《实际问题与二次函数》课件面积问题
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人教九年级上册22.3实际问题与二次函数 面积问题课件
解：（1）∵正方形ABCD的边长是4， BE=x，DF=2BE， ∴AE=AB－BE=4－x，AF=AD+DF=4+2x. ∴y=(4－x)(4+2x)=－2x2+4x+16. ∵点E不与A,B重合，∴0<x<4. ∴y=－2x2+4x+16(0<x<4).
（2）∵矩形AEGF的面积是10， ∴10=－2x2+4x+16. 解得x1=3，x2=－1（不合题意,舍去）. 因此BE的长为3．
4. 如图F22-24-1，在美化校园的活动中，某兴 趣小组用总长为28 m的围栏材料，一面靠墙， 围成一个矩形花园，墙长8 m.设AB的长为x m， 矩形花园的面积为S m2.当x为多少时，S取得最 大值，最大值是多少？
解：由题意,可得 S=x(28－2x) =－2x2+28x =－2(x－7)2+98. ∵－2<0，10≤x<14， ∴当x=10时，S有最大值，最大值为80．
b 2a
，顶点坐标是
b , 4ac b2 2a 4a
.
2. 二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是 直线x=-4 ，顶点 坐标是 (-4 ，-1) 。当x=-4 时，函数有最大 值，是 -1 。
自学教材第49页，思考下列问题：
1、竖直上抛小球，小球的运动高度与运动时 间之间是一个什么函数关系？函数图形是什么 样子？
(2)y=-x2-3x+4.(公式法)
解：（1）开口方向：向上；对称轴：x=2；
顶点坐标：（2，-9）；最小值：-9；
（顶2点）坐开标口：方（向：- 32 向，下2；45 对）称；轴最：大x值= -：32
；
实际问题与二次函数面积问题 ppt课件
实际问题与二次函数面积问题
11
四、反馈提升
1. 某小区要用篱笆围成一个直角三角形花坛，花坛的 斜边利用足够长的墙，两条直角边所用的篱笆之和恰 好为17米。围成的花坛是如图所示的直角△ABC，其 中∠ACB＝90°，设AC边的长为x米，直角△ABC的 面积为S平方米。 (1)求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的 取值范围）
15
作业：
搜集并整理近几年中考 试题中与二次函数面积 有关的题。
实际问题与二次函数面积问题
16
实际问题与二次函数面积问题
3
求函数最值的方法：
１.利用顶点坐标公式； ２.配方后利用二次函数的顶点式 ３.把顶点的横坐标代入二次函数的一般式
实际问题与二次函数面积问题
4
三、合作交流
（本题5分）张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长 的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图 所示的矩形ABCD．设AB边的长为x米．矩形ABCD的面积为S平 方米． （1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）
(1) 求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量 x的取值范围）
(2) 当x是多少时，菱形风筝面积S最大？最大面积 是多少？
实际问题与二次函数面积问题
9
中考参考答案及评分标准
解：（1）S= （2）∵S= ∴S有最大值
1 - x2
30x………………
2分
2
- 1 x2 30x 2
，a=
-
1 2 ＜0,
实际问题与二次函数面积问题
6
变式训练：（本题6分） 体育课上，老师用绳子围成一个周长为30米的
游戏场地，围成的场地是如图所示的矩ABCD．设 边AB的长为x（单位：米），矩形ABCD的面积为S （单位：平方米）．
22.3+实际问题与二次函数(1)——面积最值问题+课件+2023—2024学年人教版数学九年级上册
重难导学
1．如图，点E，F，G，H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边
形EFGH也是正方形，已知AB＝4，求正方形EFGH的最小面积．
解：∵四边形EFGH是正方形， ∴EH＝GH.
∵∠AHE＋∠DHG＝∠DGH＋∠DHG，
∴∠AHE＝∠DGH.
∠ = ∠，
∠ = ∠，
在△AHE和△DGH中，
解：设矩形鸡场与墙垂直的一边长为x m，则与墙平行的一边长为
(47－2x＋1)m. 依题意，得y＝x(47－2x＋1)，
即y＝－2(x－12)2＋288.
∵47 − 2 + 1 ≤ 20，
∴ ≥ 14.
∵−2 < 0，对称轴为直线= 12，
∴当 = 14时，y有最大值. ∴鸡场的最大面积为14×20=280（2 ）.
最小面积是8.
重难导学
2．(数形结合)如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC
＝24 mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2 mm/s的速度移动，动点Q
从点B开始沿边BC向点C以4 mm/s的速度移动．已知P，Q两点分别从
A，B两点同时出发．
(1)求△PBQ的面积关于运动时间的函数解析式；
∴ 当 ≥ 10时，随的增大而减少.
∴当 = 10时，y最大，最大值为80.
