参数估计中N-R迭代算法分析与实现
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
２１ ０ ０年第 ６期
福
建
电
脑
６ ７
参数 估计 中 Ｎ Ｒ迭代算法分析 与实现 —
李 华群 １２ ，
（ 、 昌大 学信 工 学 院 江 西 南 昌 ３ ０ ３ ２ 赣 南 师 范 学 院 科 技 学 院 江 西 赣 州 ３ １０ ） Ｉ南 ３０ １ 、 ４００ 【 摘 要 】 本 文 介 绍 了 项 目反 应 理 论 的基 础 知 识 ， ＩＴ理 论 下 ， ： 在 Ｒ 实现 了逻 辑 斯 帝 模 型 （ 参 数 情 况 ） 好 的 估 计 项 目 单 较 难 度 ｄ和 能 力参 数 。 在 进 行 估 计 时 ， 用 极 大 似 然 法进 行 估 计 ， 牛 顿一 夫 森 迭 代 法 （ — 进 行 求 解 ， 出 了 Ｎ Ｒ 算 法 步 采 用 拉 Ｎ Ｒ） 给 — 骤 。 最 后 ， 用数 据 测试 算 法 ， 出 项 目难度 和 能 力 参数 。 采 求 【 关键词 】 Ｒ ：ＩＴ逻辑 斯蒂模型 极 大似然法 Ｎ Ｒ 难度参数 能 力参数 —
Ｐ Ｉ岛 ｅ［（一） ［ｅ（一） （ （ ） ｘｕ 岛 ／ １ ｘ 岛 １ ，＝ ｐｕ ］ ＋ｐ ］ ）
反应数据矩阵（Ｕ） 的似然函数Ａ （ ） 为：
广 ． ｔ ｒ １ ．．
被试能 力参 数估计
Ａｅ ＝ｐ ｘ Ｉ
Ⅳ
一Ｉ孛［ｅ（ ｂ ／ 孛＋ ｉ ） 一 －） ］
∑ ： ｐｌ ； １ 一） ｅ（－） ＋ ｘＯ ｂ ／［ｅ ¨ ］
为 了解 出 上 述 方 程 ， 们 将 被 试 按 照 其 得 分 分 组 ， 是 ， 我 于 得
分为ｒ 的被 试 答 对 项 目 的概 率 为 ：
ｅ ＝ｑ 一 ） １ ｘｏ 】 ∞（ ／【ｅ（一 ） ｐ ＋ ｐ，
ｌ 项 目反 应 理 论 背 景及 介 绍 、 数 目
。
ｍ ： 表示迭代的次数。 这 一 理 论 的 测试 模 型 称 为 Ｉ Ｔ模 型 。 Ｒ Ｒ Ｉ Ｔ模 型 是 一 种 数 学模 型 ， 它 的特 点 是 以概 率 来 解 释 应 试 者 对 试 题 的 反应 和 其 潜 在 能 力 特 质 之 间 的 关 系 项 目反 应 理 论 不 下 ２ ０余 种 ． 根 据 实 际 情 况 选 分 可 择 适 当的 模 型 然 后 ，采 用 极 大 似 然 法 ，对 于Ａ 算一 阶 和二 阶 偏 导数 ， 计 得 Ｉ Ｔ还 在 测 试 方 法上 有新 的 突 破 ， 新 的 测 试 形 式 ：计 算 到 ： Ｒ １种
Ｐ Ｏ 指 能力 为 ０ （） 的人 答 对 此 题 目的概 率 ． 数 值 介 于０ ｌ 其 与 之 间 。一 般 题 目的Ｐ 建 议 以０ － ．为 宜 。 值 ． ０８ ２ 根 据 上 面所 给 出 的三 种 参 数 特 征 函数 ， 以进 行 判 断 ， 可 改进 等 功 能 的选 择 ． 以便 更 精 确 的确 定 所 要 估 计 的 参 数 估 计 ． 以达 到
模 型 中 ． 有单 参 数 模 型 （ 希 模 型 ） 以 采 用 手 工 方 式 进 行 参 只 拉 可 数 估计 ． 他模 型 只能 借 助 计 算 机 进 行 处 理 。 其 目前 最 常 用 的参 数
估 计 方法 是 各 种 极 大似 然 法 ． 次 是 贝 叶 斯 方 法 。 有 这些 方 法 其 所 都 是 以被 试 对 于 项 目反 应 的 得 分 情 况 作 为 参 数 估 计 基 础 的 ． 因 此 首先 应 该 对 被 试 的得 分 分 布进 行分 析
苦 ㈥ 誉 一 ）㈤ ＝ 嚣－ ＝ Ｎ：㈤ 筹 一 Ⅳ ，） ＝ ㈦ ∑ Ｎ
ｍ
以上 四个 表 达 式 中 ．
