数列复习(1)(2015年人教A版数学必修五导学案)
《导学案》2015版高中数学(人教A版,必修5)教师用书(预学+导学+固学+思学)：第一章 解三角形
课程纲要课程类型:基础学科类课程资源:新编主持开发老师:参与开发老师:学习对象:高中一、二年级学生规模预设人学习时限:共36课时场地设备:教学班教室学生基本情况分析班级学生人数上学期测试情况分析优秀良好一般人数百分率人数百分率人数百分率最优学生姓名后进学生姓名特殊学生情况说明姓名情况说明一、课程元素1.课程内容本模块包含解三角形、数列、不等式三章内容.2.课程目标(1)解三角形①通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理、余弦定理;②能初步运用正弦定理、余弦定理解斜三角形;③能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法,解决一些与测量和几何计算有关的实际问题;④能够运用正弦定理、余弦定理解决一些三角恒等式的证明以及三角形中的有关计算问题.(2)数列①通过日常生活中的实例,了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式),了解数列是特殊的函数;②了解递推公式是给出数列的一种方法,能根据递推公式写出数列的前几项,能求某些数列的通项公式;③掌握等差数列、等差中项的概念,会用定义判定数列是否为等差数列;④掌握等差数列的通项公式及推导方法,会类比直线、一次函数等有关知识研究等差数列的性质,能运用数列通项公式求有关的量:a1,d,n,a n;⑤掌握等差数列的前n项和公式、通项公式,对于a1、d、n、a n、S n,已知三个量能求另外两个量,能灵活运用公式解决与等差数列有关的综合问题,能构建等差数列模型解决实际问题;⑥掌握等比数列、等比中项的概念,能利用定义判定数列是否为等比数列;⑦掌握等比数列的通项公式及推导方法,能类比指数函数等有关知识研究等比数列的性质,能熟练运用公式求有关的量:a1,q,n,a n;⑧掌握等比数列的前n项和公式、通项公式,会运用通项公式、前n项和公式,对于a1、q、n、a n、S n,已知三个量能求另外两个量,能灵活运用公式解决与等比数列有关的综合问题,能构建等比数列模型解决实际问题;⑨提高观察、概括、猜想、运算和论证的能力,能通过类比、转化等方法解决有关数列的一些问题.(3)不等式①通过具体情境,感受现实世界和生活中存在着大量的不等关系,了解不等式(组)的实际背景;②理解不等式的性质,能运用不等式的性质证明简单的不等式及解不等式;③经历从实际情景中抽象出一元二次不等式模型的过程,通过图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的关系;④会解一元二次不等式,并解决一些实际问题;⑤了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组的解集;⑥能从实际问题中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决;⑦理解基本不等式,能用基本不等式解决简单的最大(小)值问题;⑧能将实际问题转化为数学问题,建立不等式模型,求解不等式.二、课程实施1.课时安排本模块安排30个课时.(具体见目录)2.学习时间安排学习时间从年月日至年月日.3.教材重难点分析第一章解三角形学习重点:运用正弦定理、余弦定理探求任意三角形的边角关系,解决与之相关的计算问题,运用这两个定理解决一些测量以及几何计算的有关问题.学习难点:两个定理的推导以及运用两个定理解决实际问题.第二章数列学习重点:数列的概念,等差数列、等比数列的通项公式和前n项和公式.学习难点:等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式的推导,以及它们的综合运用.第三章不等式学习重点:一元二次不等式的解法、基本不等式的应用以及简单的线性规划问题.学习难点:不等式的性质及其证明,不等式在实际问题中的应用.三、教学建议“学案导学法”根据不同的学习内容、不同的教学环节,教师可以采用三种不同的组织形式:分组讨论式、学生主讲式与教师主讲式.分组讨论式,把全班同学分成若干学习小组,一般按4至6名学生为一组划分,每个组都要有上中下三个层次的学生,指定其中一人为组长(也可以选举产生或自荐产生,过一段时间后需调换),由他组织学生进行自习讨论、分析讨论等活动,形成结论后推举一位为代表发言,与全班交流,其他人可以补充.各组之间可以采用多种形式的交流、竞赛等.注意:此种组织形式如果组织不当,将导致学生学习成绩两极分化更加严重.为避免这种情况,在采用此种组织形式时,需培养后进生,提高他们的学习成绩,教师要有意识地引导小组其他同学,尽量让他们鼓励后进生积极发言参与讨论或作为本组代表进行展示.学生主讲(教师在旁边指导)式,可由教师指定一人(也可以是几位学生合作,主讲人由学习小组推荐或自荐),先自行学习(与同学讨论及请求老师帮助与指导),然后在班级内主讲,主讲过程中教师要给予必要的指导和帮助.教师主要是利用他的学习活动带动全班学习.注意:此种组织形式如果组织不当,将会把学习成绩较差的、比较内向的学生排斥在外,需要十分重视.因此采用此种组织形式时,教师要有意识地让学习成绩中下的学生参与主讲,要多加鼓励,以提高他们学习积极性.如果是学习成绩较好的学生进行主讲,那么,教师要积极引导学习成绩中下的学生提出点评(教师可以给予提示或帮助).教师主讲式,就是教师主讲,采用设疑、提问、解惑、拓展等手段,引导学生认识、理解、掌握、探索,从而起到能力提升与素质提高的作用.这里的主讲式与原教学大纲时的主讲式是截然不同的,原主讲式近似于“报告式”,这里是“主持讨论式”,任何学生都可以提出不同意见,教师也可以故意设置陷阱,以揭示问题.注意:此种组织形式极易让课堂回归到原来教师一言堂的授课方式,因此,教师务必在问题设置、设疑提问、点拨探究等方面引起充分重视.这三种组织形式可以说是构成“学案导学法”的三个教学元素,教师要根据学习内容、学习时间、学生状态统筹兼顾,灵活安排,进行科学的组合,以充分发挥教学的有效性.四、课程观察安排本模块教学过程中,安排观察课两次,具体如下:课程观察课安排观察课课题实施时间实施班级负责人实施人说明(目的、条件、评估)五、测试与评估本模块结束后,采用书面考试的形式对学生的学习情况进行测试评估,考试时间120分钟,满分150分,题目难度比为容易题∶中档题∶难题=5∶4∶1.由学校统一组织命题,由教研组安排教师统一阅卷,测试成绩达到90分以上的均可获得2学分,对测试达不到标准的学生,给予一次补考机会.六、使用说明(一)构成本书集预、导、固、思四层级于一体,是一本真正意义上的导学案.本书给广大师生提供了一个选择的平台.学校、教师在使用时要根据各个学校的实际情况,其中包括学校课时安排、学生学习基础情况、学生学习态度情况、学校硬件设施情况等,对本导学案所列内容进行有效调整(如取舍、增减、重组等).每个模块都设置了《课程纲要》,目的是让学生能全面了解本模块的知识构成、课程目标、学习重点与难点及大致的学习时间与方法.它包含如下几个部分:课程元素:包括课程内容、课程目标,起到整体“导向”的作用.课程实施:包括课时安排、学习时间安排、教材重难点分析.