答：当 = 10时，所围苗圃的面积最大，最大面积为802
课堂导学
课堂总结：
实际问题求最值的步骤
(1)列出函数关系式(要化为一般式)；(2)求自变量的取值范围；
(3)求出对称轴或配方为顶点式；(4)看范围确定最值．
围是0＜x＜18.
课堂导学
【变式2】如图，用长为18 m的篱笆(虚线部分)围成一个两面靠墙
人教课标版初中数学九年级上册第二十二章22.3 实际问题与二次函数——面积问题(共18张PPT)
C
Q
B
P
A
A
D
x
x
B 30-2x C
因为 x7.5时， y随x的增大而减小 所x 以 8.5时，有 y2 最 8.52大 3 0 8 值 11 .50
图象
运用新知
用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠 墙的矩形菜园，墙长为18米,其中在BC边上开一 扇0.8米的门（不用篱笆）.这个矩形的长、宽 各为多少时菜园的面积最大，最大面积是多少？
解:设AB=x,DE=(x-0.8)米，则BC=(30.8-2x)米
自变量x的取值范围:6.4≤x<15.4 依题意得:y=x（30.8-2x） 整理得:y=-2x2+30.8x
A
x
B 30.8-2x
D
x-0.8
E C
图象
总结提升 求实际问题最值的一般步骤：
(1)求函数解析式，写自变量取值范围； (2)求顶点得最值，或根据自变量取值范 围求最值; (3)画图象（草图）检验.
实际问题与二次函数 （面积问题）
复习巩固
填空：
(1)y3(x1)23
顶点坐标：(1,3)
对称轴：直线x=1
图象（抛物线）开口：向下
当x =1 时，函数有最大值y=3.
复习巩固
填空：
(2)yx(x2)
顶点坐标：(1,-1) 对称轴：直线x=1 图象（抛物线）开口：向上 当x =1 时，函数有最小值y=-1 .
A.12厘米，6平方厘米
B.10厘米，5平方厘米
C. 8厘米，32平方厘米 D.6厘米，18平方厘米
灵活运用
3.某广告公司设计一幅周长为12米的 矩形广告，广告设计费为800元/m2， 设矩形一边长为x米.请设计一个方案， 使获得设计费最多，并求出这个费用.
Q
B
P
A
A
D
x
x
B 30-2x C
因为 x7.5时， y随x的增大而减小 所x 以 8.5时，有 y2 最 8.52大 3 0 8 值 11 .50
图象
运用新知
用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠 墙的矩形菜园，墙长为18米,其中在BC边上开一 扇0.8米的门（不用篱笆）.这个矩形的长、宽 各为多少时菜园的面积最大，最大面积是多少？
解:设AB=x,DE=(x-0.8)米，则BC=(30.8-2x)米
自变量x的取值范围:6.4≤x<15.4 依题意得:y=x（30.8-2x） 整理得:y=-2x2+30.8x
A
x
B 30.8-2x
D
x-0.8
E C
图象
总结提升 求实际问题最值的一般步骤：
(1)求函数解析式，写自变量取值范围； (2)求顶点得最值，或根据自变量取值范 围求最值; (3)画图象（草图）检验.
实际问题与二次函数 （面积问题）
复习巩固
填空：
(1)y3(x1)23
顶点坐标：(1,3)
对称轴：直线x=1
图象（抛物线）开口：向下
当x =1 时，函数有最大值y=3.
复习巩固
填空：
(2)yx(x2)
顶点坐标：(1,-1) 对称轴：直线x=1 图象（抛物线）开口：向上 当x =1 时，函数有最小值y=-1 .
A.12厘米，6平方厘米
B.10厘米，5平方厘米
C. 8厘米，32平方厘米 D.6厘米，18平方厘米
灵活运用
3.某广告公司设计一幅周长为12米的 矩形广告，广告设计费为800元/m2， 设矩形一边长为x米.请设计一个方案， 使获得设计费最多，并求出这个费用.
初中人教版数学课件-223实际问题与二次函数(1)最大面积问题
（3）能围出比45 m2更大的花圃吗？若能，求出最大 的面积；若不能，请说明理由．
解:(1)由题意，得S=x(24－3x)=－3x2+24x ，14 x 8 3
(2)由S=-3x2+24x=45，即x2－8x＋45=0.解得 x1=5,x2=3（不合题意，舍去）. ∴AB的长为5m.
自变量x的取值范围； （2）当x为何值时，满足条件的绿
xm
化带的面积最大． 解：（1）由题意得：
自变量x的取值范围是0＜x≤25 .
(2)
y 1 x2 20x 1 (x 20)2 200.
