高中数学 必修二 2.3.4平面与平面垂直的性质练习

2.3.4平面与平面垂直的性质练习 新人教A 版必修2

一、选择题

1．平面α⊥平面β，α∩β＝l ，m ?α，m ⊥l ，则( ) A ．m ∥β B ．m ?β C ．m ⊥β

D ．m 与β相交但不一定垂直

[答案] C

2．已知平面α⊥平面β，直线a ⊥β，则( )

A ．a ?α

B ．a ∥α

C ．a ⊥α

D ．a ?α或a ∥α

[答案] D

3．空间四边形ABCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，且DA ⊥平面ABC ，则△ABC 的形状是( )

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．不能确定 [答案] B

4．如下图所示，三棱锥P －ABC 的底面在平面α内，且AC ⊥PC ，平面PAC ⊥平面PBC ，点P ，

A ，

B 是定点，则动点

C 的轨迹是( )

A ．一条线段

B ．一条直线

C ．一个圆

D ．一个圆，但要去掉两个点

[答案] D

[解析] ∵平面PAC ⊥平面PBC ，AC ⊥PC ，平面PAC ∩平面PBC ＝PC ，AC ?平面PAC ，∴

AC ⊥平面PBC ．

又∵BC ?平面PBC ，∴AC ⊥BC ．∴∠ACB ＝90°. ∴动点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，除去A 和B 两点．

5．如图，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6.

过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A ′、B ′，则AB A ′B ′等于( )

A ．

B ．

C ．

D ．

[答案] A

[解析] 由已知条件可知∠BAB ′＝π

4，

∠ABA ′＝π

6

，设AB ＝2a ，

则BB ′＝2a sin π4＝2a ，A ′B ＝2a cos π

6＝3a ，

∴在Rt △BB ′A ′中，得A ′B ′＝a ，∴AB A ′B ′＝

6．如图所示，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在( )

A ．直线A

B 上 B ．直线B

C 上 C ．直线AC 上

D ．△ABC 内部

[答案] A

[解析] ∵AC ⊥AB ，AC ⊥BC 1，∴AC ⊥平面ABC 1， 又∵AC ?平面ABC ，∴平面ABC 1⊥平面ABC ，

∴C 1在平面ABC 上的射影H 必在平面ABC 1与平面ABC 的交线AB 上，故选A ． 二、填空题

7．平面α⊥平面β，直线l ?α，直线m ?β，则直线l ，m 的位置关系是________. [答案] 相交、平行、异面

8．三棱锥P －ABC 的高为PH ，若三个侧面两两垂直，则H 为△ABC 的________心． [答案] 垂

[解析] 由三个侧面两两垂直知三条侧棱两两垂直，则有BC ⊥PA ，AB ⊥PC ，CA ⊥PB ，又由BC ⊥PA ，PH ⊥BC ，得BC ⊥平面PAH ，则BC ⊥AH ，同理有AB ⊥CH ，CA ⊥BH ，所以H 为△

ABC 高线的交点，即垂心．

三、解答题

9．把一副三角板如图拼接，设BC ＝6，∠A ＝90°，AB ＝AC ，∠BCD ＝90°，∠D ＝60°，使两块三角板所在的平面互相垂直．求证：平面ABD ⊥平面ACD ．

[证明]

?

???

?

?

???

?平面ABC ⊥平面BCD CD ⊥BC ?CD ⊥平面ABC AB ?平面ABC

?

?

???

?

?

???

?CD ⊥AB AB ⊥AC ?AB ⊥平面ACD

AB ?平面ABD

?平面ABD ⊥平面ACD ． 10.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA ⊥PD ，底面ABCD 是直角梯形，其中BC ∥AD ，∠BAD ＝90°，AD ＝3BC ，O 是AD 上一点．

(1)若CD ∥平面PBO ，试指出点O 的位置； (2)求证：平面PAB ⊥平面PCD ．

[解析] (1)∵CD ∥平面PBO ，CD ?平面ABCD ， 且平面ABCD ∩平面PBO ＝BO ， ∴BO ∥CD ．

又BC ∥AD ，∴四边形BCDO 为平行四边形． 则BC ＝DO ，而AD ＝3BC ，

∴AD ＝3OD ，即点O 是靠近点D 的线段AD 的一个三等分点．

(2)证明：∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD ∩底面ABCD ＝AD ，AB ?底面ABCD ，且AB ⊥AD ，

∴AB ⊥平面PAD ．

又PD ?平面PAD ，∴AB ⊥PD ．

又PA ⊥PD ，且PA ?平面PAB ，AB ?平面PAB ，AB ∩PA ＝A ，∴PD ⊥平面PAB ． 又PD ?平面PCD ，∴平面PAB ⊥平面PCD ．

能力提升

一、选择题

1．在空间中，下列命题正确的是( )

A．若三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面

B．若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥α

C．若平面α⊥β，且α∩β＝l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面βD．若直线a∥b，且直线l⊥a，则l⊥b

[答案] D

[解析] 选项A中，若有3个交点，则确定一个平面，若三条直线交于一点，则不一定能确定一个平面，如正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1，AB，AD两两相交，但由AA1，AB，AD不能确定一个平面，所以A不正确；选项B中，缺少条件m是平面α外的一条直线，所以B 不正确；选项C中，不满足面面垂直的性质定理的条件，必须是α内垂直于l的直线，所以C不正确；由于两条平行直线中的一条与第三条直线垂直，那么另一条也与第三条直线垂直，所以D正确．

