一般常数项级数的审敛准则
高等数学级数1(2)
l 3l 即 0 v n un v n 2 2
由比较审敛法的推论, 得证.
例4 判定下列级数的敛散性 1 1 ( 2) n (1) sin n n 1 3 n n 1
1 sin n 解 (1) lim 1 比较审敛法的极限形式, 发散 n 1 n 1 n 1 3 n ( 2) lim lim 1 n n n 1 1 n n 3 3
n
1 1 1 1 (3) 调和级数 1 发散 2 3 n n 1 n
正 项 级 数 及 其 审 敛 法
常数项级数的审敛法
定理2 若0 un vn , 则
v n 收敛 un 收敛 n 1 n 1 un 发散 v n 发散 n 1
(1) 2 sin
n n 1
3
n
( 2) 3
n 1
n
1 n( n 1)
n
解 (1) 0 un 2 sin
3n 3 n 2 而等比级数 收敛. n 1 3
2 2 n
n
3
由比较审敛法
所以, 原级数收敛.
( 2) 3
n 1
1 推论2 若 un ,如果有 p 1, 使un p ( n 1,2,). n 1 n
则 un收 敛;
n 1
1 如 果un ( n 1,2, ), 则 un发 散. n n 1
正 项 级 数 及 其 审 敛 法
例3 讨论下列正项级数的敛散性.
6. 根值审敛法 (柯西判别法) 定理5 设 un , ( un 0) n 1 1
(整理)常数项级数的审敛法
n 1n 1§ 11-2 常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法正项级数： U n U n 0⑴n 1显然，部分和数列s n 单调增加：s 1 s 2Sn . s n1.收敛准则定理1正项级数 U n 收敛部分数列S n 有界.n 1n例1判别正项级数亠的收敛性定理2设 U n 和V n 都是正项级数，且U n V . (nn 1n 1则 U n 收敛；反之, n 1 若 U n 发散，则 V n 发散.n 1 n 1 分析: V nn 1，贝U U n 的部分和 n 1 S n U 1 U 2 U n V 1 V 2 V n (n 1,2,),即S n 有界，由TH1知 U n 收敛。
反之，设n 1U n 发散，则n 1V n n 1必发散.因为若V n 收敛，由上面已证结论知 U n 也收敛，与假设矛盾n 11解「sin 2 22221 1 I 2n1 1 22Sin 2n1 1 1 2n2 222n1有上界 级数收敛1,2,).若 V n 收敛,n 12.比较审敛法推论 设 U n 和 V n 都是正项级数，如果级数 V n 收敛，且存在自然数 N,使n 1n 1kv n (k 0)成立，则级数 u n 收敛；如果级数 v n 发散，且当n Nn 1n 1分析：因为级数的每一项同乘不为零的常数 k ，以及去掉级数前面的有限项不会 影响级数的收敛性.注：比较审敛法的：必须有参考级数。
常用：几何级数， p —级数(调级数)例3判别下列级数的敛散性. 当n N 时有U n 时有 u n kv n (k 0)成立,则级数 U n 发散.n 1例2讨论p —级数⑵的收敛性，其中常数p>0.1，当n则書n时,1丄，但调和级数发散，故级数(2)发散. n有1 n pIn 1n p2dxx(nn p 1n 2,3,考虑级数(n 1) 级数(3)的部分和sn1 2卩11 3p 11 =1 1(n 1)p1 = (n 1)p 1因S n 1 .故级数(3)收敛. 由推论 1知，级数⑶当p>1时收敛.总之：p —级数(2)当p 1时发散，当p>1时收敛.(1).n n 121 n 5n 2U nn12 2^2n 5n 2n 8n丄发散，原级数发散 n 1 n(2).1 . 1 sin — n〔 n 1 n 1 U n 原级数收敛3. 比较审敛法的极限形式定理3设 u n 和n 1V n 都是正项级数,n 10 或 lim 土nV n例4判别下列级数的敛散性.4. 比值审敛法能发散.（证略，可参考教材） 例5判别下列级数的敛散性:(1)3 n n lim U n 1 - 1,级数收敛n 13n U n 3⑵n!nlim U n 1 lim n 1 级数发散n 1 2n U nn 2⑶n 1 nxn 1x 0lim U n 1 x0 x 1收敛,x 1 发散x 1发散n U n5.根值审敛法----柯西判别法(1)如果 lim unnV n(0 I）,且级数V n 收敛，则级数 U n 收敛;n 1n 11(1) si nn 1 n.1 sinlim n n 10,丄发散 原级数发散n 1 n⑵ 2nta nn 13li mn1 2ntan]3nn2 3n2收敛收敛3，且级数 V n 发散，则级数 U n 发散n 1n 1(2)如果 limU nnV n 定理4设 u n 为正项级数，如果n 1lim 山 nU n则当1级数收敛;U n 11 (或 limnU n）时级数发散； 1时级数可能收敛也可例7判别下列级数的敛散性二、交错级数及其审敛法)；(2) limu n 0,n则级数收敛，且其和S U 1,其余项r n 的绝对值r交错级数：U 1 U 2 U 3U 4(4)U 1 U 2 U 3U 4,其中U i ,u都是正数.定理7（莱布尼兹定理）如累交错级数(1)n1U n 满足条件:n 1定理5设 U n 为正项级数，如果lim n U nn 1n,则当 1时级数收敛， 1（或Hm nU n）时级数发散， 例6判别下列级数的敛散性1时级数可能收敛也可能发散.（证略，可参考教材）nU n n11Zn-0(nnn）1,级数收敛—5‘n imn ,n 31,级数发散6根限审敛法（与p —级数作比较）定理6设 u n 为正项级数,n 1(1)如果 lim nu n l 0 或 lim nu nnn，则 U n 发散;n 1⑶如果p 1,而limn p u nl 0nU n 收敛。
第十一章 第2节常数项级数审敛法
例 2 证明级数
∑
n =1
∞
1 ∴ 级数 ∑ n 收敛 n =1 n 2
∞
1 是发散的. 是发散的 n( n + 1)
1 1 , > 证明 ∵ n( n + 1) n + 1 ∞ ∞ ∞ 1 1 1 发散. 而级数 ∑ = ∑ 发散∴ 级数 ∑ , n( n + 1) n =1 n =1 n + 1 k =2 k
n=1
∞
(1) 当 ρ < 1 时 , 级数收敛 ; (2) 当 ρ > 1 时 , 级数发散 .
22
说明 :
ρ = 1时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 p - 级数
∑np
n= 1
nu n
∞
1
1 un = p , n
但
1 = n →1 (n →∞) n
p
p >1 级数收敛 p ≤1 级数发散
∞
∴ un+1 < (ρ +ε ) un < (ρ + ε )2 un−1 < ⋯< (ρ + ε )n−N uN+1
k
∞ n=1 n
∑(ρ +ε ) 收敛 , 由比较审敛法可知, 级数 ∑u
收敛 . 17
un+1 lim =ρ n→∞ un
un+1 当 n ≥ N 时, >1 un ∴ un+1 > un > un−1 >⋯> uN
∑u
n=1
∞
n和
正项级数 ∑v 是两个正项级数 , u
n=1 n
∞
n
≤ k vn ( 常数 k > 0 )
常数项级数的审敛法
23
证明
假设级数
1
收敛，
n1 n
且
lim
n
Sn
S
1 n
则
lim
n
S2n
S
于是
lnim(S2n Sn ) S S 0
例1 证明调和级数 1 1 1 1 1
是发散的。
n1 n
23
n
另一方面
S2n
Sn
1 n 1
n
1
2
111 2n 2n 2n
1 1 2n 2
故
lnim(S2n Sn ) 0
一、正项级数的审敛法
如果级数
un u1 u2 un
n1
的每一项都是非负数，即un ≥0(n=1, 2, …) ，则称此级数为 正项级数。
1.比较审敛法
设级数
un
n1
和
n1
vn
都是正项级数，且un
≤vn
(n=1,
2,
…)。
（1）若级数 vn 收敛，则级数 un 收敛；
（2）若级数
例5 级数 (1)n sin 1 收敛吗？若收敛，是条件收敛还是绝
对收敛？ n1
n
再考虑每项取绝对值，得级数 sin 1
n1 n
由比较审敛法的极限形式，可知级数 sin 1 发散。
n1 n
所以级数 sin 1 是条件收敛。
n1 n
高等数学
1
2n 2n
1
1 2
1
由比较审敛法知，该级数收敛。
例3 判断下列级数的敛散性：
2n 1
(1)
n1
2n
(2) nxn1
n1
(x 0)
常数项级数的审敛法
收敛.
1 证明 令 vn ( un un ) ( n 1,2,), 2 且 vn un , v n收敛, 显然 vn 0,
又 un ( 2v n un ),
n 1 n 1
un 收敛.
n 1
n 1
上定理的作用： 任意项级数 正项级数
根据定理4可知:
当0 x 1 时, 级数收敛 ;
当x 1时, 级数发散 ; 当x 1时,
6.根值审敛法 (柯西判别法)：
设 un 是正项级数,如果lim n un
( 为数或 ) , 则 1 时级数收敛;
1时级数发散; 1 时失效.
n 1
(2) 令
(n 1) 2 n 1 u n 1 e lim lim n u n n n2 n e 2 1 n 1 1 lim 1 n e n e
7.极限审敛法：
设
un 为正项级数, n 1
n n
如果 lim nun l 0 (或lim nun ), 则级数
u
n 1
n 发散;
如果有 p 1 , 使得lim n p un 存在,
n
则级数
u
n 1
n 收敛.
例 7 判定下列级数的敛散性: 1 (1) ln 1 2 ； (2) n 1 (1 cos ) . n n n 1 n 1
n 1
n 1
n 1
且 sn u1 u2 un v1 v2 vn ,
即部分和数列有界
un收敛. n 1
(2) 设 sn (n ) 且 un vn ,
11习题课常数项级数审敛
(a 0).
n
解
lim n
n
un
n
lim
n
ln(n 2) a1
1 lim n
a n
ln( n
2),
n 2 时, n 2 en , n 从而有
1 n ln(n 2) n n, 由于 lim n n 1,
n
lim n ln(n 2) 1,
故 bn 收敛
例6 设 an 0,bn 0 且 an1 bn1 an bn
若 bn 收敛 则 an 也收敛
证 由题设知 an1 an a1
bn1 bn
b1
an
a1 b1
bn
而 bn 收敛 由比较法得 an 收敛
例7 Cauchy积分审敛法
设 y f ( x) 0 单调减少 un f (n) 则
⑵ 1 un发散
⑶
1 ln
1
un的敛散性不定
由 lim un 1 知 对 1
n ln n
ln 1
N ,n N 有
un q 1
ln n
ln 1 q ln n un
ln un qln n
1 un nq 故由比较法知
n
lim n
n
un
1. a
当 a 1即 0 1 1时, 原级数收敛； a
当 0 a 1即 1 1时, 原级数发散； a
当 a 1时,
原级数为
n1
ln(n (1
1
2), )n
n
1-1 常数项级数的概念、性质、收敛性
则 lim σ n = lim sn+ k − lim sk = s − sk . n→ ∞ n→ ∞ n→ ∞
类似地可以证明在级数前面加上有限项不 影响级数的敛散性.
2007年8月 南京航空航天大学 理学院 数学系 马儒宁 22
性质 4 收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛 于原来的和.
证明
( u1 + u2 ) + ( u3 + u4 + u5 ) + σ 1 = s2 , σ 2 = s5 , σ 3 = s9 , , σ m = sn ,
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系 马儒宁
13
例 1 讨论等比级数(几何级数)
aq n = a + aq + aq 2 + ∑
n= 0
∞
+ aq n +
( a ≠ 0)
的收敛性.
解 如果 q ≠ 1时
sn = a + aq + aq 2 +
n
+ aq n−1
a − aq a aq n = = − , 1− q 1− q 1− q
18
注：定理1.1的否定说法：级数发散的 充要条件是：存在某个 ε 0
> 0 ，对任
何自然数 N ， n。＞N及任意 的正整 ∃ 数P。，使
n + P0
k = n +1
∑u
k
≥ ε0
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系 马儒宁
19
1 例 3 证明调和级数 ∑ 发散。 n =1 n
【证】取
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系 马儒宁
常数项级数的敛散性判别
定理1.1正项级数 收敛的充要条件是它的部分和数列有上界.
定理1.2（比较准则I）设 和 是两个正项级数,并且
(1)若 收敛,则 收敛; (2)若 发散,则 发散.
定理1.3 (比较准则II)设 和 是两个正项级数,并且
(1)若 ,则两个数列同时收敛或同时发散;
例7.判别级数 的敛散性.
解：
而 收敛;而对于 ,当 时收敛,当 时发散.综上可知,原级数当当 时收敛,当 时发散.
例8.判断级数 的敛散性,若收敛,是条件收敛还是绝对收敛?
解：
,得到一个交错级数
则易知级数收敛,但其绝对值级数发散.故原级数条件收敛.
6.Cauchy积分法
即定理1.4（积分准则）,利用的就是级数 与无穷积分 同时收敛或同时发散.就此举一例如下:
结束语
本文主要是通过归纳总结将常数项级数的审敛准则与方法及例题放在一起,希望会对同学们关于级数敛散性的入门学习起到辅助作用.其实方法还不止上述所列出的几种,文中未包含的还有高斯判别法、拉贝判别法等,如感兴趣,可在利用网络自行查找相关文献.
参考文献
[1]工科数学分析基础.上册/王绵森,马知恩主编,2版.—北京：高等教育出版社,2006.2
且 .
定理2.2(绝对收敛准则)若级数 收敛,则级数 收敛.
若绝对值级数 收敛,则称级数 绝对收敛;若级数 收敛,但其绝对值级数 发散,则称 条件收敛.
有了这些基础知识作为铺垫,现在我们进入对一些方法的探讨.
1.不等式的利用
在此我们常用到的不等式有以下几种：
（1） ;（2） ;（3） ;（4）
个人认为,前三个不等式大家都用得比较熟练,最后一个不等式不太能在做题时想到.对于些题目看似很复杂,但利用不等式后就会豁然开朗.此处是将原数放大,主要运用比较准则.
常数级数收敛
常数级数收敛
常数级数是一种特殊类型的级数，它的每一项都是常数。
当常数级数的项按特定的规律逐渐递减时，该级数被称为常数级数的收敛。
一个常数级数的一般形式可以表示为如下形式：
S = a1 + a2 + a3 + ... + an + ...
a1、a2、a3等是常数。
为了让常数级数收敛，我们需要定义一个判别常数级数收敛的准则，即常数级数的通项是否满足某种规律。
常数级数的判别准则之一是比较判别法。
当常数级数的每一项都小于等于一个收敛的级数的对应项时，该常数级数收敛。
这就意味着，如果我们能找到一个已知收敛的级数，该级数的每一项都大于等于常数级数的对应项，那么我们就可以判断该常数级数收敛。
常数级数收敛的另一个准则是对数判别法。
当常数级数的每一项都可以表示为形如
1/n^p的函数时，其中p是一个正实数，且p>1，该常数级数收敛。
在制作这份常数级数收敛的材料时，请确保不泄露真实名字和引用，以保护相关人员的隐私和权益。
6.2常数项级数审敛法
解
un
1!2 ! (2n) !
n!
n (n!) (2n) !
