相似三角形性质与判定复习
第12讲相似三角形的判定复习课件(共46张PPT)
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4．如图4－12－5，AB是半圆O的直径， D，E是半圆上任意两点，连结AD，DE，AE 与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD类似， 可以添加一个条件．下列添加的条件其中错误
的是 A．∠ACD＝∠DAB B．AD＝DE C．AD2＝BD·CD D．AD·AB＝AC·BD
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第四章 类似三角形
第12讲 类似三角形的判定
全效优等生
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部分数学符号的来历 数学运算中经常使用符号，如＋，－，×，÷，＝，＞， ＜，∽，≌，()， 等，你知道它们都是谁首先使用，何时 被人们公认的吗？ 加减号“＋”“－”：1489 年德国数学家魏德曼在他的著 作中首先使用了这两个符号，但正式为大家公认是从 1514 年荷 兰数学家荷伊克开始．乘号“×”：英国数学家奥屈特于 1631 年提出用“×”表示相乘；另一乘号“·”是数学家赫锐奥特首 创的．除号“÷”：最初这个符号是作为减号在欧洲大陆流行， 奥屈特用“∶”表示除或比，也有人用分数线表示比，后来有 人把二者结合起来就变成了“÷”．瑞士的数学家拉哈的著作中 正式把“÷”作为除号．等号“＝”：最初是 1540 年由英国牛
D.147
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【解析】 ∵∠C＝∠E，∠ADC＝∠BDE， ∴△ADC∽△BDE，∴DDEC＝ABDD， 又∵AD∶DE＝3∶5，AE＝8， ∴AD＝3，DE＝5， ∵BD＝4，∴D5C＝34，∴DC＝145.
∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，
又∵BE是∠ABC的平分线， ∴FG＝FC，
例2答图
相似三角形性质和判定复习
相似三角形复习【知识要点】1、相似三角形的定义三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形． 2、相似三角形的判定方法1.两个三角形相似，一般说来必须具备下列六种图形之一：2. 两个角对应相等的两个三角形__________．3. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似．4. 三边对应成比例的两个三角形___________．性质：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧比的平方、对应面积比等于相似比、对应周长比等于相似、对应边成比例、对应角相等4321判定：⎪⎩⎪⎨⎧、三边对应成比例夹角相等、两边对应成比例，且、两角对应相等3211.相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比。
当相似比等于1时，这两个三角形不仅形状相同，而且大小也 相同，这样的三角形我们就称为全等三角形。
全等三角形是相似三角形的特例。
2. 相似三角形的判定：①两角对应相等，两三角形相似。
②两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似。
③三边对应成比例，两三角形相似。
3. 相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等。
②相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例。
③相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
FEC【典型例题】1、如图在4×4的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在长为1的小正方形顶点上． （1）填空：∠ABC=______，BC=_______． （2）判定△ABC 与△DEF 是否相似？2、如图所示，D 、E 两点分别在△ABC 两条边上，且DE 与BC 不平行，请填上一个你认为适合的条件_________，使得△ADE ∽△ABC ．并证明3、如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 边上，DE=DF ，∠EDF =∠A ．（1）求证：BCABEF DE =．(2)证明：BDE ∆与EFC ∆相似。
4、已知，如图，CD 是Rt ABC ∆斜边上的中线，DE AB ⊥交BC 于F ，交AC 的延长线于E ， 说明：⑴ ADE ∆∽FDB ∆； ⑵DF DE CD ∙=2．5、已知：如图，□AB C D 中E 为AD 的中点，AF ：AB =1：6，EF 与AC 交于M 。
相似三角形复习课件
相似三角形的面积比等于其相似比的平方，即S1:S2=(a1:a2)^2。
相似三角形的判定条件
定义法
根据相似三角形的定义，如果两个三 角形的对应角相等，对应边成比例， 则这两个三角形相似。
SAS判定
如果两个三角形有两个角相等，且这 两个角所对的边成比例，则这两个三 角形相似。
平行线法
在数学竞赛的最优化问题中，可以 利用相似三角形来找到最优解。
04
相似三角形的变式与拓展
相似三角形的特殊情况
等腰三角形
等腰三角形两腰之间的角相等，可以 利用这一性质来证明两个三角形相似 。
直角三角形
等边三角形
等边三角形的三个角都相等，因此任 意两个等边三角形都是相似的。
直角三角形中，如果一个锐角相等， 则两个三角形相似。
详细描述
如果一个三角形的两个对应角和一个对应边与另一个三角形的对应角和对应边 相等，则这两个三角形相似。
边角判定
总结词
通过比较一个三角形的对应边和一个角的度数与另一个三角 形的对应边和角的度数是否相等来判断三角形是否相似。
详细描述
如果一个三角形的三组对应边和一个对应角与另一个三角形 的三组对应边和对应角相等，则这两个三角形相似。
如果两个三角形分别位于两条平行线 之间，且一个三角形的顶点与另一个 三角形的对应顶点连线与平行线垂直 ，则这两个三角形相似。
ASA判定
如果两个三角形有两个角相等，且其 中一个角的对边成比例，则这两个三 角形相似。
02
相似三角形的判定方法
角角判定
总结词
通过比较两个三角形的对应角是 否相等来判断三角形是否相似。
03
相似三角形的应用
在几何图形中的应用
相似三角形的判定与性质
相似三角形的判定与性质一、知识回顾1、相似三角形的判定：（1）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
（2）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
2、相似三角形的性质（1）对应边的比相等，对应角相等。
（2）相似三角形的周长比等于相似比。
（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方。
（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比。