2．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是( )

A．若l⊥α，α⊥β，则l?βB．若l∥α，α∥β，则l?β

C．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β

[答案] C

[解析] l⊥α，α⊥β?l∥β或l?β，A错；

l∥α，α∥β?l∥β或l?β，B错；

l⊥α，α∥β?l⊥β，C正确；

若l∥α，α⊥β，则l与β位置关系不确定，D错．

3．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则能够得出a⊥b的是( )

A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥β

C．a?α，b⊥β，α∥βD．a?α，b∥β，α⊥β

[答案] C

[解析] b⊥β，α∥β，∴b⊥α，又a?α，∴b⊥a.

4.如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形(A′不与A，F重合)，则下列命题中正确的是( )

①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；

②BC∥平面A′DE；

③三棱锥A′－FED的体积有最大值．

A．①B．①②

C．①②③D．②③

[答案] C

[解析] 注意折叠前DE⊥AF，折叠后其位置关系没有改变．

①中由已知可得平面A′FG⊥平面ABC，

∴点A′在平面ABC上的射影在线段AF上．

②BC∥DE，BC?平面A′DE，DE?平面A′DE，

∴BC∥平面A′DE.

③当平面A′DE⊥平面ABC时，三棱锥A′－FED的体积达到最大．

二、填空题

5.如右图所示，P是菱形ABCD所在平面外的一点，且∠DAB＝60°，边长为a.侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，PB与平面AC所成的角为θ，则θ＝________.

[答案] 45°

[解析] 如图所示，取AD的中点G，连接PG，BG，BD．

∵△PAD是等边三角形，

∴PG⊥AD，又平面PAD⊥平面AC，平面PAD∩平面AC＝AD，PG?平面PAD，

∴PG⊥平面AC，∴∠PBG是PB与平面AC所成的角θ.

在△PBG中，PG⊥BG，BG＝PG，

∴∠PBG＝45°，即θ＝45°.

6．如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点．现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC．在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足．设AK＝t，则t的取值范围是________.

[答案] (1

2

，1)

[解析] 如图，过D 作DG ⊥AF ，

垂足为G ，连接GK ，

∵平面ABD ⊥平面ABC ，又DK ⊥AB ， ∴DK ⊥平面ABC ，∴DK ⊥AF . ∴AF ⊥平面DKG ，∴AF ⊥GK .

容易得到，当F 接近E 点时，K 接近AB 的中点，当F 接近C 点时，K 接近AB 的四等分点．所以t 的取值范围是(1

2

，1)．

三、解答题

7．(2015·甘肃兰州一中期末)

如图，四棱锥A －BCDE 中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，BC ＝2，CD ＝2，

AB ＝AC ，CE 与平面ABE 所成的角为45°.

(1)证明：AD ⊥CE ；

(2)求二面角A －CE －B 的正切值．

[解析] (1)证明：如图，取BC 的中点H ，连接HD ，交CE 于点P ，连接AH ，AP . ∵AB ＝AC ，

∴AH ⊥BC ．

又∵平面ABC ⊥平面BCDE ， ∴AH ⊥平面BCDE ， 又CE ?平面BCDE ， ∴AH ⊥CE . 又∵HC CD ＝CD DE

＝

12

，∠BCD ＝∠CDE ＝90°，

∴Rt △HCD ∽Rt △CDE . ∴∠CDH ＝∠CED ， ∴HD ⊥CE .又AH ∩HD ＝H ， ∴CE ⊥平面AHD ． ∴AD ⊥CE .

(2)由(1)CE ⊥平面AHD ，得AP ⊥CE ，

又HD ⊥CE ，

∴∠APH 就是二面角A －CE －B 的平面角． 过点C 作CG ⊥AB ，垂足为G ，连接EG . ∵BE ⊥BC ，且BE ⊥AH ，AH ∩BC ＝H ， ∴BE ⊥平面ABC ， ∴BE ⊥CG ，又BE ∩AB ＝B ，

∴CG ⊥平面ABE ，∴∠CEG 就是CE 与平面ABE 所成的角，则∠CEG ＝45°， 又CE ＝22

＋2

2

＝6，

∴CG ＝EG ＝ 3.

又BC ＝2，∴∠ABC ＝60°， ∴AB ＝BC ＝AC ＝2，∴AH ＝ 3. 又由△HCP ∽△DEP 得HP ＝33

， ∴tan ∠APH ＝AH HP

＝3.

8．(2011·江苏)如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E ，F 分别是AP ，AD 的中点．

求证：(1)直线EF ∥平面PCD ； (2)平面BEF ⊥平面PAD ．

[解析] (1)在△PAD 中，因为E ，F 分别为AP ，AD 的中点，所以EF ∥PD ． 又因为EF ?平面PCD ，PD ?平面PCD ， 所以直线EF ∥平面PCD ．

(2)连接BD ．因为AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，所以△ABD 为正三角形．因为F 是AD 的中点，所以BF ⊥AD ．

因为平面PAD ⊥平面ABCD ，

BF ?平面ABCD ，

平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD，又因为BF?平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD．