全等三角形判定(二)

例01．如图，已知：21∠=∠，43∠=∠. 求证：BCD ADC ∆≅∆.分析：ADC ∆与BCD ∆的对应边是DC 与DC ，AD 与BC ，AC 与BD . 对应角是1∠与2∠，ADC ∠与BCD ∠，DAC ∠与CBD ∠. 由条件已有一对应边DC 与DC ，和一对应角1∠和2∠相等，只需证明BCD ADC ∠=∠，就可以证明两三角形全等.证明：21∠=∠，43∠=∠（已知），∴ 4231∠+∠=∠+∠. 即BCD ADC ∠=∠ 在ADC ∆与BCD ∆中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠)(12)()(已知公共边已证CD DC BCD ADC ∴ )(ASA BCD ADC ∆≅∆例02．已知：如图，21∠=∠，C B ∠=∠. 求证：COD BOE ∆≅∆.分析：欲证COD BOE ∆≅∆，已有两组条件，即C B ∠=∠和COD BOE ∠=∠. 因此，必须再具备一组对应边相等这一条件. BE 和CD 是在BOE ∆和COD ∆中，但直接证明CE BE =比较困难. 若证OE 和OD 相等或OB 和OC 相等，可以分别转化到证明AOD AOE ∆≅∆和AOC AOB ∆≅∆. 由已知条件，不难证出这两对三角形分别全等.证明：∵ 21∠=∠（已知），DOC EOB ∠=∠（对顶角相等）， ∴ DOC EOB ∠+∠=∠+∠21. 即 AOC AOB ∠=∠. 在AOB ∆与AOC ∆中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠)()()(公共边已证已知AO AO AOC AOB C B ∴ )(AAS AOC AOB ∆≅∆. ∴CO BO =在EOB ∆与COD ∆中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠)()()(已知已证对顶角相等C B CO BO COD EOB∴ COD BOE ∆≅∆（ASA ）例03．如图，已知：AB 与CD 相交于点O ，且OD OC BD AC =,//，E 、F 为AB 上两点，且BF AE =.求证：DOF COE ∆≅∆.分析：欲证DOF COE ∆≅∆，已具备了两个条件，OD OC =和DOF COE ∠=∠. 所以只需证另一对角相等或证明OF OE =，即可. 证明另一对角相等，比较困难. 所以就证明OF OE =. 因为有BF AE =. 要证OF OE =只需证OB OA =即可. 由已知条件容易证得BOD AOC ∆≅∆，从而证明OB OA =.证明：∵BD AC //（已知）∴B A ∠=∠（两直线平行，内错角相等） 在AOC ∆与BOD ∆中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠)()()(已知对顶角相等已证OD OC BOD AOC B A ∴)(AAS BOD AOC ∆≅∆∴BO AO =（全等三角形的对应边相等） ∵BF AE =（已知）， ∴BF BO AE AO -=-. 即OF OE =在COE ∆与DOF ∆中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()()(已证对顶角相等已知OE OE DOE COE DO CO ∴)(SAS DOF COE ∆≅∆例04．如图，已知：CE BD ACE ABD DAE BAC =∠=∠∠=∠,,. 求证：AE AD =.分析：欲证相等的两条线段AD ，AE 分别在ABD ∆和ACE ∆中，由于CE BD =，ACE ABD ∠=∠，所以只需再证CAE BAD ∠=∠即可，这由已知条件DAE BAC ∠=∠容易得到.证明：∵DAE BAC ∠=∠（已知） ∴DAC DAE DAC BAC ∠-∠=∠-∠ 即CAE BAD ∠=∠ 在ABD ∆与ACE ∆中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠∠=∠=)()()(已证已知已知CAE BAD ACE ABD CE BD ∴)(AAS ACE ABD ∆≅∆∴AE AD =（全等三角形的对应边相等）例05．已知：（如图）21,∠=∠∠=∠D A . 