抽象常微分方程初值问题解的存在性
微分方程中的初值问题理论
微分方程中的初值问题理论微分方程是数学领域中的重要分支，它描述了一种变量与其变化率之间的关系。
在实际问题中，经常会遇到需要确定微分方程的解的具体形式，并以给定的初值条件作为起点进行求解的情况，这就是初值问题。
初值问题理论是微分方程研究的基础之一，本文将介绍微分方程中初值问题的理论基础和解法。
一、初值问题的定义初值问题是指给定一个微分方程及其解空间上一点的值，通过求解微分方程，确定解空间上满足给定初值条件的特定解。
初值问题的一般形式可以表示为：̇= (, )= ₀= ₀其中，表示未知函数，是自变量，是因变量，表示关于和的函数关系。
是关于和的函数，是任意给定实数。
初值问题的目标是找到满足上述方程和初值条件的特定解。
二、初值问题的解法解决初值问题的方法有很多种，常见的有解析解法和数值解法。
1. 解析解法解析解法是通过一系列数学手段，直接求得微分方程的解的公式，从而得到满足初值条件的特定解。
这种方法适用于某些特定形式的微分方程，例如线性微分方程、可分离变量的微分方程等。
解析解法的优势在于可以得到精确的解析表达式，从而能够准确描述问题的性质和变化规律。
但是，对于一些复杂的非线性微分方程，往往无法找到解析解，这时需要采用数值解法。
2. 数值解法数值解法是通过近似计算，利用离散的数值方法求解微分方程并得到数值近似解。
这种方法的思路是将微分方程转化为差分方程，并利用离散的计算方法逼近微分方程的解。
数值解法的优势在于适用性广，能够处理各种类型的微分方程，并能够得到任意精度的解。
常见的数值解法包括欧拉法、龙格-库塔法、改进欧拉法等。
三、初值问题的存在唯一性定理对于一阶常微分方程，初值问题存在唯一性定理是指在一定条件下，初值问题的解是存在且唯一的。
存在性定理：设 (, ) 是微分方程 , µ区间上的解且在 µ上连续，则初值问题在 [a,b] 上存在解。
唯一性定理：设 (, ) 和 (, ) 是微分方程在一定区域上的两个解，如果对于 µ [a,b] 上的某个点 x₀， ̇ (x₀) = ̇ (x₀)，那么在整个区域上µ， (x) = (x)，这就是说，在初值问题存在的条件下，初值问题的解是唯一的。
常微分方程解的存在唯一性定理的教学探索
舅（，）≥ｌ： （ ， （ ））ｄ ０≤ｔ Ｔ），Ｙｃ＇（ｔ）≤ｈ（ｔ， ））（或Ｙｃ（ｔ） ｆ￣ｈ（ｓ，．效 ））（ ０ ｔ Ｔ），贝０称Ｅ（Ｏ，２（ｔ）为
方程 （１）的一对有序上 、下解． 定理 １ 如果 ｆ（ｔ， ）：【０，Ｔ】×［０，＋Ｏ０） 【０，＋ｏｏ）是连续 函数 ，且方程 （１）存在一对有序上 、下解
？’：ｓ ｓ．艰据引理２可知，算子 至少存在一个不动点 （ｆ）∈Ｓ，０≤ｔ≤Ｔ．所以初值问题 （１）至少存在
一 个解 （ｆ）∈Ｃ［Ｏ，丁】，且 Ｙｃ（ｔ）≥ （ｆ） （ｆ）， ０ ｔ Ｔ．
证毕 ．
推论 １ 如果 ｆ（ｔ， ）：［０，Ｔ］×［０，ｂ】 ［０，＋∞）是连续函数 ，那么初值问题 （１）至少存在一个解 ｘ（ｔ）∈ ｃ［ｏ，Ｔ】， 并满足 ｋｉｔ （ｆ）≤ｋ２ｔ，其 中：ｋ１， ２为常数．
本文始终假设 ｆ：【０，Ｔ】×【０，＋∞） 【０，＋Ｏ０）是一给定连续函数．
（１）
设ｘ＝ ０， 】是带有最大值范数的Ｂａｎａｃｈ空间．显然，方程（１）等价于积分方程ｘ（ｔ）＝Ｃ，（ ，ｘ（ｓ））ｄｓ
（０≤ｔ Ｔ ），又等价于不动点方程 Ｔｘ（ｔ）＝ （ ），ｘ（ｔ）∈ｃ［ｏ，Ｔ】，其 中：算子 丁定义为
Ｈ（ｔ， ）＝ ｓｕｐ ｆ（ｔ，ｒ１），下 控 制 函数 ｈｑ， ＝ｉｎｆ，Ｏ，ｒｔ）， Ｈ（ｔ， ）， ｈ（ｔ， ）对 Ｈ是 单 调 不 减 的 ，且
＜』
（ｆ， ≤， ， Ｈ（ｔ， ．
定 义 如 果存 在 一 对 函数 （ｆ）， （ｆ）∈ｘ ，满足 ｂ （ｆ）≥ （ｆ）≥０，且 （ｆ）≥Ｈ（ｔ， （ｆ）） （或
１ 引言及预备知识
常微分方程基本理论是常微分方程学科的精华所在 ，基本理论的教学 目的是让学生去体会常微分方 程的思想方法 ，领略数学思想的魅力．然而 ，一些学生对常微分方程课程 的学习偏重方程解法 ，忽略基 本理论．造成这种状况的原因是多方面的，除了基本理论 自身 内容比较抽象，课时不足等客观因素外 ，与 教师课堂的教材处理与授课方法也有一定关系．作为教师 ，在课 堂教学中应注意启发学生 的思维 ，培养 学生的创新能力 ，不能照本宣科．尤其是 随着一些新的数学理论的诞生 ，现有教材 中的一些方法未必是最 佳方法 ，教师也应该更新观念 ，在充分理解教材 的基础上 ，不断创新教学方法 ，使难懂枯燥 的数学定理证 明变得简单有趣．基于这种思想 ，根据多年从事微分方程教学和科研工作的经验 ，给出了证明常微分方程 解 的存在唯一性定理的一种新方法——上、下解方法 ，文献［１］中介绍了上、下解方法 ，并用上 、下解方法
常微分方程12解的存在唯一性
1 x2
),
y(x) 0 ,
c2
exp(
1 x2
)
,
x 0. x 0. x 0.
3
1.2.1例子和思路
例 4: 证明初值问题
dy y, dx
的解存在且惟一。
y(0) 1
(1 .2 .1)
证：若 y y(x) 是初始值问题的解, (1 .2 .1) 两端积分
y ( x ) 满足 y(x)=1+ xy(s)ds 0
y 1 , 1 x
x( ,1).
初值问题 yy2,y(0)2的解:
y
2 1 2x
.
它的存在区间为
(
1 2
,
)
例2: 初值问题 yx,y(0)a(a0)的解为: y
y a2 x2存在区间为 (a,a)
2
例3:初始值问题:
2y yx3
x0 ,
0 x0
y(0)0
有无穷多解,存在区间为: (,).
