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开放式光腔与高斯光束
损耗的评价：
光子在腔内的平均寿命 R
1、初始光强 I0，往返m 次后的光强：
Im I0 (e2 )m I0e2 m
2、取0 时刻的光强 I0，则到 t 时刻光子往返的次数：
t
m
2L '/ c
3、 t 时刻的光强：I (t)
t
I0e L' / c
t
I0e R
4、光子的平均寿命： R L' / c
1级
0级
-1级
给出不同模式的精细描述, 适用衍射效应明显的场合
几何光学+干涉仪理论:模式按传输方向和谐振频率来区分
(r3,z3)
腔 镜
(r1,z1)
(r2,z2) (r0,z0)
粗略但简单明了
第二章 开放式光腔与高斯光束／§2.1 谐振腔与模式
四、模式表示方法及模式特征参数 TEMmnq－Transverse Electromagnetic wave － 横电磁波
n，
y
kz
q
z
电磁场的解
激光模式
谐振腔
光学谐振腔理论即激光模式理论
处于谐振腔内的电磁场(激光场) (模式基本特征及其与腔结构关系)
第二章 开放式光腔与高斯光束／§2.1 谐振腔与模式
三、光腔分析的两种理论方法
衍射理论: 模式按场分布,损耗,谐振频率来区分,
1级 0级
腔
-1级
镜
q
c 2L
c 2L
第二章 开放式光腔与高斯光束／§2.1 谐振腔与模式
六、横模－具有相同的横向场分布的模式(不同的光斑花样)
(1) x, y 轴对称 TEMmnq (2) 旋转对称 TEMmnq 轴对称和旋转对称分布取决于腔的几何形状 基(横)模 TEM00
开放式光腔与高斯光束
平均单程指数损耗因子：初始光强为I 0 ,在无源腔内往返一次后， 光强衰减为I1，则I1 I 0e
2
1 I0 ln ； 2 I1
1 I 0 I1 有时，定义单程损耗因子 (光强衰减百分数）。 2 I0 1 I 0 I1 1 I 0 I 0e 2 可以证明，在小损耗情况下， 2 I0 2 I0
稳定腔：任何旁轴光线可以在腔内往返无限多次不会 逸出腔外 几何偏折损耗小(低损耗腔)。 非稳腔：旁轴光线有限次反射后便逸出腔外 几何偏折损耗大(高损耗腔)。
两种不同的腔的理论处理方法、设计方法不同。
本节讨论用几何光学中光线矩阵方法来分析腔中的 几何偏折损耗。
一、腔内光线往返传播的矩阵表示
1、描述光线的参数
1、光子在腔内的平均寿命 R
根据平均单程指数损耗因子 的定义，我们可求得，初始光强 为I 0的光束经过m次往返后，光强会变为 Im I0 e
2
m
I 0e2 m
设t 0时刻光强为I 0，则到t时刻光在腔内往返的次数m应为 m t 0 tc 2 L 2L c
根据Maxwell方程和边界条件，我们可以求出电磁场的具体 解的形式。我们会发现，这些解是分立的。每一个分立的 解就是场的一个本征态，即电磁场的模式。
不管是闭腔或是开腔，只要给定了腔的具体结构，则其中振荡 模的特征也就随之确定下来，此即腔与模的一般联系。
模的基本特征包括： 电磁场分布(横向与纵向)；谐振频率；往返损耗；发散角。
r1,1 r4 ,4 r5 ,5
r2 ,2 r3,3
r1 开 始时 ： 1
r5 r1 T r1T LT r2T L T 1 5
第二章开放式光腔与高斯光束讲课用
谐振腔内允许或可能存在的电磁波的本 征态或腔内可能区分的光子的状态。
2、模与腔的关系 腔的参数确定后，则模的特征就由麦氏方
程组及腔的边界条件唯一地确定。
3、模的基本特征:
本征函数: 场的振幅和相位分布 本征值：决定自再现模的传输特性，包括模的
衰减、相移、谐振频率等。
4、处理腔模的方法
