横向风荷载作用下轴向运动弦线自激振动和稳定性分析

+ k j 2 π 2ξ + (δ − f )ξ + 2 d (2cξ ξ ∑ ij i + δ cξi ) = 1 j j j
i =1
M
ϕ )3ϕ dη , 2 f 3 ∫ (∑ ξ i i j
0
i =1
1
M
j = 1," , M
(6)
2 其中： dij =ij ((−1)i + j − 1)(i 2 − j 2 ) −1 (1−δ ij ), k =(c0 − c 2 ),
δ ij 为 Kronecker 符号。
经过无量纲化。当在水平方向(即 z 方向)受到定常 风荷载的作用时，弦线将产生垂直方向上的风致振 动。将风荷载看成平均风速的非线性函数。不计弦 线的抗扭刚度，对于小迎角情况，根据文[5]，风荷 载的表达式可以写作： (η , t ) + f3 y 3 (η , t ) f (η , t ) = f1 y
y (η , t ) = ∑ ξi (t )ϕi (η ), ϕi (η ) = sin iπη ,
i =1
M
(4) i = 1, 2," , M 式中： ξi (t ) 为主坐标响应； M 是所取试函数的截 断项数。 把式(4)代入式(3)， 得到关于主坐标的非线 性常微分方程：
1 动力学方程
如图 1 所示，考虑一根两端简支的、张紧的轴 向运动弦线，在小变形假定下，忽略由于空间各方 向振动的相互耦合引起的几何非线性项， 采用文[4] 的无量纲化，得到如下方程： ′(η , t ) + δ ( y (η , t ) + cy′(η , t )) + y (η , t ) + 2cy
y
动态构型
2 平衡构形及其稳定性
工程上关心运行状态下平衡构形 y (η ) = 0 的稳 定性，即系统在受到小的扰动后是否会回到平衡状 态。式(6)中各 ξ j (t ) 是耦合在一起的，求解起来比 较困难，对于低频振动响应的情况，可以取位移的 前两项展开式，即 M = 2 ，式(6)可以化简为： ⎧ 2 8 ⎪ξ1 + (δ − f1 )ξ1 − 3 (2cξ 2 + δ cξ 2 ) + π kξ1 = ⎪ 3 2 ⎪ 2 ) f3ξ1 (ξ 1 + 2ξ 2 ⎪ 4 (7) ⎨ + (δ − f )ξ + 8 (2cξ + δ cξ ) + 4π 2 kξ = ⎪ξ 1 2 1 1 2 ⎪ 2 3 ⎪ 3 2 2) ⎪ f3ξ 2 (ξ 2 + 2ξ 1 4 ⎩
ON SELF-EXCITED VIBRATION ANALYSIS FOR AXIALLY MOVING STRINGS WITH TRANSVERSE WIND EXCITATIONS
LU Le-feng1 , *WANG Yue-fang1,2 , LIU Ying-xi1,2
(1. Department of Engineering Mechanics, Dalian University of Technology, Dalian 116023, China; 2. State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment, Dalian University of Technology, Dalian 116023, China)
2 (c 2 − c0 ) y′′(η , t ) = f (η , t ) (1) 其中：η 为空间曲线坐标； y (η , t ) 为垂向位移；t 为 时间；c 为运动速度；c0 是与张力相关的轴向刚度； 和 y′ 分别表示位 δ 是单位长度的粘滞阻尼系数； y 移对时间 t 和坐标 η 的导数。以上全部物理量都已
Abstract: There exist axially translating string structures, e.g. string cars that operate under wind loadings in outdoor environments. The wind excitation may cause severe vibrations and jeopardize the safety of the strings. In this paper the authors investigate the nonlinear vibration of the translating strings with small sag-to-span ratios under wind excitations. The governing partial differential equation is obtained by modeling the wind excitation as a nonlinear function of the transport speed. The Galerkin approach is adopted to reduce the string to an approximate system with a few numbers of DOFs. After linearization of the system the stability of the equilibrium configuration is investigated through an eigenvalue analysis. Explicit conditions are provided for loss of stability based on the Routh-Hurwicz criterion as well as for generation of stable limit cycles via the Hopf bifurcation, both taking transport speed and wind speed as the controlling parameters. The periodic motion of the string is determined using incremental harmonic method, with stability analyses carried out by eigenvalue computation for the Floquet multipliers. Various stability conditions are presented considering the transport speed, wind speed and the viscous damping as operation parameters. Key words: nonlinear vibration; axially moving string; self-excited vibration; wind loadings; Hopf bifurcation 工程中很多的物质输送和交通运输工具可以 简化成轴向运动弦线。其中的缆车索、传送带等工
[1―3]
验测得； v0 是平均风速， ρ 0 、 ρ、 S、 g、 A 和 h 分别 表示空气密度、弦线的密度、跨距、重力加速度、 横截面积和弦线临风的特征高度[5]。把式(2)代入式 (1)得到： 2 ′ + δ cy′ + (c 2 − c0 − f3 y 3 = 0 y + 2cy ) y′′ + (δ − f1 ) y (3) 这就是弦线垂向自激振动的动力学方程。 分离变量并将垂向位移展开成试函数的级数 形式：
，但是未见关于
轴向运动弦线在横向风荷载激励下的动力学研究 的发表，可以说本领域的研究尚属空白。 本文研究了垂跨比远小于 1 的运动弦线在确定 性、定常风荷载作用下的非线性振动和运动的稳定 性。首先建立了风激励作用的轴向运动弦线的动力 学微分方程，然后用 Galerkin 方法对位移响应作近 似展开，得到离散化的控制方程。按照 RouthHurwitz 判据，通过对特征值的计算，分析、判定 了平衡构形的稳定性。 最后， 用增量谐波平衡法 IHB 法求解了弦线的周期响应和振动频率，用 Floquet 理论分析了周期运动的稳定性。
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收稿日期：2006-06-15；修改日期：2007-04-23 基金项目：国家自然科学基金项目(10472021，10421202)；教育部留学回国人员科研启动基金项目(教外司留[2004]527) 作者简介：吕乐丰(1982―)，男，山东巨野县人，博士生，主要从事非线性振动、工程力学研究(E-mail: lorrykey@gmail.com)； *王跃方(1967―)，男，北京市人，副教授，博士，从事非线性振动、计算力学研究(E-mail: yfwang@dlut.edu.cn)； 刘迎曦(1944―)，男，重庆市人，教授，博导，中国力学学会理事，辽宁省力学学会理事长，从事工程力学、反演理论研究 (E-mail: yxliu@dlut.edu.cn).
