应用光学(第五章)

其彗星像斑的尖端指向视场边缘； 当交点B’T位于主光线之上为“＋”，其彗星像斑的尖端 指向视场中心。
1）彗差是一有符号数，当交点B‘T位于主光线之下为“－”，
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授课：任秀云
2）彗差是轴外像差（垂轴像差）之一，其危害是使物面上的
轴外点成像为彗星状的弥散斑，破坏了轴外视场的成像清
Applied Optics 三、齐明透镜
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如果物点经系统后也成一点，则称齐明点（不晕点） 由 S I luni(i i ')(i ' u ) 0 可推得单个折射球面的齐明条件： 1．
l 0 ，即物点在球面顶点。
2．i i ' 即物像点均在球心。 3．i ' u( I ' U )
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弧矢彗差：指对弧矢光线度量的彗差。 用弧矢光线对交点离开主光线的垂直距离Ks’ 来表示此光线 对交点偏离主光线的程度。 因弧矢光线对的两条光线对称于子午面，故两光线在高斯像 面上的交点高度相等，弧矢彗差表示为：
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说明：
k
hx
hm
称孔径取点系数，一般取0.3，0.5，0.707， 0.85，1共五个数。
则 Lm ' A1 ' A2 ' Lm ' l ' 7.3223 7.3163 0.006mm
L0.707 ' A1 '0.7072 A2 '0.7074 A1 ' 2 A2 ' 4 L0.707 ' l '
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彗差：是轴外物点发出宽光束通过光学系统后，并不会聚一点， 而是相对于主光线呈彗星状图形的一种失对称的像差。
彗差通常用子午面上和弧矢面上对称于主光线的各对光线，经 系统后的交点相对于主光线的偏离来度量，分别称为子午 彗差和弧矢彗差。
子午彗差： 指对子午光 线度量的彗 差。
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Ux A
Am’
Ax’ A0'
Tx '
Lx '
L ( l )
- L
l'
x
'
垂轴球差：由于球差的存在，在高斯像面上的像点已不是一个 点，而是一个圆形的弥散斑，弥散斑的半径用δTx‘表示， 称 Tx ' LxtgU x ' 为垂轴球差。 显然不同孔径U（或孔径高度h）入射的光线有不同的球差。
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几何像差主要有七种： 单色光像差有五种： 球差 彗差(正弦差) 像散 场曲 畸变
复色光像差有两种： 轴向色差(位置色差) 垂轴色差(倍率色差)
在实际光学系统中，各种像差是同时存在的，像差的大小 反映了光学系统质量的优劣。 这些像差影响光学系统成像的清晰度、相似性和色彩逼真度 等，降低了成像质量。 完全消除像、色差是不可能的，针对光学系统的不同用途， 只要把像、色差降低在某范围内，使光接收器不能分辨，或者 说这种差别只要能骗过光接收器，就可以认为是理想的。
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球差是入射高度hx(Ux)的函数：
6 6 Lx ' A1hx2 A2 hx4 A3hx BU x2 B2U x4 B3U x 1
因为球差具有对称性，所以不含奇次项。又因为
hx (U x ) 0时，即轴线方向的光线对应 Lx ' 0
(n n ')r 同理，由 sin I sin U ' 可推得： L ' n'
I ' U sin I ' sin U
其垂轴放大率
nL ' n n'L n'
2
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齐明透镜
由图知
L2 r1 d L2 r1 d n2 ' n2 (n 1)r2 r2 n2 n
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§5.3 彗差和正弦差
一、彗差
子午平面：由轴外物点和光轴所确定的平面。 子午平面内的光束称子午光束 弧矢平面：过主光线且与子午平面垂直的平面。 弧矢平面内的光束称弧矢光束
C E A B O F D By’ Ay’
子午面一定是个平面，弧矢面不一定是个平面，可能是个折面。
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，所以展开式不含常数项。 展开式各项依次为初级球差、二级球差、三级球差…… 二级及 其以上球差称高级球差。大部分二级以上球差很小，可以忽略。
Lx ' A1hx2 A2 hx4 BU x2 B2U x4 1
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l 例：10倍显微物镜， ' 7.3163mm, Lm ' 7.3223mm （最大矢高的像方截距）
4
两边求导可得到球差极大值对应的 k
2 A1 ' k 4 A1 ' k 3 0 k 0.707
所以对于仅考虑初级球差、二级球 差的光学系统，当边缘带的球差为0 时，在0.707带有最大的剩余球差。
Applied Optics 0.707带的剩余球差
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L '0.707
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二、 正弦差（SC'）
对于小视场，大孔径（提高分辨力）的系统（显微镜、望 远镜等）而言，由于物高很小，彗差也很小，若用高度 的绝对差值量来表示失对称的情况就不是非常的合理， 不足以描述系统彗差的特性，所以对于小视场系统，一 般用相对值来加以表示。 用正弦差SC’表示小视场时轴外物点宽光束经光学系统后失对 称的情况。
L0.707 ' 7.3018mm （矢高的0.707倍的像方截距），求球差的表达式
2 4 解： Lx ' A1hx2 A2 hx4 A1hm hx A2 hm hx A1 ' k 2 A2 ' k 4 hm hm 2 4
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§5.2 球 差
一、球差：
Ux A A m’ Ax’ A0'
Tx '
Lx '
L( l )
- L
l'
x
'
定义：轴上物点以某一孔径角Ux成像时，其像方截距Lx’ 与理想像距l’ 之差，称为轴上点球差。
Ax’是孔径角为Ux的光线的像点。称 Lx ' Lx ' l ' 为球差。因为沿轴向，所以又称轴向球差。
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第五章 像差理论
§5.1 概 述
§5.2 球 差
§5.3 彗差和正弦差
§5.4 像散、场曲和畸变 § 5.5 色差
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§5.1 概
述
在几何光学中，我们知道一个物点经单折射球面后不能够完 善成像，但若把光线限制在近轴范围内，即 ： ,cos 1 sin 则可认为物点成理想的像点，但
7.3018 7.3163 0.0145mm
联立求得
A1 ' 0.064, A2 ' 0.07
2 4 2 4 球差可表示为： Lk ' A1 ' k A2 ' k 0.064k 0.07k
Applied Optics 二、球差的校正
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A1 '与 A2 ' 符号相反。一般校正使边带（k
1 ）位置 L ' 0
2
则 k
A1 '
A2 '
1 A1 ' A2 '
2 4
校正后的球差为： Lk ' A1 ' k A1 ' k
d Lk ' k
h A1 ' h m
h A2 ' h m
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在折射前主光线是光束的轴线，折射后主 光线就不再是光束轴线 折射后的成像光束与主光束OBy’失去了 对称性 不同孔径的光线在像平面上形成半径不 同的相互错开的圆斑
距离主光线像点越远，形成的圆斑直径越大
C E A B O F D By’ Ay’
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由齐明条件 I 2 ' U 2 , I 2 U 2 ' 和 U1 U 2 及折射定律得：
n2 sin I 2 n2 'sin I 2 ' n sin I 2 sin I 2 ' n sin U 2 ' sin U 2 1 1 sin U 2 ' sin U 2 sin U1 n n
A 2 ' A1 ' 4 4
光学系统的球差可写成系统各个折射面产生的球差的叠加和， 即所谓的球差分布。 初级球差的分布式（初级球差在近轴区有意义）：
1 L '初 ' '2 2nk uk
S
1
k
I
其中 S I luni(i i ')(i ' u ) 为每个面上初级球差的分布函数。
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对应孔径角Umax入射光线的高度hmax被称为全孔径（边光球差） 对应孔径角U入射光线的高度h
若h/hmax=0.7，则称为0.7孔径或0.7带光（带光球差）
-Umax
hmax h
A’
△y’
L’ -δL’
A -U
l’
球差的形成是折射球面系统成像的一种必然现象（个别特殊点 除外），它是轴上物点以单色光成像时的唯一像差。
晰度，且随孔径及视场的变化而变化，所以又称彗差为轴 外像差。
K 'T初
其中
3 ' ' 2nk uk
S
1
k