教学建议:主要介绍“学案导学法”的几种组织形式.每章开始都设置了课标要求、单元结构和教学建议.单元结构以知识分类、知识综合、知识应用、知识拓展等形式描述出了本章的知识结构及与其他知识的联系,形成了完整的知识体系.(二)课时安排本书根据新课程标准与学校的教学实际情况,以方便教师教学与学生学习为目的,进行了科学的课时划分.此外,为方便教师进行每章复习与模块复习,每章结束与模块结束后均设置了复习课及章末测试与模块测试,供教师选择使用.(三)课时结构每课时分四个学习目标进行编写,方便学生自习与讨论.每课时开始,首先安排了《课程学习目标》,给学生指明了通过本课时的学习要达到的目标,让学生明确学习目标,起到“导向”的作用.第一层级为《知识记忆与理解》,包含两个内容:一是《知识体系梳理》,创设一个学生感兴趣又简单的情境,主要是引导学生认真阅读教材,一方面掌握书本基础知识,另一方面掌握“自习方法”,实施“依法自习”;二是《基础学习交流》,主要是引导学生应用教材的基础知识通过分析交流,解决简单的基础问题,初步学会分析与解决问题,是“导思”的初级阶段.第二层级为《思维探究与创新》,包含两个内容:一是《重点难点探究》,主要是根据知识要点,结合近年来高考趋势设计出具有代表性的探究题型,引导学生应用教材知识,通过“方法指导与解析”,解决有关问题,达到能力与技能的提升,起到“基本技能应用”的作用;二是《思维拓展应用》,主要是依据《重点难点探究》中的探究题型,设置了具有互补性、拓展性的问题,供学生讨论训练,达到巩固知识、提升能力的目的,起到“全面提升能力”的作用.第三层级为《技能应用与拓展》,包含两个内容:一是《基础智能检测》,主要是引导学生应用前面所学的基础知识通过智能化、迁移化,解决一些具有灵活性的基础问题;二是《全新视角拓展》,主要是结合近年来的高考真题、改编题或大型考试试题中对本节课相关知识的涉及作分析与讲解.第四层级为《总结评价与反思》,包含两个内容:一是《思维导图构建》,主要是根据学生的学习特点、思维情况、学习效果等方面对重点难点用形象的图形来复述;二是《学习体验分享》,主要是要求学生根据自身对本节课的参与情况、学习效果、学习体会等方面作出一个客观的评价.(四)课时学案的使用方法在进行教学时,教师应根据学校、学生的实际情况对导学案中的有关内容进行必要的选择与增减.对导学案的使用,一般按“自习预习、相互讨论——展示交流、相互补充——点评方法、总结规律——课外练习、反思评价”的循环形式,循序渐进.具体操作模式:要根据班级情况(学生学习基础与人数)确定分成若干学习小组,注意这里说的学习小组与原来班级的行政小组是有区别的,行政小组是属于班级组长管理范畴,各个学科是相同的,是相对固定的,由班主任负责分组;学习小组是由各学科教师根据教学需要而划分的,各个学科可以是不相同的,而且它呈现动态架构形式,一段时间后学科教师应根据小组学习状态进行适当调整.每个组设立一名组长,各组之间学习成绩层次的人数应基本相同.第一环节自习预习、相互讨论在上课前由各小组对学案所列的内容(包括第一、二学习目标的所有内容)进行讨论,共同分析研究,完成所有问题.这项工作都是在课外进行的,时间一般为40~50分钟.教师在课前把学案交给组长,由他组织组员进行自习与讨论.要做到定时间、定地点、定内容,一般分三步进行.第一步:自主学习.根据学案所列的问题,由学生自行阅读教材,完成第一层级学习目标所列的两类问题(允许有些问题不会或解答错误).这一步工作要求学生独立完成,一般限时15~20分钟.学生完成后按要求交给组长,然后交换批改.注意问题:学习自觉性较差的学生可能不会完成任务,基础较差的学生会无法完成任务.采取措施:对学习自觉性较差的学生采取一定的强制手段,规定他们必须完成,给组长以批评教育的权力,教师要加强思想工作;对基础较差的学生,一段时间内可以允许他们只完成部分问题,要求他们先做到认真、自主,然后逐步提高要求,必要时教师可以预先给予适当的辅导.第二步:互相讨论.对第一步中出现的不同意见、第二层级学习目标所列问题,学生在组内展开讨论,形成统一意见,完成任务.这一步一般限时30分钟左右.注意问题:①讨论过程成为学习成绩较好的学生的“主题发言”过程,学习成绩较差与性格内向的学生默不作声,不发表意见.②错误意见或不成熟意见成为学生取笑的对象,久而久之,那些学生就不参加讨论了.采取措施:教师要注意引导学习成绩较好的学生一方面先不要抢着发言,另一方面要启发其他同学发言;对学习成绩较差与性格内向的学生要注意肯定、鼓励、表扬,让他们找到自信,达到踊跃参与的目的.第三步:达成共识.通过前两步的学习,在组内形成统一意见,并选出在课内展示的代表,鼓励组内学生自我推荐.同时对全组成员给出适当评价,并要求组内同学在讨论结束后继续反思讨论的过程与有关结论,对新发现、新问题鼓励组员在课堂展示时发表意见.注意问题:学习成绩较差与性格内向的学生不敢参与课堂展示.采取措施:初期采取一定的强制性措施,教师要动员学习成绩较好的学生帮助其他同学做好展示的准备工作.特别说明:对于一些内容比较少、比较容易的课时,第一环节也可以放在课堂内完成,但这只是在时间上的不同处理,在讨论方法、步骤、注意问题等方面都不能变化.第二环节展示交流、相互补充在课堂上,各组派代表在演示板(黑板、屏幕等)上展示各自的研究成果,组内成员可对此予以补充或说明.课堂展示是“学案导学法”的关键一环,对不同的问题要采用不同的展示形式,这一环节一般分两步进行.第一步:简单展示.第一层级学习目标所列问题一般可采用简单展示法,即由某个小组成员报出答案,教师直接在演示板上显示,其他各组如无异议,就不必议论,教师也只作简单总结或拓展.这段时间一般限制在5~8分钟.第二步:综合展示.第二层级学习目标所列问题一般采用综合展示法,即对某个问题先由某个小组成员展示出他们讨论的结论(课堂内一般是几个组同时进行,同一时间展示出所列的全部问题),组内成员可以补充,教师组织其他各组分别对各个问题的结论进行讨论、批评、修改或提出其他结论与方法,教师对大家所提问题、结论、方法等作出总结或拓展.对具有拓展性的问题可采用启发式展示法,即在教师的启发、点拨、提醒、引导下对问题逐步深入,挖掘规律性的结论.这段时间一般限制在25~30分钟.这一环节的注意问题与采取措施列表如下:注意问题采取措施1.课堂内缺乏组织,整个课采取逐题讨论,逐题总结堂如一盘散沙2.学生发表的意见不全面加强课前准备,预先全面解题,注意引导、启发、点拨3.问题较难,学生发表不出分解问题,对问题做一些铺垫意见4.课堂时间无法控制,造成注意统筹,课前分解好每题的讨论时间,控制使用拖课第三环节点评方法、总结规律教师总结归纳(也可以由学生进行归纳),把讨论得出的结论归纳成一般的理性结论,提炼解题的一般方法.同时对本课时学习情况进行总结,肯定成绩,指出问题及改进要求,安排课后练习、课程评价与下一课时的学习内容.第四环节课外练习、反思评价学生自主完成作业,完成后交由小组交流批改,教师也可以指定此项训练交由教师批改,完成后学生先各自反思本课时的学习过程,总结经验教训,再由小组或教师对每个学生这节课的学习情况(如学习态度、自觉性、创新性、成效性、进步性等)作出一个评价.评价要从鼓励进步的角度出发,作出有利于学生更好地发挥学习积极性的评价.这个环节一般需要一个小时左右.