二、典型例题例 1：如图，已知直线 AB： y=4/3 x+b 交 x 轴于点 A（ -3 ， 0），交 y 轴于点 B，过点 B 作BC⊥AB 交 x 轴于点 C．（1）试证明：△ ABC∽△ AOB；（ 2）求△ ABC 的周长．例 2：如图，一次函数y=kx+b 的图象经过点A（ -1 ，0）和点（ 1，4）交 y 轴于点 B．（ 1）求一次函数解析式和 B 点坐标．（ 2）过 B 点的另一直线 1 与直线 AB垂直，且交X轴正半轴于点P，求点 P 的坐标．（3）点 M（ 0，a）为 y 轴正半轴上的动点，点N（ b，O）为 X 轴正半轴上的动点，当直线MN⊥直线 AB时，求 a： b 的值．例 3：（ 2000·陕西）如图，在矩形ABCD 中， EF 是 BD 的垂直平分线，已知 BD=20， EF=15，求矩形 ABCD 的周长．例 4：（ 2010·攀枝花）如图所示，在△ ABC 中， BC ＞ AC ，点 D 在 BC 上，且 DC=AC ，∠ ACB 的平分线 CF 交 AD 于点 F ．点 E 是 AB 的中点，连接 EF ．（ 1）求证： EF ∥BC ；（ 2）若△ ABD 的面积是 6，求四边形 BDFE 的面积．例题(1) 两个相似三角形的面积比为 s 1 : s 2 ，与它们对应高之比h 1 : h 2 之间的关系为 _______(2) 如图，已知 D E ∥ BC ， CD 和 BE 相交于 O ，若 SABC:SCOB9 :16 ，则 AD:DB=_________AABADD ’DEODEEFFGA A ’CC ’OCB B ’BCDBC(2)题图(3) 题图(4) 题图(5) 题图(3)如图，已知 AB ∥CD,BO:OC=1:4, 点 E、 F 分别是 OC， OD的中点，则 EF:AB 的值为(4) 如图，已知DE∥FG∥ BC,且 AD:FD:FB=1:2:3, 则S ABC: S四边形DFGE: S四边形FBCG()A.1:9:36B.1:4:9C.1:8:27D.1:8:36(5)如图，把正方形 ABCD 沿着对角线 AC 的方向移动到正方形 A’B ’C’D ’的位置，它们的重叠部分的面积是原正方形面积的一半，若AC= 2 ,则正方形移动的距离 AA ’是(6) 梯形 ABCD中， AD∥BC，（ AD<BC）， AC、 BD交于点 O,若S OAB6S ABCD,则△AOD与△BOC的周长25之比为 __________ 。
相似三角形的性质与判定复习
复习课
1.复习引入
（1）判定三角形相似的方法？ （2）相似三角形的性质有哪些？ 相似三角形对应角相等，对应边成比例； 相似三角形对应高的比、对应中线的比、 对应角平分线的比都等于相似比; 相似三角形周长比等于相似比; 相似三角形的面积比等于相似比的平方.
2. 例题分析பைடு நூலகம்
例题1 如图，在RT⊿ABC中，∠ACB=90°， E是BC延长线上的一点，EF⊥BC与F，∠CGB=∠A， 求证：（1）⊿BGC∽⊿BEG；
AB=CD，BD⊥CD，过点 A 作 AE⊥BD,垂足为点 E. （1）求证： AD DE CB BD ( 2) 如果 BD 平分∠ABC，求证：AE= 1 CD 2
A D
E B C
3.练习巩固
（1）已知，如图，矩形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交 于点 O，OF⊥BD 于点 O，交 CD 于点 E,交 BC 的延长线
A E B P C D
（3）如图，在⊿ABC中，AB=AC，点D在 CB的 延长线上，BD=BC，BE⊥DC交AD于点E. 求证： （1）⊿CBF∽⊿DCA；（2）AF=BF.
A E F
D
B
C
4.课堂小结
5.作业布置
OF 于点 F. 求证： AO2 OE
A O E B C F D
（1）已知，如图，矩形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交 于点 O，OF⊥BD 于点 O，交 CD 于点 E,交 BC 的延长线
OF 于点 F. 求证： AO2 OE
（2）在矩形 ABCD 中，AB= 3 ，AD= 6 ，P 是 BC 的 中点，AP 和 BD 相交于点 E. 求证：AP⊥BD
E
（2）CG· BE=EG· BG
中考复习相似三角形的性质与判定
中考复习相似三角形的性质与判定相似三角形是中考数学中的重要内容之一。
在几何学中，相似三角形是指具有相同形状但尺寸不同的两个或多个三角形。
掌握相似三角形的性质与判定方法对于解题有着重要的作用。
本文将详细介绍中考复习相似三角形的性质与判定方法，帮助同学们更好地应对考试。
一、相似三角形的性质1. 对应角相等性质：如果两个三角形的对应角分别相等，则这两个三角形是相似的。
即如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，则△ABC∽△DEF。
2. 对应边成比例性质：如果两个三角形的对应边的比值相等，则这两个三角形是相似的。
即如果AB/DE=BC/EF=AC/DF，则△ABC∽△DEF。
3. 角平分线定理：如果一条直线分别平分两个三角形的一个内角，并且与该角的两条边相交，则这两个三角形是相似的。
4. 比例线段定理：在一个三角形中，如果一条直线把两边分成相等比例的线段，则这条直线平行于第三边，并且与其他两边成相似比例。
二、相似三角形的判定方法1. 对应角相等判定：当两个三角形的对应角相等时，可以判定这两个三角形是相似的。
2. 三边成比例判定：当两个三角形的三边的比值相等时，可以判定这两个三角形是相似的。
3. 一个角与两边成比例判定：当一个角与另一三角形的两边成比例时，可以判定这两个三角形是相似的。
为了方便判定，通常角与两边的比例用字母表示，例如如果∠A:∠D=AB:DE=AC:DF，可以判定△ABC∽△DEF。
三、相似三角形的应用1. 比较边长：利用相似三角形的性质，可以通过已知三角形的边长比例，求解未知三角形的边长。
2. 测量高度：通过观察两个相似三角形的边长比例，可以测量难以到达的高度，例如房屋或者某一地标的高度。
3. 解决实际问题：相似三角形在实际问题中有着广泛的应用，例如通过测量手机的高度与距离，可以计算出高楼的实际高度。
总结：相似三角形的性质与判定方法是中考数学中的重要知识点，对于解决与比例相关的数学题目有着重要的作用。
相似三角形的性质及判定知识点总结经典题型总结
一、相似的有关概念1．相似形具有一样形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状一样，大小不一定一样．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．二、相似三角形的概念1．相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于〞．中考要求知识点睛相似三角形的性质及判定2．相似比相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形〞一定是“相似形〞，“相似形〞不一定是“全等形〞．三、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等如图，ABC △与A B C '''△相似，那么有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，．2．相似三角形的对应边成比例ABC △与A B C '''△相似，那么有AB BC ACk A B B C A C===''''''〔k 为相似比〕．3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，那么有AB BC AC AMk A B B C A C A M ====''''''''〔k 为相似比〕．图1如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，那么有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''〔k 为相似比〕．A 'B 'C 'CBAA 'B 'C 'CB AM 'MA 'B 'C 'C BA图2如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，那么有AB BC AC AD k A B B C A C A D ====''''''''〔k 为相似比〕．图34．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，那么有AB BC ACk A B B C A C ===''''''〔k 为相似比〕．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C++====''''''''''''++． 图45．相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图5，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，那么有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''〔k 为相似比〕．进而可得21212ABCA B C BC AHS BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．图5H 'H AB C C 'B 'A'D 'D A 'B C 'C BAA 'B 'C 'CB AH 'H AB C C 'B 'A '四、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边〔或两边的延长线〕相交，所构成的三角形与原三角形相似．