求证：DO AD =分析：要证DO AD =，只要证DOC AOB ∆≅∆即可，在AOB ∆和DOC ∆中，已知D A ∠=∠，DOC AOB ∆=∆，只要再证一边对应相等即可，根据已知可得DCB ABC ∆≅∆，从而可证DC AB =，进而可证DO AO =，思路即为：DO AO =⇐DOC AOB ∆≅∆⇐DC AB =⇐DCB ABC ∆≅∆⇐“AAS ”证明：在ABC ∆和DCB ∆中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠)()()(21公共边已知已知CB BC D A ∴)(AAS DCB ABC ∆≅∆∴DC AB =（全等三角形的对应边相等）在AOB ∆和DOC ∆中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠)()()(已证已知对顶角相等DC AB D A DOC AOB ∴ )(AAS DOC AOB ∆≅∆∴ DO AO =（全等三角形的对应边相等）例06．求证：三角形的一边的两端到这边的中线或中线的延长线的距离相等.分析：这是一道了题，必须先根据题意画出图形，再结合题意写出已知，求证，再证明.已知：AD 是ABC ∆的中线. 如图，且AD CF ⊥于F ，AD BE ⊥的延长线于E ， 求证：CF BE =证明：∵AD 为ABC ∆的中线（已知） ∴ CD BD =（中线定义）∵ AD BE ⊥ AD CF ⊥（已知）∴ ︒=∠=∠90CFD BED （等于定义） 在BED ∆与CFD ∆中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠)()(21)(已证对顶角相等已知CD BD CFD BED ∴CFD BED ∆≅∆（AAS ）∴CF BE =（全等三角形对应边相等）说明 本题还可利用面积相等来证明，提示，过A 作BC AN ⊥于N ，希同学们自己来证明.例07．已知：如图，BC AD CD AB //,//， 求证：CD AB =.分析：因为四边形，我只学过三角形的有关知识，因此只要连结四边形的对角线从而把四边形的总是转化为三角形的总是来解决.证明：连结AC∵BC AD CD AB //,//（已知）∴43,21∠=∠∠=∠（两直线平行内错角相等）在ABC ∆和CDA ∆中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠)(43)()(21已证公共边已知CA AC∴ )(ASA CDA ABC ∆≅∆∴CD AB =（全等三角形的对应边相等）例08．已知：如图，AO CO DO BO ==,求证：OF OE =证明：在BOC ∆和DOA ∆中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()()(已知对顶角相等已知OA OC DOA BOC DO BO ∴ )(SAS DOA BOC ∆≅∆∴ D B ∠=∠（全等三角形的对应角相等） 在BOE ∆和DOF ∆中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠)()()(对顶角相等已知已证DOF BOE DO BO D B ∴)(ASA DOF BOE ∆≅∆∴OF OE =（全等三角形的对应边相等）说明 找到题目中的隐性条件并加以应用是关键.例09．如图，在ABC ∆和DBC ∆中，43,21∠=∠∠=∠，P 是BC 上任意一点， 求证：PD PA =.证明：在ABC ∆和DBC ∆中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠)(43)()(21已知公共边已知BC BC ∴ )(ASA DBC ABC ∆=∆∴ DB AB =（全等三角形对应边相等） 在ABP ∆和DBP ∆中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()(21)(公共边已知已证BP BP DB AB ∴ )(SAS DBP ABP ∆≅∆∴ PD PA =（全等三角形对应边相等）说明：本题也可通过DBC ABC ∆≅∆，得到DC AC =，从而证DCP ACP ∆≅∆，得到PD PA =.