高中数学课件-《函数与映射的概念》课

（3）当 a 0 时,求 f (a)、f (a 1)的值
自变量x在其定义域内任取一个确定的值 时a ,对应的函数值用
符号 表f (a示) .
如何判断两个函数是否相同？
例2 下列函数中哪个与函数y=x是同一个函数？
(1) y ( x )2
(2) y 3 x3 (3) y x2
(4) y x2 x
是 x y, xy ,求：3, 4的像和(-1,6)的
原像.
如何确定函数的定义域？
对于定义域，有时给出的函数没有明确 说明定义域，这时，它的定义域就是自变量的允 许取值范围，如果函数涉及实际问题，它的定义 域还必须使实际问题有意义。
就是说，当没有明确给出定义域的时候， 默认定义域为使函数值有意义的集合。
3.(1)已知函数 f(x)＝ x＋3＋x＋1 2，求 f(－3)，f23，f(a－1)(a＞0)的值；
(2)求 y＝2x＋1，x∈{1,2,3}的值域；
(3)求 y＝x2＋2x，x∈[－2,2]的值域； (4)求 y＝2xx－＋11的值域；
三、判断下列对应是不是从A到B的函数?
如果是,求出函数的定义域和值域.
三、几个常用的基本函数
函数
对应法则
定义域
正比例 函数
反比例 函数
y kx(k 0)
R
y k (k 0) x
{x | x 0}
一次函数 y kx b(k 0)
R
值域 R
{ y | y 0}
R
y ax2 bx c(a 0)
二次函数
R
a 0时{ y | y 4ac b2 } 4a
所以，只有②是从A到B的函数，①③④⑤都不是
三．设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}给出下列4个图形，其
中能表示集合M到集合N的函数关系的是（ B ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】由函数的定义 知，图中过 x轴上区间 [0，2]内任取一点作 y 轴的平行线，与图象有 且只有一个交点才可．
四、 判断下列图象能表示函数图象的是（ D ）
y y
0
x
0
x
(A)
(B)
y
y
0
x
(C)
0
x
(D)
题型二：判断两个函数是否为同一函数
1.下列四组函数，表示同一函数的组为________ ．
① f(x)＝2x－1，g(x)＝2x－1(x∈N)；
• f(x)＝x－1，g(x)＝x2－1； • f(x)＝x＋1，g(x)＝;
{x x＜a}
[a , b)
(a , b] (－∞, a)
.。 。.
。
{x x≤a} (－∞, a]
.
{x x＞b} (b , +∞)
。
{x x≥b} [b , +∞)
.
{x x∈R} (－∞,+∞) 数轴上所有的点
试用区间表示下列实数集合 （1） {x|5 ≤ x<6} （2） {x|x ≥9} （3） {x|x ≤ -1} ∩{x| -5 ≤ x<2}
(1) f : x y x2, A R,B R (2) f : x y 1 , A R, B R
x
解:(1)是,函数的定义域为A,值域为 {y | y 0} (2)不是,因为 0 R ,但在B中不存在元素与之 对应,所以不满足函数的定义.
四、判断以下两个函数是否表示同一个函数? 请说明理由。
f：A→B Ａ中的元素x称为原像，Ｂ中的对应 元素y称为x的像，
记作：f:x y
1.函数与映射有什么区别与联系?
函数是一种特殊的映射，是从非空 数集到非空数集的映射.函数一定是映 射，映射不一定是函数
在函数中,原像的集合称为定义域, 像的集合称为值域.
例3. 已知 x, y 在映射f的作用下的像
①定义域是研究任何函数的前提 ②函数的定义域常常由其实际 背景决定,若只给出解析式时,定义域就是使这个式子有意义的实 数x的集合.
(1)如果y=f (x)是整式,则定义域是 实数集R
(2)如果y=f (x)是分式,则定义域是 使分母不等于0的实数的集合 (3)如果y=f (x)是二次根式,则定义域是
题型三：求函数的定义域
1.求下列函数的定义域．
(1)f(x)＝ x＋2＋|xx＋|－34； (2)f(x)＝ 3－x＋x2－1x－6.
(3)f(x)＝(2x＋3)0； (4)f(x)＝ x－1· 4－x＋2
(5)y＝11－＋xx2.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2．求下列函数的定义域
x＋1
1
(1)f(x) ＝ x－1；:(2)f(x)＝1＋1x.
如果两个函数的定义域相同，对应关系完全一样，则称这两 个函数相等.
四、区间的概念
设a,b是两个实数,而且a<b, 我们规定：
(1) 满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间,表示为 [a,b]
(2) 满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间,表示为 (a,b)
(1) 满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间, 表示为[a,b)或(a,b]
连续数集
[5,6)
[9,)
(,1][5,2) [5,1]
评价提升
1、函数的概念：
2、函数的三要素：定义域、对应关系、值域
3、对应关系f：回到引入例说明 可以有表达式，图象，列表等多种表现形式
4、两个函数相等： 当两个函数的三要素完全一致，我们就称这两个函 数相等。
六、课后小结
1.函数的概念：设A、B是非空数集,如果按照某个确定的对应 关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有惟一确定 的数f(x)和它对应,那么就称f:A B为从集合A到集合 B的函数.
y ( x)2, y x
解 y ( x)2 x(x 0),
这两个函数的定义域不同， 所以不是同一个函数。
五、例题
例1 已知函数 f (x)
x
3
x
1
2
（1）求函数的定义域
解：要使函数有意义，
只要
x x
3 2
0 0
x x
3 2
x
3且x
2
所以f ( x)的定义域为{x | x 3，且x 2}.