说明：不同的腔型，求解模的方法有所不同！
b、衍射损耗：由于腔镜尺寸有限导致 的！大小与腔的菲涅耳数 N = a2 / Lλ 、 几何参数g、横模种类有关。
c、腔镜反射不完全引起的损耗：如吸 收、散射、透射等。
②有源腔的损耗 a、b、c与无源腔的一致。
d、内损：材料中的非激活吸收、散射、腔内插 入元件引起的损耗等。 说明：a、b由于与模式有关，故又称为 选择性损耗，c、d则为非选择性损耗。
Δν q
= ν q+1
−ν q
=
c 2ηL
=
c 2L′
——纵模间隔
②腔横截面内的场是均匀分布。
③频率梳——纵模等距排列 *(在频率空间)
频率梳
Δν c ：单模线宽
4、激光器中出现的纵模数
Δν F Δν q
5.选纵模
1.确定可起振纵模数目 q的因素
(1)荧光线宽 *( 自发发
射线宽): Δν F
∵*(只有)满足
ab双凹稳定腔c凹凸稳定腔cd平凹稳定腔e半共焦腔r1dr12leyantaiuniversitysmwang2a对称共焦腔b平行平面腔c实共心腔d对称共心腔e虚共心腔?对称共焦腔confocalr1r2l?平行平面腔planeparallelr1r2?共心腔r1r2l?实共心腔r1r2均为正值当r1r2l2时称为对称共心腔symmetricconcentric?虚共心腔r1r2异号1谐振腔的模式的概念二模式概念及腔和模之间的一般关系谐振腔内允许或可能存在的电磁波的本征态或腔内可能区分的光子的状态
第二章开放式光腔与高斯光束
T T4T3T2T1
1 L
T1 T3 0 1
R1
①
② R2
1 0
T2
2 R2
1
1 0
T4
1、往返一周
T
2 L
2g2 1 (g1 g2 2g1g2 )
2Lg2
4g1
g
2
2
g
2
1
R1、R2:两反射镜面曲率半径 L:谐振腔长度
证
①
②
R1
R2
④
③
L
r22 T1r11 r33 T2 r22 T2T1r11 r44 T3r33 T3T2T1r11 r55 T4 r44 T4T3T2T1r11
2、实例
(1)单程传播L距离
证
1 r1
2 r2
L
r2=r1+L1 2= 1
T
1 0
L 1
T
1 0
L 1
(2)球面反射镜
1 0
T
2 R
1
R:球面镜曲率半径(凹为+,凸为-)
证
=i+2 2-=-1
2
ii
2o 1
全反射镜
部分反射镜
光学谐振腔的发展与分类
最早提出的是平行平面腔 随后广泛采用了共轴球面腔
理论上分析这类腔的时候， 认为其侧面对光无约束，因 此也称为开放式光学谐振腔， 简称开腔。
开腔——侧面对光没有约束
稳定腔 非稳定腔 临界腔
1 L
T1 T3 0 1
R1
①
② R2
1 0
T2
2 R2
1
1 0
T4
1、往返一周
T
2 L
2g2 1 (g1 g2 2g1g2 )
2Lg2
4g1
g
2
2
g
2
1
R1、R2:两反射镜面曲率半径 L:谐振腔长度
证
①
②
R1
R2
④
③
L
r22 T1r11 r33 T2 r22 T2T1r11 r44 T3r33 T3T2T1r11 r55 T4 r44 T4T3T2T1r11
2、实例
(1)单程传播L距离
证
1 r1
2 r2
L
r2=r1+L1 2= 1
T
1 0
L 1
T
1 0
L 1
(2)球面反射镜
1 0
T
2 R
1
R:球面镜曲率半径(凹为+,凸为-)
证
=i+2 2-=-1
2
ii
2o 1
全反射镜
部分反射镜
光学谐振腔的发展与分类
最早提出的是平行平面腔 随后广泛采用了共轴球面腔
理论上分析这类腔的时候， 认为其侧面对光无约束，因 此也称为开放式光学谐振腔， 简称开腔。
开腔——侧面对光没有约束
稳定腔 非稳定腔 临界腔
