非线性系统讲义
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非线性系统分析-PPT课件可修改文字
k(x a) y 0
k(x a)
x a | x | a xa
死区特性对系统性能的影响： （1）由于死去的存在，增大了系统的稳态误差，降低了 系统的控制精度； （2）若干扰信号落在死区段，可大大提高系统的抗干扰 能力。 2．饱和特性
y
M
a k
0a
x
M
M
y
kx
M
x a | x | a xa
1
2
平面，相应的分析法称为相平面法；
相平面上的点称为相点；
由某一初始条件出发在相平面上绘出的曲线称 为相平面轨迹，简称相轨迹；
不同初始条件下构成的相轨迹，称为相轨迹族， 由相轨迹族构成的图称为相平面图，简称相图。
2.相轨迹方程和平衡点
考察二阶非线性时不变微分方程:
x f (x, x)
引入相平面的概念，将二阶微分方程改写成二 元一阶微分方程组:
此时两个状态变量对时间的变化率 都为零，系统的状态不再发生变化，即 系统到达了平衡状态，相应的状态点 （相点）称为系统的平衡点。平衡点处 有的斜率
dx 2 dx2 dt 0 dx1 dx1 0
dt
则上式不能唯一确定其斜率，相轨迹上斜 率不确定的点在数学上也称为奇点，故平 衡点即为奇点。
奇点处，由于相轨迹的斜率dx2／dx1为 不定值，可理解为有多条相轨迹在此交汇 或由此出发，即相轨迹可以在奇点处相交。
初始条件不同时,上式表示的系统相轨迹是一 族同心椭圆，每一个椭圆对应一个等幅振动。在原 点处有一个平衡点(奇点)，该奇点附近的相轨迹是 一族封闭椭圆曲线，这类奇点称为中心点。
无阻尼二阶线性系统的相轨迹
2、欠阻尼运动（01）
系统特征方程的根为一对具有负实部的共 轭复根,系统的零输入解为
非线性系统介绍优秀课件
对系统的 影响
举例
振荡性↓，↓ 限制跟踪速度
晶体管特性
滤除小幅值干扰
稳态误差ess ↑
电动机，仪表
抑制系统发散 容易导致自振
开关特性
8-5, 8-9
第8章作业
8-3(1)(4) 8-4(1)(3) 8-5, 8-9, 8-10(1)(2) 8-15，8-16 8-17，8-19
特征：当输入信号在零位附近变化时，系统没有输出。当输 入信号大于某一数值时才有输出，且与输入呈线性关。
各类液压阀的正重叠量； 系统的库伦摩擦； 测量变送装置的不灵敏区； 调节器和执行机构的死区； 弹簧预紧力； 等等。
死区特性对系统性能的影响： （1）增大了系统的稳态误差，降低 了定位精度。 （2）减小了系统的开环增益，提高 了系统的平稳性，减弱动态响应的振
荡倾向
死区：(如：水表，电表，肌肉电特性等等)
常见非线性因素对系统运 动特性的影响
等K 效 振 ess(跟 荡 ， 踪 性 % ［ 阶原 跃来 差 信不 ） 号 此 稳 ， 有 时 定 能 稳 可 声 的 滤 态 能 ， 系 去 误 动 稳 提 统 小 不 定 高 ， 幅 大 （ 抗
非线性系统稳定 性与自由响应和 初始扰动的大小 有关
小扰动线性化处理
非线性系统研究 方法
相平面法-----用于二阶非线性系 统运动分析
描述函数法-----用于非线性系统 的稳定性研究及自振分析。
仿真研究---利用模拟机，数字 机进行仿真实验研究。
死区特性
输出
（不灵敏区特性）
输入 y(t) kx0(t)asgx(n t)
x(t)a x(t)a
2)、带死区继电特性 等效K：
ess ( 带死区)
自动控制原理—非线性控制系统PPT课件
R(s) -
x2m -a a
320
Y(s)
s(s+4)(s+8)
3.用描述函数法研究非线性控制系统
解:
查非线性元件描述函数表知具有滞环继电特性 (a/x2m=0.5)的描述函数为
N ( A) 4x2m e j
A sin 1 a
A
1 A e j
N ( A) 4x2m
Aa
3.用描述函数法研究非线性控制系统
=-2.5
C
x
=2 =-1 =-0.4
2. 相平面图的绘制
例9。3 试用等倾线法绘制二阶非线性系统
的相平面图。 解：
x.
