正弦函数余弦函数的性质第1课时(周期性与奇偶性)
正弦函数、余弦函数的性质
2 T
二、奇偶性
y
o
x
正弦函数是奇函数, 余弦函数是偶函数.
三、最大值与最小值
y
o
x
正弦函数当且仅当x 2k 且仅当x 2k
2
, k Z时取得最大值1, 当
2 余弦函数当且仅当x 2k , k Z时取得最大值1,当且仅 当x 2k , k Z时取得最小值 1.
解：（1）∵
3cos( x 2 ) 3cos x
∴自变量x只要并且至少要增加到x+2
y 3cos x, x R 的值才能重复出现.
，函数
所以，函数 y 3cos x, x R 的周期是 2
(2) sin(2 x 2 ) sin 2( x ) sin 2 x
§ 1.4.2 正弦函数、 余弦函数的性质 (一)
引入
y
o
ห้องสมุดไป่ตู้
x
周期函数: 对于函数f(x),若存在一个非零常数 ,使 T
得当x取定义域内的每一个值 都有 时, f ( x T ) f ( x)
称之, 非零常数T叫做这个函数的周期.
新课
若在周期函数 的所有周期中存 f(x) 在一个最小的正数, 则这个最小正数就 叫做f(x)的最小正周期.
, k Z时取得最小值 1;
例2、求下列函数的最 及取得最值时自 值, 变量x的集合:
(1) y cos x 1, x R; ( 2) y 3 sin 2 x, x R;
小结
1. 周期函数的定义，周期，最小正周期
2. 三角函数的奇、偶性
3. 三角函数的单调性；
作业
一、 周期性 正弦函数是周期函数2k( k Z , k 0)都 ,
5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(教学课件)正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性)
当 = −1时，sin − 2π = sin.
知识梳理
知识点一：
1.函数的周期性
(1)一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个 非零常数T，使得
对每一个x∈D都有x＋T∈D，且 f(x＋T)＝f(x) ，那么函数f(x)就叫做周
期函数. 非零常数T 叫做这个函数的周期.
(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 最小的正数 ，那么这个
方法二（公式法）
1
= 中 = , 所以
2
2
2
=
= 4
1
2
学以致用
反思感悟
求三角函数周期的方法
(1)定义法，即利用周期函数的定义求解．
(2)公式法，对形如 y＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ 是常
2π
数，A≠0，ω≠0)的函数，T＝|ω|. （常用方法）
2 ；
1＋sin x－cos2x
(3)f(x)＝
.
1＋sin x
π
x≠kπ＋ ，k∈Z
解 (1)定义域为 x
2
|
，关于原点对称．因为
f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin x－tan x＝－f(x)，
所以函数 y＝sin x＋tan x 是奇函数．
学以致用
3x 3π
＋
3x
(2)f(x)＝sin 4
针每经过1小时运行一周.分针、时针的转动是否具有周期性？
它们的周期分别是多少？
具有周期性
分针的周期是1小时，时针的周期是12小时。
新知引入
那么观察正弦函数的图像，是否也具有同样的周期性的规律呢？
= sin
2021秋高一数学人教A版必修第一册 第一课时周期性与奇偶性(课件)
索引
二、填空题 6.函数 f(x)是周期函数，10 是 f(x)的一个周期，且 f(2)＝ 2，则 f(22)＝____2____.
解析 f(22)＝f(22－20)＝f(2)＝ 2.
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14
B.y＝sin 2x
C.y＝sin
x 2
D.y＝|sin 2x|
解析 y＝sin x2的周期为 T＝21π＝4π；y＝sin 2x 的周期为 T＝22π＝π；y＝sin x2的
2
周期为 T＝2π；y＝|sin 2x|的周期为 T＝π2.
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14
y＝cos32π－2x＝－sin 2x 是奇函数，根据公式得其最小正周期 T＝π.
索引
(2)定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数，又是周期函数，若 f(x)的最小正周期为 π，
且当 x∈0，π2时，f(x)＝sin x，则 f53π等于( D )
A.－12
B.21
C.－
3 2
D.
3 2
解析
f53π＝f53π－π＝f23π＝f23π－π＝f－π3＝fπ3＝sinπ3＝
A.奇函数 C.既是奇函数又是偶函数
B.偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数
解析 f(x)的定义域为R，且f(－x)＝|sin(－x)|＝|－sin x|＝|sin x|＝f(x)， 所以f(x)是偶函数.
索引
4.函数f(x)＝sin(2x)的最小正周期是___π_____.
解析 由f(x＋π)＝sin[2(x＋π)]＝sin(2x＋2π)＝sin(2x)＝f(x)得f(x)的最小 正周期为π.