2
2
x
倘若墙AD的
长为10m呢？
y (m2) 200
O 20 25 x (m)
综合运用
如图，点E，F，G，H分别位于 D
22.3 实际问题与二次函数 （第1课时）
利用抛物线的最值解决几何图形的最大面积问题。
• 学习目标： 能够表示实际问题中变量之间的二次函数 关系，会运用二次函数的顶点坐标求出实 际问题的最大值（或最小值）．
• 学习重点： 探究利用二次函数的最大值（或最小值） 解决实际问题的方法．
回顾旧知
如何求出二次函数 y = ax2 + bx + c 的最小（大）值？
S a2 4 1 x(a x) a2 2x(a x) 2x2 2ax a2
∴当x= 22a a 时，正方形EFGH的面积最小
42
此时点E为AB的中点.
拓展
2013淄博中考压轴题：矩形纸片ABCD中，AB=5， AD=4. （1）如图1，四边形MNEF是在矩形纸片 ABCD中裁剪出的一个正方形．你能否在该矩形中 裁剪出一个面积最大的正方形，最大面积是多少？ 说明理由；
解:(1)由题意，得S=x(24－3x)=－3x2+24x ，14 x 8 3
(2)由S=-3x2+24x=45，即x2－8x＋45=0.解得 x1=5,x2=3（不合题意，舍去）. ∴AB的长为5m.
自变量x的取值范围； （2）当x为何值时，满足条件的绿
xm
化带的面积最大． 解：（1）由题意得：
自变量x的取值范围是0＜x≤25 .
(2)
y 1 x2 20x 1 (x 20)2 200.
2
2
x
倘若墙AD的
长为10m呢？
y (m2) 200
O 20 25 x (m)
综合运用
如图，点E，F，G，H分别位于 D
22.3 实际问题与二次函数 （第1课时）
利用抛物线的最值解决几何图形的最大面积问题。
• 学习目标： 能够表示实际问题中变量之间的二次函数 关系，会运用二次函数的顶点坐标求出实 际问题的最大值（或最小值）．
• 学习重点： 探究利用二次函数的最大值（或最小值） 解决实际问题的方法．
回顾旧知
如何求出二次函数 y = ax2 + bx + c 的最小（大）值？
S a2 4 1 x(a x) a2 2x(a x) 2x2 2ax a2
∴当x= 22a a 时，正方形EFGH的面积最小
42
此时点E为AB的中点.
拓展
2013淄博中考压轴题：矩形纸片ABCD中，AB=5， AD=4. （1）如图1，四边形MNEF是在矩形纸片 ABCD中裁剪出的一个正方形．你能否在该矩形中 裁剪出一个面积最大的正方形，最大面积是多少？ 说明理由；
《实际问题与二次函数》课件面积问题
∴当矩形的一边长是15米时，它的面积最大。
牛刀小试
问题2：现要用60米长的篱笆围成一个矩形 （一边靠墙且墙足够长）的养鸡场地。设 矩形与墙平行的一边长为x米，应怎样围才 能使矩形的面积s最大。请设计出你的方案 并求出最大面积。
解：由题意，得： 即s与x之间的函数关系式为： s=－x2+30x ∴这个二次函数的对称轴是：x=30 又由题意，得： 解之，得： ∴当x=30时，s最大值=450 ∴当与墙平行的一边长为30米，另一边长为15米时， 围成的矩形面积最大，最大值是450平方米。
们 是 学 习 数 学 的 主 人
生 活 是 数 学 的 源 泉 ， 我
22.3
实际问题与二次函数
第1课时 二次函数与图形面积
课题
1.掌握图形面积问题中的相等关系的寻找方法， 并会应用函数关系式求图形面积的最值；
2.会应用二次函数的性质解决实际问题.
1. 二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是 是 是
反思感悟
通过本节课的 学习，我的收获是 ······ ？我的困 惑是······？
1.主要学习了如何将实际问题转化为数学问题，特别是如
何利用二次函数的有关性质解决实际问题的方法.
2.利用二次函数解决实际问题时，根据面积公式关系写出 二次函数表达式是解决问题的关键.
（3，5）
x=3 5
，顶点坐标 ，顶点坐标 ，顶点坐标
.当x= 3 时，y的最 小值是
.
x=-4
2. 二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是
（-4，-1） .当x= -4 时，函数有最___ 大
值，是 -1 .
x=2
3.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是 是 （2,1）
2实际问题与二次函数第1课时几何图形面积问题课件
课堂小结
1.运动问题： （1）运动中的距离、时间、速度问题，这类问题多根据运动 规律中的公式求解； （2）物体的运动路线（轨迹）问题，解决这类问题的思想方 法是建立合适的平面直角坐标系，根据已知数据求出运动轨迹 （抛物线）的解析式，再利用二次函数的性质分析、解决问题.
2.图形面积最值问题： 由图形面积公式直接计算列出关系式，再利用二次函数的性 质分析、解决问题.
