弹塑性力学有限单元法

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弹塑性有限元法

第六章弹塑性有限元法
当变形体同时存在大的弹性和塑性变形时，必须采用弹塑性力学进行分析，相应的有弹塑性有限元法，其较一般弹性有限元复杂得多。
1、塑性区中应力与应变之间为非线性关系，非线性问题求解 — 增量法；
2、应力与应变关系不是一一对应的，加载与卸载关系不同，必须判断是加载还是卸载状态；
3、多种材料硬化模型产生不同的有限元计算公式；
K u Q 非线性方程组
方程组
求解
与ij 有关
与ij 有关
u tt u t uu
和
三、弹塑性有限元处理的技术问题
1、加载增量步长的选定
计算精度与收敛性
加载的增量步长
tt P t P rmin P
增量步终止载荷
初始设定载荷增量
初始载荷载荷约束因子
2、变形区弹塑性状态的判定
弹塑性变形过程中，变形体内部可能同时存在弹性区、过渡区、塑性加载区和塑性卸载区等四种不同状态的区域和单元，计算时必须分别进行处理。
x xy y xy z xy 2
xy
x yz y yz z yz xy yz 2
yz
x y
zx zx
z xy
zx zx
xy zx 2
zx
二、弹塑性有限元方程
由于非线性的应力应变关系，只能按照增量法求解。
在小变形条件下，对t到t+Δt时刻的增量步进行分析。设变形体为各向同性硬化材料、且服从Mises 屈服条件和Prandtl – Reuss方程的本构关系，并设t 时刻的变形条件为：单位体积的体积力为tpi；作用在边界表面ST上的单位面积力为tTi；任一质点的位
移为tui，应变为tij，应力为tij。现以t时刻的变形为

弹塑性本构关系简介

松比）。
塑性材料受外部作用的反应和变形的历史有关（可称为历史相关性或路径相关性），本构关系应写成增量关系。
应力空间表述的弹塑性本构关系
韧性（塑性）金属材料单向拉伸试验曲线如下图示意
强度极限
b
屈服上限
L y
U y
e
屈服下限
弹性极限
强化段
软化段卸载
残余变形
弹性变形
y
y
卸载、反向加载包辛格效应
屈服面随内变量改变的规律称强化规律。由材料试验的资料可建立各种强化模型，目前广泛采用的有：等向强化；随动强化两种模型。
等向强
初始屈服面
2
B
f 0(ij ) 0 B
2
C A o1
化
o A 1
o
1
C
D
随
弹性
动
f 0 (ij ) 0
强化
后继屈服面
f
( ij
,
p ij
,
k)
0
等向强化认为屈服面形状不变，只是作均匀
称后继屈服面，f
(
ij
,
p ij
,
k
)
0
。
如果一点应力的 f (ij ,ipj,,则k)此点0 处于弹性状态，如
果
f (，ij则,处ipj ,于k)塑 0性状态。
式变张中形量的为i量j间应。存ip力j在张如和ip量j 下k，关统系称为ipj为塑内性变应量ip力j 。张其D量i中j，klkkp与l为塑标ipj 性志应永变久
d ij
Dt ijkl
d
kl
式中 Ditjk为l 切线弹性张量，形式上仍可表为
Dt ijkl

