(完整word版)二元一次方程组特殊解法
二元一次方程组的解法
二元一次方程组的解法在代数学中，二元一次方程组是由两个未知数和两个方程组成的方程组。
解决这种方程组的方法有很多种，下面将介绍其中三种常见的解法。
方法一：代入法代入法是一种比较简单直观的解二元一次方程组的方法。
假设有如下二元一次方程组：{ Equation1{ Equation2首先将其中一个方程（不妨设为方程1）的其中一个未知数表示为另一个未知数的函数，然后代入另一个方程（方程2）中消去这个未知数，从而得到一个只包含一个未知数的一次方程。
例如，假设方程组为：{ 2x + 3y = 7 Equation1{ 5x - y = 1 Equation2我们可以通过将方程2中y表示为x的函数（y = 5x - 1），将其代入方程1中，得到：2x + 3(5x - 1) = 7然后将这个一次方程化简，求解得到x的值。
将x的值代入方程2中，即可得到y的值。
最终得到方程组的解。
方法二：消元法消元法是解二元一次方程组的常用方法之一。
它通过逐步消去一个未知数，将方程组化为只含有一个未知数的一次方程，然后求解得到解。
例如，假设方程组为：{ 2x + 3y = 7 Equation1{ 5x - y = 1 Equation2我们可以通过将方程1乘以5，将方程2乘以2，然后将两个方程相减，消去y的系数，得到一个只含有x的一次方程：10x + 15y = 3510x - 2y = 2--------------17y = 33通过化简这个一次方程，求解得到y的值。
将y的值代入方程1或方程2中，即可得到x的值。
最终得到方程组的解。
方法三：Cramer法则Cramer法则是一种基于行列式的解二元一次方程组的方法。
假设有如下二元一次方程组：{ Equation1{ Equation2首先计算系数矩阵A的行列式值D，然后在D中用方程组右边的常数项替换掉A的某一列，得到矩阵Dx。
同理，用方程组右边的常数项替换掉A的另一列，得到矩阵Dy。
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二元一次方程解法大全 1、直接开平方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解二元一次方程的方法。
用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，其解为x=±根号下n+m. 例1．解方程（1）(3x+1)2=7（2）9x2-24x+16=11 分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。
（1）解：(3x+1)2=7× ∴(3x+1)2=5 ∴3x+1=±(注意不要丢解) ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= （2）解：9x2-24x+16=11 ∴(3x-4)2=11 ∴3x-4=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= 2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c 将二次项系数化为1：x2+x=- 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+()2=-+()2 方程左边成为一个完全平方式：(x+)2= 当b^2-4ac≥0时，x+=± ∴x=(这就是求根公式) 例2．用配方法解方程3x^2-4x-2=0(注：X^2是X的平方） 解：将常数项移到方程右边3x^2-4x=2 将二次项系数化为1：x2-x= 方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+()2=+()2 配方：(x-)2= 直接开平方得：x-=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2=. 3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a),(b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。
例3．用公式法解方程2x2-8x=-5 解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0 ∴a=2,b=-8,c=5 b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0 ∴x=[(-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a) ∴原方程的解为x1=,x2=. 4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。
二元一次方程组解法详解
一、二元一次方程组解法总结1、二元一次方程组解法的基本思想二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程，就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一个未知数，这种将未知数的个数由多化少，逐一简化的思想方法，叫做消元思想.即二元一次方程组形如：ax=b（a，b为已知数）的方程.2、代入消元法由方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.3、用代入消元法解二元一次方程组的步骤（1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来.（2）把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.（3）解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.（4）把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解.4、加减消元法两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.5、加减消元法解二元一次方程组的一般步骤（1）把一个方程或者两个方程的两边乘以适当的数，使方程组的两个方程中一个未知数的系数互为相反数或相等；（2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；（3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；（4）把求得的未知数的值代入到原方程组中的系数比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；（5）把求出的未知数的值写成的形式.6、二元一次方程组解的情况若二元一次方程组（a1，a2，b1，b2，c1，c2均为不等于0的已知数），则（1）当时，这个方程组只有唯一解；（2）当时，这个方程组无解；（3）当时，这个方程组有无穷多个解.