激光原理与技术(第二章1)PPT课件
3. 腔镜反射不完全引起的损耗：包括镜中的吸收、散射以及镜 的透射损耗。通常镜至少有一个反射镜是部分透射的，另一 个通常称“全反射”镜，其反射率不可能做到100%。
4. 固有损耗：激光材料的吸收、散射等引起的损耗。
1和2为选择损耗：不同模式的几何损耗和衍射损耗各不相同。3和 4为非选择损耗：对各个模式大体一样。
上海大学电子信息科学与技术
损耗的参数 (loss per pass, photon lifetimes, and quality factor Q)
1. 平均单程损耗因子
初始光强I0，在腔内往返一次后，光强衰减为I1，则
I I0e2
1 2
ln
I0 I
－指数损耗因子
如果I代表每一个引起损耗缘由的损耗因子，则总损耗
1 0
Tf
1
f
1
f R 2
焦距为f=2/R的薄透镜与球面反射镜等效
5.ABCD矩阵的应用－球面镜腔的往返矩阵 上海大学电子信息科学与技术
球面镜腔中往返一周的光线矩阵（简称往返矩阵）
r44 TR1TLTR2TL r00
T
r00
A C
B D
r0
0
T
A C
B D
1 2
R1
10
1 0
0 L
1 2
2. 与腔损耗有关的参数 －光子寿命R
光子(平均)寿命R－腔内光强衰减到初始值的1/e 所需时间
根据定义，如何计算光子平均寿命
I m I0 e2 m I0e2m
m
t
2L
R称为腔的时间常数
c
1
Im
m
I 0e 2m
t 2L
c
R
4. 固有损耗：激光材料的吸收、散射等引起的损耗。
1和2为选择损耗：不同模式的几何损耗和衍射损耗各不相同。3和 4为非选择损耗：对各个模式大体一样。
上海大学电子信息科学与技术
损耗的参数 (loss per pass, photon lifetimes, and quality factor Q)
1. 平均单程损耗因子
初始光强I0，在腔内往返一次后，光强衰减为I1，则
I I0e2
1 2
ln
I0 I
－指数损耗因子
如果I代表每一个引起损耗缘由的损耗因子，则总损耗
1 0
Tf
1
f
1
f R 2
焦距为f=2/R的薄透镜与球面反射镜等效
5.ABCD矩阵的应用－球面镜腔的往返矩阵 上海大学电子信息科学与技术
球面镜腔中往返一周的光线矩阵（简称往返矩阵）
r44 TR1TLTR2TL r00
T
r00
A C
B D
r0
0
T
A C
B D
1 2
R1
10
1 0
0 L
1 2
2. 与腔损耗有关的参数 －光子寿命R
光子(平均)寿命R－腔内光强衰减到初始值的1/e 所需时间
根据定义，如何计算光子平均寿命
I m I0 e2 m I0e2m
m
t
2L
R称为腔的时间常数
c
1
Im
m
I 0e 2m
t 2L
c
R
第二章 开放式光腔和高斯光束
r: 光线离轴线的距离； ζ :光线与轴线的夹角，规定
光线出射方向, 在腔轴线的上 方时，θ为正，反之θ为负。
傍轴光线、 自由空间的光线矩阵 2.2 共 轴 球 面 腔 的 稳 定 性 条 件 光线传输路径：
M 1 r1 ,1 M 2 r2 , 2
由几何关系： r2 r1 L sin 1 r1 L1 2 1
1 1 t dN t N0 0 N0
N0 t e R
t
R
dt R
这就证明了腔内光子的平均寿命为τR，腔的损耗 愈小，τR就愈大，腔内光子的平均寿命就愈长。
2.无源谐振腔的Q值
谐振腔Q值的普遍定义为：
δ ——储存在腔内的总能量；P——单位时间内损耗的能量， v—— 腔内电感场的振荡频率；W=2л v——场的角频率。
E0 ET
E3
E1=E0e-j
当||1的情况下（往返 传播次数无限多），当 = q2时，ET幅度可 以达到