1 第1课时 正、余弦函数的周期性与奇偶性
5．4.2正弦函数、余弦函数的性质第1课时正、余弦函数的周期性与奇偶性教材考点学习目标核心素养函数的周期性了解周期函数的概念数学抽象正、余弦函数的周期性理解正弦函数与余弦函数的周期性，会求函数的周期数学抽象、数学运算正、余弦函数的奇偶性理解三角函数的奇偶性以及对称性，会判断给定函数的奇偶性逻辑推理问题导学预习教材P201－P203，并思考以下问题：1．周期函数的定义是什么？2．如何利用周期函数的定义求正、余弦函数的周期？3．正、余弦函数的奇偶性分别是什么？1．函数的周期性(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．■微思考1是不是所有的函数都是周期函数？若一个函数是周期函数，它的周期是否唯一？提示：并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一，如果T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期．2．正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数y ＝sin xy ＝cos x图象定义域 R R 周期 2k π(k ∈Z 且k ≠0) 2k π(k ∈Z 且k ≠0) 最小 正周期 2π 2π 奇偶性 奇函数偶函数函数y ＝A sin(ωx ＋φ)满足什么条件时为奇函数、偶函数？y ＝A cos(ωx ＋φ)满足什么条件时为奇函数、偶函数？提示：根据诱导公式．当φ＝k π＋π2，k ∈Z 时，y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，φ＝k π，k ∈Z 时，y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数；当φ＝k π＋π2，k ∈Z 时，y ＝A cos(ωx ＋φ)为奇函数，当φ＝k π，k ∈Z 时，y ＝A cos(ωx ＋φ)为偶函数(k ≠0)．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋π2＝sin π4，则π2是正弦函数y ＝sin x 的一个周期．( )(2)函数y ＝sin x ，x ∈(－π，π]是奇函数．( )(3)因为sin(2x ＋2π)＝sin 2x ，所以函数y ＝sin 2x 的最小正周期为2π.( ) (4)若T 是函数f (x )的周期，则kT ，k ∈N *也是函数f (x )的周期．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√2．下列函数中，最小正周期为4π的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝cos xC ．y ＝sin x2 D ．y ＝cos 2x答案：C3．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2是( )A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数答案：B4．函数y ＝3－cos x 的图象( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于直线x ＝π2对称答案：B5．若函数f (x )是周期为3的周期函数，且f (－1)＝3，则f (2)＝________． 答案：3探究点1 正、余弦函数的周期问题求下列三角函数的最小正周期T ： (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3；(2)f (x )＝12cos(2x ＋π3)； (3)f (x )＝|sin x |.【解】 (1)令z ＝x ＋π3， 因为sin(2π＋z )＝sin z ， 所以f (2π＋z )＝f (z )， f ⎝⎛⎭⎪⎫（x ＋2π）＋π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以T＝2π.(2)法一(定义法)：因为f(x)＝12cos(2x＋π3)＝12cos(2x＋π3＋2π)＝12cos[2(x＋π)＋π3]＝f(x＋π)，即f(x＋π)＝f(x)，所以函数f(x)＝12cos(2x＋π3)的最小正周期T＝π.法二(公式法)：因为f(x)＝12cos(2x＋π3)，所以ω＝2.又最小正周期T＝2π|ω|＝2π2＝π，所以函数f(x)＝12cos(2x＋π3)的最小正周期T＝π.(3)法一：因为f(x)＝|sin x|，所以f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＝|－sin x|＝|sin x|＝f(x)，故f(x)的最小正周期为π.法二：画出函数y＝|sin x|的图象，如图所示，由图象可知最小正周期T＝π.求函数周期的方法(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x 都满足f (x ＋T )＝f (x )的非零常数T .该方法主要适用于抽象函数．(2)公式法：对形如y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ是常数，且A ≠0，ω＞0)的函数，可利用T＝2πω来求．(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法．1．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3，则f (x )的最小正周期为( )A.π2 B ．π C ．2πD ．4π解析：选D.函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的最小正周期T ＝2π12＝4π.故选D.2．设a ＞0，若函数y ＝sin(ax ＋π)的最小正周期是π，则a ＝________． 解析：由题意知T ＝2πa ＝π， 所以a ＝2. 答案：2探究点2 正、余弦函数的奇偶性问题判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2；(2)f (x )＝sin(cos x )．【解】 (1)函数的定义域为R ，且f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝－sin 2x .因为f (－x )＝－sin(－2x ) ＝sin 2x ＝－f (x )，所以函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π2是奇函数．(2)函数的定义域为R ， 且f (－x )＝sin[cos(－x )] ＝sin(cos x )＝f (x )，所以函数f (x )＝sin(cos x )是偶函数．利用定义判断函数奇偶性的三个步骤[注意] 与三角函数相关的奇偶性问题，往往需要先利用诱导公式化简，再判断函数的奇偶性．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝|sin x |＋cos x ； (2)f (x )＝cos(2π－x )－x 3·sin x . 解：(1)函数的定义域为R ，又f (－x )＝|sin(－x )|＋cos(－x )＝|sin x |＋cos x ＝f (x )， 所以f (x )是偶函数．(2)函数的定义域为R ，关于原点对称， 因为f (x )＝cos x －x 3·sin x ，所以f (－x )＝cos(－x )－(－x )3·sin(－x ) ＝cos x －x 3·sin x ＝f (x )， 所以f (x )为偶函数．探究点3 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用定义在R 上的函数f (x )既是偶函数，又是周期函数，若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3等于( )A ．－12 B.12 C ．－32D.32【解析】 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3－π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＝32.【答案】 D1．(变条件)若本例中“偶”变“奇”，其他条件不变，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值．解：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－sin π3＝－32.2．(变条件、变问法)若本例中函数的最小正周期变为π2，奇偶性不确定，其他条件不变，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－176π的值．解：因为f (x )的最小正周期是π2， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－176π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π＋π6＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－6×π2＋π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝12.关于周期性、奇偶性的应用(1)利用周期性可以将绝对值较大的角变为较小的角，其作用类似于诱导公式(一)，不同在于周期性适用于所有的函数，诱导公式(一)只适用于三角函数．(2)奇偶性在求值中的作用在于自变量正负值的转化，即f (x )与f (－x )之间的转化求值．1．定义在R 上的函数f (x )周期为π，且是奇函数，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．2 解析：选B.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－1.2．已知f (x )是以π为周期的偶函数，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π2，3π时，求f (x )的解析式． 解：x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π2，3π时，3π－x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝1－sin x ，所以f (3π－x )＝1－sin(3π－x )＝1－sin x . 又f (x )是以π为周期的偶函数， 所以f (3π－x )＝f (－x )＝f (x )，所以f (x )的解析式为f (x )＝1－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π2，3π.1．