《连续体力学》习题及解答2分析

2 二阶张量及其若干运算法则(一) 概念、理论和公式提要2-1 张量的乘法① 张量的外乘(并乘) 张量的外乘用⊗表示，其外积为张量，其阶数等于外乘诸张量阶数之和。

② 张量的内乘(点乘) 张量的点乘用“·”表示(有时也可省去“·”)，其内积为张量，其阶数为内乘诸张量阶数之和减去2倍内乘的次数。

③ 张量的双点乘记作“∶”(两次点乘)，例如B A∶；其积为张量，其阶数为诸张量阶数之和减2倍点乘次数。

设)(CT )(CT )(CT p n m 为，为，为C B A ，则)42(CT ⨯-++=p n m 为，∶∶D D C B A (2-1-1) 取)2(CT 244为，则，，D ===p n m ，其分量为rp mnrp ijmn ij C B A D = (2-1-2)其中A 分量的后两个指标与B 分量的前两个指标，B 分量的后两个指标与C 分量的前两个指标依次相同。

④ 二阶张量ij ij T T =T T T T ∶，定义为的范数记为为正方根，且有时才取等号只当，o T T =≥0 (2-1-3) 的绝对值为标量，ααααT T = (2-1-4) R T R T +≤+ (2-1-5) R T R T ⋅≤∶ (2-1-6) a T a T ≤⋅ (2-1-7)R a a 的模，为矢量亦为二阶张量。

⑤ 设C B A B A 次缩拼为张量外积的和，则和分是是和s t r )(CT )(CT ，记为C B A =⊗s C)2(s t r -+为C 阶张量，其分量关系为mn k k k k k k ij mn ij s s B A C 2121= (2-1-8)反之，如果已知C B 和为张量，其分量与带指标的量 ij A 满足上式，则 ij A 为张量A 的分量，称为商法则或张量识别定理。

A 的阶数等于s 2的阶数加C ，减去B 的阶数。

特别地当B ，t s =的分量的全部指标都是哑标时，则A 的阶数等于B 和C 的阶数之和。

在笛卡尔坐标生系内，有j ij i x x δ= (2-1-9)式中j i x x 和是点的位矢的分量，都是一阶张量，且j 是哑标，根据张量识别定理，ij δ是二阶张量的分量，这个二阶张量称为二阶单位张量，记作I ；其分量式为332211e e e e e e e e e e I ⊗+⊗+⊗=⊗=⊗=i i j i ij δ (2-1-10)I 的分量矩阵为单位矩阵。

矢量b a 和的叉积为i i i k j ijk c b a e e e b a ==⨯ (2-1-11)即k j ijk i b a e c = (2-1-12)已知二阶张量k j j i j i b a b a ，所以上式中e e b a ⊗=⨯是二阶张量的分量；按张量识别定理，∈为置换张量，记作是三阶张量的分量，称ijk e ：k j i ijk e e e e ⊗⊗∈= (2-1-13)2-2 张量的代数运算法则可以将矩阵的某些代数运算法则移用到二阶张量和矢量的运算。

以下设a a T T T 为矢量的分量矩阵，为，且记}{][)2(为CT 的列阵。

① 记T T 为T 的转置，则有ji T ij TT T T ==][][T T (2-2-1)② 记T T 为det 的行列式，则有 T T T T det ]det[det == (2-2-2)设)2(CT 都是和B A ，则))(det (det )det()det(B A A B B A =⋅=⋅ (2-2-3)③ 设)()('''j i j i ij ij T T e e e e 和和分别是相对于基和⊗的分量，则有T ij ij L T L T ]][][[]['=其中1)]det[(2=L ，于是由上式可得]det[]det['ij ij T T = (2-2-4)上式表明，张量T 的行列式是坐标不变性的，称为张量T 的三次主不变量。

当为正则张量时，称T T 0det ≠。

④ 记T T 为张量tr 的迹，则有T T T T tr ]tr[tr == (2-2-5)以及T T B A B A A B B A ∶∶==⋅=⋅)tr()tr( (2-2-6))tr()tr()tr(A C B B A C C B A ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅ (2-2-7)于是又有][tr )]][][([tr ]tr['ij T ij ij T L T L T == (2-2-8)上式表明，张量T 的迹是坐标系不变性的，称为张量T 的一次主不变量。

⑤ 记I T T T T T =⋅---111)(的逆，且有为张量或及11][][--=T T (2-2-9) 当张量存在逆时，称张量为可逆的；张量可逆的条件是张量为正则的。

对于正则张量o a o a T T ==⋅，则，如果。

⑥ 记2T T T =⋅，则有22][][T T = (2-2-10)以及n n 共T T T T ⋅=个相乘，则为正整数，n n n ][][T T = (2-2-11)⑦ 设为矢量，b b a T =⋅，则有}{}]{[b a T = (2-2-12)⑧ 设}'{}{][}'{][}{b a T b T a b T a ===⋅T T 或者，则有，后一式对应于'b a T =⋅T 。

