2020年河南省高考数学猜题大联考试卷(理科)(三)
河南郑州市2020届高三第三次统一考试数学(理科)试题 (解析版)
2020年高考数学三诊试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3} 2．若复数z满足（z﹣1）i＝3+i（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．3 B．3i C．﹣3 D．﹣3i3．已知角α（0≤α＜2π）终边上一点的坐标为(sin7π6，cos7π6)，则α＝（）A．5π6B．7π6C．4π3D．5π34．各项均不相等的等差数列{a n}的前5项的和S5＝﹣5，且a3，a4，a6成等比数列，则a7＝（）A．﹣14 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣15．设a、b、c依次表示函数f(x)=x12−x+1，g(x)=log12x﹣x+1，h(x)=(12)x−x+1的零点，则a、b、c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜c＜a6．已知α是给定的平面，设不在α内的任意两点M和N所在的直线为l，则下列命题正确的是（）A．在α内存在直线与直线l相交B．在α内存在直线与直线l异面C．在α内存在直线与直线l平行D．存在过直线l的平面与α平行7．（x2﹣x﹣2）3的展开式中，含x4的项的系数是（）8．如图是某一无上盖几何体的三视图，则该几何体的表面积等于（）A．63πB．57πC．48πD．39π9．有编号分别为1，2，3，4的4个红球和4个黑球，随机取出3个，则取出的球的编号互不相同的概率是（）A．47B．37C．27D．1710．设双曲线C：x 2a −y2b=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，与圆x2+y2＝a2相切的直线PF1交双曲线C于点P（P在第一象限），且|PF2|＝|F1F2|，则双曲线C的离心率为（）A．103B．53C．32D．5411．已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω＞14，x∈R)，若f（x）的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(π2，π)，则ω的取值范围是（）A．[12，54]B．[12，2]C．(14，54]D．(14，2]12．设函数f（x）＝ln（x+k）+2，函数y＝g（x）的图象与y=e1−x2+1的图象关于直线x＝1对称．若实数x1，x2满足f（x1）＝g（x2），且2x1﹣x2有极小值﹣2，则实数k 的值是（）二、填空题：13．已知|a →|＝1，|b →|＝2，且a →•（b →−a →）＝﹣2，则向量a →与b →的夹角为 ．14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2a n ﹣S n ＝1（n ∈N *），则a 4＝ ． 15．焦点为F 的抛物线C ：x 2＝4y 的准线与坐标轴交于点A ，点P 在抛物线C 上，则|PA||PF|的最大值为 ．16．如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AB ＝2AD ＝2，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE ，设M 为线段A 1C 的中点．则在△ADE 翻折过程中，给出如下结论：①当A 1不在平面ABCD 内时，MB ∥平面A 1DE ； ②存在某个位置，使得DE ⊥A 1C ； ③线段BM 的长是定值；④当三棱锥C ﹣A 1DE 体积最大时，其外接球的表面积为13π3．其中，所有正确结论的序号是 ．（请将所有正确结论的序号都填上）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题： 17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B ＝（4c ﹣b ）cos A ． （Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）若b ＝4，点M 在线段BC 上，且AB →+AC →=2AM →，|AM →|=√6，求△ABC 的面积．18．某公司为提高市场销售业绩，促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价x （单位：元/件）及相应月销量y （单位：万件），对近5个月的月销售单价x i 和月销售量y i （i ＝1，2，3，4，5）的数据进行了统计，得到如表数据： 月销售单价x i （元/件） 9 9.5 10 10.5 11 月销售量y i （万件）1110865（Ⅰ）建立y 关于x 的回归直线方程；（Ⅱ）该公司开展促销活动，当该产品月销售单价为7元/件时，其月销售量达到18万件，若由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过0.5万件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问：（Ⅰ）中得到的回归直线方程是否理想？（Ⅲ）根据（Ⅰ）的结果，若该产品成本是5元/件，月销售单价x 为何值时（销售单价不超过11元/件），公司月利润的预计值最大？参考公式：回归直线方程y ̂=b ̂x +a，其中b ̂=∑ n i=1x i y i −nxy ∑ ni=1x i2−nx2，a ̂=y =b ̂x ． 参考数据：∑ 5i=1x i y i =392，∑ 5i=1x i 2＝502.5．19．如图，已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的所有棱长均为2，∠B 1BA =π3． （Ⅰ）证明：B 1C ⊥AC 1；（Ⅱ）若平面ABB 1A 1⊥平面ABC ，M 为A 1C 1的中点，求B 1C 与平面AB 1M 所成角的正弦值．20．已知函数f（x）＝（a+2）x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）设g（x）＝x2−2x3，若∀x1∈（0，1]，∃x2∈[0，1]，使得f（x1）≥g（x2）3成立，求实数a的取值范围．21．点M（x，y）与定点F（1，0）的距离和它到直线x＝4的距离的比是常数1．2（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过坐标原点O的直线交轨迹C于A，B两点，轨迹C上异于A，B的点P满足．直线AP的斜率为−32（ⅰ）求直线BP的斜率；（ⅱ）求△ABP面积的最大值．（二）选考题：[选修4-4：坐标系与参数方程]（φ为参数），将曲线C1 22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=1+cosφy=sinφ向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到曲线C2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1、C2的极坐标方程；（Ⅱ）射线OM：θ＝α（ρ≥0）分别与曲线C1、C2交于点A，B（A，B均异于坐标原点O），若|AB|=√2，求α的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x+b|（a＞0，b＞0）．（Ⅰ）当a＝b＝1时，解不等式f（x）＜x+2；（Ⅱ）若f（x）的值域为[2，+∞），证明：1a+1+1b+1+1ab≥2．参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|1＜x＜2} D．{x|2＜x＜3} 【分析】先解出A＝{x|﹣1＜x＜2}，然后进行交集的运算即可．解：A＝{x|﹣1＜x＜2}；∴A∩B＝{x|1＜x＜2}．故选：C．【点评】考查描述法表示集合的概念，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．2．若复数z满足（z﹣1）i＝3+i（i为虚数单位），则z的虚部为（）A．3 B．3i C．﹣3 D．﹣3i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由（z﹣1）i＝3+i，得z=3+i i+1=(3+i)(−i)−i2+1=2−3i，∴z=2+3i．则z的虚部为3．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．已知角α（0≤α＜2π）终边上一点的坐标为(sin7π6，cos7π6)，则α＝（）A．5π6B．7π6C．4π3D．5π3【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得α的范围以及正切值，可得α的值．解：角α（0≤α＜2π）终边上一点的坐标为(sin7π6，cos7π6)，α为第三象限角，则tanα=cos7π6sin7π6=cot7π6=cotπ6=√3，∴α＝π+π3=4π3，故选：C．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．4．各项均不相等的等差数列{a n}的前5项的和S5＝﹣5，且a3，a4，a6成等比数列，则a7＝（）A．﹣14 B．﹣5 C．﹣4 D．﹣1【分析】设等差数列{a n}的公差为d，d≠0，运用等差数列的求和公式，以及等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，化简整理，解方程可得首项和公差，即可得到所求值．解：设等差数列{a n}的公差为d，d≠0，由S5＝﹣5，可得5a1+12×5×4d＝﹣5，即a1+2d＝﹣1，①由a3，a4，a6成等比数列，可得a42＝a3a6，即（a1+3d）2＝（a1+2d）（a1+5d），化为a1d+d2＝0，由d≠0，可得a1＝﹣d，②由①②解得d＝﹣1，a1＝1，则a7＝1+（7﹣1）×（﹣1）＝﹣5．故选：B．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．5．设a、b、c依次表示函数f(x)=x12−x+1，g(x)=log12x﹣x+1，h(x)=(12)x−x+1的零点，则a、b、c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜c＜a【分析】先确定三个函数在定义域上是增函数，再利用零点存在定理，求出三个函数零点的范围，从而比较大小，即可得解．解：函数f(x)=x12−x+1，g(x)=log12x﹣x+1，h(x)=(12)x−x+1的零点，就是方程x12=x﹣1，log12x＝x﹣1，(12)x=x﹣1方程的的解，在坐标系中画出函数y=x12，y=log12x，y=(12)x，与y＝x﹣1的图象，如图：可得b＜c＜a，故选：D．【点评】本题主要考查函数零点的大小判断，解题时注意函数的零点的灵活运用，考查数形结合的应用，属于中档题．6．已知α是给定的平面，设不在α内的任意两点M和N所在的直线为l，则下列命题正确的是（）A．在α内存在直线与直线l相交B．在α内存在直线与直线l异面C．在α内存在直线与直线l平行D．存在过直线l的平面与α平行【分析】采用举反例方式，逐一排除，从而可得到正确答案．解：由题可知，直线l和平面α要么相交，要么平行．当平面α与直线l平行时，在α内就不存在直线与直线l相交，则A错；当平面α与直线l相交时，在α内就不存在直线与直线l平行，则C错；当平面α与直线l相交时，过直线l的平面与平面α都会相交，则D错；不论直线l和平面α相交还是平行，都会在α内存在直线与直线l异面，则B正确．故选：B．【点评】本题主要考查了点线面位置关系，考查了学生的直观想象能力，属于基础题．7．（x2﹣x﹣2）3的展开式中，含x4的项的系数是（）A．9 B．﹣9 C．3 D．﹣3【分析】根据（x2﹣x﹣2）3＝（x﹣2）3•（x+1）3＝（x3﹣6x2+12x﹣8）（x3+3x2+3x+1），求得含x4的项的系数．解：∵（x2﹣x﹣2）3＝（x﹣2）3•（x+1）3＝（x3﹣6x2+12x﹣8）（x3+3x2+3x+1），含x4的项的系数为3﹣6×3+12＝﹣3，故选：D．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．8．如图是某一无上盖几何体的三视图，则该几何体的表面积等于（）A．63πB．57πC．48πD．39π【分析】直接利用三视图，判断几何体的构成，进一步利用几何体的表面积公式求出结果．解：根据几何体的三视图：该几何体是由底面半径为3，高为4的圆柱，挖去一个底面半径为3，高为4的倒圆锥构成的几何体．所以：S＝32•π+6π×4+12×6π×5＝48π．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：三视图的应用，几何体的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．9．有编号分别为1，2，3，4的4个红球和4个黑球，随机取出3个，则取出的球的编号互不相同的概率是（）A．47B．37C．27D．17【分析】显然取法总数为C83，要取出的球的编号互不相同可先选编号数C43，再定颜色有C21C21C21，则有C43C21C21C21种取法，相比即可．解：从8个球中随机取出3个的取法有C83=56种；其中取出的球的编号互不相同的取法有C43C21C21C21=32种，则取出的球的编号互不相同的概率P=3256=47．故选：A．【点评】本题考查乘法原理，组合数公式与概率相结合，属于基础题．10．设双曲线C：x 2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，与圆x2+y2＝a2相切的直线PF1交双曲线C于点P（P在第一象限），且|PF2|＝|F1F2|，则双曲线C的离心率为（）A．103B．53C．32D．54【分析】设直线PF1与圆x2+y2＝a2相切于点M，取PF1的中点N，连接NF2，由切线的性质和等腰三角形的三线合一，运用中位线定理和勾股定理可得|PF1|＝4b，再由双曲线的定义和a，b，c的关系及离心率公式计算即可得到结果．解：设直线PF1与圆x2+y2＝a2相切于点M，则|OM|＝a，取PF1的中点N，连接NF2，由于|PF2|＝|F1F2|＝2c，则NF2⊥PF1，|NP|＝|NF1|，由|NF2|＝2|OM|＝2a，则|NP|=√4c2−4a2=2b，即有|PF1|＝4b，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|＝2a，即4b﹣2c＝2a，即2b＝a+c，即4b2＝（c+a）2＝4（c2﹣a2），整理得3c＝5a，则e=ca=53．故选：B．【点评】本题主要考查圆的切线性质、等腰三角形的三线合一、中位线定理、勾股定理及双曲线的定义、离心率计算，属于中档题．11．已知函数f(x)=sinωx +cosωx(ω＞14，x ∈R)，若f （x ）的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(π2，π)，则ω的取值范围是（ ）A ．[12，54]B ．[12，2]C ．(14，54]D ．(14，2]【分析】先利用辅助角公式，将函数f （x ）化简为f(x)=sinωx +cosωx =√2sin(ωx +π4)，观察选项，可以找两个特殊值ω＝2和ω=13，进行试验排除．具体做法是，将ω＝2和ω=13分别代入函数f （x ），求出对称轴，给k 赋值，判断对称轴是否能在区间(π2，π)即可得解．解：f(x)=sinωx +cosωx =√2sin(ωx +π4)，∵f （x ）的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(π2，π)，∴T2=πω≥π−π2=π2，∴ω≤2，即14＜ω≤2，若ω＝2，则f(x)=√2sin(2x +π4)，令2x +π4=π2+kπ，k ∈Z ，得x =π8+kπ2，k ∈Z ， 当k ＝1时，对称轴为x =5π8∈(π2，π)，不符合题意，故ω≠2，排除选项B 和D ，若ω=13，则f(x)=√2sin(13x+π4)，令13x+π4=π2+kπ，k∈Z，得x=3π4+3kπ，k∈Z，当k＝0时，对称轴x=3π4∈(π2，π)，不符合题意，故ω≠13，排除选项C．故选：A．【点评】本题考查辅助角公式和正弦函数的对称性，考查学生的逻辑推理能力、分析能力和运算能力，属于中档题．12．设函数f（x）＝ln（x+k）+2，函数y＝g（x）的图象与y=e1−x2+1的图象关于直线x＝1对称．若实数x1，x2满足f（x1）＝g（x2），且2x1﹣x2有极小值﹣2，则实数k 的值是（）A．3 B．2 C．1 D．﹣1【分析】先由对称性求出g（x），然后由已知可设f（x1）＝g（x2）＝a，则分别表示x1＝e a﹣2﹣k，x2＝2ln（a﹣1），代入后结合导数及极值存在的条件可求．解：由题意可得g(x)=e x2+1．设f（x1）＝g（x2）＝a，则x1＝e a﹣2﹣k，x2＝2ln（a﹣1），∴2x1﹣x2＝2e a﹣2﹣2ln（a﹣1）﹣2k，令h（a）＝2e a﹣2﹣2ln（a﹣1）﹣2k，则h′(a)=2e a−2−2a−1=2（e a−2−1a−1）在（1，+∞）上单调递增且h′（2）＝0，故当a＞2时，h′（a）＞0，h（a）单调递增，当1＜a＜2时，h′（a）＜0，h（a）单调递减，故当a＝2时，h（a）取得极小值h（2）＝2﹣2k，由题意可知2﹣2k ＝﹣2， 故k ＝2． 故选：B ．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数极值存在的条件，解题的关键是利用已知表示出极值的条件． 二、填空题：13．已知|a →|＝1，|b →|＝2，且a →•（b →−a →）＝﹣2，则向量a →与b →的夹角为2π3．【分析】根据题意，设向量a →与b →的夹角为θ，由数量积的运算性质可得a →•（b →−a →）=a →•b →−a →2＝﹣2，变形解可得cos θ的值，结合θ的范围分析可得答案．解：根据题意，设向量a →与b →的夹角为θ，若a →•（b →−a →）＝﹣2，则a →•（b →−a →）=a →•b →−a →2＝﹣2， 即2cos θ﹣1＝﹣2，解可得cos θ=−12，又由0≤θ≤π，则θ=2π3； 故答案：2π3．【点评】本题考查向量数量积的计算，注意向量数量积的计算公式，属于基础题． 14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2a n ﹣S n ＝1（n ∈N *），则a 4＝ 8 ． 【分析】直接利用数列的递推关系式，逐步求解数列的项即可． 解：数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2a n ﹣S n ＝1（n ∈N *），n ＝1时，2a 1﹣S 1＝1．可得a 1＝1，n ＝2时，2a 2﹣S 2＝1，即2a 2﹣a 2﹣a 1＝1，解得a 2＝2，n ＝3时，2a 3﹣S 3＝1，即2a 3﹣a 3﹣a 2﹣a 1＝1，解得a 3＝4， n ＝4时，2a 4﹣S 4＝1，即2a 4﹣a 4﹣a 3﹣a 2﹣a 1＝1，解得a 4＝8，故答案为：8．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列的项的求法，是基本知识的考查． 15．焦点为F 的抛物线C ：x 2＝4y 的准线与坐标轴交于点A ，点P 在抛物线C 上，则|PA||PF|的最大值为 √2 ．【分析】根据题意作图，结合抛物线性质可得|PA||PF|=1sin ∠PAM，则当∠PAM 最小时，则|PA||PF|最大，即当PA 和抛物线相切时，|PA||PF|最大，设P （a ，a 24），利用导数求得斜率求出a 的值即可解：由题意可得，焦点F （0，1），A （0，﹣1），准线方程为y ＝﹣1 过点P 作PM 垂直于准线，M 为垂足， 由抛物线的定义可得|PF |＝|PM |， 则|PA||PF|=|PA||PM|=1sin ∠PAM，∠PAM 为锐角．故当∠PAM 最小时，则|PA||PF|最大，故当PA 和抛物线相切时，|PA||PF|最大可设切点P （a ，a 24），则PA 的斜率为k =14a 2−1a，而函数y =x 24的导数为y ′=x2，则有a2=14a 2−1a，解得a ＝±2，可得P （2，1）或（﹣2，1），则|PM |＝2，|PA |＝2√2， 即有sin ∠PAM =|PM||PA|=√22， 则|PA||PF|=√2，故答案为：√2【点评】本题主要考查抛物线的定义、性质的简单应用，直线的斜率公式、利用数形结合进行转化是解决本题的关键．考查学生的计算能力，属于中档题．16．如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝60°，AB ＝2AD ＝2，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE ，设M 为线段A 1C 的中点．则在△ADE 翻折过程中，给出如下结论：①当A 1不在平面ABCD 内时，MB ∥平面A 1DE ； ②存在某个位置，使得DE ⊥A 1C ； ③线段BM 的长是定值；④当三棱锥C ﹣A 1DE 体积最大时，其外接球的表面积为13π3．其中，所有正确结论的序号是 ①③④ ．（请将所有正确结论的序号都填上）【分析】①取DC的中点N，连接NM、NB，可得MN∥A1D，NB∥DE，且MN、NB 和∠MNB均为定值，由平面与平面平行的判定可得面MNB∥面A1DE，则MB∥面A1DE；②用反证法，假设存在某个位置，使DE⊥A1C，在△CDE中，由勾股定理易知，CE⊥DE，再由线面垂直的判定定理可知，DE⊥面A1CE，所以DE⊥A1E，与已知相矛盾；③由①可知MN，NB，∠MNB，在△MNB中，由余弦定理可知，MB2＝MN2+NB2﹣2MN•NB cos∠MNB，计算得线段BM的长是定值；④当三棱锥C﹣A1DE体积最大时，平面A1DE⊥平面CDE，又CE⊥DE，得CE⊥平面A1DE，设三棱锥C﹣A1DE的外接球的球心为O，由勾股定理求外接球的半径OE，．代入球的表面积公式可得外接球的表面积为13π3解：如图，∵AB＝2AD＝2，E为边AB的中点，∠BAD＝60°，∴△ADE（A1DE）为等边三角形，则DE＝1．①取DC的中点N，连接NM、NB，则MN∥A1D，且MN=1=A1D=12；2NB∥DE，且NB＝DE＝1，∵MN⊄平面A1DE，A1D⊂平面A1DE，则MN∥平面A1DE，同理NB∥平面A1DE，又NM∩NB＝N，∴平面NMB∥平面A1DE，则MB∥平面A1DE，故①正确；②假设存在某个位置，使DE⊥A1C．∵DE＝1，可得CE=√3，∴CE2+DE2＝CD2，即CE⊥DE，∵A1C∩CE＝C，∴DE⊥面A1CE，∵A1E⊂面A1CE，∴DE⊥A1E，与已知∠DA1E＝60°矛盾，故②错误；，NB＝1．③由①知，∠MNB＝∠A1DE＝60°，MN=12由余弦定理得，MB2＝MN2+NB2﹣2MN•NB cos∠MNB=1+1−2×12×1×12=34，4，故③正确；∴BM的长为定值√32当三棱锥C﹣A1DE体积最大时，平面A1DE⊥平面CDE，又CE⊥DE，∴CE⊥平面A1DE，设三棱锥C﹣A1DE的外接球的球心为O，则外接球的半径OE=(3)2+(32)2=√1312，3∴外接球的表面积S＝4π×(√13)2=13π3，故④正确．12∴正确命题的序号是①③④．故答案为：①③④．【点评】本题考查空间中线面的位置关系，理清翻折前后不变的数量关系和位置关系，以及熟练运用线面平行或垂直的判定定理与性质定理是解题的关键，考查学生的空间立体感和逻辑推理能力，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos B＝（4c﹣b）cos A．（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）若b＝4，点M在线段BC上，且AB→+AC→=2AM→，|AM→|=√6，求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin C＝4sin C cos A，结合在△ABC中，sin C≠0，可求cos A的值．（Ⅱ）解法一：由AB→+AC→=2AM→，两边平方，利用余弦定理可解得c的值，利用同角三角函数基本关系式可求sin A的值，进而根据三角形的面积公式即可求解；解法二：延长BA到N，使AB＝AN，连接CN，由AB→+AC→=2AM→，M点为BC线段，利用余弦定理中点，|AM→|=√6，可求CN=2√6，cos∠CAN=cos(π−∠A)=−14可求c的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．解：（Ⅰ）因为a cos B＝（4c﹣b）cos A，由正弦定理得：sin A cos B＝（4sin C﹣sin B）cos A，即sin A cos B+sin B cos A＝4sin C cos A，可得sin C＝4sin C cos A，在△ABC中，sin C≠0，．所以cosA=14（Ⅱ）解法一：∵AB→+AC→=2AM→，两边平方得：AB→2+2AB→⋅AC→+AC→2=4AM→2，，由b＝4，|AM→|=√6，cosA=14可得：c2+2c⋅4⋅1+16=4×6，解得c＝2或c＝﹣4（舍）．4，又sinA=√1−cos2A=√154所以△ABC的面积S=12×4×2×√154=√15．解法二：延长BA到N，使AB＝AN，连接CN，∵AB→+AC→=2AM→，M点为BC线段中点，|AM→|=√6，∴CN=2√6，又∵b＝4，cosA=14，cos∠CAN=cos(π−∠A)=−14，∴CN2＝AC2+AN2﹣2AC•AN•cos∠CAN，即24=16+c2−2c⋅4⋅(−14)，解得：c＝2或c＝﹣4（舍），又sinA=√1−cos2A=√154，∴△ABC的面积S=12×4×2×√154=√15．【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式以及平面向量的运算在解三角形中的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．18．某公司为提高市场销售业绩，促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价x （单位：元/件）及相应月销量y（单位：万件），对近5个月的月销售单价x i和月销售量y i（i＝1，2，3，4，5）的数据进行了统计，得到如表数据：月销售单价x i（元/件）99.51010.511月销售量y i （万件） 11 10 8 6 5（Ⅰ）建立y 关于x 的回归直线方程；（Ⅱ）该公司开展促销活动，当该产品月销售单价为7元/件时，其月销售量达到18万件，若由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过0.5万件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问：（Ⅰ）中得到的回归直线方程是否理想？（Ⅲ）根据（Ⅰ）的结果，若该产品成本是5元/件，月销售单价x 为何值时（销售单价不超过11元/件），公司月利润的预计值最大？参考公式：回归直线方程y ̂=b ̂x +a，其中b ̂=∑ n i=1x i y i −nxy ∑ ni=1x i2−nx2，a ̂=y =b ̂x ． 参考数据：∑ 5i=1x i y i =392，∑ 5i=1x i 2＝502.5．【分析】（Ⅰ）求出样本中心，求出回归直线方程的斜率，然后求解y 关于x 的回归直线方程；（Ⅱ）利用过后直线方程，求出当该产品月销售单价为7元/件时，求出预测数据，通过判断由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值说法超过0.5万件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，说明（Ⅰ）中得到的回归直线方程是否理想．（Ⅲ）设销售利润为M ，则M ＝（x ﹣5）（﹣3.2x +40）（5＜x ≤11）M ＝﹣3.2x 2+56x ﹣200，求解x ＝8.75时，M 取最大值，得到结果．解：（Ⅰ）因为x =15(11+10.5+10+9.5+9)=10，y =15(5+6+8+10+11)=8． 所以b ̂=392−5×10×8502.5−5×102=−3.2，所以a ̂=8−(−3.2)×10=40，所以y 关于x 的回归直线方程为：y ̂=−3.2x +40． （Ⅱ）当x ＝7时，y ̂=−3.2×7+40=17.6，则|17.6﹣18|＝0.4＜0.5，所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的．（Ⅲ）设销售利润为M，则M＝（x﹣5）（﹣3.2x+40）（5＜x≤11）M＝﹣3.2x2+56x ﹣200，所以x＝8.75时，M取最大值，所以该产品单价定为8.75元时，公司才能获得最大利润．【点评】本题考查回归直线方程的求法与应用，考查转化思想以及计算能力，是基本知识的考查．19．如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为2，∠B1BA=π3．（Ⅰ）证明：B1C⊥AC1；（Ⅱ）若平面ABB1A1⊥平面ABC，M为A1C1的中点，求B1C与平面AB1M所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）取AB中点D，连接B1D，CD，BC1．证明B1C⊥BC1．B1D⊥AB，CD⊥AB．得到AB⊥平面B1CD．推出AB⊥B1C．即可证明B1C⊥平面ABC1，得到B1C⊥AC1．（Ⅱ）说明DB，DB1，DC两两垂直，以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，DB1为z轴，建立空间直角坐标系．求出平面AB1M的法向量，利用空间向量的数量积求解B1C与平面AB1M所成的角的正弦值即可．【解答】证明：（Ⅰ）取AB中点D，连接B1D，CD，BC1．∵三棱柱的所有棱长均为2，∠B1BA=π3，∴△ABC 和△ABB 1是边长为2的等边三角形，且B 1C ⊥BC 1． ∴B 1D ⊥AB ，CD ⊥AB ．∵B 1D ，CD ⊂平面B 1CD ，B 1D ∩CD ＝D ，∴AB ⊥平面B 1CD ． ∵B 1C ⊂平面B 1CD ，∴AB ⊥B 1C ．∵AB ，BC 1⊂平面ABC 1，AB ∩BC 1＝B ，∴B 1C ⊥平面ABC 1， ∴B 1C ⊥AC 1．（Ⅱ）∵平面ABB 1A 1⊥平面ABC ，且交线为AB ， 由（Ⅰ）知B 1D ⊥AB ，∴B 1D ⊥平面ABC ．则DB ，DB 1，DC 两两垂直，则以D 为原点，DB 为x 轴，DC 为y 轴，DB 1为z 轴， 建立空间直角坐标系．则D （0，0，0），A （﹣1，0，0），B 1(0，0，√3)，C(0，√3，0)，C 1(−1，√3，√3)，A 1(−2，0，√3)∵M 为A 1C 1的中点，∴M(−32，√32，√3)，∴B 1C →=(0，√3，−√3)，AB 1→=(1，0，√3)，AM →=(−12，√32，√3)，设平面AB 1M 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{AB 1→⋅n →=x +√3z =0AM →⋅n →=−12x +√32y +√3z =0，取z ＝1，得n →=(−√3，−3，1)． 设B 1C 与平面AB 1M 所成的角为α，则sinα=|B 1C →⋅n →||B 1C →|⋅|n →|=4√3√6⋅√13=2√2613．∴B 1C 与平面AB 1M 所成角的正弦值为2√2613．【点评】本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力，是中档题． 20．已知函数f （x ）＝（a +2）x 2+ax ﹣lnx （a ∈一、选择题）． （Ⅰ）当a ＝0时，求曲线y ＝f （x ）在（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）设g （x ）＝x 2−23x 3，若∀x 1∈（0，1]，∃x 2∈[0，1]，使得f （x 1）≥g （x 2）成立，求实数a 的取值范围．【分析】（Ⅰ）当a ＝0时，求出f ′(x)=4x −1x，求出切线的斜率以及切点坐标，然后求解切线方程．（Ⅱ）问题等价于∀x 1∈（0，1]，∃x 2∈[0，1]，f （x 1）min ≥g （x 2）min ．求出g '（x ）＝2x ﹣2x 2，利用导函数的符号判断函数的单调性，求解函数的最小值，同理求解f （x ）min ，利用转化不等式，构造函数，转化求解即可．解：（Ⅰ）当a ＝0时，f （x ）＝2x 2﹣lnx ，f ′(x)=4x −1x，则f （1）＝2，f '（1）＝3，故曲线y ＝f （x ）在（1，f （1））处的切线方程为3x ﹣y ﹣1＝0．（Ⅱ）问题等价于∀x 1∈（0，1]，∃x 2∈[0，1]，f （x 1）min ≥g （x 2）min ． 由g(x)=x 2−23x 3得g '（x ）＝2x ﹣2x 2，由g '（x ）＝2x ﹣2x 2≥0得0≤x ≤1，所以在[0，1]上，g（x）是增函数，故g（x）min＝g（0）＝0．f（x）定义域为（0，+∞），而f′(x)=2(a+2)x+a−1x =2(a+2)x2+a−1xx=(2x_1)[(a+2)x−1]x．当a≤﹣2时，f'（x）＜0恒成立，f（x）在（0，1]上是减函数，所以f（x）min＝f（1）＝2（a+1）≥0⇒a≥﹣1，不成立；当a＞﹣2时，由f'（x）＜0，得0＜x＜1a+2；由f'（x）＞0，得x＞1a+2，所以f（x）在(0，1a+2)单调递减，在(1a+2，+∞)单调递减．若1a+2＞1，即﹣2＜a＜﹣1时，f（x）在（0，1]是减函数，所以f（x）min＝f（1）＝2（a+1）≥0⇒a≥﹣1，不成立；若0＜1a+2≤1，即a≥﹣1时，f（x）在x=1a+2处取得最小值，f(x)min=f(1a+2)=1+ ln(a+2)−1a+2，令h(a)=1+ln(a+2)−1a+2(a≥−1)，则h′(a)=1a+2+1(a+2)2=a+3(a+2)2＞0在[﹣1，+∞）上恒成立，所以h（a）在[﹣1，+∞）是增函数且h（a）min＝h（﹣1）＝0，此时f(x)min=f(1a+2)≥0成立，满足条件．综上所述，a≥﹣1．【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的单调性，函数的最值的求法，转化思想的应用，是难题．21．点M（x，y）与定点F（1，0）的距离和它到直线x＝4的距离的比是常数12．（Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过坐标原点O 的直线交轨迹C 于A ，B 两点，轨迹C 上异于A ，B 的点P 满足直线AP 的斜率为−32． （ⅰ）求直线BP 的斜率； （ⅱ）求△ABP 面积的最大值．【分析】（Ⅰ）利用点M （x ，y ）与定点F （1，0）的距离和它到直线x ＝4的距离的比是常数12，列出方程化简求解即可．（Ⅱ）（ⅰ）设点A （x 1，y 1），则点B （﹣x 1，﹣y 1），满足x 124+y 123=1，设点P （x 2，y 2），满足x 224+y 223=1，利用平方差法求解AP 的斜率，BP 的斜率即可．（ⅱ）说明S △ABP ＝2S △OAP ，设直线AP ：y =−32x +m ，代入曲线C ：x 24+y 23=1化简得：3x 2﹣3mx +m 2﹣3＝0，设A （x 1，y 1），P （x 2，y 2），利用韦达定理、弦长公式以及点到直线的距离公式，转化求解三角形面积的表达式，然后求解最值即可． 解：（Ⅰ）由已知得√(x−1)2+y 2|x−4|=12，两边平方并化简得3x 2+4y 2＝12，即点M 的轨迹C 的方程为：x 24+y 23=1．（Ⅱ）（ⅰ）设点A （x 1，y 1），则点B （﹣x 1，﹣y 1），满足x 124+y 123=1，①设点P （x 2，y 2），满足x 224+y 223=1，②由①﹣②得：(x 1−x 2)(x 1+x 2)4+(y 1−y 2)(y 1+y 2)3=0，∵k AP =y 1−y 2x 1−x 2−=−32，k BP =y 1+y2x 1+x 2，∴k BP =y 1+y2x 1+x 2=12．（ⅱ）∵A，B关于原点对称，∴S△ABP＝2S△OAP，设直线AP：y=−32x+m，代入曲线C：x24+y23=1化简得：3x2﹣3mx+m2﹣3＝0，设A（x1，y1），P（x2，y2），由△＞0得：m2＜12，x1+x2＝m，x1x2=m2−33，|AP|=√1+94|x1−x2|=√1+94√(x1+x2)2−4x1x2=√1+94√4−m 23，点O到直线AP的距离d=√1+94，∴S△ABP =2S△OAP=2×12×|AP|⋅d=|m|√4−m23=√4m2−m43，∴S△ABP =√−m43+4m2=√−13(m2−6)2+12，当m2＝6时，∴S△ABP取到最大值2√3．【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，平方差法以及距离公式的应用，三角形面积的最值的求法，是中档题．（二）选考题：[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=1+cosφy=sinφ（φ为参数），将曲线C1向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到曲线C2．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1、C2的极坐标方程；（Ⅱ）射线OM：θ＝α（ρ≥0）分别与曲线C1、C2交于点A，B（A，B均异于坐标原点O），若|AB|=√2，求α的值．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换，及正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（Ⅰ）由题意：{x =1+cosφy =sinφ⇒{x −1=cosφy =sinφ⇒(x −1)2+y 2=1．∵ρ2＝x 2+y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ∴曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ． 因曲线C 1是圆心为（1，0），半径为1的圆， 故曲线C 2的直角坐标方程为x 2+（y ﹣1）2＝1． ∴曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ． （Ⅱ）设A （ρ1，α），B （ρ2，α），则|AB|=|ρ1−ρ2|=2|sinα−cosα|=2√2|sin(α−π4)|=√2． 所以sin(α−π4)=±12，因为2kπ＜α＜2kπ+π2，所以α−π4=2kπ±π6(k ∈Z)．所以α=2kπ+π12(k ∈Z)或α=2kπ+5π12(k ∈Z)．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x ﹣a |+|x +b |（a ＞0，b ＞0）． （Ⅰ）当a ＝b ＝1时，解不等式f （x ）＜x +2； （Ⅱ）若f （x ）的值域为[2，+∞），证明：1a+1+1b+1+1ab≥2．【分析】（Ⅰ）由绝对值的定义分段脱绝对值求解．（Ⅱ）由绝对值不等式求函数f （x ）的值域可确定a +b ＝2，再配凑均值不等式的形式，两次用均值不等式即可证明．解：（Ⅰ）当a＝b＝1时，不等式为|x﹣1|+|x+1|＜x+2，当x＜﹣1时，不等式化为−2x＜x+2⇒x＞−23，此时不等式无解；当﹣1≤x＜1时，不等式化为2＜x+2⇒x＞0，故0＜x＜1；当x≥1时，不等式化为2x＜x+2⇒x＜2，故1≤x＜2．综上可知，不等式的解集为{x|0＜x＜2}．（Ⅱ）f（x）＝|x﹣a|+|x+b|≥|a+b|，当且仅当x﹣a与x+b同号时，f（x）取得最小值|a+b|，∵f（x）的值域为[2，+∞），且a＞0，b＞0，故a+b＝2．故1a+1+1b+1+1ab=14(1a+1+1b+1)[(a+1)+(b+1)]+1ab=14(2+b+1a+1+a+1 b+1)+1ab≥14(2+2√b+1a+1⋅a+1b+1)+(2a+b)2=1+1=2（当且仅当a＝b＝1时取等号）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，利用基本不等式证明不等式，属于中低档题．。