设函数f (x )＝sin(2x －π3)，则f (x )的最小正周期为( )A.π2 B ．π C ．2πD ．4π解析：选B.函数f (x )＝sin(2x －π3)的最小正周期T ＝2π2＝π，故选B. 2．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －φ(0≤φ≤π)是R 上的偶函数，则φ的值是( )A. 0B.π4 C.π2D ．π解析：选C.当φ＝π2时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π2＝－cos 12x ，因此y 为偶函数．3．已知a ∈R ，函数f (x )＝sin x －|a |，x ∈R 为奇函数，则a 等于________． 解析：因为f (x )＝sin x －|a |，x ∈R 为奇函数，所以f (0)＝sin 0－|a |＝0，所以a ＝0.答案：04．函数f (x )＝2cos 2x ＋1的图象关于________对称(填“原点”或“y 轴”)．解析：函数的定义域为R ，f (－x )＝2cos 2(－x )＋1＝2cos(－2x )＋1＝2cos 2x ＋1＝f (x )，故f (x )为偶函数，所以图象关于y 轴对称． 答案：y 轴5．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2；(2)f (x )＝sin |x |.解：(1)显然x ∈R ，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2＝－cos 3x4，所以f (－x )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x 4＝－cos 3x 4＝f (x )，所以函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 4＋3π2是偶函数．(2)显然x ∈R ，f (－x )＝sin|－x |＝sin|x |＝f (x )， 所以函数f (x )＝sin|x |是偶函数．[A 基础达标]1．函数f (x )＝sin (ωx ＋π6)(ω>0)的最小正周期为π5，则ω等于( ) A ．5 B ．10 C ．15D ．20解析：选B.由题意，知T ＝2πω＝π5，所以ω＝10.2．下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是( ) A ．y ＝cos|2x | B ．y ＝|sin x | C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2xD ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x解析：选D.y ＝cos|2x |是偶函数；y ＝|sin x |是偶函数；y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝cos 2x 是偶函数；y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x ＝－sin 2x 是奇函数，且其最小正周期T ＝π.3．函数f (x )＝x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ( )A ．是奇函数B ．是非奇非偶函数C ．是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数解析：选A.由题意，得函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称．又f (x )＝x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝x cos x ， 所以f (－x )＝(－x )cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数．4．函数：①y ＝x 2sin x ；②y ＝sin x ，x ∈[0，2π]；③y ＝sin x ，x ∈[－π，π]中，奇函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．0解析：选B.①③是奇函数．故选B.5．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)为R 上的奇函数，则φ的值可以是( ) A.π4B.π2 C ．π D.3π2 解析：选C.要使函数f (x )＝sin(2x ＋φ)为R 上的奇函数，需φ＝k π，k ∈Z .故选C.6．函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为________． 解析：T ＝2π2＝π.答案：π7．关于x 的函数f (x )＝sin(x ＋φ)有以下说法：①对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数；②存在φ，使f (x )是偶函数；③存在φ，使f (x )是奇函数；④对任意的φ，f (x )都不是偶函数．其中错误的是________(填序号)．解析：φ＝0时，f (x )＝sin x 是奇函数．φ＝π2时，f (x )＝cos x 是偶函数．答案：①④8．若0<α<π2，g (x )＝sin(2x ＋π4＋α)是偶函数，则α的值为________．解析：要使g (x )＝sin(2x ＋π4＋α)为偶函数，则须π4＋α＝k π＋π2，k ∈Z .所以α＝k π＋π4，k ∈Z .因为0<α<π2，所以α＝π4.答案：π49．判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x cos(π＋x )；(2)f (x )＝cos x1－sin x ；(3)f (x )＝1－cos x ＋cos x －1.解：(1)因为x ∈R ，f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x cos(π＋x )＝－sin 2x (－cos x )＝sin 2x cos x ，所以f (－x )＝sin(－2x )cos(－x )＝－sin 2x cos x ＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．(2)函数应满足1－sin x ≠0，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠2k π＋π2，k ∈Z ，显然定义域不关于原点对称，所以f (x )＝cos x 1－sin x 为非奇非偶函数． (3)由⎩⎪⎨⎪⎧1－cos x ≥0，cos x －1≥0，得cos x ＝1， 所以函数的定义域为{x |x ＝2k π，k ∈Z }，定义域关于原点对称．当cos x ＝1时，f (－x )＝0，f (x )＝±f (－x )．所以f (x )＝1－cos x ＋cos x －1既是奇函数又是偶函数．10．已知函数y ＝12sin x ＋12|sin x |，(1)画出函数的简图；(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．解：(1)y ＝12sin x ＋12|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ∈[2k π，2k π＋π]（k ∈Z ），0，x ∈[2k π－π，2k π]（k ∈Z ），图象如图所示：(2)由图象知该函数是周期函数，且最小正周期是2π.[B 能力提升]11．(多选)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2，x ∈R ，则关于f (x )的说法正确的是( ) A ．最小正周期为πB ．最小正周期为π2C ．奇函数D ．偶函数解析：选AD.f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝－cos 2x ，因此f (x )是偶函数，且是最小正周期为2π2＝π的周期函数，故选AD.12．(一题两空)已知f (n )＝sin n π4(n ∈Z )，则f (n )的最小正周期为________，f (1)＋f (2)＋…＋f (100)＝________．解析：T ＝2ππ4＝8.f (1)＋f (2)＋…＋f (8)＝0，f (9)＋f (10)＋…＋f (16)＝0，依此循环，f (1)＋f (2)＋…＋f (100)＝0＋f (97)＋f (98)＋f (99)＋f (100)＝2＋1.答案：8 2＋113．已知f (x )＝a sin x ＋bx 3c cos x ，若f (5)＝－2，则f (－5)＝________．解析：f (x )＝a sin x ＋bx 3c cos x ，则f (－x )＝a sin （－x ）＋b （－x ）3c cos （－x ）＝－a sin x ＋bx 3c cos x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．所以f (－5)＝－f (5)＝2.答案：214．已知函数f (x )＝sin 2 x ＋cos x ＋1cos x ＋1. (1)求函数f (x )的定义域并判断函数的奇偶性；(2)求函数f (x )的最小正周期．解：(1)由cos x ＋1≠0，得x ≠2k π＋π，k ∈Z ，所以函数f (x )的定义域为{x |x ∈R ，x ≠2k π＋π，k ∈Z }，f (x )＝sin 2 x ＋cos x ＋1cos x ＋1＝1－cos 2 x ＋cos x ＋1cos x ＋1＝－cos2x＋cos x＋2cos x＋1＝（cos x＋1）（2－cos x）cos x＋1＝2－cos x.因为f(－x)＝f(x)，且函数f(x)的定义域关于坐标原点对称，故函数f(x)为偶函数．(2)因为f(x)＝2－cos x(x≠2kπ＋π，k∈Z)，所以f(x)的最小正周期为2π.[C拓展探究]15．判断函数y＝cos(2x－π6)，x∈[－π，π]是否是周期函数．若不是，请说明理由，并指出在什么条件下该函数是周期函数．解：因为x＝π时，x＋T∉[－π，π]，不符合周期函数的定义，所以y＝cos(2x－π6)，x∈[－π，π]不是周期函数．要使函数为周期函数，需将条件x∈[－π，π]改为x∈R.因为当x∈R时，则有：y＝cos(2x－π6＋2π)＝cos[2(x＋π)－π6]＝cos(2x－π6)，所以y＝cos(2x－π6)是以π为周期的周期函数．。
5.4.2正弦余弦函数的性质课件(1)高一上学期数学人教A版
6
变式训练：求下列函数的最小正周期:
+
(1)y=sin
(x∈R);
+
(2)y=3cos -
(x∈R);
(3)y=|cos x|(x∈R).