由此可得T T T a a T a T T a ⋅=⋅⋅=⋅及 (2-2-13)于是b B A a b B a A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅T )()( (2-2-14)2-3 二阶张量的特征值和特征矢(1) 二阶张量是仿射量，它将一个矢量线性变换为另一个矢量(映象)；一般地原矢量与其映象的方向和大小(模)都不相同。

但是，对于任意二阶张量v T 存在特殊的矢量使得v v T λ=⋅ (2-3-1)与映象方，为待求标量。

上式表明v λ位相同。

满足上式的矢量T v 称为张量的特征矢，T 则称为λ的特征值。

式(2-3-1)可写成o v I T =-)(λ (2-3-2)I 为二阶单位张量。

上式的分量式(相对于给定的基)为3210)(，，，，==-j i v T j ij ij δλ (2-3-3)式(2-3-2)或(2-3-3)存在非零解)(o v ≠的条件是系数行列式等于零0)det(=-I T λ (2-3-4)或0=-ij ij T λδ (2-3-5)上式的展示式为0)()()(32213=-+-T T T I I I λλλ (2-3-6)上式称为张量T 的特征方程；其中⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=-==T T T T T T T det )(]tr )tr [(21)(tr )(32221I I I (2-3-7) )(2T I 又可写成分量式)()(2112133132231133332222112T T T T T T T T T T T T I ++-++=T (2-3-8)前已说明，T T tr det 和都是坐标系不变性的量，因此)()()(321T T T I I I 和、都是坐标系不变性的量，分别称为张量T 的一次、二次和三次主不变量。

由此可见，特征方程(式2-3-6)的3个根也都是坐标系不变性的，记这3个根为i λ，321，，=i ，它们是二阶张量T 的特征值。

已求出i λ，将它们依次代入式(2-3-3)，结合1)(=i v ，可以求出3个对应的特征矢321)(，，，=i i v 。

显然，二阶张量的特征矢是坐标系不变性的。

当取v v ，则1=称为特征方向。

张量的幂n n λ征值为的特征方向相同，但特与T T为正整数，n v v T v n λ=⋅ (2-3-9)如果T 是正则的，则n 可以是任意整数。

2-4 特殊张量(1) 对称张量 设T T T ，称T =为对称张量。

对称张量总有3个实的特征值和3个实的特征方向，常分别称为张量的主值和主方向或主轴。

当三个主值不相等时，三个主方向相互正交；当其中两个主值相等时，在与之对应的主轴所在平面内的任何方向都是主方向；当三个主值都相等时，则任何方向都是主方向。

因此，在任何情况下，对于对称张量总可选取三个相互正交的主轴作局部坐标系的基)()(i v ，相对于这个局部基，二阶张量的分量式为)3()3(3)2()2(2)1()1(1)()(v v v v v v v v T ⊗+⊗+⊗=⊗=λλλλi i i (2-4-1)或)()()()(j i ij j i ij i T v v v v T ⊗=⊗=δλ (2-4-2)指标下加一横线表示该指标不是哑标，但随哑标取值。

式(2-4-1)或(2-4-2)称为T 的谱表示。

显然，相对于主轴基)()(i v 的分量矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321000000][λλλT (2-4-3)T 的主不变量可表示为⎪⎭⎪⎬⎫=++=++=321313322123211)()()(λλλλλλλλλλλλT T T I I I (2-4-4)当21λλ=时，式(2-4-1)变为)3()3(131)(v v I T ⊗-+=λλλ (2-4-5)当321λλλ==时，上式进一步简化为I T 1λ= (2-4-6)具有上列形式的二阶张量称为球张量。

根据式(2-3-9)，可以写出)3()3(23)2()2(22)1()1(21)()(22v v v v v v v v T ⊗+⊗+⊗=⊗=λλλλi i i (2-4-7) )3()3(3)2()2(2)1()1(1)()(v vv v v v v v T ⊗+⊗+⊗=⊗=n n n i i n i n λλλλ (2-4-8) 对于对称张量a T 及任意非零矢量，如果 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≥>=⋅⋅)12-4-2(0)11-4-2(010)-4-(209)-4-(20为半负定的称，为负定的称，为半正定的称，为正定的称，T T T T a T a j i ij a a T对任意二阶张量B ，有 0)()(≥⋅⋅⋅=⋅⋅⋅a B B a a B a B T (2-4-13)0)()(≥⋅⋅⋅=⋅⋅a B B a a B a B T T T (2-4-14)此处T T B B B B ⋅⋅和都是对称张量，按式(2-4-10)，它们都是半正定的。

如果B 是正则的，则当T T B B B B o a o a B ⋅⋅==⋅和。

这时时,是正定张量。

根据T 的谱表示，有233222211a a a λλλ++=⋅⋅a T a)()(i i a v a 在基为非零矢量上的分量。

于是根据式(2-4-9)~(2-4-12)，可得⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫≤≥=<=>是半负定的时，，其中至少有一个为零当是半正定的时，，其中至少有一个为零当是负定的时，，，当是正定的时，，，当T T T T 00)321(0)321(0i i i i i i λλλλ (2-4-15) )3()3(213)2()2(212)1()1(211)()(2121v v v v vv v v T ⊗+⊗+⊗=⊗=λλλλi i i (2-4-16) 如果11--T T T 。