1 2(n 1)(n 2)(2n 1)
1 2(n 1)(n 2)
vn
1
而
lim
n
2(n
1)(n 1
2)
1, 2
即 0 1 ,
2
n2
由比较判别法及 P 级数的收敛性可知：
n1
2(n
1 1)(n
2)
vn
n1
收敛,
从而原级数收敛.
故当 p >1 时, P 级数收敛.
综上所述:
当 p > 1 时, P 级数收敛. 当 p 1 时, P 级数发散.
4.比较判别法的极限形式
设 vn和un为两个正项级数, 且 vn 0 (n 1, 2,;
n1
n1
或从某一项 N0 开始).
若
lim un n vn
,
则
(1) 0 时, un 与 vn 具有相同的敛散性.
达朗贝尔在力学、数学、天文学等学科都有卓著的建树。 达朗贝尔的研究工作偏向于应用。1743年提出了被称之为达 朗贝尔原理的 “作用于一个物体的外力与动力的反作用之和 为零” 的研究结果。达朗贝尔建立了将动力学问题转化为精 力学问题的一般方法。1747年在研究弦振动问题时得到了一 维波动方程的通解，被称为达朗贝尔解。1752年首先用微分 方程表示场。
证明的关键在于它的极限是否存在？
证 1) 取交错级前 2m 项之和
S2m u1 u2 u3 u4 u2m1 u2m (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2m1 u2m )
由条件 (2) ： un un+1, un 0, 得 S2m 及
6-2 常数项级数的审敛法
即 s ≤ s1 = a1 .其余项
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rn = (−1) an+1 + (−1) an+2 +L= (−1) (an+1 − an+2 + L)
n n
n= ( −1) a n +1 − a n + 2 + L ≤ a n +1 ;
n
因为an+1 ≥ 0, 所以 rn ≤ an+1 上述交错级数的审敛法也称为莱布尼兹审敛法 上述交错级数的审敛法也称为莱布尼兹审敛法
因此, 级数 ∑ ( −1)
n =1
∞
n −1
1 收敛. n
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三、绝对收敛与条件收敛
以上讨论了正项级数与交错级数的敛散性, 以上讨论了正项级数与交错级数的敛散性 下面简单地讨论一下任意项级数的敛散性. 下面简单地讨论一下任意项级数的敛散性 形如
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类似地还可得到： 类似地还可得到： 一个正项级数(6-1), 如果对每一个 都有 如果对每一个n都有 一个正项级数
an+1 ≥ g > 1, an
那么这个正项级数是发散的. 那么这个正项级数是发散的
an+1 如果在正项级数(6-1)中,比值 a 的极限存 如果在正项级数 中 比值 n
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1 1 1 n−1 1 +L 例6-13 判别级数 1 − + − +L+ (−1) 2 3 4 n
的敛散性. 的敛散性.
