抽象常微分方程初值问题解的存在性

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主要结果及证明
测函数。 如果存在 J 上的零测度集 J0 ， 使得 x （ J \ J0 ） 是 E 中的可分集， 则称 x（ t） 是几乎可析的。 若 x （ t） 是弱可测的， 又是几乎可析的， 则称 x （ t ） 是 J 上 （ 2， 的强可 测 函 数 关 于 强 可 测 函 数 的 讨 论 可 见［ 3］ ）。 P ） 是半序 Banach 空间， D X， 定义 2 设（ X ， 算 子 A： D→X ， 若存在线性算子 T： X → X ， 使得 x ≤ y 时 有 Ay － Ax≥ － T（ y － x ） ， 则称 A 是 D 上的 T － 单调 4， 5］ ）。 算子（ 关于 T － 单调算子的讨论详见［ v0 ， w0］= ｛ u ∈ C［ J， E］v0 （ t ） ≤ u （ t ） ≤ 记 D =［ w0 （ t） ｝ ， 又记
t x （ t） = x0 + ∫ 0 f（ t， x） ds， t ∈J
（ 2）
x ） 不连续时， 故当 f（ t， 就把积分方程 （ 2 ） 的解 定义为初值问题（ 1 ） 的解。
* h 定义 1 设 x（ t） ： J → E ， 如果对任意的 h ∈ E ， ［ x（ t） ］ 都是 J 上的可测函数， 则 x （ t ） 是 J 上的弱可
B） ， E） ∈L（ J， 且 v' 0 （ t） 在 J 上 a. e. 存在（ 这里 L（ J， = ｛ u； J→E u 强可测， J， R+］ ｝ 。由 且‖u（ t） ‖∈ L［ （ 4） 得 m' （ t） = φ（ f（ t， v0 （ t ） ） － v0 （ t ） ） － m （ t ） M （ t ） ， 根据条件（ C2 ） 并结合（ 4 ） 式可得 m（ 0 ） ≥0 ， m' （ t） ≥ － m（ t） M（ t） ， a. e. t∈J （ 5 ）
第 28 卷 第 24 期 2012 年 12 月
甘肃科技 Gansu Science and Technology
Vol. 28 No. 24 Dec. 2012
抽象常微分方程初值问题解的存在性
王仲平， 展宗瑶
（ 兰州交通大学 数理与软件工程学院， 甘肃 兰州 730070 ） 摘 要： 利用 T － 单调算子不动点定理及半序方法， 得到了 Banach 空间中含有间断项常微分方程初值问题整体解的
一个存在性结果， 改进了相关文献中的相应结果 。 关键词： 含有间断项常微分方程； 初值问题； 整体解 中图分类号： O175. 15
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引言
讨论 Banach 空间 E 中的常微分方程初值问题。 dx = f（ t， x） ， t ∈J dt （ 1） x （ 0 ） = x0
的。
［7 ］ P ） 是一半序 Banach 空间， A： D 引理 2 设 （ X ， 且存在 λ ∈δ（ T） （ λ ≠0 ） ， 满足 →X 是 T － 单调算子， －1 －1 v 0 ≤ （ λI + T ） （ λA + T ） v 0 ， （ λI + T ） （ λA +
p L p［ J， E］= ｛ x： J → E x （ t ） 强可测， 且， ∫ x （ t ） dt J i ＜ +∞｝ ， J， E］ 可知 L p［ 在范 数 x （ t ） p = 下为一 Banach 空间。 ［6 ］ J， E］也是自反 引理 1 若 E 是自反的， 则 L p［
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得到如下结果： P 是 E 中的 定理 设 E 是自反的 Banach 空间， 锥， 如果下列条件成立： u （ t） ） ） 把 C （ C1 ） 算子 F （ 其中 （ Fu ） （ t ） = f （ t， ［ J， E］ 映成强可测函数集； （ C2 ） 存在 v0 ， w0 ∈C［ J， E］ ， v0 ≤ w0 对几乎所有 的 t∈J 成立。v' 0 （ t） 与 w' 0 （ t） 存在且满足 v0 （ 0 ） ≤ x 0 ， v' 0 （ t） ≤f（ t， v0 （ t） ） a. e. t∈J， w0 （ 0 ） ≥ x0 ， w' 0 （ t ） ≥ f （ t， w0 （ t ） ） a. e. t ∈ J； v0 （ t ） ≤ （ C3 ） 存在非负连续函数 M（ t） ， 使得当 t∈J， x ≤y ≤w0 （ t ） 时， 有 f（ t， y） － f（ t， x） ≥ － M（ t） （ y － x） ； （ C4 ） 存在 1 ＜ p ＜ + ∞ ， 使 ｛ ‖ Fu （ t ） + M （ t ） u （ t） ‖∶ u∈D｝ 是 L p［ 0， a］ 中的有界集， 那么初值问 题（ 1 ） 在 D 中存在最大连续解和最小连续解 。 J， E］ J， E］ 证明 易知 C［ 和 L p［ 在 E 中在以锥 p 导出的自然半序“≤ ” 下成为半序 Banach 空间。 我 们定义算子如下
J =［ 0， a］ （ a ＞ 0） ， f （ t， x ） ： J × E → E （ 不假定 f 其中， （ t， x） 连续） ， x0 ∈E 。 1］ ， ［ 7］ 8］ 问题（ 1 ） 在文献［ 和［ 中曾被讨论过。 8］ 在文献［ 中得到了初值问题（ 1 ） 解的存在唯一性。 众所周知， 当连续时， 初值问题 （ 1 ） 等价于下述 Voltera 积分方程：
{
T） w0 ≤w0 。 若存在一个半序 Banach 空间 Y， 增算子 B ： D → X 及算子 G： ［ Bu0 ， B B v0］→ X ， 使得 λA + T = GB ， 且 有 （ i） （ λI + T） － 1 G 是增算子， （ ii） 对任何单调列 ｛ x n ｝ D， ｛ Bx n ｝ 是相对弱紧 的， 则 A 在 D 中必有最大不动点和最小不动点 。
第 24 期
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王仲平等： 抽象常微分方程初值问题解的存在性
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t （ Au） （ t） = x0 + ∫ 0 f （ s， u （ s ） ） ds， t ∈ J 则 u 是初 值问题（ 1 ） 的解当且仅当 u 是算子 A 的不动点。令 t （ Tu） （ t） = ∫ 0 M（ s） u（ s） ds， t u（ s） ds， （ Gu） （ t） = x0 + ∫ 0