完成这一环节工作后,即转入下一课时的第一个环节,事实上,上一课时的第四环节与下一课时的第一环节是连在一起进行的.知识点新课程标准的要求层次要求领域目标要求正弦定理和余弦定理 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理、余弦定理 2.掌握正弦定理、余弦定理的变形公式 1.通过对三角形边角关系的探究学习,体验数学探究活动的过程,培养探索精神和创新意识 2.通过“应用举例”,提高应用数学知识解决实际问题的能力和实际操作的能力3.通过学习和运用,进一步体会数学的科学价值、应用价值,进而领会数学的人文价值,提高自身修养解三角形 1.能够运用正、余弦定理求解三角形的边、角2.能够运用正、余弦定理解斜三角形(无解型、一解型、两解型) 正、余弦定理在几何问题中的应用 1.能够运用三角形的面积公式计算与面积相关的问题2.能够运用正、余弦定理证明三角恒等式正、余弦定理在实际问题中的应用1.能够运用正、余弦定理解决不能到达位置的距离、高度的测量问题 2.能够运用正、余弦定理解决角度测量问题本章的重点内容主要有:两个定理(正弦定理和余弦定理)、利用两个定理解三角形、三角形的面积公式及其应用、利用两个定理解决一些实际问题等.在教学时应注意以下几点:1.在讲解两个定理时,要引导学生对它们进行全方位地理解,知道定理的来龙去脉,如何应用,应用时应注意的问题等.例如:对于余弦定理,要求学生要掌握它的推导过程(可利用向量来进行证明)、定理及其推论的形式、适用的解三角形的类型等.2.教学过程中要引导学生有意识地总结一些规律方法.例如:利用正弦定理和余弦定理判断三角形形状的方法,一种是将条件中的边全部化为角的正弦或余弦值,然后利用三角变换及三角形内角和定理得到角的关系,从而判断三角形的形状;另一种是将条件中的所有角的三角函数值化为边的关系,通过代数式的运算得出边的关系,从而判断出三角形的形状.3.引导学生多注意一些易错点.例如:当已知两边和其中一边的对角时,若用正弦定理求另一个边所对的角会产生解的不确定性,对于此类问题要通过各种方式提醒学生解题时要加倍小心,以免漏解或多解.4.解三角形实际上是三角函数知识在三角形中的应用,因此三角函数的有关知识,如三角函数的定义,相关公式(同角三角函数基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式等),三角函数的图象和性质等要求学生必须熟练掌握.第1课时 正 弦 定 理1.掌握正弦定理及其证明过程.2.根据已知三角形的边和角,利用正弦定理解三角形.3.能根据正弦定理及三角变换公式判断三角形的形状.重点:正弦定理在解三角形中的应用.难点:三角形多解情况的判断.古埃及时代,尼罗河经常泛滥,古埃及人为了研究尼罗河水运行的规律,准备测量各种数据.当尼罗河涨水时,古埃及人想测量某处河面的宽度(如图),如果古埃及人通过测量得到了AB的长度,∠BAC,∠ABC的大小,那么就可以求解出河面的宽度CD,古埃及人是如何利用这些数据计算的呢?问题1:在上面的问题中,△ABC的已知元素有∠ABC、∠BAC和边AB.若AB=2,∠ABC=30°,∠BAC=120°,则BC=2,CD= .解三角形:已知三角形的几个元素求其他元素的过程.问题2:正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对的角的正弦的比相等,即==.问题3:正弦定理的拓展:①a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C;②设R为△ABC外接圆的半径,则===2R.问题4:在△ABC中,已知a、b和A时,解的情况如下:A为锐角A为钝角或直角图形关系式①a=b sin A ②b sin A<a<b③a≥b a>b解的个数一解两解一解一解正弦定理是由伊朗著名的天文学家阿布尔·威发首先发现与证明的.中亚细亚人阿尔比鲁尼给正弦定理作出了一个证明,也有说正弦定理的证明是13世纪的那希尔丁在《论完全四边形》中首次清楚地论证了正弦定理.他还指出,由球面三角形的三个角,可以求得它的三条边,或由三边去求三个角,也就是正弦定理向球面三角学中的拓展.1.在△ABC中,下列等式总能成立的是().A.a cos C=c cos AB.b sin C=c sin AC.ab sin C=bc sin BD.a sin C=c sin A【解析】根据正弦定理有:=,所以a sin C=c sin A,故选D.【答案】D2.已知△ABC中,a=4,b=5,A=30°.下列对三角形解的情况的判断中,正确的是().A.一解B.两解C.无解D.一解或无解【解析】因为a,b,A的关系满足b sin A<a<b,故有两解.【答案】B3.在△ABC中,已知a=5,c=10,A=30°,则B等于.【解析】根据正弦定理得: sin C===,∴C=45°或135°,故B=105°或15°.【答案】105°或15°4.在△ABC中,已知b=5,B=,tan A=2,求sin A和边a.【解析】因为△ABC中,tan A=2,所以A是锐角,又=2,sin2A+cos2A=1,联立解得sin A=,再由正弦定理得=,代入数据解得a=2.利用正弦定理判断三角形的形状在△ABC中,若sin A=2sin B cos C,且sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC的形状.【方法指导】先利用正弦定理将“sin2A=sin2B+sin2C”转化为三角形边之间的关系,再结合第一个条件进行转化判断.【解析】在△ABC中,根据正弦定理:===2R,∵sin2A=sin2B+sin2C,∴()2=()2+()2,即a2=b2+c2,∴A=90°,∴B+C=180°-A=90°.由sin A=2sin B cos C,得sin 90°=2sin B cos(90°-B),∴sin2B=.∵B是锐角,∴sin B=,∴B=45°,C=45°.∴△ABC是等腰直角三角形.【小结】(1)判断三角形的形状,可以从三边的关系入手,也可以从三个内角的关系入手.从条件出发,利用正弦定理进行代换、转化,求出边与边的关系或求出角与角的关系,从而作出准确判断.(2)判断三角形的形状,主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形等,要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.已知两角及其中一角的对边,解三角形在△ABC中,已知c=10,A=45°,C=30°,解这个三角形.【方法指导】由A+B+C=180°可求出B,再由=和=,求出a和b.【解析】∵A=45°,C=30°,∴B=180°-(A+C)=105°.由=得a===10.由=得b===20sin 75°,∵sin 75°=sin(30°+45°)=sin 30°cos45°+cos 30°sin45°=,∴b=20×=5+5.【小结】解三角形时,如果已知三角形的任意两个角与一边,由三角形内角和定理,可以计算出三角形的另一个角,由正弦定理可计算出三角形的另两边.已知两边及其中一边的对角,解三角形在△ABC中,a=,b=,B=45°.求角A,C和边c.【方法指导】已知两边及其中一边的对角,要根据正弦定理先求解另一角,再求出三角形的另外两个元素.