x (1 x2 )x x 0
(1
x2)
x x
x
x x
1
(1 x2 )
0.2
2. 相平面图的绘制
3) 法
当等倾线为直线时绘制相轨迹比较方便。 当等倾线为直曲线时绘制相轨迹不方便。这 时用法更好。在法中，相轨迹是圆心沿x轴 滑动的一系列圆弧的连续线。
二阶系统的微分方程表达
d2 dt
x
2
a1 (
x,
dx) dt
dx dt
a0
(
x,
dx) dt
x
0
a1，a0为常数时表达线性定常系统。 a1，a0不为常数时表达非线性系统。
1. 基本概念
二阶系统的状态方程表达
令x1=x，x2=x. 1, 有
x1 x2ห้องสมุดไป่ตู้
x2 a0 (x1, x2 )x1 a1(x1, x2 )x2 a0x1 a1x2
Ⅱ)不稳定系统
Im o
Re
Ⅲ)自激振荡
G0(j)
非线性系统分析 PPT课件
1 A
2 A
1 ( 2 )2 1 AA
1
(
1 A
)
2
第15页/共24页
7.3 非线性系统的描述函数法
通过描述函数，一个非线性环节就可以看作是一个线性环节，而非 线性系统就近似成了线性系统，于是就可进一步应用线性系统的频率 法对系统进行分析。这种利用描述函数对非线性系统分析的方法称为 描述函数法。但这种方法一般只能用于分析系统的稳定性和自振荡。
可以近似认为非线性环节的稳态输出中只包含有基波分量，即
y(t) A1 cos nt B1 sinnt Y1 sin(t 1)
式中：A1
Y1
1 2
0
A12
y (t ) B12 ,
costd (t),
1
arctg
A1 B1
1
B1
2
y(t ) sintd (t )
0
（2）描述函数的定义
③自激振荡的计算
对于稳定的自激振荡，其振幅和频率是确定并且是可以测量的，具 体的计算方法是：振幅可由 1 N(A) 曲线的自变量A来确定，振荡频率
y
2 1 k2
x 12
由串联后的等效非线性特性，对照表7-1的死区加饱和非线性特性， 可见，k 2,a 2, 1
第14页/共24页
于是，等效非线性特性的描述函数为
N ( A)
2k
arcsin
a A
arcsin
A
a A
1 ( a )2 AA
1
(
A
)
2
4
arcsin
2 A
arcsin第3页ຫໍສະໝຸດ 共24页三、典型非线性特性
（1）饱和特性
《非线性系统》课件
混沌系统的特征和应用
敏感依赖
初值条件微小变化会导致系统演化的巨大差异。
不可预测性
在长时序演化中，混沌系统的状态基本是不可再现的。
应用领域
混沌系统在通信、保密、工程设计等领域有着重要的应用价值。
非线性系统的分析方法
1
极值稳定性分析法
2
通过分析系统处于极值时的稳定性性
质，来研究系统的演化规律和稳定性。
动力学方程和相空间
动力学方程
动力学方程描述了非线性系统的运动行为，如钟 摆、万有引力等。
相空间
相空间展示了非线性系统的运动信息，可以提供 直观分析方法。
混沌现象和混沌系统介绍
1
混沌现象
混沌现象指的是非线性系统具有极其灵敏的依赖于初值的性质，导致演化不可预 测的现象。
2
混沌系统
混沌系统具有非线性特征，普遍存在于复杂系统中，其运动是非常复杂而难以预 测的。
3
相平面分析法
通过绘制系统状态随时间的演化图案， 来研究系统的演化规律和稳定性。
相图和流图分析法
通过绘制相图和流图等图形，来分析 非线性系统的演化规律和稳定性。
非线性系统的解析方法
级数展开法和重整化理论
利用数学解析方法来求解非线性方程，对混沌系 统的研究和控制具有重要意义。
广义函数法和数值模拟
利用数值计算方法来模拟非线性系统的演化，能 够模拟许多真实系统的行为。
非线性系统的特点和分类
非线性反馈
反馈对系统演化和行为的影响是非线性的。
非平稳性
系统的特性随时间变化而变化。
非高斯性
随机变量分布不符合高斯（正态）分布规律。
非周期性
系统状态随时间没有固定的周期性演化。
第7章非线性系统分析
描述函数的定义是：输入为正弦函数时，输 出的基波分量与输入正弦量的复数比。
其数学表达式为
N
X
R
X
Y1
sin(t X sint
1)
Y1 X
1
A12 B12 arctan A1
A1
1
2
y(t) costdt
