计算机图形学第7讲贝塞尔曲线
贝塞尔曲线 离散 曲率
贝塞尔曲线离散曲率贝塞尔曲线是计算机图形学中常用的曲线类型之一。
它由法国工程师皮埃尔·贝齐埃尔于1962年提出，被广泛应用于计算机图形、动画和设计领域。
贝塞尔曲线的离散化是指将连续曲线上的一系列点转化为离散的数据点，以便计算机能够处理和显示。
离散化的过程中，曲线的平滑度和曲率是非常重要的指标。
曲线平滑度表示曲线段之间的变化趋势，而曲率则描述了曲线在某一点处的弯曲程度。
在离散化贝塞尔曲线时，我们首先需要确定用于描述曲线的控制点。
控制点的位置和数量会直接影响到曲线的形状。
曲线上的每个离散点都是由控制点和贝塞尔曲线算法计算而来。
控制点的移动会改变曲线的形状，并且我们可以通过调整控制点的位置和数量来精确地控制曲线的弯曲程度和平滑度。
贝塞尔曲线的曲率是衡量曲线曲率半径变化率的数值。
曲率越大，意味着曲线在该点处的变化速率越大，曲线更加弯曲。
对于离散的贝塞尔曲线而言，计算曲率就需要借助数值方法，如数值微分或数值逼近。
曲率的计算可以帮助我们了解曲线在离散点上的变化情况，有效地进行曲线编辑和优化。
贝塞尔曲线的离散化曲率具有指导意义。
通过分析曲线在不同离散点上的曲率变化，我们可以得到有关曲线局部形状的重要信息。
这些信息对于计算机图形学和设计的应用非常有价值。
例如，我们可以根据曲率的变化来辅助生成曲线的曲面，使其看起来更加真实和自然。
此外，离散曲率还可以在曲线插值算法中使用，以便通过一组已知点来生成曲线。
总之，贝塞尔曲线的离散化曲率在计算机图形学和设计领域扮演着重要的角色。
通过离散化曲率的计算，我们可以精确控制和优化曲线的形状，提供生动、全面且有指导意义的视觉效果。
这种技术为计算机图形学和设计领域的发展带来了巨大的便利和创新空间。
nurbs 贝塞尔曲线
nurbs 贝塞尔曲线
NURBS（非均匀有理B样条）和贝塞尔曲线都是计算机图形学中常用的曲线表示方法。
NURBS是一种扩展的B样条曲线，它结合了非均匀（不是等距分布）和有理（包含分母）的特性。
NURBS曲线能够精确
表示自由曲线和曲面，并且在计算机图形学中广泛应用。
贝塞尔曲线则是由一系列线段或圆弧组成的参数曲线，其参数可以是时间和角度。
贝塞尔曲线通常用于计算机图形、动画、建模和设计等领域。
这两种曲线表示方
法各有特点，但都是计算机图形学中重要的工具。
贝塞尔曲线
贝塞尔曲线贝塞尔曲线（The Bézier Curves），是一种在计算机图形学中相当重要的参数曲线（2D，3D 的称为曲面）。
贝塞尔曲线于1962年，由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）所发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计。
线性曲线给定点P0、P1，线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线。
这条线由下式给出：当参数t变化时，其过程如下：线性贝塞尔曲线函数中的t会经过由P0至P1的B（t）所描述的曲线。
例如当t=0.25时，B （t）即一条由点P0至P1路径的四分之一处。
就像由0至1的连续t，B（t）描述一条由P0至P1的直线。
二次曲线二次方贝塞尔曲线的路径由给定点P0、P1、P2的函数B（t）追踪：为建构二次贝塞尔曲线，可以中介点Q0和Q1作为由0至1的t：* 由P0至P1的连续点Q0，描述一条线性贝塞尔曲线。
* 由P1至P2的连续点Q1，描述一条线性贝塞尔曲线。
* 由Q0至Q1的连续点B（t），描述一条二次贝塞尔曲线。
二次曲线看起来就是这样的：三次曲线为建构高阶曲线，便需要相应更多的中介点。
对于三次曲线，可由线性贝塞尔曲线描述的中介点Q0、Q1、Q2，和由二次曲线描述的点R0、R1所建构。
P0、P1、P2、P3四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝塞尔曲线。
曲线起始于P0走向P1，并从P2的方向来到P3。
一般不会经过P1或P2；这两个点只是在那里提供方向资讯。
P0和P1之间的间距，决定了曲线在转而趋进P3之前，走向P2方向的“长度有多长”。
曲线的参数形式为：看起来就是这样的：高阶曲线更高阶的贝塞尔曲线，可以用以下公式表示：用表示由点P0、P1、…、Pn所决定的贝塞尔曲线。
则有：更多的关于贝塞尔曲线的内容，你可以去查阅各种数学书。
加油，求知的骚年。
应用在几乎所有的高级图像软件中，均使用到了三次贝塞尔曲线来实现“平滑曲线”绘制功能。
例如Photoshop中的“钢笔”，CoralDraw中的“贝塞尔工具”，Fireworks中的“画笔”。
bezier曲线参数方程
bezier曲线参数方程贝塞尔曲线是计算机图形学中常用的一种曲线插值方法，它通过一系列的控制点来定义曲线的形状。
贝塞尔曲线的参数方程描述了曲线上每个点的位置，是使用参数来表示曲线的方程。