弹塑性力学土木工程应用有限元ABAQUS分析课件

A
A0
l0 l
l 0 未变形的长度 A 0 未变形的平面面积
FF l
A A0 l0
nom(ll0)
nominal
n o m 名义应力
真实应力
弹塑性力学土木工程应用有限元ABAQUS分析
名义、真实应力（变）名义应变，每单位未变形长度的伸长。
noml0l
ll0 l0
l l0
1
l l0
1 nom
塑性性能的材料实验数据，提供的应变包括塑性应变和弹性应变，是材料的总体应变。所以总体应变分解为弹性和塑性应变两项。
弹性应变等于真实应力与弹性模量的比值。
t pl el
el / E
p lte lt/E
p l 真实塑性应变
t 总体真实应变
弹塑性力学土木工程应用有限元ABAQUS分析
l0d lllnll0
lnl lnl0l
l0
l0
nom
l l0
lnl0 l0lln1nom
弹塑性力学土木工程应用有限元ABAQUS分析
名义、真实应力（变）真实应力与名义应力的关系
nom(1nom)
真实应变与名义应变的关系
ln1nom
弹塑性力学土木工程应用有限元ABAQUS分析
名义、真实应力（变）
弹塑性力学的发展
早期精确算法线性问题
如今数字分析法非线性问题
实际的需要，软件应用计算 ANSYS、ABAQUS
弹塑性力学土木工程应用有限元ABAQUS分析
PART.02
名义应力（变）与真实应力（变）
弹塑性力学土木工程应用有限元ABAQUS分析
名义、真实应力（变）
在ABAQUS中必须用真实应力和真实应变定义塑性。

有限单元法

弹塑性有限单元法汽车车体冲压件通常使用弹塑性材料，在冲压过程中，这种材料的变形成形过程非常复杂，一般用刚塑性FEM与弹塑性FEM二种方法来评价整个冲压成形过程。

在刚塑性FEM中，忽略弹性变形，仅将塑性应变作为计算指标。

因此，在冲压成形过程中，当材料放置到模具上因自重产生的弯曲挠度，从模具中取出冲压件厚产生的弹性恢复等材料变形不能进行计算。

因此，有人提出了根据刚塑性FEM的计算结果，再用弹性FEM计算其卸载过程，但是，刚塑性FEM很难正确地预测在冲压过程中产生的缺陷。

弹塑性FEM可以再空间上时间上交替考虑弹性变形与塑性变形，从理论上讲可以正确地描述整个冲压过程，所以弹塑性FEM可以说是评价冲压过程的最好解析方法。

现有的弹塑性FEM，根据其时间积分方法的不同，可分为“静态显函数法”“静态隐函数法”和“动态显函数法”。

讲加速度项加入平衡方程式求解的称为动态，反之，平衡方程式中不包含加速度项的解法称为静态。

隐函数与显函数是常微分方程数值计算方法中的数学用语。

显函数求方程的解不需要反复计算，而隐函数常微分方程求解时需要迭代多次逼近其解。

显函数解法要求增分补偿不能取得太大，解析冲压成形过程需要较多的计算解析次数。

隐函数解法通常可以保证应力平衡方程式成立，因而增分步长可以取得较大些，以减少解析计算次数。

各种弹塑性FEM的优缺点如下：动态显函数法：该方法求解各节点的独立性运动方程以获得节点变形，因而不需要组成刚度矩阵，即使单元划分得再细，节点再多也占用的计算内存较少，并且每一模拟步骤的计算速度也比其他方法快，因此可以计算对象的单元分割得很细。

但是这种方法是用动态的冲击求解变形问题，时间增量需控制在10-6秒以下，要模拟一秒钟的冲压过程，就需要计算10^6次，实际上这种计算方法十分耗时，为减少运算时间，常常将物理意义不十分清楚的衰减项加入到运动过程，人为地将质量附以加权常数以减少模拟计算次数。