河南省郑州一中2020届高三上学期第三次联考(理数)
河南省郑州一中2020届高三上学期第三次联考数 学（理科）说明：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II 卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟．2．将第Ⅰ卷的答案代表字母和第II 卷的答案填在答题表（答题卡）中．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．己知全集}6,5,4,3,2,1{=U ，集合}5,3,1{=P ，}4,2,1{=Q ，则=Q P C U Y )(( ) A ．}1{B ．}5,3{C ．}6,4,2,1{D ．}5,4,3,2,1{2．在复平面内，复数ii21+=z 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．己知向量m =(a ,-1)，n =(2b -1,3) )0,0(>>b a ，若m ∥n ，则ba 12+的最小值为( ) A ．12B ．348+C ．15D ．3210+4．己知x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-≥-080202y x y x ，)0(>>+=b a by ax z 的最大值为2，则直01=-+by ax过定点( )A ．(3,1)B ．(一1,3)C ．(1,3)D ．(-3,1) 5．如右图一个几何体的三视图，则该几何体的各个面中，面 积小于6的面的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．46．己知a ，b ∈R ，则“ab =0”是函数b a x x x f ++=||)(是奇函数的( )A ．充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要7．郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有( ) A ．168种 B ．156种 C ．172种 D ．180种8．己知数列：Λ,12,1-k k ，1k (k ∈N *)，按照k 从小到大的顺序排列在一起，构成一个新 的数列Λ,13,22,31,12,21,1:}{n a ，则98首次出现时为数列}{n a 的( )A ．第44项B ．第76项C ．第128项D ．第144项9．在长方体1111D C B A ABCD -中，11==DD AD ，3=AB ，E ，F ，G 分别是AB ，BC ，CC 1棱的中点，P 是底面ABCD 内一个动点，若直线D 1P 与平面EFG 平行，则P BB 1∆面积最小值为( )A ．43B ．1C ．23 D ．21 10．已知函数⎪⎭⎫⎝⎛<>+=2||,0)sin(2)(πϕωϕωx x f 的图象过点)1,0(-B ，且在区间⎪⎭⎫⎝⎛3,18ππ上单调，又)(x f 的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合，当⎪⎭⎫⎝⎛--∈32,1217,21ππx x ，且21x x =/时，)()(21x f x f =，则=+)(21x x f ( ) A ．3B ．2C ．lD ．-111．如图，设抛物线px y 22=的焦点为F ，过x 轴上一定点)0,2(D 作斜率为2的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ， 记△BCF 面积为1S ，△ACF 面积为2S ，若4121=S S ，则抛物线的 标准方程为( )A ．x y =2B ．x y 22=C ．x y 42= D ．x y 82=12．设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+=)0(9)0(1)(3x x x xx x f ，若关于x 的方程a x x f =+)2(2有6个不同的实数根，则常数以的取值范围是( ) A ．]8,2(B ．]9.2(C ．]9,8(D ．)9,8(第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设双曲线12222=-by a x 的左右顶点分别为 A ，B ，点p 是双曲线上，且异于A ，B 两点.O为坐标原点，若直线P A ，PB 的斜率之积为97，则双曲线的离心率为 ． 14．己知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)2()4(-=+x f x f ，当]0,3[-∈x 时，x x f -=6)(，则=)2019(f .15．己知梯形ABCD ，AD AB ⊥，1==DC AD ，3=AB ，P 为三角形BCD 内一点(包括边界)，yAD AB x AP +=，则y x +的取值范围为 ． 16．瑞士著名数学家欧拉在研究几何时曾定义欧拉三角形，△ABC 的三个欧拉点（顶点与垂心连线的中点）构成 的三角形称为△ABC 的欧拉三角形．如图，△A 1 B 1 C 1 是△ABC 的欧拉三角形（H 为△ABC 的垂心）．己知3=AC ，2=BC ，22tan =∠ACB ，若在△ABC内部随机选取一点，则此点取自阴影部分的概率为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （一）必考题：共60分．17．数列}{n a 的前n 项和为n S ，己知11=a ，)3,2,1()32()12(1Λ=+=-+n S n a n n n(1)证明：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n S n 是等比例数； (2)求数列}{n S 的前n 项和n T .18．如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为梯形，AB ∥CD ，AD AB ⊥，22===CD AD AB ，ADP ∆为等边三角形．(1)当PB 长为多少时，平面，⊥PAD 平面ABCD ？并说明理由； (2)若二面角B AD P --大小为150°，求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．19．己知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，椭圆的右焦点为)0,1(F ，长轴的左右端点分别是A 1，A 2，且121-=⋅FA FA (1)求椭圆C 的方程；(2)过焦点F 斜率为)0(=/k k 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，弦AB 的垂直平分线与x 轴相交于点D ．试问椭圆C 上是否存在点E 使得四边形ADBE 为菱形？20．第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项．共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技．前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民．武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分（满分100分）数据，统计结果如下： 组别 [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100) 频数5304050452010(1)若此次问卷调查得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设µ，ϭ(分别为这200人得分的平均值和标准差(同一组数据用该区间中点值作为代表)，求µ，ϭ的值（µ，ϭ的值四舍五入取整数），并计算P (51<X <93)(2)在(1)的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于µ的可以获得1次抽奖机会，得分不低于µ的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为15元的纪念品A 的概率为32，抽中价值为30元的纪念品B 的概率为31．现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y 为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y 的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额．(参考数据：6827.0)(≈+≤<-δμδμX P ；9545.0)22(≈+≤<-δμδμX P ；9973.0)33(≈+≤<-δμδμX P .)21．己知函数)0(21)(2>-=x ax e x f x，)(x f '是)(x f 的导函数． (1)当2=a 时，求证：1)(>x f ；(2)是否存在正整数a ，使得x x x f ln )(2≥'对一切x >0恒成立？若存在，求出a 的最大值；若不存在，说明理由，（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，已知倾斜角为α的直线l 经过点4（-2，1），以坐标原点O 为 极点，x 轴的正半轴，为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：3sin 21θρρ+=(1)写出曲线C 的普通方程：(2)若直线l 与曲线C 有两个不同的交点M ，N ，求||||AN AM +的取值范围．23．[选修4—5：不等式选讲]已知函数||)(a x x x f -=，R a ∈ (1)若1)1()1(>-+f f ，求a 的取值范围；(2)若a >0，对x ∀，],(a y -∞∈，都有不等式||45)(a y y x f -++≤恒成立，求a 的取值范围．数学（理科）参考答案一．选择题：本大题共12小题，每小题5分．第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．34； 14．216；15．⎥⎦⎤⎢⎣⎡34,1；16．647 三．解答题：本大题共6小题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17． (1)证明：因为n n n n S n n S S a 123211-+=-=++， 所以n n S n n S 12)12(21-+=+，所以122121-=++n S n S n n . 又11=a ，所以0111=/=S . ∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n S n 是以1为首项，2为公比的等比数列. ……………………… 6分(2)由(1)知，1212-=-n nn S ，所以12)12(-⋅-=n n n S . 所以122)12(25231-⋅-++⨯+⨯+=n n n T Λ① 故 nn n T 2)12(252321232⋅-++⨯+⨯+⨯=Λ②①一②，得n n n n T 2)12()222(2112⋅--+++⨯+=--Λ 32)23(2)12(212221-⋅-=⋅----⨯+=n n nn n ，所以 32)32(+⋅-=nn n T . …………………………………12分18．解：(1)当22=PB 时，平面⊥PAD 平面ABCD ， ………………………………1分证明如下：在PAB ∆中，因为2==PA AB ，22=PB ，所以PB AB ⊥ ……2分 又AD AB ⊥，A PA AD =I ，所以⊥AB 平面P AD ， ………………………3分 又⊂AB 平面ABCD ，所以平面⊥PAD 平面ABCD ； …………………………4分(2)分别取线段AD ，BC 的中点O ，E ，连接PO ，OE ，因为ADP ∆为等边三角形，O 为AD 的中点，所以AD PO ⊥，O ，E 为AD ，BC 的中点，所以AB OE //，又AD AB ⊥，所以AD OE ⊥，故POE ∠为二面角B AD P --的平面角，所以︒=∠150POE ，………………………6分 如图，分别以OA ，OE 的方向以及垂直于平面ABCD 向上的方向作为x ，y ，z 轴的正 方向，建立空间直角坐标系xyz O -，因为3=OP ，︒=∠150POE ，所以)23,23,0(-P ，)0,0,1(A ，)0,2,1(B ，)0,1,1(-C .可得)0,2,0(=AB ，)23,27,1(-=PB ，)23,25,1(--=PC ，…………………8分设),,(z y x n =为平面PBC 的一个法向量，则有0=⋅n PB ，0=⋅n PC ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-+0232502327z y x z y x ，令1=x 可得)34,2,1(--=n ，………………10分 设AB 与平面PBC 所成角为θ，则有532)34()2(124222=-+-+=所以直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值为53532 …………………………12分19．解：(1)依题设)0,(1a A -，)0,(2a A ，)0,1(1--=a FA ，)0,1(2-=a FA . 由121-=⋅FA FA ，得：1)1)(1(-=---a a ，解得22=a ，又因为1=c ，所以112222=-=-=c a b .所以椭圆C 的方程为1222=+y x . ……………………………4分(2)圆C 上存在点E 使得四边形ADBE 为菱形，依题意设直线l 方程为)1(-=x k y ，设),(11y x A ，),(22y x B ，弦AB 的中点为),(00y x M ，联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=12)1(22y x x k y ，得：0224)12(2222=-+-+k x k x k ，则1242221+=+k k x x ，12)1(22221+-=k k x x ， 所以122222210+=+=k k x x x ，12)1(200+-=-=k k x k y ， 则直线MD 的方程为)122(112222+--=++k k x k k ky ， 令0=y ，得1222+=k k x D ，则)0,12(22+k k D ，若四边形ADBE为菱形，则⎪⎪⎩⎪⎨⎧=+=+0022y y y x x x D ED E，所以1232220+=-=k k x x x D E ，122220+-=-=k k y y y D E ， 若点E 在椭圆C 上，则1)122()123(4122222=+-++⋅k k k k ， 即2224)12(289+=+k k k ，整理得24=k ，解得42±=k ，所以椭圆C 上存在点E 使得四边形ADBE 为菱形．………………………12分20．解：(1)由己知频数表得：200506520040552003045200535)(⨯+⨯+⨯+⨯=X E65200109520020852004575=⨯+⨯+⨯+， 2.0)6555(15.0)6545(025.0)6535()(222⨯-+⨯-+⨯-=X D 225.0)6575(25.0)6565(22⨯-+⨯-+ 21005.0)6595(1.0)6585(22=⨯-+⨯-+由2251962<<σ，则1514<<σ，而2105.2105.142>=，所以14≈σ，则X 服从正态分布)14,65(N ，所以)2()9351(σμσμ+<<-=<<X P X P8186.026827.09545.02)()22(=+=+<<-++<<-=σμσμσμσμX P X P ……………………6分(2)显然，5.0)()(=≥=<μμX P X P ， 所以所有Y 的取值为15，30，45，60，313221)15(=⨯==Y P ，1873232213121)30(=⨯⨯+⨯==Y P ，92323121313221)45(=⨯⨯+⨯⨯==Y P ，181313121)60(=⨯⨯==Y P ，所以Y 的分布列为：……………………10分 所以30181609245187303115)(=⨯+⨯+⨯+⨯=Y E ， 需要的总金额为：200×30=6000．……………………12分21．解：(1)证明：当2=a 时，2)(x e x f x-=，则x e x f x2)(-'，令x e x f x f x 2)()(1-='=，则2)(1-='xe xf ，令0)(1='x f ，得21n x =，故)(x f '在21n x =时取得最小值，02ln 22)2(ln >-='f Θ，)(x f ∴在),0(+∞上为增函数， 1)0()(=>∴f x f ； ……………………4分(2)ax e x f x-=')(由nx x x f 1)(2≥'，得nx x ax e x 12≥-对一切0>x 恒成立，当1=x 时，可得e a ≤，所以若存在，则正整数a 的值只能取1，2．…………… 6分下面证明当2=a 时，不等式恒成立，设x xx e x g x ln 2)(2--=，323))(2(12)2(){g x x e x x x x e x x x x --=-+-=' 由( I )x x x e x >≥+>212，)0(0>>-∴x x e x， ∴20<<x 时，0)(<'x g ；当2>x 时，0)(>'x g即)(x g 在(0，2)上是减函数，在),2(+∞上是增函数，0)16ln 3(41)2ln 447.2(41)2ln 44(41)2()(22>->-->--=≥∴e g x g ， ∴2=a 时，不等式恒成立，所以a 的最大值是2．………………………12分22．解：(1)由θρρsin 23+=得3sin 22=+θρρ，将⎩⎨⎧=+=yy x θρρsin 222代入上式中，得曲线C 的普通方程为03222=-++y y x . ………………………4分 (2)将l 的参数方程⎩⎨⎧+=+-=,sin 1,cos 2ααt y t x （t 为参数）代入曲线C 的普通方程，消去x ，y 得04)cos (sin 42=+-+t t αα. ①因为直线l 与曲线C 有两个不同的交点，所以016)cos (sin 162>--=∆αα，因为1cos sin 22=+αα， 所以0cos sin <αα，又πα<≤0，所以παπ<<2，设方程①的两根为t l ，t 2，则0)in (cos 421<-=+ααs t t ，0421>=t t ， 所以0,021<<t t ， 所以)4sin(24)cos (sin 4)(||||||||2121πααα-=-=+-=+=+t t t t AN AM 由παπ<<2得，4344ππαπ<-<，所以1)4sin(22≤-<πα，从而24)4sin(244≤-<πα，即||||AN AM +的取值范围是]24,4(. …………………………10分23．解：(1)1|1||1|)1()1(>+--=-+a a f f ，①若1-≤a 时，则111>++-a a ，即12>，即1-≤a 时恒成立；②若11<<-a 时，则1)1(1>+--a a ，解得21-<a ，所以211-<<-a ； ③若1≥a 时，则1)1(1>+-+-a a ，即12>-不成立，此时不等式无解， 综上所述，a 的取值范围是)21,(--∞. ………………………5分(2) 由题意知，不等式对于),(,a y x -∞∈恒成立，等价于min max |)||45(|)(a y y x f -++≤， 当),(a x -∞∈时，4)2()(222a a x ax x x f +--=+-=， 所以4)2()(2max a a f x f ==， 又因为|45||)()45(||||45|+=--+≥-++a a y y a y y ，当且仅当0))(45(≤-+a y y 即a y ≤≤-45时，等号成立， 所以45|)||45(|min +=-++a a y y ，所以4542+≤a a ，解得51≤≤-a ， 结合a >0，所以a 的取值范围是]5,0(. …………………………10分。
2020年河南省郑州市高考数学第三次质量预测试卷(理科)(三模)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ﹣2≤0}，B ＝{x |log 2x ＜2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |x ≤2}B ．{x |x ≤0或x ＞2}C ．{x |0＜x ≤2}D ．{x |x ＜2或x ≥4}【解答】解：∵A ＝{x |x ≤2}，B ＝{x |0＜x ＜4}； ∴A ∩B ＝{x |0＜x ≤2}． 故选：C ．2．（5分）已知复数z 满足（1+√3i ）z ＝1+i ，则其共轭复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：因为复数z 满足（1+√3i ）z ＝1+i ， 所以：z =1+3i =√3i)(1+3i)(1−3i)=1+√3+(1−√3)i4； ∴其共轭复数z =1+√34−1−√34i =1+√34+√3−14i ； 对应的点（1+√34，√3−14）在第一象限； 故选：A ．3．（5分）函数f （x ）＝2sin x +sin|x |+|sin x |在[﹣2π，2π]的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：根据题意，f （x ）＝2sin x +sin|x |+|sin x |，当﹣2π≤x ≤﹣π时，sin x ≥0，则|sin x |＝sin x ，又由sin|x |＝sin （﹣x ）＝﹣sin x ，则此时f （x ）＝2sin x ﹣sin x +sin x ＝2sin x ，当﹣π＜x ＜0时，sin x ＜0，则|sin x |＝﹣sin x ，又由sin|x |＝sin （﹣x ）＝﹣sin x ，则此时f （x ）＝2sin x ﹣sin x ﹣sin x ＝0，当0≤x ≤π时，sin x ≥0，则|sin x |＝sin x ，又由sin|x |＝sin x ，则此时f （x ）＝2sin x +sin x +sin x ＝4sin x ，当π＜x ≤2π时，sin x ≤0，则|sin x |＝﹣sin x ，又由sin|x |＝sin x ，则此时f （x ）＝2sin x +sin x ﹣sin x ＝2sin x ，故f （x ）={2sinx ，−2π≤x ≤−π0，−π＜x ＜04sinx ，0≤x ≤π2sinx ，π＜x ≤2π；故选：C ．4．（5分）两个非零向量a →，b →满足|a →+b →|＝|a →−b →|＝2|a →|，则向量b →与a →−b →夹角为（ ） A ．56πB ．π6C ．23πD ．π3【解答】解：∵两个非零向量a →，b →满足|a →+b →|＝|a →−b →|＝2|a →|，如图，设 OA →=a →，OB →=b →，则 OC →=a →+b →，BA →=a →−b →， 则四边形OACB 为矩形 BA ＝2OA ，OB =√3OA ． 设向量b →与a →−b →夹角为θ，则∠OBA ＝π﹣θ， ∴cos （π﹣θ ）=OBBA =√32，∴π﹣θ=π6，θ=5π6， 故选：A ．5．（5分）执行如图所示的程序框图，输入n ＝5，m ＝3，那么输出的p 值为（ ）A ．360B ．60C ．36D ．12【解答】解：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的p 的值， 可得程序框图实质是计算排列数A n m 的值， 当n ＝5，m ＝3时，可得：A 53=60． 故选：B ．6．（5分）已知a =(12)12，b =(13)13，c =log 1213，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜b【解答】解：∵a 6=(12)3=18，b 6=(13)2=19， ∴a 6＞b 6，a ，b ＞0． ∴1＞a ＞b ， c ＝log 23＞1． ∴b ＜a ＜c ． 故选：C ．7．（5分）某个微信群某次进行的抢红包活动中，群主所发红包的总金额为10元，被随机分配为2.49元、1.32元、2.19元、0.63元、3.37元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是（ ） A ．25B ．12C ．34D ．56【解答】解：群主所发红包的总金额为10元，被随机分配为2.49元、1.32元、2.19元、0.63元、3.37元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，设甲抢到的金额为x 、乙抢到的金额为y ，则（x ，y ）的基本事件共有A 52=20种， 则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的基本事件为（2.49，2.19），（2.49，3.37），（1.32，3.37），（2.19，3.37），（0.63，3.37），（2.19，2.49），（3.37，2.49），（3.37，1.32），（3.37，2.19），（3.37，0.63）共10种， 即甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是1020=12，故选：B ．8．（5分）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天于回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推已知1949年为“己丑”年，那么到中华人民共和国成立70年时为（ ） A ．丙酉年B ．戊申年C ．己申年D ．己亥年【解答】解：天干是以10为构成的等差数列，地支是以12为公差的等差数列， 从1949年到2029年经过70年，且1949年为“己丑”年，以1949年的天干和地支分别为首项，则70÷10＝7，则2019的天干为己， 70÷12＝5余10，则2019的地支为亥， 故选：D ．9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）A ．√6πB ．8√6πC ．32√3πD ．64√6π【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图如图所示：该几何体为三棱锥体A ﹣BCD ． 所以几何体的外接球的半径设为r ， 则：（2r ）2＝42+22+22，解得r =√6， 所以V =43×π×(√6)3=8√6π， 故选：B ．10．（5分）若将函数f （x ）＝cos （2x +φ）的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g （x ）的图象，且g （x ）的图象关于原点对称，则|φ|的最小值为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【解答】解：将函数f （x ）＝cos （2x +φ）的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g （x ）＝cos （2x −π3+φ）的图象，∵g （x ）的图象关于原点对称，∴−π3+φ＝k π+π2，k ∈Z ． 令k ＝﹣1，可得|φ|的最小值为π6，故选：A ． 11．（5分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 作直线y =−bax 的垂线，垂足为M ，且交双曲线的左支于N 点，若FN →=2FM →，则双曲线的离心率为（ ） A ．3B ．√5C ．2D ．√3【解答】解：如右图所示，设双曲线的半焦距为c ，左焦点为F 1，连接NF 1， ∵FN →=2FM →，∴点M 为线段NF 的中点，∴OM ∥F 1N ，且|OM |=12|F 1N |， 又过F （c ，0）作直线y =−ba x 的垂线，垂足为M ，∴MF ⊥OM ， FN ⊥NF 1，又由点线距离公式可得：|MF |=bc√a 2+b=b ，又|OF |＝c ，∴|OM |=√c 2−b 2=a ，|NF 1|＝2a ．又点N 在双曲线的左支上， 由双曲线的定义得：|NF |＝|NF 1|+2a ＝4a ． 在直角三角形FNF 1中：|FF 1|2＝4c 2＝|NF |2+|NF 1|2=4a 2+16a 2＝20a 2故双曲线的离心率e =ca =√5． 故选：B ．12．（5分）已知函数y ＝f （x ）在R 上可导且f （0）＝1，其导函数f '（x ）满足f′(x)−f(x)x−1＞0，对于函数g(x)=f(x)e x ，下列结论错误的是（ ） A ．函数g （x ）在（1，+∞）上为单调递增函数B ．x ＝1是函数g （x ）的极小值点C ．函数g （x ）至多有两个零点D ．x ≤0时，不等式f （x ）≤e x 恒成立 【解答】解：g （x ）=f(x)e x ， 则g ′（x ）=f′(x)−f(x)e x， x ＞1时，f ′（x ）﹣f （x ）＞0，故y ＝g （x ）在（1，+∞）递增，A 正确； x ＜1时，f ′（x ）﹣f （x ）＜0， 故y ＝g （x ）在（﹣∞，1）递减，故x ＝1是函数y ＝g （x ）的极小值点，故B 正确； 若g （1）＜0，则y ＝g （x ）有2个零点， 若g （1）＝0，则函数y ＝g （x ）有1个零点，若g （1）＞0，则函数y ＝g （x ）没有零点，故C 正确；由y ＝g （x ）在（﹣∞，1）递减，则y ＝g （x ）在（﹣∞，0）递减， 由g （0）=f(0)e 0=1，得x ≤0时，g （x ）≥g （0）， 故f(x)e ≥1，故f （x ）≥e x ，故D 错误；故选：D ．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）某车间将10名工人平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个工人加工的合格零件数如茎叶图所示，已知两组工人在单位时间内加工的合格零件平均数都为20，则m +n ＝ 11 ．【解答】解：甲组工人在单位时间内加工的合格零件数的平均数为20， 即x 甲=15（17+18+20+m +20+22）＝20， 解得m ＝3；乙组工人在单位时间内加工的合格零件数的平均数为10，即x 乙=15（10+n +19+20+21+22）＝20， 解得n ＝8． 故m +n ＝11； 故答案为：11．14．（5分）已知x ，y 满足约束条件{x −y +4≥0x +2y ≥0x ≤1，则z ＝3x +y 的最大值为 8 ．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示： 由z ＝3x +y 得：y ＝﹣3x +z ， 将直线y ＝﹣3x 向上平移，可知当直线经过点A （1，5）时，y ＝﹣3x +z 的截距取得最大值，z 的最大值，z max ＝3×1+5＝8， 故答案为：8．15．（5分）点A （3，2）是圆（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝9内一点，则过点A 的最短弦长为 2√7 ．【解答】解：根据题意，设圆（x ﹣2）2+（y ﹣1）2＝9的圆心为C ，则C 的坐标为（2，1），半径r ＝3， 设过点A 的直线为l ，分析可得：当CA 与l 垂直时，圆心到直线l 的距离最大，此时过点A 的弦最短， 此时圆心到直线的距离d ＝|CA |=√2， 弦长为：2×√r 2−d 2=2√7， 故答案为：2√7．16．（5分）已知等比数列{a n }的首项为32，公比为−12，前n 项和为S n ，且对任意的n ∈N *，都有A ≤3S n −1S n≤B 恒成立，则B ﹣A 的最小值为3512．【解答】解：S n =32[1−(−12)n ]1−(−12)=1−(−12)n ．n ＝2k ﹣1（k ∈N *），f （n ）＝3S n −1S n =3（1+12n ）−11+12n单调递减，f （1）=236，n →+∞，f （n ）→3﹣1＝2． 可得：2＜3S n −1S n≤256．n ＝2k （k ∈N *），f （n ）＝3S n −1S n=3（1−12n ）−11−12n单调递增，f （2）=1112，n →+∞，f （n ）→3﹣1＝2． 可得：1112≤3S n −1S n＜2． ∴则B ﹣A 的最小值=236−1112=3512． 故答案为：3512．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分 17．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设2（sin B ﹣sin C ）2+cos （B ﹣C ）＝2sin 2A ﹣cos A ． （Ⅰ）求A ； （Ⅱ）求b+c a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵2（sin B ﹣sin C ）2+cos （B ﹣C ）＝2sin A 2+cos （B +C ）， ∴2（sin B ﹣sin C ）2＝2sin A 2+cos （B +C ）﹣cos （B ﹣C ）， ∴2（sin B ﹣sin C ）2＝2sin A 2﹣2sin B sin C ， ∵由正弦定理可得：（b ﹣c ）2＝a 2﹣bc ， ∴b 2+c 2﹣a 2＝bc ，∴cosA =b 2+c 2−a 22bc =12．∴A =π3． （Ⅱ）∵b+c a=sinB+sinC sinA=sinB+sin(2π3−B)√32=2√33(sinB +√32cosB +12sinB)=2√33(32sinB +√32cosB)=2(√32sinB +12cosB)=2sin(B +π6)， 又∵0＜B ＜2π3， ∴π6＜(B +π6)＜5π6．∴1＜2sin(B +π6)≤2， ∴b+c a∈(1，2]．18．（12分）依法纳税是公民应尽的义务，随着经济的发展，个人收入的提高，自2018年10月1日起，个人所得税起征点和税率进行了调整，调整前后的计算方法如下表，2018年12月22日国务院又印发了《个人所得税专项附加扣除暂行办法》（以下简称《办法》），自2019年1月1日起施行，该《办法》指出，个人所得税专项附加扣除，是指个人所得税法规定的子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等6项专项附加扣除．简单来说，2018年10月1日之前，“应纳税所得额”＝“税前收入”﹣“险金”﹣“基本减除费用（统一为3500元）”﹣“依法扣除的其他扣除费用”；自2019年1月1日起，“应纳税所得额”＝“税前收人”﹣“险金”﹣“基本减除费用（统一为5000元）”﹣“专项附加扣除费用”﹣“依法扣除的其他扣除费用． 调整前后个人所得税税率表如表： 个人所得税税率表（调整前） 个人所得税税率表（调整后）级数 全月应纳税所得额 税率（%） 级数 全月应纳税所得额 税率（%） 1不超过1500元的部分31 不超过3000元的部分32超过1500元至4500元的部分102 超过3000元至12000元的部分 103超过4500元至9000元的部分203超过12000至25000元的部分 20 …………………… ………… 某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，扣除险金后，制成下面的频数分布表：收入（元）[3000，5000）[5000，7000）[7000，9000）[9000，11000）[11000，13000）[13000，15000）人数102025201510（Ⅰ）估算小李公司员工该月扣除险金后的平均收入为多少？（Ⅱ）若小李在该月扣除险金后的收入为10000元，假设小李除住房租金一项专项扣除费用1500元外，无其他依法扣除费用，则2019年1月1日起小李的个人所得税，比2018年10月1日之前少交多少？（Ⅲ）先从收入在[9000，11000）及[11000，13000）的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选2人作为新纳税法知识宣讲员，求两个宣讲员不全是同一收入人群的概率．【解答】解：（Ⅰ）小李公司员工该月扣除险金后的平均收入：X=1100（4000×10+6000×20+8000×25+10000×20+12000×15+14000×10）＝8800（元）．（Ⅱ）2018年10月1日之前小李的个人所得税：S1＝1500×3%+3000×10%+（10000﹣3500﹣4500）×20%＝745（元），2019年1月1日起小李的个人所得税：S2＝3000×3%+（10000﹣5000﹣1500﹣3000）×10%＝140（元），2019年1月1日起小李个人所得税少交745﹣140＝605（元）．（Ⅲ）由频率分布表可知从[9000，11000）及[11000，13000）的人群中按分层抽样抽取7人，其中[11000，13000）中占3人，记为A，B，C；[9000，11000）中占4人，记为1，2，3，4，从7人中选2人共有21种选法如下：AB，AC，A1，A2，A3，A4，BC，B1，B2，B3，B4，C1，C2，C3，C4，12，13，14，23，24，34，其中不在同一收入的人群有A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3，B4，C1，C2，C3，C4共12种，所以两个宣讲员不全是同一收入人群的概率为P=1221=47．19．（12分）如图，ABCD为矩形，点A、E、B、F共面，且△ABE和△ABF均为等腰直角三角形，且∠BAE＝∠AFB＝90°．（Ⅰ）若平面ABCD⊥平面AEBF，证明平面BCF⊥平面ADF；（Ⅱ）问在线段EC 上是否存在一点G ，使得BG ∥平面CDF ，若存在，求出此时三棱锥G ﹣ABE 与三棱锥G ﹣ADF 的体积之比．【解答】解：（1）证明：∵ABCD为矩形，∴BC ⊥AB ，又∵平面ABCD ⊥平面AEBF ，BC ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面AEBF ＝AB ， ∴BC ⊥平面AEBF ，又∵AF ⊂平面AEBF ，∴BC ⊥AF ．∵∠AFB ＝90°，即AF ⊥BF ，且BC 、BF ⊂平面BCF ，BC ∩BF ＝B ， ∴AF ⊥平面BCF ．又∵AF ⊂平面ADF ，∴平面ADF ⊥平面BCF ．（2）解：∵BC ∥AD ，AD ⊂平面ADF ，∴BC ∥平面ADF ． ∵△ABE 和△ABF 均为等腰直角三角形，且∠BAE ＝∠AFB ＝90°， ∴∠F AB ＝∠ABE ＝45°，∴AF ∥BE ，又AF ⊂平面ADF ，∴BE ∥平面ADF ， ∵BC ∩BE ＝B ，∴平面BCE ∥平面ADF ．延长EB 到点H ，使得BH ＝AF ，又BC ∥=AD ，连CH 、HF ，由题意能证明ABHF 是平行四边形，∴HF ∥=AB ∥=CD ，∴HFDC 是平行四边形，∴CH ∥DF ．过点B 作CH 的平行线，交EC 于点G ，即BG ∥CH ∥DF ，（DF ⊂平面CDF ） ∴BG ∥平面CDF ，即此点G 为所求的G 点．又BE =√2AB =2AF ＝2BH ，∴EG =23EC ，又S △ABE ＝2S △AEF ， V G ﹣ABE =23V C−ABE =43V C−ABE =43V D−ABF =43V B−ADF =43V G−ADF ， 故V G−ABE V G−ADF=43．20．（12分）已知抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，直线l ：y ＝2x ﹣2，直线l 与E 的交点为A ，B ．同时|AF |+|BF |＝8，直线m ∥l ．直线m 与E 的交点为C 、D ，与y 轴交于点P ．（I ）求抛物线E 的方程； （Ⅱ）若CP →=4DP →，求|CD |的长．【解答】解（I ）联立方程{y 2=2px y =2x −2得：2x 2﹣（4+p ）x +2＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 由韦达定理得：x 1+x 2=4+p2，由抛物线定义可得：|BF|+|AF|=x 1+x 2+p =4+p2+p =8，∴p ＝4． 则抛物线E 的方程为：y 2＝8x ； （Ⅱ）设直线m ：y ＝2x +t ，联立方程{y =2x +t y 2=8x 得：4x 2+（4t ﹣8）x +t 2＝0，由△＝（4t ﹣8）2﹣16t 2＞0得：t ＜1， 设C （x 3，y 3），D （x 4，y 4）， ∵CP →=4DP →可知x 3＝4x 4，x 3x 4=4，又∵x 3+x 4＝2﹣t ，x 3x 4=t 24，∴x 3x 4+x 4x 3=x 32+x 42x 3x 4=(x 3+x 4)2x 3x 4−2=(2−t)2t 24−2=4(2−t)2t 2−2=4+14，解之得：t =89或﹣8，∴|CD|=√22+1√(x 3+x 4)2−4x 3x 4=2√5×√1−t ， 当t =89时，|CD|=23√5；当t ＝﹣8时，|CD|=6√5． 21．（12分）已知函数f （x ）＝lnx ﹣a √x ． （Ⅰ）讨论f （x ）的单调性；（Ⅱ）存在正实数k使得函数g（x）＝kx﹣1+f（x）有三个零点，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=1x−a2√x=2−a√xx（x＞0），…………………………（1分）①当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，则f（x）在（0，+∞）上单调递增；…………………………（2分）②当a＞0时，f′（x）＝0得：x=42．当x∈(0，4a2)时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈(4a2，+∞)时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，…………………………（3分）综上，a≤0时，f（x）的增区间为（0，+∞）．a＞0时，f（x）的增区间为(0，4a2)，减区间为(4a2，+∞)．…………………………（4分）（Ⅱ）由题易知g(x)=kx+lnx−a√x−1，即kx+lnx−a√x−1=0有三个解，a=k√x lnx√x1√x，即a=k√x+2ln√x√x1√x仅有三解，设ℎ(x)=kx+2lnxx−1x，h′（x）=kx2−2lnx+3x2=0，可得kx2﹣2lnx+3＝0，即k=lnx2−3x2．…………………………（6分）设M(t)=lnt−3t，则M′（t）=4−lntt2=0，得t＝e4．t∈（0，e4）时，M′（t）＞0，M（t）单调递增，…………………………（5分）t∈（e4，+∞）时，M′（t）＜0，M（t）单调递减（同时注意x→+∞时，M（t）＞0）M(t)≤M(e4)=1e4，当k≥1e4时，ℎ(x)≥0恒成立，此时a∈R均符合条件；当0＜k＜1e4时，k=lnt−3t由两个根不妨设为t1，t2且0＜t1＜e4＜t2．…………………………（7分）k=2lnx−3x2有两根，不妨设为x1，x2则x1=√t1，x2=√t2，则0＜x1＜e2＜x2；容易分析出h（x）在（0，x1），（x2，+∞）单调递增，（x1，x2）单调递减，则当0＜k＜1e4时a∈（h（x2）min，h（x1）max）．…………………………（8分）这里需要求h （x 1）和h （x 2）的取值范围．由上面分析可得kx 12−2lnx 1+3=0，则kx 1=2lnx1x 1−3x 1．ℎ(x 1)=kx 1+2lnx 1x 1−1x 1=2lnx 1x 1−3x 1+2lnx 1x 1−1x 1=4lnx 1−4x 1，0＜x 1＜e 2． 设N(x)=4lnx−4x ，0＜x ＜e 2，N ′（x ）=4(2−lnx)x2；易知N （x ）在0＜x ＜e 2上单调递增，N(x)＜N(e 2)=4e 2，则ℎ(x 1)＜4e 2．∴a ≥4e 2．…………………………（10分） 同理ℎ(x 2)=4lnx 2−4x 2，x 2＞e 2．…………………………（11分） 由上面分析N(x)=4lnx−4x在（e 2，+∞）单调递减，且x →+∞时，N （x ）→0， ∴h （x 2）＞0．∴a ＞0． 综上：a ∈(0，42)．…………………………（12分） （二）选考题：共10分。