0
X
B1
1
B1
2
y(t ) sin tdt
0
7.3 非线性特性的描述函数法
（2）举例说明描述函数
(1) 降低了定位精度，增大了系统的静差。 (2) 使系统动态响应的振荡加剧，稳定性变坏。
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
4.摩擦特性
Mf
M1 •
M2
•
M f 摩擦力矩
转速
M1 静摩擦力矩
M 2 动摩擦力矩
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
摩擦特性的影响
(1)对随动系统而言，摩擦会增加静差，降低精 度。
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
2.饱和特性
x1 a ，等效增益 为常值，即线性段 斜率；
而 x1 a ，输出饱
和，等效增益随输 入信号的加大逐渐 减小。
7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
饱和特性的影响
(1) 饱和特性使系统开环增益下降， 对动态响应的 平稳性有利。
(2) 如果饱和点过低，则在提高系统平稳性的同时， 将使系统的快速性和稳态跟踪精度有所下降。
7.3 非线性特性的描述函数法
KX sint
y(t) Ka
0 t 1 1 t / 2
∵ y(t) 单值奇对称， A0 0 A1 0
B1
4
自动控制原理第九章非线性控制系统PPT课件
02
非线性系统的数学描述
01
02
04
非线性微分方程
非线性微分方程是描述非线性系统动态行为的数学模型之一。
它通常表示为自变量和因变量的函数，其中包含未知函数的导数。
非线性微分方程的解可以描述系统的输出响应与输入信号之间的关系。
解决非线性微分方程的方法通常包括数值解法和解析解法。
03
非线性传递函数是描述非线性系统的另一种数学模型。
非线性系统的特点
研究非线性系统的方法包括解析法、数值法和实验法等。
总结词
解析法是通过数学推导和求解方程来研究非线性系统的行为和特性。数值法则是通过数值计算和模拟来研究非线性系统的行为和特性。实验法则是通过实际实验来研究非线性系统的行为和特性，通常需要设计和构建实验装置和测试系统。
详细描述
非线性系统的研究方法
它类似于线性系统的传递函数，但包含非线性项和饱和项。
非线性传递函数可以表示系统的输入输出关系，并用于分析系统的性能和稳定性。
分析非线性传递函数的方法包括根轨迹法和相平面法等。
01
02
03
04
非线性传递函数
非线性状态方程是描述非线性系统动态行为的另一种数学模型。
非线性状态方程可以用于分析系统的稳定性和动态行为，并用于控制系统设计。
非线性系统仿真软件
非线性系统仿真实例是通过计算机仿真技术对实际非线性系统进行模拟和分析的实例，它可以帮助用户更好地理解非线性系统的特性和行为，并验证仿真模型的正确性和有效性。
常见的非线性系统仿真实例包括电机控制系统、飞行器控制系统、机器人控制系统等，这些实例可以帮助用户更好地了解非线性系统的控制方法和优化策略。
飞行器控制系统
化工过程控制系统
非线性系统的数学描述
01
02
04
非线性微分方程
非线性微分方程是描述非线性系统动态行为的数学模型之一。
它通常表示为自变量和因变量的函数，其中包含未知函数的导数。
非线性微分方程的解可以描述系统的输出响应与输入信号之间的关系。
解决非线性微分方程的方法通常包括数值解法和解析解法。
03
非线性传递函数是描述非线性系统的另一种数学模型。
非线性系统的特点
研究非线性系统的方法包括解析法、数值法和实验法等。
总结词
解析法是通过数学推导和求解方程来研究非线性系统的行为和特性。数值法则是通过数值计算和模拟来研究非线性系统的行为和特性。实验法则是通过实际实验来研究非线性系统的行为和特性，通常需要设计和构建实验装置和测试系统。
详细描述
非线性系统的研究方法
它类似于线性系统的传递函数，但包含非线性项和饱和项。
非线性传递函数可以表示系统的输入输出关系，并用于分析系统的性能和稳定性。
分析非线性传递函数的方法包括根轨迹法和相平面法等。
01
02
03
04