选择题（1）已知ABC Rt ∆与C B A Rt '''∆，︒=∠90C ，︒='∠90C ，B A '∠=∠.B A AB ''=.那么下列结论正确的是（ ）（A ）C A AC ''= （B ）C B BC ''= （C ）C B AC ''= （D ）以上答案都不对（2）在ABC ∆和C B A '''∆，甲：B A AB ''=；乙：C B BC ''=；丙：C A AC ''=；丁：A A '∠=∠；戊：B B '∠=∠；己：C C '∠=∠，则不能保证ABC ∆≌C B A '''∆成立的条件为（ ）（A ）丙、丁、己 （B ）甲、丙、戊 （C ）甲、乙、戊 （D ）乙、戊、己（3）如图，已知ABD ∆和ACE ∆均为等边三角形，那么ADC ∆≌ABE ∆的根据是（ ）（A ）ASA （B ）SAS（C ）AAS （D ）以上都不对（4）如图，C 是BE 上一点，CD AB =，D A ∠=∠，E BCA ∠=∠，那么（ ）（A ）ECD B ∠=∠ （B ）C 是BE 的中点 （C ）CD AB //（D ）以上结论都正确参考答案：（1）C （2）B （3）B （4）D填空题（1）如图，已知：21∠=∠，D C ∠=∠. 求证：AD AC =.证明：在ACB ∆与ADB ∆中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠) _______()()(21AB D C 已知已知 ∴ACB ∆≌ADB ∆（ ） ∴AD AC =（2）如图，已知：BC AB ⊥，DC AD ⊥，垂足分别为B ，D .21∠=∠. 求证：AD AB =.证明：在ABC ∆与ADC ∆中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠) ()(21)(AC AC ADC ABC ∴ ABC ∆≌ADC ∆（ ） ∴AD AB =（ ）（3）如图，已知：CE AE =，C A ∠=∠.求证：ADE ∆≌CEB ∆.证明：在AED ∆与CEB ∆中，⎪⎩⎪⎨⎧==∠=∠) _____(______)()(已知CE AE C A ∴ AED ∆≌CEB ∆（ASA ）（4）如图，已知：C B ∠=∠，AD AE =.求证：AEC ∆≌ADB ∆.证明：在AEC ∆与ADB ∆中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠) ()()(AE AE C B A A 已知 ∴AEC ∆≌ADB ∆（ ）参考答案：（1）AB ；公共边；AAS ；全等三角形的对应边相等（2）垂直定义；已知；公共边；AAS ；全等三角形的对应边相等. （3）已知：AED ∠；CEB ∠；对顶角相等 （4）公共角；已知；AAS证明题1．如图，已知，21∠=∠，DCB ABC ∠=∠. 求证：DC AB =.2．如图，已知：E D ∠=∠，AM EM CN DN ===. 求证：点B 是线段AC 的中点.3．如图，已知：21∠=∠，AE AD =. 求证：OC OB =.4．如图，已知：在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，AB DE ⊥于E ，AC DF ⊥于C ，求证：AF AE =.5．如图，已知：E 在AC 上，21∠=∠，43∠=∠. 求证：DE BE =.6．如图，已知：BC AD //，21∠=∠，43∠=∠，直线DC 过E 点交AD 于D ，交BC 于C .求证：AB BC AD =+.7．求证：三角形一边的两个端点到这边上的中线的距离相等. 8．如图，已知：DE AB =，直线AE ，BD 相交于点C ，︒=∠+∠180D B ，DE AF //，交BD 于F .求证：CD CF =.9．如图，已知：AB 与CD 相交于点O ，O 是AB ，CD 的中点，过点O 引直线EF 分别与AD ，BC 相交于E 、F 两点.求证：BF AE =.参考答案：1．证：由DCB ABC =∠，21∠=∠，可得ACB DBC ∠=∠.易证ABC ∆≌DCB ∆，∴ DC AB =2．证：易证DNB ∆≌EMB ∆，∴ EB DB =，由此可证：EA DC =.因此，可证DCB ∆≌EAB ∆.∴BC AB =，∴B 是AC 的中点.3．