2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似． 3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似． 5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似〔常用但要证明〕 7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法〞． 1．横向定型法欲证AB BC BEBF=，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB 和BC ，三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；分母的两条线段是BE 和BF ，三个字母B E F ，，恰为BEF △的三个顶点．因此只需证ABC EBF △∽△． 2．纵向定型法欲证AB DE BCEF=，纵向观察，比例式左边的比AB 和BC 中的三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；右边的比两条线段是DE 和EF 中的三个字母D E F ，，恰为DEF △的三个顶点．因此只需证ABC DEF △∽△． 3．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有一样点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进展变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。
§27.5 相似三角形的性质
相似三角形性质定理二
相似三角形周长的比等于相似比
C C'
A' A B 符号表示 ∵ ΔABC∽ΔA'B'C' ，AC : A'C'=k ∴ lΔABC : l ΔA'B'C' =k
B'
相似三角形性质定理三
如图：ΔABC∽ΔA'B'C'，相似比是k
C
C' A D B
∟ ∟
A'
D' B'
ΔABC和ΔA'B'C'的面积有怎样的关系？
复习：相似三角形定义
相似三角形定义：我们把对应角相等、对应 边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
A
在ΔABC和ΔA'B'C'中 ∵∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'
AB BC CA = = A'B' B'C' C'A'
B
C A'
∴ΔABC∽ΔA'B'C'
B' C' 注：相似三角形的定义即是性质，又可以作为 三角形相似的一种判定方法。
A
S B
R
P DQ C
例题
例5、△ABC中，AC=2AB，AD是∠BAC的 平分线，过D分别作AC，AB的平行线交 AB、AC于点E、F。 FE与BC的延长线交
于点G。求证：EF=EG。
A G E B D F C
C1 D1 D2 C2 A2 B2
A1
B1
1）周长：他们的周长比是k 2）面积：连接相应的对角线A1C1，A2C2， △A1B1C1∽ △A2B2C2 △A1C1D1∽△A2C2D2
相似三角形复习(较全)
相似三角形知识点汇总【知识要点】1. 比例线段的有关概念： 在比例式：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b cda b c d a d b c a c ==()b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。
把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2=AB ²BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。
2. 比例性质： ①基本性质：a b c dad bc =⇔= ②合比性质：±±a b c d a b b c dd =⇒= ③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n ab===+++⇒++++++=()03. 平行线分线段成比例定理：①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。
则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF=== ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
二、有关知识点：1.相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。
2.相似三角形的表示方法：用符号“∽”表示，读作“相似于”。
3.相似三角形的相似比：相似三角形的对应边的比叫做相似比。
4.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。
5.相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。
相似三角形的判定及有关性质 复习课件 PPT
题型二 化归法 转化化归思想方法是解决数学问题的灵魂，平面 几何在证明一些等积式时，往往将其转化为比例 式，当证明的比例式中的线段在同一直线上时， 常转化为用相等的线段、相等的比、相等的等积 式来代换相应的量，证明比例式成立也常用中间 比来转化证明.
例 2 如图，在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别是 a，b，c，点 P 是 AB 上与 A，B 不重合的一个动点，连 接 PC，过点 P 作 PQ∥AC 交 BC 于点 Q. (1)如果 a，b 满足关系式 a2＋b2－12a－16b＋100＝0，c 是不等式组22xx－ ＋3 13><x6－x＋24， 1 的最大整数解，试说明△ABC 的形状. (2)在(1)的条件下，设 AP＝x，S△PCQ＝y，求 y 与 x 的函 数关系式，并注明自变量 x 的取值范围.
5.直角三角形的射影定理
(1)射影的概念 从一点向一条直线作垂线，垂足称作这点在这条直线 上的正射影，简称射影. 一般地，一个点集(如线段或其他几何图形)中所有的 点在某条直线上的射影集合，称这个点集在这条直线 上的射影.如一条线段在一条直线上的射影就是线段的 两个端点在这条直线上的射影间的线段.
2.平行线分线段成比例定理
(1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 推论1：平行于三角形一边的直线截其他两边的直线(或两边 的延长线)所得的对应线段成比例. 推论2：用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截三 角形，所得的三角形三边与原三角形的三边对应成比例. 推论1的逆定理：如果一条直线截三角形两边或两边的延长 线所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的 第三边. (2)三角形内角平分线定理 定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段比等于 夹这个角的两边比.
中考总复习 相似三角形
【名师提醒】解相似三角形问题时，要注意相似三角形中 的对应关系，可根据相似三角形对应的字母写对应边，这 样可避免对应关系混乱.
命题点3 相似三角形的实际应用
例（’15兰州24题8分）如图，在一面 与地面垂直的围墙的同侧有一根高10 米的旗杆AB和一根高度未知的电线杆 CD，它们都与地面垂直，为了测得电 线杆的高度，一个小组的同学进行了 如下测量：某一时刻，在太阳光照射 下，旗杆落在围墙上的影子EF的长度 为2米，落在地面上的影子BF的长为10米，而电线杆落 在围墙上的影子GH的长度为3米，落在地面上的影子DH 的长为5米.依据这些数据，该小组的同学计算出了电线 杆的高度. (1)该小组的同学在这里利用的是_____投影的有关知识 进行计算的； (2)试计算出电线杆的高度，并写出计算的过程.
【解析】∵两个相似三角形的面积比是1:4，∴这两个相 似三角形的相似比是1:2， ∴它们的周长比是1:2.