在二维空间中，贝塞尔曲线的参数方程可以表示为：B(t) = Σ [Pi * B(i,n,t)]其中，B(t)表示曲线上的某一点的坐标，Pi表示控制点的坐标，B(i,n,t)是贝塞尔基函数。
贝塞尔基函数是与参数t有关的函数，用来计算权重。
它是通过递归定义的，可以分为两种类型：线性基函数和二次基函数。
线性基函数表示为：B(i,1,t) = (1 - t) * Pi + t * P(i+1)其中，i表示控制点的索引，t表示参数，Pi和P(i+1)表示相邻的两个控制点的坐标。
二次基函数表示为：B(i,2,t) = (1 - t)^2 * Pi + 2 * t * (1 - t) * P(i+1) +t^2 * P(i+2)同样，i表示控制点的索引，t表示参数，而Pi、P(i+1)和P(i+2)分别表示相邻的三个控制点的坐标。
贝塞尔曲线的参数方程可以从一阶一直推导到任意阶的情况，这里只给出了二阶贝塞尔曲线的参数方程。
对于更高阶的曲线，基本原理是一样的，只是计算方法更加复杂。
贝塞尔曲线的参数t通常取值范围为[0,1]，当t=0时，曲线对应于起始点的坐标，当t=1时，曲线对应于结束点的坐标。
中间的参数值会在控制点之间插值，从而定义了曲线的形状。
贝塞尔曲线有很多应用，最常见的是在计算机图形学中用于绘制平滑的曲线和曲面。
控制点的位置决定了曲线的形状，通过控制点的调整，可以得到各种不同形状的曲线。
此外，贝塞尔曲线还可以用于动画和插值计算。
在动画中，可以通过调整控制点的位置，使得曲线在不同时间点上的形状发生变化，从而实现动态的效果。
在插值计算中，可以通过贝塞尔曲线来计算两个数值之间的插值，从而可以实现平滑的过渡效果。
贝塞尔曲线的参数方程是贝塞尔曲线计算的基础，它提供了一种便捷的方式来描述曲线的形状。
贝塞尔曲线 凸包 证明
贝塞尔曲线凸包证明贝塞尔曲线是由Paul de Casteljau在1962年发明的一种数学曲线，它是通过定义控制点之间的连线，并将其作为新的控制点，重复这个过程直到只剩一个点的方法来构造的。
贝塞尔曲线的凸包是指控制点集合的凸包与它们构成的贝塞尔曲线的凸包之间的关系。
下面我将详细介绍贝塞尔曲线和凸包之间的证明。
我们需要了解凸包的定义。
凸包是指包含了给定点集合中所有点的最小凸多边形。
也就是说，在凸包中的任意两个点之间的连线都包含在凸包内部。
接下来，我们来证明贝塞尔曲线的凸包是通过控制点的凸包构成的。
我们假设有一个具有n个控制点的贝塞尔曲线。
考虑只有一个控制点的情况。
这个时候，贝塞尔曲线将退化为一个点，同时这个点也是其控制点的凸包。
然后，我们通过递归的方式证明对于n>1的情况，贝塞尔曲线的凸包与控制点的凸包相同。
假设通过n-1个控制点构成的贝塞尔曲线的凸包与控制点的凸包相同。
我们将最后一个控制点添加到贝塞尔曲线上，并用所有的n个控制点来计算一个新的贝塞尔曲线。
我们可以观察到这个新的贝塞尔曲线始终位于上一个贝塞尔曲线的凸包内部。
我们考虑控制点的凸包是否在新的贝塞尔曲线内。
对于最后一个控制点，它必然位于上一个贝塞尔曲线的凸包内部。
对于其他n-1个控制点，根据假设，它们也是上一个贝塞尔曲线的凸包内部的一部分。
由于凸包的定义，在上一个贝塞尔曲线内部的连线上的任意两个点之间的连线也在该凸包内。
因此，控制点的凸包总是在新的贝塞尔曲线内部。
我们考虑新的贝塞尔曲线是否在上一个贝塞尔曲线的凸包内。
我们可以观察到，新的贝塞尔曲线上的点是通过上一个贝塞尔曲线的凸包上的点与最后一个控制点之间的连线得到的。
由于凸包的定义，上一个贝塞尔曲线的凸包上的任意两个点之间的连线都在凸包内。
因此，新的贝塞尔曲线上的点也在上一个贝塞尔曲线的凸包内部。
综上所述，我们通过递归的方式证明了贝塞尔曲线的凸包是通过控制点的凸包构成的。
在实际应用中，这个定理对于计算机图形学和计算机辅助设计具有重要意义。
课件 计算机图形学 贝塞尔曲线及B样条
二 B样条曲线的数学表达式 1 通常，给定m+n+1个顶点Pi(i=0，1，2，…，m+n”)，
可以定义m十1段n次的参数曲线为：
n
Pi,n (t) Pik • Fk,n (t)
(0 t 1)
k 0
式中：
Fk,n(t)为n次B样条基函数，也叫B样条分段混合函数。 其形式为：
C Fk,n
(t)
n
p(t) pi Bi,n (t)
(0 t 1)
i0
p(t) (1 t)3 p0 3t(1 t)2 p1 3t 2 (1 t) p2 t3 p3
其中混合函数分别为：
B0，3 = 1- 3t + 3t2 - t3 =
B1，3 = 3t - 6t2 + 3t3 =
B2，3 = 3t2 - 3t3 =
（二 ）起始点与终止点切矢量的方向 通过对基函数求导，可以证明起始点与终止点的 切矢量与第1和第n（最后）条边一致（走向一致）。
基函数的导数：
B'i,n
(t)
n! i!(n
i)!
t（i 1
t）ni
'
Bi ,n
(t)
n! i!(n
i)!
t（i 1
t）ni
n! i·ti（1 1 t）ni （n i）t（i 1 t）ni1 i!(n i)!
