第2章 质点组力学

2 2
n dri ⎞ n ⎛ ∑ ⎜ ri × mi dt ⎟ = ∑ ( ri × mi vi ) = ∑ ( ri × pi ) = J ⎠ i =1 i =1 ⎝ i =1 n
ri × Fi ( e ) ) = ∑ M i = M ∑(
n n i =1 i =1
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n dri ⎞ n ⎛ ∑ ⎜ ri × mi dt ⎟ = ∑ ( ri × mi vi ) = ∑ ( ri × pi ) = J ⎠ i =1 i =1 ⎝ i =1 n
⎡⎛ M ⎞ 2 ⎤ 2 = V 1 + ⎢⎜ ⎟ − 1⎥ cos α ⎢⎝ M + m ⎠ ⎥ ⎣ ⎦
⎡ m(2 M + m) ⎤ 2 = V ⎢1 − cos α ⎥ 2 ( M + m) ⎣ ⎦
1 2
若 v 与水平线间夹角为 θ ，则
V sin α m ⎛ = ⎜1 + tgθ = = M vx ⎝ M V cos α M +m vy
ri × Fi ( e ) ) = ∑ M i = M ∑(
n n i =1 i =1
动量矩定理 分量形式
dJ =M dt
或
dJ = Mdt
n d n mi ( yi zi − zi yi ) = ∑ ( yi Fiz( e ) − zi Fiy( e ) ) ∑ dt i =1 i =1 n d n mi ( zi xi − xi zi ) = ∑ ( zi Fix( e ) − xi Fiz( e ) ) ∑ dt i =1 i =1 n d n mi ( xi yi − yi xi ) = ∑ ( xi Fiy( e ) − yi Fix( e ) ) ∑ dt i =1 i =1
假定某质点组由 n 个质点组成，则质点组中诸内力的总 和亦必等于零，即 n n
F (i ) = ∑∑ fij = 0
i =1 j =1
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孤立系：如果一个质点组不受任何外力作用，则叫做孤 立系或闭合系 .
二 质心
质心的定义 设 n 个质点组成质点组，它们的质量为 m1 , m2 , …, mn， 位于 P , P2 , …, Pn 诸点，这些点对某一指定的参照点 O 1 的位矢是 r1 , r2 , …, rn ，则质心 C 对此同一点的位矢 rC 满足如下关系： n n rC = OC = ∑ mi ri ∑ mi
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[例] 一门大炮停在铁轨上，炮弹质量为 m ，炮身及炮 车质量和等于 M ，炮车可以自由地在铁轨上反冲 . 如 炮身与地面成一角度 α 发射炮弹，炮弹对炮身的相对 速度为 V ，试求炮弹离炮身时对地面的速度 v 及炮车 反冲的速度 U . [解] 在炮弹发射过程中，水平方向（设为 x 方向）无 外力作用，所以 x 轴方向动量守恒，即
dpx d ⎛ n ⎞ n (e) = ⎜ ∑ mi vix ⎟ = ∑ Fix dt dt ⎝ i =1 ⎠ i =1 dp y d ⎛ n ⎞ n (e) = ⎜ ∑ mi viy ⎟ = ∑ Fiy dt dt ⎝ i =1 ⎠ i =1 dpz d ⎛ n ⎞ n (e) = ⎜ ∑ mi viz ⎟ = ∑ Fiz dt dt ⎝ i =1 ⎠ i =1
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内力总是成对出现，它们大小相等而方向相反，并在同 一直线上，所以内力对 O 点的力矩之和为零，即
r × Fi (i ) ) = 0 ∑(
n i =1
故
dri ⎞ d ri dri dri d ri d⎛ × = ri × 2 ⎜ ri × ⎟ = ri × 2 + dt ⎝ dt ⎠ dt dt dt dt dri ⎞ n d n ⎛ = ∑ ( ri × Fi ( e ) ) ri × mi ∑⎜ ⎟ dt i =1 ⎝ dt ⎠ i =1
此即质心运动定理 .
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三 动量守恒律
若质点组不受外力或外力矢量和为零，即
∑F
i =1
n
(e)
i
=0
则 故
dp n ( e ) = ∑ Fi = 0 dt i =1
p = 恒矢量
p = mvC
vC = 恒矢量
在此情形下，质点组的动量是一个恒矢量，而其质心 作惯性运动，此即质点组的动量守恒律 . 如果作用在质点组上的诸外力在某一轴上的投影之和 为零，则动量在此轴上的投影为常数 .
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§2.2 动量定理与动量守恒律
一 动量定理
设有一个由 n 个质点组成的质点组，其中某一个质 点 P 的质量为 mi ，对某惯性参考系坐标原点 O的位 i ) 矢为 ri ，作用在点 P上各力的合力为 Fi = Fi (i ) + Fi ( e， i 则质点 P 的运动微分方程为 i
n 2
其中， p =
∑mv
i =1
n
i i
是质点组动量，等于质点组中各质点动量的矢量和，故
dp n ( e ) = ∑ Fi dt i =1
或写成
⎛ n (e) ⎞ dp = ⎜ ∑ Fi ⎟ dt ⎝ i =1 ⎠
此即质点组的动量定理 .
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质点组的动量定理 分量形式：
dp n ( e ) = ∑ Fi dt i =1
mvx + MU = 0 (用绝对速度)
由相对运动关系可知
V cos α + U = vx , V sin α = v y
M m vx = V cos α , v y = V sin α , U = − V cos α M +m M +m
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v = v +v =
2 x 2 y
M 2 2 2 2 V cos α + V sin α M +m
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二 动量矩守恒律
如果作用在质点组上的外力对某一定点 O 的合力矩为 零，则
dJ =0 dt
J = 恒矢量
如果作用在质点组上的诸外力对某定点 O 的力矩虽 不等于零，但对通过原点 O 的某一坐标轴(设为 x 轴), 的力矩为零，则质点组的动量矩在 x 轴上的投影为常 数，即 n yi Fiz( e ) − zi Fiy( e ) ) = 0 若 ∑(
−θ 0
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xC
∫ xdm = ∫∫ xρ rdθ dr = = ∫ dm ∫ ρ rdθ dr
2 sin θ = a 3 θ
ρ ∫ cos θ dθ ∫ r 2 dr
−θ
θ
a
ρ ∫ dθ ∫ rdr
−θ 0
θ
0
a
对于半圆片的质心，即 θ =
π
2
，有
2 sin θ 4 a xC = a = θ 3 3π
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⎞ ⎟ tgα ⎠
(θ > α )
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§2.3 动量矩定理与动量矩守恒律 一 对固定点 O的动量矩定理 假定某质点组由 n 个质点组成，则质点组中每一质点的
动力学方程为
d ri (i ) (e) = Fi + Fi 2 dt
用 ri ( ri 为任一质点对惯性系中某定点 O 的位矢)叉乘上 式的两边，并对 i 求和，得
i =1
则
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J x = ∑ mi ( yi zi − zi yi ) = 常数
i =1
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n
三 对质心的动量矩定理
固定坐标系： O − xyz 随动坐标系： C − x′y′z ′ 对此随动的坐标系来讲，Pi 的动 力学方程为 d 2 ri′ mi 2 = Fi (i ) + Fi ( e ) + (− mi rC ) dt
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[例] 在具有水平轴的滑轮上悬有一根绳子，绳子的两 端距通过该轴水平面的距离为 s 与 s′. 两个质量分别 为 m 和 m′的人抓着绳子的两端，他们同时开始以匀加 速度向上爬并同时到达滑轮轴所在平面. 假定滑轮的质 量可忽略，且所有的阻力也都忽略不计，问需多长时 间，两人可以同时到达？ [解] 令滑轮的半径为 r ， 爬绳的 A 速度为 v ，B 为 v′ ，则他们对通过 滑轮中心的水平轴的动量矩为
d 2ri (i ) ( e) mi 2 = Fi + Fi ( i = 1,2,…, n) dt
应用于整个质点组，得