解:(1)令 y=f(x)=sin
+ +
因为 sin
所以 sin ( + ) +
+
,
=sin
+
,
=sin
+
,
即 f(x+π)=f(x).
所以函数 f(x)=sin
问题提出
问题二：图象具有周期性，函数的横、纵坐标有何特点？
2
2
32
2
A1
·
·
1 B
1
y
y
x
O
1
由正弦函数的诱导公式：
2
sin(x+2kπ) = sinx
可得：sin(2π+x)=sinx
2
·
·
B2
பைடு நூலகம்
3
2
A2
2x+2π5
2
5
sin sin
sin(2 )
=-f -
=-sin -
=sin =
.
• 反思感悟
•
解决三角函数的奇偶性与周期性综合问题的
方法:利用函数的周期性,可以把x+nT(n∈Z)的
函数值转化为x的函数值.利用奇偶性,可以找到x与x的函数值的关系,从而解决求值问题.
目标检测
1.(多选题)下列是定义在R上的四个函数图象的
一部分,其中是周期函数的是(
最新人教A版高中数学必修一课件：5.4.2 第一课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
(3)由11－＋ssiinn
x＞0， x＞0，
得－1＜sin x＜1，
解得定义域为xx∈R
且x≠kπ＋π2
，k∈Z ，
∴f(x)的定义域关于原点对称．
又∵f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)，
∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]
＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
(二)基本知能小试 1．判断正误
(1)若 sin23π＋π6＝sinπ6，则23π是函数 y＝sin x 的一个周期． (2)所有的周期函数都有最小正周期． (3)函数 y＝ sin x是奇函数．
答案：(1)× (2)× (3)×
() () ()
2．函数 y＝2cos2x＋π2是 A．周期为 π 的奇函数 C．周期为 2π 的奇函数
二、应用性——强调学以致用
2．[好题共享——选自人教B版新教材]若弹簧振子相对平衡位置的位移x(单位： cm)与时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示．
(1)求该函数的周期；
A．－12
1 B.2
C．－
3 2
3 D. 2
()
[解析] (1)y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sin 2x|是偶函数，y＝sinπ2＋2x＝cos 2x 是偶函数，y＝cos32π－2x＝－sin 2x 是奇函数，根据公式得其最小正周期 T＝π.
(2)f53π＝f53π－π＝f23π
＝f23π－π＝f－π3＝fπ3＝sinπ3＝
由图象可知 T＝π.
[方法技巧] 求三角函数最小正周期的常用方法
(1)公式法：将函数化为 y＝Asin(ωx＋φ)＋B 或 y＝Acos(ωx＋φ)＋B 的形式， 再利用 T＝|2ωπ|求得．
高一数学人教A版必修4课件：1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)
23.∴f53π＝
3 2.
明目标、知重点
反思与感悟 解决此类问题关键是综合运用函数的周 期性和奇偶性，把自变量x的值转化到可求值区间内.
明目标、知重点
跟踪训练 2 已知函数 f(x)对于任意 x∈R 满足条件 f(x＋3)＝f1x，
且 f(1)＝12，则 f(2 014)等于( B )
1 A.2 解析
明目标、知重点
填要点·记疑点
1.函数的周期性 (1)对于函数f(x)，如果存在一个 非零常数T ，使得当x取定 义域内的每一个值时，都有 f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就 叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期. (2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数， 那么这个最小正数就叫做f(x)的 最小正周期 .
明目标、知重点
由于 x 至少要增加|2ωπ|个单位，f(x)的函数值才会重复出现，因此，|2ωπ| 是函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期.
同理，函数 f(x)＝Acos(ωx＋φ)也是周期函数，最小正周期也是|2ωπ|.
明目标、知重点
探究点四 正弦、余弦函数的奇偶性 导引 正弦曲线
∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)]
＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x). ∴f(x)为奇函数.
明目标、知重点
1＋sin x－cos2x
(3)f(x)＝
.
1＋sin x
解 ∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1，
∴x∈R 且 x≠2kπ－π2，k∈Z.
明目标、知重点
探究点三 函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝A·cos(ωx＋φ))(A>0，ω≠0)的周期
2023新教材高中数学正余弦函数的周期性奇偶性课件新人教A版必修第一册
12．求下列函数的周期： (1)y＝2sin12x＋π6，x∈R； (2)y＝1－2cosπ2x，x∈R； (3)y＝|sinx|，x∈R.
解 (1)∵2sin12x＋4π＋π6＝2sin12x＋6π＋2π＝2sin12x＋π6，∴自变量 x 只需并且至少要增加到 x＋4π，
函数 y＝2sin12x＋π6，x∈R 的值才能重复出现，
知周期 T＝π2；选项 C，周期 T＝21π＝8π；选项 D，周期 T＝24π＝2π.故选 BD. 4
9．f(x)＝cosωx－π6 的最小正周期为π5，其中 ω>0，则 ω＝________.
答案 10 解析 ∵T＝2ωπ＝π5，∴ω＝10.
10．已知函数 f(x)的定义域为 R，最小正周期是32π，当 x∈－π2，π时，
答案 A
解析 分别作出函数 y＝|cosx|与 y＝sin|x|的图象，观察可得，y＝|cosx| 是周期函数，y＝sin|x|不是周期函数．故选 A.
8．(多选)下列函数中，周期为π2的是(
)
A．y＝sin2x B．y＝|sin2x|
C．y＝cos4x D．y＝cos4x
答案 BD
解析 选项 A，周期 T＝21π＝4π；选项 B，作出函数 y＝|sin2x|的图象易 2
解析 根据周期函数的定义，任意非零有理数都是 f(x)的周期．
2．(多选)下列是定义在 R 上的四个函数图象的一部分，其中是周期函 数的是( )
答案 ABC
解析 显然 D 中函数图象不是经过相同单位长度，图象重复出现．而 A， C 中每经过一个单位长度，图象重复出现．B 中图象每经过 2 个单位长度， 图象重复出现．所以 A，B，C 中函数是周期函数，D 中函数不是周期函数．故 选 ABC.