贝塞尔曲 线
起始点
终止点
五 贝塞尔曲线的数学表达式：
Bezier曲线的数学基础：在第1个和最后一个端点之间进行
插值的多项式混合函数(调和函数)
它可以参用数方程表示如下：
n
p(t) pi Bi,n (t)
(0 t 1)
计算机图形学第7讲贝塞尔曲线
并满足方程 Q"(0) 2P"(1) P'(1)。
我们将 、 Q"(0) P"(1) 和 P'(1) ，Q0 Pn 、 Q1 Q2 (Pn Pn1) 代入，并整理，
可以得到：
Q2
2
2
n 1
1
Pn
2 2
2
n
1
A([P(t)] A n Pi Bi,n (t) A[Pi ]Bi,n(t)
i0
即在仿射变换下，的形式不变。
计算机图形学
3.2.2 Bezier曲线的递推(de Casteljau)算法
计算Bezier曲线上的点，可用Bezier曲线方程，但使
用de Casteljau提出的递推算法则要简单的多。
n2
c.）二阶导矢 P(t) n(n 1) (Pi2 2Pi1 Pi )Bi,n2 (t) i0
当t=0时，P"(0) n(n 1)(P2 2P1 P0 )
当t=1时，P" (1) n(n 1)(Pn 2Pn1 Pn2 )
上式表明：2阶导矢只与相邻的3个顶点有关，事实上，
r阶导矢只与（r+1）个相邻点有关，与更远点无关。
(i 0,1,..., n)
即高一次的Bernstein基函数可由两个低一次的 Bernsteini t i (1 t)ni
(Cni 1
C i1 n1
)t
i
(1
t
)
ni
(1 t)Cni 1t i (1 t)(n1)i tCni11t i1(1 t)(n1)(i1)
计算机图形学
Bezier曲线的递推(de Casteljau)算法
P1
P11
贝塞尔曲线与形设计
贝塞尔曲线与形设计贝塞尔曲线是计算机图形学中常用的一种曲线类型，其具有优秀的数学性质和良好的平滑性，被广泛应用于形状设计领域。
贝塞尔曲线可以描述各种复杂的曲线路径，通过调整控制点的位置和权重，可以创建出各种形状，从而实现各种艺术设计和工程应用。
一、贝塞尔曲线的基本概念贝塞尔曲线由几个控制点和一组权重参数确定，通过这些参数可以精确描述出曲线的形状。
贝塞尔曲线可以是一维的直线，也可以是二维的曲线，甚至是三维的曲面。
在计算机图形学中，常用的贝塞尔曲线包括一次贝塞尔曲线、二次贝塞尔曲线和三次贝塞尔曲线，它们分别由2个、3个和4个控制点确定。
二、贝塞尔曲线的参数化表示贝塞尔曲线的参数化表示可通过以下公式进行计算：P(t) = Σ(i=0 to n)Bi,n(t)Pi其中，P(t)表示曲线上的点，Bi,n(t)是贝塞尔基函数，Pi表示控制点，n表示控制点的数量。
通过调整各个控制点的位置和权重参数，可以得到不同形状的曲线。
三、贝塞尔曲线在形设计中的应用在形设计中，贝塞尔曲线可以用来创建各种复杂的形状，如字形、图形等。
设计师可以通过调整贝塞尔曲线的控制点来实现不同形状的绘制和编辑，从而实现灵活多变的设计效果。
四、贝塞尔曲线的优点与局限性贝塞尔曲线具有良好的平滑性和数学性质，能够实现曲线的精确描述和编辑。
但在某些情况下，贝塞尔曲线也存在一些局限性，如不易绘制封闭曲线、不易编辑复杂曲线等。
总的来说，贝塞尔曲线是一种强大的设计工具，可以帮助设计师实现各种形状的创造和设计。
通过深入学习和应用贝塞尔曲线，设计师可以提升自己的设计水平，创作出更加出色的作品。
贝塞尔曲线详解
贝塞尔曲线详解贝塞尔曲线是一种数学曲线，它由法国数学家皮埃尔·贝塞尔在19世纪中期发明。
贝塞尔曲线在计算机图形学、工程学、设计和艺术等领域中得到了广泛应用。
本文将详细介绍贝塞尔曲线的定义、性质和应用。
一、贝塞尔曲线的定义贝塞尔曲线是由一系列控制点和一组权重值组成的曲线。
控制点是曲线上的点，它们决定了曲线的形状。
权重值是一个数值数组，它们控制了曲线在控制点之间的弯曲程度。
贝塞尔曲线的公式如下：B(t) = Σi=0n Pi * Bi,n(t)其中，B(t)是曲线上的点，t是参数，Pi是控制点，Bi,n(t)是贝塞尔基函数。
贝塞尔基函数是一个多项式函数，它的形式如下：Bi,n(t) = C(n,i) * ti * (1-t)n-i其中，C(n,i)是组合数，ti是t的i次方，(1-t)n-i是(1-t)的n-i次方。
二、贝塞尔曲线的性质1. 控制点的数量决定了曲线的阶数。
例如，如果有3个控制点，那么曲线的阶数为2。
2. 曲线的起点和终点分别是第一个和最后一个控制点。
3. 曲线在控制点处的切线方向与相邻控制点之间的连线方向相同。
4. 曲线的形状由控制点和权重值共同决定。
权重值越大，曲线在相应控制点之间的弯曲程度越大。
5. 贝塞尔曲线具有局部控制性。
这意味着，如果修改了一个控制点的位置或权重值，只会影响该控制点和相邻控制点之间的曲线段，而不会影响整个曲线。
三、贝塞尔曲线的应用1. 计算机图形学贝塞尔曲线在计算机图形学中得到了广泛应用。
它们可以用来绘制平滑的曲线和曲面，例如二维图形、三维模型和动画。