二、重难点知识归纳二元一次方程组的解的理解，二元一次方程组的解法，运用有关概念解决相关数学问题．三、典型例题讲解例1、（1）下列方程中是二元一次方程的有（）①②③④mn＋m=7⑤x＋y=6A．1个B．2个C．3个D．4个（2）在方程(k2－4)x2＋(2－k)x＋(k＋1)y＋3k=0中，若此方程为二元一次方程，则k的值为（）A．2B．－2C．±2D．以上都不对分析：一个方程是否是二元一次方程，必须看它是否满足或使它满足三个条件：①含有两个未知数；②未知数项的次数为1；③整式方程．解答：（1）∵方程①③不是整式方程，∴它们不是二元一次方程．∵mn的次数为2，∴方程④不是二元一次方程．∵方程②⑤满足二元一次方程的三个条件，∴方程②⑤是二元一次方程．故此题应选择B．（2）∵方程(k2－4)x2＋(2－k)x＋(k＋1)y＋3k=0是二元一次方程，∴它应满足条件：k2－4=0且2－k≠0且k＋1≠0，解得k=±2且k≠2且k≠－1．∴k=－2．例2、在方程3x－ay=0中，如果是它的一个解，那么a的值为_____．．由于方程的解必使方程左右两边的值相等，所以只需将代入方程中，解关于a的一次方程即可．解答：∵是方程3x－ay=0的一个解，∴3×3－a·2=0，例3、甲、乙两人同时解方程组乙因抄错c，解得求a、b、c的值．将正确的解代入方程组中可直接求出c的值，但不能求a、b的值．错误解有什么作用呢？方程组的解应满足每一个方程，因此正确解满足ax＋by=2，错误的解同样能满足方程ax＋by=2，那么就可以建立a、b的方程组，于是a、b、c的值均可求出．解答：都是方程①的解．又∵是方程②的解，∴c＋3=－2，∴c=－5．故a、b、c的值分别为例4、解下列方程组.（1）先将①化简为3y=4x＋5，再代入②即可消去y，从而求出x的值.（2）先将方程组进行化简，整理为标准的二元一次方程组的形式，再观察选择消去哪个未知数.解：（1）将①化简得：3y=4x＋5③把③代入②得：2x－(4x＋5)=1解得x=－3将x=－3代入③得：3y=4×(－3)＋5∴∴原方程组的解为.（2）原方程组整理为由③×3－④×4，得7b=14，∴b=2.将b=2代入③，得a=2.∴原方程组的解为.例5、已知方程组与方程组有相同的解，求a、b 的值.题设的已知条件是两个方程组有相同的解。
二元一次方程组的解法
二元一次方程组的解法在代数中，二元一次方程组是由两个含有两个未知数的一次方程组成的。
解决这样的方程组可以使用多种方法，包括代入法、消元法和克莱姆法则。
本文将介绍这些解法及其应用。
一、代入法代入法是解决二元一次方程组的一种简单且直接的方法。
该方法适用于其中一个方程中存在一个未知数的表达式与另一个方程中的未知数匹配的情况。
假设给定以下二元一次方程组：方程1：ax + by = c方程2：dx + ey = f步骤如下：Step 1: 从其中一个方程中解出其中一个未知数（通常选择其中一个方程中较为简单的未知数）。
例如，从方程1中解出x： x = (c - by) / a。
Step 2: 将x的值代入另一个方程中，从而求得y的值。
将x的值代入方程2中：d((c - by) / a) + ey = f。
通过整理方程，得到：y = (af - cd) / (ae - bd)。
Step 3: 将求得的x和y的值代入其中一个方程，检验解的准确性。
通过将x和y的值代入方程1或方程2中，检验两个方程是否成立。
二、消元法消元法是解决二元一次方程组的另一种常用方法。
该方法通过对方程组中的两个方程进行线性组合，从而消除一个未知数，从而求解另一个未知数的值。
给定以下二元一次方程组：方程1：ax + by = c方程2：dx + ey = f步骤如下：Step 1: 通过某种方法使得一个未知数的系数在两个方程中相互抵消。
可以通过调整方程1和方程2的乘法因子，使得两个方程中一个未知数的系数相等或相反。
Step 2: 将两个方程相减，从而消除一个未知数。
将方程1减去方程2，得到一个新的方程：(a - d)x + (b - e)y = c - f。
Step 3: 解决得到的新方程，求解另一个未知数的值。
通过解新方程，可以得到另一个未知数的值。
Step 4: 将求得的未知数的值代入其中一个方程，检验解的准确性。
通过将求得的未知数的值代入方程1或方程2中，检验解是否成立。
(word完整版)二元一次方程组解法详解
一、二元一次方程组解法总结1、二元一次方程组解法的基本思想二元一次方程组中有两个未知数,如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程,就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一个未知数，这种将未知数的个数由多化少,逐一简化的思想方法,叫做消元思想。
即二元一次方程组形如：ax=b（a，b为已知数)的方程。
2、代入消元法由方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.3、用代入消元法解二元一次方程组的步骤（1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来。
(2）把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.（3)解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.（4）把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解.4、加减消元法两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时,将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法,简称加减法.5、加减消元法解二元一次方程组的一般步骤(1）把一个方程或者两个方程的两边乘以适当的数，使方程组的两个方程中一个未知数的系数互为相反数或相等；（2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；(3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值;（4）把求得的未知数的值代入到原方程组中的系数比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值;（5)把求出的未知数的值写成的形式。
6、二元一次方程组解的情况若二元一次方程组（a1,a2，b1，b2，c1，c2均为不等于0的已知数），则（1）当时，这个方程组只有唯一解;（2）当时，这个方程组无解;（3）当时，这个方程组有无穷多个解.二、重难点知识归纳二元一次方程组的解的理解,二元一次方程组的解法,运用有关概念解决相关数学问题．三、典型例题讲解例1、(1）下列方程中是二元一次方程的有( ）①②③④mn＋m=7 ⑤x＋y=6A．1个B．2个C．3个D．4个（2)在方程(k2－4）x2＋(2－k)x＋（k＋1)y＋3k=0中，若此方程为二元一次方程，则k的值为（）A．2 B．－2 C．±2D．以上都不对分析：一个方程是否是二元一次方程，必须看它是否满足或使它满足三个条件:①含有两个未知数；②未知数项的次数为1；③整式方程．解答：（1）∵方程①③不是整式方程，∴它们不是二元一次方程．∵mn的次数为2，∴方程④不是二元一次方程．∵方程②⑤满足二元一次方程的三个条件,∴方程②⑤是二元一次方程．故此题应选择B．（2)∵方程(k2－4）x2＋(2－k）x＋（k＋1)y＋3k=0是二元一次方程,∴它应满足条件：k2－4=0且2－k≠0且k＋1≠0，解得k=±2且k≠2且k≠－1．∴k=－2．例2、在方程3x－ay=0中,如果是它的一个解,那么a的值为_____．．由于方程的解必使方程左右两边的值相等，所以只需将代入方程中,解关于a的一次方程即可．解答：∵是方程3x－ay=0的一个解,∴3×3－a·2=0，例3、甲、乙两人同时解方程组乙因抄错c，解得求a、b、c 的值．将正确的解代入方程组中可直接求出c的值，但不能求a、b的值．错误解有什么作用呢？方程组的解应满足每一个方程，因此正确解满足ax＋by=2，错误的解同样能满足方程ax＋by=2,那么就可以建立a、b的方程组，于是a、b、c的值均可求出．解答:都是方程①的解．又∵是方程②的解，∴c＋3=－2，∴c=－5．故a、b、c的值分别为例4、解下列方程组.(1）先将①化简为3y=4x＋5，再代入②即可消去y，从而求出x的值。
二元一次方程组及其解法
二元一次方程组及其解法
二元一次方程组是由两个含有两个未知数的等式组成的方程组，通常的一般式表示为：
ax + by = c
dx + ey = f
其中，a、b、c、d、e、f 都是已知数，x、y 都是未知数。
解法有以下几种：
1. 消元法：通过变换方程式将一个未知数消去，再代入另一个方程求解。
2. 代入法：选择其中一个方程，将其中一个未知数表示成另一个未知数的函数，代入另一个方程中求解。
3. 公式法：利用二元一次方程组的公式解法求解。
4. 矩阵法：用矩阵运算的方法求解方程组。
以上四种方法都可以求得二元一次方程组的解，一般解的形式为一个有序二元组 (x, y)。
第10讲---二元一次方程组的解法精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版第八讲 二元一次方程组的解法一、知识梳理（一）二元一次方程组的有关概念1．二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程。
2．二元一次方程的一个解：适合一个二元一次方程的一对未知数的值，叫这个二元一次方程的一个解。
任何一个二元一次方程都有无数个解。
3．方程组和方程组的解（1）方程组：由几个方程组成的一组方程叫作方程组。
（2）方程组的解：方程组中各个方程的公共解，叫作这个方程组的解。
4．二元一次方程组和二元一次方程组的解（1）二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组。
（2）二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个二元一次方程组的解。
（二）二元一次方程组的解法： 1．代入法 2．加减法二、典例剖析专题一：二元一次方程组的解法：解二元一次方程组的基本思想是消元转化。
（一）、代入消元法：1、直接代入 例1 解方程组②①y x x y ⎩⎨⎧=--=.134,32跟踪训练：解方程组：（1）90152x y x y+=⎧⎨=-⎩ （2）⎩⎨⎧-==+73825x y y x2、变形代入 例2 解方程组②①y x y x ⎩⎨⎧=+=-.1043,95跟踪训练：（1）⎩⎨⎧-=--=-.2354,42y x y x （2）⎩⎨⎧=+=+②①77322y x y x(3) ⎩⎨⎧=-=+.123,205y x y x (4) ⎩⎨⎧=-=+②①5231284y x y x（二）、加减消元法例3、解方程组（1）⎩⎨⎧=+=-524y x y x （2）⎩⎨⎧=-=-322543y x y x （3）．⎩⎨⎧=+=+.1034,1353y x y x跟踪训练：（1） （2） （3）(4) (5)⎪⎩⎪⎨⎧=++-=--9275320232y y x y x (6)11,233210;x y x y +⎧-=⎪⎨⎪+=⎩（三）、选择适当的方法解下列方程组 （1）⎩⎨⎧=+---=+.5)3()1(2),1(32x y x y （2）⎩⎨⎧-=+---=+--23)3(5)4(44)3()4(2y x y x⎪⎩⎪⎨⎧=+=+15251102y x y x ⎩⎨⎧=+=-1023724y x y x（3）⎪⎩⎪⎨⎧-=+-++=+3)43(4)1(3)2(311y x y x （4）x 2y+2=02y+22x536⎧⎪⎨⎪⎩－－－＝专题二：有关二元一次方程组的解：例4、（1）若方程(2m －6)x |n |－1+(n +2)y 82-m =1是二元一次方程，则m =_______，n =__________．（2）二元一次方程3a +b =9在正整数范围内的解的个数是_________.（3）已知(3x －2y +1)2与|4x －3y －3|互为相反数，则x =__________，y =________（4）若方程组⎩⎨⎧-=-+=+122323m y x m y x 的解互为相反数，求m 的值。
二元一次方程组的解法
初等行变换包括交换两行、将一行的k倍加到另一行和将一行的k倍替换 为原行，这些操作不会改变方程组的解。
03
行最简形矩阵
行最简形矩阵是指每行的第一个非零元素为1，且其所在列的其他元素
都为0的矩阵。通过初等行变换，总可以将增广矩阵化为行最简形矩阵
。
04
实际应用与拓展
二元一次方程组在实际问题中的应用
多元一次方程组的解法简介
高斯消元法
高斯消元法是求解多元一次方程组的一种常用方法。通过对方程组进行初等行变换，将方程组化为阶梯形或行最简形 矩阵，从而求解未知数。
Cramer法则
Cramer法则是一种利用行列式求解多元一次方程组的方法。通过计算系数行列式和各未知数对应的行列式，可以求 得方程组的唯一解或无解。
用矩阵表示二元一次方程组
方程组的矩阵表示
一个二元一次方程组可以用一个 系数矩阵和一个常数矩阵来表示
。
系数矩阵
方程组中每个方程的系数可以组成 一个2x2的矩阵，称为系数矩阵。
常数矩阵
方程组中每个方程的常数项可以组 成一个2x1的矩阵，称为常数矩阵。
用矩常数矩阵构造一个增广矩阵，再对增广矩阵进行初等行 变换，将其化为行最简形矩阵，最后从行最简形矩阵中读出方程组的解 。
代入消元法是将方程组中的一个方程变形，将其中一个未知数用另一个未知数的代数式表示，然后将其代入另一个方程中， 从而消去一个未知数，得到一元一次方程，进而求解方程组的解。
具体步骤包括：将一个方程变形，得到一个未知数用另一个未知数的代数式表示；将这个代数式代入另一个方程中，得到一 个一元一次方程；解这个一元一次方程，得到一个未知数的值；将这个值代入原方程组中的任意一个方程中，得到另一个未 知数的值，从而得到方程组的解。
专训4 二元一次方程组的五种特殊解法
2.
解方程组：ìïïíïïî
2 2
015 016
x＋2 x＋2
016 017
y＝2 y＝2
017，① 018.②
解：②－①，得x＋y＝1.③
由③，得x＝1－y.④
把④代入方程①，得2 015(1－y)＋2 016y＝2 017.
解这个方程，得y＝2.
把y＝2代入方程③，得x＝－1.
所以原方程组的解为
- 24 y2 6
=
-
44 y2
=
. 11
本题不能直接求出x，y，z的值，这时可以把其 中一个未知数当成一个常数，然后用含这个未知 数的式子去表示另外两个未知数．
1. 用代入法解方程组：
ìïïïíïïïî
x ＋ y ＝0，① 34 （2 x＋y）－（3 2
y－x）＝62.②
解：由①，得 x = 3
y 4.
设 x = - y ＝k，则x＝3k，y＝－4k. 34
将x＝3k，y＝－4k代入方程②，
得2(3k－4k)－3[2×(－4k)－3k]＝62.
解这个方程，得k＝2.所以x＝6，y＝－8.
ìïïíïïî
x＝-1， y＝2.
观察方程①和②的系数特点，数值都比较大，如 果用常规的代入法或加减法来解，不仅计算量大， 而且容易出现计算错误．根据方程组中的两个未 知数的对应系数之差的绝对值相等，先化简，再 用代入法或加减法求解，更为简便．
类型2 方程组中两未知数系数之和的绝对值相等
3.
解方程组：ìïïíïïî
018的值．
解：依题意有(1)
ìïïíïïî
3 x－y＝5， 4x－7 y＝1，(2)
ìïïíïïî
ax－by＝4， ax＋by＝16.
湘教版数学七年级下册1.2二元一次方程组的解法.docx
湘教版数学七年级下册1.2二元一次方程组的解法.docx初中数学试卷1.2 二元一次方程组的解法第2课时加减消元法核心笔记:加减消元法:两个二元一次方程中同一未知数的系数相同或相反时,把这两个方程相减或相加,就能消去这个未知数,从而得到一个一元一次方程,这种解方程组的方法叫做加减消元法,简称加减法.基础训练1.方程组{x +y =5, ①2x +y =10,②由②-①,得正确的方程是( ) A.3x=10 B.x=5C.3x=-5D.x=-52.二元一次方程组{x +y =5,2x -y =4的解为( ) A.{x =1y =4 B.{x =2y =3 C.{x =3y =2 D.{x =4y =1 3.若方程mx+ny=6的两个解是{x =1,y =1和{x =2,y =?1, 则m,n 的值分别为( ) A.4,2 B.2,4C.-4,-2D.-2,-44.用加减消元法解方程组{3x -5y =6,①2x -5y =7②的具体步骤如下:第一步:①-②,得x=1;第二步:把x=1代入①,得y=-35;第三步:所以{x =1,y =?35.其中开始出现错误的是( )A.第一步B.第二步C.第三步D.没有出错5.已知方程组:①{4x -3y =5,4x +6y =14,②{y =3x +4,3y +5x =0,其中方程组①采用消元法解简单,方程组②采用消元法解简单.6.若a+b=3,a-b=7,则ab=______________.7.用加减法解方程组:(1) {x +y =6,①2x -y =9;②(2) {3x -2y =?1,①x +3y =7.②8.已知-2x m-1y 3与12x n y m+n 是同类项,求m,n 的值.培优提升1.利用加减消元法解方程组{2x +5y =?10,①5x -3y =6,②下列做法正确的是() A.要消去y,可以将①×5+②×2B.要消去x,可以将①×3+②×(-5)C.要消去y,可以将①×5+②×3D.要消去x,可以将①×(-5)+②×22.已知x,y 满足方程组{x +6y =12,3x -2y =8,则x+y 的值为( )A.9B.7C.5D.33.已知5|x+y-3|+2(x-y)2=0,则( )A.{x =1y =0B.{x =2y =2C.{x =0y =0D.{x =32y =32 4.二元一次方程组{x +2y =1,3x -2y =11的解是______________. 5.对于X,Y 定义一种新运算“@”:X@Y=aX+bY,其中a,b 为常数,等式右边是通常的加法和乘法的运算.已知:3@5=15,4@7=28,那么2@3=_____________.6.已知{x =2,y =1是二元一次方程组{mx +ny =7,nx -my =1的解,则 m+3n=_____________.7.用加减消元法解方程组:(1){4m +5n =460, ①2m +3n =240; ② (2){3x +4y =5, ①4x +3y =9. ②8.在解方程组{ax +by =2,cx -7y =8时,哥哥正确地解得{x =3,y =?2. 弟弟因把c 写错而解得{x =?2,y =2.求a+b+c 的值. 9.阅读理解题特殊的题有特殊的解法,阅读下面的解题过程,我们从中可以得到启发:解方程组{253x +247y =777, ①247x +253y =723. ②解:由①+②得:500x+500y=1 500,即x+y=3, ③由①-②得:6x-6y=54,即x-y=9, ④由③+④得:2x=12,解得:x=6,又由③-④得:2y=-6,解得:y=-3,所以原方程组的解为{x =6,y =?3.【归纳】对于大系数的二元一次方程组,当用代入法和加减法解非常麻烦时,可以通过观察各项系数的特点,寻求特殊解法.根据上述例题的解题方法解下面的方程组:{2 012x +2 013y =8 000, ①2 013x +2 012y =8 100. ②参考答案【基础训练】1.