【解析】由正弦定理得=,=,∴sin A=,∴A=60°,C=180°-45°-60°=75°,由正弦定理得:c==.[问题]本题中根据sin A=得出的角A一定是60°吗?[结论]角A不一定是60°,由于a>b,所以角A还可能是120°.于是正确的解答如下:由正弦定理得=,=,∴sin A=.∵a>b,∴A=60°或A=120°.当A=60°时,C=180°-45°-60°=75°,c==;当A=120°时,C=180°-45°-120°=15°,c==.【小结】已知三角形的两个角求第三个角时注意三角形内角和定理的运用,求边时可用正弦定理的变式,把要求的边用已知条件表示出来再代入计算.已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时,首先运用正弦定理求出另一边对角的正弦值,再利用三角形中大边对大角看能否判断所求的这个角是锐角,当已知的角为大边对的角时,则能判断另一边所对的角为锐角;当已知小边对的角时,则不能判断.在△ABC中,若==,则△ABC是().A.直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形【解析】由正弦定理得a=2R sin A,b=2R sin B,c=2R sin C(R为△ABC外接圆的半径),∴==,即tan A=tan B=tan C,∴A=B=C.【答案】B在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,则A=,b=,c=.【解析】A=180°-(B+C)=180°-(60°+75°)=45°.由正弦定理=,得b===4,由=,得c====4(+1).【答案】45°44(+1)在△ABC中,已知a=,c=2,A=60°,求B、C及b的值.【解析】由正弦定理==,得sin C===.。
高中数学 第二章《数列(复习)》导学案 新人教A版必修5
第二章 《数列（复习）》1. 系统掌握数列的有关概念和公式；2. 了解数列的通项公式n a 与前n 项和公式n S 的关系；3. 能通过前n 项和公式n S 求出数列的通项公式n a .【知识链接】（复习教材P 28 ～P 69，找出疑惑之处）(1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列．(2)等差、等比数列的定义．(3)等差、等比数列的通项公式．(4)等差中项、等比中项．(5)等差、等比数列的前n 项和公式及其推导方法．【学习过程】※ 学习探究1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想．2．等差、等比数列中，a 1、n a 、n 、d (q )、n S “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法．3． 求等比数列的前n 项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想．4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等．5. 数列求和主要：（1）逆序相加；（2）错位相消；（3）叠加、叠乘；（4）分组求和；（5）裂项相消，如111(1)1n n n n =-++. ※ 典型例题例1在数列{}n a 中，1a ＝1，n ≥2时，n a 、n S 、n S －12成等比数列. （1）求234,,a a a ； （2）求数列{}n a 的通项公式.例2已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列{b n }的第二项，第三项，第四项．（1）求数列{a n }与{b n }的通项公式；（2）设数列{c n }对任意正整数n ，均有3121123n n nc c c c a b b b b ++++⋯⋯+=，求c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2004的值．※ 动手试试练 1. 等差数列{}n a 的首项为,a 公差为d ；等差数列{}n b 的首项为,b 公差为e . 如果(1)n n n c a b n =+≥，且124,8.c c == 求数列{}n c 的通项公式.练2. 如图，作边长为a 的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆.如此下去，求前n 个内切圆的面积和.练3. 一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去回了5个伙伴; 第2天， 6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴，……，如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有（ ）只蜜蜂.A. 55986B. 46656C. 216D. 36【学习反思】※ 学习小结1. 数列的有关概念和公式；2. 熟练掌握有关概念和公式并能灵活运用，培养解决实际问题的能力.※ 知识拓展数列前n 项和重要公式：2222(1)(21)1236n n n n +++++=； 3332112[(1)]2n n n ++=+※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 集合{}*21,,60M m m n n N m ==-∈<的元素个数是（ ）.A. 59B. 31C. 30D. 292. 若在8和5832之间插入五个数，使其构成一个等比数列，则此等比数列的第五项是（ ）.A ．648B ．832C ．1168D ．19443. 设数列{}n a 是单调递增的等差数列，前三项的和是12， 前三项的积是48，则它的首项是（ ）.A. 1B. 2C. 4D. 84. 已知等差数列245,4,3, (77)的前n 项和为n S ，则使得n S 最大的序号n 的值为 . 5. 在小于100的正整数中，被5除余1的数的个数有 个；这些数的和是1. 观察下面的数阵， 容易看出， 第n 行最右边的数是2n ， 那么第20行最左边的数是几?第20行所有数的和是多少?12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 21 22 23 24 25… … … … … …2. 选菜问题：学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A ，B 两种菜可供选择.调查资料表明，凡是在星期一选A 种菜的，下星期一会有20% 改选B 种菜；而选B 种菜的，下星期一会有30% 改选A 种菜. 用,n n a b 分别表示在第n 个星期选A 的人数和选B 的人数，如果1300,a = 求10a .。
《导学案》2015版高中数学(人教A版,必修5)教师用书2章末小结
