形的最大面积为多少〔〕A 、 8 5 cm 2B 、 610 cm 2 C 、 3 55 cm 2D 、 20 cm 29、 a b1,P lg a lg b ,Q1 lg a lg b , R lgab，那么〔〕22A R P QB P Q RC Q P RD P R Q注：此题也可尝试利用根本不等式进行变换.10、一个 方体共一 点的三个面的面 分 是2, 3,6 ， 个 方体 角 的 是A 2 3B 3 2C 6D 6〔〕精1．假设 04， 〔〕(A) sin 2sin (B) cos2cos (C) tan2 tan (D) cot 2 cot 2．如果函数 y=sin2x+a cos2x 的 象关于直x= － 称，那么 a=()8(A) 2(B) － 2(C)1 (D) － 13. f(x)=x1 +1(x ≥ 1).函数 g(x)的 象沿 x 方向平移 1 个 位后，恰好与f(x) 的象关于直 y=x 称， g(x) 的解析式是〔 〕〔A 〕 x 2+1(x ≥0)(B)(x － 2)2+1(x ≥ 2) (C) x 2+1(x ≥1) (D)(x+2) 2+1(x ≥ 2)4.直三棱柱 ABC — A / B / C / 的体 V ， P 、 Q 分 棱 AA /、 CC /上的点，且 AP=C / Q ，四棱 B — APQC 的体 是〔 〕〔A 〕 1V〔 B 〕 1V〔 C 〕 1V〔D 〕 1V23455．在△ ABC 中， A=2B ， sinBsinC+sin 2B=()(A)sin 2A (B)sin 2B(C)sin 2C(D)sin2B6.假设 (1-2x) 80 12 x 2 8 8128)=a +a x+a +⋯ +a x ,|a |+|a |+ ⋯ +|a|=(〔 A 〕 1〔 B 〕－ 1〔 C 〕 38－ 1〔 D 〕 28－ 17．一个等差数列的前 n 和 48，前2n 和60， 它的前3n 和 〔〕(A) 24(B) 84(C) 72(D) 368．如果等比数列a n 的首 是正数，公比大于1，那么数列 log 1 a n是〔〕3(A) 增的等比数列；(B) 减的等比数列；(C) 增的等差数列；(D) 减的等差数列。
高考一题通试题的32种解法.
b
x a
A
图1
C
1 1 则 S ABCD (ax by ) sin (ax by ) 2 2 1 1 由于圆内接正四边形的面积最大，所以 (ax by ) ax by 1. 2 2 当 ab 0或xy 0 或 a.b, c, d 中至少有一个负数时上述结论仍成立。不做论证
（复数思想法的证法; 证法 12：设 z1 e
i1
， z 2 e i 2 ，其中 cos 1 a, sin 1 b, cos 2 x, sin 2 y ，则
z2 e i ( 2 1 ) i cos( 1 2 ) sin( 1 2 ) ， z1 z ∴ | 2 || i cos( 1 2 ) sin( 1 2 ) | 1 ，即 (ax by ) 2 (bx ay ) 2 1 ax by 1. z1
（5）学科基本概念和基础思想法 课本中每一章节的基础知识点都是必考内容之一，所以每一章节的基本方法与 思想都是解题的方法。
证法 11.（向量法）令 A(a, b), B ( x, y ) 是圆 x 2 y 2 1 上的两点（可重复） ，则有
ax by OA OB cos OA, OB 1 ax by 1.
只需证 即 因为 所以只需证 即
证法 9 要证
因为最后的不等式成立，且步步可逆。所以原不等式成立。 1 证法 10 （反证法） 假设 ax by 1. 则 ax by (a 2 b 2 x 2 y 2 ) (a x) 2 (b y ) 2 0. 2 2 2 与 (a x) (b y ) 0. 矛盾，所以 ax by 1.
高三数学一题多解一题多变试题及详解答案
高三数学一题多解一题多变试题及详解答案乐享集团公司，写于2021年6月16日高三一题多解 一题多变题目一题多解 一题多变一原题：482++=x mx x f )( 的定义域为R,求m 的取值范围 解：由题意0482≥++x mx 在R 上恒成立0>∴m 且Δ0≤,得4≥m变1：4823++=x mx x f log )(的定义域为R,求m 的取值范围 解：由题意0482>++x mx 在R 上恒成立0>∴m 且Δ0<,得4>m变2：)(log )(4823++=x mx x f 的值域为R,求m 的取值范围 解：令=t 482++x mx ,则要求t 能取到所有大于0的实数,∴当0=m 时,t 能取到所有大于0的实数当0≠m 时,0>m 且Δ0≥4≤0⇒m <变3：18223+++=x nx mx x f log )(的定义域为R,值域为[]20,,求m,n 的值解：由题意,令[]911822,∈+++=x n x mx y ,得0-8--2=+n y x x m y ）（ m y ≠时,Δ0≥016-)(-2≤++⇒mn y n m y -∴ 1和9时0162=++-)(-mn y n m y 的两个根∴ 当m y =时,08==mn x - R x ∈ ,也符合题意 一 题 多 解-解不等式523<<3-x解法一：根据绝对值的定义,进行分类讨论求解 1当03-≥x 2时,不等式可化为53-<<x 2343<<x ⇒2当03-<x 2时,不等式可化为0x -1⇒53-2x <<<+<3 综上：解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法二：转化为不等式组求解原不等式等价于综上：解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法三：利用等价命题法 原不等式等价于-33-2x 5-53-<<<<或x 23,即0x 1-<<<<或43x 解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法四：利用绝对值的集合意义原不等式可化为2523<<23-x ,不等式的几何意义时数轴上的点23到x 的距离大于23,且小于25,由图得, 解集为}{0x 1-<<<<或43x x一题多解 已知n s 是等比数列的前n 想项和,963s s s ,,成等差数列,求证：852a a a ,,成等差数列法一：用公式qq a s n n 一一111)(=,因为963s s s ,,成等差数列,所以9632s s s =+且1≠q 则 所以8716141152222a q a q q a q a q a a a ===+=+)( 所以 852a a a ,,成等差数列｀ 法二用公式qqa a s n n 一一11=,q q a a q q a a q q a a s s s 一一一一一一12112916131963)(∴,=+=+则q a q a q a a a a 85296322=+⇒=+8522a a a =+⇒,所以 852a a a ,,成等差数列｀证法三：用公式)(),(n