n n n ⎛ n (i ) ⎞ d 2 ri (i ) (e) (e) ∑ mi dt 2 = ∑ Fi + ∑ Fi = ∑ Fi ⎜ ∑ Fi = 0 ⎟ ⎝ i =1 ⎠ i =1 i =1 i =1 i =1 n
xC
设均匀扇形薄片密度为 ρ ，任意取一小面元 dS，则
∫ xdm = ∫ dm
dm = ρ dS = ρ rdθ dr
x = r cos θ
θ
0 a
所以
xC =
∫ xdm ∫ dm
=
∫∫ xρ rdθ dr ∫ ρ rdθ dr
=
ρ ∫ cos θ dθ ∫ r 2 dr
−θ
θ
a
ρ ∫ dθ ∫ rdr
J = mvr − m′v′r
外力 m′g 和 mg 对同轴的力矩为
B
v′ ′ s
sv
A
M = m′gr − mgr
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m′g
mg
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由动量矩定理可得
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n n d n ri′× mi r ′ ) = ∑ ( ri′× Fi ( e ) ) + rC × ∑ mi ri′ ∑( dt i =1 i =1 i =1
因 C 为质心，故
∑ m r′ = 0
i =1 i i
n
n d n ri′× mi r ′ ) = ∑ ( ri′× Fi ( e ) ) ∑( 所以 dt i =1 i =1 dJ ′ = M′ 质点组对质心的动量矩定理： dt [例] 在具有水平轴的滑轮上悬有一根绳子，绳子的两 端距通过该轴水平面的距离为 s 与 s′. 两个质量分别 为 m 和 m′的人抓着绳子的两端，他们同时开始以匀加 速度向上爬并同时到达滑轮轴所在平面. 假定滑轮的质 量可忽略，且所有的阻力也都忽略不计，问需多长时 间，两人可以同时到达？
z
Pi
ri′ ri rC
O
C
y
x
其中， − mi rC )是惯性力 . ( 用 ri′ 叉乘上式的两边，并对 i 求和，得
n n d n ′× mi r ′ ) = ∑ ( ri′× Fi ( e ) ) + rC × ∑ mi ri′ ∑ ( ri dt i =1 i =1 i =1
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⎛ d 2 ri ∑ ⎜ r × mi dt 2 i =1 ⎝
n n ⎞ n (i ) = ∑ ( r × Fi ) + ∑ ( r × Fi ( e ) ) ⎟ i =1 ⎠ i =1
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内力总是成对出现，它们大小相等而方向相反，并在同 一直线上，所以内力对 O 点的力矩之和为零 .
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第 二 章 质 点 组 力 学
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§2.1 质点组
一 质点组的内力和外力
质点组：由许多（有限或无限）相互联系着的质点所 组成的系统 . 内力：质点组中质点间相互作用的力 . 外力：质点组以外的物体对质点组内任一质点的作用力 . 对于机械力来讲，内力满足牛顿第三定律，即
f ij + f ji = 0
i =1 i =1
质心坐标（直角坐标系）
xC = ∑ mi xi
i =1 n
∑m , y
i =1 i
n
C
= ∑ mi yi
i =1
n
∑m ,z
i =1 i
n
C
= ∑ mi zi
i =1
n
∑m
i =1
n
i
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[例] 求均匀扇形薄片的质心，此扇形的半径为 a ，所 对的圆心角为 2θ . 并证明半圆片的质心离圆心的距离 为 4a 3π . [解] 因扇形薄片是均匀的，取对称轴为 x 轴，由对称 性可知质心一定在 x 轴上. 由质心公式可得
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n n n ⎛ n (i ) ⎞ d 2 ri (i ) (e) (e) ∑ mi dt 2 = ∑ Fi + ∑ Fi = ∑ Fi ⎜ ∑ Fi = 0 ⎟ ⎝ i =1 ⎠ i =1 i =1 i =1 i =1 n
d ri d n ⎛ dri ⎞ d n dp ∑ mi dt 2 = dt ∑ ⎜ mi dt ⎟ = dt ∑ mi vi = dt ⎠ i =1 i =1 ⎝ i =1
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二 质心运动定理
rC = ∑ mi ri
i =1 n
∑m
i =1
n
i
mrC = ∑ mi ri
i =1
n
其中， m = ∑ mi
i =1
n
为质点组的总质量 .
n
mvC = ∑ mi vi
i =1
dvC m = ∑ Fi ( e ) dt i =1
n
或写成
n d 2 rC m 2 = ∑ Fi ( e ) dt i =1