E4 E3=E2e-j
E2=E1e-j
——腔内纵模需要满足的谐振条件
相长干涉条件：腔中某一点出发的波，经往返一 周回到原来位置时，应与初始出发的波同相位。
开放式光腔
稳定腔——共焦腔模式理论
（损耗小，模体积小）
非稳腔（高损，大功率激光器）
方形镜共焦腔 圆形镜共焦腔 一般稳定球面腔 与共焦腔的等价性 产生激光光束的传输问题 ——高斯光束
2.1光腔理论的一般问题
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ一.光学谐振腔的构成和分类
平行平面腔：最早的光腔法布里－珀罗干涉仪，F-P腔。
共轴球面腔：两块具有公共轴线球面镜构成的谐振腔。
第二章开放式光腔与高斯光束1
腔的菲涅耳数为 N a L
2
所以:
1 1 d 2 a N L
' d
几何光学分析方法和衍射理论分析方法
几何光学分析方法：
用矩阵方法处理光腔中光线的传播、腔的 稳定性 、谐振腔的分类等。
衍射理论分析方法： 在菲涅耳－－基尔霍夫衍射积分以及模式 重现概念的基础上，讨论谐振腔模式的形式、 解的存在、模式花样、衍射损耗等。
共焦谐振腔示意图
长半径球面腔
长半径球面谐振腔的性能介于共焦腔与球面腔之间，它的特点 如下： 1） 中等的衍射损耗；2）较易安装调整； 3）模体积很大； 4）腔内没有很高的光辐射聚焦现象；
长半径球面谐振腔适于连续工作的激光器
长半径球面腔示意图
半球型谐振腔 半球型谐振腔的特点： 易于安装调整、衍射损耗低、成本低 半球型谐振腔主要应用于低功率氦氖激光器
（3）腔镜不完全反射引起的损耗 包括反射镜的吸收、散射以及镜的透射损耗。 镜的透射损耗与输出镜的透射率T有关。 （4）材料中非激活吸收、散射，腔内插入物引起的损耗。 激光通过腔内光学元件和反射镜发生非激活吸收、散 射引起的损耗 平均单程损耗因子
I I 0e
2
1 I0 ln 2 I
I1 I 0 r1r2 I 0e 2 r 1 r ln(r1r2 ) 2 r1 1, r2 1 时有
当
1 r [(1 r1 ) (1 r2 )] 2 （2）腔镜倾斜时的几何损耗
设倾角为 ，往返m次后才逸出腔 外，D为腔的横向尺寸。
L 2 L 6 L(2m 1)2 D
§2.1 光腔理论的一般问题
一、光学谐振腔的构成、分类和作用 光学谐振腔的构成 最简单的光学谐振腔是在激活介质两端恰当地 放置两个镀有高反射率的反射镜构成。
ch2开放式光腔与高斯光束
4．相位分布
实函数 镜面上各点场的相位相同，共焦腔反射镜本身构成场的一 个等相位面。共焦腔的这一性质也与平行平面腔不同。
三、单程损耗
2-5方形镜共焦腔的自再现模
2-5方形镜共焦腔的自再现模
1
mn
(1) (1) 4 N exp{ i{kL (m n 1) ]}Rom (c,1) Ron (c,1) 2
选择损耗：不同模式的损耗各不相同的损耗 非选择损耗：不同模式的损耗都相同的损耗
2-1光腔理论的—般问题 (1)几何偏折损耗 (2)衍射损耗 非选择损耗 选择损耗
(3)腔镜反射不完全引起的损耗
(4)材料中的非激活吸收、散射，腔内插入物(如布儒斯特 窗．调Q元件、 调制器等)所引起的损耗，等等。 平均单程损耗因子δ
2-2共轴球面腔的稳定性条件 三、 共轴球面腔的分类 1. 稳定腔
满足 条件的共轴球面腔都是稳定腔。其特点是任 意近轴光线在腔内能往返无限多次而不横向逃逸出腔外。 换句话说，这种腔的几何损耗为零。 腔内的光束可分为两种：称简并光束；经有限次往返后可形成闭合 非简并光束:虽可往返多次，但始终不能自行闭合。
I1 I 0e
2
用单程渡越时光强的平均衰减百分数来定义单程损耗因子
2-1光腔理论的—般问题 δ′与指数损耗因子 δ 是一致的