单参数模式特征函数： （ ＝／ ＋ Ｄ ） Ｐ ） ｌ ｅ（ ’ ０ Ｏ ： 双参数模式特征函数 ： （） １ ＋ Ｐ ＝／ ｅ Ｏ ） ： 三参数模式特征函数 ： （ ＝ ＋ 一 ｙ ＋ Ｐ ） ｃ ０ ｃ ｅ ０
由此 而 得 到 ：
（ ７ ）
、— 迭 ｃ 为题 目的 猜 测 系 数 ， 即特 征 曲线 的截 距 ， 值 越 大 ， 昵 不 ４ Ｎ Ｒ 代 算 法 实现 其 说 通 过 以 下 的 步 骤 可 以将 项 目参 数 ｄ和被 试 能 力０估 计 出 来 ： ； 论 受 测 者 能力 高低 。 容 易 猜对 本道 题 目。 都
更 精 确 的 目的
０ 初 始 值 为 ： ＝ｎ 的 Ｏ ｌ
Ｌ－ｒ
Ｊ． －） ． ， １ ．Ｌ ．
，
…
ｄ的初 始 值 如 下 式 所 示 ， 使 其 平 均 ｄ ｉ 并
ｄ（ ＝ｌ（ －ｓ Ｏ ｎ Ｎ ￣ ）
算法实现流程图如下 ：
项 目难度参数
山
３Ｎ Ｒ 代 算 法 分 析 、— 迭 单 参数 模 型 又 称拉 希 模 型 是 关 于 被 试ｉ 于项 目ｉ 为反 应 ｕ 对 作 的概 率 模 型 ． 可 以 写作 它
项 目反应 理 论 是 新 近 发 展 起 来 的 一 种 先 进 测 试 理 论 ．基 于
辜＝射ຫໍສະໝຸດ Baidu被者得 “为个目得 为 个试的分攀 第项的
机 自适应 测试 正 是 在 此 基 础 上 得 以实 现 的 。 ２ 逻 辑 斯谛 模 型介 绍 、 逻 辑 斯 谛 模 型包 括 单 参 数 、 参 数 和 三 参 数 模 型 。 这 一 些 双 在
其 中：＝ ． ２ 为一常数 ； Ｄ １ ０。 ７ Ｏ 被试 能 力 值 （ 值 有 正 负 之 分 ， 为 其 一般 取 值 ：４ Ｏ ４ ａ 题 － ＜ ＜ ：为 目的 区分 度 。 即特 征 曲 线 的 斜 率 ． 的值 越 大说 明 题 目对 受 测 者 它
的 区分 度 越 高 。 ｂ 题 目的难 度 ， 特 征 曲线 在横 坐标 轴 上 的投 影 。 为 即
福
建
电
脑
６ ７
参数 估计 中 Ｎ Ｒ迭代算法分析 与实现 —
李 华群 １２ ，
（ 、 昌大 学信 工 学 院 江 西 南 昌 ３ ０ ３ ２ 赣 南 师 范 学 院 科 技 学 院 江 西 赣 州 ３ １０ ） Ｉ南 ３０ １ 、 ４００ 【 摘 要 】 本 文 介 绍 了 项 目反 应 理 论 的基 础 知 识 ， ＩＴ理 论 下 ， ： 在 Ｒ 实现 了逻 辑 斯 帝 模 型 （ 参 数 情 况 ） 好 的 估 计 项 目 单 较 难 度 ｄ和 能 力参 数 。 在 进 行 估 计 时 ， 用 极 大 似 然 法进 行 估 计 ， 牛 顿一 夫 森 迭 代 法 （ — 进 行 求 解 ， 出 了 Ｎ Ｒ 算 法 步 采 用 拉 Ｎ Ｒ） 给 — 骤 。 最 后 ， 用数 据 测试 算 法 ， 出 项 目难度 和 能 力 参数 。 采 求 【 关键词 】 Ｒ ：ＩＴ逻辑 斯蒂模型 极 大似然法 Ｎ Ｒ 难度参数 能 力参数 —
Ｐ Ｉ岛 ｅ［（一） ［ｅ（一） （ （ ） ｘｕ 岛 ／ １ ｘ 岛 １ ，＝ ｐｕ ］ ＋ｐ ］ ）
反应数据矩阵（Ｕ） 的似然函数Ａ （ ） 为：
广 ． ｔ ｒ １ ．．
被试能 力参 数估计
Ａｅ ＝ｐ ｘ Ｉ
Ⅳ
一Ｉ孛［ｅ（ ｂ ／ 孛＋ ｉ ） 一 －） ］
∑ ： ｐｌ ； １ 一） ｅ（－） ＋ ｘＯ ｂ ／［ｅ ¨ ］
为 了解 出 上 述 方 程 ， 们 将 被 试 按 照 其 得 分 分 组 ， 是 ， 我 于 得
分为ｒ 的被 试 答 对 项 目 的概 率 为 ：
ｅ ＝ｑ 一 ） １ ｘｏ 】 ∞（ ／【ｅ（一 ） ｐ ＋ ｐ，
ｌ 项 目反 应 理 论 背 景及 介 绍 、 数 目
。