n n n n n n q q s s q s s 23211++=+=解得213一=q 下略变题：已知54=αsin 且α是第二象限角,求αtan解：α是第二象限角,54=αsin 345312一一一一===αααtan ,sin cos ⇒变1：54=αsin ,求αtan解：054>=αsin ,所以α是第一或第二象限角若是第一象限角,则3453==ααtan ,cos若是第二象限角,则3454一一==ααtan ,cos变2：已知)(sin 0>=m m α求αtan 解：由条件10≤<m ,所以当 10<<m 时,α是第一或第二象限角 若是第一象限角时2211mm αm α一一==tan ,cos 若是第二象限角2211mm αm α一一一一tan ,cos ==当1=m 时αtan 不存在 变3：已知)(sin 1≤=m m α,求αtan 解：当11一,=m 时,αtan 不存在 当0=m 时, 0=αtan当α时第一、第四象限角时,21mm α一=tan当α是第二、第三象限角时,21mm α一一=tan一题多解 一题多变三题目：求函数)()(01 x xx x f +=的值域 方法一：判别式法 --设xx y 1+= ,则01yx -=+2x ,由Δ2y =-204≥⇒≥y 当2=y 时,2x -012=+x 1=⇒x , 因此当1=x 时,)()(01x xx x f +=有最小值2,即值域为[)+∞,2方法二：单调性法先判断函数)()(01 x xx x f +=的单调性 任取210x x ,则212121211x x x x x x x f x f )-)(-()(-)(=当2021≤x x 时,即)()(21x f x f ,此时)(x f 在(]10,上时减函数 当212x x 时,)()(21x f x f )(x f 在()+∞,2上是增函数由)(x f 在(]10,上是减函数,)(x f 在()∞,+1上是增函数,知 1=x时,)(x f 有最小值2,即值域为[)+∞,2方法三：配方法 2112+=+=)-()(xx xx x f ,当01=xx -时,1=x ,此时)(x f 有最小值2,即值域为[)+∞,2方法四：基本不等式法)(x f 有最小值2,即值域为[)+∞,2变 题原题：若函数1212++=x ax x f )(的定义域为R,求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立,则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式一：函数)(log )(1222++=x ax x f 的定义域为R,求实数a 的取值范围 解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立,则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式二：函数)(log )(1222++=x ax x f 的值域为R,求实数a 的取值范围 解：令=u 122++x ax 能取到所有大于0的实数,则 0=a 时,1+=zx u 能取到所有大于0的实数 0≠a 时,0 a 且Δ1a 004a -≤⇒≥= 4综上10≤≤a一题多解 一题多变四题目：求函数)()(01 x xx x f +=的值域 方法一：判别式法 --设xx y 1+= ,则01yx -=+2x ,由Δ2y =-204≥⇒≥y当2=y 时,2x -012=+x 1=⇒x , 因此当1=x 时,)()(01x xx x f +=有最小值2,即值域为[)+∞,2方法二：单调性法先判断函数)()(01 x xx x f +=的单调性任取210x x ,则212121211x x x x x x x f x f )-)(-()(-)(=当2021≤x x 时,即)()(21x f x f ,此时)(x f 在(]10,上时减函数 当212x x 时,)()(21x f x f )(x f 在()+∞,2上是增函数由)(x f 在(]10,上时减函数,)(x f 在()∞,+1上是增函数,知 1=x时,)(x f 有最小值2,即值域为[)+∞,2方法三：配方法 2112+=+=)-()(xx xx x f ,当01=xx -时,1=x ,此时)(x f 有最小值2,即值域为[)+∞,2方法四：基本不等式法)(x f 有最小值2,即值域为[)+∞,2变 题原题：若函数1212++=x ax x f )(的定义域为R,求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立,则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式一：函数)(log )(1222++=x ax x f 的定义域为R,求实数a 的取值范围 解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立,则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式二：函数)(log )(1222++=x ax x f 的值域为R,求实数a 的取值范围 解：令=u 122++x ax 能取到所有大于0的实数,则0=a 时,1+=zx u 能取到所有大于0的实数 0≠a 时,0 a 且Δ1a 004a -≤⇒≥= 4综上10≤≤a一题多解 一题多变五题目：椭圆1162522=+y x 的焦点是21F F 、,椭圆上一点P 满足21PF PF ⊥,下面结论正确的是——————————————————————— AP 点有两个 BP 点有四个 CP 点不一定存在 DP 点一定不存在 解法一：以21F F 为直径构圆,知：圆的半径b c r =<==43,即圆与椭圆不可能有交点;故选D 解法二：由题知124321)(21max 21=⨯=•⨯=∆b F F S F pF ,而在椭圆中：164tan221==∆πb S F PF ,∴不可能成立,1612>故选D解法三：由题意知当p 点在短轴端点处21PF F <最大,设α221=<PF F ,∴<⇒<=,4,143tan παα此时21PF F <为锐角,与题设矛盾;故选D 解法四：设)sin 4,5(θθcon P ,由,21PF PF ⊥知02121=•⇒⊥PF PF PF PF ,而⇒-=⇒=+-=+-=•970sin 16925)sin 4,35)(sin 4,35(22221θθθθθθθcon con con con PF PF 无解,故选D解法五：设θ=∠21F PF ,假设21PF PF ⊥,则26)4sin(26sin 66||||21≤+=+=+πθθθcon PF PF ,而102||||21==+a PF PF即：2610≤,不可能;故选D解法六：=-=--+=-+=<||||2|||264||||236||||2)|||(|||||36||||21212121222121222121PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF PF F con 025*******)2||||(321||||3222121≠=-=-+≥-PF PF PF PF ,故212190PF PF PF F ⊥∴≠< 不可能;故选D解法七：设),(00y x P 由焦半径知：∴⊥-=-=+=+=21002001,535||,535||PF PF x ex a PF x ex a PF 2212221||||||F F PF PF =+962550251810)535()535(202022020=⇒=⇒=-++⇒x x x x 而在椭圆中5||0≤x 而325||0=x >8,故不符合题意,故选D解法八.