【答案】B解：注意符号问题.2.【答案】C3.【答案】A4.【答案】A5.【答案】加减;代入6.【答案】-10解：两个方程相加,解得a=5,将a=5代入a+b=3,解得b=-2,故ab=-10.7.解:(1)①+②得3x=15,所以x=5.将x=5代入①,得5+y=6,所以y=1,所以方程组的解为{x =5,y =1.(2)②×3,得3x+9y=21,③③-①,得11y=22.所以y=2.把y=2代入②,得x+6=7,所以x=1,所以原方程组的解为{x =1,y =2.8.解:因为-2x m-1y 3与12x n y m+n 是同类项, 所以{m -1=n,3=m +n,经变形可得{m -n =1,m +n =3, 所以{m =2,n =1. 【培优提升】1.【答案】D2.【答案】C解：{x +6y =12,①3x -2y =8,②①+②得4x+4y=20,则x+y=5.故选C.3.【答案】D解：由绝对值和数的平方的性质可以得到{x +y -3=0,x -y =0,解得{x =32,y =32,故选D. 4.【答案】{x =3,y =?15.【答案】2解：因为3@5=15,4@7=28,所以3a+5b=15①,4a+7b=28②,由②-①,得a+2b=13③,由①-③,得2a+3b=2,所以2@3=2a+3b=2.6.【答案】8解：本题运用整体思想解题更简便.把{x =2,y =1代入方程组{mx +ny =7,nx -my =1,得{2m +n =7,2n -m =1.两式相加得m+3n=8. 7.解:(1)②×2-①,得n=20,把n=20代入②,得2m+3×20=240,解得m=90.所以原方程组的解为{m =90,n =20.(2)①×4-②×3得:7y=-7,解得y=-1, 将y=-1代入①得:3x-4=5,解得x=3,所以原方程组的解为{x =3,y =?1.8.解:把x=3,y=-2代入{ax +by =2,cx -7y =8,得{3a -2b =2,3c +14=8.把x=-2,y=2代入ax+by=2.得-2a+2b=2.因为弟弟把c 写错了,所以弟弟的解不满足cx-7y=8.联立方程组:{3a -2b =2,-2a +2b =2. 解得{a =4,b =5,由3c+14=8得c=-2. 故a+b+c=4+5-2=7.9.解:由①+②得:4 025x+4 025y=16 100, 即x+y=4,③由②-①得:x-y=100,④由③+④得:2x=104,解得x=52, 由③-④得:2y=-96,解得y=-48, 则原方程组的解为{x=52, y=?48.。
怎么求解二元一次方程组
怎么求解二元一次方程组
二元一次方程组是由两个未知数和两个方程组成的方程组。
要求解这样的方程组，可以使用以下方法：
1. 消元法，将方程组中的一个未知数消去，得到只含有一个未知数的方程，然后求解该方程，再将求得的结果代入另一个方程中求解另一个未知数。
2. 代入法，将一个方程中的一个未知数用另一个未知数的表达式代入另一个方程中，然后求解得到一个未知数的值，再将此值代入原方程中求解另一个未知数。
3. 直接相减法，将两个方程相减，消去一个未知数，然后求解得到一个未知数的值，再将此值代入原方程中求解另一个未知数。
这些方法都可以用来求解二元一次方程组，选择合适的方法取决于具体的方程组形式和个人偏好。
通过这些方法，可以有效地求解二元一次方程组，得到方程组的解。
二元一次方程组的解法
二元一次方程组的解法二元一次方程组是由两个二元一次方程组成的方程组，每个方程包含两个变量和一个等号。
解二元一次方程组的方法有三种：代入法、消元法和Cramer法。
下面将详细介绍这三种解法。
代入法:代入法是解二元一次方程组最直观的方法之一。
它的基本思想是将一个方程的一个变量表示成另一个方程中相关变量的函数，然后代入到另一个方程中求解未知数。
例如，考虑以下二元一次方程组：方程1: 2x + 3y = 7方程2: 4x - y = 1首先，将方程2中的y表示为方程1中x的函数，即y = 4x - 1。
然后将y代入方程1中，得到2x + 3(4x - 1) = 7。
继续整理得到14x - 3 = 7，化简为14x = 10，解得x = 10/14 = 5/7。
将x的值代入任一方程，得到y = 4(5/7) - 1 = 20/7 - 7/7 = 13/7。
因此，此方程组的解为x = 5/7，y = 13/7。
代入法解二元一次方程组的关键是将一个方程的一个变量表示成另一个方程中的变量的函数，通过代入求解未知数。
消元法:消元法是解二元一次方程组的另一种常用方法。
它的基本思想是通过运用加减法，消去一个方程中的一个变量，从而得到只含有一个未知数的方程，进而求解未知数。
考虑以下二元一次方程组：方程1: 2x + 3y = 7方程2: 4x - y = 1首先，将方程2的y系数乘以3，得到3(4x - y) = 3。
这样就得到了一个新的方程3(4x - y) = 3，将其与方程1相加，得到2x + 3y + 3(4x - y) = 7 + 3。
继续整理得到14x = 10，解得x = 5/7。
将x的值代入任一方程，得到y = 4(5/7) - 1 = 20/7 - 7/7 = 13/7。
因此，此方程组的解为x = 5/7，y = 13/7。
消元法解二元一次方程组的关键在于通过加减法将一个变量消去，从而化简为含有一个未知数的方程，再进行求解。
7.2.2二元一次方程组的解法(2)
解：由（1）得2x﹣3y＝2 （3）， 把（3）代入（2），得 y＝4 把y=4代入(3)得: x=7
例4.
