2有导体存在时静电场的分析与计算

v v E3 ⋅ dS = 0
E3 = 0 ( R2 < r < R1 )
S4
R 1
S3
R3 3
v v 2q ∫S4 E4 ⋅ dS = ε0 2q E4 = (r > R1 ) 2 4 π ε0r
+q
R 2
−q −q
+2q
r r
R 1
R 1 1 1 1
静电场中的导体
E1 = 0
( r < R3 )
a, b ，分别带电
Q a , Q b 求电荷分布。 求电荷分布。
b
σ1 σ 2 σ 3 σ 4
S
⋅ Q
a
解：设平板面积为 S 由电荷守恒： 由电荷守恒：
+
⋅ Q
b
σ 1S + σ 2 S = Qa σ 3 S +σ 4S = Qb
(3)
(1) (2)
由静电平衡条件： 由静电平衡条件：
E a内
E b内
在一接地导体球附近，有一电量为q 例5：在一接地导体球附近，有一电量为q的点 电荷， 离导体球球心的距离为L 电荷，q离导体球球心的距离为L，球半 径为R 求导体球上的感应电荷的电量。 径为R，求导体球上的感应电荷的电量。 解：设导体上感应电荷 q' dq' - 为 q'，(q' ≠ q) 。 + q -R 注意： 点的电势为零 点的电势为零， 注意：O点的电势为零， - L o + 且是 q 和 q' 共同产生 A 的电场叠加的结果。 的电场叠加的结果。 - -
dq' 1 q' R U' = ∫ = dq' = q' 4 πε0R 4 0R ∫ ' q' =πε0R πε q 4− q
Uo =Uqo +U' =
q 4 0L πε
+
q' 4 0R πε
L
=0
[例6] 内半径为 R 的导体球壳原来不带电，在腔内 的导体球壳原来不带电， ) 离球心距离为 d ( d < R处，固定一电量 + q 的点 电荷，用导线将球壳接地后再撤去地线， 电荷，用导线将球壳接地后再撤去地线，求球心处 电势. 电势. 解： 1〉画出未接地前的电荷分布图. 〈 〉画出未接地前的电荷分布图.
a r
q
b
解：（1）由静电感应，金属球壳的内表面上有感应电 ）由静电感应， 外表面上带电荷q 荷-q,外表面上带电荷 + Q。 外表面上带电荷 。 （2）不论球壳内表面上的感应电荷是如何分布的， ）不论球壳内表面上的感应电荷是如何分布的， 因为任一电荷元离O点的距离都是 点的距离都是a， 因为任一电荷元离 点的距离都是 ，所以由这些电 荷在O点产生的电势为 荷在 点产生的电势为
Εp1 = 0, Εp2 = 0
解得：
P2 :σ1 +σ2 +σ3 −σ4 = 0
Q +Q 2 σ1 =σ4 = 1 2s Q −Q 2 σ2 = −σ3 = 1 2s
电场分布：
1 ΕI = − (σ1 +σ2 +σ3 +σ4 ) 2εo Q1 + Q2 σ1 =− =− 2εos εo
Q1
Q2
σ1
∞
+q
R 3
−q
+2q
R 2 R 1
或由叠加原理直接计算
R1=10cm，R2=7cm ， R3=5cm，q=10-8 C ，
例9：两块平行放置的面积为S 的金属板，各带电量Q1、 Q2 板距与板的线度相比很小。求： ① 静电平衡时, 金属板电荷的分布和周 围电场的分布。 ②若把第二块金属 板接地，以上结果如何？ Q1 Q2
a
b
σ1 σ 2 σ 3 σ 4
S
⋅ Q
a
+
⋅ Q
b
即：相背面 相对面
σ σ
等大同号， 等大同号， 等大异号。 等大异号。
8-1 静电场中的导体
有一外半径R 例8 有一外半径 1=10cm，内半径 2=7cm ，内半径R 的金属球壳， 的金属球壳，在球壳中 +q 放一半径R3=5cm的同心 放一半径 的同心 +q 金属球， 金属球，若使球壳和球 均带有q=10-8 C的正电 均带有 的正电 R 3 R 荷，问两球体上的电荷 2 R 如何分布？ 如何分布？球心电势为 1 多少？ 多少？
第八章 静电场中的导体和电介质
静电场中的导体
解 作球形高斯面 S 1
E1 = 0 (r < R3 )
R 1 +q
S2
R 3
作球形高斯面 S 2 v v q ∫S2 E2 ⋅ dS = ε0
q E2 = ( R3 < r < R2 ) 2 4 π ε0r
+q
S1
R 2 R 1
r
静电场中的导体
∫
S3
+q R1 A R3 R2