设圆方程为：922=+y x椭圆方程为：1162522=+y x两者联立解方程组得： 不可能故圆922=+y x 与椭圆1162522=+y x 无交点即 1PF 不可能垂直2PF 故选D一题多解 一题多变六一变题：课本P110 写出数列}{n a 的前5项：1-111,14n n a a a =-=- 变题：已知函数1()22,[,1]2f x x x =-+∈,设)(x f 的反函数为)(x g y =,)(,1211a g a a ==)(1-n n a g a =,求数列}{n a 的通项公式;解：由题意得,x x g y 211-)(==,1--n n a a 211=1212()323n n a a -∴-=-,令32-n n a b =,则}{n b 是以31为首项,21-为公比的等比数列,故)()-(1-12131≥=n b n n从而,)(23)-(1-n 1-11232≥×+=+=n b a n n n n 二、一题多解已知函数),[,)(+∞∈++=122x xax x x f 1当21=a 时,求函数)(x f 的最小值；-2若对于任意01>+∞∈)(),,[x f x 恒成立,试求实数a 的取值范围, 解：1当21=a 时,222212+≥++=xx x f )(,当且仅当22=x 时取等号 由)()(0>+=k xkx x f 性质可知,)(x f 在),[+∞22上是增函数 ),[+∞∈1x ,所以)(x f 在)∞,[+1是增函数,)(x f 在区间)∞,[+1上的最小值为271=)(f2法一：在区间上)∞,[+1,022>++=xax x x f )(恒成立022>++⇔a x x 恒成立设a x x ++=22y ,),[+∞∈1x 11222-)(y a x a x x ++=++=在)∞,[+1上增 所以1=x 时,3min +=a y ,于是当且仅当03min >+=a y 时,函数0>)(x f 恒成立,故-3>a法二：),[,)(+∞∈++=12x xax x f当0≥a 时,函数)(x f 的值恒为正；当0<a 时,函数)(x f 为增函数,故当1=x 时,3min +=a y ,于是当且仅当03min >+=a y 时,函数0>)(x f 恒成,故-3>a法三：在区间)∞,[+1上,022>++=xax x x f )(恒成立022>++⇔a x x 恒成立 x x a 22- -⇔>恒成立,故a 应大于x x 22- -u =,)∞,[∈+1x 时的最大值-3,所以-3>a一题多解 一题多变七原题：:若)()(0112>++=x x x xf ,则=)(x f 分析:用倒数换元解: 令tx xt 11==则, 所以 将t 换成x 得到:变题1：设)(x f 满足关系式,)()(x xf x f 312=+求)(x f 的解析式 解：tx xt 11==则将t 换成x 得到:与原式联立方程组消去)(xf 1得到变题2：已知()()af x f x bx +-=,其中12≠a 试求)(x f 的解析式解：用相反数换元 令,t x x t =-=-代入到原式当中得到： 将t 换成x 得到:与原式联立方程组,得到：变题3：已知22(43)(34)2,af x bf x x a b -+-=≠,试求)(x f 的解析式解：令43x t -=,则232+=t x 将()1 中t 换－t 得到: 与()1联立方程组得到：变题4：已知2()()1,n n af x f x bx a n +-=≠，其中为奇数，求)(x f解：设n n t x t x ==, 代入原式得： 将t 换成—t 得到:n t b t f t af ——=+)()( 与上式联立方程组得到∴ )(x f 的解析式为：()f x ==一题多解题目：设二次函数)(x f 满足，———)()(22x f x f =且函数图象y 轴上的截距为1,被x 轴截的线段长为22,求)(x f 的解析式分析：设二次函数的一般形式)()(02≠++=a c bx ax x f ,然后根据条件求出待定系数a,b,c解法一：设)()(02≠++=a c bx ax x f由，———)()(22x f x f = 得：04=b a — 又2284a ac b =∴— 由题意可知 1=c 解之得：解法二：，———)()(22x f x f =故函数)(x f y =的图象有对称轴2—=x 可设k x a y ++=22)(函数图象与y 轴上的截距为1,则14=+k a又被x 轴截的线段长为22,则2221==d x x Δ—整理得：02=+k a 解之得： 解法三：：，———)()(22x f x f =故 函数)(x f y =的图象有对称轴2—=x ,又2221=x x —∴ )(x y =与x 轴的交点为：∴故可设)(222++=x a y一题多解 一题多变八原题 设()x f y =有反函数)(-1x f y =,又)(2+=x f y 与)1-(-1x f y = 互为反函数,则__________)(-)(-1-1=01f f 教学与测试P 77变题 设()x f y =有反函数)(-1x f y =,又)(1+=x f y 的图象与)(-11+=x f y 的图象关于x y =对称（1） 求)(-)(01f f 及)(-)(-1-101f f 的值；（2） 若b a ,均为整数,请用b a ,表示()()f a f b 及)(-)(-1-1b f a f解1因)(-11+=x f y 的反函数是()1-x f y =,从而()11-)(x f x f =+,于是有()11--)(=+x f x f ,令1=x 得-1(0)-)(=f f 1；同样,)(1+=x f y 得反函数为()1--1x f y =,从而()11-)(-1-1x f x f =+,于是,()11--)(-1-1=+x f x f ．2 -11)(-)(=++x f x f 2,而()11--)(=+x f x f ,故()12-1)-(-)(=+x f x f ,即()22--)(=+x f x f , …()n x f n x f --)(=+,从而()[]()a b a f a b a f b f a f --)-(-)(=+=．