3. 如图，在 △ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4， 则EC的长为( B )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【解析】本题考查平行线分线段成比例定理
AD AE = ， 又∵AD=6， DB=3， DB EC AE=4，∴ 6 = 4 ，解得EC=2. 3 EC
6.某一时刻，身高1.6m的小明在阳光下的影长是0.4m， 同一时刻同一地点，测得某旗杆的影长是5m，则该旗 杆的高度是____m. 20
【解析】根据题意可得
1.6 = 0.4 ，解得h=20m. h 5
7. 如图， 在△ABC中，∠C=90°，AD是 ∠CAB的角平分线，BE⊥AE，垂足为点E. 求证： △BDE～ △ABE. 证明：∵AD是∠CAB的角平分线， ∴ ∠CAD= ∠BAD ， ∵∠C=90°， ∴∠CAD+∠ADC=90°, ∵ BE⊥AE, ∴∠E=90°, ∴∠DBE+∠BDE=90°, ∵∠ADC= ∠BDE, ∴∠CAD= ∠BAD = ∠DBE ， ∴ △BDE～ △ABE.
初中数学知识归纳相似三角形的判定和性质
初中数学知识归纳相似三角形的判定和性质相似三角形是初中数学中的重要概念之一，它在解决几何问题中有着广泛的应用。
通过判定和理解相似三角形的性质，我们可以更好地应用它们来解决各种实际问题。
本文将对相似三角形的判定和性质进行归纳总结，并通过案例讲解来加深理解。
一、相似三角形的判定相似三角形的判定方法有多种，下面将介绍两种常用方法。
方法一：AAA相似判定法如果两个三角形对应角度相等，那么它们就是相似三角形。
即如果两个三角形的三个内角相对应相等，那么这两个三角形一定相似。
例如，在△ABC和△DEF中，∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，那么△ABC与△DEF就是相似三角形。
方法二：三边成比例判定法如果两个三角形的对应边成比例，那么它们是相似三角形。
例如，在△ABC和△DEF中，AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么△ABC与△DEF就是相似三角形。
二、相似三角形的性质相似三角形有一些重要的性质，下面将逐一介绍。
性质一：对应角相等相似三角形的三个内角两两相等。
性质二：对应边成比例相似三角形的对应边之间成比例。
性质三：高度、中线、角平分线比例相等相似三角形的高度、中线、角平分线对应线段之间成比例。
性质四：面积比例的平方等于边长比例的平方相似三角形的两个相似部分的面积比例等于对应边长比例的平方。
性质五：周长比例等于边长比例相似三角形的周长比例等于对应边长比例。
三、相似三角形的应用举例相似三角形的应用非常广泛，在日常生活和工作中都能见到。
例一：海报设计小明要为学校一次活动设计海报，他发现海报上有两座塔楼，现场测量得到塔楼的高度和距离，希望通过相似三角形的原理计算出塔楼的实际高度。
他需要以此为基础来设计整个海报的比例。
解决方案：小明可以通过测量海报上塔楼的高度和距离，根据相似三角形的性质，计算出实际塔楼的高度。
然后，他可以按照比例来设计整个海报的各个元素，使其符合实际情况。
例二：估算高楼的阴影长度阳光直射下，高楼的阴影长度对人们的日常活动有一定的影响。
相似三角形的判定与性质复习课(原创修订)
反A
反X
母子图
双 垂 图
三 垂 图
K 字 图
【典例分析】
考点1：考查平行线分线段成比例
例Байду номын сангаас. (教材P31练习变式)
3 5 1 3
注意：对应线段
考点2：考查相似三角形的判定
A
技巧：先角后边
【跟踪练习】
∠ADE= ∠ACB ∠AED= ∠ABC
AD AE AC AB
注意：1.审题 2.图中隐含条件
【跟踪练习】
4
2 5
模型：双垂图
【中考链接】
例4.综合提升 1. （与折叠相结合）如图，将矩形 ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在 BC边上F点处，已知DE=5cm， AB=8cm，则BF= 6cm .
方法： 见折叠，找全等 模型：k字图
2.（与函数相结合） 如图，△ABC中，AB=8，AC=6，BC=9， 如果动点D以每秒2个单位长的速度，从点B 出发沿边BA向点A运动，直线DE∥BC，交 AC于E．记x秒时DE的长度是y，则y关于x 的函数关系式 ．
【跟踪练习】
2
分类讨论思想
考点3：考查相似三角形的性质
例2. 两个相似三角形的对应角平分线的比 为2∶3，它们的周长和为10cm，则较大 6cm 三角形的周长为_______
填空题:注意有无单位！
【跟踪练习】
1.(教材P43习题12变式)
2
注意仔细审题！
【跟踪练习】
18cm2 6cm2
求面积比：同（等）底或同（等）高
相似三角形的判定与性质
——复习课
学习目标
1. 理解平行线分线段成比例的基本事实及推论.
2. 掌握相似三角形的概念、判定与性质，并会
相似三角形的判定及有关性质复习 课件
(4)直角三角形相似的判定定理 定理1：如果两个直角三角形有一个锐角相等，那么它 们相似. 定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例， 那么它们相似. 定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另 一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那 么它们相似.
4.相似三角形的性质
性质定理1：相似三角形对应角相等，对应边成比例. 性质定理2：相似三角形对应边上的高、中线和它们的 周长的比都等于相似比. 性质定理3：相似三角形的面积比等于相似比的平方. 性质定理4：相似三角形外接圆或内切圆的直径比、周 长比等于相似比，外接圆或内切圆的面积比等于相似 比的平方.
题型一 构造法 添加辅助线是平面几何解决问题最常用的手段，添加辅 助线的目的是构造平行线、或三角形、或三角形的相似等 结构.
例 1 如图，梯形 ABCD 中，AB∥CD，CE 平分∠BCD，CE⊥AD 于 E，DE＝2AE， 若△CED 的面积为 1，求四边形 ABCE 的面积.
解 延长 CB，DA 交于点 F，又 CE 平分∠BCD，CE⊥AD. ∴△FCD 为等腰三角形，E 为 FD 的中点. ∴S△FCD＝12FD·CE＝12×2ED×CE＝2S△CED＝2，EF＝2AE. ∴FA＝AE＝14FD.又∵AB∥CD，∴∠FBA＝∠FCD， ∠FAB＝∠D，∴△FBA∽△FCD.∴SS△△FFCBDA＝FFAD2＝142＝116， ∴S△FBA＝116×S△FCD＝18. ∴S 四边形 ABCE＝S△FCD－S△CED－S△FBA＝2－1－18＝78.
1.平行线等分线段定理 (1)定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那 么在任一条(与这组平行线相交)直线上截得的线段也相等 推论1：经过三角形一边的中点且与另一边平行的直线必平 分第三边. 推论2：经过梯形一腰的中点且与底边平行的直线必平分另 一腰. (2)中位线定理 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等 于它的一半. 梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底 和的一半.