2020届河南省高三猜题大联考(三)数学(理)试题(解析版)
2020届河南省高三猜题大联考（三）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2M x =≤，{}0,1,2,3N =，则MN =（ ）A ．{}0,1,2,3B ．{}1,2,3C ．{}1,2D ．{}3【答案】B【解析】先求出集合M ，然后求出M N ⋂即可. 【详解】2≤，所以有014x ≤-≤，解之得：15x ≤≤，则{}|15M x x =≤≤， 故{}1,2,3MN =.故选：B . 【点睛】本题主要考查交集的求法，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题. 2．i 是虚数单位，复数z 满足：3iz i =+，则z =（ ） A ．13i + B ．13i -C ．13i -+D ．13i --【答案】A【解析】首先求出13z i =-，再求z 即可. 【详解】 因为3(3)()13iz i i i i+==+⋅-=-，所以13z i =+. 故选：A 【点睛】本题主要考查共轭复数，同时考查复数的运算，属于简单题.3．已知：函数()()22f x x k x =+-是[)1,+∞上的增函数，则k 的取值范围为（ ）A ．(],0-∞B ．[)0,+∞C ．(],1-∞D ．[)1,+∞ 【答案】B【解析】首先根据二次函数的性质得到212k --≤，再解不等式即可. 【详解】函数()()22f x x k x =+-的对称轴为22k x -=-，且开口向上，因为()f x 在[)1,+∞上的增函数， 所以212k --≤，解得：0k ≥. 故选：B 【点睛】本题主要考查函数的单调性，同时考查二次函数的性质，属于简单题. 4．等差数列{}n a 中，1720a a +=，535S =，则20a =（ ） A ．54 B ．56C ．58D ．61【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意列出1a 和d 的方程组，解得1a 和d ，最后写出20a 即可. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则有11162051035a a d a d ++=⎧⎨+=⎩，解得：113a d =⎧⎨=⎩，故2011958a a d =+=.故选：C 【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，侧重考查对基础知识的理解和掌握，考查计算能力，属于常考题.5．已知：2log 3a =，3log 2b =，12c ⎛= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c a b << B ．c b a <<C ．b c a <<D ．b a c <<【答案】B【解析】分别对a b c ，，与特殊值12或1进行比较，从而判断出出它们的大小关系，得到答案. 【详解】3311log log 222c ⎛=<=< ⎪⎝⎭， ∴c b <，332log 2log 31log 3<=<，∴b a <，故c b a <<. 故选：B 【点睛】本题考查判断对数、指数的大小关系，考查指数函数和对数函数的单调性在比较大小中的应用，借助中间量是解题的关键，属于基础题.6．如图，PA 是圆柱1OO 的一条母线，AB 是底面圆的一条直径，C 是底面圆周上一点，三棱锥P ABC -的体积与圆柱1OO 的体积之比为1:3π，则tan CAB ∠=（ ）A ．1B 2C 3D ．2【答案】A【解析】设圆柱的底面半径为r ，高为h ，CAB θ∠=，根据题意表示21sin 23P ABC V r =h θ-⋅和2V r h π=圆柱，根据三棱锥P ABC -的体积与圆柱1OO 的体积之比为1:3π，求得CAB ∠，进而求得tan CAB ∠即可. 【详解】解：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，CAB θ∠=由题知：90ACB ∠=︒， 可得：211sin 22cos sin sin 222ABC AB AC BAC r r r S θθθ=⋅⋅∠=⋅⋅⋅=△， 211sin 233P ABCABC V S h r h θ-=⋅⋅=⋅，2O V S h r h π=⋅=圆柱， 1=3P ABC V V π-圆柱 ∴221sin 213sin 21453r hr h θθθππ⋅⋅=∴=∴=︒，，，tan 1θ∴=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查三棱锥的体积与圆柱的体积，考查学生的计算能力及对公式的掌握程度，属于中档题.7．椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，椭圆上的点M 满足：1260F MF ∠=︒，且122MF MF ⋅=，则b =（ ）A ．1B 2C 3D ．2【答案】C【解析】设1MF m =，2MF n =，根据122MF MF ⋅=和余弦定理，列方程求解即可 【详解】设1MF m =，2MF n =，则cos6024mn mn ︒=⇒=， 又2m n a +=（1），()21222222cos604n mn F F m a b ︒+==--（2），（1）式平方减去（2）式得：23b =，得：3b =故选：C. 【点睛】本题考查余弦定理，考查向量的数量积运算，主要考查学生的计算能力，属于基础题. 8．已知正实数p ，q ，r 满足：()()()2111p q r ++=+，a pq =2p qb +=，222p q c +=） A ．r a ≤ B ．a r b ≤≤ C ．b r c ≤≤ D ．r c ≥【答案】B【解析】首先利用基本不等式得到(22(1)1r pq +≥+和22(1)12p q r +⎛⎫++ ⎪⎝⎭≤，从而得到r pq ≥2p qr +≤，即得到答案.2(1)(1)(1)1r p q p q pq +=++=+++()2121pq pq pq≥++=+，得：11r pq r pq a r +≥+⇒≥⇒≤，又2(1)(1)(1)1r p q p q pq +=++=+++221()122p q p q p q ++⎛⎫⎛⎫≤+++=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 得：1122p q p qr r r b +++≤+⇒≤⇒≤， 所以a r b ≤≤. 故选：B 【点睛】本题主要考查基本不等式的性质，同时考查学生分析问题的能力，属于中档题. 9．执行下图的程序框图，若输入的6a =，则输出的S 值为（ ）A ．60B ．48C ．24D ．12【答案】C【解析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的,i S 的值，当1i =时退出循环，输出S .【详解】3i =，6683S =+=， 2i =，88122S =+=，1i =，121224S =+=，则输出的S 值为24.【点睛】本题主要考查“直到型”循环结构.属于容易题.10．已知：过点(),0M m 可作函数()22f x x x t =-+图象的两条切线1l 、2l ，且12l l ⊥，则t =（ ） A ．1 B ．54C ．32D ．2【答案】B【解析】设过点M 且与函数()y f x =的图象相切的直线的方程为()y k x m =-，与函数()y f x =的解析式联立，消去y ，得到关于x 的二次方程，由0∆=可得出关于k 的二次方程，由12l l ⊥，得到两直线1l 、2l 的斜率之积为121k k =-，利用韦达定理可解得t 的值. 【详解】过点(),0M m 且与()y f x =图象相切的直线方程设为()y k x m =-，联立()22y k x m y x x t⎧=-⎨=-+⎩，整理得：()220x k x t km -+++=，()()()222444440k t km k m k t ∆=+-+=+-+-=，设直线1l 、2l 的斜率分别为1k 、2k ，则1k 、2k 是关于k 的二次方程()244440k m k t +-+-=的两根，由于12l l ⊥，由韦达定理可得12441k k t =-=-，解得54t =. 故选：B. 【点睛】本题考查利用抛物线两切线的位置关系求参数，将两切线的斜率转化为关于k 的二次方程来求解是解答的关键，考查化归与转化思想的应用，属于中等题. 11．已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>图象的一条对称轴是3x π=-，且()f x 在,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是单调函数，则ω的最大值为（ ） A ．5 B ．6C ．10D ．12【答案】D【解析】先利用()f x 对称轴()3k x k Z ππω=-+∈，又由()f x 在,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为单调函数，列不等式可得,k ω间的不等关系，进而可得ω的最大值. 【详解】()f x 的图象的对称轴可表示为()3k x k Z ππω=-+∈，故存在的0k Z ∈满足：()()00000123122151536k k k k k πππωωπππω⎧-+≤⎪⎪⇒≤≤+⇒≤⎨+⎪-+≥⎪⎩， 故05k =时，12ω=为最大值.故选：D. 【点睛】本题主要考查了利用三角函数的部分性质来研究函数的解析式，三角函数的周期性及单调性的综合应用，是一道综合性较好的试题．属于中档题.12．双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，点M 是渐近线上的点且位于第一象限，F 为右焦点，57OM OF =，线段MF 交双曲线于Q ，射线OQ 平分∠MOF ，则双曲线的离心率为（ ）A ．75B ．85C ．2D ．135【答案】B【解析】根据OQ 平分∠MOF ，利用角平分线定理得到57MQ OM QFOF==，结合点()',M a b 在射线OM 所在直线b y x a =上得到55,77M a b ⎛⎫⎪⎝⎭，再由512MQ MF =，得到Q 的坐标， 根据Q 在双曲线上，代入双曲线方程求解. 【详解】因为OQ 平分∠MOF ， 所以57MQ OMQFOF ==， 又射线OM 所在直线方程为：by x a=， 则()',M a b 是射线OM 上一点，且'OM c OF ==， 故5'7OM OM =， 故55,77M a b ⎛⎫⎪⎝⎭， 设(),Q x y ，由512MQ MF =，得5()12512x c a y b ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因为Q 在双曲线上，所以代入双曲线方程得：2225()251144144c a a +-=，所以225(1)169144144e +=， 解得85e =. 故选：B 【点睛】本题主要考查双曲线简单几何性质的应用以及角平分线定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．等比数列{}n a 满足：12211000a a a =，则8lg a =______. 【答案】1【解析】设数列{}n a 的公比为q ，由题易得78110a a q ==，从而得出8lg a 的值.【详解】设数列{}n a 的公比为q ，则201111000a a q a q⋅⋅=，即()3711000a q =，所以7110a q =，所以781lg lg lg101a a q ===.【点睛】本题考查等比数列的应用，侧重考查对基础知识的理解的掌握，考查计算能力，属于常考题.14．正方形ABCD 边长为2，E 、F 分别是BC 、CD 中点，则AE AF ⋅=______. 【答案】4【解析】首先利用向量加法的几何意义得到1122AE AF AB AD AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，再化简求值即可得到答案. 【详解】 如图所示：1122AE AF AB AD AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22115224AB AD AB AD =++⋅，由90DAB ∠=，所以0AB AD ⋅=， 故2211422AE AF AB AD ⋅=+=. 故答案为：4 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，同时考查向量加法的几何意义，属于简单题. 15．()()2211x x x -++展开式中，2x 项的系数为______.【答案】1【解析】采用立方差公式将原式化简，然后根据多项式乘法计算2x 的系数. 【详解】()()()2232(1)111x x x x x x -++=-++，故2x 项的系数为1.故答案为：1. 【点睛】本题考查二项式定理，考查求某一特定项的系数问题，较简单.一般地，解答二项式定理问题时，要灵活运用展开项的通项或将原式化简,然后解决问题.16．四面体ABCD 中，面ABC ⊥面BCD ，6BC =，ABC 为正三角形，45BDC ∠=︒，则四面体ABCD 外接球半径为______.【解析】先设四面体ABCD 外接球心为O ，点O 在平面ABC 、平面DBC 的射影分别为1O 、2O ，则1O 、2O 分别为ABC 、BCD 的外心，利用已知条件得到四边形12OO MO 为矩形，则12O M OO =，再利用正弦定理求出2BO ，最后利用勾股定理得结论. 【详解】设四面体ABCD 外接球心为O ，点O 在平面ABC 、平面DBC 的射影分别为1O 、2O ， 则1O 、2O 分别为ABC 、BCD 的外心，设BC 中点为M ，面ABC ⊥面BCD ，ABC 为正三角形，AM ⊥面BCD ，所以1//AM OO ，则12O M MO ⊥,又22OO MO ⊥，11OO O M ⊥， 则四边形12OO MO 为矩形， 则12O M OO =，连接1222,,,,AM OO OO CO O M ，则1213O M AM OO ===，在BCD 中，222sin BCBO BO BDC==⇒=∠ 故2222231821OB OO BO =+=+=，21OB R ==.故答案为：21.【点睛】本题主要考查了求四面体外接球的半径问题.属于中档题.三、解答题17．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足：2cos cos cos b B C Aac c a=+. （1）求B ；（2）若ABC 面积为3S =4，求ABC 的周长. 【答案】（1）3π；（2）623+. 【解析】（1）首先将已知等式化简，再利用正弦定理将边化角，即可求出结果； （2）根据三角形面积公式可得ac ， 再正弦定理可求b ，再利用余弦定理可求a c +，由此即可求出结果. 【详解】 （1）2cos cos cos 2cos cos cos b B C Ab B a Cc A ac c a=+⇒=+， 得2sin cos sin cos sin cos sin()B B A C C A A C =+=+sin B =，1sin 0cos 2B B ≠∴=()0,B π∈∴3B π=.（2）ABC 的面积1sin 2382S ac B ac ==⇒=，由正弦定理可知423sin bb B=⇒=， 由222222cos 12b a c ac B a c ac =+-⇒+-=2()12336a c ac ⇒+=+=，则6a c +=，∴ABC 的周长为623+. 【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.18．四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，1160A AB A AD ︒∠=∠=，1AA AB =.（1）求证：平面1A BD ⊥平面ABCD ； （2）求1BD 与平面11ABB A 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）23. 【解析】（1）取BD 中点为O ，先可证1A AB 、1A AD 为正三角形，进而可得111AOA AOB AOD ≅≅△△△，进一步可得1A O ⊥平面ABCD ， 1AO ⊂平面1A BD ，最后得出平面1A BD ⊥平面ABCD ； （2）以O 为原点，OA 、OB 、1OA 方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，利用向量法求1BD 与平面11ABB A 所成角的正弦值. 【详解】（1）如图，取BD 中点为O ，1160A AB A AD ︒∠=∠=，1AA AB AD ==，所以1A AB 、1A AD 为正三角形，∴111A A A B A D ==，OA OB OD ==，可得：111AOA AOB AOD ≅≅△△△， ∴11190A OA A OB A OD ︒∠=∠=∠=，故1A O ⊥平面ABCD ，1AO ⊂平面1A BD ，得：平面1A BD⊥平面ABCD；（2）以O为原点，OA、OB、1OA方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz-，如图，设AB a，则2,0,0A a⎛⎫⎪⎪⎝⎭，20,,0B a⎛⎫⎪⎪⎝⎭，120,0,A a⎛⎫⎪⎪⎝⎭，20,,0D a⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，11111BD BA A D BA AD=+=+2222220,,,,0,2,a a a a a a a⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--=--⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设平面1A AB的法向量为(),,m x y z=，则12202202222ax aym ABm AAax az⎧-+=⎪⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎩⎪-+=⎪⎩，令1x=，得：()1,1,1m=，则11122222cos,2333BD mBD mBa a aaD m--+==-⋅⋅=⋅，故1BD与平面11ABB A所成角的正弦值为23.【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查利用向量法求线面角，考查空间想象能力和运算求解能力，属于常考题.19．曲线C：()220y px p=>与曲线E：2232x y+=交于A、B两点，O为原点，90AOB∠=︒.（1）求p；（2）曲线C上一点M的纵坐标为2，过点M作直线1l、2l，1l、2l的斜率分别为1k、2k ，122k k +=，1l 、2l 分别交曲线C 于异于M 的不同点N ，P ，证明：直线NP 恒过定点.【答案】（1）2；（2）证明见解析.【解析】（1）由对称性可知：A 、B 关于x 轴对称，根据90AOB ∠=︒可设(),A a a ，分别代入曲线C 和曲线E ，解方程即可得出结果；（2）由（1）求得M 的坐标，设()11N x y ,，()22,P x y ，由122k k +=化简计算可得124y y ，讨论直线的斜率是否为0，斜率不为0时设直线NP 的方程为：x my t =+，与曲线C 方程联立，利用韦达定理化简即可得出结果. 【详解】（1）由对称性可知：A 、B 关于x 轴对称，可设(),Aa a ，则222a pa a p =⇒=，把()2,2A p p 代入曲线C 得：22(2)(2)322p p p +=⇒=.（2）由（1）得：()1,2M ，设()11N x y ,，()22,P x y ，求得设()11N x y ,，()22,P x y ，则11121112241214y y k y x y --===-+-，同理2242k y =+，1212124422422k k y y y y +=⇒+=⇒=++(*)， 若直线NP 斜率为0，直线NP 的方程为：0y t =，代入曲线C ，仅一解，不合题意，舍去，m 存在时，设直线NP 的方程为：x my t =+，把x my t =+代入24y x =整理得：224()440y my t y my t =+⇒--=，得：121244y y m y y t +=⎧⎨=-⎩，代入(*)式，得：441t t -=⇒=-，故直线NP 的方程为：1x my =-，恒过()1,0-. 【点睛】本题考查抛物线的方程及直线与抛物线的位置关系中恒过定点问题，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题.20．中国已经逐渐进入老龄化社会，以下是2015—2019这5年的中国某省人口平均寿命及年龄分布图表.（1）社会老龄化的一个重要特征是：劳动力减少，老龄人增加，幼龄人减少.根据图表写出劳动力人数占比小于65%，且60岁以上人数多于16岁以下人数的年份； （2）人口平均寿命的增长是造成人口老龄化的一个重要因素.由统计规律发现，60岁以上（不含60）人口数量占比y 与人口平均寿命x 拟合线性回归模型. ①求出线性回归方程（精确到0.01）；②到2025年该省人口预期平均寿命为80岁，16岁以下人口占比预期为17.5，计算2025年劳动力占比的预期值（精确到0.1）.参考数据公式：①1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y b x =-⋅；②516534.72i i i x y ==∑；③52129186.3ii x==∑；④25836.96x =；⑤1306.44xy =.【答案】（1）2018，2019；（2）① 1.68111.25y x =-；②59.4%. 【解析】（1）观察图表即可得出结果；（2）①根据线性回归的公式求解即可；②根据求得的线性回归方程求得当80x =时，ˆ23.15y=，进而估计2025年劳动力占比的预期值即可. 【详解】解：（1）由图表可知：劳动力人数占比小于65%，且60岁以上人数多于16岁以下人数的年份是：2018，2019.（2）①1234576.45x x x x x x ++++==，1234517.15y y y y y y ++++==，51522156534.7251306.441.6829186.35583695ˆ.6i ii ii x y xybxx ==--⨯===-⨯-∑∑，17.1 1.6876.4111ˆˆ.252ay b x =-⋅=-⨯=-， 故所求线性回归方程为： 1.68111.25y x =-. ②80x =，求得 1.6880111.2523.15y =⨯-=.故2025年劳动力占比的预期值为：123.15%17.5%59.4%--≈. 【点睛】本题主要考查线性回归方程的求法，考查学生的计算能力，属于中档题. 21．已知函数()()21ln f x a x x x =--是()0,∞+上的增函数.（1）求a 的取值范围；（2）已知：()12,0,x x ∈+∞，且121x x >，证明：()()120f x f x +>. 【答案】（1）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（2）证明见解析.【解析】（1）要使()()21ln f x a x x x =--在()0,∞+上递增，只需()'0f x ≥在()0,∞+上恒成立即可，将问题转化为讨论函数()'f x 的最小值；（2）当()12,0,x x ∈+∞，且121x x >时，121x x ≤<或121x x ，针对121x x ≤<和121x x 两种情况进行分类讨论，计算()()12f x f x +的最小值.【详解】（1）由题意，对()0,x ∈+∞，()()'21ln 0g x f x ax x ==--≥恒成立， ①0a ≤时，()'10f <不合题意，舍去； ②0a >时，()21'ax g x x-=，在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，()'0g x <；在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()'0g x >，所以()g x 在10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，故()g x 的最小值为11ln 2022g a a a ⎛⎫=≥⇒≥⎪⎝⎭，综上所述，a 的取值范围为1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.（2）不妨设12x x <，1x ，2x 与1的大小关系可分为：121x x ≤<或121x x ，若121x x ≤<，由()f x 是增函数可知：()()122(1)0f x f x f +>=，符合题意； 若121x x 且121x x >，可得：()1122111x f f x x x ⎛⎫<<⇒< ⎪⎝⎭，故()()()12221f x f x f f x x ⎛⎫+>+ ⎪⎝⎭()222222221111ln 1ln a a x x x x x x ⎛⎫=--+-- ⎪⎝⎭22222211ln a x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222222111ln 2x x x x x ⎛⎫⎛⎫≥--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 只需证：222222111ln 02x x x x x ⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，只需22211ln 02x x x ⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭()*， 令11()ln (1)2h x x x x x ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭， 则222111(1)'()0222x h x x x x-=+-=>， 故()h x 为增函数，而21>x ，故()2(1)0h x h >=， 即()*得证，由前面分析过程可知，不等式成立. 【点睛】本题考查根据函数单调性求参数的取值范围、不等式的证明问题，难度较大.导数与函数的综合问题中，导数与单调性的讨论、导数与极值最值是解题的核心，合理分类，针对不同情况进行讨论即可.22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为：212x a t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=.（1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）已知直线l 与x 轴交于P ，与曲线C 交于A ，B 两点，且2PA PB ⋅=，求a .【答案】（1）0x a -=，2240x y y +-=；（2）.【解析】（1）根据12x a y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去参数即可；由4sin ρθ=，得到24sin ρρθ=，再将222,sin x y y ρρθ+==，代入化简即可.（2）易得(),0P a，将12x a y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入2240x y y +-=，又2122t t a PA PB ⋅==⋅=求解.【详解】（1）因为212x a t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以)2t x a y =-=， 所以直线l 的普通方程为.0x a -= ∵4sin ρθ=， ∴24sin ρρθ=， ∴224x y y +=. 即2240x y y +-= （2）易得：(),0P a ，将212x a y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入2240x y y +-=，得222)0t t a +-+=，>0∆可解得44a -<<-，得：212t t a ⋅=，又由t 的几何意义，得：2122t t a PA PB ⋅==⋅=，∴a =经验证，舍掉a =故a =【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程和直角坐标方程的转化以及直线参数的几何意义的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 23．已知()34f x x x =-++. （1）求不等式()9f x ≤的解集；（2）若()f x 的最小值是k ，且222a b k +=，求证：229161a b +≥. 【答案】（1）{}|54x x -≤≤；（2）证明见解析.【解析】（1）分类讨论()f x 去掉绝对值，再分别解不等式组即可. （2）首先利用绝对值三角不等式得到7k =，再将原式转化为()222222916191649a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式即可证明. 【详解】（1）()349f x x x =-++≤，等价于()()4349x x x <-⎧⎨---+≤⎩或()()43349x x x -≤<⎧⎨--++≤⎩或()()3349x x x ≥⎧⎨-++≤⎩，得：54x -≤<-或43x -≤<或34x ≤≤. 综上：不等式()9f x ≤的解集{}|54x x -≤≤. （2）因为()34347f x x x x x =-++≥-++=， 所以()f x 的最小值为7，即7k =. 所以()222222916191649a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭2222191619162514949b a a b ⎛⎛⎫=+++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝， （当且仅当221a =，228b =时，等号成立）. 即证：229161a b +≥. 【点睛】本题第一问考查绝对值不等式的解法，第二问考查绝对值三角不等式和基本不等式，属于中档题.。
2020年河南省高考数学猜题大联考试卷(理科)(三)(有解析)