同理,()-1-1()f a f b b a -=-．一题多解1．函数2(),(1)(3)f x x bx c f f =++-=,则 A (1)(1)f c f >>- B (1)(1)f c f <<- C (1)(1)c f f >-> D (1)(1)c f f <-<解法1. 由(1)(3)f f -=知()x f 的图象关于1=x 对称,得2b =-而22(1)1(2)11,(1)(-1)(2)(1)3f c c f c c =+-•+=--=+-•-+=+,且31c c c +>>-,因此(1)(1)f c f <<-.解法2.由(1)(3)f f -=知()x f 的图象关于1=x 对称,而)(0f c =,而()x f 在－1,1上递减,易得答案为B ．y-1 0 1x一题多解 一题多变九姜忠杰变 题原题：若在区间y =2a -ax -2x 在区间)3-,1∞-(是减函数,则a 的取值范围是多少变1：若函数y =2a -ax -2x 在)3-,1∞-(上是减函数,则a 的取值范围是多少变2、若函数y =)a -ax -(log 2221x 在)3-,1-(∞上是增函数,则a 的取值范围是多少变3、若函数y =)a -ax -(log 2221x 在)3-,1∞-(上是增函数,且函数的值域为R,则a 的取值范围是多少解： 函数2a -ax -2x y =的减区间为]-2a ，（∞,∴⊆)3-,1∞-(]-2a，（∞∴），∞32-2[+ -变1、设2a -ax -2x u =,则u 在)3-,1∞-(为减函数,且在)3-,1∞-(,u ≥0 所以有3-12a ≤且u 3-10≥,∴a 的取值范围是],[)51)(1-3()5-1)(1-(223+变2：设2a -ax -2x u =,则u 在为减函数,且在]3-,1∞-(,u ≥0- 所以有3-12a ≤且u 3-10≥,∴a 的取值范围是],[)51)(1-3()5-1)(1-(223+变3：设2a -ax -2x u =,则u 在)3-,1∞-(减区间,u 在)3-,1∞-(取到一切正实数3-12a ≤,01=)3-(u ,所以=a 23)5-1)(1-(或2)51)(1-3(+一题多解：设10=+a a lg ,1010=+b b ,求b a +的值;解法一构造函数：设x x x f lg )(+=,则)(lg )(b b b b f b a f 1010101010=+=+==,由于)(x f 在),(+∞0上是单调递增函数,所以b a 10=,故1010=+=+b b a b ; 解法二图象法因为a 是方程10=+x x lg 的一个根,也就是方程x x -lg 10=的一个根b 是方程1010=+x x 的一个根,也就是方程x -1010=x 的一个根令x x g lg )(=,x x h 10=)(,x x -)(10=Φ,在同一坐标系中作出他们的图象,如图所示：a 是方程)()(x x g Φ=的根,即图中OA=ab 是方程)()(x x h Φ=的根,即图中OB=b易得OA+OB=10,所以10=+b a解法三：方程10=+x x lg ,1010=+x x 的根为a ,b 由1010=+x x ,得x x -1010=,∴x)-lg(10=x ,又10=+x x lg 10lgx x)-lg(=+∴10, 1010x )-x (10=即,02=+101010x -x 即一题多解 一题多变十课本P 102 证明：222221212122121)()(≤)(,)()(;)()()(,)(x f x f x x f b ax x x f x f x f x x f b ax x f ++++=+=++=则若则）若（变题：1、如图所示,),,,)((4321=i x f i 是定义在0,1上的四个函数,其中满足性质：“对0,1中的任意的21x x ,,任意1212[0,1],[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλλ∈+-≤+-恒成立”的只有 AA 、 )(),(31x f x fB 、)(2x fC 、)(),(32x f x fD 、)(4x f变题2、定义在R 上的函数)(x f 满足：如果对于任意R x x ∈21,都有222121)()(≤)(x f x f x x f ++ 则称函数)(x f 是R 上的凹函数;已知二次函数),()(02≠∈+=a R a x ax x f 1求证：当0>a 时,函数)(x f 是凹函数；2如果],[10∈x 时,1≤|)(|x f ,试求实数a 的取值范围; 1证明：略2实数a 的取值范围是[2,0)- 二、一题多解不查表计算：5235233lg lg lg lg ++解法一：原式=3lg2lg55)lg lg2lg5-2lg )(lg (lg 22+++52 =523552222lg lg lg lg lg -lg ++ =5522222lg lg lg lg ++ =1522=+)lg (lg解法二：原式=322(lg 2lg5)3lg 2lg5-3lg 2lg 53lg 2lg5+-+=1-3lg 2lg5(lg 2lg51)+- =1解法三：原式=52352523523lg lg )lg (lg lg lg -)lg (lg +++=5235231lg lg lg lg -+ =1解法四：原式=52352352352352352222233lg lg lg lg -lg lg -lg lg lg lg lg lg ++++=)-lg (lg lg lg -)lg (lg 152523523++ =1解法五：原式=15235233×++lg lg lg lg=)lg (lg lg lg lg lg 525235233+×++ =352)lg (lg + =1一题多解 一题多变十一一题多解- 1． 已知212x x f -)(=-1)<x ,求-12()3f －的值解法1 先求反函数 由221xy =－得221y x =－ ∴ y2-1-=x 且0<y故原函数的反函数是x2-1-)(1-=x f )(0<x 解法2从互为反函数的函数的关系看 令32-x -2=12解得2±=x 即 -2)32-(1-=f变题2． 已知)(x f 对于任意实数y x .满足)()()(y f x f y x f +=+,当0>x 时,0<)(x f （1） 求证)-(-)(x f x f = （2） 判断)(x f 的单调性证明 1令,0==y x 得)()()(000f f f += -令-y =x ,得0-x)()()(=+=f x f f 02设21x x <,则)()-()()]-([)(11211212x f x x f x f x x x f x f <+=+= ∴ )(x f 在R 上是单调函数变题 1. 