1．光子在腔内的平均寿命
2-1光腔理论的—般问题
2．无源谐振腔的 Q 值 无论是 LC 振荡回路、微彼谐振腔、还是光频谐振腔， 都采用品值因数Q标志腔的特性。谐振腔Q值的普遍定义为:
2-2共轴球面腔的稳定性条件 球 面 镜 反 射
球面镜的反射矩阵
球面镜对近轴光线的反射变换与焦距相同的薄透镜对同 一傍轴光线的透射变换是等效的，只是光线传播方向不折转。 在此基础上，可以将球面镜腔等效为周期透镜波导。
实函数 镜面上各点场的相位相同，共焦腔反射镜本身构成场的一 个等相位面。共焦腔的这一性质也与平行平面腔不同。
三、单程损耗
2-5方形镜共焦腔的自再现模
2-5方形镜共焦腔的自再现模
1
mn
(1) (1) 4 N exp{ i{kL (m n 1) ]}Rom (c,1) Ron (c,1) 2
选择损耗：不同模式的损耗各不相同的损耗 非选择损耗：不同模式的损耗都相同的损耗
2-1光腔理论的—般问题 (1)几何偏折损耗 (2)衍射损耗 非选择损耗 选择损耗
(3)腔镜反射不完全引起的损耗
(4)材料中的非激活吸收、散射，腔内插入物(如布儒斯特 窗．调Q元件、 调制器等)所引起的损耗，等等。 平均单程损耗因子δ
2-2共轴球面腔的稳定性条件 三、 共轴球面腔的分类 1. 稳定腔
满足 条件的共轴球面腔都是稳定腔。其特点是任 意近轴光线在腔内能往返无限多次而不横向逃逸出腔外。 换句话说，这种腔的几何损耗为零。 腔内的光束可分为两种：称简并光束；经有限次往返后可形成闭合 非简并光束:虽可往返多次，但始终不能自行闭合。
I1 I 0e
2
用单程渡越时光强的平均衰减百分数来定义单程损耗因子
2-1光腔理论的—般问题 δ′与指数损耗因子 δ 是一致的
1．光子在腔内的平均寿命
2-1光腔理论的—般问题
2．无源谐振腔的 Q 值 无论是 LC 振荡回路、微彼谐振腔、还是光频谐振腔， 都采用品值因数Q标志腔的特性。谐振腔Q值的普遍定义为:
2-2共轴球面腔的稳定性条件 球 面 镜 反 射
球面镜的反射矩阵
球面镜对近轴光线的反射变换与焦距相同的薄透镜对同 一傍轴光线的透射变换是等效的，只是光线传播方向不折转。 在此基础上，可以将球面镜腔等效为周期透镜波导。
第二章开放式光腔与高斯光束kp
腔的时间常数
腔内光子平均寿命
•谐振腔损耗越小，腔内光子寿命越长 •腔内有增益介质，使谐振腔净损耗减小，光子寿命变长
17
2.1 光腔理论的一般问题 5.光子寿命与无源谐振腔的Q值的联系
谐振腔品质因子的定义：
储存在腔内的总能量（E） 单位时间内损耗的能量（P）
Q的普 遍定义
可以证明：
因此有：
谐振腔的损耗越小，Q值越高
18
2.2 共轴球面腔的稳定条件 2.2 共轴球面腔的稳定条件
一、几何光学中的光线传输矩阵（ABCD矩阵）
r z
正,负号规定:
2. 自由空间区的光线矩阵
B A
L
自由空间光线矩阵
19
2.2 共轴球面腔的稳定条件
4. 薄透镜传输矩阵
f
20
2.1 光腔理论的一般问题
‹#›
2.2 共轴球面腔的稳定条件 薄透镜与球面反射镜等效
—开腔的自再现模 或 横模 幅度、相位
的衍化 空间相干性
孔阑传输线
2.3 开腔理论的物理概念和衍射理论分析方法 三、几点理解
1.只有不受衍射影响的场分布才能形成稳定的场分布，成为自再现模。 2.衍射起“筛子”作用，将腔中允许存在的自再现模从各种自发辐射模中筛选出来。
3.自再现模是多次衍射的结果，与初始波形无关，但不同的初始波形最终形成的场 分布不同，而自发辐射可提供不同的初始波形,因此决定了自再现模的多样性。
1
第二章 开放式光谐振腔与高斯光束