2020年河南省高考数学猜题大联考试卷(理科)(三)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合M ={1,2，3，4，5}，N ={x|−1≤x ≤2}，则M ∩N =( )A. {1}B. {1,2}C. {2}D. (1,2)2. 设z =21+i +2i ，则z −的虚部是( )A. 2B. 1C. −2D. −13. 函数f (x )是定义在[0,+∞)上的增函数，则满足f (2x −1)<f (13)的x 的取值范围是( )A. (13,23)B. [13,23)C. (12,23)D. [12,23)4. 在等差数列{a n }中，若a 3=2，a 5=8，则S 7等于( )A. 16B. 18C. 35D. 225. 设，则( )A. a <c <bB. c <a <bC. b <c <aD. c <b <a6. 如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S ，那么圆柱的体积等于( )A. S √S 2B. S 2√SπC. S √S 4D. S 4√Sπ7. 已知点F 1，F 2是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，P 为椭圆上的动点，动点Q 满足F 1P⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =|F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |且|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，其中F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ≠0，PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠0，若|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为1，最大值为9，则椭圆的方程为( )A. x 225+y29=1 B. x 29+y 2=1C. x 225+y216=1 D. x 281+y 2=1 8. 若a 、b 、c 、d 、x 、y 是正实数，且P =√ab +√cd,Q =√ax +cy ⋅√bx +dy，则( )A. P =QB. P ≥QC. P ≤QD. P >Q9. 执行如图所示的程序框图，若输入a 的值为−1，则输出的S 的值为( )A. 6320 B. 74C. 12 D. −1210. 函数f(x)=−x 3+3x 2−4的图象在x =1处的切线方程为( )A. x +3y +5=0B. 3x −y −5=0C. 3x +y −1=0D. x −3y −7=011. 已知函数f (x )=2sin (ωx −π6)(0<ω<1)图象的一条对称轴为x =π，则ω等于A. 13B. 12C. 23D. 3412. 已知P(1,3)在双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线上，则该双曲线的离心率为( ) A. √10B. 2C. √5D. √3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在等比数列{a n }中，a 1=−3，a 4=81，则a n =______．14. 如图，正方形ABCD 的边长为1，点E 是CD 的中点，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为______ ．15. (x 2+x +1)(1−x)4展开式中x 2的系数为______．16. 四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，AB =2，BC =CD =1，∠BCD =60°，AB ⊥平面BCD ，则球O 的表面积为 ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知bsinA =3csinB ，a =6，cosB =13．(Ⅰ)求b ； (Ⅱ)求cos(2B +π6).18.如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，AB=1，CD=3，AP=2，DP=2√3，∠PAD=60°，AB⊥平面PAD，点M在棱PC上．(Ⅰ)求证：平面PAB⊥平面PCD；(Ⅱ)若直线PA//平面MBD，求此时直线BP与平面MBD所成角的正弦值．19.已知抛物线C:y2=2px(p>0)，焦点F,O为坐标原点，直线AB(不垂直x轴)过点F且与抛物线C交于A,B两点，直线OA与OB的斜率之积为−p.(Ⅰ)求抛物线C的方程；(Ⅱ)若M为线段AB>2．的中点，射线OM交抛物线C于点D，求证：|OD||OM|20.某产品的广告支出x(单位：万元)与销售收入y(单位：万元)之间有下表所对应的数据：广告支出x(单位：万元)1234销售收入y(单位：万元)12284256(1)画出表中数据的散点图；(2)求出y 对x 的回归直线方程y ̂=b ̂x +a ̂； (3)若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？ 参考公式：b =∑x i n i=1y i −n⋅x −⋅y−∑x i 2n i=1−nx−2，a =y −−bx −．21. 已知函数f(x)=ax 2−lnx +(a −2)x ．(Ⅰ)求f(x)的单调区间：(Ⅱ)若f(x)≥0恒成立，求a 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =1+35ty =1+45t(t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为，点P 的极坐标为(√2,π4)．(1)求C 的直角坐标方程和P 的直角坐标；(2)设l 与C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，求|PM|．23.已知函数f(x)=|ax−3|，不等式f(x)≤2的解集为{x|1≤x≤5}．(1)解不等式f(x)<2f(x+1)−1；(2)若m≥3，n≥3，f(m)+f(n)=3，求证：1m +4n≥1．【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查交集的运算，是基础题． 利用交集定义直接求解． 解：∵集合M ={1,2，3，4，5}， N ={x|−1≤x ≤2}， ∴M ∩N ={1,2}． 故选：B ．2.答案：D解析：解：∵z =21+i +2i =2(1−i)(1+i)(1−i)+2i =1−i +2i =1+i ， ∴z −=1−i ， ∴z −的虚部是−1， 故选：D ．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：D解析：解：∵函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的增函数，则满足f(2x −1)<f(13)， ∴0≤2x −1<13，解得12≤x <23，故选D ．4.答案：C解析：解：由a 3=2，a 5=8， 得{a 1+2d =2a 1+4d =8，则{a 1=−4d =3． ∵a 7=−4×6d =14， ∴S 7=7×(−4+14)2=35．故选；C ．由a 3=2，a 5=8，得到{a 1+2d =2a 1+4d =8，求出a 1和d 的值，然后代入等差数列的前n 项和公式，即可得答案．本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n 项和，是基础题．5.答案：D解析：本题主要考查对数函数的性质，属于基础题． 解：因为a =log 23，b =log 2√3， ，所以，∴c <b <a. 故选D ．6.答案：D解析：本题是基础题，考查圆柱的侧面积、体积的计算及其关系，考查计算能力，常考题型．设圆柱高为h ，推出底面半径，求出圆柱的侧面积，然后求出圆柱的体积即可得到选项． 解：设圆柱高为h ，则底面半径为ℎ2． 由题意知，S =πℎ2， ∴ℎ=√Sπ，∴V =π(ℎ2)2⋅ℎ=S4√Sπ． 故选D ．7.答案：A解析：解：动点Q 满足F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =|F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |且|PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |， 可得Q 在线段F 1P 的延长线上，由椭圆的定义可得|PF 1|+|PF 2|=|PF 1|+|PQ|=|F 1Q|=2a ， 即Q 在以O 为圆心，2a 为半径的圆上， |PQ|的最小值为a −c ，最大值为a +c ， 即a −c =1，a +c =9，解得a =5，c =4， b =√a 2−c 2=3， 可得椭圆方程为x 225+y 29=1．故选：A ．由题意可得Q 在线段F 1P 的延长线上，由椭圆的定义可得|PF 1|+|PF 2|=|PF 1|+|PQ|=|F 1Q|=2a ，即Q 在以O 为圆心，2a 为半径的圆上，|PQ|的最小值为a −c ，最大值为a +c ，解方程可得a ，c ，进而得到b ，可得椭圆方程．本题考查椭圆的定义和圆的定义，以及椭圆方程的求法，考查向量数量积的定义，以及推理能力，属于基础题．8.答案：C解析：本题考查了基本不等式的性质、基本不等式的应用，属于基础题． 平方作差，利用基本不等式的性质即可得出． 解：∵a 、b 、c 、d 、x 、y 是正实数，∴Q 2−P 2=ab +cd +(bcy x +adxy)−(ab +cd +2√abcd) =(bcy x +adxy)−2√abcd ≥2√abcd −2√abcd =0， ∴Q ≥P ． 故选C ．9.答案：B解析：本题主要考查循环结构与程序框图，属于中档题．根据循环的条件，模拟程序的运行，逐一写出即可．解析：解：模拟程序的运行，可得a=−1，S=0，k=1；满足条件k<5，执行循环体，S=−1，a=1，k=2；，a=3，k=3；满足条件k<5，执行循环体，S=−12满足条件k<5，执行循环体，S=1，a=5，k=4；2，a=7，k=5；满足条件k<5，执行循环体，S=74，此时，不满足条件k<5，退出循环，输出S的值为74故选B．10.答案：B解析：解：∵f(x)=−x3+3x2−4，∴f′(x)=−3x2+6x，在x=1处的切线斜率k=3，又∵f(1)=−2，切点为(1,−2)，∴切线方程为y+2=3(x−1)化简得3x−y−5=0．故选：B．根据导数的几何意义求出函数在x=1处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可．本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力、推理能力，属于基础题．11.答案：C解析：本题考查三角函数的性质与图象，属于基础题．由f(x)对称轴的表达式及ω的范围即可得答案．)的图象的一条对称轴为x=π，解：由函数f(x)=2sin (ωx−π6得，因为ω∈(0,1)， 所以k =0，ω=23． 故选C ．12.答案：A解析：本题考查双曲线的离心率的求法，考查双曲线的渐近线方程，及运算能力，属于基础题． 由双曲线的渐近线方程及点P 的坐标，可得b =3a ，由a ，b ，c 的关系和离心率公式计算即可得到离心率．解：P(1,3)在双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线上， 则ba =3−01−0=3，即b =3a ， 所以e =c a =√c 2a 2=√a 2+b 2a 2=√1+b2a 2=√1+9=√10．故选A ．13.答案：(−3)n解析：解：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1=−3，a 4=81， ∴81=−3×q 3，解得q =−3．则该数列的通项a n =(−3)×(−3)n−1=(−3)n ． 故答案为：(−3)n ．利用等比数列的通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.答案：12解析：解：由题意可得AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=0+12×12=12故答案为：12由平面向量基本定理用向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示要求的向量，由数量积的运算可得． 本题考查平面向量数量积的运算，用向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示要求的向量是解决问题的关键，属基础题． 15.答案：3解析：解：由于(1−x)4=1−4x +6x 2−4x 3+x 4， ∴(x 2+x +1)(1−x)4展开式中x 2的系数为1−4+6=3， 故答案为：3．把(1−x)4按照二项式定理展开，可得(x 2+x +1)(1−x)4展开式中x 2的系数． 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．16.答案：16π3解析：本题考查球的表面积的求法，考查四面体及外接球等知识，考查运算求解能力，是中档题． 推导出底面△BCD 为等边三角形，取CD 中点为E ，连接BE ，则△BCD 的外心在BE 上，设为G ，取BC 中点F ，连接GF ，过G 作AB 的平行线与AB 的中垂线HO 交于O ，O 为四面体ABCD 的外接球的球心，R =OB ，由此能求出球O 的表面积． 解：如图所示：∵BC =CD =1，∠BCD =60°， ∴底面△BCD 为等边三角形， 取CD 中点为E ，连接BE ，∴△BCD 的外心在BE 上，设为G ，取BC 中点F ，连接GF ， 在Rt △BCE 中，由CE =12，∠CBE =30°，得BF =12BC =12，又在Rt △BFG 中，得BG =12cos30°=√33， 过G 作AB 的平行线与AB 的中垂线HO 交于O ， 则O 为四面体ABCD 的外接球的球心，即R =OB ， ∵AB ⊥平面BCD ，BG ⊂平面BCD ， ∴OG ⊥BG ， 在Rt △BGO 中，得OB =√OG 2+BG 2=√12+(√33)2=2√33，∴球O 的表面积为．故答案为：16π3．17.答案：解：(Ⅰ)在△ABC 中，asinA =bsinB ，可得bsinA =asinB ，又由bsinA =3csinB ，可得a =3c ，又因a =6，故c =2． 由b 2=a 2+c 2−2accosB ，且cosB =13，可得b =4√2． (Ⅱ)由cosB =13，可得sinB =2√23，进而得cos2B =2cos 2B −1=−79，sin2B =2sinBcosB =4√29，所以cos(2B +π6)=cos2Bcos π6−sin2Bsin π6=−79⋅√32−4√29⋅12=−7√3+4√218．解析：(I)利用正余弦定理即可得出． (II)利用倍角公式以及和差公式即可得出．本题考查了正弦定理余弦定理、三角函数求值、倍角公式和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于较易题．18.答案：解：(Ⅰ)证明：∵AB ⊥平面PAD ，∴AB ⊥DP ，∵DP =2√3，AP =2，∠PAD =60°， 由PDsin∠PAD =PAsin∠PDA ，可得sin∠PDA =12， ∴∠PDA =30°，∴∠APD =90°，∴DP ⊥AP ，∵AB ∩AP =A ，∴DP ⊥平面PAB ， ∵DP ⊂平面PCD ，∴平面PAB ⊥平面PCD ；(Ⅱ)以A 为原点，在平面APD 中过A 作AD 的垂线为x 轴，AD 为y 轴，AB 为z 轴， 建立空间直角坐标系，则A(0,0，0)，C(0,4，3)，D(0,4，0)，P(√3,1，0)，B(0,0，1)， 连结AC ，与BD 交于点N ，连结MN ，∵PA//平面MBD ，MN 为平面PAC 与平面MBD 的交线， ∴PA//MN ，∴MCMP =NCNA ，在四边形ABCD 中，∵AB//CD ，∴△ABN∽△CDN ， ∴NC NA=CD AB=3，MC MP=3，PM =14PC ，∴M(34√3,74,34)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1，−1)，BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4，−1)，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(34√3,74,−14)， 设平面MBD 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4y −z =0n ⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34√3x +74y −14z =0，取y =1，得n ⃗ =(−√33,1，4)， 设直线BP 与平面MBD 所成角为θ， 则sinθ=|BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=2√19565． ∴直线BP 与平面MBD 所成角的正弦值为2√19565．解析：本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． (Ⅰ)推导出AB ⊥DP ，DP ⊥AP ，从而DP ⊥平面PAB ，由此能证明平面PAB ⊥平面PCD ． (Ⅱ)以A 为原点，在平面APD 中过A 作AD 的垂线为x 轴，AD 为y 轴，AB 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BP 与平面MBD 所成角的正弦值．19.答案：(1)C:y 2=8x ，(2)详见解析解析：(Ⅰ)因为直线AB 过点F 且与抛物线C 交于A,B 两点，F(p2,0)，设A(x 1,y1),B(x2,y2)，直线AB(不垂直轴)的方程可设为y =k(x −p2)(k ≠0).所以y 12=2px 1(p>0),y 22=2px2，因为直线OA 与OB 的斜率之积为−p ，所以y 1y2x 1x 2=−p. 所以(y 1y2x 1x 2)2=p2，得x 1x2=4. 由{y =k(x −p2)y 2=2px消y 得k 2x 2−(k 2p +2p)x +k 2p 24=0其中Δ=(k 2p+2p)2−k2p2k2>0所以x 1x 2=p 24,x 1+x 2=k 2p+2p k 2.所以p =4，抛物线C:y 2=8x. (Ⅱ)设M(x 0,y0),P(x3,y3)，因为M 为线段AB 的中点，所以x 0=12(x 1+x 2)=k 2p+2p 2k 2=2(k 2+2)k 2，y 0=k(x 0−2)=4k .所以直线OD的斜率为k OP =yx 0=2kk 2+2.直线OD 的方程为y =k OP x =2kk 2+2x 代入抛物线C:y 2=8x 的方程，得x 3=2(k 2+2)2k 2.所以x 3x 0=k 2+2.因为k 2>0，所以|OD ||OM |=x3x 0=(k 2+2)>2．20.答案：解：(1)作出的散点图如图所示：(2)观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近， 得x −=52，y −=692， ∴b ̂=∑x i 4i=1y i −4x −y−∑x i 24i=1−4x−2=418−4×52×69230−4×(52)2=735，a ̂=y −−b ̂x −=692−735×52=−2． 故y 对x 的回归直线方程为y ̂=735x −2；(3)当x =9时，y ̂=735×9−2=129.4．故当广告费为9万元时，销售收入约为129.4万元．解析：(1)直接利用表格中的数据作出散点图； (2)求出b ^与a ^的值，则线性回归方程可求；(3)在(2)中的回归方程中，取x =9求得y 值，则答案可求．本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是中档题．21.答案：解：(Ⅰ)f(x)的定义域是(0,+∞)，f′(x)=2ax−1x +a−2=(2x+1)(ax−1)x，①a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0,+∞)上单调递减，②a>0时，令f′(x)=0，解得：x=1a，当x>1a 时，f′(x)>0；当0<x<1a时，f′(x)<0，故f(x)在(0,1a )单调递减，在(1a,+∞)单调递增，综上，a≤0时，f(x)在(0,+∞)单调递减；a>0时，f(x)在(0,1a )单调递减，在(1a,+∞)单调递增；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，当a≤0时，f(x)在(0,+∞)单调递减，而f(1)=2a−2<0，f(x)≥0不恒成立，a>0时，f(x)在(0,1a )单调递减，在(1a,+∞)单调递增；故f(x)min=f(1a )=lna−1a+1，由题意，只需f(1a)≥0，令g(x)=lnx−1x +1，则g′(x)=1x+1x2>0，故g(x)在(0,+∞)单调递增，而g(1)=0，故x>1时，g(x)>0，当x<1时，g(x)<0，故a≥1时，f(x)min=f(1a)≥0，故若f(x)≥0恒成立，则a的范围是[1,+∞)．解析：本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属中档题．(Ⅰ)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；(Ⅱ)求出函数的最小值，由题意，只需f(1a )≥0，令g(x)=lnx−1x+1，求出函数的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可．22.答案：解：(1)由得ρ2+ρ2sin 2θ=2，将ρ2=x 2+y 2，y =ρsinθ代入上式并整理， 得曲线C 的直角坐标方程为x 22+y 2=1．设点P 的直角坐标为(x,y)， 因为P 的极坐标为(√2,π4)， 所以，，所以点P 的直角坐标为(1,1)． (2)将{x =1+35t,y =1+45t 代入x 22+y 2=1， 并整理得41t 2+110t +25=0．因为Δ=1102−4×41×25=8000>0， 故可设方程的两根为t 1，t 2， 则t 1，t 2为A ，B 对应的参数， 且t 1+t 2=−11041．依题意，点M 对应的参数为t 1+t 22，所以|PM|=|t 1+t 22|=5541．解析：本题考查参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用，属于中档题．(1)利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化． (2)利用一元二次方程根与系数的关系的应用，参数的意义求出结果．23.答案：(1)解：因为不等式f(x)≤2的解集为{x|1≤x ≤5}，则x =1和x =5是方程f(x)=|ax −3|=2的解，即{|a −3|=2|5a −3|=2，所以实数a 的值为1． 不等式f(x)<2f(x +1)−1可化为|x −3|<2|x −2|−1，则{x ≥3x −3<2(x −2)−1或{2≤x <3−(x −3)<2(x −2)−1或x <2−(x −3)<−2(x −2)−1，解得x≥3或83<x<3或x<0，所以原不等式的解集为{x|x<0或x>83}．(2)证明：因为m≥3，n≥3，所以f(m)+f(n)=|m−3|+|n−3|=m−3+n−3=3，即m+n=9．所以1m +4n=19(m+n)(1m+4n)=19(1+4+nm+4mn)≥19(5+2√nm⋅4mn)=1，当且仅当nm =4mn，即m=3，n=6时取等号．解析：(1)利用不等式f(x)≤2的解集为{x|1≤x≤5}，说明x=1和x=5是方程f(x)=|ax−3|=2的解，求出a，然后转化不等式f(x)<2f(x+1)−1为|x−3|<2|x−2|−1，通过分类讨论转化求解即可．(2)化简f(m)+f(n)=3，得到m+n=9.利用基本不等式证明即可．本题考查解绝对值不等式和利用基本不等式证明不等式．是中档题．。
河南省2020届高三年级普通高等学校招生全国统一考试4月联考数学理科试题及答案word
试卷类型：B2020年普通高等学校招生全国统一考试·联考理科数学本试卷共5页，23小题（含选考题），满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上用2B 铅笔将试卷类型（B ）填在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}N x x x x A ∈<--=,0322，则集合A 的真子集有（ ）A ．5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个2．已知i 是虚数单位，则化简2020)11(ii -+的结果为（ ） A.i B.i - C.1- D.13.若干年前，某教师刚退休的月退休金为400元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）A ．4500元 B. 5000元 C ．5500元 D ．6000元4．将包括甲、乙、丙在内的8人平均分成两组参加文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（ ） A.72 B.73 C.71 D.143 5已知抛物线x y 42=的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点)32,3(M 的直线l 交抛物线于另一点N ，则NM NF :等于（ ）A.2:1B.3:1C.4:1D.3:16.在所有棱长都相等的直三棱柱111C B A ABC -中，D ，E 分别为棱AC CC ,1的中点，则直线AB 与平面DE B 1所成角的余弦值为（ ） A.1030 B.2030 C.20130 D.1070 7已知点A （4，3），点B 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥06200y x y x y 所表示平面区域上的任意一点，则AB的最小值为（ ）A.5B.554C.5D.552 8．给出下列说法①定义在[a ，b]上的偶函数b x a x x f ++-=)4()(2的最大值为20； ②“4π=x ”是“1tan =x ”的充分不必要条件； ③命题“21),,0(000≥++∞∈∃x x x ”的否定形式是“21),,0(<++∞∈∀xx x ” 其中正确说法的个数为（ ）A.0B.1C.2D.39.已知5.03422log 2log ,,,03log m c m b m a m ===>，则c b a ,,间的大小关系为 A.c b a << B.c a b << C.b a c << D.a c b <<10．元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两（1秤=15斤，1斤=16两），令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何?其意思是：现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半.若银的数量不变，按此法将银依次分给7个人，则得银最少的一个人得银（ ）A ．9两 B.127266两 C.63266两 D.127250两 11在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若3cos cos c A b B a =-，则Bb A a B a cos cos cos +的最大值为( ) A.2 B.22 C.23 D.332 12.已知几)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数，且)13(log )()(3+=+x x g x f ，不等式0)()(3≥--t x f x g 对R x ∈恒成立，则t 的最大值为（ ）A.1B.2log 233-C.2D.12log 233- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知向量a =（2，5-），b =（1，52），则b 在a 方向上的投影等于 . 14在△ABC 中，∠B=32π，A 、B 是双曲线E 的左、右焦点，点C 在E 上，且BC=21AB ，则E 的离心率为 .5已知函数)0,0)(cos()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 是奇函数，且在]4,6[ππ-上单调减，则ω的最大值是 .16已知三棱锥A -BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，BC=CD=2，AB=AD=6，则三棱锥A -BCD 的外接球的体积为 .三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第次年题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17．（12分） 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且112n n n S na a =+-． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列22n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为T n ，证明： 32n T ＜．18．（12分）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABEF 为正方形，AF ⊥DF ，AF=，∠DFE=∠CEF=45．（1）证明DC ∥FE ；（2）求二面角D -BE -C 的平面角的余弦值．19．（12分）已知点P 在圆O ：x 2+y 2=9上，点P 在x 轴上的投影为Q ，动点M 满足4PQ u u u r u u u r ．（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设G （-3，0），H （3，0），过点F （1，0）的动直线l 与曲线E 交于A 、B 两点，问直线AG 与直线BH 的斜率之比是否为定值?若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．20．（12分）某县为了帮助农户脱贫致富，鼓励农户利用荒地山坡种植果树，某农户考察了三种不同的果树苗A、B、C．经过引种实验发现，引种树苗A的自然成活率为0.7，引种树苗B、C的自然成活率均为p（0.6≤p≤0.8）（1）任取树苗A、B、C各一棵，估计自然成活的棵数为X，求X的分布列及其数学期望；（2）将（1）中的数学期望取得最大值时p的值作为B种树苗自然成活的概率，该农户决定引种n棵B种树苗，引种后没有自然成活的树苗有75%的树苗可经过人栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．①求一棵B种树苗最终成活的概率；②若每棵树苗引种最终成活可获利400元，不成活的每棵亏损80元该农户为了获利期望不低于10万元，问至少要引种种树苗多少棵?21．（12分）已知函数f（x）=（a-1）x+xlnx的图象在点A（e2，f（e2））（e为自然对数的底数）处的切线斜率为4（1）求实数a的值；（2）若m∈Z，且m（x-1）<f（x）+1对任意x>1恒成立，求m的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为-22ππρθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，），直线l 的参数方程为2cos 4sin x t y ts αα=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）． （1）点A 在曲线C 上，且曲线C 在点A 处的切线与直线：x+2+1=0垂直，求点A 的直角坐标；（2）设直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求直线l 的斜率的取值范围．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设函数f （x ）=|x -1|+2|x+1|，x ∈R（1）求不等式f （x ）<5的解集；（2）若关于x 的不等式122)(-<+t x f 在实数范围内解集为空集，求实数t 的取值范围。
2020届河南省天一大联考高三高考全真模拟(三)数学(理)试题(解析版)
2020届河南省天一大联考高三高考全真模拟（三）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}{}222450,20A x x y x y B x x =+-++==>，则集合A B =U （ ）A ．[)1,+∞B ．[]0,1C ．(],1-∞D ．()0,1 【答案】A【解析】通过配方求出集合A ，解不等式求出集合B ，进而可得并集.【详解】对于集合A ：配方得()()22120,1,2x y x y -++=∴==-，从而{}1A =.对于集合):120,0B >Q20,10>>，解得1x >，()1,B ∴=+∞，从而[)1,A B ∞=+U .故选：A.【点睛】本题考查集合的并集运算，考查运算能力，是基础题.2．已知z 为z 的共轭复数，若32zi i =+，则z i +=（ ）A ．24i +B ．22i -C ．D ．【答案】C【解析】先由已知求出z ，进而可得z i +，则复数的模可求.【详解】 由题意可知3223i z i i+==-，从而23,24,z i z i i z i =+∴+=+∴+==.【点睛】 本题考查复数的运算及共轭复数，命题陷阱：1z +易被看成绝对值，从而导致错选，另外，易疏忽共轭复数的运算.3．为了贯彻素质教育，培养各方面人才，使每位学生充分发挥各自的优势，实现卓越发展，某高校将其某- -学院划分为不同的特色专业，各专业人数比例相关数据统计.如图，每位学生限修一门专业.若形体专业共300人，则下列说法错误的是（ ）A ．智能类专业共有630人B ．该学院共有3000人C ．非文化类专业共有1800人D ．动漫类专业共有800人【答案】D【解析】根据形体专业所占比例和人数可求出总人数，分别求出文化类和智能类所占比例，根据比例和总人数可求出不同专业的人数，进而可得答案.【详解】该学院共有300300010%=人，B 正确； 由题意可知，文化类共有115%18%12%10%5%40%-----=，而智能类共有40%3%6%10%21%---=，所以智能类专业共有300021%630⨯=人，A 正确；非文化类专业共有300060%1800⨯=人，C 正确；动漫类专业共有15%3000450⨯=人，故D 错误.故选：D.【点睛】本题考查数据统计知识，考查数据分析，解决问题能力，命题陷阱：饼状图中信息较多，容易分析错误，从而会导致出错.4．已知数列{}n a 是等比数列，48,a a 是方程2840x x -+=的两根，则6a =（ ） A ．22± B ．2 C ．2±D ．2-【解析】根据韦达定理可得48,a a 均为正数，再通过等比数列的性质可得6a .【详解】方程2840x x -+=的两根分别为48,a a ，48480084a a a a +>⎧∴⎨>==⎩，∴4800a a >⎧⎨>⎩， 由等比数列性质可知24864a a a ==， 62a ∴=±又26460,2a a q a =>∴=.故选：B.【点睛】本题考查等比数列性质，考查运动知识解决问题的能力，是基础题.5．已知函数()1f x +是定义在R 上的偶函数，12,x x 为区间()1,+∞上的任意两个不相等的实数，且满足()()12210f x f x x x -<-，131,,,042a f b f c f t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b a c << 【答案】D【解析】先根据函数(1)f x +是偶函数可得出函数()f x 的图象关于直线1x =对称，再由()()12210f x f x x x -<-得()f x 在()1,+∞上为增函数，根据131,,42t t+的大小关系可得函数值的大小.【详解】Q 函数(1)f x +是偶函数，∴函数(1)f x +的图象关于直线0x =对称，从而函数()f x 的图象关于直线1x =对称， 由()()12210f x f x x x -<-得()f x 在()1,+∞上为增函数，1744a f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由0t >得12t t +≥， 从而1731731,4242t f t f f t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+>>>∴+>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即b a c <<.故选：D.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查对知识综合运用的能力，本题的根源是函数性质的综合，将奇偶性转化成对称性，结合对称性把变量化归到同一单调区间，从而应用单调性比较函数值的大小.6．已知,,m n l 是不同的直线，,αβ是不同的平面，若直线m α⊂，直线,,n l m l βαβ⊂⋂=⊥，则m n ⊥是αβ⊥的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要【答案】B【解析】通过面面垂直的判定和性质分别判断充分性和必要性即可.【详解】当//n l 时，若m n ⊥，则不能得到αβ⊥，所以m n ⊥不能推出αβ⊥；反之，若αβ⊥，因为,,m l m l ααβ⊂⋂=⊥，可推出m β⊥.又n β⊂，所以m n ⊥，故m n ⊥是αβ⊥的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查面面垂直的判定与性质定理，以及充分条件､必要条件的判断，考察空间想象能力.7．已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．206+B ．216+C ．20D ．392【答案】A 【解析】由三视图可知该几何体正方体''''ABCD A B C D -截去一个小三棱锥'D AD E -，如图，根据面积公式求出每个面的面积相加即可.【详解】由三视图可知该几何体正方体''''ABCD A B C D -截去一个小三棱锥'D AD E -，如图()()''''111123,1223,222222ABCE CED C AA D S S S ∆=⨯+⨯==⨯+⨯==⨯⨯= 在'AED ∆中，''22125,22AE ED AD =+==可计算'AD 3'122362AED S ∆∴=⨯=， 从而可得该几何体的表面积为332634206++⨯=+.故选：A.【点睛】本题考查切割体的三视图，考察空间想象能力以及运算求解能力，本题根源在于三视图的概念，要求学生会通过三视图还原几何体原图，旨在考查直观想象能力.8．随着交通事业的快速发展，中国高铁在我国各地已普遍建成，并投入使用，加强了各地的联系.已知某次列车沿途途经河南的安阳焦作､洛阳､郑州.开封五个城市，这五个城市有各自有名的景点：红旗渠､云台山､白马寺､二七塔､清明上河园某小朋友对河南比较陌生，他将五个景点与五个城市进行连线(一个城市对一个景点)，则他至少能连正确两对的方法数共有（ ）A ．4种B ．5种C ．31种D ．36种【答案】C【解析】分别算出该小朋友连正确两对，连正确3对，连正确4对(即5对)的方法数，相加即可.该小朋友连正确两对的方法数为25220C ⨯=种；连正确3对的方法数为35110C ⨯=种；连正确4对(即5对)的方法数为1种，至少连正确两对的方法数共有2010131++=种，故选：C.【点睛】本题考查排列组合中典型的不在其位问题，考察分析､解决问题的能力，本题问“至少”，不细心易只计算“连正确两对”的情况；另外学生会出现连正确4对与5对分开来算的情况.9．已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωω=+ϕ>><ϕ<π的部分图像如图所示，给出下列四个结论：①()f x 的最小正周期为2π； ②()f x 的最小值为4-；③(),0π是()f x 的一个对称中心；④函数()f x 在区间25,312⎛⎫-π-π ⎪⎝⎭上单调递增. 其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】B【解析】通过图像可得函数的周期，过点,12A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,2列方程可得解析式为()4sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据正弦函数的图像和性质逐一判断.由图象知函数()f x 的最小正周期为23122T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，则4ω=， 即()()sin 4f x A x =+ϕ， 又由12f A π⎛⎫= ⎪⎝⎭，得sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 由0ϕπ<<可知6π=ϕ，从而()sin 46f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 又(0)2f =，可得sin26A π=， 所以4A =， 从而()4sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，易判断①②正确， 而()0f π≠，所以③错误， 又由242,262k x k k Z ππππ-≤+≤π+∈， 得()f x 的增区间为,,26212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， 可知当1k =-时，25,312⎛⎫-π- ⎪π⎝⎭是()f x 的一个增区间，④正确. 故选：B.【点睛】本题主要考查利用三角函数部分图象求解析式和三角函数的基本性质，考查运算求解能力，是基础题.10．已知实数,a b 满足,a b R +∈，且31a b +=，则()1924a b a b +++的最小值为（ ） A ．173 B ．174 C ．163 D ．194【答案】C【解析】由31a b +=得()()283a b a b +++=，变形()()()()191912824243a b a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++++⨯⎡⎤ ⎪⎣⎦ ⎪++++⎝⎭，展开，利用基本不等式即可求最值.