(r < R ) 1 (R < r < R2 ) 1 (R2 < r < R3 ) (r > R3 )
B
球与壳之间电势差
UA −UB = ∫
B
A
u ur R2 r u Ε⋅ dl = ∫
R 1
1 1 dr = ( − ) 2 4πεor 4πεo R R 1 2
U 0 = U q + U −q =
q 4πε 0 d
+
−q 4πε 0 R
、 例题4如图所示， 例题 如图所示，一内半径为a 外半径为 b 如图所示 的金属球壳， 的金属球壳，带电量 Q，在球壳空腔内距离球心 r 处有一点电荷 q 设无穷远电势为零 ， 试求：（ ：（1）球壳内外表面上的电荷； 试求：（ ）球壳内外表面上的电荷； O 点处，由球壳内表面上 2） （2）球心 点处， 电荷产生的电势； 电荷产生的电势； 点处的总电势。 （3）球心 O 点处的总电势。 ） Q
EI • P1
σ2
σ3
σ4
• P2 EIII
EII
1 σ2 Q −Q 2 (σ1 +σ2 −σ3 −σ4 ) = ΕII = = 1 2 o 2 os ε εo ε
ΕIII
σ1 Q +Q 1 2 (σ1 +σ2 +σ3 +σ4 ) = = = 1 ε 2 o εo 2 o ε
如果第二块坂接地，则 σ4 = 0 电荷守恒 高斯定理 Q1 Q2
q E2 = ( R3 < r < R2 ) 2 4 π ε0r E3 = 0 ( R2 < r < R1 ) 2q E4 = (r > R1 ) 2 4 π ε0 r
+q
R 3
−q
+2q
R 2 R 1
静电场中的导体
v v U o = ∫ E ⋅ dl 0 v R2 v v R3 v = ∫ E1 ⋅ dl + ∫ E2 ⋅ dl 0 R3 v ∞v v R1 v + ∫ E3 ⋅ dl + ∫ E4 ⋅ dl R2 R1 q 1 1 2 = ( − + ) 4 π ε0 R3 R2 R1 = 2.31 × 10 3 V
静电场中的导体
求解思路： 求解思路： 静电平衡条件 电荷守恒定律 导体上的 电荷分布
r 计算 E , U 分布
（ 方法同前 ）
图示为一均匀带电球体， 例 1.图示为一均匀带电球体 ， 总电量为 ， 其外部同 图示为一均匀带电球体 总电量为+Q， 心地罩一内、外半径分别为r 、 的金属球壳。 心地罩一内、外半径分别为 1、r2的金属球壳。设无穷远 处为电势零点，则在球壳内半径为r的 点处场强和电势 处为电势零点 ， 则在球壳内半径为 的 P点处场强和电势 为： E=Q/4πε r2，U=Q/4πε r (A） ） πε0 πε0 （B）E=0，U= Q/4πε0r1 ） ， πε （C）E=0，U= Q/4πε0r ） ， πε （D）E=0，U= Q/4πε0r2 ） ， πε
U p = ∫ 0dr + ∫
r
r2
∞
Q 4πε 0 r
2
r2
dr
例题2一带电量为 的导体球壳 内半径为R 例题 一带电量为q的导体球壳 ， 内半径为 1 ， 外半径为 一带电量为 的导体球壳， 壳内有一电量为q的点电荷 如图所示） 的点电荷（ R2，壳内有一电量为 的点电荷（如图所示）。若以无穷 远处为电势零点，则球壳的电势为： 远处为电势零点，则球壳的电势为： （B）q/4πε0（1/ R1+1/ R2） ） πε （A）q/4πε0R2 ） πε （C）q/2πε0R1 ） πε （D）q/2πε0R2 ） πε
∞ 2q r ≥ R2 , E = ;U p = ∫ Edr 2 R2 4πε 0 r
例题3:一个未带电的空腔导体球壳，内半径为R。 例题 一个未带电的空腔导体球壳，内半径为 。在腔内 一个未带电的空腔导体球壳 离球心的距离为d处 的点电荷。 离球心的距离为 处 （ d<R）， 固定一电量为 的点电荷 。 < ） 固定一电量为+q的点电荷 用导线把球壳接地后，再把地线撤去， 用导线把球壳接地后，再把地线撤去，选无穷远处为电势 零点，则球心O处的电势为 处的电势为： 零点，则球心 处的电势为： （A）0 ） （B）q/4πε0 d ） πε （C）q/4πε0 R ） πε （D）q/4πε0（1/d-1/R） ） πε ） 球壳接地，外层感应电荷流入大地，内层带 球壳接地，外层感应电荷流入大地，内层带-q
同时静电场的分析与计算
原则: 原则: 1.静电平衡的条件 1.静电平衡的条件