贝塞尔曲线还可以用来实现图形编辑工具，例如Photoshop和Illustrator。
2. 工程学贝塞尔曲线在工程学中也有很多应用。
例如，它们可以用来设计汽车、飞机和船舶的外形，以及建筑物的立面和室内设计。
贝塞尔曲线还可以用来优化机器人的运动轨迹和控制系统的响应速度。
3. 设计和艺术贝塞尔曲线在设计和艺术领域中也非常流行。
贝塞尔曲线玩法
贝塞尔曲线玩法贝塞尔曲线是计算机图形学中常用的一种曲线，由法国的数学家贝塞尔发明。
其优秀的特性，如任意阶数、曲线平滑、变形自然等，使它被广泛应用在计算机图形学中。
下面我们来探讨一下贝塞尔曲线的一些玩法与应用。
一、Bezier Curve的基本概念Bezier Curve，中文翻译为贝塞尔曲线，是由一些基于控制点来描述曲线的连续函数。
在计算机图形学界，Bezier曲线有着广泛的应用，如二维绘图，三维模型构建等。
下面，我们来说说Bezier曲线的基本概念：1.控制点Bezier曲线的形状和特性由一组控制点决定。
控制点决定着曲线起点、终点，以及曲线的形状与方向。
控制点的数量通常与曲线的阶数相等。
2.阶数Bezier曲线的阶数由控制点的数量决定。
例如，如果控制点数量为4，则Bezier曲线的阶数为3（n-1）。
当阶数为3时，Bezier曲线也被称为二次Bezier曲线或三次Bezier曲线。
3.点集形式Bezier曲线可以表示成点集的形式，其中一个控制点是Bezier曲线的起点，最后一个控制点是Bezier曲线的终点。
而其余的控制点可以看做是曲线上的中间点。
二、贝塞尔曲线的应用1.平滑曲线在绘制平滑曲线时，常常使用Bezier曲线来完成。
在二维绘图中，利用Bezier曲线可以绘制出一些基本的形状，如椭圆、圆弧等。
利用多条Bezier曲线的组合，可以快速实现对复杂曲线的绘制。
2.模型构建在3D计算机图形学中，Bezier曲面经常用作3D模型构建的基础。
对象为Bezier曲面的控制网格，其内部可由Bezier曲线组成。
通过控制点的移动，可以快速改变其表面曲率，实现3D模型快速构建。
3.路径动画路径动画是一种基于贝塞尔曲线的动画形式。
它指定了一个目标的路径，例如一个移动物体的运动轨迹，然后让目标沿着路径移动。
在游戏中，常常使用路径动画来为角色、弹道和粒子效果设置动画路径。
4.平滑编辑另一个应用Bezier曲线的领域是平滑编辑。
bezier bezier曲线、b-样条生成原理
贝塞尔曲线（Bezier Curve）和B样条（B-Spline）是计算机图形学中常用的两种曲线生成方法，它们在图形设计、动画制作、CAD软件等领域被广泛应用。
本文将从贝塞尔曲线和B样条的生成原理入手，深入探讨它们的内在机制和应用。
一、贝塞尔曲线的生成原理贝塞尔曲线是一种由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）于1962年在汽车工业中首次引入的曲线生成方法。
其生成原理基于一组控制点来描述曲线的形状，这组控制点通过线性插值的方式来确定曲线的路径。
贝塞尔曲线的生成过程可以简要描述如下：1. 定义控制点：从给定的控制点集合中选择若干个点作为曲线的控制点。
2. 插值计算：根据控制点的位置和权重，通过插值计算得到曲线上的点。
3. 曲线绘制：利用插值计算得到的曲线上的点，进行绘制来呈现出贝塞尔曲线的形状。
在具体应用中，贝塞尔曲线的生成可以通过线性插值、二次插值和三次插值等不同插值方式来实现，其中三次插值的贝塞尔曲线应用最为广泛，其生成原理更为复杂，但也更为灵活。
二、B样条的生成原理B样条（B-Spline）是另一种常用的曲线生成方法，在实际应用中具有一定的优势。
B样条的生成原理与贝塞尔曲线不同，它是基于多项式函数的分段插值来描述曲线的形状。
B样条的生成过程可以简要描述如下：1. 定义控制点和节点向量：B样条需要定义一组控制点和一组节点向量（Knot Vector）来描述曲线的形状。
2. 基函数计算：根据节点向量和控制点，计算出关联的基函数（Basis Function）。
3. 曲线计算：利用基函数和控制点的权重，通过计算得到曲线上的点。
相比于贝塞尔曲线，B样条更为灵活，可以更精细地描述曲线的形状，并且能够进行局部编辑，使得曲线的变形更加方便。
三、应用比较与总结贝塞尔曲线和B样条是两种常用的曲线生成方法，它们各自具有一些优势和劣势，在实际应用中需要根据具体情况做出选择。
1. 灵活性比较：B样条相对于贝塞尔曲线更加灵活，能够更精细地描述曲线的形状，并且能够进行局部编辑，使得曲线的变形更加方便。
贝塞尔曲线 模拟轮廓
贝塞尔曲线模拟轮廓贝塞尔曲线是一种数学曲线，它通过控制点来模拟复杂的轮廓。
这种曲线可以用来绘制平滑的曲线，因此在计算机图形学和设计领域被广泛应用。
本文将介绍贝塞尔曲线的基本原理、应用以及如何使用控制点来模拟轮廓。
我们来了解一下贝塞尔曲线的基本原理。
贝塞尔曲线是由一系列控制点组成的曲线，通过调整控制点的位置和数量，可以得到不同形状的曲线。