K 'S初
1 ' ' 2nk uk
S
1
ห้องสมุดไป่ตู้
k

S luniz (i i ')(i ' u ) S iz i
为每个面上初级彗差的分布系数。 彗差对于大孔径系统影响较大。 彗差的大小与光束宽度、物体的大小、光阑位置、光组 内部结构（折射率、曲率、孔径）有关
球差的大小除与光线的孔径有关外，还与透镜自身状况有 关，如何选择透镜可使球差更小些？
1 (n 1)( 1 2 ) f '
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单一透镜其球差不可能降低为零
A” A’
A
A A’ A”
L'
单正透镜会产生负值球差，也 被称为球差校正不足或欠校正 如果将正负透镜组合起来， 能否使球差得到校正？
可见，齐明透镜的使用 可以使孔径角增大n倍。 应用：增大物镜的孔径角
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第一面l=0 ，即物点在球 面顶点，其曲率半径任 意，通常选择为平面。 第二面满足条件：
i ' u( I ' U )
即
(n n ')r L n
齐明透镜
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ACE=I ' U'=I+U I ' U U'=I
Applied Optics 由图知（Δ ACE）：
sin I sin( U ) L r r Lr sin I sin U r
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(n n ')r n Lr 1 L n n Lr n sin I ' sin I sin U n ' r n' n' r
L'
单负透镜会产生正值球差，也 被称为球差校正过头或过校正
这种组合光组被称为消球差光组
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k 0
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L ' A1 ' k 2 A2 ' k 4 0 A1 ' A2 ' k 2 0 k A1 ' A ' (一般取正号) 2
sin 3 3! 5 5! 7 7!
若高次项不可忽略，就会出现不完善成像的情况。 实际光学系统都有一定大小的相对孔径和视场，远远超 出近轴区所限定的范围。 与近轴区成像比较必然在成像位置和像的大小方面 存在一定的差异，被称为像差 在光学系统中由透镜材料的特性或折射（或反射）表 面的几何形状引起实际像与理想像的偏差，
若要满足齐明条件，需
L2 (n 1)r2 n
即
r1 d
(n 1)r2 n
n 由此解得： r2 r1 d (n 1)
nL1 ' 1 1 n ' L1 n
n2 2 n2 n2 '
2
12 n
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