非线性传递函数
非线性状态方程是描述非线性系统动态行为的另一种数学模型。
非线性状态方程可以用于分析系统的稳定性和动态行为，并用于控制系统设计。
非线性系统仿真软件
非线性系统仿真实例是通过计算机仿真技术对实际非线性系统进行模拟和分析的实例，它可以帮助用户更好地理解非线性系统的特性和行为，并验证仿真模型的正确性和有效性。
常见的非线性系统仿真实例包括电机控制系统、飞行器控制系统、机器人控制系统等，这些实例可以帮助用户更好地了解非线性系统的控制方法和优化策略。
飞行器控制系统
化工过程控制系统
第7章-非线性系统PPT课件
线性问题。非线性系统的运动规律也与线性系统有许多不同
之处。例如
(1)线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，而与输
入信号的大小及系统的初始条件无关。但非线性系统的稳定
性，除了和系统的结构和参数有关外，还与输入信号的大小
及系统的初始条件有关。因此，在非线性系统中必须针对具
体的某一运动来讨论系统的稳定性问题。有些系统可能在小
这种特性。
2021/3/12
4
xoBox
4．继电特性 一般的继电特性的输入 输出关系如图7－4所示。它相当于上述三 种特性的综合：输出存在死区，当输入达 某值时，输出立即跃变为定值，相当于饱 和，而在输出饱和区中又存在回环。电器。
中的继电器的工作特性就是典型的例子，由于吸合、释放电 压的不同而形成这种特性。继电特性一般是人为的，可以用 来改善系统性能，但也可能带来不利的作用。
2．饱和特性 饱和特性的输入输出关系如
图7－2，有时为简化，可把它近似为理想饱
和特性，即由两条直线来表示。也就是说，
当2021输/3/12入低于某值时，输出与输入成正比，而
3
xoBox
当输入超过此值后，输出就保持定值而不再变化。例如电机的 磁化特性曲线，线性放大器设置限幅时都具有这种饱和特性。
饱和特性使系统在大信号时增益降低，稳态误差增大，还可能
往往是具体情况要具体处理。本章介绍的描述函数法和相平面
法，用于分析非线性系统是相当烦琐和困难的，因此，只是提
供一些基本的概念和方法，对非线性系统的分析主要使用
xoBox分析软件的非线性仿真功能。
系统的非线性一般会对系统的工作产生不利的影响，但在某
些情况下，人为地使系统非线性也可以使控制系统结构简化而
非线性系统分析方法PPT课件
相轨迹振荡远离原点，为 不稳定焦点
第30页/共52页
••
•
x 2n xn2 x 0
dx/dt x
0
中心点
相轨迹为同心圆，该奇点为 中心点
第31页/共52页
••
•
x 2n x n2 x 0
j s
dx/dt x
s 平面
鞍点
系统特征根一正一负，相轨 迹先趋向于——然后远离原 点，称为鞍点
第32页/共52页
•
x
x 0
相平面
•
x/ 0
x 0
•
(0,10) x
x 0
相平面 (0,-10)
第24页/共52页
4. 相轨迹的奇点
➢定义：二阶系统
••
•
x f (x, x) 0
在相平面上满足
x 0
f
(x,Βιβλιοθήκη x)0➢在奇点上相轨迹的斜率不定，为
的点
•
•
d x f (x, x) 0
dx
•
x
0
由奇点可以引出不止一条相轨迹
C(s)
+-
- -M
( j)(0.01 j 1)(0.005 j 1)
继电参数： M 1.7 死区参数：Δ 0.7 应用描述函数法作系统分析。
解：1. 死去继电特性的描述函数
4M N(X)
1 ( )2
X
X
第49页/共52页
2. 绘制描述函数的负倒数特性
1
X
N(X ) 4M 1 ( )2
•
相轨迹的等倾线方程 • f (x, x) x
第16页/共52页
•
• f (x, x)
x
自动控制原理课件：非线性系统的分析
( ) 90 arctan arctan
4
求与负实轴的交点
90 arctan arctan
4
180
5
arctan arctan arctan 4 2 90
4
1
4
2
4
1 2
G ( j )
1
10
称 , 为相变量，它们构成二维平面称为相平面
相变量在相平面上运动的轨迹称为相轨迹, 即在一定
初始条件下满足上述微分方程的解.