2.1 光腔理论的一般问题 2.2 共轴球面腔的稳定性条件 2.3 开腔模式的物理概念和衍射理论分析方法 2.4 平行平面腔模的迭代解法 2.5 方形镜共焦腔的自再现模 2.6 方形镜共焦腔的行波场 2.7 圆形镜共焦腔 2.8 一般稳定球面腔的模式特征 2.9 高斯光束的基本性质及q参数 2.10 高斯光束q参数的变换规律 2.11 高斯光束的聚焦与准直 2.12 高斯光束的自再现变换与稳定球面腔 2.13 光束衍射倍率因子
ch2-开放式光腔与高斯光束概述
平面反射镜
2019/3/14
1 0
1 0 1 1 f
0 n1 n2
L 1 0 1
1 0
0 1
29
2019/3/14
30
2019/3/14
31
2019/3/14
32
光线在腔内传播的情形,其坐标变换情况如下：
(1) 稳定腔 双凹稳定腔，由两个凹面镜组成 平凹稳定腔，由一个平面镜和一个凹面镜组成
。 凹凸稳定腔，由一个凹面镜和一个凸面镜组成
共焦腔，R1＝R2＝L，因而，g1=0，g2=0，
半共焦腔，由一个平面镜和一个R=2L的凹面镜组 成
2019/3/14
2 r
1 r1 1, r2 1时， r＝ 1－r1 ＋1－r2 2
2019/3/14 19
2019/3/14
20
(2)腔镜倾斜时的几何损耗:设光在腔内往返m次后才 逸出腔外
L 2 L 6 ... L 2m 1 2 D
L q
,
0 q
2
0q
称为腔的谐振波长
c q q , 2L
q称为腔的谐振频率
当光腔内充满折射率为 的均匀物质时
L L
,
L q
2019/3/14
q
2
c q q , 2 L
式中 q 为物质中的谐振波长。
11
本征模式在腔的横截面内场 分布是均匀的，而沿腔的轴 线方向(纵向)形成驻波，驻 波的波节数由q决定，q单值 地决定模的谐振频率。
2019/3/14 4
气体波导谐振腔：在一段空心介质波导管两端 适当位置处放置两块适当曲率的反射镜片。这 样，在空心介质波导管内，场服从波导管中的 传输规律；而在波导管与腔镜之间的空间中， 场按与开腔中类似的规律传播。这种腔与开腔 的差别在于：波导管的孔径往往较小(虽然通 常仍远比波长为大)，以致不能忽略侧面边界 的影响。
2019/3/14
1 0
1 0 1 1 f
0 n1 n2
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1 0
0 1
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光线在腔内传播的情形,其坐标变换情况如下：
(1) 稳定腔 双凹稳定腔，由两个凹面镜组成 平凹稳定腔，由一个平面镜和一个凹面镜组成
。 凹凸稳定腔，由一个凹面镜和一个凸面镜组成
共焦腔，R1＝R2＝L，因而，g1=0，g2=0，
半共焦腔，由一个平面镜和一个R=2L的凹面镜组 成
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2 r
1 r1 1, r2 1时， r＝ 1－r1 ＋1－r2 2
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(2)腔镜倾斜时的几何损耗:设光在腔内往返m次后才 逸出腔外
L 2 L 6 ... L 2m 1 2 D
L q
,
0 q
2
0q
称为腔的谐振波长
c q q , 2L
q称为腔的谐振频率
当光腔内充满折射率为 的均匀物质时
L L
,
L q
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q
2
c q q , 2 L
式中 q 为物质中的谐振波长。