第二章章末小结1.数列的基本概念(1)数列的通项公式:数列{a n}中的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式称为这个数列的通项公式.(2)数列是一种特殊的函数,其定义域是正整数集N*(或它的有限子集),值域是当自变量从小到大依次取值时的对应值,通项公式可以看作数列的函数解析式.(3)如果已知数列{a n}的第一项(或前几项)及相邻两项(或几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫作这个数列的递推公式.(4)通项公式a n与前n项和公式S n间的关系:a n=2.等差数列的相关概念与性质(1)等差数列的通项公式:等差数列{a n}的公差为d,则其通项公式a n=a1+(n-1)d=a m+(n-m)d,公差d= =(n≠1,m≠n).(2)等差数列的前n项和①等差数列{a n}中,前n项和S n= =na1+.②等差数列的前n项和S n可以表示为n的二次函数S n=An2+Bn,其中A= ,B=a1-,我们有时利用这个变形求S n的最大项.若S n=An2+Bn,则数列{}是公差为的等差数列.③若等差数列{a n}共有2n项,则S2n=n(a n+a n+1),并且S偶-S奇=nd,S偶∶S奇=a n+1∶a n;若等差数列{a n}共有2n+1项,则S2n+1=(2n+1)a n+1,并且S偶∶S奇=n∶(n+1).(S偶、S奇分别表示数列的所有偶数项的和与所有奇数项的和)④设等差数列各项绝对值之和为T n,前n项和为S n,可分以下几种情况求解:(i)a1>0,d>0,T n=S n;(ii)a1<0,d<0,T n=-S n;分段处理.(3)等差数列的性质已知等差数列{a n}的公差为d,则①若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则a m+a n=a p+a q.②=k,则a m+a n=2a k(m,n,k∈N*).③{a n}是有穷等差数列,则与首末两项等距离的两项之和都相等,且等于首末两项之和,即a1+a n=a2+a n-1=….④数列{λa n+b}(λ、b是常数)是公差为λd的等差数列.⑤下标成等差数列且公差为m的项a k,a k+m,a k+2m,…(k,m∈N*)组成公差为md的等差数列.⑥若b n是公差为m的等差数列,则{a n±b n}也成等差数列,其公差为d±m.⑦若{a n}是等差数列,则a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9,…仍成等差数列.3.等比数列的相关概念与性质(1)等比数列的概念①等比数列{a n}的公比为q,则其通项公式为a n=a1q n-1.②已知等比数列{a n}的公比为q,则=q n-m,所以a n=a m·q n-m.③已知a,G,b成等比数列,则G叫作a,b的等比中项,其中G=±,a,b必须同号.④当a1>0,q>1或a1<0,0<q<1时,数列{a n}为递增数列;当a1>0,0<q<1或a1<0,q>1时,数列{a n}为递减数列;当q=1时,数列{a n}为常数列;当q<0时,数列{a n}为摆动数列.(2)等比数列的前n项和①如果数列{a n}是公比为q的等比数列,那么它的前n项和公式是:当q≠1时,S n= = ;当q=1时,S n=na1.在使用等比数列前n项和公式时应注意对公比q=1或q≠1进行判断和讨论.②数列{a n}的前n项和S n=a n-1(a≠0,a≠1),则{a n}为等比数列.③在等比数列中,若项数为2n(n∈N*),S偶与S奇分别为偶数项与奇数项的和,则S偶÷S奇=q.④若{a n}是公比为q的等比数列,前n项和为S n,则S n+m=S n+q n·S m.(3)等比数列的性质①已知等比数列{a n}的公比为q,则(i)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则a m·a n=a p·a q.(ii)=k,则a m·a n=(m,n,k∈N*).(iii){a n}是有穷等比数列,则与首末两项等距离的两项之积都相等,且等于首末两项之积,即a1·a n=a2·a n-1=….(iv)数列{λa n}(λ是常数且不为零)是公比为q的等比数列.(v)下标成等差数列且公差为m的项a k,a k+m,a k+2m,…(k,m∈N*)组成公比为q m的等比数列.(vi)若{b n}也为等比数列,则{a n·b n},{}也成等比数列;在等比数列{a n}中,S n是它的前n项和.如果S m,S2m-S m,S3m-S2m,…中各项都不为零,则S m,S2m-S m,S3m-S2m,…为等比数列,且公比为q m.在等比数列{a n}中,S n是它的前n项和,则S n=A·q n+B,其中A,B满足:A+B=0.4.等差、等比数列的求和数列求和的常见方法:累加法、累乘法、公式求和法、倒序相加法、裂项相消法、错位相减法、分组求和法等.题型一:通过递推公式求通项公式已知数列{a n}中,a1=5,a2=2,a n=2a n-1+3a n-2(n≥3),对这个数列的递推公式作研究,能否写出它的通项公式?【方法指导】观察递推公式特征,对递推公式进行变形,结合两种变形求通项公式.【解析】由a n=2a n-1+3a n-2得:a n+a n-1=3(a n-1+a n-2)以及a n-3a n-1=-(a n-1-3a n-2).所以a n+a n-1 = 3n-2(a2 +a1 ) = 3n-2×7,a n-3a n-1=(-1)n-2(a2-3a1)=(-1)n-1×13,由以上两式得4a n=3n-1×7+(-1)n-1×13.所以数列的通项公式是a n=[3n-1×7+(-1)n-1×13].【小结】递推公式不但是表示数列的一种方法,而且与通项公式联系密切.利用递推公式可以发现数列各项排列的规律,从而可以借此获取通项公式.题型二:等差数列及其性质的考查数列{a n}的首项a1=1,前n项和S n与a n之间满足a n=(n≥2).(1)求证:数列{}是等差数列;(2)求数列{a n}的通项公式.【方法指导】(1)由a n=S n-S n-1进行变形,构造出数列{},利用等差数列定义易证;(2)由a n=易解.【解析】(1)∵当n≥2时,a n=S n-S n-1,∴S n-S n-1=,∴(S n-S n-1)(2S n-1)=2.∴-=2,==1.∴{}是以=1为首项,2为公差的等差数列.(2)由(1)知,=+(n-1)×2=2n-1,∴S n=,当n≥2时,a n=S n-S n-1=-=-.∴a n=【小结】(1)紧紧抓住等差数列的定义证明.(2)利用S n求通项公式时要注意讨论n=1和n≥2两种情况.题型三:等比数列及其性质的考查已知数列{a n}的首项a1=,a n+1=,n=1,2,3,….(1)证明:数列{-1}是等比数列;(2)若b n=,求数列{b n}的前n项和S n.【方法指导】首先观察递推公式并变形取倒,然后将{b n}前n项和求解转化为{-1}的前n项求和,最后利用两数列的关系求S n.【解析】(1)∵a n+1=,∴==+·,∴-1=(-1),又a1=,∴-1=,∴数列{-1}是以为首项,为公比的等比数列.(2)由(1)知,设数列{-1}的前n项和为T n,则T n==1-()n,∴S n=T n+n=n+1-()n.