此外，即使在方程式中加入了衰减项，应力值还是会发生振动，增加了弹性恢复计算的难度。

弹塑性有限元法基本理论与模拟方法

流体动力学
用于模拟流体流动和传热问题，如流体机械、航空航天和化工等领域。
电磁场
用于分析电磁场问题和电气设备性能，如电机、变压器和天线等。
声学
用于模拟声音传播和噪声控制问题，如声学器件和声学环境
等。
04 弹塑性有限元法的基本原理
弹塑性有限元法的离散化方法
有限元离散化
将连续的物理场或结构体离散为有限个小的单元体，每个单元体之间通过节点相互连接。
结构强度分析的模拟
结构强度评估
通过弹塑性有限元法模拟，可以对结构的强度进行评估，预测结构在不同载荷下的响应，确保结构的安全性和稳定性。
疲劳寿命预测
利用弹塑性有限元法，可以模拟结构的疲劳载荷历程，预测结构的疲劳寿命，为结构的维护和更换提供依据。
结构优化设计
通过模拟结构的应力分布和变形，可以优化结构设计，降低结构重量，提高结构效率。
边界条件和初始条件
在平衡方程中考虑边界条件和初始条件，以确保模拟的准确性和收敛性。
弹塑性有限元法的边界条件和初始条件
边界条件的处理
01
根据实际情况，将边界条件转化为节点约束或单元载荷的形式。
初始条件的设置
02
在非稳态问题中，需要考虑初始条件的设置，以模拟问题的初
始状态。
边界条件和初始条件的实施
03
随着计算机技术的不断发展，弹塑性有限元法在各个工程领域中得到了广泛应用，如机械、航空航械设计中，弹塑性有限元法可用于分析各种复杂结构的应力分布、变形和疲劳寿命等，提高产品的可靠性和安全性。
航空航天
在航空航天领域，弹塑性有限元法可用于分析飞行器结构在各种载荷下的响应，优化结构设计，提高飞行器的性能和安全性。

弹塑性有限元分析

自行证明！

3）塑性变形时体积不变，即塑性应变增量的偏量部分就等于塑性应变增量，即 p p
deij d ij
2016/9/23
12
塑性本构关系（3/6）
Levy-Mises增量（流动）理论（续）
4）应力主轴与应变增量主轴重合； 5）应力偏量与对应的应变增量成正比，如引入比例因子 d ，则
ij
（非关联流动）
ij
非负比例因子，与塑性势的量纲有关
垂直于等势面。称为塑性流动法则。
若屈服函数 f 是连续可微的，则可取 f 做为势函数。
（关联流动）
d ijp f d ij
i
1 2 2 2 2 2 2 12 23 31 11 22 22 33 33 11 6 2 3 2 2 2 2 2 2 S11 S22 S33 2 S12 S23 S31 2
1950年前后：展开了塑性增量理论和塑性全量理论的辩论，促使对两种理论从根本上进行探讨。 1970年代：随着有限元方法的提出和快速发展，关于塑性本构关系的研究十分活跃。主要从宏观与微观结合的角度，从不可逆过程热力学以及从理性力学等方面进行研究，例如无屈服面理论等。
其它：1）在强化规律方面，除等向强化模型外，普拉格（Prager）提出随动强化等模型；2）在实验分析方面，运用光塑性法、云纹法、散斑干涉法等能测量大变形的手段。等等。
第二章弹塑性有限元分析
目的：以弹塑性问题为例，介绍材料（物理）非线性问题）的有限元方法。特点：与线性有限元方法比较，本构关系不再符合线弹性的Hooke定律内容：
引言单轴试验下材料的弹塑性性态屈服条件、屈服面与屈服函数塑性本构关系弹塑性问题的有限元解法

弹塑性力学与有限元-材料非线性问题和几何非线性问题

《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题材料非线性问题
➢ 塑性力学的基本法则 (i) Prager运动硬化法则规定加载曲面中心的移动是在表征现时应力状态的应力点的法线方向。
Prager运动法则一般说只能应用于九维应力空间。
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题材料非线性问题
(3)按单元内各个积分点计算D的预测值
1)计算屈服函数值
，然后区分三种情况
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题
材料非线性问题
➢ 弹塑性增量分析数值方法中的几个问题弹塑性状态的决定和本构关系的积分 (i)
(ii) 若
，则该积分点为由弹性
进入塑性的过渡情况，计算比例因子m。
（iii）若
二．应力的度量
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题
二．应力的度量
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题
➢ 大变形情况下的本构关系
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题
➢ 大变形情况下的本构关系
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题
➢ 大变形条件下的应变和应力的度量一．应变的度量
《弹塑性力学与有限元》
材料非线性问题和几何非线性问题
几何非线性问题
➢ 大变形条件下的应变和应力的度量二．应力的度量在大变形问题中，是从变形后的物体中截取出微元体建立平衡方程和与之相等效的虚功原理，所以应从变形后的物体内截取单元体定义应力张量－－欧拉应力张量，tτij
➢ 大变形情况下的本构关系
《弹塑性力学与有限元》