中考数学复习之相似三角形的性质与判定,考点过关与基础练习题
AD是Rt△ABC 斜边上的高 29. 相似三角形➢ 知识过关1. 相似三角形的概念：如果两个三角形的对应角_________,对应边_______,那么这两个三角形叫做相似三角形. 2. 相似三角形的性质：对应角________,对应边________;周长之比等于_______;面积之比等于_______.3. 相似三角形的判定(1)两_______对应相等的两个三角形相似；(2)两边对应成比例，且______相等的两个三角形相似； (3)_______边对应成比例的两个三角形相似；(4)若一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和直角边对应______,那这两个直角三角形相似. 4.相似三角形的几种基本图形DE △BC △B =△AED △B △ACDA 型➢ 考点分类考点1相似三角形的判定例1如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于点F ，连接FD ．若∠BF A =90°，给出以下三对三角形：①△BEA 与△ACD ；②△FED 与△DEB ；③△CFD 与△ABO ．其中相似的有_____________（填写序号）．CB BCD E ADAEDAAD B CODBACCAO D BX 型母子型∠B ∠CAC ∥BD CB D AOFE DCBA考点2相似三角形的性质例2如图1所示，AB △BD ，CD △BD ，垂足分别为B ，D ．AD ，BC 交于点E ，过E 作EF △BD于点F ，则可以得到111AB CD EF+=．若将图1中的垂直改为斜交，如图2所示，AB △CD ，AD ，BC 交于点E ，过E 作EF △AB 交BD 于点F ，试问：111AB CD EF+=还成立吗？请说明理由．考点3相似三角形的判定和性质综合例3如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 在AC 上 （1）已知：AC ＝4，BC ＝2，∠CBD ＝∠A ，求BD 的长；（2）取AB ，BD 的中点E ，F ，连接CE ，EF ，FC ，求证：△CEF ∽△BAD ．➢ 真题演练1.如图，点D 、E 分别在△ABC 边AB 、AC 上，AB AD=AE CE=3，且∠AED ＝∠B ，那么AD AC的值为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．23F EDCBA图1F EDCBA图22．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为点D ，下列结论中，错误的是（ ）A ．AD AC=AC ABB ．AD AC=CD BCC ．AD AC=BD BCD ．AD CD=CD BD3．如图，边长为a 的正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E 在BD 上，作EF ⊥CE 交AB 于点F ，连结CF 交BD 于H ，则下列结论：①EF ＝EC ；②△FCG ∽△ACF ；③BE •DH ＝a 2；④若BF ：AF ＝1：3，则tan ∠ECG =14，正确的是（ ）A ．①②④B ．②③④C ．①②③D ．①②③④4．如图，在▱ABCD 中，E 是BA 延长线上一点，CE 分别与AD ，BD 交于点G ，F ．下列结论：①EG GC=AG GD；②EF FC=BF DF；③FC GF=BF DF；④EAEB=AG AD；⑤CF 2＝GF •EF ，其中正确的个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．25．如图，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE ＝45°，将△ADC 绕点A 顺时针90°旋转后，得到△AFB ，连接EF ．下列结论中正确的个数有（ ） ①∠EAF ＝45°； ②△ABE ∽△ACD ； ③EA 平分∠CEF ； ④BE 2+DC 2＝DE 2．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，在矩形ABCD中，过点A作对角线BD的垂线并延长，与DC的延长线交于点E，与BC交于点F，垂足为点G，连接CG，且CD＝CF，则下列结论正确的有（）个①CE＝AD②∠DGC＝∠BFG③CF2＝BF•BC④BG＝GE−√2CGA．1B．2C．3D．47.如图，在△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，以BC为边向外作正方形BCDE，连接AD，则AD＝．8．如图，已知正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若AC＝2√2cm，点E在DC 边的延长线上，若∠CAE＝15°，则AE＝cm．9．如图，点E在正方形ABCD边CD上，以CE为边向正方形ABCD外部作正方形CEFG，连接AF，P、Q分别是AF、AB的中点，连接PQ．若AB＝7，CE＝5，则PQ＝．10．如图，等边△ABC 的边长为3，点D 在边AC 上，AD =12，线段PQ 在边BA 上运动，若PQ =12，当AQ ＝ 时，△AQD 与△BCP 相似．11．如图，AB ＝16cm ，AC ＝12cm ，动点P ，Q 分别以每秒2cm 和1cm 的速度同时开始运动，其中点P 从点A 出发，沿AC 边一直移到点C 为止，点Q 从点B 出发沿BA 边一直移到点A 为止（点P 到达点C 后，点Q 继续运动），当t ＝ 时，△APQ 与△ABC 相似．12.某数学兴趣小组在学习了尺规作图、等腰三角形和相似三角形的有关知识后，在等腰△ABC 中，其中AB ＝AC ，如图Ⅰ，进行了如下操作：第一步，以点A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交BA 的延长线和AC 于点E ，F ，如图Ⅱ；第二步，分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧相交于点D ，作射线AD ；第三步，以D 为圆心，DA 的长为半径画弧，交射线AE 于点G ； （1）填空；写出∠CAD 与∠GAD 的大小关系为 ； （2）△请判断AD 与BC 的位置关系，并说明理由． △当AB ＝AC ＝6，BC ＝2时，连接DG ，请直接写出AD AG= ；（3）如图△，根据以上条件，点P 为AB 的中点，点M 为射线AD 上的一个动点，连接PM ，PC ，当△CPM ＝△B 时，求AM 的长．13.如图：在矩形ABCD中，AB＝6m，BC＝8m，动点P以2m/s的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以1m/s的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒（0＜t＜5）．（1）t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ABC相似？（2）在P、Q两点移动过程中，四边形ABQP与△CPQ的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．课后练习1．