【小结】等比数列前n项和的求解,往往伴随着性质的使用.对于数列本身不是等差或等比数列时,可以考虑通过转化来达到目的.题型四:等差数列、等比数列的综合考查已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=且S n=S n-1+a n-1+,数列{b n}满足b1=-且3b n-b n-1=n(n≥2且n∈N*).(1)求{a n}的通项公式;(2)求证:数列{b n-a n}为等比数列;(3)求{b n}前n项和的最小值.【方法指导】(1)由数列的前n项和S n与通项a n之间的关系求出通项;(2)根据递推关系证明数列{b n-a n}为等比数列;(3)由项的正负确定前n项和的最小值.【解析】(1)由S n=S n-1+a n-1+得:a n=a n-1+,即a n-a n-1=,∴a n=a1+(n-1)d=n-.(2)∵3b n-b n-1=n,∴b n=b n-1+n,∴b n-a n=b n-1+n-n+=b n-1-n+=(b n-1-n+),b n-1-a n-1=b n-1-(n-1)+=b n-1-n+.∴由上面两式得=.又b1-a1=--=-30,∴数列{b n-a n}是以-30为首项,为公比的等比数列.(3)由(2)得b n-a n=-30×()n-1,∴b n=a n-30×()n-1=n--30×()n-1,b n-b n-1=n--30×()n-1-(n-1)++30×()n-2=+30×()n-2(1-)=+20×()n-2>0,∴{b n}是递增数列.当n=1时,b1=-<0;当n=2时,b2=-10<0;当n=3时,b3=-<0;当n=4时,b4=->0,所以从第4项起的各项均大于0,故前3项之和最小.且S3=(1+3+5)-30-10-=-41.【小结】利用配方法、单调性法求数列的最值.题型五:非等差数列或等比数列的求和的考查已知数列{a n}的首项a1=1,且点A n(a n,a n+1)在函数y=的图象上.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{b n}满足a n·b n=2n,求数列{b n}的前n项和S n的值.【方法指导】(1)代入函数式得到递推公式,推出{}是等差数列并求出通项;(2)运用错位相减法求和.【解析】(1)由A n(a n,a n+1)在y=的图象上,得a n+1=且a1=1,∴=1+,即-=1.∴{}是以1为首项,1为公差的等差数列.∴=1+(n-1)×1=n,∴a n=.(2)由a n·b n=2n,得b n=·2n=n·2n,∴S n=1·21+2·22+3·23+…+n·2n,2S n=1·22+2·23+…+(n-1)·2n+n·2n+1,∴S n-2S n=21+22+23+…+2n-n·2n+1,∴-S n=2(2n-1)-n·2n+1.∴S n=(n-1)2n+1+2.【小结】会通过转化,利用等差或等比数列的知识求数列的通项;注意错位相减求和方法的应用.题型六:函数与数列的综合设S n为数列{a n}的前n项和,对任意的n∈N*,都有S n=(m+1)-ma n(m为常数,且m>0).(1)求证:数列{a n}是等比数列;(2)设数列{a n}的公比q=f(m),数列{b n}满足b1=2a1,b n=f(b n-1),(n≥2,n∈N*),求数列{b n}的通项公式;(3)在满足(2)的条件下,求数列{}的前n项和T n.【方法指导】(1)由数列的前n项和S n与通项a n之间的关系求出a n与a n-1之间的关系,进而得到公比,证明数列是等比数列;(2)利用公比得到数列的倒数列成等差数列,求出b n;(3)用错位相减法求和.【解析】(1)当n=1时,a1=S1=(m+1)-ma1,解得a1=1.当n≥2时,a n=S n-S n-1=ma n-1-ma n,即(1+m)a n=ma n-1.又m为常数,且m>0,∴=(n≥2).∴数列{a n}是首项为1,公比为的等比数列.(2)由(1)得,q=f(m)=,b1=2a1=2.∵b n=f(b n-1)=,∴=+1,即-=1(n≥2).∴{}是首项为,公差为1的等差数列.∴=+(n-1)·1=,即b n=(n∈N*).(3)由(2)知b n=,则=2n(2n-1),∴T n=+++…++,即T n=21×1+22×3+23×5+…+2n-1×(2n-3)+2n×(2n-1),①则2T n=22×1+23×3+24×5+…+2n×(2n-3)+2n+1×(2n-1),②②-①得T n=2n+1×(2n-1)-2-23-24-…-2n+1,故T n=2n+1×(2n-1)-2-=2n+1×(2n-3)+6.【小结】本题主要从三个层面对考生进行了考查.第一,知识层面:考查等差数列、等比数列、函数等基础知识.第二,能力层面:考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力.第三,数学思想:考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想.题型七:数列的实际应用某旅游公司年初用98万元购买一艘游艇,第一年各种费用12万元,以后每年都增加4万元,每年旅游收益50万元.(1)问第几年开始获利?(2)若干年后,有两种处理方案:①年平均获利最大时,以26万元出售该游艇;②总纯收入获利最大时,以8万元出售该游艇.问哪种方案合算.【方法指导】先根据题意,建立数学模型,然后利用等差数列知识求解.【解析】(1)由题设知每年费用构成以12为首项,4为公差的等差数列,设纯收入与年数的关系为f(n).∴f(n)=50n-[12+16+…+(8+4n)]-98=40n-2n2-98.获利即为f(n)>0,即n2-20n+49<0,解之得10-<n<10+,即2.9<n<17.1.又n∈N*,∴n=3,4, (17)∴当n=3时,即第3年开始获利.(2)①年平均收入=40-2(n+),当n=7时,年均获利最大,总收益为84+26=110万元.②当n=10时,f(n)max=102,总收益为102+8=110万元.比较两种方案,总收益都为110万元,但第一种方案需7年,第二种方案需10年,故选择第一种.【小结】建立数列模型与建立函数模型一样,应抓住数量关系,结合数学方法,将文字语言翻译成数学语言,将数量关系用数学式子表示.1.(2012年·江西卷)等比数列{a n}的前n项和为S n,公比不为1.若a1=1,且对任意的n∈N*都有a n+2+a n+1-2a n=0,则S5=.【解析】设数列{a n}的公比为q,由a n+2+a n+1-2a n=0,得a n q2+a n q-2a n=0,显然a n≠0,所以q2+q-2=0.又q≠1,解得q=-2.又a1=1,所以S5==11.【答案】112.(2013年·陕西卷)设数列{a n}是公比为q的等比数列.(1)推导{a n}的前n项和公式;(2)设q≠1,证明数列{a n+1}不是等比数列.