高等数学习题答案(同济第六版下)

第八章 多元函数微分法及其应用

第一节 多元函数的基本概念

本节主要概念，定理，公式和重要结论

理解多元函数的概念，会表达函数，会求定义域； 理解二重极限概念，注意A y x f y x y x =→),(lim )

,(),(00是点),(y x 以任何方式趋于),(00y x ;

注意理解本节中相关概念与一元函数中相应内容的区分与联系。

习题 8－1

1.求下列函数表达式:

(1)x

y y x y x f +=),(，求),(y x xy f +

解：(,)()x y

xy f xy x y xy

x y ++=++

(2)2

2

),(y x y x y x f -=-+，求),(y x f

解：(,)()()(,)f x y x y x y x y f x y xy +-=-+⇒= 2.求下列函数的定义域，并绘出定义域的图形: (1)2

2

1)1ln(y

x x y x z --+

-+=

解：22

22

10

11010

x y x y x y x y x +->⎧+>⎧⎪-->⇒⎨⎨+<⎩⎪≥⎩

(2))12ln(2

+-=y x z

解：2

210x y -+>

(3) |)|||1ln(),(y x y x f --= 解：1||||0||||1x y x y -->⇒+< 3.求下列极限:

(1)

2

2)1,0(),(1lim

y x xy

x y x ++-→

解：22

(,)(0,1)1lim

1x y x xy

x y →-+=+ (2)

xy xy y x 4

2lim

)0,0(),(+-→

解一：(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)18lim

2lim

2lim 4

x y x y x y xy

xy →→→=-=-=-

解二：

(,)(0,0)(,)(,)1

lim

lim lim 4x y x y x y →→→===-

(3)y

xy x y x )

sin()2(lim )0,1(),(+→

(4)2

2220

11lim

y x y x y x +-+→→

解一：

(,)(1,0)(,)(1,0)sin()sin()

lim (2)

lim [(2)]3x y x y xy xy x x x y xy

→→+=+=

解二：(,)(1,0)(,)(1,0)(,)(1,0)

sin()lim (2)

lim (2)lim (2)3x y x y x y xy xy

x x x x y y →→→+=+=+= (4)2

2

220

011lim

y

x y x y x +-+→→

解一：2222

2222000000

11lim lim()022x x x y y y x y y x x y x y →→→→→→==⋅=++

解二：22222200000

0x x x y y y y x y →→→→→→===+ 4.证明下列函数当)0,0(),(→y x 时极限不存在:

(1)2

22

2),(y

x y x y x f +-=

解：222222

222222001lim lim 1x x y kx

x y x k x k x y x k x k →→=---==+++ (2)2

2222)

(),(y x y x y x y x f -+= 解：224

222400lim lim 1()x x y x x y x x y x y x →→===+-

22

22200

lim 0()x y x y x y x y →==+- 5.下列函数在何处是间断的? (1) y

x z -=

1

解：x y =

(2)x y x

y z 2222-+=

解：2

2y x =

第二节 偏导数

本节主要概念，定理，公式和重要结论

1.偏导数：设),(y x f z =在),(00y x 的某一邻域有定义，则

x

y x f y x x f y x f x x ∆∆∆)

,(),(lim

),(0000000-+=→， y

y x f y y x f y x f y y ∆∆∆)

,(),(lim ),(0000000-+=→. ),(00y x f x 的几何意义为曲线⎩

⎨⎧==0)

,(y y y x f z 在点)),(,,(0000y x f y x M 处的切线对x 轴

的斜率.

),(y x f 在任意点),(y x 处的偏导数),(y x f x 、),(y x f y 称为偏导函数，简称偏导数.求

),(y x f x 时，只需把y 视为常数，对x 求导即可.

2.高阶偏导数

),(y x f z =的偏导数),(),,(y x f y x f y x 的偏导数称为二阶偏导数，二阶偏导数的偏导数称

为三阶偏导数，如此类推. 二阶偏导数依求导次序不同，有如下4个：

x

y z

y x z y z x z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂22222

2,,,，其中后两个称为混合偏导数. 若两个混合偏导数皆为连续函数，则它们相等，即可交换求偏导数的次序.高阶混合偏导数也有类似结果.

习题 8－2

1.求下列函数的一阶偏导数:

(1)xy y x

z +=

解：

21,z z x

y x x y y y

∂∂=+=-+∂∂ (2)x

y

z arctan =

解：22222

22111,1()1()z y y z x y y x x x y y x x y x x

∂--∂=⋅==⋅=

∂+∂+++ (3))ln(22y x x z ++

=

解：(1z x ∂=+=

∂

z y ∂==

∂ (4))ln(2

2

2

z y x u ++= 解：

222222222

222,,u x u y u z x x y z y x y z z x y z ∂∂∂===∂++∂++∂++ (5)⎰

=

yz

xz

t dt e u 2