易证ABE ∆≌ACD ∆，∴C B ∠=∠，AC AB =，又∵AE AD =，∴CE BD =.由此可证BOD ∆≌COE ∆，∴OC OB =4．︒=∠=∠90AFD AED ，FAD EAD ∠=∠，AD AD =，∴AFD AED ∆≅∆，∴AF AE =.5．∵ 21∠=∠，AC AC =，43∠=∠，∴ABC ∆≌ADC ∆，∴AD AB =，又∵21∠=∠,AE AE =，∴ADE ABE ∆≅∆，∴DE BE =6．在AB 上取一点F ，使BF BC =，又∵43∠=∠，EB EB =，∴ECB EFB ∆≅∆，∴C EFB ∠=∠，又∵BC AD //，由此可推出D EFA ∠=∠.可证AFE ADE ∆≅∆，∴AF AD =，∴BC AD AB +=.7．已知：如图，AD 为ABC ∆的中线，AD BF ⊥于F ，AD CE ⊥于E . 求证：CE BF =.证：︒=∠=∠90BFD CED ，BDF CDE ∠=∠，BD CD =，∴ BFD CED ∆≅∆,∴ CE BF =8．证：∵ DE AF //， ∴AFC D ∠=∠，又∵︒=∠+∠180AFB AFC ，︒=∠+∠180D B ，∴ AFB B ∠=∠∴ DE AF AB ==，∴ 可证ECD ACF ∆≅∆，∴CD CF =9．证：BO AO =，BOC AOD ∠=∠，CO DO =，∴BOC AOD ∆≅∆，∴B A ∠=∠.而BOF AOE ∠=∠，BO AO =，∴BOF AOE ∆≅∆，∴ BF AE =能力：1、如图1，已知：AD 平分∠BAC ，AB=AC ，连接BD ，CD ，并延长相交AC 、AB 于F 、E 点.则图形中有（ ）对全等三角形.A 、2B 、3C 、4D 、5答案：C.2、如图2，已知：∠1=∠2，AB=DC ，图中全等三角形的对数是（ ）A 、0B 、1C 、2D 、3答案：A3、如图3，已知：△ABC 中，DF=FE ，BD=CE ，AF ⊥BC 于F ，则此图中全等三角形共有（ ）A 、5对B 、4对C 、3对 D2对答案：C.1、如图4，已知：在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AD=BD ，DE=DC ，延长BE 交AC 于F ，求证：BF 是△ABC 中边上的高. 图1 A B B 、E F D C A D B O C 1 2 图2 图3 A D F E C A A F C D E 图4提示：关键证明△ADC ≌△BFC2、如图5，已知：∠D=∠E ，DN=EM ，AM=CN ，求证：点B 是线段AC 的中点.提示：欲证点B 是线段AC 的中点，只需证AB ＝BC.选择AB 、BC 所在的两个三角形，然后证这两个三角形△AMB ≌△CNB.由条件可得△EMB ≌△DNB ，所以得到∠EMB ＝∠DNB ，MB ＝NB由此易证△AMB ≌△CNB.3、如图6，已知：AB=CD ，∠A=∠D.求证：∠ABC=∠DCB提示：欲证∠ABC=∠DCB ，选择这两个角所在的三角形，只需证△ABC ≌△DBC由条件可知△ADC ≌△DAB ，所以得到∠DAC ＝∠ADB ，BD ＝AC ，加之条件利用边角边公理可证△ABC ≌△DBC4、如图7，已知：在△ABC 中，∠ACB=090,AC=BC ，AE 是BC 边上的中线过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于点D.（1）求证：AE=CD.（2）AC=12cm ，求BD 的长.提示：欲证AE=CD ，只需证△ACE ≌△CBD 由条件可知∠CAE ＝∠BCD （同角的余角相等）加之其它两个条件易证得结论.由E 是BC 的中点，EC ＝BE又BD ＝EC ，BC ＝AC 知BD ＝6 cm5、如图8，已知：在△ABC 中，AB=AC ，∠A=90，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，CE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，求证：BD=2CE提示：本题的关键是从结论BD=2CE 出发，想到构造线段CF ＝2CE ，再证BD ＝CFA M N E C DB 图5 A D BC 图6 O E ┛ ┓ ┏D A CF 图7 B A E C D 图8 F。