1 1 1 解 因为 a n = , 所以a n + 1 = n + 1 < n = a n , 且有 n
一般常数项级数
第三节 一般常数项级数上节我们讨论了关于正项级数收敛性的判别法，本节我们要进一步讨论关于一般常数项级数收敛性的判别法，这里所谓“一般常数项级数”是指级数的各项可以是正数、负数或零. 先来讨论一种特殊的级数——交错级数，然后再讨论一般常数项级数.内容要点:一、交错级数收敛性的判别法;二、绝对收敛：如果∑∞=1||n n u 收敛，则称∑∞=1n n u 为绝对收敛；根据这个结果，我们可以将许多一般常数项级数的收敛性判别问题转化为正项级数的收敛性判别问题；条件收敛：如果∑∞=1||n n u 发散，但∑∞=1n n u 收敛，则称∑∞=1n n u 条件收敛.三、了解绝对收敛级数的性质：绝对收敛的级数重排后得到的新级数也绝对收敛，且其和相等；四、级数的乘法运算：按“对角线法”排列所组成的级数++++++++-)()(1121122111v u v u v u v u v u v u n n n称为级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n n v 的柯西乘积.例题选讲：交错级数判别法的应用：例1（E01）判断级数∑∞=--11)1(n n n的收敛性.解 易见题设级数的一般项nu n n n 11)1()1(---=-满足:)1(111+≥n n );,3,2,1( =n )2(.01lim=∞→nn所以级数∑∞=--11)1(n n n收敛,其和,1≤s 用n S 近似S 产生的误差.11||+≤n r n注：判别交错级数∑∞=--11)()1(n n n f （其中0)(>n f ）的收敛性时，如果数列)}({n f 单调减少不容易判断，可通过验证当x 充分大时0)(≤'x f ，来判断当n 充分大时数列)}({n f 的单调减少；如果直接求极限)(lim n f n ∞→有困难，亦可通过求)(lim x f x +∞→（假定它存在）来求)(lim n f n ∞→.例2 判断∑∞=--11ln )1(n n nn 的收敛性.解 由于nn u n ln =0>),1(>n 所以∑∞=--11ln )1(n n nn 是交错级数.令xx x f ln )(=),3(>x 有2ln 1)(xx x f -='0<),3(>x 即3>n 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n ln 是递减数列,又利用洛必达法 则有 xx nn x x ln limln lim+∞→∞→=xx 1lim+∞→=,0=则由莱布尼茨定理知该级数收敛.绝对收敛与条件收敛：例3 判别级数∑∞=--11)1(n pn n)0(>p 的收敛性.解 由,1)1(111∑∑∞=∞=-=-n pn pn nn易见当1>p 时，题设级数绝对收敛;当10≤<p 时，由莱布尼茨定理知∑∞=--11)1(n pn n收敛，但∑∞=11n pn发散，故题设级数条件收敛.例4 判别级数∑∞=12sin n nn 的收敛性.解 ,1s i n 22nnn ≤而∑∞=121n n收敛,∴∑∞=12sin n nn 收敛,故由定理知原级数绝对收敛.例5 判定级数()2112111nnn nn ⎪⎭⎫⎝⎛+-∑∞=的收敛性.解 由,1121||2nn n n u ⎪⎭⎫⎝⎛+=有nnn n u ⎪⎭⎫⎝⎛+=1121||e 21→),(∞→n 而,121>e可知0||→n u ),(∞→n 因此所给级数发散.例6 判别级数∑∞=++-11)!1()1(n n nn n的收敛性.解 这是一个交错级数,令,)!1()1(1+-=+n nu n nn 考察级数∑∞=1||n nu是否绝对收敛,采用比值审敛法:||||lim1n n n u u +∞→12)!1(]!1)1[()1(lim++∞→++++=n n n nn n n )2()1(1lim 2++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→n n n n n nn nn n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→11lim e =,1>所以原级数非绝对收敛. 由,1||||lim1>+∞→n n n u u 可知当n 充分大时,有|,|||1n n u u >+故,0lim ≠∞→n 所以原级数发散.