北京四中高考数学总复习 三角函数的性质及其应用(提高)知识梳理教案

【考纲要求】

1、了解函数sin()y A x ωϕ=+的物理意义；能画出sin()y A x ωϕ=+的图象，了解参数A ，

ω，ϕ对函数图象变化的影响.

2、了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.

【知识网络】

【考点梳理】

考点一、函数sin()y A x ωϕ=+(0A >,0ω>)的图象的作法 1.五点作图法：

作sin()y A x ωϕ=+的简图时，常常用五点法，五点的取法是设t x ωϕ=+，由t 取0、2π

、

π、3

2π

、2π来求相应的x 值及对应的y 值，再描点作图。

2．图象变换法：

（1）振幅变换:把sin y x =的图象上各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0

（2）相位变换:把sin y A x =的图象上所有点向左(ϕ>0)或向右(ϕ<0)平行移动|ϕ|个单位，得到sin()y A x ϕ=+的图象；

（3）周期变换:把sin()y A x ϕ=+的图象上各点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的

ω

1

倍（纵坐标不变），可得到sin()y A x ωϕ=+的图象.

（4）若要作sin()y A x b ϕ=++，可将sin()y A x ϕ=+的图象向上(0)b >或向下(0)b <平移b 个单位，可得到sin()y A x b ϕ=++的图象．记忆方法仍为“左加右减，上正下负，纵伸(A>1)横缩(ω>1)”。 要点诠释：

由sin y x =的图象利用图象变换作函数sin()y A x ωϕ=+的图象时要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x 轴的伸缩量有区别.

考点二、sin()y A x ωϕ=+的解析式 1. sin()y A x ωϕ=+的解析式

sin()y A x ωϕ=+(0A >, 0ω>)，[0,)x ∈+∞表示一个振动量时，A 叫做振幅，

2T π

ω

=叫做周期，12f T ω

π

=

=

叫做频率，x ωϕ+叫做相位，0x =时的相位ϕ称为初相. 2. 根据图象求sin()y A x ωϕ=+的解析式

求法为待定系数法，突破口是找准五点法中的第一零点(,0)ϕ

ω

-. 求解步骤是先由图象求出A 与T ，再由2T

π

ω=算出ω，然后将第一零点代入0x ωϕ+=求出ϕ.

要点诠释：

若图象未标明第一零点，就只能找特殊点用待定系数法计算. 考点三、函数sin()y A x ωϕ=+(0A >,0ω>)的性质 1. 定义域: x R ∈,值域:y ∈[-A,A]. 2．周期性: 2T π

ω

=

3. 奇偶性:2

k π

ϕπ=+

时为偶函数；k ϕπ=时为奇函数，k Z ∈.

4．单调性:单调增区间:[

ω

ϕπ

πω

ϕπ

π-+--

22,

22k k ] , k Z ∈ 单调减区间:[

ω

ϕπ

πω

ϕπ

π-+-+

232,

22k k ] , k Z ∈ 5. 对称性:对称中心(

ωϕ

π-k ,0)， k Z ∈；对称轴x=

ω

ϕ

π

π-+

2

k ，k Z ∈

6．最值: 当22

x k π

ωϕπ+=+

即22

k x π

πϕ

ω

+

-=

时，y 取最大值 A

当22

x k π

ωϕπ+=-即22

k x π

πϕ

ω

-

-=

时，y 取最小值-A ．(k Z ∈).

要点诠释：

①求周期、单调区间、最值时一般先将函数式化为sin()y A x ωϕ=+，要特别注意A 、ω的正负，再把x ωϕ+看作一个整体，并结合基本三角函数的图象和性质解出即可；利用单调性比较三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； ②整体代换和数形结合是三角函数学习中重要的思想方法，在学习中，很多三角函数的问题都是通过整体代换并观察基本三角函数的图象而得到的。 【典型例题】

类型一、求函数sin()y A x ωϕ=+(0A ≠,0ω>)的单调区间 例1.求函数的单调递减区间. 【解析】令即

由此得2kπ﹣π＜2x ﹣

＜

2kπ，k Z ∈， 解得k π﹣

＜x ＜k π+

，k Z ∈，①

由复合函数的单调性知，求数

的单调递减区间，即是求

=﹣sin （2x ﹣

）单调递减区间， 令2kπ﹣＜2x ﹣

＜2kπ+

，

解得kπ﹣

＜x ＜kπ+

，k Z ∈，②

①②取交集可得函数

的单调递减区间为(,)()6

12

k k k Z π

π

ππ-

+

∈

【总结升华】熟练掌握函数sin()y A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的单调区间的确定及复合函数的单调区间的确定的方法.三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，然后通过同解变形或利用数形结合的方法来求解. 举一反三：

【变式1】求下列函数的单调递增区间. （1）2

sin()4312y x π=

-，（2）|sin()|4y x π=-+，（3）)tan(33

y x π=-.

【解析】