2x 7 x
6y 2 18 y 1
① ②
解： ①×3得 6x+18y=-6 ③
② - ③得: x=5 把x＝5代入①得:
2×5+6y=-2
y＝-2
∴
x
y
5 2
特点: 方程组中没有未知数的系数的 绝对值相等
办法：选一个未知数，用方程变形 的规则⑵，变其系数为绝对 值相等，从而为加减消元法 解方程组创造条件．
87y
3( 2 ) -8y= 10
把 y 4 代入(3)得:
5
x
8
7
4 5
8
28 5
12 5
6
2
2 25
24+21y-16y=20
5y=-4
y4 5
x6
∴
5
y4
5
选一个方程变形为y=？x或x=?y,代入另一个方程，实现消元，进而求得二 元一次方程组的解的方法叫代入消元法， 简称代入法
用加减法解方程组
(5)写解 写出方程组的解
解二元一次方程组的方法选择
x 2y 0 3x 4y 6
5x 3y 2 2x 3y 10
代入法还是加减法
选择的标准: 若有未知数的系数为±１， 用代入法． 否则用加减法．
⑴ 中x的系数为１
例1． 解方程组 x－y=3 3x－8y=14
解:将方程⑴变形,得
选择用代入法．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
6
2
2 25
24+21y-16y=20
5y=-4
y4 5
二元一次方程组的特殊解法有何区别
二元一次方程组的特殊解法有何区别在我们学习数学的过程中，二元一次方程组是一个重要的知识点。
而解决二元一次方程组，除了常规的方法外，还有一些特殊的解法。
这些特殊解法各有特点，适用的情况也不尽相同。
接下来，咱们就详细聊聊这些特殊解法之间的区别。
先来说说“代入消元法”。
这种方法的核心思想就是把其中一个方程中的某个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，然后代入另一个方程，从而消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程来求解。
比如说，对于方程组：＄＼begin{cases}x ＋ y ＝ 5 ＼＼ x y ＝ 1\end{cases}＄我们可以由第一个方程得出$x ＝ 5 y$，然后把$x ＝5 y$代入第二个方程，就得到了关于$y$的一元一次方程，从而求解出$y$的值，再进一步求出$x$的值。
代入消元法的优点在于，如果其中一个方程比较容易用一个未知数表示另一个未知数，那么操作起来就相对简单直接。
但它也有一定的局限性，如果表达式比较复杂，代入计算的过程可能会比较繁琐，容易出错。
再看“加减消元法”。
它的原理是通过将两个方程相加或相减，消去其中一个未知数。
比如对于方程组：＄＼begin{cases}2x ＋ 3y ＝ 8 ＼＼ 3x 3y ＝ 3\end{cases}＄我们把这两个方程相加，就能消去$y$，得到一个只关于$x$的方程，进而求出$x$，再求$y$。
加减消元法的好处是，如果两个方程中某个未知数的系数相等或互为相反数，那么通过加减就能迅速消元，计算过程相对简洁。
不过，要是未知数的系数没有这种特殊关系，就需要先对方程进行变形，让系数变得符合消元的条件，这就增加了一些前期的准备工作。
还有一种特殊解法是“整体代入法”。
举个例子，对于方程组：＄＼begin{cases}2(x ＋ y) 3y ＝ 7 ＼＼ x ＋ y ＝ 4\end{cases}＄我们可以把第二个方程整体代入第一个方程，即把$x ＋ y$用$4$代替，这样就能很快求出$y$的值，然后求出$x$。
(完整版)二元一次方程组的常见解法
二元一次方程组的常见解法二元一次方程组中含有两个未知数，所以解二元一次方程组的主要思路就是消元，即消去一个未知数，使其转化为一元一次方程，这样就可以先解出一个未知数，然后设法求另一个未知数．常见的消元方法有两种：代入消元法和加减消元法．一、代入法即由二元一次方程中的一个方程变形，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程中，实现消元，进而求解．一般情况下用代入法解方程组时，选择变形的方程要尽可能的简单，表示的代数式也要尽可能的简单，以利于计算．2x+5y=－21①例1、解方程组x+3y=8 ②解由②得：x=8－3y ③把③代入①得2（8－3y）+5y=－21解得：y=37把y=37代入③得：x=8－3×37=－103x=－103所以这个方程组的解是y=37二、整体代入法当方程组中的两个方程存在整数倍数关系时，用代入法解可将整数倍数关系数中较小的一个变形，用另一个字母代数式表示它后代入另一个方程．3x－4y=9①例2、解方程组9x－10y=3②解由①得3x=4y+9 ③把③代入②得3(4y+9)－10y=3解得y=－12把y=－12代入③得3x=4×(－12)+9解得x=－13x=－13所以方程组的解是y=－12三、加减消元法即方程组中两个二元一次方程中的同一个未知数的系数相等时，让两个方程相减．如果方程组中两个二元一次方程中的同一个未知数的系数互为相反数时则让两个方程相减．消去一个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫加减消元法．2x+3y=14 ①例3、解方程组4x－5y=6②解由①×2得4x+6y=28 ③③－②得：11y=22解得y=2把y=2代入②得4x－5×2=6解得x=4x=4所以方程组的解为y=2四、整体运用加减法即当两个二元一次方程中的某一部分完全相同或符号相反时，可以把这两个方程两边相加或相减，把相同的部分整体消去．3(x+2)+(y－1)=4 ①例4 解方程组3(x+2)+(1－y)=2 ②解①－②得(y－1)－(1－y)＝4－2整理得2y=4解得y=2把y=2 代入①得3(x+2)+(2－1)=4整理得3x+7=4解得x=－1x=－1所以方程组的解为y=2解二元一次方程组的主要方法有代入法和消元法，因为方程的形式是多种多样的．所以在解方程中一定要仔细观察方程中各部分以及各个未知数和它们的系数之间的关系的找到最简便的解题方法．。