用总长为60m的篱笆围城一个矩形场地，矩形 面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少米时， 场地的面积S最大？
l
S
分析：
何时取最大值呢？
①已知矩形场地的周长是60m，一边长是lm，则另一边长
是 (30-l) m，场地面积S= l(30-l) m2.
②由一边长l及另一边长30-l都是正数，可列不等式组：
分析： ①由a=-5可得，图象的开口向下； ②结合自变量t的取值范围0≤t≤6，画 函数图象的草图如图； ③根据题意，结合图象可知，小球在 抛物线的顶点时为最大高度。
解：显然t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值，这 个最大值即为小球的最大高度.
当t b 30 3时， 2a 2 (5)
h有最大值 4ac b2 302 45. 4a 4 (5)
h＝30t-5t2 (0≤t≤6)
即小球运动的时间是3s时，小球最 高，且最大高度是45m.
一般地，当a>0(a<0)时，抛物线 y = ax2 + bx + c的顶
点有最低（高）点，也就是说，当x=
有最小（大）值
4ac 4a
b2
。
b 2a
时，二次函数
利用二次函数图象解决最值问题时需要注意哪 些问题？
场地的面积S最大？
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解：由题意，得： 即s与x之间的函数关系式为： s=－x2+30x ∴这个二次函数的对称轴是：x=30 又由题意，得：
解之，得： ∴当x=30时，s最大值=450 ∴当与墙平行的一边长为30米，另一边长为15 米时，围成的矩形面积最大，其最大值是450米2。
问题4 现要用60米长的篱笆围成一个矩形 （一边靠墙且墙长28米）的养鸡场地。设 矩形与墙平行的一边长为x米，应怎样围才 能使矩形的面积s最大。请设计出你的方案 并求出最大面积。
的最值？有哪几种方法？写出求二次函 数最值的公式
（1）配方法求最值（2）公式法求最值
b 4ac-b 2 当x=- 时，y有最大（小）值 2a 4a
自主探究
九年级的小勇同学家是开养鸡场的， 现要用60米长的篱笆围成一个矩形的养鸡 场地。
问题1：
（1）若矩形的一边长为10米，它的面积s 是多少？ （2）若矩形的一边长分别为15米、20米、 30米，它的面积s分别是多少？
解：由题意，得：s=x(30-x) 即s与x之间的函数关系式为： s=-x2+30x 配方，得：S=-(x-15)2+225 又由题意，得： 解之，得： ∴当x=15时，s有最大值。
∴当矩形的长、宽都是15米时，它的面积最大。
牛刀小试
问题3：现要用60米长的篱笆围成一个矩形 （一边靠墙且墙足够长）的养鸡场地。设 矩形与墙平行的一边长为x米，应怎样围才 能使矩形的面积s最大。请设计出你的方案 并求出最大面积。
解：由题意，得： 即s与x之间的函数关系式为： s=－x2+30x ∴这个二次函数的对称轴是：x=30
又由题意，得： 解之，得： ∴当x ≤ 30时，s随x的增大而增大。 ∴当与墙平行的一边长为28米，另一边长为16米 时，围成的矩形面积最大，其最大值是448米2。
活学活用
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形
1.表格中s与x之间是一种什么关系？
2.在这个问题中，x只能取10，15， 20，30这几个值才能围成矩形吗？ 如果不是，还可以取哪些值？
3.请同学们猜一猜：围成的矩形 的面积有没有最大值？若有，是 多少？
合作交流
九年级的小勇同学家是开养鸡场的， 现要用60米长的篱笆围成一个矩形的 养鸡场地。 问题2： 小勇的爸爸请他用所学的数学知 识设计一个方案，使围成的矩形的面 积最大。小勇一时半会儿毫无办法， 非常着急。请你帮小勇设计一下。
ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上. (1).设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如 何表示？ (2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最 大值是多少?
反思感悟
通过本节课的学习， 我的收获是···？我的 ··· 困惑是···？ ···
（1）列出二次函数的解析式，并根 据自变量的实际意义，确定自变量的 取值范围； （2）在自变量的取值范围内，运用 公式法或通过配方求出二次函数的最 大值或最小值。
们 是 学 习 数 学 的 主 人
生 活 是 数 学 的 源 泉 ， 我
课题
知识回顾
1.二次函数的一般式是 它的图像的对称轴是 ， 顶点坐标是 . 当a>0时，开口向 ，有最 点 ，函数有最 值，是 .当a<0时，开口向 ，有最 点，函数有最 值，是 。 .
2.如何求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）
课堂寄语
二次函数是一类最优化问题的数 学模型，能指导我们解决生活中的实 际问题，同学们，认真学习数学吧， 因为数学来源于生活，更能优化我们 的生活。
再见！