实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷大”.满足 x≥a,x>a ,x≤b,x<b的实数的集合分别表示为[a, +∞)、(a, +∞)、(∞,b]、(-∞,b).
集合表示 区间表示 数轴表示
{x a＜x＜b} (a , b)
。。
{x a≤x≤b}
[a , b]
..
{x a≤x＜b} {x a＜x≤b}
何一个数 x ，在集合B中都存在唯一
确定的数 f (x) 与之对应，那么就把对
应关系 f 叫作定义在集合A上的函数. 记作：y f (x)或 f : A B
x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数 的定义域;与x的值相对应的y的值叫做函数 值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值 域.
1 1 234
题型四：求函数的值域
4.已知 f(x)＝1＋1 x(x∈R，且 x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)． (1)求 f(2)，g(2)的值； (2)求 f[g(2)]，g[f(2)]的值； (3)求 f(x)、g(x－1)的值域．
变式训练 4．求下列函数的值域． (1)y＝3x＋1，x∈{1,2,3,4,5}； (2)y＝2 x＋1； (3)y＝x＋x 1.
使根号内的式子大于或等于0的实数的集合 (4)如果y=f (x)是由几个部分的式子构成的,则定义域是
使各部分式子都有意义的实数的集合(即各集合的交集) (5)如果是实际问题,是 使实际问题有意义的实数的集合
五、例题
例1 已知函数 f ( x)
x3 1 x2
（2）求
f (3)、f ( 2) 的值
3
① f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1.
对于①，两函数的解析式相同，但f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为N，定义域不同． 对于②，虽然定义域均为R，但解析式不同． 对于③，g(x)＝|x＋1|与f(x)的解析式是不同的． 对于④，虽然f(x)与g(t)的自变量用不同的字母表示，但两函数的定义域和对应关系都 相同，所以表示同一函数．应填④.
a 0时{ y | y 4ac b2 }
4a
题型一：对函数概念的理解
一、判断正误
1函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与
之对应 √ 2、函数的定义域和值域一定是无限集合 × 3、定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定 √
4、若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一
个元素 √ 5、对于不同的自变量 , 函数的值也不同 ×
6、f (a)表示当x = a时，函数f (x)的值，是一个常量 √
二.下列对应是否是从A到B的函数？ ①A＝R，B＝{x|x＞0}，f：A→B，求绝对 值；
②A＝Z，B＝N，f：A→B，求平方； ③A＝Z，B＝Z，f：A→B，求算术平方根; ④A＝N，B＝Z，f：A→B，求平方根； ⑤A＝{x|－2≤x≤2,x∈R},B＝{x|－3≤x≤3,
1.下列两个函数完全相同的是 ( D )
x2 A.y＝x 与 y＝x
B.y＝ x2与 y＝ x
C.y＝( x)2 与 y＝x
3 D.y＝
x3与
y＝x
变式训练．下列四组函数中，表示同一个函数的是( D )
A．f(x)＝x，g(x)＝( x)2 B．f(x)＝x，g(x)＝ x2
C．f(x)＝x＋2，g(x)＝xx2－－24 D．f(x)＝|x|，g(t)＝ t2
2-1 函数与映射的概念
复习
1、初中学习的函数概念是什么？
在变化过程中，有两个变量x和y，如果给定 一个x的值，相应地就确定了一个y值，那么 就称y是关于x的函数. 其中x是自变量，y是因变量.
2、高中学习的函数概念又是什么 呢？
函数概念：
给定两个非空数集A和B，如果按 照某个对应法则 f ，对于集合A中任
x∈R}，f：A→B，求立方．
解析：
对于①，A中的元素0在B中无元素和它对应,故不
是函数． 对于③，A中的负数没有算术平方根，故B中无元 素和它们对应． 对于④，A中的每一个元素(除0外)都有2个平方根 ，所以B中有2个元素和它对应，故不是函数． 对于⑤，集合A中的一些元素，如2，立方后不在 集合B中，所以在B中无元素和它对应.
定义域A 2.函数的三要素 值域B
对应法则f
定义域
决定
值域
对应法则
3.会求简单函数的定义域和函数值
4.理解区间是表示数集的一种方法,会把不等式转化为区间.
课堂作业
（3）相同函数：只要两个函数的定 义域和对应法则分别相同,那么这两 个函数就相同
例2.下列函数中,与函数 y x 1 为 相同函数的是（ ② ）.
①；y (x 1)0 ③；y ( x 1)2
②；y t 1 ④. y x 1
映射的概念
两个非空集合Ａ与Ｂ间存在着对应 关系f，而且对于Ａ中的每一个元素x， Ｂ中总有唯一的一个元素y与它对应， 就称这种对应为从Ａ到Ｂ的映射，记 作
1 4 39 1 2 34
12345 6 123
Af B
Af B
(1)
(2)
Af B
1 2
1 3 1 4
(3)
归纳：判断是否为函数的方法：
一个 x 一个 y 每个 x 都有 y 思考：函数值域是不是B集合
函数值域是B的一个子集.
例1.判断下列为函数的是（ ）
(1) 函数y=f(x)三要素: 定义域、值 域和对应法则. (2) 值域由定义域和对应法则 唯一确定.