已知函数是定义R 在上的增函数,且满足-)()(x f yxf =)(y f（1） 求)(1f 的值（2） 若,)(16=f 解不等式215<+)(-)(xf x f 解 1 令1==y x ,得∴ 01=)(f -（3） 在)(-)()(y f x f yx f =中,令61==y x ,得 从而261636==)(-)()(f f f又原不等式可化为 )()]([365f x x f <+, 且)(x f 是),(+∞0上的增函数,∴ 原不等式等价于又 0>x 05>+x 解得 40<<x∴ 原不等式的解集为0,4一题多解 一题多变十二考查知识点：函数的对称中心原题：函数)lg(12++=x x y 的图象关于原点对称;解：该函数定义域为R,且))-(-lg()()-(12++=+x x x f x f +)lg(12++x x =))(-lg(1122++++x x x x =01=lg)(-)-(x f x f =∴,∴该函数图像关于原点对称变题1：已知函数)(x f y =满足)(-)-(11+=+x f x f 则)(x f y =的图象的关于),(01对称解： )(-)-(11+=+x f x f ∴)(1+=x f y 为奇函数,即)(1+=x f y 的图象关于原点),(00对称,故)(x f y =的图象关于),(01对称;变题2：已知函数)(x f y =满足2=+)-()(x f x f ,则函数)(x f y =的图象关于),(10对称解：由2=+)-()(x f x f 得,∴]-)([--)-(11x f x f =,)(x f y =－1为奇函数,即)(x f y =－1的图象关于0,0对称,∴)(x f y =的图象关于),(10对称变题3：已知函数)(x f y =满足22=++)()(x f x f ,则)(x f y =的图象关于1,1对称解：令1-t x =,则t x --1=,故由22=++)()(x f x f 得211=++)-()(t f t f ,即)(x f 满足211=++)-()(x f x f ,即]-)([--)-(1111+=+x f x f ,∴11-)(+=x f y 的图象关于原点0,0对称,故)(x f y =的图象关于1,1对称;结论：若函数)(x f y =满足b x c f x a f =++)-()(,则)(x f y =的图象关于()22bc a ,+对称;变题4：已知244+=x xx f )(求证：111=+)-()(x f x f 2指出该函数图象的对称中心并说明理由;3求)()()(100110001000210001f f f +++ 的值;1证明：1242244244244111=+++=+++=+xx x x x x x x f x f --)-()(,得证;- 2解：该函数图象的对称中心为），（2121,由11=+)-()(x f x f 得12121=++)-()(x f x f 即]-)([--)-(21212121+=+x f x f ,∴2121-)(+=x f y 的图象关于原点中心对称,故)(x f y =的图象关于），（2121对称; 3解：11=+)-()(x f x f ,故11001100010011=+)()(f f ,1100199910012=+)()(f f ,……,∴ )()()(100110001000210001f f f +++ =500变题5：求证：二次函数)()(02≠++=a c bx ax x f 的图象没有对称中心;证明：假设),(n m 是)()(02≠++=a c bx ax x f 的图象的对称中心,则对任意R x ∈,都有n x m f x m f 2=++)-()(,即n c x m b x m a c x m b x m a 222=+++++++)-()-()()(恒成立,即有n c bm am ax =+++22恒成立,也就是0=a 且02=++n c bm am -与0≠a 矛盾 所以)()(02≠++=a c bx ax x f 的图象没有对称中心;一题多解 一题多变十三题目：已知函数[)∞∈+++=，）（122x xax x x f 若对任意[)01）＞（，，x f x ∞+∈恒成立,试求实数a 的取值范围;解法一：在区间[)∞+，1上,022>++=xax x x f ）（恒成立022>++⇔a x x 恒成立,设a x x y ++=22在[)∞+，1递增 ,∴当x=1时a y +=3min ,于是当且仅当03>+=a y min 时,函数恒成立,故 a>—3;解法二：[)∞+∈++=，，）（12x xax x f 当a 0≥的值恒为正,当a<0时,函数）（x f 为增函数故当x=1时a x f +=3）（min 于是当且仅当3+a>时恒成立, 故 a>—3;解法三：在区间[)∞+，1上xax x x f ++=22）（恒成立022>++⇔a x x 恒成立x x a 22——>⇔恒成立,故a 应大于[)∞+∈=，，——122x x x u 时的最大值—3, ()112++>∴x a — 当x=1时,取得最大值 —3 。
高考数学选择题的10种常用解法
异面直线 a,b 不垂直，那么过 a 的任一平面与 b 都不垂直。
D 其中正确的命题的个数为( )
A .0
B .1
C .2
D .3
7．数列 1,1+2,1+2+22,…,1+2+22+…+2n－1,…的前 99 项的
A 和是（ ）
（A ）2100－101
（B ）299－101
（C ）2100－99
（D ）299－99
3a ， 棱 柱 的 高 A1O
a2 AO2
a2 (2 3 a)2 32
6a 3
（等于点 B1到底面 ABC 的距离 B1D ），故 AB1 与底面 ABC
所成角的正弦值为 B1D A1O 2 . AB1 AB1 3
另解：设 AB, AC, AA1 为空间向量的一组基底，AB, AC, AA1 的两两间的夹角为 600 ，长度均为 a，平面 ABC 的法
(A )1 f (a) f (b) 2
(C ) f (a) c a [ f (b) f (a)] ba
(B ) f (a) f (b) (D ) f (a) c a [ f (b) f (a)]
ba
6．有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；
②过平面 的一条斜线 l 有且仅有一个平面与 垂直；③
（2008 年全国卷Ⅰ）已知三棱柱 ABC A1B1C1 的侧棱与底 面边长都相等，A 1 在底面 A B C 内的射影为△ABC 的
中心，则 AB1与底面 ABC 所成角的正弦值等于（ ）
1 A．3
2
B． 3
3
C． 3
2 D．3
解：由题意知三棱锥 A1 ABC 为正四面体，设棱长为 a ，
高考数学真题高等数学解法
高考数学真题高等数学解法高考数学真题一直是考生备考的焦点和难点，尤其是高等数学部分的题目更是让很多学生望而却步。
下面将从不同类型的高考数学真题中选取几道高等数学题目，进行详细的解析和解题思路。