ϕ + 2cξ ϕ ′ + δ cξ ϕ ′ + (c 2 − c 2 )ξ ϕ ′′ + ∑ (ξ 0 i i i i i i i i
i =1
M
ϕ ) − ( f ξ (δ − f1 )ξ ∑ 3 iϕi )3 = 0 i i
i =1
M
(5)
应用 Galerkin 法， 可得到关于 ξ j (t ) 的二阶非线 性常微分方程组：
第 25 卷第 2 期 2008 年 2 月
Vol.25 No.2 Feb. 2008
工
程
力
学 40
ENGINEERING MECHANICS
文章编号：1000-4750(2008)02-0040-06
横向风荷载作用下轴向运动弦线自激振动和 稳定性分析
吕乐丰 1，*王跃方 1,2，刘迎曦 1,2
(1. 大连理工大学工程力学系，大连 116023；2. 大连理工大学工业装备结构分析国家重点实验室，大连 116023)
作在野外开阔的环境中，受到横向风荷载的激励。 在一定的参数范围内，风荷载会破坏弦线垂向平衡
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程
力
学
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构形的稳定性，产生稳态周期振动(即极限环)。如 果周期运动的振幅过大，就会危及弦线运行的安全 性，甚至产生灾害性事故。轴向运动弦线属于陀螺 型连续体结构，已有许多文献对其线性和非线性动 力学响应及稳定性进行过研究
摘
Βιβλιοθήκη Baidu
要：研究了横向定常风荷载作用下轴向运动弦线的非线性自激振动问题。将风荷载模型化为平均风速的非线
性函数，建立动力学微分方程。采用 Galerkin 方法，将运动弦线简化为离散的二维系统并进行线性化，分析弦线 平衡构型的稳定性，根据 Routh-Hurtwitz 判据确定了平衡点的稳定域。确定了多参数下 Hopf 分岔点及产生稳定 极限环的条件。 使用增量谐波平衡(IHB)法求解了自激振动的周期响应， 按照 Floquet 理论确定了周期解的稳定性。 最后，讨论了运动速度和平均风速稳定性的影响，并给出相应的稳定性条件。 关键词：非线性振动；轴向运动弦线；自激振动；风荷载；Hopf 分岔 中图分类号：O322; O323; O326 文献标识码：A
(2)
c
x
( x, y , z )
o
η
平衡构型
z
Fig.1 图 1 轴向运动轴线 An axially moving string
其中：f1 =
−1 0.5a ρ0 hv0 gS 0.5bρ 0 hv0 ( gS )3 , f3 = , ρ Ag ρ Ag
a 和 b 是与弦线的断截面形状有关的常数，可由试
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工
程
力
学
上式包含反对称的陀螺项(科氏力项)。在状态空间 中将其在平衡构型处展开，得到： 1 0 0 ⎤ ⎫ ⎡ 0 ⎧ξ ⎧ξ1 ⎫ 1 ⎢ 2 8δc 16 c ⎥ ⎪ ⎪ ⎢ − π k f − δ ⎪ ⎪ ⎥ 1 ⎪ξ1 ⎪ ⎢ 3 3 ⎥ ⎪ξ1 ⎪ ⎨ ⎬= ⎨ ⎬ (8) 0 0 1 ⎥ ⎪ξ 2 ⎪ ⎪ξ 2 ⎪ ⎢ 0 ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ 8 2 16 ⎩ξ 2 ⎭ ⎢ − 3 δ c − 3 c −4π k f1 − δ ⎥ ⎩ξ 2 ⎭ ⎣ ⎦ 根 据 Lyapunov 一 次 近 似 理 论 ， 平 衡 点 ξ1 = ξ 2 = 0 的稳定性由式 (8) 右端项的系数矩阵 ( 即