贝塞尔曲线的关键是通过插值和插值函数来计算曲线上的点。
贝塞尔曲线的插值函数可以通过以下公式表示：B(t) = ∑(i=0 to n) Pi * Bi,n(t)其中，Pi表示控制点，Bi,n(t)表示贝塞尔基函数，t表示参数，n 表示控制点的数量。
贝塞尔基函数可以用递归方式计算，具体公式如下：Bi,n(t) = C(n, i) * (1 - t)^(n-i) * t^i在计算机图形学中，贝塞尔曲线通常是二次或三次曲线。
二次贝塞尔曲线有3个控制点，分别是起始点、控制点和结束点，通过调整控制点的位置可以得到不同形状的曲线。
三次贝塞尔曲线有4个控制点，分别是起始点、两个控制点和结束点，同样可以通过调整控制点的位置来改变曲线的形状。
贝塞尔曲线在计算机图形学和设计领域有广泛的应用。
它可以用来绘制平滑的曲线，比如绘制字体、绘制图形等。
由于贝塞尔曲线可以通过调整控制点来改变曲线的形状，因此在设计中可以用来模拟复杂的轮廓。
比如，可以使用贝塞尔曲线来绘制自然界中的曲线，比如花朵的轮廓、云朵的形状等。
在使用贝塞尔曲线模拟轮廓时，需要注意一些技巧。
首先，要合理选择控制点的位置，以得到满足需求的曲线形状。
其次，可以使用多个贝塞尔曲线来拼接成复杂的轮廓，这样可以更好地模拟真实的形状。
此外，还可以通过调整控制点的权重来改变曲线的形状，比如使曲线更加平滑或更加锐利。
贝塞尔曲线是一种用来模拟轮廓的重要数学工具。
它通过控制点来调整曲线的形状，可以绘制平滑的曲线，并在计算机图形学和设计领域得到广泛应用。
贝塞尔曲线长度计算
贝塞尔曲线长度计算贝塞尔曲线是常用于计算机图形学和设计中的一种曲线。
作为矢量图形设计和制作中的基本要素，贝塞尔曲线被广泛应用于包括平面设计、工业设计、建筑设计、动画制作、游戏开发等领域。
贝塞尔曲线的长度计算是这一领域中非常重要的一个问题。
因为贝塞尔曲线不像直线那样是可以直观地测量长度的，所以需要采用特定的方法来计算贝塞尔曲线的长度。
首先需要了解的是，计算贝塞尔曲线长度的方法与贝塞尔曲线的控制点个数有关。
通常情况下，我们所使用的贝塞尔曲线是二次贝塞尔曲线或三次贝塞尔曲线。
对于二次贝塞尔曲线，计算长度的方法是比较简单的。
我们可以通过逐步拆分曲线段，并计算曲线段长度的方法来计算整条曲线的长度。
具体计算公式为：L ≈ ∑k=1n-1√(xk+1-xk)²+(yk+1-yk)²其中，n为曲线段的数量，xk和yk分别是曲线段起点和终点的横纵坐标。
对于三次贝塞尔曲线，计算长度的方法则略有不同。
由于三次贝塞尔曲线存在两个控制点，所以需要先将曲线拆分成若干条二次贝塞尔曲线，再分别计算曲线段长度并相加得到整条曲线的长度。
具体计算公式为：L ≈ ∑k=1n√(xk+1-xk)²+(yk+1-yk)²其中，n为二次贝塞尔曲线段的数量，xk和yk分别是曲线段起点和终点的横纵坐标。
需要注意的是，上述公式只是计算长度的近似值，因为贝塞尔曲线通常是一个连续的曲线，实际测量长度时会存在一定的误差。
但是这种方法仍然被广泛应用于各种设计领域，并获得了一定的实用效果。
除了上述计算贝塞尔曲线长度的方法外，还可以使用计算机辅助设计软件来自动计算贝塞尔曲线的长度。
例如，在Adobe Illustrator 中，可以直接通过选择曲线并查看信息面板来获取曲线的长度和其他信息。
在AutoCAD中，也有相应的命令可以帮助我们计算贝塞尔曲线的长度。
总之，计算贝塞尔曲线长度是一项非常重要的工作，对于各种设计领域都具有重要作用。
贝塞尔曲线 半圆
贝塞尔曲线半圆
贝塞尔曲线是一种应用于二维图形应用程序的数学曲线。
它由四个点定义：起始点、终止点（也称锚点）以及两个相互分离的中间点。
贝塞尔曲线的特点是，通过调整这四个点的位置，可以生成复杂且平滑的曲线。
半圆是一种特殊的贝塞尔曲线，它的起始点和终止点在同一水平线上，且两个中间点分别位于起始点和终止点关于垂直中轴线的对称位置。
半圆的形状随着四个点的位置变化而变化，当起始点和终止点之间的距离增大或减小时，半圆的半径也会相应地增大或减小。
在计算机图形学领域，贝塞尔曲线广泛应用于绘制矢量图形。
通过编写相应的程序代码或使用矢量绘图软件，可以很容易地创建半圆形贝塞尔曲线。
在实际应用中，贝塞尔曲线和半圆形曲线有着广泛的应用，例如在工业设计、动画制作和网页设计等领域。
总之，贝塞尔曲线是一种灵活且强大的曲线绘制方法，半圆形贝塞尔曲线是其中一种特殊的形状。
通过掌握贝塞尔曲线的原理和应用，可以更好地在各种场景中创造优美的曲线效果。
贝塞尔曲线中间点处的一阶导 二阶导
贝塞尔曲线是计算机图形学中常用的一种曲线表示方法，它可以用来描述平滑曲线或曲面。
在贝塞尔曲线的计算过程中，中间点处的一阶导数和二阶导数是非常重要的概念。
本文将对贝塞尔曲线中间点处的一阶导数和二阶导数进行详细的介绍和解释。
一、贝塞尔曲线的定义贝塞尔曲线是由数学家Pierre Bézier在1962年提出的一种表示曲线的方法。