如图，将矩形ABCD沿着GE，EC，GF翻折，使得点A，B，D恰好都落在点O处，且点G，O，C在同一条直线上，点E，O，F在另一条直线上．以下结论正确的是（）A．△COF∽△CEG B．OC＝3OF C．AB：AD＝4：3D．GE=√6DF 2．如图，在△ABC中，P为AB上一点，下列四个条件中：①AC2＝AP•AB；②AB•CP＝AP •CB；③∠APC＝∠ACB；④∠ACP＝∠B能满足△APC与△ACB相似的条件是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④3．如图，△ABC∽△DBE，延长AD，交CE于点P，若∠DEB＝45°，AC＝2√2，DE=√2，BE＝1.5，则tan∠DPC＝（）A ．√2B ．2C ．3+√22D ．124．如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上的一点，AE ⊥EF ，则下列结论：（1）sin ∠BAE =12；（2）BE 2＝AB •CF ；（3）CD ＝3CF ；（4）△ABE ∽△AEF ，其中结论正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图，在四边形ABCD 中，∠BAC ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，E 是BC 的中点，AD ∥BC ，AE ∥DC ，EF ⊥CD 于点F ．下列结论错误的是（ ）A ．四边形AECD 的周长是20B ．△ABC ∽△FEC C ．∠B +∠ACD ＝90°D ．EF 的长为2456．如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 是BC 的中点，AE 与BD 交于点P ，F 是CD 上一点，连接AF 分别交BD ，DE 于点M ，N ，且AF ⊥DE ，连接PN ，则以下结论中：①S△ABM＝4S △FDM ；②PN =2√6515；③tan ∠EAF =34；④△PMN ∽△DPE ，正确的是（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④7．如图，正方形ABCD 中，AB ＝2√5，点N 为AD 边上一点，连接BN ，作AP ⊥BN 于点P ，点M 为AB 边上一点，且∠PMA ＝∠PCB ，连接CM ．下列结论正确的个数有（ ） （1）△P AM ∽△PBC （2）PM ⊥PC ；（3）∠MPB ＝∠MCB ； （4）若点N 为AD 中点，则S △PCN ＝6 （5）AN ＝AMA．5个B．4个C．3个D．2个8．如图，在正方形ABCD中，点E为AB的中点，CE，BD交于点H，DF⊥CE于点F，FM平分∠DFE，分别交AD，BD于点M，G，延长MF交BC于点N，连接BF．下列结论：①tan∠CDF=12；②S△EBH：S△DHF＝3：4；③MG：GF：FN＝5：3：2；④△BEF∽△HCD．其中正确的是.（填序号即可）．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，动点D，E分别在AB，CB边上，且BE=√2AD．连接CD，AE相交于点P，连接BP，则△CAD∽△，BP的最小值为．10．在△ABC中，AB＝8，BC＝16，AP＝BP，点Q是BC边上一个动点，当BQ＝时，△BPQ与△BAC相似．11．如图，四边形ABCD，CDEF，EFHG是三个正方形，∠2+∠3＝．12．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，DC上，BE⊥EF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，则EF的长是．13．如图，小明想测量一棵大树AB的高度，他发现树的影子落在地面和墙上，测得地面上的影子BC的长为5m，墙上的影子CD的长为2m．同一时刻，一根长为1m垂直与地面标杆的影长为0.5m，则大树的高度AB为m．14．小明和小杰去公园游玩，小明给站在观景台边缘的小杰拍照时，发现他的眼睛、凉亭顶端、小杰的头顶三点恰好在一条直线上（如图所示）．已知小明的眼睛离地面的距离AB 为1.6米，凉亭的高度CD为6.6米，小明到凉亭的距离BD为12米，凉亭与观景台底部的距离DF为42米，小杰身高为1.8米．那么观景台的高度为米．15如图所示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．（1）求证：△DAE≌△DCF；（2）求证：△ABG∽△CFG．16．如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点A 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA ＝5，OC ＝4．（1）如图①，在AB 上取一点D ，将纸片沿OD 翻折，使点A 落在BC 边上的点E 处，求D 、E 两点的坐标；（2）如图②，若OE 上有一动点P （不与O ，E 重合），从点O 出发，以每秒1个单位的速度沿OE 方向向点E 匀速运动，设运动时间为t 秒（0＜t ＜5），过点P 作PM ⊥OE 交OD 于点M ，连接ME ，求当t 为何值时，以点P 、M 、E 为顶点的三角形与△ODA 相似？➢ 冲击A+在正方形ABCD 中，点G 是边AB 上的一个动点，点F 、E 在边BC 上，BF ＝FE ＝AG ，且AG ≤12AB ，GF 、DE 的延长线相交于点P ．（1）如图1，当点E 与点C 重合时，求∠P 的度数；（2）如图2，当点E 与点C 不重合时，问：（1）中∠P 的度数是否发生变化，若有改变，请求出∠P 的度数，若不变，请说明理由；（3）在（2）的条件下，作DN ⊥GP 于点N ，连接CN 、BP ，取BP 的中点M ，连接MN ，在点G 的运动过程中，求证：MN NC为定值．。
相似三角形的判定及有关性质复习 课件
如图 1-3，AD，CF 是△ABC 的两条高线，在 AB 上取一点 P，使 AP＝AD，再从 P 点引 BC 的平行线与 AC 交于点 Q.
求证：PQ＝CF. 【规范解答】 ∵AD，CF 是△ABC 的两条高线， ∴∠ADB＝∠BFC.又∠B＝∠B， ∴△ABD∽△CBF，∴ACDF＝BACB.
图 1-7 【规范解答】 ∵AD⊥BC，CE⊥AB， ∴∠ADB＝∠CEB＝90°. 又∵∠B＝∠B，∴△ADB∽△CEB.
∴BBDE＝BACB，ED∽△BCA.
∴SS△△BBECDA＝DACE22＝
2 18.
又∵DE＝2 2，∴AC＝6 2，
∴点 B 到 AC 的距离＝118 ＝3 2. 2AC
图 1-3
又∵PQ∥BC， ∴∠APQ＝∠B，∠AQP＝∠ACB， ∴△APQ∽△ABC. ∴PBQC＝AAPB，即PAQP＝BACB， ∴ACDF＝PAQP. 又∵AP＝AD，∴PQ＝CF.
射影定理 射影定理揭示了直角三角形中两直角边在斜边上的射影，斜边及两直角边 之间的比例关系，此定理常作为计算与证明的依据，在运用射影定理时，要特 别注意弄清射影与直角边的对应关系，分清比例中项，否则在做题中极易出错．
如图 1-1，在△ABC 中，∠BAC＝90°，BC 边的垂直平分线 EM 和 AB，CA 的延长线分别交于 D，E，连接 AM.
求证：AM2＝DM·EM.
图 1-1
【规范解答】 ∵∠BAC＝90°，
M 是 BC 的中点，
∴AM＝CM，∠MAC＝∠C.