例7 判别级数()11211+--∞=∑nn n n 的收敛性.解 因为nn n n u u n n 11)1(1||||221+⋅+++=+nn n n n n 2212323+++++=,1≤即||||1n n u u ≤+),2,1( =n 且1lim||lim 2+=∞→∞→n n u n n n .0=由交错级数审敛法，原级数收敛.另一方面,1||2+=n n u n 22nn n +≥,21n=而∑∞=121n n发散,故∑∑∞=∞=+=1211||n n n nnu 发散.于是级数∑∞=-+-1211)1(n n n n 是条件收敛的.课堂练习1.判别级数∑∞=--21)1(n nn n的收敛性.2.设正项数列}{n a 单调减少, 且级数∑∞=-1)1(n n n a 发散,试问级数∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+111n nn a 是否收敛并说明理由?。
10-2 常数项级数的审敛法
l 3l 即 v n < un < v n 2 2
由比较审敛法的推论, 由比较审敛法的推论
∞
∞
(n > N )
∞ 3l （ i） ∑ v n收 敛 ⇒ ∑ vn收敛 ⇒ ∑ un收敛 ） n =1 n =1 2 n =1
l un收 敛 ⇒ ∑ vn收敛 ⇒ ∑ vn收敛 （ ii） ） n =1 n =1 2 n =1
所以原级数发散。 所以原级数发散。
∑
n =1
∞
1 n+1 ln( ), n n+1 ∵
而∑ 3 收敛, n=1 2 n
∞
1 1 n+1 ln( )~ 3 n n+1 n2
1
所以原级数收敛。 所以原级数收敛。
13
定理 10.2.4 (比值审敛法 达朗贝尔 比值审敛法,达朗贝尔 审敛法) 比值审敛法 达朗贝尔D’Alember审敛法 审敛法
∑
∞
∑
∞
收敛, ∑1 v n 收敛 则 ∑ u n 收敛 ; n=
n=1
(3) 当 l = +∞ 时, 若
发散, 发散. ∑ v n 发散 则 ∑ u n 发散. = =
n 1 n 1
∞
∞
9
un =l 证明 (1) 由 lim n→ ∞ v n
∃ N , 当 n > N时 ,
l 对于ε = > 0, 2 l un l l− < <l+ 2 vn 2
n =1 n =1
∞
∞
k > 0和正整数N，当n ≥ N 时，有un ≤ kvn , 则：
（ 1 ）∑ v n 收 敛
n =1 ∞ ∞
⇒ ⇒
常数项级数的审敛法
原理
原理
审敛法的原理基于无穷级数的性质和极限理论。通过分析级数的各项和其极限之间的关系，我们可以 判断级数的收敛性。
极限的存在性
审敛法通常涉及到分析级数的各项和其极限之间的关系。如果级数的各项趋于一个有限的数，则级数 收敛；如果级数的各项趋于无穷大，则级数发散。
条件收敛
如果常数项级数的每一项取绝对值后不收敛，但原级数收敛，则 称为条件收敛。
性质
绝对收敛的级数一定是收敛的，但条件收敛不一定是绝对收敛。
判别方法
1 2
比值法
比较相邻两项的比值，如果趋向于一个非零常数， 则级数发散；如果趋向于0，则级数收敛。
根值法
比较相邻两项的根值，如果趋向于一个非零常数， 则级数发散；如果趋向于0，则级数收敛。
应用
应用
审敛法在数学、物理、工程等多个领域 都有广泛的应用。例如，在解决物理问 题时，我们经常需要用到审敛法来判断 无穷级数的和是否存在，从而得到物理 量的精确解。
VS
实例
在求解量子力学中的薛定谔方程时，我们 经常需要用到审敛法来判断无穷级数的和 是否存在，从而得到波函数的精确解。
03 正项级数的审敛法
常数项级数是数学分析中研究无穷序 列的一种工具，其研究内容包括级数 的收敛性、和的求解等。
分类
按照项的正负性，常数项级数可以分 为正项级数、负项级数和交替级数。
正项级数是指所有项都为正数的级数 ，负项级数是指所有项都为负数的级 数，交替级数是指项的正负号交替变 化的级数。
收敛与发散
01
收敛性是常数项级数的一个重要属性，如果一个级数的和存在， 则称该级数收敛。
1102常数项级数的审敛法-2
n=2
n −1
的收敛性.
x − (1 + x ) ∵ x ≥ 2时, ( 时 < 0, )′ = x −1 2 x ( x − 1)2
x 故x ≥ 2时,函数 单调递减 , x −1
∴ n ≥ 2时, 有 un > un +1 ,
n 又 ∵ lim un = lim = 0, n→ ∞ n→ ∞ n − 1
例1 判定级数 ∑
∞ (−1)n
n=1
n
的收敛性.