5.4.2正弦函数、余弦函数的性质(第1课时)课件(人教版)
2
4
∴ T 2得T
1
2
2
1
∴函数 y 2 sin( x ), x R 的周期为4π
2
6
巩固练习
求下列三角函数的周期：
(1)y=sin(x+ 3 )；
x
(2) y=3sin( 2 + 5 )
解： (1) 令z= x+ 而 sin(2+z)=sinz
3
即：f (2+z)=f (z) , f [(x+2)+ 3 ]=f (x+ 3 )
5 . 4 . 1 正 弦 函 数、 余弦函数的性 质
复习回顾
正弦函数y＝sinx，x∈[0, 2]的图象中，
五个关键点是哪几个?
3
(0,0), ( ,1), ( ,0), (
,1), ( 2 ,0)
2
2
余弦函数y＝cosx，x∈[0, 2]的图象中，
五个关键点是哪几个?
3
(0,1), ( ,0), ( ,1), (
3
，
2
sin(
) sin( )
3 3
3
2
3
是周期吗？
2
2
) sin( x) ，
才是周期， 是特
3
6
3
例题
求下列函数的周期
(1) y 3cos x, x R
(2) y sin 2 x, x R
解:(1)∵cos(x+2π)=cosx,
∴3cos(x+2π)=3cosx
三角函数的周期性与奇偶性
三角函数的周期性与奇偶性三角函数是数学中非常重要的一类函数，包括正弦函数sin(x)，余弦函数cos(x)，正切函数tan(x)等。
这些函数在数学、物理、工程等领域中有广泛的应用。
其中，周期性和奇偶性是三角函数的两个重要性质，下面将详细讨论这两个性质。
一、周期性1. 正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)的周期性：正弦函数sin(x)和余弦函数cos(x)都是周期函数，它们的周期都为2π。
也就是说，对于任意实数x，有sin(x+2π) = sin(x)，cos(x+2π) =cos(x)。
这意味着当自变量x增加2π或减少2π时，函数值不变，即函数呈现出周期性的变化规律。
这样的周期性特点使得正弦函数和余弦函数在很多问题中具有重要的意义。
2. 正切函数tan(x)的周期性：正切函数tan(x)也是一个周期函数，它的周期为π。
也就是说，对于任意实数x，有tan(x+π) = tan(x)。
这意味着当自变量x增加π或减少π时，函数值保持不变。
需要注意的是，正切函数在一些特殊点（如π/2，3π/2等）处不定义，因为在这些点上正切函数的值会趋于无穷大，即函数的图像会有垂直渐进线。
二、奇偶性1. 正弦函数sin(x)的奇偶性：正弦函数sin(x)是一个奇函数，它的图像关于原点对称。
也就是说，对于任意实数x，有sin(-x) = -sin(x)。
这意味着当自变量x取相反数时，函数值的相反数与原来的函数值相等，即函数的图像关于y轴对称。
2. 余弦函数cos(x)的奇偶性：余弦函数cos(x)是一个偶函数，它的图像关于y轴对称。
也就是说，对于任意实数x，有cos(-x) = cos(x)。
这意味着当自变量x取相反数时，函数值保持不变，即函数的图像关于y轴对称。
3. 正切函数tan(x)的奇偶性：正切函数tan(x)既不是奇函数也不是偶函数，它的图像既没有关于原点的对称性，也没有关于y轴的对称性。
但是，正切函数有一个特殊的奇偶性质，即tan(-x) = -tan(x)。
高中数学：正弦函数、余弦函数的性质(1)—周期性、奇偶性含解析
第11课时 正弦函数、余弦函数的性质(1)——周期性、奇偶性 课时目标1.掌握周期函数概念，会求三角函数周期．2．能判断三角函数的奇偶性． 识记强化1．周期性：(1)对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，则函数y ＝f (x )叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．对于一个周期函数f (x )，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．(2)y ＝sin x ，y ＝cos x 都是周期函数，2k π(k ∈Z ，k ≠0)都是它们的周期，最小正周期是2π.2．y ＝A sin(w x ＋φ)，x ∈R 及y ＝A cos(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A 、ω、φ为常数且A ≠0，ω>0)的周期为T ＝.2πω3．y ＝sin x ，x ∈R 是奇函数，y ＝cos x ，x ∈R 是偶函数；sin(－x )＝－sin x ，cos(－x )＝cos x .4．反映在图象上，正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于y 轴对称． 课时作业一、选择题1．下列说法中正确的是( )A ．当x ＝时，sin≠sin x ，所以不是f (x )＝sin x 的周期π2(x ＋π6)π6B ．当x ＝时，sin＝sin x ，所以是f (x )＝sin x 的一个周期5π12(x ＋π6)π6C ．因为sin(π－x )＝sin x ，所以π是y ＝sin x 的一个周期D ．因为cos ＝sin x ，所以是y ＝cos x 的一个周期(π2－x )π2答案：A解析：T 是f (x )的周期，对应f (x )的定义域内任意x 都有f (x ＋T )＝f (x )成立．2．函数y ＝－5cos(3x ＋1)的最小正周期为( )A. B ．3ππ3C. D.2π33π2答案：C解析：该函数的最小正周期T ＝＝.2πω2π33．函数y ＝cos的最小正周期是( )(π4－x 3)A ．πB ．6πC ．4πD ．8π答案：B解析：最小正周期公式T ＝＝＝6π.2π|ω|2π|－13|4．下列函数中，最小正周期为π的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝cos xC ．y ＝sinD ．y ＝cos2xx 2答案：D解析：A 项，y ＝sin x 的最小正周期为2π，故A 项不符合题意；B 项，y ＝cos x 的最小正周期为2π，故B 项不符合题意；C 项，y ＝sin 的最小正周期为T ＝＝4π，故C 项不x 22πω符合题意；D 项，y ＝cos2x 的最小正周期为T ＝＝π，故D 项符合题意．故选D.2πω5．函数f (x )＝x sin ( )(π2－x )A ．是奇函数B ．是非奇非偶函数C ．是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数答案：A解析：由题，得函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称．又f (x )＝x sin ＝x cos x ，∴f (－x )＝(－x )cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．(π2－x )6．已知函数f (x )＝的定义域为R ，则( )cos (sin x )A ．f (x )是奇函数B ．f (x )是偶函数C ．f (x )既是奇函数又是偶函数D ．f (x )既不是奇函数又不是偶函数答案：B解析：∵函数f (x )＝的定义域为R ，关于原点对称，且f (－x )cos (sin x )＝＝＝＝f (x )，∴f (x )＝为偶函数．