二元一次方程组的特殊解法
二元一次方程组的特殊解法1.若方程组2a-3b=4.7 的解是a=4.3 则可直接写出方程组3a+5b=19.4 b=1.32(x-1)-3(y+1)=4.73(x-1)+5(y+1)=19.4 的解为2.若关于x,y的方程组5x+3ay=16（其中a,b是常数）的解为x=6-bx+4y=15 y=7解方程组5(x+1)+3a(x-2y)=16-b(x+1)+4(x-2y)=153.若方程组a1x+b1y=c1的解是x=4 解方程组4a1x+3b1y=5c1a2x+b2y=c2 y=6 4a2x+3b2y=5c24.已知关于x,y的方程组2ax-3by=2c 的解是x=4则关于x,y的方程3ax+2by=16c y=2组2ax-3by+2a=2c 的解是( )3ax+2by+3a=16cA.x=4B. x=3C. x=5D. x=6y=2 y=2 y=2 y=25.已知关于x,y的方程组2ax-3by=2c 的解是x=4则关于x,y的方程3ax+2by=16c y=2组2ax-3by+2a-3b=2c 的解是( )3ax+2by+3a+2b=16cA. x=4B. x=3C. x=5D. x=6y=1 y=1 y=2 y=26.若方程组a1x+b1y=c1的解是x=4，求方程组4a1x+5b1y=9c1的解a2x+b2y=c2y=10 4a2x+5b2y=9c27.解方程组2x+5y=3 ①时采用了一种“整体代换”解法：4x+11y=5 ②解：将方程②变形为4x+10y+y=5即2(2x+5y)+y=5把方程①代入③，得2⨯3+y=5, y=-1把y=-1代入方程①，得x=4 ,方程组的解为x=4y=-1请你模仿此解法解方程组3x+4y=166x+9y=258.规定，形如x,y关于的方程x+ky=b与kx+y=b互为共轭二元一次方程，其中k≠1；由这两个方程组成的方程组x+ky=b 叫做共轭方程组。
二元一次方程组解法大全
二元一次方程组解法大全
在数学中，二元一次方程组是由两个未知数的一次方程组成的方程组。
解决这
种方程组需要运用一系列数学方法和技巧。
下面将介绍解决二元一次方程组的多种方法，包括代数方法和几何方法。
1. 代数方法
消元法
消元法是解决二元一次方程组最常用且基础的方法之一。
通过加减乘除方程式，消去一个未知数，从而求解另一个未知数。
代入法
代入法是一种将一个方程的解代入另一个方程，从而求解另一个未知数的方法。
通常选择一个方程解出其中一个未知数，再代入另一个方程中求解。
相加或相减法
相加或相减法是通过将两个方程相加或相减得到一个新的方程，进而消去其中
一个未知数。
这种方法常用于两个方程系数之间正好是相反数的情况。
2. 几何方法
图形法
图形法是通过解释二元一次方程组为二直线的交点来求解。
通过绘制方程组的
图形，可以观察直线的交点从而得出方程组的解。
可视化分析
可视化分析是通过图形的位置关系和特点来求解方程组。
通过观察直线的相交、平行或重合情况，可以方便地推导出方程组的解。
结论
通过上述介绍，我们可以看到解决二元一次方程组并不难，使用代数方法和几
何方法结合起来，可以更直观地理解方程组的解法。
在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解二元一次方程组，希望本文能帮助读者更好地掌握解决这类问题的技巧。
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二元一次方程组的特殊解法
1.二元一次方程组的常规解法，是代入消元法和加减消元法。
这两种方法都是从“消元”这个基本思想出发，先把“二元”转化为“一元”把解二元一次方程组的问题归结为解一元一次方程，在“消元”法中，包含了“未知”转化到“已知”的重要数学化归思想。
解二元一次方程的一般方法在此就不举例说明了。
2、灵活消元
（1）整体代入法
5. 解方程组y x x y +=+-=⎧⎨⎪⎩⎪142
3231
解：原方程组可变形为435
231x y x y -=--=⎧⎨⎩
继续变形为232512312x y x x y -+=-<>
-=<>⎧⎨⎩
<2>代入<1>得：125+=-x
x =-3
解得：y =-7
3
方程组的解为x y =-=-⎧⎨⎪⎩⎪3
7
3
（2）先消常数法
例6. 解方程组433132152x y x y +=<>
-=<>⎧⎨⎩
解：<1>×5－<2>得：17170x y +=
x y
=-<>
3
<3>代入<1>得：y =-3
把y =-3代入<3>得：x =3
所以原方程组的解为x y ==-⎧⎨⎩3
3
（3）设参代入法
例7. 解方程组x y x y -=<>
=<>⎧⎨⎩321432::
解：由<2>得：
x y 43= 设x y k 43
==，则x ky k ==<>433， 把<3>代入<1>得：492
k k -= 解得：k =-25
把k =-25代入<3>，得：x y =-=-8565
， 所以原方程组的解是x y =-=-⎧⎨⎪⎪⎩
⎪⎪8565 （4）换元法
例8. 解方程组()()x y x y x y x y +--=+=-⎧⎨⎪⎩
⎪23
634 解：设x y a x y b
+=-=，，则原方程组可变形为 3236340a b a b -=-=⎧⎨⎩，解得a b ==⎧⎨⎩2418
所以x y x y +=-=⎧⎨⎩
2418 解这个方程组，得：x y ==⎧⎨⎩213
所以原方程组的解是x y ==⎧⎨⎩
213
（5）简化系数法
例9. 解方程组43313442x y x y -=<>-=<>
⎧⎨⎩ 解：<1>＋<2>得：777
x y -= 所以x y -=<>
13 <1>－<2>得：xy +=-<>
14
由<3>、<4>得：
x
y
=
=-⎧
⎨
⎩
1
解三元一次方程组的消元技巧
解三元一次方程组的基本思想和解二元一次方程组一样也是消元，化三元为二元、一元，最终求出各未知数的值，完成解题过程.但是，在具体解题过程中，许多同学却难以下手，不清楚先消去哪个未知数好.下面就介绍几种常见的消元策略，供同学们学习时参考.