c1
exp(
x 2 (x )1 (x )x 0f(s ,1 (s )) f(s ,0 (s ))d s 13
x 2 (x )1 (x )x 0f(s ,1 (s )) f(s ,0 (s ))d s
x
L 2
其中第二个不等式由Lipschitz条件可以得到，
（ 1 x） =y0＋xx0 f(s,0(s))ds （ 2 x） M =y0＋xx0 f(s,1(s))ds （ n x） =y0＋xx0 f(s,n1(s))ds
这样就得到一个连续函数列 n ( x)
它称为 Picard迭代序列。
11
（ 3 ) Picard 序列的收敛性
引理1.1 对于一切 n 和 x [x0,x0h],n(x)
一阶常微分方程初值问题的上_下解与拟上下解的存在定理
0 ,
1 1
t ∃ } 导出, C (J, R ) = { u ( t) u ( t )
1 1
J R 连续可微 }. x0 ( 2)
1
定义 1
若 v ∃ C ( J, R ) 满足 v ( t)
1 1
f(t , v( t ) ),
t ∃ J;
v( 0 )
则称 v ( t) 是初值问题 ( 1 ) 的一个下解; 若 w ( t) ∃ C ( J, R ) 满足 w ( t) 则称 w ( t) 是初值问题 ( 1 ) 的一个上解 . 定理 1 ( 上、 下解存在定理 1 ) 设 f ( t, x ): J ! R 证明: 令 则 v0 ( t) 于是
v0 ( 0 ) x 0, w 0 ( 0) 则称 ( v0 ( t ), w 0 ( t) ) 为初值问题 ( 1 ) 的一对拟上下解. 若 v0 ( t), w 0 ( t ) ∃ C ( J, R ) 满足
1 1
v0 ( t) = f 0 ( t, v0 ( t) ) + f1 ( t, v0 ( t ) ) + f 2 ( t, w 0 ( t ) ) w 0 ( t) = f 0 ( t, w 0 ( t) ) + f 1 ( t, w 0 ( t) ) + f 2 ( t, v0 ( t) ) v0 ( 0 ) = x 0, 则称 ( v0 ( t ), w 0 ( t) ) 为初值问题 ( 1 ) 的一对拟解. 注 : 下文中的 f 0 ( t, u ), f1 ( t , u ), f 2 ( t, u), 均指 f ( t, u ) 可以表示为 f ( t, u ) = f 0 ( t, u ) + f1 ( t, u) + f2 ( t , u ). 定理 3 ( 拟上下解存在定理 1 ) 1 1 设 f 0, f1, f2: J ! R R 一致有界, 则初值问题 ( 1 ) 存在拟上下解. 证明: 令 h1 ( t) = x 0 + t( h2 ( t) = x 0 + t(
常微分方程解的存在唯一性定理证明
常微 分方 程是 一 门应用 性较 强 的课 程 ，它在 数学 、物 理 、天 文 和工程 技术 等领 域有 着 广 泛应 用 ．一 阶微 分 方程 初值 问题 解 的存 在 唯 一 性 定 理 既是 微 分 方 程 的理 论 基 础 ，又 是 常 微 分 方 程 的精 华 所 在 ，在 很 多教 材 中¨ 都 是作 为重 点章 节来 讲述 ，而且 一 阶微 分 方 程 解 的存 在 唯 一性 的应 用 也很 广泛 ．此处 从 几 个 不 同
１，由敛．故由Ｗｅｉｅｒｓｔｒａｓｓ ０法得级 ㈤＋蠢 ） ㈤］一致收敛．
命题 ３ ｌｉｍ （ｔ）＝ （ ）是 积分 方程 的解 ． 证 明 由于｛ （ｔ））在 【ｔ０，ｔｏ＋ 】上 一致 收敛 ，令ｌｉｍ （ｔ）＝ （ｔ），由 Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条 件知道
＝ ｏ 十Ｉ，（ｓ， （ ））ｄｓ，￡０≤ｔ≤ｔ０＋ｈ
ｔｏ
构 造 ｐｉｃａｒｄ序 列 ｛ （ｔ）｝，即令
（２）
收 稿 日期 ：２０１４－０８—１９：修 回 日期 ：２０１４－０９—２５． 基金项 目：安徽省高等学校省级 自然科学基金项 目（ＫＪ２０１３Ｂ１０５）；安徽新华 学院质量 工程 （２０１２ｊｇｋｃｘ０３）；安徽新 华学 院
（２）函数 ｔ，Ｘ）在 Ｒ上关于 满足 Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件 ，即存在常数 Ｌ＞０，使得对所有（ｔ， ），（ｔ， ）∈Ｒ都有
ｌ ￡ ） ， ）ｌ≤Ｌ ｌ Ｘ１－Ｘ２ ｌ成立，则初值问题（１）在区间［ｔ－ｔｏ Ｉ≤ 上存在唯一解，其中 ：ｍｉｎ｛ｎ， ），
常微分方程解的存在唯一性定理
常微分方程解的存在唯一性定理一阶微分方程⑴其中. 是在矩形域丄」’叭」上的连续函数。
定义1如果存在常数二11，使得不等式”（础）-/（砒）冏肝川对于所有--■■-1--- 都成立，贝U函数/、•称为在二上关于：'满足Lipschitz 条件。
定理1如果「二，在二上连续且关于「满足Lipschitz 条件，则方程（1）存在唯一的解y=叭心，定义于区间M ■阳卜月上，连续且满足初始条件W八-卄 A = r—）M = max' ■-.，这里」f，•心「。
Picard逐步逼近法来证明这个定理的主要思想首先证明求微分方程的初值冋题的解等价于求积分方程的连续解。
然后去证明积分方程的解的存在唯一性。
任取一个连续函数代入上面积分方程右端的,就得到函数俅沪）Vp（Z（）⑴）必，显然J 也是连续函数，如果,那末l:-'就是积分方程的解。
否则，我们又把J二代入积分方程右端的「，得到汀0恥）皿，如果氛沪仍⑴，那末仇⑴就是积分方程的解。
否则我们继续这个步骤。
一般地作函数惦（3.1.1.4）这样就得到连续函数序列，...，〔「」，…如果二, 那末就是积分方程的解。
如果始终不发生这种情况，我们可以证明上面的函数序列有一个极限函数厂：;；1，即'厂…I存在，因而对©Ji/）取极限时，就得到f「打「X FJr=y0+l=y0+祕幼必Jf祕x）=y n+/（X 矶兀））必/ 、即•血，这就是说机x）是积分方程的解。
这种一步一步地求出方程的解的方法就称为逐步逼近法。
函数''■■■■■'称为初值问题的第：次近似解。
命题1设—是方程（1）的定义于区间V —'■'‘上，满足初始条件Jf瞅）=刃的解，则厂曲）是积分方程y=y°+y （2曲碳心砒的定义于V ——'■上的连续解。
反之亦然。
现在取，构造皮卡逐步逼近函数序列如下: 京（X）=丹；保（方=丹+ f于（乙矶_1©）時从“英肿hJ*D（聊=12…）1命题2对于所有的卜，函数在J■:上有定义、连续且满足不等式命题3 函数序列"I「在J ------------ '."上是一致收敛的。
常微分方程初值问题的数值解法
常微分方程初值问题数值解法初值问题：即满足初值条件的常微分方程的解y′=f(x,y),x∈[x0,b]y(x0)=y0.定理1（利普希茨条件）若存在正数L，使得对任意，y1，y2，有|f(x,y1)−f(x,y2)|≤L|(y1−y2)|定理2（解存在性）①若函数f在方区域x∈[a,b],y∈R连续，②函数f关于y 满足利普希茨条件，则对任意x∈[a,b]，常微分方程存在唯一的连续可微数值解.两类问题：①单步法---计算下一个点的值yn+1只需要用到前面一个点的值yn②多步法---计算下一个点的值yn+1需要用到前面l个点的值yl1、欧拉法---下一个点的计算值等于前一个点的计算值加上步长乘以前一个点的函数值•具体过程一些批注：显式欧拉方程指下一步要计算的值，不在迭代方程中；隐式欧拉方程指下一步要计算的值，在迭代方程中。
怎么计算隐式欧拉方程----要借助显示欧拉迭代计算---一般用迭代法-----迭代---将微分方程在区间[xn,xn+1]进行积分，然后函数f进行近似，即可得到迭代方程-----迭代方程收敛性？由函数关于y满足利普希茨条件，可以推出迭代公式收敛。
•局部截断误差：假设前n步误差为0，我们计算第n+1步的误差，将次误差称为局部截断误差，且局部误差为O(hp+1)•p阶精度：由理论证明：若局部误差阶的时间复杂度为O(hp+1)，则整体误差阶为O(hp)我们称公式精度为p。