它通过控制点来定义一条曲线，具有良好的平滑性和局部控制性。
贝塞尔曲线可以用来描述二维和三维的曲线或曲面。
二、贝塞尔曲线的一阶导数在贝塞尔曲线中，一阶导数是描述曲线的切线方向和斜率变化情况的重要概念。
对于一条贝塞尔曲线，其一阶导数可以通过控制点和曲线的参数方程来求取。
假设给定的贝塞尔曲线为\[B(t)=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}(1-t)^{n-i}t^iP_i\]其中n为控制点的数量减一，\(P_i\)为控制点的坐标，t为参数。
对于贝塞尔曲线的一阶导数，可以通过对该参数方程进行求导的方式来计算，其表达式为\[B'(t)=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}[(1-t)^{n-i-1}t^{i-1}((n-i)t-(i+1)(1-t))P_i\]其中\(\binom{n}{i}\)为组合数，表示n个元素中取i个元素的组合数。
一阶导数也是一个贝塞尔曲线，仍然可以用贝塞尔曲线的参数方程来表示。
三、贝塞尔曲线的二阶导数除了一阶导数之外，在贝塞尔曲线中，二阶导数也是一个重要的概念。
二阶导数可以描述曲线的弯曲和曲率变化情况。
对于一条贝塞尔曲线，其二阶导数的计算也可以通过控制点和曲线的参数方程来求取。
贝塞尔曲线的二阶导数的表达式为\[B''(t)=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}[(n-i)(n-i-1)(1-t)^{n-i-2}t^{i-2}-2(i+1)(n-i)(1-t)^{n-i-1}t^{i-1}+i(i+1)(1-t)^{n-i}t^{i})P_i\]通过对贝塞尔曲线的参数方程进行两次求导，可以得到曲线的二阶导数。
贝塞尔曲线（Bezier曲线）
贝塞尔曲线（Bezier曲线）贝塞尔曲线(Bézier curve)，⼜称贝兹曲线或贝济埃曲线，是应⽤于⼆维图形应⽤程序的数学曲线。
⼀般的⽮量图形软件通过它来精确画出曲线，贝兹曲线由线段与节点组成，节点是可拖动的⽀点，线段像可伸缩的⽪筋，我们在绘图⼯具上看到的钢笔⼯具就是来做这种⽮量曲线的。
贝塞尔曲线是计算机图形学中相当重要的参数曲线。
贝塞尔曲线上的所有控制点、节点均可编辑。
贝塞尔曲线就是这样的⼀条曲线，它是依据四个位置任意的点坐标绘制出的⼀条光滑曲线。
在历史上，研究贝塞尔曲线的⼈最初是按照已知曲线参数⽅程来确定四个点的思路设计出这种⽮量曲线绘制法。
贝塞尔曲线的有趣之处更在于它的“⽪筋效应”，也就是说，随着点有规律地移动，曲线将产⽣⽪筋伸引⼀样的变换，带来视觉上的冲击。
它的主要意义在于⽆论是直线或曲线都能在数学上予以描述。
线性公式给定点P0、P1，线性贝兹曲线只是⼀条两点之间的直线。
这条线由下式给出：且其等同于线性插值。
⼆次⽅公式⼆次⽅贝兹曲线的路径由给定点P0、P1、P2的函数B（t）追踪：TrueType字型就运⽤了以贝兹样条组成的⼆次贝兹曲线。
三次⽅公式P0、P1、P2、P3四个点在平⾯或在三维空间中定义了三次⽅贝兹曲线。
曲线起始于P0⾛向P1，并从P2的⽅向来到P3。
⼀般不会经过P1或P2；这两个点只是在那⾥提供⽅向资讯。
P0和P1之间的间距，决定了曲线在转⽽趋进P3之前，⾛向P2⽅向的“长度有多长”。
曲线的参数形式为：现代的成象系统，如PostScript、Asymptote和Metafont，运⽤了以贝兹样条组成的三次贝兹曲线，⽤来描绘曲线轮廓。
三维空间贝塞尔曲线
三维空间贝塞尔曲线引言三维空间贝塞尔曲线是计算机图形学领域中的一种重要概念。
它通过一系列的控制点来定义曲线的形状，可以应用于三维建模、动画和游戏开发等领域。
本文将深入探讨三维空间贝塞尔曲线的原理，介绍其在计算机图形学中的应用，并讨论一些常见的算法和技巧。
二级标题1：三维贝塞尔曲线的定义三维贝塞尔曲线是由若干个控制点通过插值计算得到的曲线。
在三维空间中，一条二次三维贝塞尔曲线需要三个控制点，而一条三次三维贝塞尔曲线需要四个控制点。
二级标题2：贝塞尔曲线的插值计算贝塞尔曲线的插值计算可以通过以下公式实现：B(t) = ∑(i=0 to n) P(i) * B(i, n, t)其中，P(i)是第i个控制点的坐标，B(i, n, t)是贝塞尔基函数的计算结果，t表示在曲线上的位置。
二级标题3：三维贝塞尔曲线的算法和技巧三级标题1：细分算法细分算法是将一条曲线细分为多个线段或曲线片段的过程。
常见的细分算法有贝塞尔细分算法和分形细分算法。
四级标题1：贝塞尔细分算法贝塞尔细分算法将一条曲线按照一定的规则分割为多个子曲线，然后递归地对子曲线进行继续细分，直到达到期望的精度。
贝塞尔细分算法可以提高绘制的精度，并减少计算量。
四级标题2：分形细分算法分形细分算法是一种基于分形几何的细分方法，它通过重复应用某种规则来生成越来越细致的曲线。
分形细分算法可以产生非常逼真的自然形状，广泛应用于三维建模和动画领域。
