全等三角形判定(二)

例01．如图，已知：21∠=∠，43∠=∠. 求证：BCD ADC ∆≅∆.

分析：ADC ∆与BCD ∆的对应边是DC 与DC ，AD 与BC ，AC 与BD . 对应角是1∠与2∠，ADC ∠与BCD ∠，DAC ∠与CBD ∠. 由条件已有一对应边DC 与DC ，和一对应角1∠和2∠相等，只需证明BCD ADC ∠=∠，就可以证明两三角形全等.

证明：21∠=∠，43∠=∠（已知），

∴ 4231∠+∠=∠+∠. 即BCD ADC ∠=∠ 在ADC ∆与BCD ∆中，

⎪⎩

⎪

⎨⎧∠=∠=∠=∠)(12)

()(已知公共边已证CD DC BCD ADC ∴ )(ASA BCD ADC ∆≅∆

例02．已知：如图，21∠=∠，C B ∠=∠. 求证：COD BOE ∆≅∆.

分析：欲证COD BOE ∆≅∆，已有两组条件，即C B ∠=∠和COD BOE ∠=∠. 因此，必须再具备一组对应边相等这一条件. BE 和CD 是在BOE ∆和COD ∆中，但直接证明CE BE =比较困难. 若证OE 和OD 相等或OB 和OC 相等，可以分别转化到证明AOD AOE ∆≅∆和AOC AOB ∆≅∆. 由已知条件，不难证出这两对三角形分别全等.

证明：∵ 21∠=∠（已知），DOC EOB ∠=∠（对顶角相等）， ∴ DOC EOB ∠+∠=∠+∠21. 即 AOC AOB ∠=∠. 在AOB ∆与AOC ∆中，

⎪⎩

⎪

⎨⎧=∠=∠∠=∠)()()(公共边已证已知AO AO AOC AOB C B ∴ )(AAS AOC AOB ∆≅∆. ∴CO BO =

在EOB ∆与COD ∆中

⎪⎩

⎪

⎨⎧∠=∠=∠=∠)()()(已知已证对顶角相等C B CO BO COD EOB

∴ COD BOE ∆≅∆（ASA ）

例03．如图，已知：AB 与CD 相交于点O ，且OD OC BD AC =,//，E 、F 为AB 上两点，且BF AE =.

求证：DOF COE ∆≅∆.

分析：欲证DOF COE ∆≅∆，已具备了两个条件，OD OC =和DOF COE ∠=∠. 所以只需证另一对角相等或证明OF OE =，即可. 证明另一对角相等，比较困难. 所以就证明OF OE =. 因为有BF AE =. 要证OF OE =只需证OB OA =即可. 由已知条件容易证得BOD AOC ∆≅∆，从而证明OB OA =.

证明：∵BD AC //（已知）

∴B A ∠=∠（两直线平行，内错角相等） 在AOC ∆与BOD ∆中，

⎪⎩

⎪

⎨⎧=∠=∠∠=∠)()()(已知对顶角相等已证OD OC BOD AOC B A ∴)(AAS BOD AOC ∆≅∆

∴BO AO =（全等三角形的对应边相等） ∵BF AE =（已知）， ∴BF BO AE AO -=-. 即OF OE =

在COE ∆与DOF ∆中，

⎪⎩

⎪

⎨⎧=∠=∠=)()()(已证对顶角相等已知OE OE DOE COE DO CO ∴)(SAS DOF COE ∆≅∆

例04．如图，已知：CE BD ACE ABD DAE BAC =∠=∠∠=∠,,. 求证：AE AD =.

分析：欲证相等的两条线段AD ，AE 分别在ABD ∆和ACE ∆中，由于CE BD =，

ACE ABD ∠=∠，

所以只需再证CAE BAD ∠=∠即可，这由已知条件DAE BAC ∠=∠容易得到.

证明：∵DAE BAC ∠=∠（已知） ∴DAC DAE DAC BAC ∠-∠=∠-∠ 即CAE BAD ∠=∠ 在ABD ∆与ACE ∆中，

⎪⎩

⎪

⎨⎧∠=∠∠=∠=)()()(已证已知已知CAE BAD ACE ABD CE BD ∴)(AAS ACE ABD ∆≅∆

∴AE AD =（全等三角形的对应边相等）

例05．已知：（如图）21,∠=∠∠=∠D A . 求证：DO AD =

分析：要证DO AD =，只要证DOC AOB ∆≅∆即可，在AOB ∆和DOC ∆中，已知D A ∠=∠，DOC AOB ∆=∆，只要再证一边对应相等即可，根据已知可得

DCB ABC ∆≅∆，从而可证DC AB =，进而可证DO AO =，思路即为：DO AO =⇐DOC AOB ∆≅∆⇐DC AB =⇐DCB ABC ∆≅∆⇐“AAS ”

证明：在ABC ∆和DCB ∆中

⎪⎩

⎪

⎨⎧=∠=∠∠=∠)()()(21公共边已知已知CB BC D A ∴)(AAS DCB ABC ∆≅∆

∴DC AB =（全等三角形的对应边相等）

在AOB ∆和DOC ∆中

⎪⎩

⎪

⎨⎧=∠=∠∠=∠)()

()(已证已知对顶角相等DC AB D A DOC AOB ∴ )(AAS DOC AOB ∆≅∆

∴ DO AO =（全等三角形的对应边相等）

例06．求证：三角形的一边的两端到这边的中线或中线的延长线的距离相等.

分析：这是一道了题，必须先根据题意画出图形，再结合题意写出已知，求证，再证明.

已知：AD 是ABC ∆的中线. 如图，且AD CF ⊥于F ，AD BE ⊥的延长线于E ， 求证：CF BE =

证明：∵AD 为ABC ∆的中线（已知） ∴ CD BD =（中线定义）

∵ AD BE ⊥ AD CF ⊥（已知）

∴ ︒=∠=∠90CFD BED （等于定义） 在BED ∆与CFD ∆中

⎪⎩

⎪

⎨⎧=∠=∠∠=∠)()(21)(已证对顶角相等已知CD BD CFD BED ∴CFD BED ∆≅∆（AAS ）

∴CF BE =（全等三角形对应边相等）

说明 本题还可利用面积相等来证明，提示，过A 作BC AN ⊥于N ，希同学们自己来证明.

例07．已知：如图，BC AD CD AB //,//， 求证：CD AB =.

分析：因为四边形，我只学过三角形的有关知识，因此只要连结四边形的对角线从而把四边形的总是转化为三角形的总是来解决.

证明：连结AC