•显示欧拉法与隐式欧拉法•梯形方法----将显式欧拉迭代方程与隐式欧拉迭代方程做一下加权平均，构造的计算公式.•改进的欧拉方法---思想：因为梯形公式是隐式公式，将显式欧拉公式对下一步的计算值进行预估，用梯形公式对下一步的计算值进行校正.2、龙格-库塔方法思想：根据Lagrange中值定理，下一次的计算值可以用前一次的计算值加上h乘以前一个点的斜率；而这个斜率用该区间上的多个点的斜率的算数平均来逼近。
注意：怎么计算任意斜率Ki？第i个点的斜率Ki有微分方程可以算出f′=f(xn,yn)所以要算的f(xn,yn)值，由欧拉法即可算出, yn+1=yn+hf′•2阶-龙格-库塔方法----类似改进的欧拉法根据Lagrange中值定理，下一次的计算值可以用前一次的计算值加上h乘以斜率；而这个斜率用区间上的端点和中点的斜率的算数平均来逼近。
第八章 常微分方程初值问题的解法
第八章常微分方程初值问题的解法在科学与工程问题中，常微分方程描述物理量的变化规律，应用非常广泛. 本章介绍最基本的常微分方程初值问题的解法，主要针对单个常微分方程，也讨论常微分方程组的有关技术.8.1引言本节介绍常微分方程、以及初值问题的基本概念，并对常微分方程初值问题的敏感性进行分析.8.1.1 问题分类与可解性很多科学与工程问题在数学上都用微分方程来描述，比如，天体运动的轨迹、机器人控制、化学反应过程的描述和控制、以及电路瞬态过程分析，等等. 这些问题中要求解随时间变化的物理量，即未知函数y(t)，t表示时间，而微分方程描述了未知函数与它的一阶或高阶导数之间的关系. 由于未知函数是单变量函数，这种微分方程被称为常微分方程（ordinary differential equation, ODE），它具有如下的一般形式①：g(t,y,y′,⋯,y(k))=0 ,(8.1) 其中函数g: ℝk+2→ℝ. 类似地，如果待求的物理量为多元函数，则由它及其偏导函数构成的微分方程称为偏微分方程（partial differential equation, PDE）. 偏微分方程的数值解法超出了本书的范围，但其基础是常微分方程的解法.在实际问题中，往往有多个物理量相互关联，它们构成的一组常微分方程决定了整个系统的变化规律. 我们先针对单个常微分方程的问题介绍一些基本概念和求解方法，然后在第8.5节讨论常微分方程组的有关问题.如公式(8.1)，若常微分方程包含未知函数的最高阶导数为y(k)，则称之为k阶常微分方程. 大多数情况下，可将常微分方程(8.1)写成如下的等价形式：y(k)=f(t,y,y′,⋯,y(k−1)) ,(8.2) 其中函数f: ℝk+1→ℝ. 这种等号左边为未知函数的最高阶导数y(k)的方程称为显式常微分方程，对应的形如(8.1)式的方程称为隐式常微分方程.通过简单的变量代换可将一般的k阶常微分方程转化为一阶常微分方程组. 例如对于方程(8.2)，设u1(t)=y(t),u2(t)=y′(t),⋯,u k(t)=y(k−1), 则得到等价的一阶显式常微分方程组为：{u1′=u2u2′=u3⋯u k′=f(t,u1,u2,⋯,u k).(8.3)本书仅讨论显式常微分方程，并且不失一般性，只需考虑一阶常微分方程或方程组.例8.1 (一阶显式常微分方程)：试用微积分知识求解如下一阶常微分方程：y′=y .[解] 采用分离变量法进行推导：①为了表达式简洁，在常微分方程中一般省略函数的自变量，即将y(t)简记为y，y′(t)简记为y′，等等.dy dt =y ⟹ dy y=dt , 对两边积分，得到原方程的解为：y (t )=c ∙e t ,其中c 为任意常数.从例8.1看出，仅根据常微分方程一般无法得到唯一的解. 要确定唯一解，还需在一些自变量点上给出未知函数的值，称为边界条件. 一种边界条件设置方法是给出t =t 0时未知函数的值:y (t 0)=y 0 .在合理的假定下，从t 0时刻对应的初始状态y 0开始，常微分方程决定了未知函数在t >t 0时的变化情况，也就是说这个边界条件可以确定常微分方程的唯一解（见定理8.1）. 相应地，称y (t 0)=y 0为初始条件，而带初始条件的常微分方程问题：{y ′=f (t,y ),t ≥t 0y (t 0)=y 0 . (8.4)为初值问题（initial value problem, IVP ）.定理8.1：若函数f (t,y )关于y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件，即存在常数L >0，使得对任意t ≥t 0，任意的y 与y ̂，有：|f (t,y )−f(t,y ̂)|≤L |y −y ̂| ,(8.5) 则常微分方程初值问题(8.4)存在唯一的解.一般情况下，定理8.1的条件总是满足的，因此常微分方程初值问题的解总是唯一存在的. 为了更清楚地理解这一点，考虑f (t,y )的偏导数ðf ðy 存在，则它在求解区域内可推出李普希兹条件(8.5)，因为f (t,y )−f (t,y ̂)=ðf ðy (t,ξ)∙(y −y ̂) , 其中ξ为介于y 和y ̂之间的某个值. 设L 为|ðf ðy (t,ξ)|的上界，(8.5)式即得以满足.对公式(8.4)中的一阶常微分方程还可进一步分类. 若f (t,y )是关于y 的线性函数，f (t,y )=a (t )y +b (t ) ,(8.6) 其中a (t ),b (t )表示自变量为t 的两个一元函数，则对应的常微分方程为线性常微分方程，若b (t )≡0, 则为线性齐次常微分方程. 例8.1中的方程属于线性、齐次、常系数微分方程，这里的“常系数”是强调a (t )为常数函数.8.1.2 问题的敏感性对常微分方程初值问题，可分析它的敏感性，即考虑初值发生扰动对结果的影响. 注意这里的结果（解）是一个函数，而不是一个或多个值. 由于实际应用的需要，分析常微分方程初值问题的敏感性时主要关心t →∞时y (t )受影响的情况，并给出有关的定义. 此外，考虑到常微分方程的求解总与数值算法交织在一起、以及历史的原因，一般用“稳定”、“不稳定”等词汇说明问题的敏感性.定义8.1：对于常微分方程初值问题(8.4)，考虑初值y 0的扰动使问题的解y (t )发生偏差的情形. 若t →∞时y (t )的偏差被控制在有界范围内，则称该初值问题是稳定的（stable ），否则该初值问题是不稳定的（unstable ）. 特别地，若t →∞时y (t )的偏差收敛到零，则称该初值问题是渐进稳定的（asymptotically stable ）.关于定义8.1，说明两点：● 渐进稳定是比稳定更强的结论，若一个问题是渐进稳定的，它必然是稳定的. ● 对于不稳定的常微分方程初值问题，初始数据的扰动将使t →∞时的结果误差无穷大. 因此为了保证数值求解的有效性，常微分方程初值问题具有稳定性是非常重要的.例8.2 (初值问题的稳定性): 考察如下“模型问题”的稳定性：{y ′=λy,t ≥t 0y (t 0)=y 0 . (8.7)[解] 易知此常微分方程的准确解为：y (t )=y 0e λ(t−t 0). 假设初值经过扰动后变为y 0+Δy 0，对应的扰动后解为y ̂(t )=(y 0+Δy 0)e λ(t−t 0),所以扰动带来的误差为Δy (t )=Δy 0e λ(t−t 0) .根据定义8.1，需考虑t →∞时Δy (t )的值，它取决于λ. 易知，若λ≤0，则原问题是稳定的，若λ>0，原问题不稳定. 而且当λ<0时，原问题渐进稳定.图8-1分三种情况显示了初值扰动对问题(8.7)的解的影响，从中可以看出不稳定、稳定、渐进稳定的不同含义.对例8.2中的模型问题，若考虑参数λ为一般的复数，则问题的稳定性取决于λ的实部，若Re(λ)≤0, 则问题是稳定的，否则不稳定. 例8.2的结论还可推广到线性、常系数常微分方程，即根据f (t,y )中y 的系数可确定初值问题的稳定性. 对于一般的线性常微分方程(8.6)，由于方程中y 的系数为关于t 的函数，仅能分析t 取某个值时的局部稳定性.例8.3 (局部稳定性): 考察如下常微分方程初值问题的稳定性：{y ′=−10ty,t ≥0y (0)=1 . (8.8)[解] 此常微分方程为线性常微分方程，其中y 的系数为a (t )=−10t . 当t ≥0时，a (t )≤0，在定义域内每个时间点上该问题都是局部稳定的.事实上，方程(8.8)的解析为y (t )=e −5t 2，初值扰动Δy 0造成的结果误差为Δy (t )=Δy 0e −5t 2. 这说明初值问题(8.8)是稳定的.