【解析】(1)设{a n}的前n项和为S n,当q=1时,S n=a1+a1+…+a 1=na1;当q≠1时,S n=a1+a1q+a1q2+…+a1q n-1,①qS n=a1q+a1q2+…+a1q n,②①-②得(1-q)S n=a1-a1q n,∴S n=,∴S n=(2)假设{a n+1}是等比数列,则对任意的k∈N*,(a k+1+1)2=(a k+1)(a k+2+1),+2a k+1+1=a k a k+2+a k+a k+2+1,q2k+2a1q k=a1q k-1·a1q k+1+a1q k-1+a1q k+1,∵a1≠0,∴2q k=q k-1+q k+1.∵q≠0,∴q2-2q+1=0.∴q=1,这与已知矛盾.∴假设不成立,故{a n+1}不是等比数列.3.(2012年·江西卷)已知数列{a n}的前n项和S n=kc n-k(其中c,k为常数),且a2=4,a6=8a3.(1)求a n;(2)求数列{na n}的前n项和T n.【解析】(1)由S n=kc n-k,得a n=S n-S n-1=kc n-kc n-1(n≥2),由a2=4,a6=8a3,得kc(c-1)=4,kc5(c-1)=8kc2(c-1),解得,所以a1=S1=2,a n=kc n-kc n-1=2n(n≥2),于是a n=2n.(2)∵T n=2+2·22+3·23+4·24+…+n·2n,∴2T n=1·22+2·23+3·24+…+(n-1)·2n+n·2n+1,∴T n=2T n-T n=-2-22-23-24-…-2n+n·2n+1=-2n+1+2+n·2n+1=(n-1)2n+1+2.。
人教A版高中数学必修5第二章数列2.5等比数列的前n项和导学案(1).docx
高中数学 2.5 等比数列的前 n 项和 (1) 学案新人教 A 版必修 5学 目1. 掌握等比数列的前n 和公式； 2. 能用等比数列的前 n 和公式解决.学 重 点1. 重点： 等比数列的前 n 和公式的推2. 点：等比数列的前 n 和公式 用一、 前回复 1：什么是数列前 n 和？等差数列的数列前 n 和公式是什么？复 2：已知等比数列中， a 33 ， a 6 81 ，求 a 9 , a 10 .二、新 探究※ 学 探究 探究任 ： 等比数列的前 n 和故事：“国王 国 象棋的 明者的 励”新知： 等比数列的前 n 和公式等比数列 a 1, a 2 , a 3 ,L a n L 它的前 n 和是 S n a 1 a 2 a 3 L a n ，公比 q ≠ 0，公式的推 方法一：S n a 1a 1 q a 1q 2L a 1q n 2 a 1q n 1 ，(1 q )S nqS n当 q 1 ， S n①或 S n②当 q =1 ， S n 公式的推 方法二：由等比数列的定 ，a 2 a 3 La na 2 a 3 L a n S n a 1 q ，a 1a 2an 1q ，有a 2 L a n 1S na na 1即S n a 1 q .∴ (1 q) S n a 1a n q （ 同上）S na n公式的推 方法三：S n a 1 a 2 a 3 L a n ＝ a 1 q(a 1 a 2 a 3 L a n 1 ) ＝ a 1 qS n 1 ＝ a 1 q( S n a n ) .∴(1 q )S n a 1 a n q （ 同上）：求等比数列1 ， 1 ， 1，⋯的前 8 的和.2 4 8※ 一1 已知 a =27， a =1 ， q <0，求 个等比数列前5 的和.19243式： a 1 3 ， a 5 48 . 求此等比数列的前 5 和 .12 某商 今年 售 算机 5000 台，如果平均每年的 售量比上一年的 售量增加10%，那么从今年起，大 几年可使 售量达到30000 台 ( 果保留到个位 )?※ 模仿1. 等比 数列中， a 3 3 ,S 3 9 , 求a 1 及q.2 22. 一个球从 100m 高出 自由落下，每次着地后又 回到原来高度的一半再落下，当它 第10次着地 ，共 的路程是多少？（精确到 1m ） 三、 提升※ 学 小1. 等比数列的前 n 和公式；2. 等比数列的前 n 和公式的推 方法；3. “知三求二” ，即：已知等比数列之a 1 ,a n , q, n, S n 五个量中任意的三个，列方程可以求出其余的两个 . ※ 知 拓展1. 若 q1， *qmN ， S,S S,S S ,构成新的等比数列，公比.mm2mm3m2m2. 若三个数成等比数列，且已知 ，可 三个数a, a, aq . 若四个同符号的数成等q比数列，可 四个数 a a 3.q 3 , , aq,aq q3. 明等比数列的方法有：（ 1）定 法：a n 1 q ；（ 2）中 法：a n 1 2a n ga n 2 .a n4. 数列的前 n 和构成一个新的数列，可用 推公式S 1 a 1表示 .S n S n 1 a n ( n 1)当堂1. 数列 1， a ， a2， a 3 ，⋯， a n 1 ，⋯的前 n 和 （ ） .A.1 a n B.1 a n 1 C.1 a n2 D. 以上都不1 a1 a1 a2. 等比数列中，已知 a 1 a 2 20 ， a 3 a 4 40 ， a 5 a 6（） .A. 30B. 60C. 80D. 1603. { a n } 是由正数 成的等比数列，公比2，且 a 1 a 2 a 3a 30 230，那么 a 3 a 6 a 9 a 30（） .A. 210B. 220C. 1D.2 604. 等 比数列的各 都是正数，若a 1 81, a 516 ， 它的前5 和.5. 等比数列的前 n 和 S n3n a ， a ＝ .后作1. 等比数列中，已知a 1 1,a 464, 求 q 及 S 4 .22.在等比数列a n中，a1a633,a2 ga532 ，求 S6 .课后反思3。
高中数学必修5《数列-复习课》学案
例1已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a2＋a1＝
2 ，a3＋a4＋a5＝64 .
N*)⇔{an}是等差数列；Sn＝aqn－a(a，q为常数，且a≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇔{an}是等比数列．
5．求数列的前n项和的基本方法
(1)公式法：利用等差数列或等比数列前n项和Sn公式；
(2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．
3．求数列的通项
(1)数列前n项和Sn与通项an的关系：
an＝
(2)当已知数列{an}中，满足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an，常利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)．
(3)当已知数列{an}中，满足 ＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用累积法求数列的通项an，常利用恒等式an＝a1· · ·…· .
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝ 2，求{bn}的前n项和Tn.
跟踪演练1记等差数列{an}的前n项和为Sn，设S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列，求Sn.