一、当方程组中含某个未知数的项系数成整数倍关系时，可先消去这个未知数
例1．解方程组
2439 32511 56713.
x y z
x y z
x y z
++=
⎧
⎪
-+=
⎨
⎪-+=
⎩
，
，
①
②
③
分析：方程组中含y的项系数依次是4，－2，－6，且4=－2×（－2），－6=－2×3.由此可先消去未知数y.
解：①+②×2，得81331
x z
+=，④
②×3-③，得4820
x z
+=，⑤
解由④、⑤组成的方程组，得
1
3
x
z
=-
⎧
⎨
=
⎩
，⑥
把⑥代入①，得
1
2
y=，
所以原方程组的解是
1
3
1
2
x
y
z
⎧
⎪=-⎪
=
⎨
⎪
⎪=
⎩
.
二、当某个方程组中缺含某未知数的项时，可以从其余方程中消去所缺少的未知数.
例2．解方程组
347
239 5978.
x z
x y z
x y z
+=
⎧
⎪
++=
⎨
⎪-+=
⎩
，
，
①
②
③
分析：因为方程①中缺少未知数y项，故而可由②、③先消去y，再求解. 解：②×3+③，得111035
x z
+=，④
解由①、④组成的方程组，得
5
2
x
z
=
⎧
⎨
=-
⎩
，⑤
把⑤代入②，得
1
3
y=，
所以原方程组的解为
5
1
3
2 x
y
z
=
⎧
⎪⎪
=
⎨
⎪
=-⎪⎩
.
三、当有两个方程缺少含某未知数的项时，可先用含公共未知数的代数式表示另外两个未知数，再用代入法消元.
例3．解方程组
27
5322
34 4.
y x
x y z
x z
=-
⎧
⎪
++=
⎨
⎪-=
⎩
，
，
①
②
③
分析：很明显，在方程①、③中，分别缺少未知数z、y的项，而都含有未知数x的项，从而可用含x的代数式分别表示y、z，再代入②就可以直接消去y、z了.
解：由③，得
3
1
4
z x
=-，④
把①、④代入②，得2
x=，⑤把⑤代入①，得3
y=-，⑥
把⑤代入③，得
1
2
z=，
所以原方程组的解是
2
3
1
2
x
y
z
⎧
⎪=
⎪
=-⎨
⎪
⎪=
⎩
.
四、对于一些结构特殊的三元一次方程组，可采用一些特殊的方法消元
1．整体代入法
即将原方程组中的一个方程（或经过变形整理后的方程）整体代入其它方程中，从而达到消元求解的目的.
例4．解方程组
515438
3210 791458.
x y z
x y z
x y z
-+=
⎧
⎪
-+=
⎨
⎪-+=
⎩
，
，
①
②
③
分析：注意到①中的5155(3)
x y x y
-=-，这就与②有了联系，因此，①可化为5(32)638
x y z z
-+-=，把②整体代入该方程中，可求出z的值，从而易得x与y的值.
解：由①，得5(32)638
x y z z
-+-=，④
把②整体代入④，得2
z=，
把2
z=代入①、③，得
51530
7930
x y
x y
-=
⎧
⎨
-=
⎩
. ⑤
解⑤，得31
x y =⎧⎨=-⎩. 所以原方程组的解是312x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩
.
2．整体加减法
例5．解方程组1151.x y z y z x z x y +-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩
， ， ①②③
分析：方程组中每个未知数均出现了三次，且含各未知数的项系数和均为1，故可采用整体相加的方法.
解：①+②+③，得17x y z ++=， ④
再由④分别减去①、②、③各式，分别得3z =， 6x =，8y =.
所以原方程组的解是683x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩
.
3．整体改造
例6．解方程组2011487271045477.x y z x y z x y z +-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩
， ， ①②③
分析：按常规方法逐步消元，非常繁杂.考察系数关系：②中含y 、z 项的系数是①中对应系数的4倍；③中含x 、z 项的系数是①中对应系数的27倍.因此可对②、③进行整体改造后，综合加减法和代入法求解.
解：由②、③，得74(2)727(2)7777.x x y z x y z y ++-=⎧⎨+-+=⎩， ④⑤
再将①代入④、⑤，得1x =，1y =.把x 、y 的值代入，得1z =.
所以原方程组的解为111x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩
.
4．参数法
例7．解方程组34524.x y z x y z ⎧==⎪⎨⎪++=⎩， ①②
分析：由于345x y z ==，所以可设345
x y z ==k =，则得 3x k =，4y k =，5z k =. ③
③代入②可得2k =，代入③易求x 、y 、z . 解：设345
x y z ==k =，则得 3x k =，4y k =，5z k =. ③
③代入②，得2k =，代入③，得6810x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩
.
评注：这里的k 被称为辅助未知数（或参数）.由于它的中介作用，避免了原方程组中三个未知数x 、y 、z 的直接变换消元，从而大大减少了运算量.。