【详解】因为31a b +=，所以393a b +=，即()()283a b a b +++=， ()()()()191912824243a b a b a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++++⨯⎡⎤ ⎪⎣⎦ ⎪++++⎝⎭()()()928111610102924333a b a b a b a b ⎡⎤++=++⨯≥⨯+=⎢⎥++⎣⎦， 当且仅当()283a b a b +=+即51,88a b ==时取等号. 故选：C.【点睛】 本题考查基本不等式，考察转化与规划思想，应用基本不等式时，由和为定值，求其他和的最值，须两和相乘，化为基本不等式应用的模型.11．如图，在ABC ∆中，D 为AB 的中点，,E F 为BC 的两个三等分点，AE 交CD 于点M ，设,AB a AC b ==u u u r r u u u r r ，则FM =u u u u r （ ）A ．171515a b -r r B ．171515a b +r r C ．241515a b -r r D ．241515a b -r r 【答案】A 【解析】连接,FA FD ，由,,E M A 三点共线，可设()1FM FE FA λλ=+-u u u u r u u u r u u u r ，将,FE FAu u u r u u u r 用,AB AC u u u r u u u r 表示，则可得21233FM AB AC λλ--=+u u u u r u u u r u u u r ，同理,,D M C 由三点共线，可设()3213163FM FD FC AB AC μμμμ--=+-=+u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，利用平面向量基本定理列方程组求解.【详解】连接,FA FD ，由,,E M A 三点共线，可设()1FM FE FA λλ=+-u u u u r u u u r u u u r ，由题意知()()112212,333333FE CB AB AC FA FB BA CB AB AB AC AB AB AC ==-=+=-=--=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 所以21233FM AB AC λλ--=+u u u u r u u u r u u u r ， 同理,,D M C 由三点共线，可设()3213163FM FD FC AB AC μμμμ--=+-=+u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以21323621333λμλμ--⎧=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩，解得3545λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 从而171515FM a b =-u u u u r r r . 故选:A.【点睛】本题考查向量的线性运算以及三点共线的向量运算结论，旨在考查学生对基本知识与技能的掌握，是中档题.12．过双曲线()22221,0x y a b a b-=>的左焦点()(),00F c c ->作圆2229a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线的右支于点P ，若2OP OE OF =-u u u r u u u r u u u r (O 为坐标原点)，则双曲线的离心率为（ ）A ．13B 13C 10D 17 【答案】D【解析】设双曲线的右焦点为'F ，连接'PF ，知点E 为FP 的中点，由题可得22293FP c a =-22229233c a a a -=，整理可得离心率.【详解】设双曲线的右焦点为'F ，连接'PF .由2OP OE OF =-u u u r u u u r u u u r ，知点E 为FP 的中点，则OE 为'FPF ∆的中位线， 则'223P OE a F ==，又OE FP ⊥， 所以可得22293FP c a =-. 由双曲线的定义，得22229233c a a a --=， 整理可得22917c a =，则222179c e a ==， 所以173e =. 故选：D.【点睛】 本题考查双曲线的定义，离心率的求解，是中档题.二、双空题13．适逢秋收季节，为培养学生劳动光荣的理念和吃苦耐劳的精神品质，某班随机抽取20名学生参加秋收劳动一掰玉米，现将这20名学生平均分成甲､乙两组，在规定时间内，将两组成员每人所掰的玉米进行称重(单位：千克)，得到如下茎叶图：已知两组数据的平均数相同，则x =_________；乙组的中位数为________.【答案】2 22.5【解析】根据公式计算平均数，将乙组数据从小到大排序，可得中位数. 【详解】由题意，先计算甲组平均数10+12+11+23+21+20+35+30+41+47==2510x 甲，因为=x x 甲乙， 所以101320232021333032462510x ++++++++++=，解得2x =.将乙组数据从小到大排序，可知其中位数为222322.52+=. 故答案为：2；22.5. 【点睛】本题考查统计中的数字特征：平均数､中位数，考查学生的运算能力，是基础题.三、填空题14．某事业单位欲指派甲､乙､丙､丁四人下乡扶贫，每两人一组，分别分配到,A B 两地，单位领导给甲看乙，丙的分配地，给乙看丙的分配地，给丁看甲的分配地，看后甲对大家说：我还是不知道自己该去哪里，则四人中可以知道自己的分配地的是_________. 【答案】乙､丁【解析】从甲还不知道自己该去哪里开始分析，可得乙､丙必定一个在A 地，一个在B 地，再根据乙看丙的分配地，给丁看甲的分配地可分析出结果. 【详解】四人知道的情况是：组织分配的名额､自已看到的及最后甲说的话，根据甲说的话可以判断乙､丙必定一个在A 地，一个在B 地；所以甲、丁一个在A 地，一个在B 地. 又给乙看了丙的分配地， 所以乙知道自己的分配地；给丁看了甲的分配地，丁就知道了自己的分配地， 故填乙､丁. 故答案为：乙､丁. 【点睛】本题为简单的逻辑推理问题，考查基本知识与能力，考查学生应用所学知识解决实际问题的能力.15．已知抛物线()2:20C y px p =>，有如下性质：由抛物线焦点F 发出的光线，经抛物线反射后，反射光线与抛物线的对称轴平行.现有一光线的倾斜角为120︒，过抛物线C 的焦点F ，经反射后，反射光线与xC 的方程为_________.【答案】22y x =或 26y x = 【解析】过F点的直线为2p y x ⎫=-⎪⎭，与抛物线联立，求得y ，进而根据条件列方程可得p 的值，则抛物线方程可求. 【详解】过F点的直线为2p y x ⎫=-⎪⎭，由222p y x y px⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩，得y ==y == 从而1p =或3，故所求抛物线方程为22y x =或26y x =. 故答案为：22y x =或26y x =. 【点睛】本题考查抛物线方程的求解，考查运算能力，是基础题. 16．已知函数[)21()sin ,0,2f x x x ax x =++∈+∞，满足()0f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为_________. 【答案】[)1,-+∞【解析】由题意可知'()cos f x x x a =++，设()cos h x x x a =++，可得'()1sin 0h x x =-≥，求出()h x 的单调性，分1a ≥-，1a <-讨论，求出()f x 的单调性和最值，进而可得答案. 【详解】由题意可知'()cos f x x x a =++， 设()cos h x x x a =++，则'()1sin 0h x x =-≥，所以()h x 在[)0,+∞上为增函数，(0)1h a =+，（1）当10a +≥，即1a ≥-时，()(0)0h x h ≥≥，从而()f x 在[)0,+∞上为增函数， 所以()(0)0f x f ≥=恒成立；（2）当10a +<，即1a <-，令2x a =-，则()(2)2cos 20h a a -=+->. 又(0)10h a =+<，所以()00,x ∃∈+∞，使得0()0h x =，从而()f x 在()00,x 上为减函数，当()00,x x ∈时，()(0)0f x f <=，不合题意. 综上a 得取值范围为{}1a a ≥-. 故答案为：[)1,-+∞. 【点睛】本题考查三角函数与导函数的综合问题，考查灵活运用导数处理恒成立问题的能力，是中档题.四、解答题17．如图，ABC ∆为等边三角形，边长为3，D 为边AC 上一点且2AD DC =，过C 作CE BC ⊥交BD 的延长线于点E .（1）求sin ADB ∠的值； （2）求DE 的长. 【答案】（1）32114.（2）75【解析】（1）在ABD ∆中，由余弦定理求出BD ，结合正弦定理求出ADB ∠的正弦值； （2）在CDE ∆中，应用正弦定理，求出DE . 【详解】（1）由题意可知60,3,2A AB AD =︒==，由余弦定理， 得22212cos 9423272BD AB AD AB AD A =+-⋅=+-⨯⨯⨯=从而7BD =，设ADB CDE θ∠=∠=，在ABD ∆中，由正弦定理，得sin sin AB BD Aθ=，即37sin 3θ=， 得321sin θ=； （2）由题意知θ为锐角，所以27cos 1sin 14θθ=-=， 而()3157sin sin 30sin cos 2214E θθθ=+︒=+=， 在CDE ∆中，由正弦定理，得sin 30sin DE CDE=︒，所以11sin 3072sin 57CD DE E ⨯⋅︒===. 【点睛】本题考查解三角形主要应用：（1）三角形固有条件；（2）正､余弦定理；（3）三角形有关公式，是基础题.18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，160,1,2,4ABC PA AB BC PE PC ∠=︒====（1）求证：AE ⊥平面PCD ； （2）求二面角B AE D --的余弦值. 【答案】（1）答案见解析.（2）213【解析】（1）由已知条件得90BAC ACD ∠=∠=︒，又PA CD ⊥，易证CD ⊥平面PAC ，从而证得AE ⊥平面PCD ；（2）由（1）可建立空间直角坐标系，应用平面的法向量形成的角求解二面角. 【详解】（1）在ABC ∆中，由余弦定理，可知2221=2cos 1421132AC AB BC AB BC ABC +-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，AC ∴从而可得222,90AB AC BC BAC +=∴∠=︒， 又ABCD 为平行四边形，90ACD ∴∠=︒，即CD AC ⊥，PA Q ⊥平面,ABCD CD ⊂平面,ABCD PA CD ∴⊥，PA AC A =Q I ，从而CD ⊥平面PAC ，又AE ⊂平面,PAC AE CD ∴⊥，在,1,Rt PAC PA AC ∆==2PC =，又1142PE PC ==， 从而可得2,PA PE PC AE PC =⋅∴⊥， 又PC CD C =I ，AE ∴⊥平面PCD ；（2）由（1）可知,,AB AC PA AB PA AC ⊥⊥⊥，所以分别以,,AB AC AP 所在直线为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()0,0,0,1,0,0,0,0,1,,A B P C D -设(),,E x y z ，由14PE PC =u u u r u u u r ，得()()1,,114x y z -=-30,44E ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭()()31,0,0,0,,,44AB AE AD ⎛⎫∴===- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ，设平面ABE 的法向量为()111,,n x y z =r，则由n ABn AE⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u vvu u u vv，得1110,334xy z=⎧⎪⎨+=⎪，令11z=则()13,0,3,1y n=-∴=-r，设平面AED的法向量为()222,,m x y z=u r，则由m AEm AD⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u vvu u u vv，得222233430y zx y⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，令21z=，得2233yx⎧=-⎪⎨=-⎪⎩()3,3,1m∴=--u r，213cos,13213m nm nm n⋅∴===⨯u r ru r ru r r，由图可知，二面角B AE D--为钝二面角，所以所求余弦值为213-.【点睛】本题考查线面垂直及二面角的余弦值，考查空间想象能力，高考对立体几何的考查一般分两问，第一问证明，第二问求值，求二面角问题时，采用空间向量方法来解决，是中档题.19．已知椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的左､右焦点分别是1,F2F，直线l过1F交C于,A B两点，2ABF∆的周长为42过2F且垂直于x2.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线1l (斜率存在)交椭圆C 于,P Q 两点(,P Q 异于上顶点)，椭圆上顶点为,M PM QM ⊥，线段PQ 的垂直平分线2l 在x 轴上的截距为0x ，求0x 的取值范围.【答案】（1）2212x y +=.（2）0x ≤≤且00x ≠【解析】（1）利用椭圆定义，以及椭圆的所过点可确定椭圆的标准方程；（2）设直线1l 方程，联立直线与椭圆方程，应用PM QM ⊥，可变两参数为一个参数，进而用关于k 的式子表示0x ，从而可得0x 的范围. 【详解】（1）由题意可知2ABF ∆的周长为224AB AF BF a a ++==∴= 又过2F 且垂直于x，∴椭圆过点c ⎛ ⎝⎭，代入椭圆方程得221122c b +=① 又222b c +=② 由①②得221b c ==，∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=；（2）由题可知直线1l 的斜率0k ≠，设()1:1l y kx m m =+≠， 则由2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得()222124220k x kmx m +++-=， 且()()()2224412220km km∆=-+->，化简得2212k m +>，设()()1122,,,P x y Q x y ，则12221224122212km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， ()()()11220,1,,1,,1M MP x y MQ x y =-=-u u u r u u u u rQ ，()()1212110MP MQ x x y y ∴⋅=+--=u u u r u u u u r，即()()()()2212121110kx x k m x x m ++-++-=，也即()()()2222222411101212m km k k m m k k-+--+-=++，整理得()()1310m m -+=，解得13m =-或1m =(舍去)， PQ ∴所在的直线方程为13y kx =-，设线段PQ 的中点坐标为()'',x y ，则()()2'122'21,2312312x x k x y k k +-===++， ∴线段PQ 的中垂线2l 的方程为()()22112312312ky x k k k ⎛⎫ ⎪+=-- ⎪++⎝⎭， ∴直线2l 在x 轴上的截距()021131232k x k k k ==⎛⎫++ ⎪⎝⎭，0k ≠，当0k >时，132kk⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭1011232k k <≤⎛⎫+ ⎪⎝⎭； 当k 0<时，132k k⎛⎫+≤- ⎪⎝⎭10132k k ≤<⎛⎫+ ⎪⎝⎭，0x ≤≤且00x ≠. 综上所述，0x的取值范围是01212x -≤≤且00x ≠. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系以及直线的垂直问题，考查运算求解能力；直线与椭圆的位置关系是高考的重点，主要解决方法联立方程处理根与系数关系，经常结合基本不等式研究变量的取值范围.20．已知函数()()1sin cos xf x axe x x x =+++（1）若1,2a x π=≥-，求()f x 的单调区间； （2）()sin cos ()f x x x g x x --=，若7,0,,()44x g x ππ⎡⎫⎛⎤∈-⋃-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦的导函数有零点，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的增区间为[)1,-+∞，减区间为,12π⎡⎫--⎪⎢⎣⎭.（2）344,11,22e e ππ-⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U 【解析】（1）1a =代入原式，求导，判断导数符号，确定单调区间；（2）利用参变量分离，通过构造新函数，研究新函数的取值，确定参数a 的范围. 【详解】（1）当1a =时，()()1sin cos xf x xe x x x =+++，()()()()'()1sin 1cos sin 1cos x x f x x e x x x x x e x =++++-=++，令()cos xh x e x =+，则当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，0,cos 0,cos 0x x e x e x >≥∴+>， 当2x π>时，1,cos 0,cos 0x xe x e x >≥∴+>， 2x π∴≥-时，cos 0x e x +>，若'()0f x ≥，则1x ≥-；若'()0f x <，则12x π-≥<-，∴当2x π≥-时，()f x 的增区间为[)1,-+∞，减区间为,12π⎡⎫--⎪⎢⎣⎭； （2）由题意，可知()sin ,,00,44xg x ae x x π7π⎡⎫⎛⎤=+∈-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦则'()cos 0xg x ae x =+=在,00,44π7π⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦上有解， cos xxa e -∴=设cos ()x x m x e -=，则'sin cos ()xx x m x e +=若'()0m x ≥，则sin cos 0x x +≥04x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭解得344x ππ-≤≤且0x ≠若'()0m x <，则sin cos 0x x +<04x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭解得3744x ππ<< ()m x ∴在,0,0,44π3π⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦上为增函数，在37,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数而4,(0)142m e m ππ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭374437(),4242m m ππ--ππ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，又7412π-->-41a π<<-或341a π--<<∴a 的取值范围为344,11,22e e ππ-⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U .【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，以及恒成立条件下的求范围问题；考查运算能力和分析问题､解决问题的能力，是一道难度较大的题目.21．甲､乙两位同学每人每次投掷两颗骰子，规则如下：若掷出的点数之和大于6，则继续投掷；否则，由对方投掷.第一次由甲开始.（1）若连续两次由甲投掷，则称甲为“幸运儿”，在共投掷四次的情况下，求甲为“幸运儿”的概率；（2）设第n 次由甲投掷的概率为n p ，求n p .【答案】（1）11831728.（2）1111262n n p -⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭【解析】（1）搞清两种状况，①第一､第二次均由甲投掷，即甲第一次所掷点数之和大于6，②第一次由甲投掷，第二次由乙投掷，第三，四次由甲投掷，即第一次甲所掷点数之和小于等于6，第二次乙所掷点数之和小于等于6，第三次甲所掷点数之和大于6，分别计算概率；（2）由第n 次与1n +次的关系，建立递推公式115612n n p p +=+，构造等比数列数列，求出通项公式即可. 【详解】由题意知，投掷两颗骰子，共有36种结果，点数之和大于6的有()()()()()()()()1,6,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,3,4,4()()()()()()()()4,5,4,6,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6,6,1()()()()()6,2,6,3,6,4,6,5,6,6共21种.则点数之和大于6的概率为712，小于等于6的概率为512. （1）由题意可知甲成为“幸运儿”的情况有两种：①第一､第二次均由甲投掷，即甲第一次所掷点数之和大于6， 其概率为7711212⨯=， ②第一次由甲投掷，第二次由乙投掷，第三，四次由甲投掷，即第一次甲所掷点数之和小于等于6，第二次乙所掷点数之和小于等于6，第三次甲所掷点数之和大于6， 其概率为55717511212121728⨯⨯⨯=， 甲为“幸运儿”的概率为717511831217281728+=； （2）第1n +次由甲投掷这一事件，包含两类：①第n 次由甲投掷，第1n +次由甲投掷，其概率为2136n p ， ②第n 次由乙投掷，第1n +次由甲投掷，其概率为()211136n p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 从而有()1212115113636612n n n n p p p p +⎛⎫=+--=+ ⎪⎝⎭， 1111262n n p p +⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭ 1111111210,122262n n p p p +--=-=≠∴=-Q ∴数列12n p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，16为公比的等比数列 1111226n n p -⎛⎫∴-=⨯ ⎪⎝⎭， 1111262n n p -⎛⎫∴=⨯+ ⎪⎝⎭. 【点睛】 本题考查递推数列在概率统计中的应用，一般考查递推公式求通项公式，虽以概率为背景，实则考查数列较多一些，是一道难度较大的题目.22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数，0απ≤≤)，曲线()22:24C x y -+=.以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设l 与C 交于,D E 两点(异于原点)，求OD OE +的最大值.【答案】（1）4cos ρθ=.（2）【解析】（1）展开曲线C 的方程，利用cos ,sin x y ρθρθ==，从而得曲线C 的极坐标方程；（2）在极坐标系下，应用几何意义，确定线段之和，从而求出最值.【详解】（1）曲线C 可化为2240x x y -+=， 即224x y x +=，也即24cos ρρθ=，所以4cos ρθ=所以曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=；（2）由直线l 的参数方程可知，l 必过()2,0点，即圆C 的圆心， 从而2DOE π∠= 设()12,,,2D E ρθρθπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，其中,22ππθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭则124cos 4cos 2OD OE ρρθθπ⎛⎫+=+=++ ⎪⎝⎭4θπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以当4πθ=-时，OD OE +取得最大值为【点睛】 本题考查三种方程间的相互转化，是该类问题的考察对象，应用极坐标求最值问题也是常见方法，要求学生必须掌握，考查了转化与化归思想，是基础题.23．已知实数,a b 满足0,0a b >>且1a b +=.（1）证明：()()2222119a b a b --≥；（2≤【答案】（1）答案见解析.（2）答案见解析【解析】（1）应用,a b 关系，用一个表示另一个，达到减少变量的目的，从而进行作差比较；另外可应用“1”的代换思想，构造式子，变形为基本不等式的形式，进行证明；（2）设t =1a b +=可得23t =+，利用基本不等式求得最大值，即可证明.【详解】（1）解法1： ()()2222911a b a b --- 222281a b a b =++-()()22228111a a a a =-++--()3224851a a a a =-+-()()22121a a a =--10,1,01b a a a =->∴<∴<<Q ()()221210a a a ∴--≤从而可得()()2222119a b a b --≥；解法2：220,0,0a b a b >>∴>Q ∴原不等式可化为2211119a b ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1a b +=Q 且0,0a b >>221111a b ⎛⎫⎛⎫∴-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()222222a b a a b b a b +-+-=⨯222222b b a a a a b b ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 225a b b a=++59≥=当且仅当12a b ==时取等号，得证；（2）设t =，则()()211t a b =++++1a b +=Q22130,0,24a b t a b ab +⎛⎫∴=+>>∴≤= ⎪⎝⎭2336t ∴=+≤+=t ∴≤12a b ==时等号成立，得证. 【点睛】本题考查不等式的证明，考察转化与化归思想，不等式证明问题多与基本不等式有关，用基本不等式证明应思考等号成立的条件，是中档题.。
2020届河南省高三猜题大联考(三)数学(文)试题(解析版)
2020届河南省高三猜题大联考（三）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}2M x =≤，{}0,1,2,3N =，则MN =（ ）A ．{}0,1,2,3B ．{}1,2,3C ．{}1,2D ．{}3【答案】B【解析】先求出集合M ，然后求出M N ⋂即可. 【详解】2≤，所以有014x ≤-≤，解之得：15x ≤≤，则{}|15M x x =≤≤， 故{}1,2,3MN =.故选：B . 【点睛】本题主要考查交集的求法，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题. 2．i 是虚数单位，复数z 满足：3iz i =+，则z =（ ） A ．13i + B ．13i -C ．13i -+D ．13i --【答案】A【解析】首先求出13z i =-，再求z 即可. 【详解】 因为3(3)()13iz i i i i+==+⋅-=-，所以13z i =+. 故选：A 【点睛】本题主要考查共轭复数，同时考查复数的运算，属于简单题.3．已知：函数()()22f x x k x =+-是[)1,+∞上的增函数，则k 的取值范围为（ ）A ．(],0-∞B ．[)0,+∞C ．(],1-∞D ．[)1,+∞ 【答案】B【解析】首先根据二次函数的性质得到212k --≤，再解不等式即可. 【详解】函数()()22f x x k x =+-的对称轴为22k x -=-，且开口向上，因为()f x 在[)1,+∞上的增函数， 所以212k --≤，解得：0k ≥. 故选：B 【点睛】本题主要考查函数的单调性，同时考查二次函数的性质，属于简单题. 4．等差数列{}n a 中，1720a a +=，535S =，则20a =（ ） A ．54 B ．56C ．58D ．61【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意列出1a 和d 的方程组，解得1a 和d ，最后写出20a 即可. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则有11162051035a a d a d ++=⎧⎨+=⎩，解得：113a d =⎧⎨=⎩，故2011958a a d =+=.故选：C 【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，侧重考查对基础知识的理解和掌握，考查计算能力，属于常考题.5．已知3log 2a =，3log b π=，c =a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c a b <<【答案】A【解析】根据指数幂和对数的运算性质，求得,,a b c 的范围，即可求解. 【详解】由对数的运算性质，可得333log 2log 31log π<=<，所以a b <，由指数幂和对数的运算性质，可得332log 9log π>=>，所以c b >，所以a b c <<. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了指数幂与对数的运算性质的应用，其中解答中根据指数幂和对数的运算性质，求得,,a b c 的范围是解答的关键，着重考查运算与求解能力.6．如图，PA 是圆柱1OO 的一条母线，AB 是底面圆的一条直径，C 是底面圆周上一点，三棱锥P ABC -的体积与圆柱1OO 的体积之比为1:3π，则tan CAB ∠=（ ）A ．1B 2C 3D ．2【答案】A【解析】设圆柱的底面半径为r ，高为h ，CAB θ∠=，根据题意表示21sin 23P ABC V r =h θ-⋅和2V r h π=圆柱，根据三棱锥P ABC -的体积与圆柱1OO 的体积之比为1:3π，求得CAB ∠，进而求得tan CAB ∠即可. 【详解】解：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，CAB θ∠=由题知：90ACB ∠=︒， 可得：211sin 22cos sin sin 222ABC AB AC BAC r r r S θθθ=⋅⋅∠=⋅⋅⋅=△， 211sin 233P ABCABC V S h r h θ-=⋅⋅=⋅，2O V S h r h π=⋅=圆柱， 1=3P ABC V V π-圆柱 ∴221sin 213sin 21453r hr h θθθππ⋅⋅=∴=∴=︒，，，tan 1θ∴=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查三棱锥的体积与圆柱的体积，考查学生的计算能力及对公式的掌握程度，属于中档题.7．椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，椭圆上的点M 满足：1260F MF ∠=︒，且122MF MF ⋅=，则b =（ ）A ．1B 2C 3D ．2【答案】C【解析】设1MF m =，2MF n =，根据122MF MF ⋅=和余弦定理，列方程求解即可 【详解】设1MF m =，2MF n =，则cos6024mn mn ︒=⇒=， 又2m n a +=（1），()21222222cos604n mn F F m a b ︒+==--（2），（1）式平方减去（2）式得：23b =，得：3b =故选：C. 【点睛】本题考查余弦定理，考查向量的数量积运算，主要考查学生的计算能力，属于基础题. 8．已知正实数p ，q ，r 满足：()()()2111p q r ++=+，a pq =2p qb +=，222p q c +=） A ．r a ≤ B ．a r b ≤≤ C ．b r c ≤≤ D ．r c ≥【答案】B【解析】首先利用基本不等式得到(22(1)1r pq +≥+和22(1)12p q r +⎛⎫++ ⎪⎝⎭≤，从而得到r pq ≥2p qr +≤，即得到答案. 【详解】2(1)(1)(1)1r p q p q pq +=++=+++(2121pq pq pq≥+=，得：11r pq r pq a r +≥⇒≥⇒≤，又2(1)(1)(1)1r p q p q pq +=++=+++221()122p q p q p q ++⎛⎫⎛⎫≤+++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得：1122p q p qr r r b +++≤+⇒≤⇒≤， 所以a r b ≤≤. 故选：B 【点睛】本题主要考查基本不等式的性质，同时考查学生分析问题的能力，属于中档题. 9．执行下图的程序框图，若输入的6a =，则输出的S 值为（ ）A ．60B ．48C ．24D ．12【答案】C【解析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的,i S 的值，当1i =时退出循环，输出S .【详解】3i =，6683S =+=， 2i =，88122S =+=，1i =，121224S =+=，则输出的S 值为24. 故选:C . 【点睛】本题主要考查“直到型”循环结构.属于容易题.10．过原点引x y e t =+的切线，若切线斜率为1e ，则t =（ ） A ．e -B ．1eC ．2eD ．2e-【答案】D【解析】先求导数e x y '=，由01e =，故原点不可能是切点，再设出切点坐标，根据曲线在切点处的导数值等于切线斜率，求出t . 【详解】'x y e =，又01e =，故原点不可能是切点，设切点坐标为()00,x y ，则001'1x xy e ex e =⇒=⇒=-，01y t e=+， 又()0100012x y e t e t t e x x e-+===-+⇒=-. 故选：D. 【点睛】本题考查了过某点处的切线问题，利用导数的几何意义：曲线在切点处的导数值等于切线斜率解决问题，属于基础题.11．已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>图象的一条对称轴是3x π=-，且()f x 在,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是单调函数，则ω的最大值为（ ） A ．5 B ．6C ．10D ．12【答案】D【解析】先利用()f x 对称轴()3k x k Z ππω=-+∈，又由()f x 在,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为单调函数，列不等式可得,k ω间的不等关系，进而可得ω的最大值. 【详解】()f x 的图象的对称轴可表示为()3k x k Z ππω=-+∈，故存在的0k Z ∈满足：()()00000123122151536k k k k k πππωωπππω⎧-+≤⎪⎪⇒≤≤+⇒≤⎨+⎪-+≥⎪⎩，故05k =时，12ω=为最大值.故选：D. 【点睛】本题主要考查了利用三角函数的部分性质来研究函数的解析式，三角函数的周期性及单调性的综合应用，是一道综合性较好的试题．属于中档题.12．双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，点M 是渐近线上的点且位于第一象限，F 为右焦点，57OM OF =，线段MF 交双曲线于Q ，射线OQ 平分∠MOF ，则双曲线的离心率为（ ）A ．75B ．85C ．2D ．135【答案】B【解析】根据OQ 平分∠MOF ，利用角平分线定理得到57MQ OM QFOF==，结合点()',M a b 在射线OM 所在直线b y x a =上得到55,77M a b ⎛⎫⎪⎝⎭，再由512MQ MF =，得到Q 的坐标， 根据Q 在双曲线上，代入双曲线方程求解. 【详解】因为OQ 平分∠MOF ， 所以57MQ OMQFOF ==， 又射线OM 所在直线方程为：by x a=， 则()',M a b 是射线OM 上一点，且'OM c OF ==，故5'7OM OM =， 故55,77M a b ⎛⎫⎪⎝⎭， 设(),Q x y ，由512MQ MF =，得5()12512x c a y b ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因为Q 在双曲线上，所以代入双曲线方程得：2225()251144144c a a +-=， 所以225(1)169144144e +=， 解得85e =. 故选：B 【点睛】本题主要考查双曲线简单几何性质的应用以及角平分线定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．等比数列{}n a 满足：12211000a a a =，则8lg a =______. 【答案】1【解析】设数列{}n a 的公比为q ，由题易得78110a a q ==，从而得出8lg a 的值.【详解】设数列{}n a 的公比为q ，则201111000a a q a q⋅⋅=，即()3711000a q =，所以7110a q =，所以781lg lg lg101a a q ===.【点睛】本题考查等比数列的应用，侧重考查对基础知识的理解的掌握，考查计算能力，属于常考题.14．正方形ABCD 边长为2，E 、F 分别是BC 、CD 中点，则AE AF ⋅=______. 【答案】4【解析】首先利用向量加法的几何意义得到1122AE AF AB AD AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，再化简求值即可得到答案. 【详解】 如图所示：1122AE AF AB AD AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22115224AB AD AB AD =++⋅，由90DAB ∠=，所以0AB AD ⋅=， 故2211422AE AF AB AD ⋅=+=. 故答案为：4 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，同时考查向量加法的几何意义，属于简单题. 