《工程弹塑性力学》PPT课件

工程弹塑性力学
(有限元、塑性力学部分)
演示稿
h
1
第0章平面问题的有限单元法
0.1 概述、基本量及基本方程的矩阵表示 0.2 有限单元法的概念 0.3 位移模式与解答的收敛性 0.4 单元刚度矩阵 0.5 等效结点荷载 0.6 整体刚度矩阵 0.7 单元划分应注意的问题
h
2
0.1 概述、基本量及基本方程的矩阵表示
y
j
(2) i
(1)
m x
▲相邻单元之间：uij(1)=uij(2)？vij(1)=vij(2) ？
ij边的方程：y=ax+b，则
uij=a1+a2 x+a3(ax+b)= cx+d
uij(1)、uij(2)均为坐标的线性函数，故可由i、j两
点的结点位移唯一确定。
h
12
0.4 单元刚度矩阵
建立： {F}e=[k]{d}e
如 k25： • [k]的性质：
(1) 对称性： kpq= kqp (2) 奇异性；
y vj
j
vi , (Vi) i ui , (Ui)
单元刚度矩阵：
[k][B]T[D ]B []dxdyt
y vj j
vi , (Vi) i ui , (Ui)
uj
vm
m um
x
结点位移位移应变
应力结点力
{d}e ——{f} ——{} ——{} —— {F}e
位移模式几何方程物理方程虚功方程
{f }=[N]{d}e
{}=[B]{d}e {}=[S]{d}e ，[S]= [D][B] {F}e=[k]{d }e，[k]= [B]T [D] [B]tA

弹性力学_第7章_平面问题的有限单元法

Sc
(d* )T p {ε* }T σdxdy {δ* }T F L
5. 建立有限单元法的基本方程：在各个节点处，列出内力和外力的平衡方程，就得到有限单元法的总体劲度方程
Kδ FL
其中：K FL
— 总体劲度矩阵， — 位移列阵，各个节点的位移， — 荷载列阵，将荷载化为节点力列阵
《弹塑性力学》课件
内容提要平面问题的有限单元法
2012/5/10
§7-1 §7-2 §7-3 §7-4 §7-5 §7-6 §7-7
基本量及基本方程的矩阵表示有限单元法的概念单元的位移模式与解答的收敛性单元的应变列阵和应力列阵单元的结点力列阵与劲度矩阵载荷向结点移置等效节点荷载结构的整体分析节点平衡方程组
有限单元法的基本解题步骤为： 1. 划分单元； 2. 建立位移模式。即建立单元内任一点位移与节点位移之间的关系，设三角形单元三个节点的位移分别为：(ui,vi), (uj,vj), (um,vm)，三角形单元任何一点的位移 u 与 v用结点位移表示。 ui ui 结点位移列阵 v u [ N , N , N ] i i j m u j δi u j um 人为设计 δe δ j δ v j 的表达式。 v i m u m v [ N i , N j , N m ]v j v m v m 这种表示是人为设计的，每种单元都有不同表示方法，本课程仅讲三结点三角形单元。
2 56
1、有限元法（Finite Element Method）
简称FEM，是弹性力学的一种近似解法。首先将连续体变换为离散化结构，然后再利用分片插值技术与虚功原理或变分方法进行求解。