对于更一般的一阶常微分方程(8.4)，由于其中f (t,y )可能是非线性函数，分析它的稳定性非常复杂. 一种方法是通过泰勒展开用一个线性常微分方程来近似它，再利用线性常微分方程稳定性分析的结论了解它的局部稳定性. 具体的说，在某个解函数y ∗(t)附近用一阶泰勒展开近似f (t,y )，f (t,y )≈f (t,y ∗)+ðf ðy(t,y ∗)∙(y −y ∗) 则原微分方程被局部近似为（用符号z 代替y ）: 图8-1 (a) λ>0对应的不稳定问题, (b) λ=0对应的稳定问题, (c) λ<0对应的渐进稳定问题. (a) (b) (c)z′=ðfðy(t,y∗)∙(z−y∗)+f(t,y∗)这是关于未知函数z(t)的一阶线性常微分方程，可分析t取某个值时的局部稳定性. 因此，对于具体的y∗(t)和t的取值，常微分方程初值问题(8.4)的局部稳定性取决于ðfðy(t,y∗)的实部的正负号. 应注意的是，这样得到的关于稳定性的结论只是局部有效的.实际遇到的大多数常微分方程初值问题都是稳定的，因此在后面讨论数值解法时这常常是默认的条件.8.2简单的数值解法与有关概念大多数常微分方程都无法解析求解（尤其是常微分方程组），只能得到解的数值近似. 数值解与解析解有很大差别，它是解函数在离散点集上近似值的列表，因此求解常微分方程的数值方法也叫离散变量法. 本节先介绍最简单的常微分方程初值问题解法——欧拉法（Euler method），然后给出数值解法的稳定性和准确度的概念，最后介绍两种隐格式解法.8.2.1 欧拉法数值求解常微分方程初值问题，一般都是“步进式”的计算过程，即从t0开始依次算出离散自变量点上的函数近似值. 这些离散自变量点和对应的函数近似值记为：t0<t1<⋯<t n<t n+1<⋯y 0,y1,⋯y n,y n+1,⋯其中y0是根据初值条件已知的. 相邻自变量点的间距为 n=t n+1−t n, 称为步长.数值解法通常使用形如y n+1=G(y n+1,y n,y n−1,…,y n−k)(8.9) 的计算公式，其中G表示某个多元函数. 公式(8.9)是若干个相邻时间点上函数近似值满足的关系式，利用它以及较早时间点上函数近似值可算出y n+1. 若公式(8.9)中k=0，则对应的解法称为单步法（single-step method），其计算公式为：y n+1=G(y n+1,y n) .(8.10) 否则，称为多步法（multiple-step method）. 另一方面，若函数G与y n+1无关，即:y n+1=G(y n,y n−1,…,y n−k),则称为显格式方法（explicit method），否则称为隐格式方法（implicit method）. 显然，显格式方法的计算较简单，只需将已得到的函数近似值代入等号右边，则可算出y n+1.欧拉法是一种显格式单步法，对初值问题(8.4)其计算公式为：y n+1=y n+ n f(t n,y n) , n=0,1,2,⋯.(8.11) 它可根据数值微分的向前差分公式（第7.7节）导出. 由于y′=f(t,y)，则y′(t n)=f(t n,y(t n))≈y(t n+1)−y(t n)n,得到近似公式y(t n+1)≈y(t n)+ n f(t n,y(t n))，将其中的函数值换为数值近似值，则得到欧拉法的递推计算公式(8.11). 还可以从数值积分的角度进行推导，由于y(t n+1)=y(t n)+∫y′(s)dst n+1t n =y(t n)+∫f(s,y(s))dst n+1t n,用左矩形公式近似计算其中的积分（矩形的高为s=t n时被积函数值），则有y(t n+1)≈y(t n)+ n f(t n,y(t n)) ,将其中的函数值换为数值近似值，便得到欧拉法的计算公式.例8.4 (欧拉法)：用欧拉法求解初值问题{y ′=t −y +1y (0)=1. 求t =0.5时y (t )的值，计算中将步长分别固定为0.1和0.05.[解] 在本题中，f (t,y )=t −y +1, t 0=0, y 0=1, 则欧拉法计算公式为：y n+1=y n + (t n −y n +1) , n =0,1,2,⋯当步长h=0.1时，计算公式为y n+1=0.9y n +0.1t n +0.1; 当步长h=0.05时，计算公式为y n+1=0.95y n +0.05t n +0.05. 两种情况的计算结果列于表8-1中，同时也给出了准确解y (t )=t +e −t 的结果.表8-1 欧拉法计算例8.4的结果 h=0.1h=0.05 t ny n y (t n ) t n y n t n y n 0.11.000000 1.004837 0.05 1.000000 0.3 1.035092 0.21.010000 1.018731 0.1 1.002500 0.35 1.048337 0.31.029000 1.040818 0.15 1.007375 0.4 1.063420 0.41.056100 1.070320 0.2 1.014506 0.45 1.080249 0.5 1.090490 1.106531 0.25 1.023781 0.5 1.098737 从计算结果可以看出，步长取0.05时，计算的误差较小.在常微分方程初值问题的数值求解过程中，步长 n ,(n =0,1,2,⋯)的设置对计算的准确性和计算量都有影响. 一般地，步长越小计算结果越准确，但计算步数也越多（对于固定的计算区间右端点），因此总计算量就越大. 在实际的数值求解过程中，如何设置合适的步长达到准确度与效率的最佳平衡是很重要的一个问题.8.2.2数值解法的稳定性与准确度在使用数值方法求解初值问题时，还应考虑数值方法的稳定性. 实际的计算过程中都存在误差，若某一步的解函数近似值y n 存在误差，在后续递推计算过程中，它会如何传播呢？会不会恶性增长，以至于“淹没”准确解？通过数值方法的稳定性分析可以回答这些问题. 首先给出稳定性的定义.定义8.2：采用某个数值方法求解常微分方程初值问题(8.4)，若在节点t n 上的函数近似值存在扰动δn ,由它引起的后续各节点上的误差δm (m >n )均不超过δn ，即|δm |≤|δn |,(m >n)，则称该方法是稳定的.在大多数实际问题中，截断误差是常微分方程数值求解中的主要计算误差，因此我们忽略舍入误差. 此外，仅考虑稳定的常微分方程初值问题.考虑单步法的稳定性，需要分析扰动δn 对y n+1的影响，推导δn+1与δn 的关系式. 以欧拉法为例，先考虑模型问题(8.7)，并且设Re(λ)≤0. 此时欧拉法的计算公式为②：y n+1=y n + λy n =(1+ λ)y n ,由y n 上的扰动δn 引起y n+1的误差为：δn+1=(1+ λ)δn ,要使δn+1的大小不超过δn ，则要求|1+ λ|≤1 . (8.12)② 对于稳定性分析以及后面的一些场合，由于只考虑一步的计算，将步长 n 记为 .。
常微分方程课件--解的存在唯一性定理
y ( x) [ s e
0
]ds
x
0
1 2 5 5 [1 ( ) ]ds x 1 2 4 8
例６讨论初始值问题
y 1 y 2 , y(0) 0
的解存在唯一的区间． f ( x, y) 1 y 2 在 解： 对于任意的正数 a, b, 函数
R x, y ) x a, y b (
（ 2 ）构造 Picard 迭代数列
取0 x） y0 代入(1.2.3)右端后得 （
1 x） y0＋ f (s, 0 (s))ds （
x0
x
2 x） y0＋ f (s, 1 (s))ds （
x0
x
（x） y0＋ f (s, n1 (s))ds n
x0
x
这样就得到一个连续函数列 n ( x ) 它称为 Picard迭代序列。
2
1 4 1 h min { , } 2 5 2
故由解得存在唯一性定理可知，初始值问题的解
1 1 y y( x) 在 x 内存在唯一，当然也在 2 2 1 0 x 内存在唯一。
2
1 对 0 x 2
x
(1.2.11)等价的积分方程得 y( x) 0, 且
y2 (s)
y y( x) 满足 (2.2.2)
构造迭代序列 { yn ( x )} 来证明 (2.2.1) 有解． 取
y0 ( x) 1,
y1 ( x) 1 y0(s)ds 1 x,
0 x
y2 ( x) 1
x
0
x2 y1(s)ds 1 x , 2!