ｍ ： 表示迭代的次数。 这 一 理 论 的 测试 模 型 称 为 Ｉ Ｔ模 型 。 Ｒ Ｒ Ｉ Ｔ模 型 是 一 种 数 学模 型 ， 它 的特 点 是 以概 率 来 解 释 应 试 者 对 试 题 的 反应 和 其 潜 在 能 力 特 质 之 间 的 关 系 项 目反 应 理 论 不 下 ２ ０余 种 ． 根 据 实 际 情 况 选 分 可 择 适 当的 模 型 然 后 ，采 用 极 大 似 然 法 ，对 于Ａ 算一 阶 和二 阶 偏 导数 ， 计 得 Ｉ Ｔ还 在 测 试 方 法上 有新 的 突 破 ， 新 的 测 试 形 式 ：计 算 到 ： Ｒ １种
Ｐ Ｏ 指 能力 为 ０ （） 的人 答 对 此 题 目的概 率 ． 数 值 介 于０ ｌ 其 与 之 间 。一 般 题 目的Ｐ 建 议 以０ － ．为 宜 。 值 ． ０８ ２ 根 据 上 面所 给 出 的三 种 参 数 特 征 函数 ， 以进 行 判 断 ， 可 改进 等 功 能 的选 择 ． 以便 更 精 确 的确 定 所 要 估 计 的 参 数 估 计 ． 以达 到
模 型 中 ． 有单 参 数 模 型 （ 希 模 型 ） 以 采 用 手 工 方 式 进 行 参 只 拉 可 数 估计 ． 他模 型 只能 借 助 计 算 机 进 行 处 理 。 其 目前 最 常 用 的参 数
估 计 方法 是 各 种 极 大似 然 法 ． 次 是 贝 叶 斯 方 法 。 有 这些 方 法 其 所 都 是 以被 试 对 于 项 目反 应 的 得 分 情 况 作 为 参 数 估 计 基 础 的 ． 因 此 首先 应 该 对 被 试 的得 分 分 布进 行分 析
苦 ㈥ 誉 一 ）㈤ ＝ 嚣－ ＝ Ｎ：㈤ 筹 一 Ⅳ ，） ＝ ㈦ ∑ Ｎ
ｍ
以上 四个 表 达 式 中 ．
单参数模式特征函数： （ ＝／ ＋ Ｄ ） Ｐ ） ｌ ｅ（ ’ ０ Ｏ ： 双参数模式特征函数 ： （） １ ＋ Ｐ ＝／ ｅ Ｏ ） ： 三参数模式特征函数 ： （ ＝ ＋ 一 ｙ ＋ Ｐ ） ｃ ０ ｃ ｅ ０
由此 而 得 到 ：
（ ７ ）
、— 迭 ｃ 为题 目的 猜 测 系 数 ， 即特 征 曲线 的截 距 ， 值 越 大 ， 昵 不 ４ Ｎ Ｒ 代 算 法 实现 其 说 通 过 以 下 的 步 骤 可 以将 项 目参 数 ｄ和被 试 能 力０估 计 出 来 ： ； 论 受 测 者 能力 高低 。 容 易 猜对 本道 题 目。 都
更 精 确 的 目的
０ 初 始 值 为 ： ＝ｎ 的 Ｏ ｌ
Ｌ－ｒ
Ｊ． －） ． ， １ ．Ｌ ．
，
…
ｄ的初 始 值 如 下 式 所 示 ， 使 其 平 均 ｄ ｉ 并
ｄ（ ＝ｌ（ －ｓ Ｏ ｎ Ｎ ￣ ）
算法实现流程图如下 ：
项 目难度参数
山
３Ｎ Ｒ 代 算 法 分 析 、— 迭 单 参数 模 型 又 称拉 希 模 型 是 关 于 被 试ｉ 于项 目ｉ 为反 应 ｕ 对 作 的概 率 模 型 ． 可 以 写作 它
项 目反应 理 论 是 新 近 发 展 起 来 的 一 种 先 进 测 试 理 论 ．基 于
辜＝射ຫໍສະໝຸດ Baidu被者得 “为个目得 为 个试的分攀 第项的
机 自适应 测试 正 是 在 此 基 础 上 得 以实 现 的 。 ２ 逻 辑 斯谛 模 型介 绍 、 逻 辑 斯 谛 模 型包 括 单 参 数 、 参 数 和 三 参 数 模 型 。 这 一 些 双 在
其 中：＝ ． ２ 为一常数 ； Ｄ １ ０。 ７ Ｏ 被试 能 力 值 （ 值 有 正 负 之 分 ， 为 其 一般 取 值 ：４ Ｏ ４ ａ 题 － ＜ ＜ ：为 目的 区分 度 。 即特 征 曲 线 的 斜 率 ． 的值 越 大说 明 题 目对 受 测 者 它
的 区分 度 越 高 。 ｂ 题 目的难 度 ， 特 征 曲线 在横 坐标 轴 上 的投 影 。 为 即