15．在区间[]0,5上随机取一个实数x ，满足220x x -≤的概率为______. 【答案】25【解析】首先解不等式220x x -≤，再由几何概型公式计算概率即可. 【详解】由220x x -≤解得：02x ≤≤，由几何概型可知所求概率为25. 故答案为：25【点睛】本题主要考查几何概型，同时考查了二次不等式，属于简单题.16．三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，120BAC ∠=︒，PBC 为正三角形，23BC =P ABC -外接球表面积为______.【答案】24π【解析】设ABC 外心为1O ，求得12AO =，再结合截面性质，求得球的半径，利用球的表面积公式，即可求解. 【详解】如图所示，设ABC 外心为1O ，1AO 交点BC 于M ，则M 为BC 中点， 又由142sin120BCAO ==︒，可得12AO =，由1O BA ∆为正三角形，可得11O M MA ==， 在正三角形PBC 中，223PM PB BM =-=，又由PA ⊥平面ABC ，可得21212212O O P PM MA A -===， 故222116R O O O A =+=，则2424R S ππ==球.【点睛】本题主要考查了球的性质，以及球的表面积的计算，其中解答中熟练应用求得截面性质，求得球的半径是解答的关键，着重考查运算与求解能力.三、解答题17．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足：2cos cos cos b B C Aac c a=+. （1）求B ；（2）若ABC 面积为3S =4，求ABC 的周长. 【答案】（1）3π；（2）623+. 【解析】（1）首先将已知等式化简，再利用正弦定理将边化角，即可求出结果； （2）根据三角形面积公式可得ac ， 再正弦定理可求b ，再利用余弦定理可求a c +，由此即可求出结果.【详解】 （1）2cos cos cos 2cos cos cos b B C Ab B a Cc A ac c a=+⇒=+， 得2sin cos sin cos sin cos sin()B B A C C A A C =+=+sin B =，1sin 0cos 2B B ≠∴=()0,B π∈∴3B π=.（2）ABC 的面积1sin 2382S ac B ac ==⇒=， 由正弦定理可知423sin bb B=⇒=， 由222222cos 12b a c ac B a c ac =+-⇒+-=2()12336a c ac ⇒+=+=，则6a c +=，∴ABC 的周长为623+. 【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.18．三棱台111ABC A B C -中，12AA AB AC ===，1111A B AC m ==，11AB AC =，90BAC ∠=︒，M 为BC 中点.（1）证明平面1A AM ⊥平面ABC ；（2）若190BAC ∠=︒，多面体111A B C CB 的体积为22，求m . 参考公式：(121213h S V S S S =++台 【答案】（1）证明见解析；（2）1m =.【解析】（1）利用已知条件可得BC ⊥平面1A AM ，再有面面垂直的判定定理得出结论；（2）利用已知条件可得190A MA ∠=︒，由（1）可得1A M ⊥平面ABC ，找到棱台的高为h =111A B C CB 的体积转化为求1111ABC A B C A ABC V V ---，即可得出结果. 【详解】（1）M 为BC 中点，2AB AC ==，可得：AM BC ⊥，11A B A C =，可得：1A M BC ⊥，故得：BC ⊥平面1A AM ，而BC ⊂平面ABC ，故平面1A AM ⊥平面ABC .（2）11902BCBAC A M ∠=︒⇒==与AM =12AA =， 得：190A MA ∠=︒，由（1）知平面1A AM ⊥平面ABC ， 可得：1A M ⊥平面ABC ，故棱台的高为h =2ABCS=，111212A B C S m =△，故由1111211322ABC A B C A ABC V V h m m --⎛⎫-=+=⎪⎝⎭，把h =1m =.【点睛】本题主要考查面面垂直的判定定理和性质定理以及求多面体的体积问题.属于中档题. 19．曲线C ：()220y px p =>与曲线E ：2232x y +=交于A 、B 两点，O 为原点，90AOB ∠=︒.（1）求p ；（2）曲线C 上一点M 的纵坐标为2，过点M 作直线1l 、2l ，1l 、2l 的斜率分别为1k 、2k ，122k k +=，1l 、2l 分别交曲线C 于异于M 的不同点N ，P ，证明：直线NP 恒过定点.【答案】（1）2；（2）证明见解析.【解析】（1）由对称性可知：A 、B 关于x 轴对称，根据90AOB ∠=︒可设(),A a a ，分别代入曲线C 和曲线E ，解方程即可得出结果；（2）由（1）求得M 的坐标，设()11N x y ,，()22,P x y ，由122k k +=化简计算可得124y y ，讨论直线的斜率是否为0，斜率不为0时设直线NP 的方程为：x my t =+，与曲线C 方程联立，利用韦达定理化简即可得出结果. 【详解】（1）由对称性可知：A 、B 关于x 轴对称，可设(),Aa a ，则222a pa a p =⇒=，把()2,2A p p 代入曲线C 得：22(2)(2)322p p p +=⇒=.（2）由（1）得：()1,2M ，设()11N x y ,，()22,P x y ，求得设()11N x y ,，()22,P x y ，则11121112241214y y k y x y --===-+-，同理2242k y =+，1212124422422k k y y y y +=⇒+=⇒=++(*)， 若直线NP 斜率为0，直线NP 的方程为：0y t =，代入曲线C ，仅一解，不合题意，舍去，m 存在时，设直线NP 的方程为：x my t =+，把x my t =+代入24y x =整理得：224()440y my t y my t =+⇒--=，得：121244y y my y t +=⎧⎨=-⎩，代入(*)式，得：441t t -=⇒=-，故直线NP 的方程为：1x my =-，恒过()1,0-. 【点睛】本题考查抛物线的方程及直线与抛物线的位置关系中恒过定点问题，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题.20．中国已经逐渐进入老龄化社会，以下是2015—2019这5年的中国某省人口平均寿命及年龄分布图表.（1）社会老龄化的一个重要特征是：劳动力减少，老龄人增加，幼龄人减少.根据图表写出劳动力人数占比小于65%，且60岁以上人数多于16岁以下人数的年份； （2）人口平均寿命的增长是造成人口老龄化的一个重要因素.由统计规律发现，60岁以上（不含60）人口数量占比y 与人口平均寿命x 拟合线性回归模型. ①求出线性回归方程（精确到0.01）；②到2025年该省人口预期平均寿命为80岁，16岁以下人口占比预期为17.5，计算2025年劳动力占比的预期值（精确到0.1）.参考数据公式：①1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y b x =-⋅；②516534.72i i i x y ==∑；③52129186.3ii x==∑；④25836.96x =；⑤1306.44xy =.【答案】（1）2018，2019；（2）① 1.68111.25y x =-；②59.4%. 【解析】（1）观察图表即可得出结果；（2）①根据线性回归的公式求解即可；②根据求得的线性回归方程求得当80x =时，ˆ23.15y=，进而估计2025年劳动力占比的预期值即可. 【详解】解：（1）由图表可知：劳动力人数占比小于65%，且60岁以上人数多于16岁以下人数的年份是：2018，2019. （2）①1234576.45x x x x x x ++++==，1234517.15y y y y y y ++++==，51522156534.7251306.441.6829186.35583695ˆ.6i ii ii x y xybxx ==--⨯===-⨯-∑∑，17.1 1.6876.4111ˆˆ.252ay b x =-⋅=-⨯=-， 故所求线性回归方程为： 1.68111.25y x =-. ②80x =，求得 1.6880111.2523.15y =⨯-=.故2025年劳动力占比的预期值为：123.15%17.5%59.4%--≈. 【点睛】本题主要考查线性回归方程的求法，考查学生的计算能力，属于中档题. 21．已知：函数()22ln f x x x x =-.（1）证明：()f x 是增函数；（2）已知：1201x x <<<且()()12''f x f x =，证明：122x x +>. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）对函数()f x 求导令()()'222ln g x fx x x ==--，则对函数()g x 求导，分析函数()g x 的单调性，得出函数()g x 的最值，从而分析出导函数()'f x 的正负，可得证； （2）由（1）得()'222ln fx x x =--，且1122222ln 222ln x x x x --=--，欲证122x x +>，需证：21122122ln ln x x x x x x -⋅=<+-，构造函数1()ln 2(1)1x h x x x x -=-⋅>+，对其求导，分析其单调性得最值，可得证. 【详解】 （1）()()'222ln g x f x x x ==--，则()'22(1)2xg x x x -=-=， 在区间()0,1上，()'0g x <，()g x 在()0,1上单调递减；在区间()1,+∞上，()'0g x >，()g x 在()1,+∞上单调递增.故()g x 最小值为()10g =， 故()'0fx ≥，即()f x 是增函数.（2）由（1）知：()'222ln fx x x =--，故21112221222ln 222ln ln ln x x x x x x x x ---=--⇒-2121122ln ln x x x x -=⇒⋅=-，故欲证122x x +>，只需证：21122122ln ln x x x x x x -⋅=<+-，等价于：2212121212111ln ln 2ln 21x x x x xx x x x x x x --->⋅⇔>⋅++()*令1()ln 2(1)1x h x x x x -=-⋅>+，则2'2214(1)()0(1)(1)x h x x x x -=-=>++， 故()h x 为增函数，()()110x h x h >⇒>=，而211x x >，故2221211110ln 21x x x x h x x x x -⎛⎫>⇒>⋅ ⎪⎝⎭+，即()*式得证.故原不等式成立. 【点睛】本题考查运用导函数研究函数的单调性，证明不等式等综合问题，关键在于构造合适的函数，对其导函数得出取得正负的区间，得出所求函数的单调性，属于难题.22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为：12x a y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=.（1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）已知直线l 与x 轴交于P ，与曲线C 交于A ，B 两点，且2PA PB ⋅=，求a .【答案】（1）0x a -=，2240x y y +-=；（2）.【解析】（1）根据212x a t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去参数即可；由4sin ρθ=，得到24sin ρρθ=，再将222,sin x y y ρρθ+==，代入化简即可.（2）易得(),0P a，将12x a y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入2240x y y +-=，又2122t t a PA PB ⋅==⋅=求解.【详解】（1）因为12x a y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以)2t x a y =-=， 所以直线l 的普通方程为.0x a -= ∵4sin ρθ=， ∴24sin ρρθ=， ∴224x y y +=. 即2240x y y +-= （2）易得：(),0P a ，将12x a y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入2240x y y +-=，得222)0t t a +-+=，>0∆可解得44a -<<-，得：212t t a ⋅=，又由t 的几何意义，得：2122t t a PA PB ⋅==⋅=，∴a =经验证，舍掉a =故a =【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程和直角坐标方程的转化以及直线参数的几何意义的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 23．已知()34f x x x =-++.（1）求不等式()9f x ≤的解集；（2）若()f x 的最小值是k ，且222a b k +=，求证：229161a b+≥. 【答案】（1）{}|54x x -≤≤；（2）证明见解析.【解析】（1）分类讨论()f x 去掉绝对值，再分别解不等式组即可. （2）首先利用绝对值三角不等式得到7k =，再将原式转化为()222222916191649a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式即可证明. 【详解】（1）()349f x x x =-++≤，等价于()()4349x x x <-⎧⎨---+≤⎩或()()43349x x x -≤<⎧⎨--++≤⎩或()()3349x x x ≥⎧⎨-++≤⎩，得：54x -≤<-或43x -≤<或34x ≤≤. 综上：不等式()9f x ≤的解集{}|54x x -≤≤. （2）因为()34347f x x x x x =-++≥-++=， 所以()f x 的最小值为7，即7k =. 所以()222222916191649a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭2222191619162514949b a a b ⎛⎛⎫=+++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝， （当且仅当221a =，228b =时，等号成立）. 即证：229161a b+≥. 【点睛】本题第一问考查绝对值不等式的解法，第二问考查绝对值三角不等式和基本不等式，属于中档题.。
河南省名校联考2020届高三联考数学(理)试题Word版含解析
河南省名校联考2020届高三联考数学（理）试题考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足，则（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】化简为的形式，再求.【详解】依题意，故，故选C.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数的模的运算，属于基础题. 求解与复数概念相关问题的技巧：复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即的形式，再根据题意求解.2.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先解一元二次不等式得集合A，再根据集合补集与并集定义求结果.【详解】因为，所以,选B.【点睛】本题考查集合的补集与并集定义，考查基本分析求解能力，属基本题.3.如图给出的是某小区居民一段时间内访问网站的比例图，则下列选项中不超过．．．的为（）A. 腾讯与百度的访问量所占比例之和B. 网易与搜狗的访问量所占比例之和C. 淘宝与论坛的访问量所占比例之和D. 新浪与小说的访问量所占比例之和【答案】B【解析】【分析】根据图表，分析出两个网站访问量不超过．．．的选项.【详解】由于网易与搜狗的访问量所占比例之和为，不超过，故选B.【点睛】本小题主要考查图表分析，考查分析处理数据的能力，属于基础题.4.为了得到函数的图象，需对函数的图象所作的变换可以为（）A. 先将图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位B. 先向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变C. 先向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变D. 先向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变【答案】A【解析】【分析】根据三角函数图像变换规律作出判断.【详解】函数的图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位得--,函数的图象先向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变得+,函数的图象先向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的，纵坐标不变得+,函数的图象先向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变得-,所以选A.【点睛】本题考查三角函数图像变换，考查基本分析判别能力，属基本题.5.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，满足.若为等腰三角形，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由条件得在双曲线右支，代入方程解得，进而确定等腰三角形的腰，列方程解离心率.【详解】因为满足，所以在双曲线右支，因此,又为等腰三角形，所以,因为,所以，选B.【点睛】本题考查双曲线定义以及离心率，考查基本分析求解能力，属中档题.6.若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由，得，化简，代入求值即可.【详解】由，得，则故选：D【点睛】本题考查了三角函数的恒等变形，考查了三角函数的倍角公式和同角三角函数的基本关系等知识，也考查了计算能力，属于中档题7.已知抛物线：与圆：交于，，，四点.若轴，且线段恰为圆的一条直径，则点的横坐标为（）A. B. 3 C. D. 6【答案】A【解析】【分析】求出圆心和半径，根据轴和线段恰为圆的一条直径得到的坐标，代入抛物线方程求得的值，设出点的坐标，利用是圆的直径，所对圆周角为直角，即，由此求得点的横坐标.【详解】圆：可化为，故圆心为，半径为，由于轴和线段恰为圆的一条直径，故.将点坐标代入抛物线方程得，故，抛物线方程为.设，由于是圆的直径，所对圆周角为直角，即,也即，所以，化简得，解得，故点横坐标为.故选A.【点睛】本小题主要考查圆和抛物线的位置关系，考查抛物线的对称性，考查抛物线方程的求法，考查圆的几何性质，考查圆一般方程化为标准方程，考查圆的直径所对的圆周为直角，考查向量的数量积运算，运算量较大，属于中档题.8.陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】根据三视图可知，该几何体是由两个圆锥和一个圆柱构成，由此计算出陀螺的表面积.【详解】最上面圆锥的母线长为，底面周长为，侧面积为，下面圆锥的母线长为，底面周长为，侧面积为，没被挡住的部分面积为，中间圆柱的侧面积为.故表面积为，故选C.【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查三视图还原为原图，考查几何体表面积的计算，属于基础题.9.若，，，则实数，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先判断出大于，而小于，得到最小为.然后利用对数的运算和性质，比较两个数的大小.【详解】，而，故是最小的.由于，即，即，故选D.【点睛】本小题主要考查指数式和对数式比较大小，考查对数函数的性质，考查比较大小的方法，属于中档题.10.运行如图所示的程序框图，若输出的的值为1011，则判断框中可以填（）A. B. C. D.【答案】C【解析】利用程序框图的功能，进行模拟计算即可．【详解】程序的功能是计算S＝1sin+3sin+5sin+…＝1﹣3+5﹣7+9+…+，则1011＝1+505×2＝1﹣3+5﹣7+9+…则第1011个奇数为2×1011﹣1＝2021不成立，第1012个奇数为2×1012﹣1＝2023成立，故条件为i＞2022？，故选：C．【点睛】本题主要考查程序框图的应用，利用程序框图的功能是解决本题的关键，属于基础题.11.在正方体中，点平面，点是线段的中点，若，则当的面积取得最小值时，（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取的中点，连接，证明点在直线上，当时，三角形的面积取得最小值，进而求得的值.【详解】取的中点，连接，设.作出图像如下图所示.易得，所以平面，所以.易得，所以平面，所以.故平面，所以在直线上，可使得.由于，所以最短时三角形的面积取得最小值，此时点在点的位置.设正方体棱长为，故.，所以，所以，故，故选D.难度较大，属于难题..本题解题关键点在于找到点所在的位置，主要通过证明线面垂直来找到.12.已知，若，且，使得，则满足条件的的取值个数为（）A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】A【解析】【分析】先求,值域，再研究单调性与值域,进而确定取值范围，即得结果.【详解】因为，所以由题意得在上不单调，因为，所以,当时, ,, 当时, ,,因此，选A.【点睛】本题考查任意存在性问题以及函数值域与单调性，考查综合分析化简求解能力，属难题.二、填空题.13.若向量，，且，则实数____．【答案】【解析】【分析】由向量垂直与向量数量积的关系可得，若，得，解x的值即可．【详解】由，得且，得，解得.故答案为：【点睛】本题考查了向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量垂直与向量数量积的关系，属于基础题．14.若，满足约束条件，则的最大值为______．【答案】【解析】【分析】先作出可行域，再根据斜率含义确定最优解.【详解】作出可行域，如图，则的最大值为.【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.15.的展开式中，含的项的系数为_____.（用数字填写答案）【答案】35【解析】【分析】先根据二项展开式通项公式确定含的项的项数，再代入求结果.【详解】,即含的项的系数为【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.16.如图所示，点，分别在菱形的边，上，，，则的面积的最小值为______．【答案】【解析】【分析】设,，在中，且由正弦定理得，在中，由正弦定理得，在中，计算即可.【详解】在菱形中，，所以=，在中，=，设,,则,且由正弦定理得，在中， ,则,由正弦定理，得，在中，因为，所以，即，所以，所以故答案为：【点睛】本题考查了正弦定理在三角形的应用，也考查了直角三角形的面积公式，三角函数求最值得问题，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知等差数列的前项和为，且，.（Ⅰ）证明：是等差数列；（Ⅱ）设，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，，由，得，，求出，利用定义法即可判断；（II）由得，由数列的乘公比错位相减法求和即可.【详解】设等差数列的公差为，，则，解得.所以，解得，所以.所以.所以.因为当时，,当时，,故是首项为，公差为的等差数列.（II）由可知，故.故.两式相减可得.故.【点睛】本题考查了利用定义法证明数列是等差数列，也考查了利用乘公比错位相减法求数列和，考查了学生的计算能力，属于中档题.18.如图，在四棱锥中，与交于点，，，.（Ⅰ）在线段上找一点，使得平面，并证明你的结论；（Ⅱ）若，，，求二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】【分析】（I）取线段上靠近的三等分点，连接，因为，，所以，由，得，所以，即可证明结论成立.（II）以为坐标原点，以直线分别为轴，过点且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量为，平面的个法向量为，由向量法即可求出二面角的平面角.【详解】（I）取线段上靠近的三等分点，连接.因为，，所以,所以.而，所以，所以.而平面.平面，故平面.（II）易知为等边三角形，所以.又，故，所以有.由已知可得，又，所以平面.以为坐标原点，以直线分别为轴，过点且与平面垂直的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，所以，，，，则，，，.设平面的一个法向量为，则有即设，则，所以.设平面的个法向量为，则有即令，则，所以.所以.因为二面角为锐角，故所求二面角的余弦值为.【点睛】本题考查空间线面平行的判定定理和利用向量法求二面角，也考查了计算能力，属于中档题. 19.2018年10月28日，重庆公交车坠江事件震惊全国，也引发了广大群众的思考——如何做一个文明的乘客.全国各地大部分社区组织居民学习了文明乘车规范.社区委员会针对居民的学习结果进行了相关的问卷调查，并将得到的分数整理成如图所示的统计图.（Ⅰ）求得分在上的频率；（Ⅱ）求社区居民问卷调查的平均得分的估计值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（Ⅲ）以频率估计概率，若在全部参与学习的居民中随机抽取5人参加问卷调查，记得分在间的人数为，求的分布列以及数学期望.【答案】（Ⅰ）0.3 ；（Ⅱ）70.5；（Ⅲ）详见解析.【解析】【分析】（I）由频率分布直方图可得所求的频率；（II）由频率分布直方图的平均值公式计算即可；（III）人数服从，即可得出P（X＝k）＝，k＝0，1，2，3，4，5，及其分布列与数学期望E（X）．【详解】（I）依题意，所求频率.（II）由（1）可知各组的中间值及对应的频率如下表：即问卷调查的平均得分的估计值为.（III）依题意，.故,.,,.故的分布列为：故.【点睛】本题考查了二项分布列的概率计算公式及其数学期望、频率分布直方图的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.已知椭圆：，点，.（Ⅰ）若直线与椭圆交于，两点，且为线段的中点，求直线的斜率；（Ⅱ）若直线：与椭圆交于，两点，求的面积的最大值.【答案】（Ⅰ）-1；（Ⅱ）【解析】【分析】（I）因为在椭圆上，设，且为线段的中点，得，，由点差法即可计算直线的斜率；（II）联立，得，由可得，,由弦长公式可得点到直线的距离由计算即可.【详解】（I）设，故，将两式相减，可得，即因为为线段的中点，所以得即故直线的斜率（II）联立可得，由可得，解得.设由根与系数的关系可得又点到直线的距离当且仅当，即时取等号.故的面积的最大值为.【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，弦长公式和点到直线的距离，也考查了点差法在弦中点的应用，计算能力和均值不等式，属于中档题.21.已知函数.（Ⅰ）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（Ⅱ）设，求证：.【答案】（1）（2）见证明【解析】【分析】（1）由于函数在上单调递增，故另导函数恒大于零，分离常数得到，利用导数求得的最小值，由此求得的取值范围.（2）令，则.将原不等式等价转化为，构造函数，利用导数证得，由此证得不等式成立.【详解】（1）由题可知.令，即，当时有.令，则.所以当时，，所以在上单调递增.所以，即，故实数的取值范围为.（2）令，则.故.构造函数，则.所以在上单调递增，所以，所以当时，，故.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数单调性，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于难题.在解题过程中，导数是一种工具的作用，用来求单调区间和最值.22.在极坐标系中，曲线的极坐标方程为.以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）.（Ⅰ）若，求曲线的直角坐标方程以及直线的极坐标方程；（Ⅱ）设点，曲线与直线交于，两点，求的最小值.【答案】（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，直线的极坐标方程为；（Ⅱ）【解析】【分析】（I）由普通方程与参数方程，极坐标方程的互化，即可得到结果；（II）联立直线与曲线的方程得，设点对应得参数分别为，得，则，即可求的最小值.【详解】（I）曲线，将代入得,即曲线的直角坐标方程为直线，故故直线的极坐标方程为（II）联立直线与曲线的方程得即设点对应得参数分别为，则因为当时，取等号.所以的最小值为【点睛】本题考查普通方程与参数方程，极坐标方程的互化，直线参数方程的应用，属于基础题.23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数.（Ⅰ）在如图所示的网格纸中作出函数的图象；（Ⅱ）记函数的最小值为，证明：不等式成立的充要条件是.【答案】(1)见解析；(2)见证明【解析】【分析】（1）利用零点分段法去绝对值，将表示为分段函数的形式，由此画出函数的图像.（2）根据（1）求得的值.将原不等式转化，然后判断出不等式成立的充要条件是.【详解】（1）依题意，，作出函数的图象如图所示：（2）由（Ⅰ）中图象可知..因为当时，，当时，，故不等式成立的充要条件是.【点睛】本小题主要考查利用零点分段法化简含有两个绝对值的函数，考查充要条件的证明，属于中档题.。
河南省天一大联考2020届高三高中毕业班阶段性测试(三)数学(理)试题及参考答案
天一大联考 2019-2020学年高中毕业班阶段性测试（三）数学（理科）考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一邊是符合题目要求的。
1.已知集合 A = {045|2≤+-x x x }，B={0>,sin 3|x x y y -=}，则=B AA.[1,4]B.[2,4]C.[-4,-1]D.(-1,4)2.已知复数z 满足212--=i i z ，则z 在复平面内对应的点位于 A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限执行如图所示的程序框图，则输出的b =A. 5B.4C. 3D. 23.已知等差数列{n a }的公差不为0，27=a ,且4a 是a2与5a 的等比中项，则{n a }的前 10项和为A.10B.OC.-10D.-184.已知43)3sin(-=-απ,则=-)232021cos(απ A. 81 B. 81- C. 873 D . 873-5.若方程0cos sin 32=-+αx x 有实根，则实数a 的取值范围为A. [1,12]B. [-1,+∞)C. ( -∞,1]D. [-1，1237] 6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为A. 18B. 218C. 36D. 488.已知数列{n a }是递增的等比数列，10,402426=+=-a a a a ,则=A. 35B. 25C. 35D. 25 9.如图所示，是等边三角形，其内部三个圆的半径相等，且圆心都在的一条中线上.在三角形内任取一点，则该点取自阴影部分的概率为A. 499πB. 4933πC. π332D. 9π 10.已知三棱锥A - BCD 内接于球0，AB=BC = BD=4，ACBD= 60°,AB⊥平面BCD,则球0的表面积为A. 328πB. 425πC. 3112πD.π6011.如图所示，在直角坐标系xOy 中，ABC ∆和BDE ∆都是等腰直角三角形，090=∠=∠BDE ABC ，且OA= OB.若点C 和点E 都在抛物线)0>(22p px y =上，则ABC ∆与BDE ∆的面积的比值为A. 81B. 223-C. 42D.12- 12. 设函数)('x f 是函数))((R x x f ∈的导函数，当0≠x 时，0<)(3)('xx f x f +,则函数31)()(x x f x g -=的零点个数为 A. 3 B.2 C.1 D.0二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量235,1||),4,3(=⋅=-=b a b a ，则向量a 与b 的夹角=θ . 14.已知双曲线C: )0>,0>(12222b a by a x =-的渐近线方程为x y 22±=，点A(1，2)到右焦点F 的距离为22，则C 的方程为 .15.已知函数)2|<|0,>)(sin(2)(πφωϕω+=x x f 满足2)()0(==πf f ，且)(x f 在区间)2,4(ππ上单调递减，则ω的值为 . 16.设函数x xe x g x x x f 2)(,123)(=+-=，若),1(1+∞-∈x ，使得),1(2+∞-∈∀x ，不等式)f(m >)(4222x x emg 恒成立,则实数m 的取值范围是 .三、解答题:共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(10 分）17.设数列{n a }的前n 项和为n S ,)2(,31142≥=-=-+n S a S a n n .(I)求n S ;(II)数列{n S }满足142-+=n n n S b ，求数列{n b }的前n 项和n T . 18.(12 分）已知ABC ∆ 的内角 A ，B ，C 的对边分别为2,3,cos )2(cos ,,,==-=c a A b c B a c b a .(I)求角A ； (II)求ABC ∆的面积.19.(12分)在直四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 是菱形，F E AA AB BAD ,,221,6010===∠分别是线段111,D C AA 的中点. (I)求证:CE BD ⊥； (II)求平面ABCD 与平面CEF 所成锐二面角的余弦值.20.(12 分)某社区100名居民参加2019年国庆活动，他们的年龄在30岁至80岁之间，将年龄按[30，40)，[40， 50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]分组，得到的频率分布直方图如图所示.(I )求a 的值，并求该社区参加2019年国庆活动的居民的平均年龄(每个分组取中间值作代表）；(II)现从年龄在[50,60)，[70,80]的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行座谈，用X 表示参与座谈的居民的年龄在[70,80]的人数，求Z 的分布列和数学期望；(Ⅲ）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地30岁至80岁之间的市民中抽取20名进行调查，其中有k 名市民的年龄在[30,50)的概率为Pk(k=0,l ,2,…，20)，当最大时，求k 的值.21.(12分)已知椭圆)0>,0>(12222b a by a x =+的长轴长与焦距分别为方程0862=+-x x 的两个实数根.(I)求椭圆的标准方程；(II)若直线l 过点)0,4(-M 且与椭圆相交于A ，B 两点，F 是椭圆的左焦点，当ABF ∆面积最大时,求直线l 的斜率.22.(12分）已知R a ∈,函数11)(2+--=x ax e x f x . (I)若0=a ,证明：当1<x 时,0)(≤x f ; (II)若0=x 是)(x f 的极小值点，求a 的取值范围.。
2020年河南省高考数学猜题大联考试卷(理科)(三) (解析版)