……
yn ( x) 1
关于常微分方程解的存在唯一问题的讨论
８ ０ 只 要 ｔｔ∈ ６Ｊ －２ ８ 对 一 切 ∈Ｄ， 有 Ｉｔ ㈨ ｌ￡ 则 称 Ｄ ＞， ｌ２ 】 ｔｌ ， ， Ｉ ＜ ｈ 都 ｘ１ （） ＜， 是 等 度 连 续 的． ４２ 引 理 （ ｒｅ — ｃｌ 定 理 ） 定 Ｄ Ｃａｂ ， Ｄ 在 Ｃａ ］ ， 紧 ． Ａｚｌ Ａｓｏｉ ａ 给 ［，］则 ［ｂ 中 列 ，
方 程 变 的相 当重 要 ． 个 微 分 方 程在 何 种 条 件 下 一 定 有解 ？当有 解 时 ． 一
它 的 初 值 问 题 有 多 少 解 ？ 这 是 一 个 十 分 基 本 的 问 题 ． 文 主 要 介 绍 常 本 微 分 方 程解 的存 在 唯 一 性 问 题 ．
１ 基本 概 念
注 ２贝尔曼不 等式 ， ． 是指假设 ｙ 为 区间【，】 的非负 的连续 函 ） ａｂ上
上 义‘ ， ０ —＾ 它 于 形Ｒ ． ０ ≤ ≤一 定 Ｐ ， ≤ ≤ｎ｝ ） 位 矩 上当 十 ） 十 ， ｝＾
ｏ
ｆ 孕 ｙ ）
［ ）ｙ ｙ ＝ｏ ￣ ｘ
（） ３ 初值 问题也称为柯西问题．
切 ｔ ａ 】有 Ｉｔ≤Ｍ ， 称 Ｄ是 一 致 有 界 的． 果 对 任 意 ｅ Ｏ 存 在 ∈ｌｂ ， ｘ ） ， （ｌ 则 如 ＞，
２ 毕 卡 存 在 唯 一 性定 理
定 理 １ 设初值 问题 （ ： ： Ｅ）
２１ ０ ０年
第ｌ ５期
Ｓ ＩＮ Ｅ＆Ｔ Ｃ Ｏ Ｏ ＣＥ Ｃ Ｅ ＨＮ Ｌ ＧＹＩＦ ＭＡ Ｉ Ｎ Ｎ ＯＲ ＴＯ
０高校讲坛 。
科技信息
关于常微分方程解的存在唯一问题的讨论
房 琦 贵 （ 宁夏 师范 学 院数 计学 院 宁夏 固原 ７ ６ ０ ） ５ ０ ０
解的存在唯一性定理证明
解的存在唯一性定理利用逐次逼近法，来证明微分方程(,),dyf x y dx =的初值问题00(,)()dy f x y dx y y x ==⎧⎨⎩的解存在与唯一性定理。
一、【存在、唯一性定理叙述】 如果方程(,),dyf x y dx=的右端函数(,)f x y 在闭矩形区域0000:,R x a x x a y b y y b -≤≤+-≤≤+上满足如下条件：（1）、在R 上连续；（2）、在R 上关于变量y 满足利普希茨条件，即存在常数N ，使对于R 上任何一点(),x y 和(),x y 有以下不等式：()|(,),|||f x y f x y N y y -≤-。
则初值问题00(,)()dyf x y dx y y x ==⎧⎨⎩在区间0000x h x x h -≤≤+上存在唯一解00(),()y x x y ϕϕ==， 其中0(,)min ,,max (,)xy R bh a M f x y M∈⎛⎫== ⎪⎝⎭二、【证明】 逐步迫近法：微分方程(,)dyf x y dx=等价于积分方程00(,)x x y y f x y dx =+⎰。
取00()x y ϕ=，定义001()(,()),1,2,3, (x)n n x x y f x x dx n ϕϕ-=+=⎰可证明lim ()()n n x x ϕϕ→∞=的()y x ϕ=满足积分方程。
通过逐步迫近法可证明解的存在唯一性。
命 题 1：先证积分方程与微分方程等价： 设()y x ϕ=是微分方程(,)dyf x y dx=定义于区间0000x h x x h -≤≤+上满足初值条件00()x y ϕ=的解，则()y x ϕ=是积分方程00(,),x x y y f x y dx =+⎰定义于区间0000x h x x h -≤≤+上的连续解。
反之亦然。
证： 因()y x ϕ=是微分方程(,)dy f x y dx =的解，有'()()(,())d x x f x x dxϕϕϕ== 两边从0x 到x 取定积分，得：000000()()(,()),xx x x f x x dx x h x x h ϕϕϕ-=-≤≤+⎰代入初值条件00()x y ϕ=得：000000()(,()),xx x y f x x dx x h x x h ϕϕ=+-≤≤+⎰即()y x ϕ=是积分方程00(,)xx y y f x y dx =+⎰定义于区间0000x h x x h -≤≤+上的连续解。
常微分方程的初值问题
常微分方程的初值问题常微分方程是研究自变量只有一个的函数关系的微分方程，是数学中的重要基础理论之一。
在实际问题中，很多现象都可以用常微分方程来描述和解释。
而初值问题则是求解常微分方程的一种常用方法。
初值问题是指在给定一个常微分方程及其初始条件的情况下，求解该方程在给定初始条件下的解。
初始条件通常是给定自变量和因变量的值，以及一阶导数的值。
解决初值问题的关键在于找到满足给定初始条件的特解。
通过求解常微分方程的初值问题，可以得到函数关系的具体解析表达式或者数值解。
这对于实际问题的建模和分析具有重要意义。
常微分方程的初值问题在物理学、工程学、经济学等领域都有广泛应用。
以常微分方程dy/dx = f(x)为例，其中f(x)表示自变量x的函数，y 表示因变量，我们可以通过以下步骤解决初值问题：1. 根据给定的初始条件，得到初始值点(x0, y0)；2. 将初始值点代入常微分方程，得到关于未知函数y的微分方程；3. 求解微分方程得到通解；4. 将初始值点代入通解中，得到满足初始条件的特解。
需要注意的是，常微分方程的解可能不是唯一的，解的存在性和唯一性需要通过数学理论进行证明。
在求解过程中，也可能面临无解、解不唯一或者无法用解析表达式表示的情况，此时可以采用数值方法进行近似求解。
常微分方程的初值问题具有广泛的应用。
例如，在物理学中，质点在外力作用下的运动可以通过牛顿第二定律建立常微分方程，并通过给定的初始条件求解得到质点的运动轨迹。
在经济学中，经济增长模型可以描述经济的增长速度，并通过初始条件求解得到经济的发展趋势。
总之，常微分方程的初值问题是数学中一种常用的求解方法，能够描述和解释实际问题中的许多现象。
通过求解初值问题，可以得到常微分方程的具体解析解或者数值解，为实际问题的建模和分析提供了有效的工具。
《常微分方程》课程教学标准
《常微分方程》课程教学标准第一部分：课程性质、课程目标与要求《常微分方程》课程，是我院数学与应用数学、信息与计算科学本科专业的必修课程，是系统地培养数学及其应用人才的重要的基础课程之一。
本课程的口的是利用微积分的思想，结合线性代数，解析儿何和普通物理学的知识，来解决数学理论本身和其它学科中出现的若干最重要也是最基本的微分方程问题，使学生学会和掌握常微分方程的基础理论和方法，为他们学习其它数学理论，如数理方程、微分儿何、泛函分析等后续课程打下基础；同时，通过这门课本身的学习和训练，使学生们学习数学建模的一些基本方法，初步了解当今自然科学和社会科学中的一些非线性问题，为将来从事相关领域的科学研究和教学工作培养兴趣, 做好准备。
教学时间应安排在第四学期或第三学期。
这时，学生已学完线性代数，基本学完数学分析和普通物理中的力学部分，这是学习《常微分方程》课程必要的基础知识。
同时，建议在条件允许的情况下，介绍利用常用的数学软件解决微分方程问题的基本方法和技能，使学生初步体会计算机在解决数学及其应用问题的重要作用，增强使用数学方法和计算机解决问题的意识和能力。
第二部分：教材与学习参考书本课程拟采用山中山大学王高雄周之铭朱思铭王寿松等人编写的、高等教育出版社1993年岀版的《常微分方程》笫二版一书,作为本课程的主教材。
为了更好地理解和学习课程内容，建议学习者可以进一步阅读以下儿本重要的参考书：1、常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群，高等教育出版社，19632、常微分方程讲义（第二版），叶彦谦，人民教育出版社，19823、常微分方程讲义，周钦德、李勇，吉林大学出版社，1995第三部分：教学内容纲要和课时安排第一章绪论主要介绍如何根据科学定律和原理，并利用微积分的思想，解决实际问题所导岀的若干常微分方程实例，如物体冷却过程、R-L-C电路、单摆等问题微分方程模型的建立。