塑性成形过程中的有限元法

塑性成形过程中的有限元法金属塑性成形技术是现代化制造业中金属加工的重要方法之一。

它是金属材料在模具和锻压设备作用下发生变形，获得所需要求的形状、尺寸和性能的制件的加工过程。

金属成形件在汽车、飞机仪表、机械设备等产品的零部件中占有相当大的比例。

由于其具有生产效率高，生产费用低的特点，适合于大批量生产，是现代高速发展的制造业的重要成形工艺。

据统计，在发达国家中，金属塑性成形件的产值在国民经济中的比重居行业之首，在我国也占有相当大的比例。

随着现代制造业的高速发展，对塑性成形工艺分析和模具设计方面提出了更高的要求。

若工艺分析不完善、模具设计不合理或材料选择不当，则会造成产品达不到质量要求，造成大量的次品和废品，增加了模具的设计制造时间和费用。

为了防止缺陷的产生，以提高产品质量，降低产品成本，国内外许多大公司企业及大专院校和研究机构对塑性成形件的性能、成形过程中的应力应变分布及变化规律进行了大量的理论分析、实验研究与数值计算，力图发现各种制件、产品成形工艺所遵循的共同规律以及力学失效所反映的共同特征。

由于塑性成形工艺影响因素甚多，有些因素如摩擦与润滑、变形过程中材料的本构关系等机理尚未被人们完全认识和掌握，因而到目前为止还未能对各种材料各种形状的制件成形过程作出准确的定量判定。

正因为大变形机理非常复杂，使得塑性成形研究领域一直成为一个充满挑战和机遇的领域。

一般来说，产品研究与开发的目标之一就是确定生产高质量产品的优化准则，而不同的产品要求不同的优化准则，建立适当的优化准则需要对产品制造过程的全面了解。

如果不掌握诸如摩擦条件、材料性能、工件几何形状、成形力等工艺参数对成形过程的影响，就不可能正确地设计模具和选择加工设备，更无法预测和防止缺陷的生成。

在传统工艺分析和模具设计中，主要还是依靠工程类比和设计经验，经过反复试模修模，调整工艺参数以期望消除成形过程中的产品缺陷如失稳起皱、充填不满、局部破裂等。

仅仅依靠类比和传统的经验工艺分析和模具设计方法已无法满足高速发展的现代金属加工工业的要求。

有限元_塑性力学

• 平面问题的常用单元：
rg
连续体
三结点三角形单元
六结点三角形单元
矩形单元任意四边形单元 8结点曲边四边形单元
2. 单元分析
建立： {F}e=[k]{d}e
[k]：单元刚度矩阵
y vj j
vi , (Vi) i ui , (Ui)
uj
vm
m um
x
单元结点力向量{F}e=[Ui Vi Uj Vj Um Vm]T
利用单元的结点位移将整个单元的位移分量表
示为坐标的函数。
y
i
2. 三结点三角形单元的位移模式 j P
设：u=a1+a2 x+a3 y v=a4+a5 x+a6 y
m x
系数a1~a6由结点位移 ui , vi , uj , vj , um , vm确定。
• 将位移模式写成结点位移的显式：
i
u= Niui+ Njuj +Nmum
单元结点位移向量{d}e=[ui vi uj vj um vm]T
•
体力、面力
静力等效 ——
等效结点荷载
3. 整体分析
建立： {F}=[K]{d}， [K]：整体刚度矩阵
由各结点平衡{F}={R}，得有限元方程：
[K]{d}= {R}
0.3 位移模式与解答的收敛性
1. 什么是位移模式（位移函数）
下标1，2，3表示坐标 x1, x2, x3（即x, y, z）方向.
2. 一点斜面上的应力
3
SNi i1l1 i2l2 i3l3 ijl j j1 （i 1, 2, 3）
x3 N
SN3
SN
SN1 O