cos[sin (－x )]cos (－sin x )cos (sin x )cos (sin x )二、填空题7．若f (x )是奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－sin x ，则当x ＜0时，f (x )＝________.答案：－x 2－sin x解析：利用奇函数的定义求解．当x ＜0时，－x ＞0，因f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－sin(－x )]＝－x 2－sin x .8．函数f (x )是以2为周期的函数，且f (2)＝3，则f (6)＝________.答案：3解析：∵函数f (x )是以2为周期的函数，且f (2)＝3，∴f (6)＝f (2×2＋2)＝f (2)＝3.9．已知函数f (x )＝ax ＋b sin x ＋1，若f (20 15)＝7，则f (－2 015)＝________.答案：－5解析：由f (2 015)＝2 015a ＋b sin2 015＋1＝7，得2 015a ＋b sin2 015＝6，∴f (－2 015)＝－2 015a －b sin2 015＋1＝－(2 015a ＋b sin2 015)＋1＝－6＋1＝－5.三、解答题10．已知函数f (x )＝log |sin x |.12(1)求其定义域和值域；(2)判断奇偶性；(3)判断周期性，若是周期函数，求其周期．解：(1)|sin x |>0⇒sin x ≠0，∴x ≠k π(k ∈Z )．∴定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }∵0<|sin x |≤1，∴log |sin x |≥0，12∴函数的值域是{y |y ≥0}．(2)定义域关于原点对称∵f (－x )＝log |sin(－x )|12＝log |sin x |＝f (x )，12∴函数f (x )是偶函数．(3)∵|sin x |在定义域{x |x ≠k π，k ∈Z }内是周期函数，且最小正周期是π，∴函数f (x )＝log |sin x |是周期函数，最小正周期为π.1211．设f (x )＝log 3.1－2sin x1＋2sin x (1)求函数f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )的奇偶性．解：(1)∵>0，1－2sin x1＋2sin x ∴－<sin x <，1212∴k π－<x <k π＋，k ∈Z ，π6π6∴该函数的定义域为.{xk π－π6<x <k π＋π6，k ∈Z }(2)由(1)知定义域关于原点对称，又f (－x )＝log 31＋2sin x 1－2sin x＝log 3－1(1－2sin x1＋2sin x )＝－log 31－2sin x1＋2sin x＝－f (x )，∴该函数为奇函数． 能力提升12．函数f (x )满足f (x ＋2)＝－，则f (x )的最小正周期是________．1f (x )答案：4解析：f (x ＋4)＝－＝f (x )所以函数f (x )的最小正周期是4.1f (x ＋2)13．求函数f (x )＝|sin x |＋|cos x |的最小正周期．解：设f (x )的最小正周期为T ，则有f (x ＋T )＝f (x )，对x ∈R 恒成立．即|sin(x ＋T )|＋|cos(x ＋T )|＝|sin x |＋|cos x |.令x ＝0，得|sin T |＋|cos T |＝1.两边平方，得|sin T |·|cos T |＝0.∴角T 的终边在坐标轴上．∴T ＝(k ∈N ＋)．k π2又f＝|sin |＋|cos |(x ＋π2)(x ＋π2)(x ＋π2)＝|cos x |＋|－sin x |＝|cos x |＋|sin x |＝f (x )，∴f (x )＝|sin x |＋|cos x |的最小正周期为.π2。
高中数学必修一课件：正弦函数、余弦函数的性质(第1课时)
∴函数f(x)＝sin34x＋3π 2 为偶函数．
③f(x)＝
（1－cos2x）＋sin 1＋sin x
x
＝
sin2x＋sin 1＋sin x
x
＝sin
x，但函数应满足1＋sin
x≠
0，∴函数的定义域为{x|x∈R，且x≠2kπ＋32π，k∈Z}．
∵函数的定义域不关于原点对称，
∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．
思考题3 (1)判断下列函数的奇偶性．
①f(x)＝sin
x－tan x
x；
②f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)；
③f(x)＝1－cossi2nx
； x
④f(x)＝ 1－cos x＋ cos x－1.
【答案】 ①偶函数 ②奇函数 ③非奇非偶函数 ④既是奇函数又是偶 函数
(2)函数f(x)＝7sin(23x＋152π)是( A )
(2)若本例(1)中的“偶函数”改为“奇函数”，“π”改为“
11π 12
”，其他
条件不变，结果如何？
【解析】 f5π 3 ＝f5π 3 －111π2 ×2＝f－π6 ＝－fπ6 ＝－sin π6 ＝－12.
(3)若本例(1)中的条件不变，求当x∈[－π，0]时函数的解析式．
【解析】 因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)， 因为x∈0，π2 时，f(x)＝sin x， 所以当x∈－π2 ，0时，－x∈0，π2 ，所以 f(－x)＝sin(－x)＝－sin x＝f(x)， 即当x∈－π2 ，0时，f(x)＝－sin x，
π (2)已知函数f(x)＝ 2sin(x＋ 4 ＋φ)是奇函数，则φ的值可以是( B )
A．0
B．－π4
人教版高一数学必修四第一章正、余弦函数的周期性与奇偶性
第一章 三角函数
y＝cosx
图象
定义域 周期 最小
正周期 奇偶性
R 2kπ(k∈Z 且 k≠0)
_2_π__ _奇__函__数___
R 2kπ(k∈Z 且 k≠0)
_2_π__
_偶__函__数___
栏目 导引
第一章 三角函数
■名师点拨 (1)正、余弦函数的周期性 ①正弦函数和余弦函数所具有的周期性实质上是由终边相同的角 具有的周期性所决定的； ②由诱导公式 sin(x＋2kπ)＝sinx(k∈Z)，cos(x＋2kπ)＝cosx(k∈Z) 也可以说明它们的周期性． (2)关于正、余弦函数的奇偶性 ①正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲 线关于原点 O 对称，余弦曲线关于 y 轴对称； ②正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．
答案：B
栏目 导引
第一章 三角函数
若函数 f(x)是周期为 3 的周期函数，且 f(－1)＝2017，则 f(2)＝ ________． 答案：2017
栏目 导引
第一章 三角函数
正、余弦函数的周期问题
求下列三角函数的最小正周期 T： (1)f(x)＝sinx＋π3； (2)f(x)＝12cos(2x＋π3)； (3)f(x)＝|sinx|.