1 解 这是一个交错级数 , 且un = , n
1 1 ∵ un = ≥ = un +1 , 且 lim un = 0, n n+1 n→ ∞
由莱布尼茨定理知, 级数收敛. 由莱布尼茨定理知, 原级数收敛.
例2 判定级数 ∑ 解
∞ (−1)n n
练习题
一 .判定下列级数的收敛性 : 判定下列级数的收敛性
1. ∑ n ; n =1 n 1 4. ∑ ; n = 2 ln n 1 7. ∑ arcsin ; n n= 2 n
∞ 1 ∞
∞
1
2. ∑
∞
1 nn n
n =1
;
3. ∑
∞
1
2n
n =1 n
; n
5. ∑
∞
∞ ( −1)n
n = 2 ln n
∞ ∞
∞ ( −1)n
解 由莱布尼茨定理知 ,级数收敛 , 级数收敛
1 又 ∵ ∑ un = ∑ 发散 , n =1 n =1 n + n
故原级数收敛,且为条件收敛. 故原级数收敛,且为条件收敛.
◆说明: (1)若 ∑ un 收敛 , 则 ∑ un也收敛; 说明:
4-1 常数项级数审敛
设 un 是正项级数,
n1
lim n
n
un
(为数或 ),
则 1时,收敛; 1时,发散.（ 1时失效）
比值审敛法的优点:
两点注意:
不必找参考级数.直接从级数本 身的构成——即通项来判定其 敛散性
1.当 1时比值审敛法失效;
例
级数
1 发散,
n1 n
级数
n1
1 n2
收敛,
(
1)
2.条件是充分的,而非必要.
n1
(1)n1 np
解 (1) | un |
(
1 np
p
0); (2)
n1
0 收敛.
(1)n n1
n
.
(2)
(
x
x ) 1
2
(1 x) x( x 1)2
0
( x 2)
故 x 单调递减, x 1
| un || un1 | ;
又
lim
n
|
un
|
lim
n
n n1
0.
收敛.
3.1课前回顾
一、级数收敛的必要条件：一般项不趋于零级数发散;
(2) 当0 l 时， un收敛 vn收敛;
(3) 当0 l 时， un收敛 vn收敛.
注: 比较审敛法的不方便—— 须有参照级数.
例 1 讨论 p-级数
1
1 2p
1 3p
1 4p
1 np
的收敛性.( p
0)
解 (1)
p
1
时,
1 np
1, n
p 级数发散; y
(2)
p 1时,
(为数或 ) ,
三、交错级数：莱布尼茨定理 1、单调递减（可用微分学方法证明） 2、一般项极限为0
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一般常数项级数的审敛准则
当级数中的正数项与负数项均为无穷多时，就称级数为一般常数项级数.
绝对收敛与条件收敛
设有一般常数项级数
取各项的绝对值所构成的级数
称为对应于原级数的绝对值级数.
绝对收敛的准则：如果对应的绝对值级数收敛，那末原级数也收敛.
注意：此时称为绝对收敛，
如果级数发散而级数收敛，
则称为条件收敛。
关于绝对收敛与条件收敛的问题
一个绝对收敛级数的正数项与负数项所组成的级数都是收敛的；
一个条件收敛级数的正数项与负数项所组成的级数都是发散的。
例题：证明：当λ>1时，级数为一绝对收敛级数.
证明：因为≤而当λ>1时收敛，故级数收敛，从而级数绝对收敛.
交错级数与它的审敛准则
交错级数就是任一相邻的两项都是符号相反的数，它是一般常数项级数的一种特殊级数.
交错级数可以写成：
交错级数的审敛准则(莱布尼兹准则)：
如果且，那末级数收敛.
例如：交错级数是收敛的，因为它满足莱布尼兹准则的两个条件：及。