三级标题2：插值控制在实际应用中，我们通常希望能够精确地控制曲线上的某个点或特定形状。
插值控制即通过调整控制点来实现这一目标。
四级标题1：曲线平滑处理曲线平滑处理是通过调整控制点的位置来改变曲线的形状，使得曲线更加平滑和自然。
常见的曲线平滑处理方法有均匀参数化和弦长参数化等。
四级标题2：形状调整形状调整是指通过调整控制点的权重来改变曲线的形状。
不同的权重分配可以得到不同的曲线形状，进而满足不同的设计需求。
二级标题3：三维贝塞尔曲线的应用三维贝塞尔曲线具有广泛的应用价值，主要体现在以下几个方面：三级标题1：三维建模三维贝塞尔曲线可以用于创建复杂的三维模型。
贝塞尔曲线
详细内容定义贝塞尔曲线(B6zier curve)，又称贝兹曲线或贝济埃曲线，是应用于二维图形应用程序的数学曲线。
曲线的定义有四个点：起始点、终止点(也称锚点)以及两个相互分离的中间点，滑动两个中间点，贝塞尔曲线的形状会发生变化。
依据四个位置任意的点坐标可绘制出一条光滑曲线[1]。
对于N次的贝塞尔曲线：设Δbｊ＝ｂj＋１-bｊ时，有旋转矩阵Ｍ，使得：Δｂｊ＝ＭｊΔｂ０ｉ＝０…，ｎ－１当ｔ∈［０，１］时，对于任意单位向量，矩阵Ｍ满足：则这条曲线是由一系列控制点ｂｉ定义的Ａ级贝塞尔曲线。
此时，旋转矩阵Ｍ满足以下两个条件：１）矩阵ＭＴ＋Ｍ－２Ｉ和ＭＴＭ－Ｉ的特征值必均为非负。
这里Ｉ为一个单位矩阵。
２）矩阵Ｍ必映射到单位球体外的任一点。
即：Ｍ的奇异值δ１，δ２应不小于１。
若旋转矩阵Ｍ是由旋转角θ＜π／２和一个尺度因子s组成，则满足下列条件：的矩阵Ｍ被称为Ａ级矩阵。
由Ａ级矩阵即可产生Ａ级贝塞尔曲线。
特性贝塞尔曲线是一种非常自由的曲线，通过改变其控制点的位置和权重就能改变线条的形状。
相对于传统的直线和圆弧相组合来表达曲线的方式，这是一个巨大的提高。
汽车设计中的曲面形状比较复杂，直线和圆弧不能满足其形状变化的要求。
贝塞尔曲线非常自由，我们可以通过改变控制点来改变线条的形状，有着非常良好的交互性，非常适合汽车曲面设计[2]。
贝塞尔曲线数学原理①线性贝塞尔曲线。
给定两点P0、P，线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线。
这条线由下式给出：B(t)=P0+(Pl—Po)t=(1-t)Po+tPl，t∈[0，1]且其等同于线性插值。
②二次方贝塞尔曲线。
给定三点Po、P、P：，二次方贝塞尔曲线由函数B(t)表示：B(t)=(1-t)2Po+2t(1-t)P1+tzp2，t∈[0，1]③三次方贝塞尔曲线。
Po、P、P、P3四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝塞尔曲线。
曲线起始于P。
走向P，并从P2的方向来到3。
一般不会经过P，或P2，这两个点只是在那里提供方向资讯。
贝塞尔曲线平移
贝塞尔曲线平移
贝塞尔曲线平移是指将贝塞尔曲线沿着指定的方向和距离进行移动。
在计算机图形学和设计软件中，贝塞尔曲线平移通常是通过调整曲线上各个控制点的位置来实现的。
贝塞尔曲线由起始点、终止点和两个控制点构成。
要进行平移操作，可以简单地将曲线上的每个点按照指定的方向和距离进行移动。
对于二维空间中的曲线，平移操作可以用以下公式表示：
新的点= 原始点+ 平移向量
其中，平移向量是指定的平移方向和距离。
对于三维空间中的曲线，平移操作的原理类似，只是需要考虑三维坐标系下的向量运算。
在设计软件中，通常会提供直观的工具和操作界面来进行曲线的平移操作，用户可以通过拖拽或者输入数值来指定平移的方向和距离，软件会自动计算并应用平移操作，从而实现曲线的移动。
总之，贝塞尔曲线平移是一种常见的操作，通过调整曲线上的控制点或者应用特定的平移算法，可以实现对曲线的整体移动，从而满足设计和绘图中的需要。
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i 0,1, , n;
（7）最大值。Bi ,n (t ) 在 t
i n
处达到最大值。
计算机图形学
2．Betnstein基函数的性质
（8）升阶公式
(1
t ) Bi ,n
(t
)
(1
n
i
) 1
Bi,n1
(t
)
i 1 tBi,n (t) n 1 Bi1,n1(t)
Bi,n
(t)
(1
n
i
) 1
计算机图形学
Bezier曲线的性质
n2
c.）二阶导矢 P(t) n(n 1) (Pi2 2Pi1 Pi )Bi,n2 (t) i0
当t=0时，P"(0) n(n 1)(P2 2P1 P0 )
当t=1时，P" (1) n(n 1)(Pn 2Pn1 Pn2 )
上式表明：2阶导矢只与相邻的3个顶点有关，事实上，
n 1 n
(Pn1
Pn2 ) (Pn Pn Pn1 3
Pn 1 )
计算机图形学
Bezier曲线的性质
d.）k阶导函数的差分表示
n次Bezier曲线的k阶导数可用差分公式为：
Pk
(t)
(n
n! k)!