第一章 三角函数
1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第 1 课时 正、余弦函数的周期性与奇偶性
第一章 三角函数
考点
学习目标
函数的周期性 了解周期函数的概念
正、余数的周 期
正、余弦函 数的奇偶性
理解三角函数的奇偶性以 及对称性，会判断给定函 数的奇偶性
栏目 导引
第一章 三角函数
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
高中数学 弦函数、余弦函数的性质 第1课时 正弦函数、余弦函数的性质(一)课件 新人教A版必修第一册
[归纳提升] 求三角函数周期的方法 (1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对定义域内的任意实数 x 都 满足 f(x＋T)＝f(x)的非零常数 T.该方法主要适用于抽象函数． (2)公式法：对形如 y＝Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)(其中 A，ω，φ 是常数，且 A≠0，ω≠0)，可利用 T＝|2ωπ|来求． (3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别 是对于含绝对值的函数一般可采用此法．
4．若函数f(x)满足f(x＋3)－f(x)＝0，则函数f(x)是周期为__3_的周期 函数．
知识点 2 正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性
函数 周期 最小正周期 奇偶性
y＝sin x 2kπ(k∈Z且k≠0)
2π 奇函数
y＝cos x 2kπ(k∈Z且k≠0)
2π 偶函数
想一想：(1)正弦曲线对称吗？ (2)余弦曲线对称吗？ 提示：(1)正弦函数y＝sin x是奇函数，正弦曲线关于原点对称． (2)余弦函数y＝cos x是偶函数，余弦曲线关于y轴对称．
【对点练习】❶ 求下列函数的最小正周期： (1)y＝sin3x＋π3； (2)y＝|sin x|； (3)y＝sin2πx－π4.
[解析] (1)∵ω＝3，T＝23π. (2)作图如下：
观察图象可知最小正周期为 π. (3)∵ω＝2π，∴T＝22π＝π2.
π
题型二
三角函数奇偶性的判断
典例2 判断下列函数的奇偶性：
∴f－π3＝fπ3＝sinπ3＝
3 2.
[归纳提升] 1．解答此类题目的关键是利用化归的思想，借助于周 期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解即可．
2．如果一个函数是周期函数，若要研究该函数的有关性质，结合 周期函数的定义可知，完全可以只研究该函数在一个周期上的特征，加 以推广便可以得到该函数在其他区域内的有关性质．
第5章三角函数5.4三角函数的图象与性质5.4.2第1课时周期性与奇偶性
易混点)
情景 导学 探新 知
丹麦这个处在安徒生童话中的国家，如同安徒生的童话描写一般， 有很大的风，也有很多的风，自然也有很多很大的风车，而现在丹麦又 有了世界上最大的风力发电机组，这个维斯塔斯和三菱合作的大风车 V164－8.0 MW，全部高度有 220 米，风车风轮的直径也达到了世界最 大的风力发电机组 164 米，扫掠面积 21 000 平米，在风速 11 米/秒时， 转速在 4.8～12.1 rpm 之间，电力输出可达到每小时最大 8 百万瓦，这 个风力发电组的电能能满足 7 500 个家庭的电力需求．
__偶__函__数___
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若sin23π＋π6＝sinπ6，则23π是函数y＝sin x的一个周期．(
)
(2)所有的周期函数都有最小正周期．
()
(3)函数y＝ sin x是奇函数．
()
[提示] (1)×.因为对任意x，sin23π＋x与sin x并不一定相等． (2)×.不是所有的函数都有最小正周期，如函数f(x)＝5是周期函 数，就不存在最小正周期． (3)×.函数y＝ sin x 的定义域为{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，不 关于原点对称，故非奇非偶．
(3)要使y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ＝kπ＋π2(k∈Z)； (4)要使y＝Acos(ωx＋φ)(Aω≠0)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)．
课堂 小结 提素 养
1．掌握2个知识点——周期性、奇偶性 (1)“f(x＋T)＝f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一 个值都成立，T是非零常数，周期T是使函数值重复出现的自变量x的 增加值，周期函数的图象每隔一个周期重复一次． (2)在数轴上，定义域关于原点对称，是函数具有奇偶性的一个 必要条件．因此，确定函数的奇偶性，先要考查其定义域是否关于 原点对称．若是，再判断f(－x)与f(x)的关系；若不是，则该函数既 不是奇函数，也不是偶函数．
4.4.2正弦函数余弦函数的性质(1)周期性与奇偶性
正弦函数余弦函数的性质第一课时周期性与奇偶性【课程标准】学会利用三角函数图象，理解和掌握正弦函数、余弦函数的周期性与单调性.【学习目标】1.了解周期函数、周期、最小正周期的意义.2.会求常见三角函数的的周期.3.通过图象直观理解奇偶性，并能正确确定相应的对称轴和对称中心．【自主学习】一、设计问题，创设情境问题1：函数的周期性(1)一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且，那么函数f(x)就叫做周期函数．叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期．问题2：正弦、余弦函数的周期性正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cos x(x∈R)都是周期函数，2kπ(k∈Z，且k≠0)都是它们的周期．最小正周期为.二、学生探索、尝试解决问题3：正弦、余弦函数的奇偶性正弦函数是，余弦函数是．问题4：三角函数的周期问题例1 求下列函数的周期：(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4； (2)y ＝|sin x |.变式训练 利用周期函数的定义求下列函数的周期．(1)y ＝cos x 2，x ∈R ； (2)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫13x －π4，x ∈R .问题5：三角函数的奇偶性例2 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝sin x cos x ；(2)f (x )＝cos x 1－sin x； (3)f (x )＝1－cos x ＋cos x －1.三、运用规律，解决问题下列函数中周期为π2，且为偶函数的是( ) A ．y ＝sin 4xB ．y ＝cos 14xC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π2 D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫14x －π2四、变练演练，深化提高问题6.三角函数的奇偶性与周期性的综合应用例3 定义在R 上的函数f (x )既是偶函数，又是周期函数，若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈⎣⎡⎭⎫0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫5π3等于( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.32五、信息交流，教学相长判断函数奇偶性应把握好的两个方面：当堂检测1．下列函数中，周期为π2的是( ) A ．y ＝sin xB ．y ＝sin 2xC ．y ＝cos x 2D ．y ＝cos 4x2．函数f (x )＝sin(－x )的奇偶性是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx －π2－1，则下列命题正确的是( ) A ．f (x )是周期为1的奇函数B ．f (x )是周期为2的偶函数C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数4．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫πx 2－π4，x ∈R 的最小正周期为________．5．若函数y ＝f (x )是定义在R 上的周期为3的奇函数且f (1)＝3，则f (5)＝________.课堂小结分层作业必做 课时分层作业（42）A,B 组选做 C 组。
《周期性、奇偶性》三角函数精美版课件
3
3π
(2)f(x)=sin 4 + 2 ;
1+sin-cos2
(3)f(x)=
.