相平面模型即 非线性二阶系统的状态空间模型.
x(t )
d x(t ) / dt d x(t ) f ( x(t ), x(t ))
dx(t )
x(t ) dx(t ) / dt
作用的基波分量，近似为“线性系统”。
01
描述函数是非线性特性的一种近似表示，是一种谐波线性化方法，忽略
非线性环节输出中的高次谐波，用基波分量表示其输出。
e(t ) X sin t
c1 (t )
N(X )
表示非线性环节的输出一次谐波分量对正弦输入信号的复数比。
N(X )
使用上常将描述函数表示为的函数.
的初始状态无关。
非线性系统的稳定性和零输入响应的性质不仅取决于系统的结构、参数，而且
与系统的初始状态有关。
2. 系统的自持振荡
线性系统只有两种基本运动形式：发散（不稳定）和收敛（稳定）。
非线性系统除了发散和收敛两种运动形式外，即使无外界作用，也可能会发生
自持振荡。
4
dx(t )
2
x
非线性系统线性化课件
详细描述
倒立摆是一种典型的非线性系统，其动态行 为非常复杂。为了更好地分析和设计倒立摆 系统，可以使用线性化方法将其转化为线性 系统。通过这种方法，可以更好地理解倒立 摆系统的动态行为，并设计有效的控制策略 。
实例三：机器人系统线性化
总结词
机器人系统是一种复杂的非线性系统，其动 态行为可以通过使用线性化方法进行近似描 述。
非线性系统线性化的展望是通过不断的研究和发展，提高非 线性系统线性化的精度和稳定性，为实际工程应用提供更好 的理论支持和实践指导。
05
CATALOGUE
非线性系统线性化实例分析
实例一：非线性振荡器系统线性化
总结词
通过使用非线性振荡器系统的线性化方法，可以更好地理解非线性系统的动态行为，并 设计有效的控制策略。
02
解决数值稳定性问题的方法包括 采用高精度计算方法、引入阻尼 项、采用自适应控制策略等，以 提高数值计算的稳定性和精度。
近似误差问题
近似误差问题是指在进行非线性系统 线性化时，由于对非线性系统的近似 处理，导致线性化结果与实际非线性 系统的偏差。
解决近似误差问题的方法包括采用更 精确的近似方法、引入补偿控制策略 等，以减小近似误差对线性化结果的 影响。
泰勒级数展开法的基本思想是将非线性函数在某一参考点处进行幂次展开，形成 无穷级数。通过选取适当的参考点，可以使得级数的前几项近似于非线性函数， 从而得到近似的线性化模型。该方法适用于具有局部特性的非线性系统。
状态空间平均法
总结词
状态空间平均法是一种基于状态空间模型的非线性系统线性化方法，通过将非线性系统在平均状态空间上进行线 性化，可以得到近似的线性模型。
详细描述
描述函数法的基本思想是非线性系统的输入输出关系可以用一个描述函数来描述。描述函数具有一些 特定的特性，如频率响应和相位响应等。通过比较这些特性与线性系统的相应特性，可以得到近似的 线性化模型。该方法适用于具有特定特性的非线性系统。
自动控制原理第七章非线性系统ppt课件
7.1.3 非线性系统的分析方法
非线性的数学模型为非线性微分方程，大多数尚无 法直接求解。到目前为止，非线性系统的研究还不成熟， 结论不能像线性系统那样具有普遍意义，一般要针对系 统的结构，输入及初始条件等具体情况进行分析。工程 上常用的方法有以下几种：
（1）描述函数法（本质非线性）：是一种频域分析法，
实质上是应用谐波线性化的方法，将非线性特性线性化， 然后用频域法的结论来研究非线性系统，它是线性理论 中的频率法在非线性系统中的推广，不受系统阶次的限 制。
（2）相平面法（本质非线性）：图解法。通过在相平 面上绘制相轨迹，可以求出微分方程在任何初始条件下 的解。是一种时域分析法，仅适用于一阶和二阶系统。
4M
sin t
故理想继电器特性的描述函数为
N ( A)
Y1 A
1
4M
A
请牢记！
即 N(A)的相位角为零度,幅值是输入正弦信号A的函数.