同时介绍常微分方程的若干最基本的概念。
通过这一章的学习,学习者要理解常微分方程的若干基本概念，特别要对“积分曲线”、“等斜线”、“方向场”等与儿何意义有关的概念的理解，为进一步学习后续内容打好基础；初步掌握建立常微分方程模型的一般方法。
常微分方程§3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法
通过比较两个可能的解，证明它们必须相等。
举例说明
简单的一阶常微分方程
dy/dt = y，其解为 y = Ce^t（C为 常数）。
高阶常微分方程
d^2y/dt^2 = -g/m * dy/dt - k/m * y，描述了物体的自由落体运动，其解 为y(t) = A*cos(ωt + φ)（A、φ为常 数，ω=√(g/m)）。
02
常微分方程解的存在唯一性定理
定义与定理陈述
定义
常微分方程是数学中描述一个或多个变量的函数如何随时间变化 的方程。
定理陈述
对于给定的常微分方程，如果其初值条件是合理的，那么该方程 存在唯一的解。
证明方法概述
02
01
03
数学分析
使用极限理论来证明解的存在性和唯一性。
连续性
证明解在时间上的连续性，从而说明解的存在性。
03
逐步逼近法
方法原理
逐步逼近法是一种通过逐步近 似求解常微分方程的方法。其 基本原理是，通过逐步构造一 系列的近似解，使得这些近似 解逐渐逼近真实的解。
在每一步中，根据已知的近似 解和微分方程的信息，构造一 个新的近似解，使得新解与旧 解之间的差距逐渐减小。
通过这样的方式，逐步逼近法 能够逐渐逼近真实的解，最终 得到满足精度要求的近似解。
输出满足精度要求的近似解。
迭代；否则，继续迭代。
04
解的存在唯一性定理与逐步逼近法的应用
在实际问题中的应用
物理问题
常微分方程在物理学中有广泛的应用，如力学、电磁学等领域。通过解的存在唯一性定理和逐步逼近法，可以求解物 理问题中的微分方程，从而得到物理现象的数学模型。
经济问题
在经济学中，常微分方程可以用来描述经济系统的动态变化，如供需关系、市场竞争等。通过逐步逼近法，可以求解 这些微分方程，为经济决策提供依据。
以科研创新为导向的常微分方程教学设计
㊀[收稿日期]２０１８Ｇ０４Ｇ２３;㊀[修改日期]２０１８Ｇ０５Ｇ２９㊀[基金项目]浙江省高等教育课堂教学改革项目(Z J G K N １６００５);宁波大学教研项目(J Y X M X Z D ２０１８１５);宁波大学混合式教学课程项目(J Y X MHH ２０１８０２)㊀[作者简介]甘怡清(１９９８－)女,本科在读,数学与应用数学专业．E m a i l :１５８０３２６１４２＠q q ．c o m ㊀[通讯作者]胡良根(１９７７－),男,博士,副教授,从事非线性泛函分析研究．E m a i l :h u l i a n g ge n ＠n b u ．e d u ．c n 第３４卷第５期大㊀学㊀数㊀学V o l ．３４,ɴ．５２０１８年１０月C O L L E G E MA T H E MA T I C S O c t ．２０１８以科研创新为导向的常微分方程教学设计甘怡清,㊀胡良根(宁波大学数学系,浙江宁波３１５２１１)㊀㊀[摘㊀要]通过分析常微分方程课程的教学现状和学生的数学基础,制定课程教学设计策略,剖析教学难点．以解的存在唯一性定理为例,探讨 融合背景㊁剖析思想㊁延伸课堂㊁应用分析 为设计理念,培养学生分析问题㊁解决问题和科研创新的能力．[关键词]微分方程;教学设计;存在唯一性;P i c a r d 迭代[中图分类号]O １７５．１㊀㊀[文献标识码]C ㊀㊀[文章编号]１６７２Ｇ１４５４(２０１８)０５Ｇ０１２３Ｇ０４１㊀引㊀㊀言常微分方程是理工科类㊁经管类等专业的重要基础课,用于描述自然科学㊁工程技术和经济金融等领域中的运动㊁演化和发展规律的重要连续型模型,是数学理论通向实际应用的桥梁,其理论和方法具有非常广泛的应用．如导弹弹道设计㊁生物种群的变化规律㊁桥梁设计㊁利率的浮动㊁市场均衡价格变化等,通过研究相应的微分方程数学模型可以描述㊁认识和分析其中的规律．这门课的先备知识是高等数学,教学以理论推导为主,而学时数被很多高校压缩且课程并没有得到师生应有的重视,致使教学效果并不理想[１],同时探讨分层分类的教学改革也是非常有意义的[２]．因此,探讨常微分方程的教学改革显得尤为必要．常微分方程初值问题解的存在唯一性定理是常微分方程的理论基础,也是微分方程得以广泛应用的基石,从而成为教学重点．但其教学和学习都有一定的困难,究其原因是定理的证明涉及的数学知识较多,以及理论分析具有高度的抽象性．本文以其为例,将从融合背景㊁剖析思想㊁延伸课堂㊁应用分析四个方面对课程教学内容㊁教学方法进行探讨与设计,融入科研创新过程,激发学生学习兴趣,培养学生分析问题㊁解决问题和科研创新的能力．２㊀初值问题定理[３－４]㊀设函数f (x ,y )在矩形闭域R ＝(x ,y )ʒx －x ０ɤa ,y －y ０ɤb {}内连续,且关于y 满足L i p s c h i t z 条件,即存在L i p s c h i t z 常数L ＞０,使得f x ,y １()－f x ,y２()ɤL y １－y ２对任意的x ,y １(),x ,y２()ɪℝ恒成立．则常微分方程初值问题d y d x ＝f (x ,y ),㊀y x ０()＝y ０(１)在区间x ０－h ,x ０＋h []上存在唯一的解y ＝φ(x ),其中M ＝m a x (x ,y )ɪR f (x ,y ),h ＝m i n a ,b M {}．国内许多教材都采用P i c a r d 迭代方法进行证明,即首先把初值问题(１)转化为积分方程y ＝y０＋ʏx x ０f ζ,y ζ()()d ζ,寻找积分方程的解．构造P i c a r d 迭代序列φ０(x )＝y x ０(), ,φn (x )＝y ０＋ʏx x ０f ζ,φn －１ζ()()d ζ,㊀x ０ɤx ɤx ０＋h ,再证明函数序列φn (x ){}在区间x ０,x ０＋h []上是一致收敛的,利用一致收敛性联合极限可以得到(１)的解．最后使用L i p s c h i t z 条件证明唯一性．以上证明过程,分化证明难点．但是证明过程较复杂且对高等数学收敛性理论知识要求较深,致使学生学习有一定的困难．３㊀教学设计与策略从融合背景㊁剖析思想㊁延伸课堂㊁应用分析四个方面对教学内容㊁教学方法进行设计,分化教学难点㊁展现知识的来龙去脉㊁重走科研发展之路,以激发学生学习数学的兴趣．３．１㊀融合背景从１７世纪末到１８世纪,许多著名数学家,如B e r n o u l l i 家族㊁N e w t o n ㊁L e i b n i z ㊁E u l e r ㊁L a g r a n g e 和L a p l a c e 等建立了许多微分方程解析解的求解方法．但在１８世纪中期数学家发现之前建立起来的众多微分方程求显示解的方法失效,这种情况促使数学家们转向证明解的存在性,这是微分方程发展史上的一个转折点．１９世纪２０年代,C a u c h y 给出了常微分方程第一个存在性定理．而这个时期正是数学科学进入一个理论上严格化的发展阶段,C a u c h y 给微积分学注入了严格要素,同时为微分方程奠定了理论基石,即建立解的存在唯一性定理[４,５]．常微分方程初值问题解的存在唯一性定理是最基本的定理,具有重要意义．一方面能求解析解的微分方程极少,其近似解又具有十分重要的意义,从而这一理论是求近似解的前提．另一方面,如果微分方程解不存在或者解存在却不唯一(即不确定哪一个解),而花费精力去求其近似解是没有意义的．在课堂教学上结合实例进行分析介绍．３．２㊀剖析思想P i c a r d 迭代的思想是把常微分方程初值问题转化为积分方程,构造P i c a r d 迭代,从而将其转化为证明迭代序列的一致收敛性问题．教师在课堂上应该从极限㊁连续和积分角度讲清楚为什么要证明一致收敛性和怎么证．