2020年河南省高考数学猜题大联考试卷(理科)(三)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合M ={x|1≤x <3}，N ={1,2}，则M ∩N =( )A. {1}B. {1,2}C. 0D. [1,2]2. i 是虚数单位，若1+7i2−i =z ，则z −等于( )A. 3i −1B. 3i +1C. 1−3iD. −1−3i3. 函数f(x)=x 2−2ax ，x ∈[1,+∞)是增函数，则实数a 的取值范围是( )A. RB. [1,+∞)C. (−∞,1]D. [2,+∞)4. 在等差数列{a n }中，若a 3=2，a 5=8，则S 7等于( )A. 16B. 18C. 35D. 225. 设a =(34)0.5，b =(43)0.4，c =log 34(log 34)，则( ) A. a <b <c B. a <c <b C. c <a <b D. c <b <a6. 如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S ，那么圆柱的体积等于( )A. S √S 2B. S 2√SπC. S √S 4D. S 4√Sπ7. 已知椭圆C ：x 225+y 216=1，点F 是椭圆的左焦点，点A 是它的上顶点，点B 是右顶点，则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 31B. −31C. 1D. −98. 已知正实数p ，q ，r 满足：(1+p)(1+q)=(1+r)2，a =√pq ，b =p+q 2，c =√p2+q 22，则以下不等式正确的是( )A. r ≤aB. a ≤r ≤bC. b ≤r ≤cD. r ≥c9. 执行如图所示的程序框图，当输出S =210时，则输入n 的值为( )A. 6B. 7C. 8D. 910. 已知函数f(x)=ax 3+x +1的图象在点(1,f(1))的切线过点(2,7)，则a 的值为( )A. 1B. 2C. 3D. 411. 若函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间[π3,π2]上单调递减，则ω取值范围是( )A. 0≤ω≤23B. 0≤ω≤32C. 23≤ω≤3D. 32≤ω≤312. 已知点P(1,2)在双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线上，则C 的离心率是( )A. √2B. √3C. √52D. √5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在等比数列{a n }中，已知a 3=4，a 7−2a 5−32=0，那么a 7=________． 14. 已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 15. (1+1x )(1−2x)5的展开式中x 2的系数为______．16. 已知四面体ABCD ，AB =4，AC =AD =6，∠BAC =∠BAD =60°，∠CAD =90°，则该四面体外接球半径为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足：2bcosB ac=cosC c+cosA a，(1)求∠B ；(2)若△ABC 面积为S =2√3，外接圆直径为4，求△ABC 的周长．18.在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，AA1⊥平．面ABCD，AB=2AD=2，∠DAB=π3(1)证明：平面D1BC⊥平面D1BD；(2)若二面角D1−BC−D为π，求BC1与平面D1BC所成角的正弦值．619.设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，过F且斜率为1的直线l与C交于A，B两点，|AB|=4．(1)求抛物线C的方程；(2)若A关于x轴的对称点为D，求证：直线BD恒过定点，并求出该点的坐标．20.某产品的广告支出x(单位：万元)与销售收入y(单位：万元)之间有下表所对应的数据：广告支出x(单位：万元)1234销售收入y(单位：万元)12284256(1)画出表中数据的散点图；(2)求出y 对x 的回归直线方程y ̂=b ̂x +a ̂； (3)若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？ 参考公式：b =∑x i n i=1y i −n⋅x −⋅y−∑x i 2n i=1−nx−2，a =y −−bx −．21. 已知函数f (x )=lnx +2a x,a ∈R ．(1)若函数f (x )在[4,+∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)若函数f (x )在[1,e ]上的最小值为3，求实数a 的值．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为{x =12ty =√32t −1(t 为参数).在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程是ρ=2√2sin(π4+θ)．(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)设点P(0,−1).若直线l 与曲线C 相交于两点A ，B ，求|PA|+|PB|的值．23.已知函数f(x)=|ax−3|，不等式f(x)≤2的解集为{x|1≤x≤5}．(1)解不等式f(x)<2f(x+1)−1；(2)若m≥3，n≥3，f(m)+f(n)=3，求证：1m +4n≥1．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.利用交集定义直接求解．解：∵集合M={x|1≤x<3}，N={1,2}，∴M∩N={1,2}．故选B．2.答案：D解析：解：由1+7i2−i=z，得z=1+7i2−i =(1+7i)(2+i) (2−i)(2+i)=−5+15i5=−1+3i，∴z−=−1−3i．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，共轭复数，是基础题．3.答案：C解析：本题主要考查函数的单调性，二次函数的性质．利用函数的单调性，二次函数的性质，函数f(x)的对称轴为x=a，由此求得实数a的取值范围．解：因为函数f(x)=x2−2ax在x∈[1,+∞)是增函数，而函数f(x)的开口向上，对称轴为x=a，所以a ≤1， 故答案选C ．4.答案：C解析：解：由a 3=2，a 5=8， 得{a 1+2d =2a 1+4d =8， 则{a 1=−4d =3． ∵a 7=−4×6d =14， ∴S 7=7×(−4+14)2=35．故选；C ．由a 3=2，a 5=8，得到{a 1+2d =2a 1+4d =8，求出a 1和d 的值，然后代入等差数列的前n 项和公式，即可得答案．本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n 项和，是基础题．5.答案：C解析：解：∵a =(34)0.5∈(0,1)，b =(43)0.4>1，c =log 34(log 34)<0， ∴c <a <b ． 故选：C ．利用指数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：D解析：本题考查圆柱的侧面积、体积的计算及其关系，考查计算能力，属基础题．设圆柱高为h ，推出底面半径，求出圆柱的侧面积，然后求出圆柱的体积即可得到选项．解：设圆柱高为h ，则底面半径为ℎ2． 由题意知，S =πℎ2，。
2020年河南省郑州市高考数学第三次质量预测试卷(理科)(三模)
2020年河南省郑州市高考数学第三次质量预测试卷（理科）（三模）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集U＝R，集合A＝{x|x−2≤0}，B＝{x|log2x<2}，则A∩B＝（）A.{x|x≤2}B.{x|x≤0或x>2}C.{x|0<x≤2}D.{x|x<2或x≥4}2. 已知复数z满足(1+√3i)z＝1+i，则其共轭复数z¯在复平面内对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 函数f(x)＝2sin x+sin|x|+|sin x|在[−2π, 2π]的图象大致为（）A.B.C.D.4. 两个非零向量a→，b→满足|a→+b→|＝|a→−b→|＝2|a→|，则向量b→与a→−b→夹角为（）A.56π B.π6C.23π D.π35. 执行如图所示的程序框图，输入n＝5，m＝3，那么输出的p值为（）A.360B.60C.36D.126. 已知a=(12)12,b=(13)13,c=log1213，则a，b，c的大小关系是（）A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b7. 某个微信群某次进行的抢红包活动中，群主所发红包的总金额为10元，被随机分配为2.49元、1.32元、2.19元、0.63元、3.37元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是( ) A.25 B.12C.34D.568. 天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天于回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推已知1949年为“己丑”年，那么到中华人民共和国成立70年时为（ ） A.丙酉年 B.戊申年C.己申年D.己亥年9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）A.√6πB.8√6πC.32√3πD.64√6π10. 若将函数f(x)＝cos (2x +φ)的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g(x)的图象，且g(x)的图象关于原点对称，则|φ|的最小值为（ ） A.π6 B.π3C.2π3D.5π611. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，过F 作直线y =−ba x 的垂线，垂足为M ，且交双曲线的左支于N 点，若FN →=2FM →，则双曲线的离心率为（ ） A.3 B.√5 C.2 D.√312. 已知函数y =f(x)在R 上可导且f(0)=1，其导函数f ′(x)满足f ′(x)−f(x)x−1>0，对于函数g(x)=f(x)e ，下列结论正确的是( )A.函数g(x)在(1, +∞)上为单调递增函数B.x =1是函数g(x)的极小值点C.函数g(x)至多有两个零点D.当x ≤0时，不等式f(x)≤e x 恒成立二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.某车间将10名工人平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个工人加工的合格零件数如茎叶图所示，已知两组工人在单位时间内加工的合格零件平均数都为20，则m +n ＝________．已知x ，y 满足约束条件{x −y +4≥0x +2y ≥0x ≤1，则z ＝3x +y 的最大值为________．点A(3, 2)是圆(x −2)2+(y −1)2＝9内一点，则过点A 的最短弦长为________．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设2(sin B −sin C)2+cos (B −C)＝2sin 2A −cos A ． (Ⅰ)求A ； (Ⅱ)求b+c a的取值范围．依法纳税是公民应尽的义务，随着经济的发展，个人收入的提高，自2018年10月1日起，个人所得税起征点和税率进行了调整，调整前后的计算方法如下表，2018年12月22日国务院又印发了《个人所得税专项附加扣除暂行办法》（以下简称《办法》），自2019年1月1日起施行，该《办法》指出，个人所得税专项附加扣除，是指个人所得税法规定的子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等6项专项附加扣除．简单来说，2018年10月1日之前，“应纳税所得额”＝“税前收入”-“险金”-“基本减除费用（统一为3500元）”-“依法扣除的其他扣除费用”；自2019年1月1日起，“应纳税所得额”＝“税前收人”-“险金”-“基本减除费用（统一为5000元）”-“专项附加扣除费用”-“依法扣除的其他扣除费用． 调整前后个人所得税税率表如表：某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，扣除险金后，制成下面的频数分布表：(Ⅰ)估算小李公司员工该月扣除险金后的平均收入为多少？(Ⅱ)若小李在该月扣除险金后的收入为10000元，假设小李除住房租金一项专项扣除费用1500元外，无其他依法扣除费用，则2019年1月1日起小李的个人所得税，比2018年10月1日之前少交多少？(Ⅲ)先从收入在[9000, 11000)及[11000, 13000)的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选2人作为新纳税法知识宣讲员，求两个宣讲员不全是同一收入人群的概率．如图，ABCD 为矩形，点A 、E 、B 、F 共面，且△ABE 和△ABF 均为等腰直角三角形，且∠BAE ＝∠AFB ＝90∘． (Ⅰ)若平面ABCD ⊥平面AEBF ，证明平面BCF ⊥平面ADF ；(Ⅱ)问在线段EC 上是否存在一点G ，使得BG // 平面CDF ，若存在，求出此时三棱锥G −ABE 与三棱锥G −ADF 的体积之比．已知抛物线E:y 2＝2px(p >0)的焦点为F ，直线l:y ＝2x −2，直线l 与E 的交点为A ，B ．同时|AF|+|BF|＝8，直线m // l ．直线m 与E 的交点为C 、D ，与y 轴交于点P ． (I)求抛物线E 的方程；(Ⅱ)若CP →=4DP →，求|CD|的长．已知函数f(x)＝ln x −a √x ． (Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)存在正实数k 使得函数g(x)＝kx −1+f(x)有三个零点，求实数a 的取值范围．（二）选考题：共10分。
2020届河南省天一大联考高三阶段性测试(三)数学(理)试题(解析版)
2020届河南省天一大联考高三阶段性测试（三）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2540A x x x =-+≤，{}3sin ,0B y y x x ==->，则A B =I （ ） A ．[]1,4 B ．[]2,4C ．[]4,1--D ．()1,4-【答案】B【解析】解出集合A 、B ，然后利用交集的定义可计算出集合A B I . 【详解】由2540x x -+≤得14x ≤≤，即[]1,4A =，{}[]3sin ,02,4B y y x x ==->=， 所以[]2,4A B ⋂=. 故选：B. 【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的解法以及正弦型函数值域的计算，考查计算能力，属于基础题.2．已知复数z 满足512iz i -=-，则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限【答案】B【解析】利用复数的除法将复数z 表示为一般形式，可得出复数z ，即可判断出复数z 在复平面内对应的点所在的象限. 【详解】因为512i z i -=-，所以()()()()1213122255i i i z i i i i ----===-+-+---+，3155z i ∴=--. 所以复数z 在复平面内对应的点为31,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭，位于第三象限.故选：B. 【点睛】本题考查复数乘方以及除法的计算，同时也考查了共轭复数以及复数的几何意义，考查计算能力，属于基础题.3．执行如图所示的程序框图，则输出的b =（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】D【解析】列举出循环的每一步，可得出该程序的输出结果. 【详解】该程序的运行过程为：1a =，10b =，a b <，继续循环；8b =，2a =，a b <，继续循环；6b =，3a =，a b <，继续循环；4b =，4a =，a b =，继续循环；2b =，5a =，a b >，跳出循环，输出2b =.故选：D. 【点睛】本题考查利用程序框图输出结果，解题的关键就是利用程序框图，列出循环的每一步，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.4．已知等差数列{}n a 的公差不为0，72a =，且4a 是2a 与5a 的等比中项，则{}n a 的前10项和为（ ） A ．10 B ．0C ．10-D ．18-【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，可知0d ≠，由题意得出()()()2232522d d d -=--，求出d 的值，可求出1a 和10a 的值，然后利用等差数列的求和公式可计算出数列{}n a 的前10项和. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，由已知得()()()2232522d d d -=--，解得2d =.所以12610a d =-=-，10238a d =+=，所以{}n a 的前10项和()1010810102S -+⨯==-.故选：C. 【点睛】本题考查等差数列和的计算，涉及了等差数列求和公式以及等差数列中基本量的计算，考查运算求解能力，属于中等题. 5．已知3sin 34πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，则2021cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．18 B ．18-C D ．【答案】A【解析】利用诱导公式得出20212cos 2cos 233ππαα⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后利用二倍角的余弦公式可计算出2021cos 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 【详解】 因为3sin 34πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，所以20212cos 2cos 673233ππαπα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦222231cos 2cos 22sin 12133348ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=--=--=⨯--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：A. 【点睛】本题考查利用二倍角的余弦公式求值，同时也考查了诱导公式的应用，考查计算能力，属于中等题.6．若方程23sin cos 0x x a +-=有实根，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[]1,12B ．[)1,-+∞C ．(],1-∞D ．371,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】利用参变量分离法得出221373cos cos 33cos 612a x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，令()21373cos 612x f x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，可得出实数a 的取值范围即为函数()y f x =的值域，利用二次函数的基本性质求解即可. 【详解】方程23sin cos 0x x a +-=即23cos cos 30x x a -+-=，则221373cos cos 33cos 612a x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，设()21373cos 612x f x ⎛⎫=--+⎪⎝⎭. []cos 1,1x ∈-Q ，()21373cos 612x x f ⎛⎫=--∴+ ⎪⎝⎭的值域为371,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. Q 原方程有实根，∴实数a 的取值范围为371,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故选：D. 【点睛】本题考查三角方程根的问题，利用换元法转化为二次方程在区间[]1,1-上有根是解题的关键，考查化归与转化思想，属于中等题.7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．18B ．182C ．36D ．48【答案】C【解析】由三视图将几何体的实物图还原，可知该几何体为一个三棱锥，计算出该三棱锥的底面积和高，然后利用锥体的体积公式可计算出该三棱锥的体积.【详解】由三视图知，该几何体是正方体中的一个三棱锥A BCD -，且正方体的棱长为6. 如图，底面三角形BCD 的面积为166182⨯⨯=，高（点A 到平面BCD 的距离）为6，所以该几何体的体积1186363A BCD V -=⨯⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，解题的关键就是利用三视图将几何体的实物图还原，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题.8．已知数列{}n a 是递增的等比数列，6240a a -=，4210a a +=，则1a =（ ） A ．5B 5 C ．53D ．52【答案】A【解析】设等比数列公比为0q >，由题意列出关于1a 和q 的方程组，解出即可. 【详解】设{}n a 的公比为q ，则0q >，由题意得624240410a a a a -==+，所以42141q q -=+，得214q -=，解得5q =因为{}n a 是递增的等比数列，所以5q =.因为2422210a a a q a +=+=，所以253a =，所以2153a a q ==. 故选：A. 【点睛】本题考查等比数列中基本量的计算，解题的关键就是列出有关于首项和公比的方程组，利用方程思想求解，考查运算求解能力，属于中等题.9．如图所示，ABC ∆是等边三角形，其内部三个圆的半径相等，且圆心都在ABC ∆的一条中线上.在三角形内任取一点，则该点取自阴影部分的概率为（ ）A ．949πB ．3349πC ．233πD ．9π 【答案】B【解析】设圆的半径为r ，利用几何关系得出正三角形ABC 的高为7r ，然后利用锐角三角函数计算出AD ，可得出该正三角形的边长，从而可计算出该正三角形的面积，然后将三个圆的面积之和除以正三角形的面积，可计算出所求事件的概率. 【详解】如图所示，取AB 边的中线CD ，则三个圆心都在线段CD 上， 设最上面的圆的圆心为O ，圆O 与BC 的切点为E ， 易知30OCE ∠=o ，所以2OC OE =.设圆的半径OE r =，2OC r ∴=，则7CD r =，所以22tan 303AB AD CD ===o.所以217233ABC S r ∆⨯==，而阴影部分的面积为23r π， 所以所求的概率2233349493r P ππ==.故选：B. 【点睛】本题考查平面区域型几何概型概率的计算，解题的关键就是计算出相应区域的面积，考查计算能力，属于中等题.10．已知三棱锥A BCD -内接于球O ，4AB BC BD ===，60CBD ∠=︒，AB ⊥平面BCD ，则球O 的表面积为（ ） A ．283πB ．254πC ．1123πD ．60π【答案】C【解析】先得出BCD ∆为等边三角形，设其中心为G ，可得知12OG AB =，由正弦定理求出BG ，利用公式22R BG OG =+可计算出球O 的半径R ，然后利用球体的表面积公式可计算出球O 的表面积. 【详解】如图，因为4BC BD ==，60CBD ∠=o ，所以BCD ∆是等边三角形，设其中心为G ，则OG ⊥平面BCD ，因为AB ⊥平面BCD ，所以122OG AB ==. 由正弦定理得32sin 603BC BG ==o，则433BG =， 所以外接球O 的半径22283R BG OG =+=O 的表面积为211243R ππ=. 故选：C. 【点睛】本题考查球体表面积的计算，同时也考查了多面体的外接球问题，解题的关键就是要利用几何关系计算出外接球的半径，考查计算能力，属于中等题.11．如图所示，在直角坐标系xOy 中，ABC ∆和BDE ∆都是等腰直角三角形，90ABC BDE ∠=∠=o ，且OA OB =.若点C 和点E 都在抛物线()220y px p =>上，则ABC ∆与BDE ∆的面积的比值为（ ）A ．18B ．322-C ．24D 21【答案】B【解析】设AB a =，BD b =，可得,2a C a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,2a E b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再将点C 、E 代入抛物线的方程，可得出ab的值，由此可得出ABC ∆与BDE ∆的面积的比值为2ABC BDE S a S b ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，即可得出答案. 【详解】设AB a =，BD b =，则点,2a C a ⎛⎫⎪⎝⎭，,2a E b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，代入抛物线的方程，得222222a a p a b p b ⎧=⨯⎪⎪⎨⎛⎫⎪=⨯+ ⎪⎪⎝⎭⎩，整理得2220a ab b +-=，解得21a b =（负值舍去），故2322ABC BDE S a S b ∆∆⎛⎫==- ⎪⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题考查抛物线中三角形面积比值的计算，涉及了抛物线方程与几何性质的应用，考查计算能力，属于中等题.12．设函数()f x '是函数()()f x x R ∈的导函数，当0x ≠时，()()30f x f x x'+<，则函数()()31g x f x x=-的零点个数为（ ） A ．3 B ．2C ．1D ．0【答案】D【解析】构造函数()()31F x x f x =-，可得出()()3F x g x x =，利用导数研究函数()y F x =的单调性，得出该函数的最大值为负数，从而可判断出函数()y F x =无零点，从而得出函数()()3F x g x x=的零点个数.【详解】设()()31F x x f x =-，则()()()()()32333f x F x x f x x f x x f x x ⎡⎤'''=+=+⎢⎥⎣⎦. 当0x ≠时，()()30f x f x x'+<， 当0x >时，30x >，故()0F x '<，所以，函数()y F x =在()0,∞+上单调递减； 当0x <时，30x <，故()0F x '>，所以，函数()y F x =在(),0-∞上单调递增. 所以()()max 010F x F ==-<，所以，函数()y F x =没有零点， 故()()()331F x g x f x x x=-=也没有零点. 故选：D. 【点睛】本题考查函数零点个数的判断， 解题的关键就是要结合导数不等式构造新函数，并利用导数分析函数的单调性与最值，必要时借助零点存在定理进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、填空题13．已知向量()3,4a =-r ，1b =r ，2a b ⋅=r r ，则向量a r 与b r的夹角θ=______.【答案】6π 【解析】计算出a r的值，利用平面向量数量积的定义计算出cos θ的值，结合角θ的取值范围可求出θ的值. 【详解】因为()3,4a =-r ，所以5a =r ，因为1b =r ，2a b ⋅=r r ，所以2cos 512a b a bθ⋅===⨯r r r r .因为[]0,θπ∈，所以6πθ=. 故答案为：6π. 【点睛】本题考查利用平面向量数量积计算平面向量的夹角，同时也考查了向量模的坐标运算，考查计算能力，属于基础题.14．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线方程为y =±，点()1,2A 到右焦点F的距离为C 的方程为______.【答案】2218y x -=【解析】设双曲线C 的半焦距为c，由AF =求出c 的值，由双曲线的渐近线方程得出ba=a 、b 的值，从而得出双曲线C 的方程. 【详解】设双曲线C 的半焦距为c ，因为点()1,2A到右焦点的距离为，所以=3c =或1c =-（舍去）.因为ba=3c e a ==，所以1a =，b =C 的方程为2218y x -=.故答案为：2218y x -=.【点睛】本题考查双曲线的标准方程的求解，同时也涉及了双曲线的几何性质，考查计算能力，属于中等题.15．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭满足()()0f f π==，且()f x 在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则ω的值为______.【答案】2或52【解析】先由()0f ，结合ϕ的范围，求出4πϕ=，再由()fπ=，得出244k ππωππ+=+或3244k ππωππ+=+，可得出2k ω=或122k ω=+，其中k Z ∈，再由区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭的长度不超过半个周期得出ω的范围，可确定出ω的可能取值，再结合条件“函数()y f x =在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减”进行检验，可得出ω的值. 【详解】因为()0f =，所以sin ϕ=，因为2πϕ<，所以4πϕ=.由()fπ=，得sin 4πωπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以244k ππωππ+=+或3244k ππωππ+=+，所以2k ω=或122k ω=+，其中k Z ∈.因为244πππ-=，所以24T ππω=≥，得4ω≤， 故ω的可能取值为12、2、52和4， 当12ω=时，()12sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当42x ππ<<时，318242x πππ<+<， 此时，函数()y f x =在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，不合乎题意； 同理可知，满足()y f x =在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的只有2和52.故答案为：2或52. 【点睛】本题考查利用正弦型函数的单调性求参数，在计算出参数的可能值之后，还应将参数的值代入进行检验，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 16．设函数()321x x f x -=+，()2xg x xe =，若()11,x ∃∈-+∞，使得()21,x ∀∈-+∞，不等式()()2214emg x m f x >恒成立，则实数m 的取值范围是______.【答案】()1,+∞【解析】根据题意得出()()2min min 4emg x m f x ⎡⎤>⎡⎤⎣⎦⎣⎦，求出函数()y f x =在区间()1,-+∞上的值域，利用导数求出函数()y g x =在区间()1,-+∞上的值域，可得出关于实数m 的不等式，解出即可. 【详解】()()2155211x x f x x -++==-+++Q ，当()1,x ∈-+∞时，有()2f x >-. 因为()2xg x xe =，所以()()222212xx x g x exe x e '=+=+，当112x -<<-时，()0g x '<，函数()y g x =在11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，当12x >-时，()0g x '>，函数()y g x =在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， ()1122g x g e ⎛⎫∴≥-=- ⎪⎝⎭，所以当1x >-时，()1,2g x e ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭.若0m >，则()214422emg x em m e ⎛⎫≥⋅-=- ⎪⎝⎭，()2212m f x m >-. 根据题意可知222m m ->-，解得1m >；若0m ≤，则()(]24,2emg x m ∈-∞-，()2212m f x m >-，不符合条件.综上所述，实数m 的取值范围是()1,+∞. 故答案为：()1,+∞. 【点睛】本题考查函数不等式恒成立与能成立的综合问题，解题的关键就是将问题转化为函数最值相关的不等式来求解，同时也涉及了利用导数求函数的最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.17．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =，410S =，()112n n n S a S n +--=≥. （1）求n S ；（2）数列{}n b 满足124n n n b S -=+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）32n S n =-；（2）24133n n T n n -=-+. 【解析】（1）由题意得出()112n n n n a S S a n +-=-=≥，可得出当2n ≥时，23n a a ==，再由410S =求出1a 的值，即可求出n S 的表达式；（2）求出数列{}n b 的通项公式，然后利用分组求和法结合等差数列、等比数列的求和公式求出n T . 【详解】（1）由题意得2n ≥时，11n n n n a S S a +-=-=，所以23n a a ==. 又4123413310S a a a a a =+++=+⨯=，得11a =， 所以()1211332n n S a a a n n =+++=+-⨯=-L ； （2）由（1）知()12324n n b n -=-+，所以()()0111421473244413214nn n T n n n --=⨯+++⋅⋅⋅+-++++=+-+-L 24133n n n -=-+. 【点睛】本题考查利用n S 求n a ，同时也考查了分组求和法对数列进行求和，考查计算能力，属于中等题.三、解答题18．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，()cos 2cos a B c b A =-，3a =，2c =.（1）求角A ； （2）求ABC ∆的面积.【答案】（1）3A π=；（2）2+. 【解析】（1）利用正弦定理边角互化思想以及两角和的正弦公式可求出cos A 的值，结合角A 的取值范围，可得出角A 的值；（2）由正弦定理可计算出sin C 的值，利用两角和的正弦定理计算出()sin sin B A C =+的值，然后利用三角形的面积公式可计算出ABC ∆的面积.【详解】（1）由正弦定理可得sin cos 2sin cos cos sin A B C A A B =-，所以sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=，即()sin 2sin cos A B C A +=. 因为()C A B π=-+，所以()sin sin 2sin cos A B C C A +==，()0,C π∈Q ，则sin 0C >，故1cos 2A =. 因为()0,A π∈，所以3A π=；（2）根据正弦定理有sin sin a c A C =，所以csin 3sin A C a ==. 因为a c >，所以0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以26cos 1sin C C =-=， 所以()323sin sin sin cos cos sin 6B AC A C A C +=+=+=. 所以ABC ∆的面积11323sin 32226ABC S ac B ∆+==⨯⨯⨯3232+=. 【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想求三角形中的角，同时也考查了三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题.19．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=o ，1122AB AA ==，E 、F 分别是线段1AA 、11C D 的中点.（1）求证：BD CE ⊥；（2）求平面ABCD 与平面CEF 所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）453151. 【解析】（1）连接AC ，交BD 于点O ，利用菱形对角线的性质得出BD AC ⊥，由直棱柱的性质得出1AA ⊥平面ABCD ，可得出1BD AA ⊥，由直线与平面垂直的判定定理可证明出BD ⊥平面ACE ，由此可证明出BD CE ⊥；（2）以O 为坐标原点，OA ，OB 分别为x ，y 轴，过点O 垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立如图的空间直角坐标系O xyz -，然后利用空间向量法计算出平面ABCD 与平面CEF 所成锐二面角的余弦值. 【详解】（1）连接AC ，交BD 于点O .因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥.因为四棱柱1111ABCD A B C D -是直四棱柱，所以1AA ⊥平面ABCD . 因为BD ⊂平面ABCD ，所以1AA BD ⊥. 因为1AA AC A =I ，所以BD ⊥平面ACE . 因为CE ⊂平面ACE ，所以BD CE ⊥；（2）由（1）知AC BD ⊥，以O 为坐标原点，OA ，OB 分别为x ，y 轴，过点O 垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立如图的空间直角坐标系O xyz -.因为1122AB AA ==，所以14AA =，因为底面四边形ABCD 为菱形，且60BAD ∠=o ， 所以2AB AD BD ===，23AC =又因为E 、F 分别是线段1AA 、11C D 的中点， 所以()3,0,0C -，()3,0,2E，31,42F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以()23,0,2CE =u u u r，31,42CF ⎫=-⎪⎪⎝⎭u u u r .设平面CEF 的一个法向量为(),,n x y z =r ，则232031402nCE x z n CF x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u v v u u u v v . 令3x =，得()3,21,3n =--r.易知()0,0,1m =u r为平面ABCD 的一个法向量.设平面ABCD 与平面CEF 所成的锐二面角为θ，所以()()()()()2223,21,30,0,1453cos 1514533213m n m nθ--⋅⋅====⋅+-+-u r r u r r ， 所以平面ABCD 与平面CEF 所成锐二面角的余弦值为453151. 【点睛】本题考查利用线面垂直的性质证明线线垂直，同时也考查了利用空间向量法计算二面角的余弦值，解题的关键就是建立空间直角坐标系，将问题转化为空间向量来计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．某社区100名居民参加2019年国庆活动，他们的年龄在30岁至80岁之间，将年龄按[)30,40、[)40,50、[)50,60、[)60,70、[]70,80分组，得到的频率分布直方图如图所示.（1）求a 的值，并求该社区参加2019年国庆活动的居民的平均年龄（每个分组取中间值作代表）；（2）现从年龄在[)50,60、[]70,80的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行座谈，用X 表示参与座谈的居民的年龄在[]70,80的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地30岁至80岁之间的市民中抽取20名进行调查，其中有k 名市民的年龄在[)30,50的概率为()0,1,2,,20k P k =⋅⋅⋅，当k P 最大时，求k 的值.【答案】（1）0.02a =，平均年龄54.5；（2）分布列见解析，()34E X =；（3）8k =. 【解析】（1）由频率分布直方图中所有矩形面积之和为1，求出a 的值，再将所有矩形底边中点值乘以矩形面积，再将所得的数相加即可得出该社区2019年国庆活动的居民的平均年龄；（2）先根据分层抽样得知，所抽取的8人中，年龄在[)50,60的抽取6人、年龄在[]70,80的抽取2人，可得出随机变量X 的可能取值为0、1、2，并利用古典概型的概率公式计算出随机变量X 分别取0、1、2时的概率，列出随机变量X 的分布列，并利用数学期望公式计算出随机变量X 的数学期望；（3）设年龄在[)30,50的人数为Y ，可知()~20,0.4Y B ，利用独立重复试验的概率公式得出()()()2020C 0.410.40,1,2,,20kk k k P P Y k k -===⋅⋅-=L ，分析出数列{}()020,k P k k N ≤≤∈的单调性，可求出k P 的最大值及对应的k 的值.【详解】（1）由频率分布直方图知()0.0050.0100.0300.035101a ++++⨯=，解得0.02a =， 所以该社区参加2019年国庆活动的居民的平均年龄为()0.005350.035450.030550.020650.0107510⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯54.5=；（2）年龄在[)50,60的人数为0.0301010030⨯⨯=，年龄在[]70,80的人数为0.010*******⨯⨯=.