2.饱和特性
当输入为x(t)＝Asinωt，且A大于线性区宽度a 时，
饱和特性的输出波形如图7-10所示。
y
x
N
M
k 0a
x
yy
0 ψ1
π
2π
ωt
0 x
ψ1
π
A sin 1
x(t) Asint
则其输出一般为周期性的非正弦信号，可以展成傅氏级 数：
y(t ) A0 ( An cos nt Bn sin nt ) n1
若系统满足上述第二个条件，则有A0=0
An
1
2 y(t ) cos ntd t
0
Bn
1
2 y(t ) sin ntd t
0
由于在傅氏级数中n越大,谐波分量的频率越高，An，Bn
非线性系统课件(天津大学)
非线性系统课件（天津大学）1. 引言本课件旨在介绍非线性系统的基本概念、特性以及分析方法。
非线性系统是现实世界中广泛存在的一类系统，其动态行为复杂且普遍存在于各个学科领域中。
本课件将从理论基础入手，逐步深入探讨非线性系统的特性和分析方法，为学生提供扎实的理论基础和实践技能。
2. 非线性系统概述2.1 非线性系统的定义非线性系统是指系统的输出与输入之间不呈线性关系的系统。
与线性系统相比，非线性系统在动态响应、稳定性分析、控制设计等方面具有更为复杂和多样的特性。
2.2 非线性系统的例子非线性系统广泛存在于生活和工程实践中。
以下是一些常见的非线性系统例子： - 摆钟系统 - 电动机系统 - 生态系统 - 经济系统2.3 非线性系统的特性非线性系统具有以下特性： - 非线性特性：输出与输入之间的关系不是简单的比例关系，可以是各种复杂的非线性函数。
- 动态行为复杂：非线性系统的动态行为可能包含了各种非线性现象，如混沌、周期振荡等。
- 多个平衡点：非线性系统可能存在多个平衡点，与线性系统只有一个平衡点不同。
3. 非线性系统分析方法3.1 线性化分析由于非线性系统较难进行精确的分析，线性化分析方法可以用于对部分非线性系统进行简化处理。
线性化方法将非线性系统在某一工作点上线性近似，以得到其局部行为。
3.2 相图分析相图是一种绘制系统状态随时间演化的方法，对于非线性系统的分析具有重要意义。
通过绘制相图，可以观察系统的稳定性、周期性等特征。
3.3 非线性动力学分析非线性动力学分析是研究非线性系统动态行为的一种方法。
通过分析非线性系统的稳定性、周期振荡行为等，可以揭示系统的动态特性及其演化规律。
3.4 Lyapunov稳定性分析Lyapunov稳定性分析是一种常用的非线性系统稳定性分析方法。
通过构造Lyapunov函数，可以判断非线性系统在某种条件下的稳定性，即系统是否趋于平衡。
4. 非线性系统的应用非线性系统理论在多个领域中具有广泛的应用，尤其在控制工程和自然科学中几乎无处不在。
非线性系统课件
N (A )N (A )ej N (A )Y 1ej1B 1j1 A
A
A
非线性系统
2. 描述函数的求取步骤 （1） 取输入信号为，根据非线性环节的静态特性绘
制出输出非正弦周期信号的曲线形式，根据曲线形式 写出输出y(t)在一周期内的数学表达式。 （2）据非线性环节的静态特性及输出y(t)的数学表达 式，求相关系数A1、B1。 （3）用式(7-8)计算描述函数。
必须指出，长时间大幅度的振荡会造成机械磨损，增加
控制误差，因此在通常情况下，不希望系统产生自振，必
须设法抑制它。
非线性系统
３.频率响应复杂
线性系统的频率响应，即正弦信号作用下系统的稳态输 出是与输入同频率的正弦信号。而非线性系统的频率响应 除了含有与输入同频率的正弦信号分量（基频分量）外， 还含有关于ω的高次谐波分量。
形称为相平面图。
非线性系统
二、绘制相轨迹的方法
解析法
采用解析法绘制相轨迹通常有两种作法。一种方法是通过积分法， 直接由微分方程求解x(t)和的解析关系式。
0
2 Msintdt
1
2M
(c
os 1
c
os2
)
＝2M
1- mh2 A
1-
h
2
A
非线性系统
3） 死区滞环继电特性的描述函数为
N (A )＝ 2 M A1-m A2h1-A h2j2 M A2(m Ah -≥1h )（7-17）
取h=0可得理想继电特性的描述函数为
N(A)＝4M
取m=1可得死区继电特性的A描述函数为
足结构要求的一类非线性系统，通过谐波线性化，将非线性特性近似表 示为复变增益环节，分析非线性系统的稳定性或自激振荡 ３.李亚普诺夫第二法
《非线性系统分析》PPT课件
0
M
x h2 h2 x h1
x h1
(7 4a)
.