∵EM⊥BC， ∴∠E＋∠C＝90°. 又∵∠BAM＋∠MAC＝90°， ∴∠E＝∠BAM. ∵∠EMA＝∠AMD， ∴△AMD∽△EMA， ∴DAMM＝EAMM， ∴AM2＝DM·EM.
相似三角形中考复习(知识点+题型分类练习)
相似三角形一、知识概述1.平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其它直线上截得的线段也相等。
2.平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
３.相似三角形的定义对应边成比例、对应角相等的两个三角形叫做相似三角形.４．相似三角形的基本性质①相似三角形的对应边成比例、对应角相等.②相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
③相似三角形的周长比等于相似比④面积比等于相似比的平方温馨提示：①全等三角形一定是相似三角形,其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例.其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′Ｃ′的对应边的比,即相似比为k，则△Ａ′B′Ｃ′∽△ＡBＣ的相似比，当且仅当它们全等时,才有k＝ｋ′＝1.③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数,这一点借助相似三角形可观察得出．5. 相似三角形的判定定理①平行于三角形一边的直线和其他两边或其延长线相交，所得的三角形与原三角形相似；②三边对应成比例的两个三角形相似;③两角对应相等的两个三角形相似;④两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
温馨提示：（１)判定三角形相似的几条思路：①条件中若有平行,可采用判定定理1；②条件中若有一对角相等(包括隐含的公共角或对顶角),可再找一对角相等或找夹边对应成比例；③条件中若有两边对应成比例,可找夹角相等;但是，在选择利用判定定理２时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等.④条件中若有等腰关系，可找顶角相等或底角相等,也可找腰和底对应成比例。
（2）在综合题中,注意相似知识的灵活运用，并熟练掌握线段代换、等比代换、等量代换技巧的应用,培养综合运用知识的能力。
(3）运用相似的知识解决一些实际问题，要能够在理解题意的基础上，把它转化为纯数学知识的问题，要注意培养当数学建模的思想。
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相似三角形复习【知识要点】1、相似三角形的定义三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形．2、相似三角形的判定方法1.两个三角形相似，一般说来必须具备下列六种图形之一：2. 两个角对应相等的两个三角形__________．3. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似．4. 三边对应成比例的两个三角形___________．性质：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧比的平方、对应面积比等于相似比、对应周长比等于相似、对应边成比例、对应角相等4321判定：⎪⎩⎪⎨⎧、三边对应成比例夹角相等、两边对应成比例，且、两角对应相等3211.相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比。
当相似比等于1时，这两个三角形不仅形状相同，而且大小也相同，这样的三角形我们就称为全等三角形。
全等三角形是相似三角形的特例。
2.相似三角形的判定：①两角对应相等，两三角形相似。
②两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似。
③三边对应成比例，两三角形相似。
3.相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等。
②相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例。
③相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
FED CBA【典型例题】1、如图在4×4的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在长为1的小正方形顶点上． （1）填空：∠ABC=______，BC=_______． （2）判定△ABC 与△DEF 是否相似？2、如图所示，D 、E 两点分别在△ABC 两条边上，且DE 与BC 不平行，请填上一个你认为适合的条件_________，使得△ADE ∽△ABC ．并证明3、如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、AC 边上，DE=DF ，∠EDF =∠A ． （1）求证：BCABEF DE =．(2)证明：BDE ∆与EFC ∆相似。
4、已知，如图，CD 是Rt ABC ∆斜边上的中线，DE AB ⊥交BC 于F ，交AC 的延长线于E ， 说明：⑴ ADE ∆∽FDB ∆； ⑵DF DE CD •=2．5、已知：如图，□AB C D 中E 为AD 的中点，AF ：AB =1：6，EF 与AC 交于M 。
求：AM ：AC 。
【随堂训练】1.如图，若ABAE= ，则△AEF∽△ABC，理由是 .2.在△ABC与△DEF中，已知AB=3，BC=2，DE=6，EF=4，再补充条件∠=∠，就可以判定△ABC∽△DEF .3.如图，AD=6，AE=8，EC=4，则当BD= 时，△ADE∽△ACB.4.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且32==ABADACAE，若DE=4㎝，则BC= ㎝.5.D是△ABC边AB上一点，要使△ACD∽△ABC，则还须具备的条件是（）A.AC：CD=AB：BCB.CD：AD=BC：ACC. CD226.判断题：（1）相似三角形的对应角相等( )（2）相似三角形的高的比等于相似比( )（3）相似三角形的对应角平分线的比等于相似比( )（4）△ABC和△A1B1C1的中线AD：A1D1=k,则AB: A1B1=k( )7.已知：如图，在ABC△中，DE∥BC，DE分别与AB、AC相交于D、E，:1:3AD AB=．若2DE=，则BC=_________．8.下列判断正确的是（）A.两个直角三角形相似B.两个相似三角形一定全等C.凡等边三角形都相似D.所有等腰三角形都相似9、如图△ABC中，DE∥BC，AE=1，AC=2，则S△ADE：S△ABC=（）A、1：2B、1：3C、1：4D、1：910．如图，△ABC中，AD⊥BC于D，且有下列条件：（1）∠B＋∠DAC＝90°；（2）∠B＝∠DAC；（3）ADCD＝ABAC；（4）AB2＝BD·BC其中一定能够判定△ABC是直角三角形的共有（）A、3个B、2个C、1个D、0个题10 题11 题1211．如图，将△ADE绕正方形ABCD顶点A顺时针旋转90°，得△ABF，连结EF交AB于H，则下列结论中错误的是（）A、AE⊥AFB、EF︰AF＝2︰1C、AF2＝FH·FED、FB︰FC＝HB︰ECA第CE第BDEAC第EAC7、9图CDB第12．如图，在矩形ABCD 中，点E 是AD 上任意一点，则有（ ） A 、△ABE 的周长＋△CDE 的周长＝△BCE 的周 B 、△ABE 的面积＋△CDE 的面积＝△BCE 的面积C 、△ABE ∽△DECD 、△ABE ∽△EBC 13． ACD ∆∽ABC ∆，则下列各式成立的是（ ）A 、AB AD AC ⋅=2B 、DB AD CD ⋅=2C 、BC AB CD AC ::= D 、AC BC AD CD ::= 14.下列五类图形．①两个矩形；②两个等腰三角形；③两个等边三角形；④两个正方形；⑤两个菱形。