根据分层抽样，可知年龄在[)50,60的抽取6人、年龄在[]70,80的抽取2人.所以X 的可能取值为0，1，2，且()3062385014C C C P X ===，()21623811528C C C P X ===，()1262383228C C C P X ===，所以X 的分布列为所以()515330121428284E X =⨯+⨯+⨯=； （3）由题可知年龄在[)30,50内的频率为()0.0050.035100.4+⨯=. 设年龄在[)30,50的人数为Y ，所以()~20,0.4Y B .()()()2020C 0.410.40,1,2,,20kk kk P P Y k k -===⋅⋅-=L .设()()202021111200.410.40.410.4kkk k k k k k C C P t P -----⋅⋅-==⋅⋅-()()2211,2,,203k k k-==L ，由1t >得8.4k <，此时1k k P P -<；由1t <得8.4k >，此时1k k P P ->. 所以当8k =时，k P 最大. 【点睛】本题考查频率分布直方图中平均数的计算、同时也考查了超几何分布列与二项分布的应用，在解题时要弄清随机变量所服从的概率分布类型，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.21．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的长轴长与焦距分别为方程2680x x -+=的两个实数根.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l 过点()4,0M -且与椭圆相交于A ，B 两点，F 是椭圆的左焦点，当ABF ∆面积最大时，求直线l 的斜率.【答案】（1）22143x y +=；（2）14±. 【解析】（1）设椭圆的焦距为()20c c >，解方程2680x x -+=，可求出a 、c 的值，进而求出b 的值，由此可得出椭圆的标准方程；（2）设直线l 的方程为4x my =-，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆的标准方程联立，列出韦达定理，求出ABF ∆的面积关于m的表达式，换元)0t t =>，利用基本不等式求出ABF ∆面积的最大值，利用等号成立的条件求出m 的值，即可得出直线l 的斜率. 【详解】（1）设椭圆的焦距为()20c c >，由2680x x -+=可得12x =，24x =，所以24a =，22c =，即2a =，1c =.所以2223b a c =-=，故椭圆的标准方程为22143x y +=；（2）设直线l 的方程为4x my =-，设()11,A x y 、()22,B x y ，与椭圆方程联立得224143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()223424360m y my +-+=.则()()2225764363414440m m m ∆=-⨯+=->，所以24m >. 由根与系数的关系知1222434m y y m +=+，1223634y y m =+，所以1232ABFS y y ∆=-=.①令)0t t =>，则①式可化为21818163163ABF t S t t t ∆==++4≤=. 当且仅当163t t =，即t =时，等号成立.此时3m =±，所以直线l的斜率为14±. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求解，同时也考查了椭圆中三角形面积最值的计算，在求最值时，一般利用基本不等式或函数单调性求解，考查运算求解能力，属于中等题. 22．已知a R ∈，函数()211xe a xf x x =--+.（1）若0a =，证明：当1x <时，()0f x ≤； （2）若0x =是()f x 的极小值点，求a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 【解析】（1）将0a =代入函数()y f x =的解析式，得出()11xxx e f =--，构造函数()()()()111xg x x f x x e =-=--，利用导数求出函数()y g x =的最大值为()00g =，从而可证明出所证不等式成立；（2）分0a =、0a <和0a >三种情况讨论，分析函数()y f x =的导函数()y f x '=在0x =附近符号的变化，结合条件“0x =是()y f x =的极小值点”，可得出实数a 的取值范围. 【详解】（1）若0a =，()11xxx e f =--. 设函数()()()()111xg x x f x x e =-=--，则()xg x xe '=-.当0x <时，()0g x '>，当01x <<时，()0g x '<，所以，函数()y g x =在(),0-∞上单调递增，在()0,1上单调递减. 所以在(),1-∞上，()()00g x g ≤=.又因为当1x <时，10x ->，所以当1x <时，()()01g x f x x=≤-； （2）（i ）若0a =，由（1）可知当1x <时，()()00f x f ≤=，这与0x =是()y f x =的极小值点矛盾.（ii ）若0a <，对于方程210ax x -+=，因为140a ∆=->，且10a<， 故方程有两个实根1x 、2x ，且满足120x x <<. 当12x x x <<时，2110x ax x -≥-+>， 结合（1），可得()()2110011xxf e e f a x x x x=-≤-≤=-+-. 这与0x =是()y f x =的极小值点矛盾.（iii ）若0a >，设函数()()()()22111xax x f x ax h x x e =-+=-+-.由于当1x <时，210ax x -+>，故()y h x =与()y f x =符号相同.又()()000h f ==，所以0x =是()y f x =的极小值点等价于0x =是()y h x =的极小值点.()()21221x x a ax a x e a a h x x x e '-⎛⎫⎡⎤=+-=- ⎪⎣⎦⎝⎭. 由()0h x '=得，0x =或12ax a-=. 如果120a a ->，则当0x <时，()0h x '>，当120ax a-<<且1x <时，()0h x '<，所以0x =不是()y h x =的极小值点. 如果120a a-=，则当1x <时，()0h x '≥，所以0x =不是()y h x =的极小值点. 如果120a a -<，则当120a x a-<<时，()0h x '<，当01x <<时，()0h x '>，所以0x =是()y h x =的极小值点，从而0x =是()y f x =的极小值点，此时12a >. 综上所述，a 的取值范围是1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭. 【点睛】本题利用导数证明函数不等式，同时也考查了利用导数研究函数的极值点，解题时要充分利用导数研究函数的单调性，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中等题.。
河南省许昌市、济源市、平顶山市2020届高三第三次联考数学(理)试题附答案
济源平顶山许昌2020年高三第三次质量检测理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}22,A y y x x x ==+∈R ，{}222,,B x x y x y =+=∈∈R R ，则A B =I （ ）A.[]1,2-B.(]1,2-C.(-D.⎡-⎣ 2.若复数z 满足1i Rt 1iz -+=-，则z 的虚部为（ ）A.12B.12C.1 13.双曲线2214y x m -=的离心率为32，则其渐近线方程是（ ）A.54y x =±B.45y x =±C.y x =D.y x = 4.已知直线l 是平面α和平面β的交线，异面直线a ，b 分别在平面α和平面β内。
命题p ：直线a ，b 中至多有一条与直线l 相交；命题q ：直线a ，b 中至少有一条与直线相交；命题s ：直线a ，b 都不与直线l 相交.则下列命题中是真命题的为（ ）A.()p q ∨⌝B.()p s ⌝∨C.()q s ∧⌝D.()()p q ⌝∧⌝5.刘微是魏晋期间伟大的数学家，他是中国古典数学理论的奠基者之一。
他全面证明了《九章算术》中的方法和公式，指出并纠正了其中的错误，更是擅长用代数方法解决几何问题.如右图在圆的直径CD 上任取一点E ，过点E 的弦AB 和CD 垂直，则AB 的长不超过半径的概率是（ ）A.12-B.13C.14D.146.已知0AC BC ⋅=u u u r u u u r，BC =u u u r u u r ，点M 满足()1CM tCA t CB =+-u u u u r u u u r u u u r ，若60ACM ∠=︒，则t =（ ） A.12B.2C.1D.27.已知函数()sin cos f x x a x =-（0a ≠），满足()3f x f x π⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，则直线0ax y c ++=的倾斜角为（ ） A.6π B.3π C.23π D.56π 8.若()()7280128112x x a a x a x a x +-=++++L ，则127a a a +++L 的值是（ ）A.2-B.3-C.131-D.125 9.设01x <<，则e x a x =，2e x b x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，22e x c x =的大小关系是（ ） A.a b c << B.a c b <<C.c a b <<D.b a c << 10.已知区间(),a b 是关于x 的一元二次不等式2210mx x -+<的解集，则32a b +的最小值是（ ）B.5+C.52+D.311.数列{}n a 满足12a =，1111n n n a a a ++-=+，其前n 项的积为n T ，则2020T =（ ） A.1 B.6- C.2 D.312.已知函数()ln x f x a x=-，()()3ln ln x ax g x x -=，若方程()()f x g x =有2不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ）A.(),e -∞B.10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C.()(),0e,-∞+∞U D.()e,+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
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2020年河南省高考数学猜题大联考试卷（理科）（三）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合M ={x|√x −1≤2}，N ={0,1，2，3}，则M ∩N =( )A. {0,1，2，3}B. {1,2，3}C. {1,2}D. {3}2. i 是虚数单位，复数z 满足：iz =3+i ，则z −=( )A. 1+3iB. 1−3iC. −1+3iD. −1−3i3. 已知函数f(x)=x 2+(k −2)x 是[1,+∞)上的增函数，则k 的取值范围为( )A. (−∞,0]B. [0,+∞)C. (−∞,1]D. [1,+∞)4. 等差数列{a n }中，a 1+a 7=20，S 5=35，则a 20=( )A. 54B. 56C. 58D. 615. 已知：a =log 23，b =log 32，c =(12)√2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A. c <a <bB. c <b <aC. b <c <aD. b <a <c6. 如图，PA 是圆柱OO 1的一条母线，AB 是底面圆的一条直径，C 是底面圆周上一点，三棱锥P −ABC 的体积与圆柱OO 1的体积之比为1：3π，则tan∠CAB =( )A. 1B. √2C. √3D. 27. 椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆上的点M 满足：∠F 1MF 2=60°，且MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则b =( )A. 1B. √2C. √3D. 28. 已知正实数p ，q ，r 满足：(1+p)(1+q)=(1+r)2，a =√pq ，b =p+q 2，c =√p2+q 22，则以下不等式正确的是( )A. r ≤aB. a ≤r ≤bC. b ≤r ≤cD. r ≥c9. 执行如图的程序框图，若输入的a =6，则输出的S 值为( )A. 60B. 48C. 24D. 1210. 已知：过点M(m,0)可作函数f(x)=x 2−2x +t 图象的两条切线l 1，l 2，且l 1⊥l 2，则t =( )A. 1B. 54C. 32D. 211. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0)图象的一条对称轴是x =−π3，且f(x)在(π12,π6)上是单调函数，则ω的最大值为( )A. 5B. 6C. 10D. 1212. 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，M 是渐近线上位于第一象限上一点，|OM|=57|OF|，线段MF 交双曲线于Q ，射线OQ 平分∠MOF ，则双曲线的离心率为( )A. 75 B. 85 C. 2 D. 135二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 等比数列{a n }满足：a 1a 2a 21=1000，则lga 8=______．14. 正方形ABCD 的边长为2，E ，F 分别是边BC 、CD 的中点，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为______． 15. (1−x)(1+x +x 2)2展开式中，x 2项的系数为______．16. 四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面BCD ，BC =6，△ABC 为正三角形，∠BDC =45°，则四面体ABCD 外接球半径为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足：2bcosB ac=cosC c+cosA a．(1)求∠B ；(2)若△ABC 面积为S =2√3，外接圆直径为4，求△ABC 的周长．18.四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，∠A1AB=∠A1AD=60°，AA1=AB．(1)求证：平面A1BD⊥平面ABCD；(2)求BD1与平面ABB1A1所成角的正弦值．19.曲线C：y2=2px(p>0)与曲线E：x2+y2=32交于A、B两点，O为原点，∠AOB=90°．(1)求p；(2)曲线C上一点M的纵坐标为2，过点M作直线l1、l2，l1、l2的斜率分别为k1、k2，k1+k2=2，l1、l2分别交曲线C于异于M的不同点N，P，证明：直线NP恒过定点．20.中国已经逐渐进入老龄化社会，以下是2015−2019这5年的中国某省人口平均寿命及年龄分布图表．(1)社会老龄化的一个重要特征是：劳动力减少，老龄人增加，幼龄人减少．根据图表写出劳动力人数占比小于65%，且60岁以上人数多于16岁以下人数的年份；(2)人口平均寿命的增长是造成人口老龄化的一个重要因素．由统计规律发现，60岁以上(不含60)人口数量占比y 与人口平均寿命x 拟合线性回归模型． ①求出线性回归方程(精确到0.01)；②到2025年该省人口预期平均寿命为80岁，16岁以下人口占比预期为17.5，计算2025年劳动力占比的预期值(精确到0.1)．参考数据公式：①b ̂=∑x i ni=1y i −nx −y −∑x i 2n i=1−nx−2，a ̂=y −−b ̂⋅x −，②∑x i 5i=1y i =6534.72，③∑x i 25i=1=29186.3，④x −2=5836.96，⑤x −y −=1306.44．21. 已知函数f(x)=a(x 2−1)−xlnx 是(0,+∞)上的增函数．(1)求a 的取值范围；(2)已知：x 1，x 2∈(0,+∞)，且x 1x 2>1，证明：f(x 1)+f(x 2)>0．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为：{x =a +√32ty =12t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且曲线C 的极坐标方程为ρ=4sinθ． (1)求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；(2)已知直线l 与x 轴交于P ，与曲线C 交于A ，B 两点，且|PA|⋅|PB|=2，求a ．23. 已知f(x)=|x −3|+|x +4|．(1)求不等式f(x)≤9的解集；(2)若f(x)的最小值是k ，且a 2+b 2=k 2，求证：9a 2+16b 2≥1．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由题意，M ={x|1≤x ≤5}，故M ∩N ={1,2，3}， 故选：B ．利用交集定义求解．本题考查集合的交集的求法，是基础题．2.【答案】A【解析】解：由iz =3+i ， 得z =3+i i=(3+i)⋅(−i)=1−3i ，∴z −=1+3i ． 故选：A ．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】B【解析】解：根据题意，函数f(x)=x 2+(k −2)x 为开口向上的二次函数，其对称轴为x =−k−22，若函数f(x)=x 2+(k −2)x 是[1,+∞)上的增函数， 则必有−k−22≤1⇒k ≥0，即k 的取值范围为[0,+∞)；故选：B ．根据题意，由二次函数的性质分析f(x)的开口方向以对称轴，进而可得−k−22≤1，解可得k 的取值范围，即可得答案．本题考查二次函数的单调性的性质，涉及函数单调性的定义，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：设公差为d ，则由{a 1+a 1+6d =205a 1+10d =35，解得：{a 1=1d =3，∴a 20=a 1+19d =58． 故选：C ．利用等差数列的通项公式和求和公式，列方程求解即可．本题考查了等差数列的通项公式和求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．【解析】解：∵c =(12)√2<12=log 3√3<log 32， ∴c <b ，∵log 32<log 33=1<log 23，∴b <a ， ∴c <b <a ． 故选：B ．利用指数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，∠CAB =θ(0°<θ<90°)， 由∠ACB =90°，可得：S △ABC =12⋅2rcosθ⋅2rsinθ=r 2sin2θ，V P−ABC =13⋅r 2sin2θ⋅ℎ，V 柱=πr 2ℎ，∴13⋅r 2sin2θ⋅ℎπr 2ℎ=13π⇒sin2θ=1⇒θ=45°，tanθ=1．故选：A ．设圆柱的底面半径为r ，高为h ，∠CAB =θ(0°<θ<90°)，分别写出棱锥与圆柱的体积，结合已知求得θ，则答案可求．本题考查圆柱与棱锥体积的求法，训练了由已知三角函数值求角，是基础题．7.【答案】C【解析】 【分析】本题考查椭圆的定义，向量的数量积，属于基础题．设|MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=m ，|MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=n ，可得mn =4，再由椭圆的定义可得m +n =2a ，即可得解． 【解答】解：设|MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=m ，|MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=n ，因为MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则mncos60°=2，可得mn =4， 又m +n =2a ，(1)，在△MF 1F 2中，由余弦定理可得：|F 1F 2|2=m 2+n 2−2mncos60°=4(a 2−b 2)(2)， (1)式平方减去(2)式得：b 2=3，得：b =√3． 故选：C ．【解析】解：∵(1+r)2=(1+p)(1+q)=1+p+q+pq≥1+2√pq+pq=(1+√pq)2，得：1+r≥1+√pq⇒r≥√pq⇒a≤r，又(1+r)2=(1+p)(1+q)=1+p+q+pq≤1+(p+q)+(p+q2)2=(1+p+q2)2，得：1+r≤1+p+q2⇒r≤p+q2⇒r≤b，故选：B．利用基本不等式的性质、配方法即可比较出大小关系．本题考查了基本不等式的性质、配方法、不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得i=3，S=6+63=8，i=2，S=8+82=12，i=1，S=12+12=24，则输出的S值为24．故选：C．由已知框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10.【答案】B【解析】解：设切点为(n,n2−2n+t)，∵f′(x)=2x−2，故切线斜率为2n−2．所以切线方程：y−(n2−2n+t)=(2n−2)(x−n)，将(m,0)代入整理得：n2−2mn+2m−t=0，设l1，l2的切点横坐标分别为n1，n2，则：n1+n2=2m，n1n2=2m−t．因为l1⊥l2，所以f′(n1)f′(n2)=(2n1−2)(2n2−2)=4n1n2−4(n1+n2)+4=−1①．结合韦达定理得4×(2m−t)−4×2m+4=−1，解得t=54．故选：B．先设切点为(n,n2−2n+t)，然后利用导数求出切线方程，再将(m,0)代入切线方程，得到关于n的一元二次方程，设n1，n2为两切线l1，l2切点的横坐标，由韦达定理得到n1+n2，n1n2，根据l1⊥l2得f′(n1)f(n2)=0，将韦达定理代入，即可解出t 的值．本题考查导数的几何意义、切线方程的求法及其性质，同时考查学生的运算能力和逻辑推理能力，属于中档题．11.【答案】D【解析】解：∵函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0)图象的一条对称轴是x =−π3， ∴−ωπ3+φ=kπ+π2，即φ=kπ+π2+ωπ3，k ∈Z ．且f(x)在(π12,π6)上是单调函数， 显然对称轴在此区间的左侧． ∴ω⋅(−π3)+kπ+π2+ωπ3≥2nπ−π2，n ∈Z ，两边同时乘以−1，可得ω⋅π3−kπ−π2−ωπ3≤−2nπ+π2 ①， 且ω⋅(π6)+kπ+π2+ωπ3≤2nπ+π2②，再把①②这2个式子相加，可得ω⋅π12≤π，∴ω≤12，即ω得最大值为12， 故选：D ．由题意利用正弦函数的图象的对称性以及单调增区间，求出ω的最大值． 本题主要考查正弦函数的图象的对称性以及单调增区间，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：OQ 平分∠MOF 可得：|MQ||QF|=|OM||OF|=57，又射线OM 所在直线方程为：y =b a x ，M′(a,b)是射线OM 上一点，且|OM′|=c =|OF|， 故OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =57OM′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，故M(57a,57b)， 设Q(x,y)，由MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =512MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒{x =512(c +a)y =512b (其中c =√a 2+b 2) 代入双曲线方程得：25(c+a)2144a 2−25144=1⇒25(e +1)2144=169144⇒e =85． 故选：B ．OQ 平分∠MOF 可得：|MQ||QF|=|OM||OF|=57，射线OM 所在直线方程为：y =bax ，M′(a,b)是射线OM 上一点，且|OM′|=c =|OF|，通过OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =57OM′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出M(57a,57b)，推出Q 坐标代入双曲线方程，然后求解双曲线的离心率即可． 本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．13.【答案】1【解析】解：设数列{a n }的公比为q ，则a 1a 2a 21=a 1⋅a 1q ⋅a 1q 20=1000⇒(a 1q 7)3=1000⇒a 1q 7=10， ∴lga 8=lga 1q 7=lg10=1． 故答案为：1．利用等比数列通项公式列出方程，能求出lga 8=lga 1q 7=lg10=1．本题考查等比数列的性质、对数运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】4【解析】解：由题意可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ + 12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0+12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+0 =2+2=4， 故答案为：4．由题意可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，利用AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ + 12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0+12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+0， 运算求得结果．本题考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的性质，得到 AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ + 12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，是解题的关键． 15.【答案】1【解析】解：(1−x)(1+x +x 2)2=(1−x 3)(1+x +x 2)， 故x 2项的系数为1， 故答案为：1．把式子变形，可得结论．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．16.【答案】√21【解析】解：设四面体ABCD 外接球心为O ，点O 在平面ABC 、平面DBC 的射影分别为O 1、O 2，则O 1、O 2分别为△ABC 、△BCD 的外心，设BC 中点为M ，则O 1M =13AM =√3=OO 2， 在△BCD 中，BC sin∠BDC =6√2=2BO 2⇒BO 2=3√2，故OB 2=OO 22+BO 22=3+18=21， OB =R =√21．故答案为：√21．根据BC =6，∠BDC =45°，利用正弦定理求出底面外接圆的半径，然后设底面外接圆的圆心为O 2，侧面△ABC 的外接圆心为O 1，根据侧面ABC ⊥底面BCD ，取BC 中点为M ，再设球心为O ，分别求出O 1M ，O 2M ，利用勾股定理即可求出R ．本题考查球的外接问题的基本思路，找到球心，并列出外接球半径的方程是此类问题的基本思路．属于中档题． 17.【答案】解：(1)2bcosBac =cosCc +cosAa ⇒2bcosB =acosC +ccosA ，由正弦定理可得2sinBcosB =sinAcosC +sinCcosA =sin(A +C)=sinB ，∵sinB ≠0，即cosB =12∴B =π3； (2)△ABC 的面积S =12acsinB =2√3⇒ac =8，b sinB =4⇒b =2√3，由b 2=a 2+c 2−2accosB ⇒a 2+c 2−ac =12，(a +c)2=12+3ac =36，则a +c =6，∴△ABC 的周长为6+2√3．【解析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理，余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．(1)直接利用三角函数关系式的变换和正弦定理求出结果．(2)直接利用余弦定理和三角形面积公式的应用求出结果．18.【答案】解：(1)证明：如图，取BD 中点为O ，∠A 1AB =∠A 1AD =60°，AA 1=AB =AD ，∴△A 1AB 、△A 1AD 为正三角形，∴A 1A =A 1B =A 1D 与OA =OB =OD ，∴△A 1OA≌△A 1OB≌△A 1OD ，∴∠A 1OA =∠A 1OB =∠A 1OD =90°，∴A 1O ⊥平面ABCD ，∵A 1O ⊂平面A 1BD ，∴平面A 1BD ⊥平面ABCD ．(2)解：以O 为原点，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O −xyz ，如图，设AB =a ，则A(√22a,0,0)，B(0,√22a,0)，A 1(0,0,√22a)，D(0,−√22a,0)， BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−√22a,√22a)+(−√22a,−√22a,0)=(−√22a,−√2a,√22a)， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22a,√22a,0)，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22a,0，√22a)， 设平面A 1AB 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√22ax +√22ay =0m ⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√22ax +√22az =0，令x =1，得：m ⃗⃗⃗ =(1,1,1)， 则cos〈BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,m ⃗⃗⃗ 〉=BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗|BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=−√22a−√2a+√22a √3⋅√3a =−√23， 故BD 1与平面ABB 1A 1所成角的正弦值为√23．【解析】(1)取BD 中点为O ，推导出△A 1AB 、△A 1AD 为正三角形，△A 1OA≌△A 1OB≌△A 1OD ，从而A 1O ⊥平面ABCD ，由此能证明平面A 1BD ⊥平面ABCD ．(2)以O 为原点，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O −xyz ，利用向量法能求出BD 1与平面ABB 1A 1所成角的正弦值．本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)由对称性可知：A 、B 关于x 轴对称，可设A(a,a)，a >0，则a 2=2pa ⇒a =2p ，把A(2p,2p)代入曲线C 得：(2p)2+(2p)2=32⇒p =2；(2)证明：由(1)得曲线C 的方程为y 2=4x ，即有M(1,2)，设N(x 1,y 1)，P(x 2,y 2)，则k 1=y 1−2x 1−1=y 1−2y 124−1=4y 1+2， 同理k 2=4y 2+2，k 1+k 2=2⇒4y 1+2+4y 2+2=2⇒y 1y 2=4(∗)，若直线NP 斜率为0，直线NP 的方程设为y =t 0，代入曲线C ，仅有一解，不合题意，舍去；当m 存在时，设直线NP 的方程设为x =my +t ，把x =my +t 代入y 2=4x 整理得：y 2=4(my +t)⇒y 2−4my −4t =0，且16m 2+16t >0，得{y 1+y 2=4m y 1y 2=−4t，代入(∗)式， 得：−4t =4⇒t =−1，故直线NP 的方程为x =my −1，可得直线NP 恒过定点(−1,0)．【解析】(1)由对称性和条件可设A(a,a)，a >0，代入抛物线的方程和圆的方程，可得p ；(2)求得M 的坐标，设N(x 1,y 1)，P(x 2,y 2)，讨论直线NP 的斜率是否为0，设出直线NP 的方程，联立抛物线的方程，运用韦达定理，结合直线的斜率公式，以及直线方程恒过定点的求法，即可得证．本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)由图表可知：劳动力人数占比小于65%，且60岁以上人数多于16岁以下人数的年份是：2018，2019；(2)①x −=x 1+x 2+x 3+x 4+x 55=76.4， y −=y 1+y 2+y 3+y 4+y 55=17.1， b ̂=∑x i 5i=1y i −5x −y−∑x i 25i=1−5x −2=6534.72−5×1306.4429186.3−5×5836.96=1.68，a ̂=y −−b ̂⋅x −=17.1−1.68×76.4=−111.252，故所求线性回归方程为：ŷ=1.68x −111.25； ②由①得y 关于x 的线性回归方程为ŷ=1.68x −111.25， x =80，求得ŷ=1.68×80−111.25=23.15． 故2025年劳动力占比的预期值为：(100−23.15−17.5)%≈59.4%．【解析】(1)直接由图表得结论；(2)①由表格中的数据求得b ̂与a ̂的值，可得y 关于x 的线性回归方程；②在①中求得的线性回归方程中，取x =80求得y 值，进一步可得2025年劳动力占比的预期值．本题考查线性回归方程的求法，考查运算求解能力，是中档题． 21.【答案】解：(1)由题意，对x ∈(0,+∞)，g(x)=f′(x)=2ax −1−lnx ≥0恒成立，2a ≤0时，f′(1)<0不合题意，舍去，2a >0时，g′(x)=2ax−1x，在(0,12a )上，g′(x)<0；在(12a ,+∞)上，g′(x)>0． 故g(x)的最小值为g(12a )=ln2a ≥0⇒a ≥12，故a 的取值范围为[12,+∞)．(2)证明：不妨设x 1<x 2，x 1，x 2与1的大小关系可分为：1≤x 1<x 2或x 1<1<x 2，对(i)1≤x 1<x 2，由f(x)是增函数可知：f(x 1)+f(x 2)>2f(1)=0，符合题意；对(ii)x 1<1<x 2与x 1x 2>1，可得：1x 2<x 1<1⇒f(1x 2)<f(x 1)，故f(x 1)+f(x 2)>f(1x 2)+f(x 2)=a(1x 22−1)−1x 2ln 1x 2+a(x 22−1)−x 2lnx 2=a(x 2−1x 2)2−(x 2−1x 2)lnx 2≥12(x 2−1x 2)2−(x 2−1x 2)lnx 2， 只需证：12(x 2−1x 2)2−(x 2−1x 2)lnx 2≥0，化为12(x 2−1x 2)−lnx 2≥0(∗)， 令ℎ(x)=12(x −1x )−lnx(x >1)，则ℎ′(x)=12+12x 2−1x=(x−1)22x 2>0，故ℎ(x)为增函数，而x 2>1，故ℎ(x 2)>ℎ(1)=0，即(∗)得证，由前面分析过程可知，不等式成立．【解析】(1)通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，结合函数的单调性确定a 的范围即可；(2)求出y =f(x 1)+f(x 2)的解析式，通过讨论1≤x 1<x 2或x 1<1<x 2，求出函数的单调性，从而证明结论即可． 本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是一道综合题．22.【答案】解：(1)由{x =a +√32t y =12t (t 为参数)，得直线l 的普通方程为x −√3y −a =0，∵ρ=4sinθ，∴ρ2=4ρsinθ，∴x 2+y 2=4y ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4y =0．(2)易得P(a,0)，将{x =a +√32t y =12t (t 为参数)代入x 2+y 2−4y =0中，得t 2+(√3a −2)t +a 2=0，由△>0，得−2√3−4<a <−2√3+4，∴t 1⋅t 2=a 2，由t 的几何意义，得|t 1⋅t 2|=a 2=|PA|⋅|PB|=2，∴a =±√2，经验证，a =√2不符合条件，故a =−√2．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程和普通方程，极坐标方程和直角坐标方程进行转换即可．(2)利用一元二次方程根与系数关系式，结合t 的几何意义求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和普通方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．23.【答案】解：∵f(x)=|x −3|+|x +4|≤9，∴{x ≤−4−(x −3)−(x +4)≤9或{−4<x <3−(x −3)+(x +4)≤9或{x ≥3(x −3)+(x +4)≤9， ∴−5≤x ≤−4或−4<x <3或3≤x ≤4．∴不等式f(x)≤9的解集{x|−5≤x≤4}．(2)∵f(x)=|x−3|+|x+4|≥|x−3−x−4|=7，当且仅当−4≤x≤3时，等号成立，∴f(x)的最小值为7，∴k=7．∴9a2+16b2=(9a2+16b2)⋅a2+b272=149(9+9b2a2+16a2b2+16)≥149(25+2√9b2a2⋅16a2b2)=1，当且仅当a2=21，b2=28时，等号成立，∴9a2+16b2≥1．【解析】(1)根据f(x)≤9，利用零点分段法解不等式即可；(2)根据条件，利用绝对值三角不等式，求出f(x)的最小值k，再利用基本不等式，即可证明9a2+16b2≥1成立．本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，基本不等式和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。