当x 0:
M
y
0
M
x h1 h1 x h2
x h2
(7 4b)
19
图（b）所示继电特性的数学描述由 读者自行导出。
20
4、间隙特性
传动机构的间隙也是控制系统中常见的非线性 特性，齿轮传动是典型的间隙特性，图7-4（a） 表示齿轮传动原理，图7-4（b）表示主动轮位移 与从动轮位移的关系。设主动轮与从动轮间的最 大间隙为2b，那么当主动轮改变方向时，主动轮 最大要运动2b从动轮才能跟随运动。间隙特性类 似于线性系统的滞后环节，但不完全等价，它对 控制系统的动态、稳态特性都不利。设齿轮传动 速比为，则图7-4间隙特性的数学描述为：
22相平面法是庞加莱poincare1885年首先提出的本来它是一种求解二元一阶非线性微分方程组的图解法两个变量构成的直角坐标系称为相平面方程组的解在相平面上的图象称为相轨这里是将相平面法用于分析一阶尤其是二阶非线性控制系统并形成了一种特定的相平面法它对弄清非线性系统的稳定性稳定域等基本属性解释极限环等特殊现象起到了直观形象的作23因为绘制两维以上的相轨迹是十分困难的所以相平面法对于二阶以上的系统几乎无能为力
一点在 x x平面上绘出的曲线，表征了系统的
运动过程，这个曲线就是相轨迹。我们用一个二 阶线性时不变系统来体验一下相平面和相轨迹。
26
例7-1 考虑二阶系统：
..
x ax 0 , a 0, x(t0 ) x0 ,
将它写成微分方程组：
dx
.
x
dt.
d x ax
dt
两式相除得到：
.
dx dx
《非线性系统分析》课件
3 相图分析
4 极值稳定性
相图分析是一种几何图像方法，通过绘制 系统状态的相图来分析系统的稳定性和动 态行为。
极值稳定性是指非线性系统在极值点附近 的行为是否收敛于极值点附近。
Lyapunov方法及其应用
Lyapunov函数
Lyapunov函数是一种用于描述 系统稳定性和演化特性的数学 函数。
控制应用
非线性系统的定义与常见形式
非线性系统 非线性函数 常见形式
输出与输入之间的关系不符合线性关系的系统。
描述非线性系统输入与输出之间关系的数学函 数。 非线性系统的常见形式包括非线性微分方程、 非线性差分方程和非线性差分方程等。
非线性系统的模型建立方法
1
数学建模
通过数学方法建立非线性系统的数学模型，以描述系统的行为和特性。
非线性系统分析是通过研究系统的特性和行 为，了解其稳定性、动力学和响应性能等方 面的方法。
应用领域
非线性系统分析在控制系统设计、信号处理、 神经科学和物理建模等领域中具有重要作用。
挑战与机遇
非线性系统分析带来了各种挑战，但也为人 们揭示了系统的复杂性和多样性，为创新和 发展带来了机遇。
区别于线性系统分析的重要性
《非线性系统分析》PPT 课件
这是一份关于非线性系统分析的PPT课件，将介绍非线性系统分析的基本概 念、重要性以及各种方法和应用。让我们一起探索非线性系统奥秘和魅力。
什么是非线性系统分析
非线性系统
非线性系统是指输出与输入之间关系不遵循 线性关系的系统。它在各个科学和工程领域 中广泛存在。
分析过程
Lyapunov方法在控制系统中具 有广泛的应用，用于设计和分 析控制器的稳定性。
混沌分析
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输入输出之间具有多值关系
齿轮传动中的齿隙
液压传动中的油隙
y(t) 0 y(t) 0 y(t) 0
死区特性对系统性能的影响：
间隙输出相位滞后，减小稳定性裕量，动特性变坏 自持振荡。
上海大学 自动化系 邹斌
第八章 非线性控制系统分析——概述与非线性环节
继电器特性
理想继电器 输出
输出
具有饱和死区的 单值继电器
输入
输出
输入
输出
输入
具有滞环的继电器
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输入
具有死区和滞环的继电器 包含有死区、饱和、滞环特 性
第八章 非线性控制系统分析——概述与非线性环节
y M
a ma ma
继电特性
a
x
0
y (t )
M
0 sgn
x(t )
M
M
M
x(t) 0 x(t) 0