1. 有一曲线的切线方程为 $y = x^2 - 2x$，过曲线上一点 $P$ (2, 2)作该切线的垂线，所得直线与 $y$ 轴相交于一点 $Q$，求 $PQ$ 的长度。
解析：首先求出曲线的斜率，由 $y' = 2x - 2$ 可得切线斜率为 $2\cdot 2 - 2 = 2$。
过点 $P$ (2, 2) 作斜率为负倒数的直线，即斜率为 $-\frac{1}{2}$ 的直线，其方程为 $y - 2 = -\frac{1}{2}(x - 2)$，化简得 $y = -\frac{1}{2}x + 3$。
将该直线与 $y$ 轴相交，可得 $x = 0$ 时，$y =3$，因此 $Q$ 点坐标为 $(0, 3)$。
利用两点间距离公式，可得 $PQ$ 的长度为 $\sqrt{(0-2)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{5}$。
2. 已知方程组 $\begin{cases} y = mx - 2 \\ y^2 + (mx - 1)y = 0\end{cases}$，其中 $m$ 为实数，求 $m$ 的取值范围。
解析：将第一个方程代入第二个方程中，得到 $(mx - 2)^2 + (mx - 1)(mx - 2) = 0$。
化简得 $m(2m - 5)x^2 + 2(2 - m)x + 4 = 0$。
由二次方程有实根的条件可得 $\Delta = 4(m^2 - 5m + 4) \geq 0$，解得 $1 \leq m\leq 4$。
3. 设函数 $f(x) = e^{2x} \cdot (\sin x - \cos x)$，求 $f'(x)$ 和 $f''(x)$。
解析：首先对 $f(x)$ 进行求导，利用乘积法则和链式法则可得 $f'(x) = (e^{2x} \cdot \cos x + 2e^{2x} \cdot (\sin x - \cos x))$。
殊途 同归——试论一道题目的多种解法
＝２ａｘ＋１＋(６ａｘ＋４ａ＋１)(ｘ＋１)－２(３ａｘ２＋４ａｘ＋ｘ)(ｘ＋１)３ꎬ即ｈᶄ(ｘ)＝２ａｘ＋１＋(２ａ－１)ｘ＋４ａ＋１(ｘ＋１)３.因为ｘ＝０是ｆ(ｘ)的极大值点ꎬ所以ｆ(ｘ)在ｘ＝０附近左增右减ꎬ即存在ｘ１<０ꎬ使当ｘɪ(ｘ１ꎬ０)时ꎬｆᶄ(ｘ)>０ꎬｇ(ｘ)>０ꎻ使当ｘɪ(０ꎬ－ｘ１)时ꎬｆᶄ(ｘ)<０ꎬｇ(ｘ)<０.因为ｇ(０)＝ｆᶄ(０)＝０ꎬ所以存在ｘ２>０ꎬ使函数ｇ(ｘ)在区间(－ｘ２ꎬｘ２)单调递减ꎬ即ｈ(ｘ)＝ｇᶄ(ｘ)ɤ０对ｘɪ(－ｘ２ꎬｘ２)恒成立ꎬ因为ｇᶄ(０)＝０ꎬ所以ｘ＝０是函数ｈ(ｘ)极大值点ꎬ则ｈᶄ(０)＝０ꎬ得:ａ＝－１６.验证:当ａ＝－１６时ꎬｈᶄ(ｘ)＝－ｘ(ｘ＋６)３(ｘ＋１)３(ｘ>－１)ꎬ可得:函数ｈ(ｘ)在ｘɪ(－１ꎬ０]单调递增ꎬ在ｘɪ(０ꎬ＋¥)单调递减ꎬｈ(ｘ)＝ｇᶄ(ｘ)ɤ０对ｘɪ(－１ꎬ＋¥)恒成立ꎬ且仅当ｘ＝０时取等号.由以上分析ꎬａ＝－１６符合题意.综上所述:所求ａ＝－１６.反思与评注㊀１.以上问题(２)的解决紧紧扣住ｘ＝０是ｆ(ｘ)的极大值点这个条件ꎬ逐层分析ꎬ逐层求导ꎬ得出ｘ＝０是ｈ(ｘ)＝ｇᶄ(ｘ)的极大值点ꎬ则ｈᶄ(０)＝０得:ａ＝－１６ꎬ然后再验证ａ＝－１６符合题意ꎬ化突兀的分段讨论为求值验证ꎬ虽然需要三次求导ꎬ运算量也不小ꎬ但整个思路自然流畅ꎬ是比较容易接受的解决方法.２.问题(２)在高考的参考解答中ꎬ是分成ａȡ０时ꎬ证明不会符合ꎻａ<０时ꎬ设函数ｈ(ｘ)＝ｆ(ｘ)２＋ｘ＋ａｘ２＝ｌｎ(１＋ｘ)－２ｘ２＋ｘ＋ａｘ２ꎬ说明ｘ＝０是ｆ(ｘ)的极大值点当且仅当ｘ＝０是ｈ(ｘ)的极大值点ꎬ然后对ｈ(ｘ)求导数ꎬ分段讨论解决ꎬ虽然避开了三次求导ꎬ但讨论的分段让人觉得突兀ꎬ而且运算量仍然很大.有兴趣的读者可自行上网查询ꎬ加以比较.㊀㊀参考文献:[１]许银伙.意念引领㊀攻克难题[Ｊ].福建中学数学ꎬ２０１５(８):４０－４２.[２]许银伙ꎬ杨苍洲.我解压轴题之:端点尝试㊀预测思路[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０１８(１):３５－３８.[责任编辑:李㊀璟]殊途㊀同归试论一道题目的多种解法张占宾(山西省运城市芮城中学㊀０４４６００)摘㊀要:数学是一门以严谨性著称的学科.数学学科的严谨性在答案上彰显得淋漓尽致ꎬ每道数学题都有唯一的答案(多选题除外)和确定的结果.但是得到这个结果的方法和途径却不是唯一的.条条大路通罗马ꎬ同样的在解答数学题目时对于一种类型的题目可以有多种不同的解法.本文将以２０１９年高考数学一卷第４题为例详细阐述如何采用多种解法得出题目的最终答案.关键词:数学题ꎻ解题方法ꎻ高考中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)１６－００１８－０２收稿日期:２０２０－０３－０５作者简介:张占宾(１９８０.１１－)ꎬ男ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀一㊁由因推果ꎬ正向解题法正向解题法是最为常规和普遍的解题方法ꎬ他主要根据题目中所给出的相关条件(显性条件和隐性条件)列出数学算式并最终得到结果.因此在数学题目的解答中ꎬ这种方法是最为普遍的㊁最为常规的一种解法.我们结合２０１９年高考数学全国一卷第４题详细阐述正向解题法.首先是这道题目 古希腊时期ꎬ人们认为最美的人体的头顶至肚脐的长度与肚脐是足底的长度之比是(５－１)/２(ʈ０.６１８)ꎬ这被称为黄金分割比例.著名的 ꎬ此外最美的人体头顶至咽喉的长度与咽喉至肚体的长度之比也是(５－１)/２ꎬ若某人满足上述两个黄金分割比例ꎬ前腿长为１０５厘米ꎬ头顶至脖子下端的长度为２６厘米ꎬ则其身高可能是(㊀㊀).８１Ａ.１６５ｃｍ㊀Ｂ.１７５ｃｍ㊀Ｃ.１８５ｃｍ㊀Ｄ.１９０ｃｍ .通过阅读这个题目我们可以发现他所给出的条件是非常多的ꎬ而且在题干中除了考查学生的数学知识以外还额外地向学生科普了有关黄金分割比例的知识ꎬ是一道非常精彩的题目.那么我们通过正向解题法来分析这道题目ꎬ大致解题过程如下:首先根据已知条件ꎬ分别求出身高的上限和下限.题目中明确给出了腿长为１０５厘米ꎬ而腿长是等于肚脐到足底的长度的ꎬ而根据题目中的黄金分割比例就可以算出头顶至肚脐的长度为１０５ˑ０.６１８＝６４.８９厘米ꎬ再把头顶至肚脐的长度与腿长相加就可以得到身高下限为１６９.８９厘米.然后计算身高的上限:已知条件头顶到脖子下端的长度为２６厘米ꎬ这可以理解为头顶至咽喉的长度ꎬ而后根据是２６厘米就可以计算出咽喉到肚脐的长度为２６/０.６１８ʈ４２厘米ꎬ肚脐到足底的长度为(２６＋４２)/０.６１８ʈ１１０厘米ꎬ然后把这三个部分的长度相加就可以得到身高总值上限为１７８厘米.由此可以推断ꎬ正确答案应当位于１６９.８９~１７８的区间内ꎬ而４个选项中只有Ｂ项１７５厘米满足这一条件ꎬ所以正确答案为Ｂ.㊀㊀二㊁由果推因ꎬ反向解题法通往罗马的路不止一条ꎬ得出正确答案的方法也可以有很多种.比如在一些题目中可以采取逆向思维ꎬ这类思维在数学证明题中以反证法的形式运用的最多ꎬ但是这类思维在其他题型中也有用武之地ꎬ比如说本文中所选的这道高考真题.