其中两个图形一定相似的是( )A ． 四组B ． 三组C ． 两组D ． 一组 二、填空题1．已知，在△ABC 中，AB ＝AC ＝27，D 在AC 上，且BD ＝BC ＝18，DE ∥BC 交AB 于E ，则DE ＝_______．2．如图，□ABCD 中，E 是AB 中点，F 在AD 上，且AF ＝21FD ，EF 交AC 于G ，则AG ︰AC ＝______．题2 题33．如图，已知△ABC ，P 是AB 上一点，连结CP ，要使△ACP ∽△ABC ，只需添加条件______（只要写出一种合适的条件）．4．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ∥AC ，EF ∥BC ，AB ＝15，AF ＝4，则DE 的长等于________．题4 题55．如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥AB ，AD ＝8，BC ＝10，则梯形ABCD 面积是_________． 6.两个相似三角形对应高的比为 1∶3，则它们的相似比为 ；对应中线的比为 ；对应角平分线的比为 ；周长比为 ；面积比为 ；7．在菱形ABCD 和菱形A ′B ′C ′D ′中，∠A =∠A ′=60°，若AB ∶A ′B ′=1∶3，则BD ∶A ′C ′=________． 三、解答题1、如图，在Rt △ABC 中，AD 为斜边BC 上的高，若S △CAD =3S △ABD ，求AB ∶ACABCD E2、如图，ΔABC 中，BD 是角平分线，过D 作DE ∥AB 交BC 于点E ，AB=5cm ，BE=3cm ，求EC 的长.3.如图，AO ⊥OD ，点B 、C 在OD 上，且OA=OB=BC=CD ，求证：△ABC ∽△DBA 。
4.梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别为AB 、CD 上的一点，且梯形AEFD ∽梯形EBCF ，若AD=8，BC=18，试求AE ：EB 的值。
5．已知在△ABC 中，△ABC ∽ADE ，DE ∥BC ，如果23=DB AD ，AE=15，求AC 和EC 的长 。
相似三角形提高练习一、选择题4. 如图，在ABC △中，5AB AC ==，6BC =，点M 为BC 的中点，MN AC ⊥于点N ，则MN 等于（ ）A ．65B ．95 C ．125 D ．1655. 如图，ABC △中，CD AB ⊥于D ，一定能确定ABC △为直角三角形的条件的个数是（ ） ①1A ∠=∠，②CD DBAD CD=，③290B ∠+∠=°，④345BC AC AB =∶∶∶∶， A ．1 B ．2 C ．3 D ．43.在△ABC 中，AB =12，AC =10，BC =9，AD 是BC 边上的高.将△ABC 按如图所示的方式折叠，使点A 与点D 重合，折痕为EF ，则△DEF 的周长为( )A ．9.5B ．10.5C ．11D ．15.5A BCD EF`1 2 34.如图，在长为8 cm 、宽为4 cm 的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ）A.22cm B.24cm C. 28cm D. 216cm 5.如图，正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，AF ⊥DE 于点O ， 则DOAO等于（ ） A ．352 B ．31 C ．32 D ．216.一张等腰三角形纸片，底边长cm 15，底边上的高长22．5cm ．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( )A ．第4张B ．第5张 C.第6张 D ．第7张 7.某班在布置新年联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=30㎝，AB=50㎝，依次裁下宽为1㎝的矩形纸条a 1、a 2、a 3…，若使裁得的矩形纸条的长都不小于5㎝，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是( )A.24B.25C.26D.274 5 6 78.如图，在Rt ABC△中，90ACB∠=°，3BC=，4AC=，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（）A．32B．76C．256D．29.如图所示，已知点E F、分别是ABC△中AC AB、边的中点，BE CF、相交于点G，2FG=，则CF的长为（）A．4 B．4.5 C．5 D．68 9二、填空题1、如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3（图中阴影部分）的面积分别是4，9和49．则△ABC的面积是．2、如图，Rt ABC△中，90ACB∠=°，直线EF BD∥，交AB于点E，交AC于点G，交AD于点F，若13AEG EBCGS S=△四边形，则CFAD=．3、将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝3，BC＝4，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是．10 11 12三、解答题1、已知：P为平行四边形ABCD对角线AC上一点，过点P的直线与AD、BC，CD的延长线，AB的延长线分别相交于点E、F、G、H求证：PGPHPFPEHFGBDACPE2、已知：在三角形ABC中，D为AB中点，E为AC上一点，且ECAE=2，BE、CD相交于点F，求EFBFFDEAB3、已知：在三角形ABC中，AD=31AB，延长BC到F，使CF=31BC，连接FD交AC于点E，求证：（1）DE=EF，（2）AE=2CEEFDA4、如图，DE//BC ，ADE S ∆ =1，BDE S ∆ =1 求：ABC S ∆5、PD//AB 交AC 于D ，联结PA ，设BP=x, ADP S ∆=y 求：（1）y 与x 之间的函数关系式并写出x 的范围；（2）当x 为何值时，y=34?6、如图，D 是等边三角形ABC 的BC 上的一个动点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，E 、F 是垂足 （1）求证：△BDE ～△CDE ； （2）求证：BDF S ∆=CDE S ∆；（3）设AB=1 ，BD=x ,求△BDF 的面积y 关于x 的函数解析式C7、已知：在正△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、BC 延长线上的点，且BD=CE ，直线CD 与AE 相交于点F 求证：(1) DC=AE ； (2) DF DC AD 2•=8、已知：直角梯形ABCD 中，AB//CD ，∠ABC=90°，AB=2CD ，对角线BD ⊥AC ，垂足为F ，过点F 作EF//AB 交AD 于E ，CF=4（1）求证：△DAB 为等腰三角形 （2）求AE 的长9、如图，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，5AB DC ==，6AD =，12BC =．动点P 从D 点出发沿DC 以每秒1个单位的速度向终点C 运动，动点Q 从C 点出发沿CB 以每秒2个单位的速度向B 点相似三角形判定专项练习30题（有答案）页脚内容11 运动．两点同时出发，当P 点到达C 点时，Q 点随之停止运动．（1）梯形ABCD 的面积等于 ；（2）当PQ AB ∥时，P 点离开D 点的时间等于 秒；（3）当P Q C ，，三点构成直角三角形时，P 点离开D 点多少时间？10、如图，在平面直角坐标系中，点(30)C -，，点A B ，分别在x 轴，y轴的正半轴上，且满足10OA -=．（1）求点A ，点B 的坐标．（2）若点P 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB 运动，连结AP ．设ABP △的面积为S ，点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围．（3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使以点A B P ，，为顶点的三角形与AOB △相似？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．Cx。