x(t) a x(t) ma , x(t) 0 x(t) ma , x(t) 0
死区特性对系统性能的影响： （1）增大了系统的稳态误差，降低 了定位精度。 （2）减小了系统的开环增益，提高 了系统的平稳性，减弱动态响应的振
荡倾向
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第八章 非线性控制系统分析——概述与非线性环节
间歇特性
输出
kx(t) a
输入
y(t) kx(t) a
c sgn x(t)
y(t)
k
x(t)
输入
kasgn x(t)
x(t) a x(t) a
特征：当输入信号超出其线性范围后，输出信号不再随 输入信号变化而保持恒定。 放大器的饱和输出特性、磁饱和、元件的行程限制、功率限 制等等。
饱和特性对系统性能的影响 （1）使系统开环增益下降，对动态响应的平稳性有 利。 （2）使系统的快速性和稳态跟踪精度下降
自由运动形式，与初始条件，输入大小有关
自振，在一定条件下，受初始扰动表现出的频率，振幅稳 定的周期运动。自振是非线性系统特有的运动形式
正弦响应的复杂性
跳跃谐振及多值响应 倍频振荡与分频振荡 组合振荡(混沌) 频率捕捉
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第八章 非线性控制系统分析——概述与非线性环节
饱和特性
输出
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第八章 非线性控制系统分析——概述与非线性敏区特性）
输入
y(t)
0
kx(t)
a
sgn
x(t)
x(t) a x(t) a
特征：当输入信号在零位附近变化时，系统没有输出。当输 入信号大于某一数值时才有输出，且与输入呈线性关。
各类液压阀的正重叠量； 系统的库伦摩擦； 测量变送装置的不灵敏区； 调节器和执行机构的死区； 弹簧预紧力； 等等。
非线性控制系统： 系统中有非线性元件，输入输出间不具有叠加性和均
匀性性质。 非本质非线性:
能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性。 本质非线性
用小偏差线性化方法不能解决的非线性
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第八章 非线性控制系统分析——概述与非线性环节
非线性系统特征
不满足迭加原理
稳定性
不仅与自身结构参数有关，而且与初条件，输入有关 平衡点可能有多个
输入
电液伺服阀中的力矩马达
输出
非单值非线性
输入
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第八章 非线性控制系统分析——概述与非线性环节
继电器特性对系统性能的影响 可利用继电控制实现快速跟踪。 带死区的继电特性，将会增加系统的定位误 差，对其他动态性能的影响，类似于死区、 饱和非线性特性的综合效果
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第八章 非线性控制系统分析——概述与非线性环节
第八章 非线性控制系统分析——概述与非线性环节
非线性系统
邹斌
上海大学 自动化系
地 址:上海市延长路149号 邮政编码：200072 电子邮件: ZouBin@ 电 话: 13122601880
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第八章 非线性控制系统分析——概述与非线性环节
线性控制系统： 由线性元件组成，输入输出之间具有叠加性和均匀性性质。
非线性增益
大偏差时，具有较大增益加快系统响应。 小偏差时，具有较小增益提高零位附近的系统稳定 性。
输出
液压控制阀中的 圆形窗口；
阶梯形窗口；
输入
分段斜面；
等等。
在不同输入幅值下，元件或环节具有不同的增益。
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第八章 非线性控制系统分析——概述与非线性环节
滞环特性
输出
铁磁部件的元件