由于这是一道选择题ꎬ４个备用选项中必然有一个是正确的ꎬ所以在解决这道题目时也可以采用逆向思维法ꎬ把每一个结果当成正确的代入题干中求取黄金分割比例并验证自己计算出的黄金分割比例是否与题干中的黄金分割比例一致.如果自己计算出的黄金分割比例与题干中的相差甚远那么对应的答案就是错的ꎬ反之则说明所选答案为正确.仍然是这道题目ꎬ我们可以把每一个选项依次代入题干中ꎬ具体步骤可以按照以下方法展开:首先是Ａ项１６５厘米ꎬ我们把这一项当成正确答案代入题干中ꎬ通过列数学算式 １６５－１０５－２６ 得出脖子至肚脐的长度为３４厘米.而后我们根据题干中所给出的黄金分割比例的定义进行计算ꎬ头顶至肚脐的长度为６０厘米ꎬ那么头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比为６０/１０５ʈ０.５７１ꎬ头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐长度的比例为０.７６４.接下来看Ｃ项１８５厘米ꎬ采用与ａ项解题思路相同的方法ꎬ先求出咽喉至肚脐的长度为５４厘米ꎬ所以头顶至肚脐的长度为８０厘米ꎬ那么这一数值所产生出的黄金分割比例为８０/１０５ʈ０.７６２ꎬ头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度比例为０.４８１.用此同样的方法验证其余两个选项ꎬ我们可以发现在４个选项中只有Ｂ项的１７５厘米与实际的黄金分割比例最为接近ꎬ所以正确答案为Ｂ.通过观察我们不难发现ꎬ反向解题法虽然在逻辑上可以帮助学生更好地理解ꎬ但是在实际的解题过程中ꎬ学生需要消耗大量的时间和精力.而且由于黄金分割比例数值为无限不循环小数ꎬ所以学生在逆向求解黄金分割比例数值时很难实现精确的结果.虽然反向解题法也可以得出最终的答案ꎬ但是在分秒必争的高考考场上此种方法不应当作为学生的首选.㊀㊀三㊁寻根溯源ꎬ生活解题法数学是一门来源于生活的学科ꎬ所以在日常生活中就可以发现一些数学题目的答案ꎬ只不过学生长期受到教室教学环境的影响固化了思维ꎬ难以想到结合数学科目的特点密切联系实际生活ꎬ在实际生活中寻找答案.但是这道题目的出现却给了学生一个非常明显的提示ꎬ我校的部分学生就是通过密切联系实际生活的方法得出了这道题目的计算结果.通过阅读这道题目ꎬ我们获取了一个非常重要的信息就是黄金分割比例ꎬ黄金分割比例讲述的对象是人体身高以及各个部分之间的比例系数ꎬ所以这与人体的审美密切相关.而且在题目中所提到的维纳斯断臂作为一座非常著名的以人为主题的雕塑对学生而言并不陌生ꎬ所以我们可以结合现实生活的具体案例解答这道题目.比如当下阶段的学生热爱追星ꎬ对明星的基本情况非常了解ꎬ而在当下阶段的明星关ˑˑꎬ其身高条件完美地契合了黄金分割比例.在２０１９年的高考中ꎬ我校的部分学生虽然不知道具体的解题过程如何开展ꎬ但是他们看到黄金分割比例的字眼首先就联想到了这位明星ꎬ这位明星的身高就是１７５厘米ꎬ所以这些学生通过这种方式选出了正确答案.此外也有部分学生反映ꎬ在讲解三角形时ꎬ涉及到勾股定理和切割三角形时ꎬ教室也在课堂上向大家大致地介绍了黄金分割比例的知识ꎬ并在班级内挑选了一名符合黄金分割比例条件的同学现身说法ꎬ这让很多学生印象深刻ꎬ最终也帮助他们在解答这道高考题时选出了正确的答案.数学题的答案是非常严谨的ꎬ但是得到其答案会有多种不同的方法ꎬ因此在面对一道数学题目时我们不能仅仅停留在把题目做对就行的程度而是要尝试从多个角度以各种不同的方法解答这道题目ꎬ这不仅有利于对该题目认识的进一步深化同时也有助于发散数学思维ꎬ提升数学能力.㊀㊀参考文献:[１]郭道明.中学生创新思维能力的培养 从一道数学题的多种解法谈起[Ｊ].南阳师范学院学报ꎬ２００９ꎬ８(０９):１２０－１２１.[２]卢昌海ꎬ周丰.浅谈解数学题的思维方法 一道题的多种解法联想[Ｊ].昭通师专学报ꎬ１９９６(０３):７１－７３ꎬ７９.[责任编辑:李㊀璟]９１。
高考数学解题的12种方法
高考数学解题的12种方法
1. 找准问题的关键点，归纳问题的要点和条件，分析问题的结构和性质，选择合适的解题方法。
2. 利用同种题目的解题思路、解题技巧，加速解题过程。
3. 运用代数方法，通过建立方程或不等式来解决问题。
4. 运用几何方法，通过画图、利用几何性质等方式解决问题。
5. 运用数列和级数的性质，通过数学归纳法或递推公式来解决问题。
6. 运用函数的性质，通过函数的图像、函数的变换等方式解决问题。
7. 运用概率和统计的方法，通过计算概率、分析统计数据等方式解决问题。
8. 运用数论的方法，通过分解因式、最大公约数、最小公倍数等方式解决问题。
9. 运用组合数学的方法，通过排列组合、选择判断等方式解决问题。
10. 运用解析几何的方法，通过坐标轴、向量等几何工具解决问题。
11. 运用微积分的方法，通过求导、求积分等方式解决问题。
12. 运用图论的方法，通过图的模型、路径分析等方式解决问题。
高考数学试卷一题多解
一题多解：解法一：求导法Step 1：求一阶导数f'(x) = 3x^2 - 3Step 2：令f'(x) = 0，解得x = ±1Step 3：判断极值当x ∈ (-∞, -1)时，f'(x) > 0，函数单调递增；当x ∈ (-1, 1)时，f'(x) < 0，函数单调递减；当x ∈ (1, +∞)时，f'(x) > 0，函数单调递增。
所以，x = -1是极大值点，f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = 2；x = 1是极小值点，f(1) = 1^3 - 3(1) = -2。
解法二：二次导数法Step 1：求一阶导数f'(x) = 3x^2 - 3Step 2：求二阶导数f''(x) = 6xStep 3：令f''(x) = 0，解得x = 0Step 4：判断极值当x ∈ (-∞, 0)时，f''(x) < 0，函数单调递减；当x ∈ (0, +∞)时，f''(x) > 0，函数单调递增。
所以，x = 0是极小值点，f(0) = 0^3 - 3(0) = 0。
解法三：配方法Step 1：将f(x) = x^3 - 3x写成完全立方形式f(x) = (x - 1)^3 - 1^3 - 3(x - 1)= (x - 1)^3 - 4Step 2：判断极值由于(x - 1)^3为奇次幂，所以当x = 1时，(x - 1)^3取得最小值0，因此f(x)取得最小值-4。
当x = 1时，(x - 1)^3取得最大值0，因此f(x)取得最大值-4。
综上所述，本题的极值为极大值2（x = -1时取得）和极小值-2（x = 1时取得）。
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一道高考试题的多种解法
2007年普通高等学校招生全国统一考试卷Ⅰ理科数学19题:
S?ABCDABCD为平行四边形底面,四棱锥中,
CBBCS?A面侧.已知底面2BC?23?SA?SB2?AB45??ABC.