弹塑性有限元法基本理论与模拟方法

弹塑性有限元法基本理论与模拟方法弹性本构关系：弹性本构关系是描述材料的弹性行为的数学模型。

常见的弹性本构模型包括线性弹性模型和非线性弹性模型。

线性弹性模型假设应力与应变之间的关系是线性的，而非线性弹性模型则考虑了应力与应变之间的非线性关系，如Hooke定律和多项式模型等。

塑性本构关系：塑性本构关系是描述材料的塑性行为的数学模型。

常见的塑性本构模型有单一的本构模型和多线性本构模型。

单一本构模型假设应力与应变之间的关系是单调递增的函数，而多线性本构模型则将塑性行为分段描述，适用于复杂的应力和应变关系。

一般在工程中，弹性本构关系常与塑性本构关系相结合，用于模拟材料在加载过程中的弹性和塑性变形。

有限元方法：有限元方法是一种将连续介质离散成有限个子域，并建立一个代表离散网格的有限元模型进行求解的方法。

在弹塑性有限元方法中，将结构或材料划分成无限形状的有限个单元，每个单元都有一组本征坐标。

然后根据问题的对称性和几何形状，选择适当的数学模型，建立方程组。

模拟方法：在弹塑性有限元法中，首先要确定问题的边界条件，包括力、位移或边界反应。

然后，应用合适的数值方法，如有限差分法或有限元法，对弹塑性问题进行离散求解。

通常采用迭代法进行求解，不断更新单元应力和应变，直到达到一定的收敛准则。

在实际应用中，弹塑性有限元法可以用于模拟多种材料和结构的力学行为，如金属、混凝土、岩土、复合材料等。

通过合理选择材料模型和有限元网格，可以准确地模拟材料的应力、应变分布以及变形情况。

总之，弹塑性有限元法是一种基于有限元法的理论框架，用于模拟材料和结构在加载过程中的弹性和塑性行为。

它包括弹性本构关系、塑性本构关系、有限元方法和模拟方法等几个方面，可以应用于各种材料和结构的力学分析和设计中。

弹性力学中的有限单元法

∑N y
i
∑N
由插值基函数的性质及坐标变换的定义,可得 u = a0 x + a1 y + a 2
v = b0 x + b1 y + b2 即,在节点位移分布满足刚体模式或常应变模式时,对于等参数插值,单元内的位移模式也满足刚体模式或常应变模式
刚体模式或常应变模式的一般形式为
u = a0 x + a1 y + a 2 v = b0 x + b1 y + b2
i 0 i 1 i 2
则根据插值模式,单元内任一点的位移为
u= v=
∑N u
i =1 8 i =1
8
i i
= a0 = b0
∑N x ∑N x
i =1 i =1 8
8
i i
+ a1 + b1
∑N y
i i =1 8 i i =1
8
i
+ a2 + b2
∑N
i =1 8 i i =1
8
i
∑N v
i i
i i
N 1II = 0.25(1 ξ )(1 η ) 0.5 N 8II
ξ
7
N 2II = 0.25(1 + ξ )(1 η ) N 3II = 0.25(1 + ξ )(1 + η ) N 4II = 0.25(1 ξ )(1 + η ) 0.5 N 8II
N 8II = 0.5(1 ξ )(1 η 2 ) 在节点1,2和3构成的边上 II u P = 0.5[(1 η ) (1 η 2 )]u1 + 0.5[(1 + η ) (1 η 2 )]u 2 + (1 η 2 )u 3

弹塑性有限元方法

第三章弹塑性有限元方法的实施§3.1 增量平衡方程和切线刚度矩阵 1、分段线性化的求解思想塑性变形的特点决定了塑性本构关系的非线性和多值性，上面由塑性增量理论给出了塑性应力—应变关系{}{}ep d D d σε=⎡⎤⎣⎦其中 [][]{}{}[]{}[]{}Tep TFFD DD D FFA Dσσσσ∂∂∂∂=-∂∂+∂∂⎡⎤⎣⎦说明当前应力状态不仅与当前应变有关，而且和达到这一变形状态的路径（加载历史）有关。

这里包含了屈服准则、强化条件和加卸载准则。

由此，对物理非线性问题，通常采用分段线性化的纯增量法和逐次迭代的方法求解。

即将加载过程分成若干个增量步，选择其中任意一个增量步建立它的增量平衡方程并求解，对整个过程的求解有普遍意义。

2、增量平衡方程和切线刚度矩阵设t 时刻（加载至i -1步终），结构（单元）在当前载荷（广义体力{}v f 和表面力{}s f ）的作用下处于平衡状态，此时物体内一点的应力、应变状态为{}{}σε、。