之所以证明一致收敛性是因为极限和积分需要交换运算顺序,而一致收敛性的证明是先把函数序列转化为函数级数,利用W e i e r s t r a s s 收敛定理证明函数级数一致收敛．P i c a r d 迭代思想对后续的其它数学分支的产生和发展起了重要的催化作用．课堂上加强对该数学思想和几何观点的展现,阐述为什么要证和如何证,且这种迭代方法也开启了微分方程数值计算．从而致使学生可以体会这一思想的发展过程．３．３㊀延伸课堂从科研动态发展分析的角度,将在课堂上介绍定理的条件㊁结论㊁证明方法等方面如何推广和改进这个定理．但对于学有余力的学生,将在课后和他们一起进一步探索这种推广和改进,并撰写科研论文．具体设计如下:(i )定理条件减弱为保证初值问题(１)解的唯一性,有比L i p s c h i t z 条件更弱的条件,比如O s go o d 条件．另一方面,L i p s c h i t z 条件不是保证初值问题(１)解唯一的必要条件．O s go o d 定理[３]㊀设函数f (x ,y )在区域R 内关于y 满足O s g o o d 条件,即f 连续且满足f x ,y １()－f x ,y ２()ɤF y １－y ２(),其中∀r ＞０,F r ()＞０是连续的,且ʏr １０F －１r ()d r ＝ɕ(r １＞０是常数)．则初值问题(１)在R 内经过每一点的解都是唯一的．注㊀L i p s c h i t z 条件是O s g o o d 条件的特例,这是因为F r ()＝L r 满足上述要求．４２１大㊀学㊀数㊀学㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３４卷例㊀方程d y d x ＝０,当y ＝０,yl n y ,当y ʂ０{经过x y 平面上任意一点的解都是唯一的,但右端函数在y ＝０的任何邻域内不满足L i p s c h i t z 条件．对于初值问题(１),去掉L i p s c h i t z 条件,只要求函数f (x ,y )连续时,唯一性不能保证,如P e a n o 存在定理[３]㊀设函数f (x ,y )在矩形区域R 内连续,则初值问题(１)在区间x ０－h ,x ０＋h []上至少有一个解．注㊀苏联数学家拉甫仑捷夫在矩形区域R 内构造了微分方程d y d x ＝f (x ,y )在R 内经过每一点至少有两条不同的积分曲线．(i i )结论推广(即在N 维空间和无穷维B a n a c h 空间定理都成立)定理[６]㊀设x 是R N 中的N 维向量,f t ,x ()是实变量t 和N 维向量x 的向量值函数,在闭区域G ＝{(t ,x )ʒ|t －t ０|ɤa , x －x ０ ɤb }上连续且对x 满足 f t ,x １()－f t ,x ２() ɤL x １－x ２ ㊀(常数L ＞０),令S ＝m a x (x ,y )ɪG f t ,x () ,h ＝m i n a ,b S {}．则初值问题d x d t ＝f t ,x (),x t ０()＝x ０在区间t －t ０ɤh 上存在唯一的解x ＝φt ()．(i i i )证明方法的简化B a n a c h 压缩映照原理[７]㊀设D 是B a n a c h 空间E 中一个非空子集,映像T ʒD ңD 满足对D 中任意两点x １和x ２,都有 T x １－T x ２ ɤk x １－x ２ 成立,其中k ɪ０,１[)．则在D 中存在唯一的一个点x ∗,使得T x ∗＝x ∗．利用B a n a c h 压缩映照原理的证明方程(１)解的存唯一性定理的思想:由方程(１)所转化的积分方程φ(x )＝y ０＋ʏx x ０f ζ,φζ()()d ζ,定义一个非线性积分算子T φ(x )＝y ０＋ʏxx ０f ζ,φζ()()d ζ．从而初值问题(１)解的存在唯一性等价于寻找非线性算子存在唯一不动点．利用这一定理可以统一证明任意维B a n a c h 空间中的初值问题,且证明极其简单．这可以向学生展示数学之美．３．４㊀应用分析P i c a r d 迭代方法是求解微分方程近似解的理论基础和实用方法．但很多教材只给了少数实例进行计算．我们在课堂教学上结合数学软件(M a p l e ㊁M a t h e m a t i c a ㊁M a t l a b 或C 语言)进行实例分析与计算,给出方程的近似解．例㊀求解微分方程d y d x ＋x y ＝４x ,其初值条件是０,２()．解㊀P i c a r d 迭代法:非线性函数f (x ,y )＝－x y ＋４x ,解曲线经过０,２()点,则可取φ０(x )＝２,㊀φn (x )＝２＋ʏx０－ζφn －１ζ()＋４ζ()d ζ,㊀n ＝１,２, ．计算可得φn (x )＝４－２１－x ２æèçöø÷２＋１２!x ２æèçöø÷４－１３!x ２æèçöø÷６＋ ＋－１()n ＋１n !x ２æèçöø÷２n éëêêùûúú．显然φn ＋１x ()ʂφn (x )．由T a y l o r 级数可得φ(x )＝４－２e －x ２２是初值问题的唯一解．[参㊀考㊀文㊀献][１]㊀范周田,张汉林．常系数非齐次线性微分方程的变量替换法[J ]．大学数学,２０１８,３４(２):８９－９３．５２１第５期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀甘怡清,等:以科研创新为导向的常微分方程教学设计６２１大㊀学㊀数㊀学㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３４卷[２]㊀宣本金,吴健,李思敏．中国科大微积分课程分层教学的设计与实践[J]．大学数学,２０１７,３３(２):５０－５３．[３]㊀王高雄,周之铭,朱思铭,等．常微分方程[M]．３版．北京:高等教育出版社,２００６．[４]㊀东北师范大学数学系微分方程教研室．常微分方程[M]．北京:高等教育出版社,１９８２．[５]㊀鲜大权．常微分方程解的存在唯一性定理教学研究[J]．大学数学,２００９,２５(６):１９７－２０２．[６]㊀张芷芬,丁同仁,黄文灶,董镇喜．微分方程定性理论[M]．北京:科学出版社,１９８５．[７]㊀张恭庆,林源渠．泛函分析讲义(上册)[M]．北京:北京大学出版社,１９８７．T e a c h i n g D e s i g no fO r d i n a r y D i f f e r e n t i a l E q u a t i o nB a s e do nS c i e n t i f i cR e s e a r c h I n n o v a t i o nG A NY iＧq i n g,㊀H uL i a n gＧg e n(D e p a r t m e n t o fM a t h e m a t i c s,N i n g b oU n i v e r s i t y,N i n g b oZ h e j i a n g３１５２１１,C h i n a)A b s t r a c t:B y a n a l y z i n g t h e t e a c h i n g s i t u a t i o no f o r d i n a r y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n a n d t h em a t h e m a t i c a l f o u n d a t i o no f t h e s t u d e n t s,t h e s t r a t e g y o f c u r r i c u l u mt e a c h i n g i s d e s i g n e d,a n d t h e d i f f i c u l t y o f t e a c h i n g i s a n a l y z e d．