,,,BC?SA;
证明(Ⅰ)SABSD. 与平面所成的角的大小(Ⅱ)求直线下面只列,第一问证法较多,第二问相对作法较少:
举几种第一问的证法AOO?BCSSO. ）垂足为证法一:过（如图作,连接1,?SOCDBC?ABS面底得由侧面底面
ABCDSASBCDAOBOAB内的射,、分别是、在底面影.
?OBOASA?SB? ,又45??ABC?ABO?,
形直,角三角又是等腰?OB?OA.
BC?SA.
由三垂线定理得SOOAO?BCA1).
连接如图,垂足为(:证法二过,作?SBCSBCSASOSBC?ABCDAO?且由侧面,在侧面底面内的射
影得是,侧面BO,AO?AO?SO.
45?ABO??SBO????SA?ABO?SBSAOOBOA?.
.,在又,中90SOA???SOB??SOOB?.
即BCSA?.
由三垂线定理得
OBCAC连接,记证法三:连接的中点为,ABCAOSO?中2).、在(如图
2BC?245??ABC?2AB?ABC?,,,?BCAO?)
.(是等腰直角三角形, 下同证法二OACBC连接的中点为,记,证法四:连接
2BC?245ABO???2AB?ABC?SOAO?ABC是等腰直角,中,,2).、(如图在?BC?AO.
三角形,
??SBCSOSASBCSBCABCDAO?.
在侧面,是又侧面底面,内的射影侧面3?cosSBA?SAB?. 在中易得3．
6???SBCcosCBAcos??cos?SBCcos?SBA. 又3?3SC?SO??BCSBC.
中由余弦定理得,在SA?BC.
由三垂线定理得AAO?BCOSO(如图,连接,垂足为过证法五:1).
作?SOSA?SBCSBCSBC?ABCDAO内的射影侧面由侧面,,底面在侧面得且是AO?SO,AO?BO. OA?OB?245??ABC?2AB?ABO?Rt. ,在中,AOS?SORt??12SA?3,AO?. ,在中BOSSO?1?OB?SO?2BO?SB?3,.
中在,,SA?BC.
由三垂线定理得?SBABCDABCDBCSBC?. ,证法六: 侧面在底面内的射影为底面
3??SBAcosSAB?. 中易得在36?cos?SBC?CBA??SBA?cos?SBCcoscos又. 3
SC?3SBC?.
在中由余弦定理得?AO?ABCDBC?SOBCOAOSOSO?是记则的中点为,连接底面、,(如图1),SAABCD内的射影.
在底面BO?245??ABO?2AB?AO??ABOBO.
,中在,,SA?BC.
由三垂线定理得AEFEEF、AC、BCSE?SF?AB,连接:,作、垂足分别为(如图3). 证法七???SEABCSBCD面底,底侧面面DBCA.
?EAEFABCDSFSA内的、、在底面分别是AB?EF.
且射影,ABFABCSB?SA?中在的由中点,得是2?2BC45ABC???2AB?ACAB?,,,,
E??EFBC?BCACAE.
的中点是,∥.从而BCSA?.
由三垂线定理得FAEEEF、AC、BC,?SFABSE?侧面连接,、如图(垂足分别为作:证法八3), ?ABCDABCD?SESBC?.
,底面底面?AB?SAABCDEFEFEASF.
在底面且、内的射影、,分别是45??ABCBC?AE??BF??SABBF?1?ABEAF?EF1 ,在中,中在, BCSA?.
由三垂线定理得45?ABC?2AB?ADESEBBE?得,垂足为由,连接,(如图证法九:过作4),
2BE?AE?,
CSB?BE?BC面底侧面又,?SB?BE?ABCBE?SBC.
侧面,.5?SE SAERt??SBE中在在中,AE?SA2AE?5,SE?SA?3,.
,所以?BCAEBC?SA.
∥又,AOBCSSO?O.
作连接, 过,垂足为证法十:SBABCDAOBOSASBC?ABCDSO?在底面,分别是由侧面底面、底面、得ABCD内的射影.
?OBOASA?SB?又,45ABC???ABO?是等腰直角又,?OBOA?.
, 三角形x OBOAO, 为, 为坐标原点轴正方向以z OSy建立空间直为,轴正方向, 为轴正方向则5),标系(如图角坐2,0)(0,2?1),CB(0,?SA2,0),S(0,0,1)?(?2,0,BA(2,0,0),(0,2,0),C,, 0??SACB?BCSA?.
,3??SBAcosSAB?. 证法十一中易得: 在36??cos?SBCCBASBCcos??cos?SBA?cos又. 3BC?BA)BC?SBBCSB?SABC?(?BA
ABCBCcos?BA??SBBCcos?SBC?
262?22???23???20?32?SA?BC.
ABCD中形四边:在平行十证法二
2?2BC45ABC??DCACAB??2?.,,,x CA、CDy轴正方向建立空间分别以为轴正方向、6). (如图直角坐标系(0,0,0)C(?2,2,0),(2,0,0),DA(0,2,0),B又则
45??BCA?BC?SABCDABCDSBC?,. 在底面又内的射影在底面,上侧面,1?x?
3?SA?SB)xx?,,zS(2,2,0)??),CB(1??AS?(1,?,1. 得.可设由,?1?z?0?AS?CB?BC?SA.
,。