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本征模式在腔的横截面内场 分布是均匀的，而沿腔的轴 线方向(纵向)形成驻波，驻 波的波节数由q决定，q单值 地决定模的谐振频率。
2019/3/14 4
气体波导谐振腔：在一段空心介质波导管两端 适当位置处放置两块适当曲率的反射镜片。这 样，在空心介质波导管内，场服从波导管中的 传输规律；而在波导管与腔镜之间的空间中， 场按与开腔中类似的规律传播。这种腔与开腔 的差别在于：波导管的孔径往往较小(虽然通 常仍远比波长为大)，以致不能忽略侧面边界 的影响。
最新《高等激光原理李瑞宁》2.第二章 开放式光谐振腔与高斯光束讲学课件
L
x y
m
(
x
)
n ( y )
m n
K
x(x,
x
/ )
m
(x
/)d x
/
K
x(y,
y
/ )
n(
y
/)d y
/
mn(x, y) m (x) n(y)n
mn m n
六、分离变量法—— 一般球面镜
P1/
P1（x，y）
ρ
a2
( x,
y, x / ,
y/
)
P1P 2
P/1P/ 2
——光强衰减到1/e所需要的时间
t
I (t) I0e R
R
L/ dc
1 I (t) e I0
dN个光子的寿命为t， N0个光子的平均寿命为：
I ( t ) Nh
dN
N
0
t
e R dt
R
_
t
1
( dN ) t
N0
t
N N0e R
1
N0
t( N 0 0 R
t
)e R d t
R
2.无源谐振腔的 Q 值
P
/ 1
P1
P/2P2
P/1P/ 2 L (x x/ )2 ( y y/ )2
2L
2L
/
/
L
a b
(x, y) (x)( y) ——上述方程可以分离变量
（x/，y/）
2a
代入上述方程，再分离变量，将二元函数
υ（x，y）的积分方程分解成两个对称的 单元函数υ（x）， υ（y）的积分方程
分解成两个分离的积分方程的核
归结成求解两维腔的本征模问题， υm（x）和 υn（y）分别是它的第m,第n个本征态 Γm、γn分别是它的第m,第n个本征值
第二章--开放式光腔与高斯光束
四、稳定球面腔中的模结构
• 方形镜共焦腔与圆形镜共焦腔的自再现模
镜面上场的振幅和相位分布
共焦腔基模在镜面上的分布 高阶横模（强度花样） 相位分布 单程损耗 单程相移和谐振频率
共焦腔行波场（共焦场）的特征
振幅分布和光斑尺寸 模体积 等相位面的分布 远场发散角
• 一般稳定球面腔的模式特征
共焦腔模式理论可以推广到一般两镜稳定球面腔。 基于：任意一个共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价； 任一满足稳定性条件的球面腔唯一地等价于某一共 焦腔。 “等价”指具有相同的行波场
22 CO2 激光器输出光 =10.6μm 0 =3mm，用F=2cm的
凸透镜聚焦，求欲得到 0' =20μm及 2.5μm
透镜应放在什么位置。
解:
F 2.0102 m
入射高斯光束的共焦参数
f 02 2.67m
0 20μm
0
0 F
(l F )2 f 2
一、光腔理论的一般问题
光腔的作用：模式选择、提供轴向光波模的反馈
构成、分类：
开放式光腔和波导腔；
模式的概念
稳定腔、非稳腔和临界腔
模式：通常将光学谐振腔内可能存在的电磁波的本 征态称为腔的模式
腔的模式也就是腔内可区分的光子的状态。
一旦给定了腔的具体结构，则其中振荡模的特征 也就随之确定下来了。
模的基本特征：
l 1.39m
即将透镜放在距束腰1.39m处；
0 2.5μm
得 l F 02F 2 f 2
l 23.87m
02
即将透镜放在距束腰23.87m处。