在此基础上，施加一个载荷增量{}{}v s f f ∆∆和，即从t t t →+∆时刻，则在体内必然引起一个位移增量{}u ∆和相应的{}σ∆、{}ε∆，只要{}{}v s f f ∆∆和足够小，就有{}{}ep D σε∆=∆⎡⎤⎣⎦。

倘若初始状态{}σ已知，加载过程已知，则ep D ⎡⎤⎣⎦可以确定（即pij d ε⎰可以确定，然后可在硬化曲线上得到1p ε所对应的硬化系数）于是上面的方程成为线性的。

在t t t →+∆这一增量过程中，应用于虚功原理可得到如下虚功方程：()()()0eeT T T V V s s V S f f u dV f f u dS σσδεδδ⎡⎤+∆-+∆∆-+∆∆=⎣⎦⎰⎰ （1）根据小变形几何关系u N q B q ε∆=∆∆=∆和，再由虚位移()q δ∆的任意性，并设()()eeT T v v s s VS P P N f f dV N f f dS +∆=+∆++∆⎰⎰，展开后，其中单元在t 时刻载荷等效节点力：eeT T v s VS P N f dV N f dS =+⎰⎰；t ∆内增量载荷的等效力eeT T v s VS P N f dV N f dS ∆=∆+∆⎰⎰。

弹塑性力学及有限元法_

写成矩阵形式
R11 cos 2 θ x 1 Ry1 EA cos θ sin θ 1 = Rx 2 l1 − cos 2 θ R1 2 − cos θ sin θ y cos θ sin θ sin 2 θ − cos θ sin θ − sin 2 θ − cos 2 θ − cos θ sin θ cos 2 θ cos θ sin θ
单元刚度矩阵的子矩阵 K ij 表示：当单元 e 中节点 j 取单位位移，且其它节点位移为零时，对应于 i 节点的节点力。
第五章有限元法简介
单元1的节点力和节点位移的关系可写成
R1 K11 = R2 K 21
1
K12 K 22
1
δ1 δ 2
1 θFx1(u1) 3 Fx3 (u3) Fy1(v1 ) Fy3 (v3) y 2 o x
1
Fy2 (v2) Fx2(u2)
2
图5-1 简例结构图
第五章
分析步骤：
有限元法简介
2
1
1 1 Ry2(v2) 1 1 Rx2(u2)
1. 离散结构物为有限个单元分为2个单元，第一个单元的节点编号为1和2，第二个单元的节点编号为2和3。对于第一单元，在第1、2节点处的节点力为 R 11 , R 11 , R 1 2 , R 1 2 ，表示节点施加在单元1上 x y x y
1 − cos θ sin θ u1 1 2 − sin θ v1 cos θ sin θ u1 2 1 si成
R11 k x 1 11 Ry1 k21 1 = Rx 2 k31 R1 k41 y2 k12 k22 k32 k42 k13 k23 k33 k43

弹塑性力学与有限元

x yx zx X 0 x y z
《弹塑性力学与有限元》
应力分析

平衡微分方程
x xy xz 2u X 0( 2 ) x y z t yx y yz 2v Y 0( 2 ) x y z t zx zy z 2w Z 0( 2 ) x y z t
《弹塑性力学与有限元》
应变分析
应变—位移关系(几何方程)
根据泰勒级数展开式，可得：
f 1 ( x , y , z ) 1 2 f 1 ( x, y , z ) 2 u1 f 1 ( x , y , z ) dx dx 2 x 2! x
略去高阶项后得到：
u u1 u dx x
《弹塑性力学与有限元》
应变分析
应变—位移关系(几何方程)
同理可得另外两个剪应变 xy， yz ,即有剪应变的表达式:
xy
yz
zx
u v y x
v w z y u w z x
说明：剪应变的正负号
ij 0(i, j x, y , z )表示夹角变小 ij 0(i, j x, y , z )表示夹角变大
应变分析
应变—位移关系