nk i0
k
Pi Bi,nk
(t)
t [0,1]
其中高阶向前差分矢量由低阶向前差分矢量递推地定
Bi
,n1
(t
)
i 1 n 1
Bi 1,n 1 (t )
计算机图形学
2．Betnstein基函数的性质
（9）积分
1
0
Bi,n (t)
1 n 1
计算机图形学
Bezier曲线的性质
（1）端点性质 a）曲线端点位置矢量 由Bernstein基函数的端点性质可以推得，当t=0时，
P(0)=P0 ；当t=1时，P(1)=Pn。由此可见，Bezier曲 线的起点、终点与相应的特征多边形的起点、终点重 合。
Bi,n (t) Cniti (1 t)ni [(1 t) t]n 1
i0
i0
计算机图形学
Betnstein基函数的性质
（4）对称性
Bi,n (t) Bni,n (1- t)
因为
Bni,n
(1-
t
)
C ni n
[1
(1
t
)]n ( n i )
(1
t)ni
Cni t i (1 t)ni Bi,n (1 t)
(Cni 1
C i1 n1
)t
i
(1
t
)
ni
(1 t)Cni 1t i (1 t)(n1)i tCni11t i1(1 t)(n1)(i1)
(1 t)Bi,n1(t) tBi1,n1(t)
计算机图形学
2．Betnstein基函数的性质
（6）导函数
Bi,n (t) n[Bi1,n1 (t) Bi,n1 (t)],
Q0
P(t)
b1
Q1
Pn-2 b2
Q2
Q(t)
图3.1.13 Bezier曲线的拼接
计算机图形学
Bezier曲线的拼接
（1）要使它们达到G0连续的充要条件是：Pn= Q0；
（2）要使它们达到G1连续的充要条件是：Pn-1，Pn=Q，Q1三 点共线，即：b1 an ( 0)
（3）要使它们达到G2连续的充要条件是：在G1连续的条件下，
计算机图形学
Betnstein基函数的性质
(5）递推性。
Bi,n (t) (1 t)Bi,n1 (t) tBi1,n1 (t),
(i 0,1,..., n)
即高一次的Bernstein基函数可由两个低一次的 Bernstein调和函数线性组合而成。因为，
Bi,n (t)
Cni t i (1 t)ni
计算机图形学
Bezier曲线的拼接
给定两条Bezier曲线P(t)和Q(t)，相应控制点为Pi(i=0, 1, ..., n) 和Qj(j=0,1,..., m)，且令 ai Pi Pi1,bj Qj Qj1 ，如图3.1.13所 示，我们现在把两条曲线连接起来。
Pn-2
Pn-1
an
Pn
an-1
计算机图形学
Bezier曲线的性质
b)切矢量
n1
因为，P'(t) n Pi[Bi1,n1(t) Bi,n1(t)] 所以当t=0时， i0
P’(0)=n(P1-P0)，当t=1时，P’(1)=n(Pn-Pn-1)，这说明 Bezier曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边形 的第一条边及最后一条边的走向一致。
这便是著名的de Casteljau算法。用这一递推公式，在给定参数
下，求Bezier曲线上一点P(t)非常有效。上式中：是定义Bezier
计算机图形学
Bezier曲线的递推(de Casteljau)算法
曲线的控制点，P0n 即为曲线 P(t)上具有参数t的点。de Casteljau算 法稳定可靠，直观简便，可以编出十分简捷的程序，是计算 Bezier曲线的基本算法和标准算法。 当n=3时，de casteljau算法递推出的Pki呈直角三角形，对应结 果如图3.1.11所示。从左向右递推，最右边点P30即为曲线上的 点。
3.2 Bezier 曲线与曲面
计算机图形学
Bezier曲线的定义和性质
1．定义 给定空间n+1个点的位置矢量Pi（i=0，1，2，…，
n），则Bezier曲线可定义为：
计算机图形学
Bezier曲线的定义和性质 其中，Pi构成该Bezier曲线的特征多边形， Bi,n(t)是n次Bernstein基函数：
分 别 由 前 、 后 n 个 控 制 点 定 义 的 两 条 (n-1) 次 Bezier 曲 线
P0n-1与P1n-1的线性组合：P0n
(1
t
)
P n 1 0
tP1n1
t [0,1]
由此得到Bezier曲线的递推计算公式：
Pi k
(1
t
)
Pi
Pi
k 1
tPik11
k 0 k 1,2,..., n,i 0,1,..., n k
为：
n
n
n
n
C *(t) Pi*Bi,n (t) Pni Bi,n (t) Pni Bni,n (1 t) Pi Bi,n (1 t),
i0
i0
i0
i0
t [0,1]
这个性质说明Bezier曲线在起点处有什么几何性质， 在终点处也有相同的性质。
计算机图形学
Bezier曲线的性质
（3）凸包性 n
计算机图形学
Bezier曲线的递推(de Casteljau)算法
P0
P1
P01
P2
P11
P3
图3.1.11 n=3时Pin 的递推关系
计算机图形学
Bezier曲线几何作图法
这一算法可用简单的几何作图来实现。给定参数 t [0,1]，就把定义域分成长度为 t : (1 t) 的两段。依次对 原始控制多边形每一边执行同样的定比分割，所得分 点就是由第一级递推生成的中间顶点 Pi1(i 0,1,, n 1) , 对这些中间顶点构成的控制多边形再执行同样的定比 分割，得第二级中间顶点 Pi2(i 0,1,, n 2) 。重复进行下 去，直到n级递推得到一个中间顶点 P0n 即为所求曲线上 的点 P(t)，如图3.1.12所示。
0=1, 0!=1
计算机图形学
Betnstein基函数的性质
（1）正性
0 t 0,1 Bi,n (t) 0 t (0,1),
（2）端点性质
i 1,2,, n 1;
计算机图形学
Betnstein基函数的性质
（3）权性
n
Bi,n (t) 1 t (0,1)
i0
由二项式定理可知：
n
n
t从0变到1，第一、二式就分别表示控制二边形的第一、二 条边，它们是两条一次Bezier曲线。将一、二式代入第三式得：
P02 (1 t)2 P0 2t(1 t)P1 t 2P2
当t从0变到1时，它表示了由三顶点P0、P1、P2三点定义的一 条二次Bezier曲线。并且表明：这二次Bezier曲线P20可以定义 为分别由前两个顶点（P0，P1）和后两个顶点（P1，P2）决定 的一次Bezier曲线的线性组合。依次类推，由四个控制点定
A([P(t)] A n Pi Bi,n (t) A[Pi ]Bi,n(t)
i0
即在仿射变换下，的形式不变。
计算机图形学
3.2.2 Bezier曲线的递推(de Casteljau)算法
计算Bezier曲线上的点，可用Bezier曲线方程，但使
用de Casteljau提出的递推算法则要简单的多。
并满足方程 Q"(0) 2P"(1) P'(1)。
我们将 、 Q"(0) P"(1) 和 P'(1) ，Q0 Pn 、 Q1 Q2 (Pn Pn1) 代入，并整理，
可以得到：
Q2
2
2
n 1
1
Pn
2 2
2
n
1
图3.1.9 Bezier曲线的凸包性 计算机图形学
Bezier曲线的性质
（4）几何不变性。这是指某些几何特性不随坐标变 换而变化的特性。Bezier曲线位置与形状与其特征多 边形顶点 Pi(i 0,1,,n)的位置有关，它不依赖坐标系的选 择。
计算机图形学
Bezier曲线的性质
（5）变差缩减性。若Bezier曲线的特征多边形