勾股定理知识讲解

勾股定理知识点

学习要求：

学习重点是利用计算面积和拼图的方法探索并验证勾股定理借助三角形三边关系来

判断一个三角形是否是直角三角形。难点是各种拼图的理解和勾股定理的应用。 中考热点：

主要考查勾股定理及直角三角形判定条件的应用和勾股数常与三角形其他知识结合

考查。

一、探索勾股定理： １．勾股定理（重点）

内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 即：直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方

注：勾股定理揭示的是直角三角形三边关系的定理，只使用与直角三角形。使用勾股定理时首先确定最长边即斜边。 ２.勾股定理的证明（难点）

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：

方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，221

4()2

ab b a c ⨯+-=，化简可证．

c

b

a

H

G F E

D

C

B

A

方法二：见右图

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．

四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221

422

S ab c ab c =⨯+=+

大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++

所以222a b c +=

方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，211

2S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简

得证

３.勾股定理的适用范围

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形（22a b +＞2c ）和钝角三角形（22a b +＜2c 的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用（重点）

①已知直角三角形的任意两边长，求第三边

在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-

②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系。 ③可运用勾股定理解决一些实际问题

④不能直接用勾股定理解决问题可通过添加辅助线转化为直角三角形在用勾股定理

⑤、勾股定理的应用题型：折叠问题中的应用；测量问题中的应用；实际生活中的应用；方案问题中的应用。 注：勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．

5、例1、如图 1 是边长分别为 a 、 b 的两个正方形，经如图 2 所示的割补可以得到边长为 c 的正方形，且面积等于割补前的两正方形的面积之和．利用这个方法可以推得或验证勾股定理．现请你通过对图 2 的观察指出下面对割补过程的理解不正确的是（ ）

A. 割⑤补⑥

B. 割③补①

C. 割①补④

D. 割③补②

解答： B

2、（2013资阳）如图1，点E 在正方形ABCD 内，满足90AEB ∠=︒，AE =6，BE =8，则阴影部分的面积是

A ．48

B ．60

C ．76

D ．80

图1

(6题图)

A B C

D

F

E 3、（2013安顺）如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）

A ．8米

B ．10米

C ．12米

D ．14米

4、如图，在直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为(1，4)和(3，0)，点C 是y 轴上的一个动点，且A 、B 、C 三点不在同一条直线上，当△ABC 的周长最小时，点C 的坐标是 A ．(0，0) B ．(0，1) C ．(0，2) D ．(0，3)

5、如图是一段楼梯，高BC 是3米，斜边AC 是5米，若在楼梯上铺地毯，则至少需要地毯的长是 （ ）

A 、5m

B 、6m

C 、7m

D 、8m 6、（2011宜宾）如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD =8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为A

E ，且E

F =3，则AB 的长为( ) A .3 B .4 C .5 D .6

7、（2016宿迁）如图，把正方形纸片ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN ，再过点B 折叠纸片，使点A 落在MN 上的点F 处，折痕为BE ．若AB 的长为2，则FM 的长为

A ．2

B ．3

C ．2

D ．1

N

M

F

E D C

B

A

8、图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.在Rt △ABC 中，若直角边AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是（ ） A. 52 B. 48 C. 72 D. 76