位移—由于外部因素如载荷或温度
变化,物体内部各点空间位置发生的
变化；

如果各点的位移完全相同，物体发
生刚体平移；如果各点的位移不同，但各点间的相对距离保持不变，物体发生刚体转动等刚体移动；
《弹塑性力学与有限元》
应变分析
应变—位移关系

连续体内如果各点(或部分点）间的相对距离发生变化，则物体发生了变形，这时的位移是变形体位移。此物体被称为有变形或有应变。

弹性力学平面问题的有限单元法

§2.3 三角形单元分析
从离散体系中任取一个单元，如图所示。三个结点按反时针方向顺序编号为i、j、m。结点坐标分别为(xi,yi)(xj,yj)(xm,ym)。
一、单元的结点位移和结点力向量
由弹性力学平面问题可知，一个连续体，每点
应有两个位移，因此每个结点应有两个位移分量，
则三角形共有六个自由度：ui,vi,uj,vj,um,vm 。如图 b所示。各结点位移向量可写成
入上式，同时考虑到矩阵相乘的转置规则，式（b）可改写为
({}e )T {P}e
({}e )T ([N]Tb ){Q}
{F}o K o{}o
式中，[K] o是6×6阶矩阵，称为单元刚度矩阵。单元分析先要建立单元内的应变、应力分别与结点位
移的关系，这不光是推导上式的需要，也为最后求出结点位移后再顺利求得单元内的应变和应力作好准备。
2-9
二、单元位移模式有限单元法虽然对计算对象的整体作了物理近
似，但在每个单元内部，则仍然认为符合弹性力学的基本假设，因此弹性力学的基本方程在每个单元内部仍然适用。
ym
A为三角形单元的面积。
2-12
经过运算得用单元结点位移表示的单元位移模式为
{
f
}o
u(x, { v(x,
y) }
y)
Ni (x,
0
y)
0 Ni (x, y)
N j (x, y) 0
0 N j (x, y)
Nm (x, y) 0Biblioteka Nm0 (x,
y){}o
(2-1)
式中的Ni、Nj、Nm由下式轮换得出
{δΔ}o=[δui,δvi,δuj,δvj,δum,δvm]T 单元内的虚位移则为

第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法

第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
硬化法则
• 塑性硬化法则规定了材料进入塑性变形后的后继屈服函数（又称加载函数或加载曲面） – 各向同性硬化 – 运动硬化 – 混合硬化
第二十九页，编辑于星期五：十九点二十二分。
第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
各向同性硬化：材料进入塑性变形以后，屈服面在各方向均匀地向外扩张，其形状、中心及其在应力空间的方位均保持不变。
• 非线性问题通常采用增量法求解（追踪加载过程中应力和变形的演变历史。）
– 每个增量步采用Newton-Raphson迭代法
第六页，编辑于星期五：十九点二十二分。
第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
非线性方程的迭代求解方法
f (x) 0
直接迭代法 x g(x) xk1 g(xk )
Newton-Raphson迭代
• 分类：
–不依赖时间的弹、塑性问题
• 非线性弹性——橡胶 • 弹塑性——冲压成形
–依赖于时间的粘（弹、塑）性问题
• 蠕变——载荷不变，变形随时间继续变化 • 松弛——变形不变，应力随时间衰减
第十四页，编辑于星期五：十九点二十二分。
第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
非线性弹性材料行为
橡胶应力应变关系曲线
第八章几种典型材料成形过程计算机模拟分析实例
第一页，编辑于星期五：十九点二十二分。
第四章弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
4.1 非线性问题及分类
• 在分析线性弹性问题时，假定：
– 应力应变线性关系
– 结构位移很小（变形远小于物体的几何尺寸）
– 加载时边界条件的性质不变
Kq P
如果不满足上述条件之一，就称为非线性问题