A s a n e x a m p l e f o r t h e e x i s t e n c e a n du n i q u e n e s s t h e o r e mo f s o l u t i o n s,t h e d e s i g n i d e a o f f u s i o nb a c k g r o u n d,a n a l y s i s o f i d e a s,e x t e n s i o no f t h e c l a s s r o o m,a p p l i c a t i o na n a l y s i s i s d i s c u s s e d．T h i sw i l l d e v e l o p s t u d e n t s a b i l i t y o f a n a l y z i n gp r o b l e m s,s o l v i n gp r o b l e m s a n d s c i e n t i f i c r e s e a r c h i n n o v a t i o n．K e y w o r d s:d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n;t e a c h i n g d e s i g n;e x i s t e n c e a n du n i q u e n e s s;P i c a r d i t e r a t i o n。
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第 24 期
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王仲平等： 抽象常微分方程初值问题解的存在性
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t （ Au） （ t） = x0 + ∫ 0 f （ s， u （ s ） ） ds， t ∈ J 则 u 是初 值问题（ 1 ） 的解当且仅当 u 是算子 A 的不动点。令 t （ Tu） （ t） = ∫ 0 M（ s） u（ s） ds， t u（ s） ds， （ Gu） （ t） = x0 + ∫ 0
{
T） w0 ≤w0 。 若存在一个半序 Banach 空间 Y， 增算子 B ： D → X 及算子 G： ［ Bu0 ， B B v0］→ X ， 使得 λA + T = GB ， 且 有 （ i） （ λI + T） － 1 G 是增算子， （ ii） 对任何单调列 ｛ x n ｝ D， ｛ Bx n ｝ 是相对弱紧 的， 则 A 在 D 中必有最大不动点和最小不动点 。
t x （ t） = x0 + ∫ 0 f（ t， x） ds， t ∈J
（ 2）
x ） 不连续时， 故当 f（ t， 就把积分方程 （ 2 ） 的解 定义为初值问题（ 1 ） 的解。
* h 定义 1 设 x（ t） ： J → E ， 如果对任意的 h ∈ E ， ［ x（ t） ］ 都是 J 上的可测函数， 则 x （ t ） 是 J 上的弱可
p L p［ J， E］= ｛ x： J → E x （ t ） 强可测， 且， ∫ x （ t ） dt J i ＜ +∞｝ ， J， E］ 可知 L p［ 在范 数 x （ t ） p = 下为一 Banach 空间。 ［6 ］ J， E］也是自反 引理 1 若 E 是自反的， 则 L p［
得到如下结果： P 是 E 中的 定理 设 E 是自反的 Banach 空间， 锥， 如果下列条件成立： u （ t） ） ） 把 C （ C1 ） 算子 F （ 其中 （ Fu ） （ t ） = f （ t， ［ J， E］ 映成强可测函数集； （ C2 ） 存在 v0 ， w0 ∈C［ J， E］ ， v0 ≤ w0 对几乎所有 的 t∈J 成立。v' 0 （ t） 与 w' 0 （ t） 存在且满足 v0 （ 0 ） ≤ x 0 ， v' 0 （ t） ≤f（ t， v0 （ t） ） a. e. t∈J， w0 （ 0 ） ≥ x0 ， w' 0 （ t ） ≥ f （ t， w0 （ t ） ） a. e. t ∈ J； v0 （ t ） ≤ （ C3 ） 存在非负连续函数 M（ t） ， 使得当 t∈J， x ≤y ≤w0 （ t ） 时， 有 f（ t， y） － f（ t， x） ≥ － M（ t） （ y － x） ； （ C4 ） 存在 1 ＜ p ＜ + ∞ ， 使 ｛ ‖ Fu （ t ） + M （ t ） u （ t） ‖∶ u∈D｝ 是 L p［ 0， a］ 中的有界集， 那么初值问 题（ 1 ） 在 D 中存在最大连续解和最小连续解 。 J， E］ J， E］ 证明 易知 C［ 和 L p［ 在 E 中在以锥 p 导出的自然半序“≤ ” 下成为半序 Banach 空间。 我 们定义算子如下
第 28 卷 第 24 期 2012 年 12 月
甘肃科技 Gansu Science and Technology
Vol. 28 No. 24 Dec. 2012
抽象常微分方程初值问题解的存在性
王仲平， 展宗瑶
（ 兰州交通大学 数理与软件工程学院， 甘肃 兰州 730070 ） 摘 要： 利用 T － 单调算子不动点定理及半序方法， 得到了 Banach 空间中含有间断项常微分方程初值问题整体解的
B） ， E） ∈L（ J， 且 v' 0 （ t） 在 J 上 a. e. 存在（ 这里 L（ J， = ｛ u； J→E u 强可测， J， R+］ ｝ 。由 且‖u（ t） ‖∈ L［ （ 4） 得 m' （ t） = φ（ f（ t， v0 （ t ） ） － v0 （ t ） ） － m （ t ） M （ t ） ， 根据条件（ C2 ） 并结合（ 4 ） 式可得 m（ 0 ） ≥0 ， m' （ t） ≥ － m（ t） M（ t） ， a. e. t∈J （ 5 ）
2
主要结果及证明
测函数。 如果存在 J 上的零测度集 J0 ， 使得 x （ J \ J0 ） 是 E 中的可分集， 则称 x（ t） 是几乎可析的。 若 x （ t） 是弱可测的， 又是几乎可析的， 则称 x （ t ） 是 J 上 （ 2， 的强可 测 函 数 关 于 强 可 测 函 数 的 讨 论 可 见［ 3］ ）。 P ） 是半序 Banach 空间， D X， 定义 2 设（ X ， 算 子 A： D→X ， 若存在线性算子 T： X → X ， 使得 x ≤ y 时 有 Ay － Ax≥ － T（ y － x ） ， 则称 A 是 D 上的 T － 单调 4， 5］ ）。 算子（ 关于 T － 单调算子的讨论详见［ v0 ， w0］= ｛ u ∈ C［ J， E］v0 （ t ） ≤ u （ t ） ≤ 记 D =［ w0 （ t） ｝ ， 又记
一个存在性结果， 改进了相关文献中的相应结果 。 关键词： 含有间断项常微分方程； 初值问题； 整体解 中图分类号： O175. 15
1
引言
讨论 Banach 空间 E 中的常微分方程初值问题。 dx = f（ t， x） ， t ∈J dt （ 1） x （ 0 ） = x0
的。
［7 ］ P ） 是一半序 Banach 空间， A： D 引理 2 设 （ X ， 且存在 λ ∈δ（ T） （ λ ≠0 ） ， 满足 →X 是 T － 单调算子， －1 －1 v 0 ≤ （ λI + T ） （ λA + T ） v 0 ， （ λI + T ） （ λA +
J =［ 0， a］ （ a ＞ 0） ， f （ t， x ） ： J × E → E （ 不假定 f 其中， （ t， x） 连续） ， x0 ∈E 。 1］ ， ［ 7］ 8］ 问题（ 1 ） 在文献［ 和［ 中曾被讨论过。 8］ 在文献［ 中得到了初值问题（ 1 ） 解的存在唯一性。 众所周知， 当连续时， 初值问题 （ 1 ） 等价于下述 Voltera 积分方程：