1+sin
分析:求定义域→判断定义域是否关于原点对称→看f(-x)与f(x)的
关系→确定奇偶性
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
解:(1)函数f(x)=|sin x|+cos x的定义域为R.
提示:正弦函数是周期函数,最小正周期是2π;余弦函数也是周期
函数,最小正周期也是2π.
2.填空
(1)正弦函数y=sin x是周期函数,2kπ(k∈Z,且k≠0)都是它的周期,
最小正周期是2π.
(2)余弦函数y=cos x是周期函数,2kπ(k∈Z,且k≠0)都是它的周期,
最小正周期是2π.
3.对于函数 f(x)=sin 2 +
(1)定义法,即从f(-x)的解析式中拼凑出f(x)的解析式,再看f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否成立.
∵f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sin x|+cos x=f(x),∴函数f(x)是偶函数.
(1)函数y=sin 2x的奇偶性为(
)
(2)若函数f(x)的最小正周期是4,则必有f(x+8)
1
3
+ 2π-
π
4
=sin
的周期为 6π.
(4)y=|cos x|的图象如图(实线部分)所示,
由图象可知,y=|cos x|的周期为 π.
1 π
3
4
5.4.2正弦函数余弦函数的性质(第1课时)优秀公开课课件-2021-2022学年高一上学期数学人教
(1) y＝sinx(x∈R) y
1
- 6p
- 4p
- 2p
o
-1
(2) y＝cosx (x∈R)
y
2p 4p
x 6p
- 6p - 4p
1
- 2p -1 o
2p 4p
x 6p
点拨精讲（22分钟）
1、周期性 从图象中可以看出正余弦函数具有“周而复始”的变化 规律，这一点变化从诱导公式一也可以看出
sin(x + 2kπ) = sin x(k ∈ Z ) cos(x + 2kπ) = cos x(k ∈ Z )
26
解：（1）x R, 有3sin(x 2p ) 3sin x.
所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为 2p.
（2）令z 2x,由x R得z R, 且y cos z的周期为2p，即cos(z 2p ) cos z,
于是cos(2x 2p ) cos 2x, 所以cos 2(x p ) cos 2x, x R.
2
y=
f
(x) = cos(2x + 3π) = cos(2x + π +
π )
2
2
= -cos(2x + π) = sin 2x 2
又f (-x) = sin(-2x) = -sin2x = - f (x)
则函数为奇函数
又当t kπ, k Z为y cos t的对称轴
即2x 3π kπ得x 1 kπ- 3π , k Z
p 所以由周期函数的定义可知，原函数的周期为 . （3）令z 1 x - p ,由x R得z R, 且y 2 sin z的周期为2p， 26 即2 sin（z+2p）=2 sin z
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正、余弦函数的性质
1.定义域
2.值域
（最值与零点）
3.周期性 4.单调性 5.奇偶性 6.对称性
周期性奇偶性
定义 1.一般地，对于函数f(x),如果存在一个非零的常数T，使得当 x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x) 就叫做周期函数。非零常数T叫做这个函数的周期 2.对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最 小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期。
-1
x
正弦函数和余弦函数周期是什么?最小正周期是什么?
余弦曲线：
y cos x
xR
y
1
-1
x
说明：我们现在谈到三角函数周期时，如果不加特别说 明，一般都是指的最小正周期。
sin( ) sin , 可以说 是y sin x的一个周期吗? 4 2 4 2 但是 sin( ) sin . 3 2 3
正弦曲线：
y sin x
xR
y
1
x
2.图象法:
练习 1：求下列函数的周期 练习 3 1 . y sin x 4 1 2 . y cos 4 x 2 2 1 x 3 . y cos 2 可以判断本页所有函数的奇偶性吗? 4 . y sin x
5. y sin x cos x 6 . y sin x cos x 7 . y sin x sin x
y sin x cos x y sin x cos x y sin x cos x
结论
1.函数的周期性： (1)若 f ( x a) f ( x) ，则函数 y f ( x) 的周期为 a (2)若 f ( x a) f ( x) ,则函数 y f ( x) 为周期为 2a 的周期函数. (3)满足下列条件之一，则函数 f x 的周期为 2 a ① f x a f x ③ f x a f x a ④ f x a
1 ② f x a f x
f x 1 f x 1
⑤ f x a
1 f x
1 f x
练习
1.奇函数f x 满足f x f x , 若f 3
1 2 2.函数f x 对任意x满足条件f x 2 , f x 1 若f 1 5, 则f f 5 _______. 5 3.已知定义在R上的奇函数f x 满足f x 2 =-f x ,
则f 6 的值为( A.-1B.0C.1D.2 B)
பைடு நூலகம்
1 , 求f . 1 3 2
4.设函数f x x R 是以3为周期的奇函数,且f 1 >1, f 2 =a,则(D ) A.a>2B.a<-2C.a>1D.a<-1
例1：求下列函数的周期(你有多少种不同的方法) 例题
(1) y 3 cos x, x R
(2) y sin 2 x, x R
1 (3) y 2 sin( x ) 2 6
周期求法：
1.定义法 公式法
一般地，函数 y=Asin(ωx+φ) 及=Acos(ωx+φ) （其中A ,ω,φ为常数，且 A≠0, ω≠0 ）的周期是: 2 T ( 0) x sin x 思考 : y 是周期函数吗?