23．如图2.2光学系统，入射光 =10.6μ，m 求0" 及 l3 。
第二章1 光腔理论的一般问题.ppt
经腔内往返一周再回到原来位置时，应与初
始出发波同相（即相差是2的整数倍）。
2 2L q 2 q
L q q
2
q
q c 2L
q
c 2L
结论：L'一定的谐振腔只对一定频率的光波才
能提供正反馈，使之谐振； F-P腔的谐振频率
是分立的。
第二章-1 光腔理论的一般问题
• 此式又称为驻波条件。表明：达到谐振时， 腔的光学长度应为半波长的整数倍。
第二章-1 光腔理论的一般问题
衍射损耗 (均匀平面波 夫琅和费(Fraunhofer)衍射)
2a
L
FP腔
孔阑传输线 概念
第一衍射极小值： 1.22 0.61
2a
a
d
d
a L 2 a2 a L 2
2L
a
L a
2L
0.61
a2
1.22
a2 L
1
a2 L
1 N
N－ 腔的菲涅耳数，表征衍射损耗大小，N,衍射损耗
第二章-1 光腔理论的一般问题
• 后两种损耗称为非选择损耗，通常情况下 它们对各个模式大体一样。
• 几何偏折损耗和衍射损耗称为选择损耗， 不同模式的几何偏折损耗和衍射损耗各不 相同。
第二章-1 光腔理论的一般问题
损耗参数 (loss per pass, photon lifetimes, and quality factor Q)
第二章-1 光腔理论的一般问题
七 光腔的损耗
损耗类型(loss mechanisms ) 1、几何偏折损耗 2、衍射损耗(diffraction losses) 3、腔镜反射不完全引起的损耗(loss resulting from nonperfect reflection) 4、固有损耗(absorption and scattering in the laser medium)
第二章光腔与高斯光束
镜面的横向尺寸时，光不逸出，即为稳定。 我们讨论φ的取值情况： 1)φ为实数
a. Tn为有限值的条件为Sinφ不为0
φ不等于Kπ
即
1 ＝arc cos （A＋D） K 2 1 1 < （A＋D）< 1 稳定条件 2
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
1 2L 2L 2L2 A D 1 2 R1 R2 R1R2
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
(2)平行平面腔 此时有R1=R2＝∝，
g1＝g2＝1
g1g2＝1
1.腔中沿轴线方向行进的光线能往返无限多次而不 致逸出腔外，且一次往返即实现简并(形成闭合光 路 )． 2.沿非轴向行进的光线在经有限次往返后，必然从 侧面逸出腔外，这又与非稳腔相像。
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
Finesse
gm
1 gm
1 P cav Pmax 1 (2F )2 sin 2 ( )
§2.1 光腔理论的一般问题
三 光腔的损耗 1 分类
光学开腔的损耗包括： • 几何偏折损耗 • 衍射损耗 • 腔镜反射不完全所引起的损耗 • 材料中的非激活吸收、散射、腔内插入 的光学元件或其它物体所引起的损耗
I1 I 0r1r2 I 0e
2 r
1 1 r ln( r1r2 ) (ln r1 ln r2 ) 2 2
1 r [(1 r1 ) (1 r2 )] 2
当r1≈1，r2≈1时，
§2.1 光腔理论的一般问题
损耗举例2：（腔镜倾斜时的几何损耗）
m
§2.1 光腔理论的一般问题
二 F-P腔TEMmnq模之纵模
驻波条件: 波从某一点出发,经腔内往返一周再 回到原来位置时,应与初始出发波同相