题型二 转化与化归思想求数列通项
由递推公式求通项公式，要求掌握的方法有两种，一种求法是先找出数列的前几项，通过观察、归纳得出，然后证明；另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列，再采用公式求出．
2．数列求和的方法：一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．
(人教A版)高中数学必修五名师精品：第2章《数列(1)》复习教案
教学设计本章复习（一）从容说课本章通过生产实际和社会生活中的实际引入了等差数列与等比数列这两种特殊数列的概念、有关知识和方法.重点研究了等差数列与等比数列的通项公式、基本性质、前n项和公式以及用上述知识解决生产实际与社会生活中有关的实际问题数列在现实世界中无处不在，等差数列与等比数列是其中的两种特殊的数列，发现数列的等差关系或等比关系是首先遇到的问题，也是学习中需要培养的最基本的能力.只有在观察和思考过程中迅速发现等差关系或等比关系，才能进一步地建立等差数列或等比数列的数学模型，接下来再用等差数列或等比数列的通项公式和有关的性质分析问题和解决问题数列实际上是特殊的函数，是定义在正整数集N*(或它的有限集{1，2，3，…，n})上的函数.数列的项实际上是定义域为正整数集N*(或它的有限集{1，2，3，…，n})的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.学习中学会用函数的观点认识数列，是理解数列的概念和性质的有效途径.尤其对等差数列与等比数列这两种特殊数列，更需要清楚地认识到它们与一次函数与指数函数的对应关系.进而，还可以将知识拓展到等差数列的前n项和与二次函数的关系数列的通项公式描述的是数列的第n项与序号n之间的函数关系，它是研究数列性质的载体，也是联系问题的已知条件与所要解决的问题的桥梁.它是分析问题与解决问题过程中最受关注的目标等差数列与等比数列的通项公式的推导，采用了不完全归纳法；等差数列与等比数列的前n项和公式的推导分别采用了“倒序相加”和“错位相减”的方法；本章在有关的问题的探索过程中还蕴含着更多的数学思想方法，如函数与方程的思想、数形结合的思想、转化与化归的思想、算法的思想、分类讨论的思想方法等等.所有蕴含这些思想方法的问题，都是培养和提高学生的数学素养的极好素材，需要我们潜心探究，以更好地体现新课程标准的理念学习过程中，用数列这个数学模型研究和解决生产实际与社会生活中的现实问题，是本章的一个重要内容，通过对“教育储蓄问题”“住房贷款问题”等问题的探究，既巩固了数学知识，又培养了学生的人生观和价值观，收到的效果是不可估量的，这类问题值得我们高度重视数列学习中，学生将在理解概念和性质的基础上，结合对具体教学实例的分析，体验数列这个数学模型在解决问题中的特殊作用；通过合作交流、独立思考、自主探索，发展有条理的思考与表达能力，提高逻辑思维能力.数列，特别是等差数列与等比数列，既有知识性，又有趣味性和实用性，在物理、化学、生物等学科，以及经济、天文、历法等领域，都有它的身影.我们应当适当地引导学生拓展知识的空间，更好地应用知识，乃至于更好地提高思想水平和能力水平在实例的选择中，我们要把握这样一些原则：亲和原则.选取的例子要贴近学生，或者来自学生的生活实践，或者使用学生所学过的数学趣味性原则.选取的实例一般要有丰富的背景，本身要有趣味性基础性原则.问题本身并不难，但要蕴涵丰富的思想方法本节课作为本章的小结，旨在和学生一起站在全章的高度，以问题解决为主线，以典型例习题为操作平台，以巩固知识、发展能力、提高素养为目的对本章作全面的复习总结，帮助学生进一步提高对数列的理解和认识，优化知识结构鉴于本节课是复习课，小结应主要由学生来完成，教师帮助其完善和补充，练习题也放手由学生来完成，教师做好组织者和引导者的工作教学重点1.系统化本章的知识结构；2.提高对几种常见类型的认识；3.优化解题思路和解题方法，提升数学表达的能力教学难点解题思路和解题方法的优化教具准备多媒体课件，投影胶片，投影仪等三维目标一、知识与技能1.进一步理解数列基础知识和方法，能清晰地构思解决问题的方案；2.进一步学习有条理地、清晰地表达数学问题，提高逻辑思维能力；3.加强对等差数列与等比数列的性质的理解，提高“知三求二”的熟练程度；4.在理解的基础上进一步熟练地构建数列模型解决实际问题二、过程与方法1.通过实例，发展对解决具体问题的过程与步骤进行分析的能力；2.通过独立思考、合作交流、自主探究的过程，发展应用数列基础知识的能力；3.在解决具体问题的过程中更进一步地感受数列问题中蕴含的思想方法三、情感态度与价值观1.通过具体实例，感受和体会数列在解决具体问题中的意义和作用，认识数列知识的重要性；2.感受并认识数列知识的重要作用，形成自觉地将数学知识与实际问题相结合的思想；3.在解决实际问题过程中形成和发展正确的价值观教学过程导入新课数列是高中代数的重要内容之一，也是高考考查的重点.它的主要内容主要有两个方面：第一方面是数列的基本概念，如等差数列的定义、等比数列的定义、通项公式、等差中项、等比中项、数列的性质以及数列的前n项和公式等；第二方面是数列的运算和实际应用，即运用通项公式、前n项和公式以及数列的性质求一些基本量，运用数列的基础知识探究与解决实际问题应用本章知识要解决的主要问题有：(1)对数列概念理解的题目；(2)等差数列和等比数列中五个基本量a1,a n,d(q),n,S n“知三求二”的问题；(3)数列知识在实际方面的应用在解决上述问题时，一是要用函数观点来分析解决有关数列问题；二是要运用方程的思想来解决“知三求二”的计算问题；三是能自觉地运用等差、等比数列的特征来化简计算；四是树立应用意识，能用数列有关知识解决生产生活中的一些问题推进新课师出示多媒体课件一：(请同学们自己将框中的公式补充完整师等差数列与等比数列的通项公式与前n项和公式都不止一种形式，请同学们在总结的时候不要忘记它们中的任何一种形式［回顾与思考］1.知识的发生发展过程：师你能从函数的观点认识数列吗？你能体会学习数列与学习实数之间的异同吗？等差数列与等比数列的通项公式反映了什么函数关系？它们的图象各有什么特点呢？生思考师请看下面的结构框图(出示多媒体课件二)：师请同学们理解并解释框图的结构及其含义2.通项公式与前n项和公式的推导中的思想方法：师你能清楚地说出等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式的一种推导方法吗？每一个公式的推导能说出几种方法吗？生回忆学习过程中自己已经掌握的方法，并积极发言师在它们的前n项和公式的推导中，请大家特别注意其中的两种推导方法：等差数列的前n项和公式推导中的“倒序相加法”与“叠加法”；等比数列的前n项和公式推导中的“错位相减法”与“叠乘法”；另外，还应该知道，对于任何数列{a n}，S n与a n有以下关系：a n=S1,nS n-S n-1,n＞师你知道这个公式在解决问题中有哪些作用吗？生思考，回答3.应用本章知识要解决的主要问题：师你明确应用本章知识要解决哪些问题吗？生应用本章知识要解决的主要问题有：(1)对数列概念理解的题目；(2)等差数列和等比数列中五个基本量a1,a n,d(q),n,S n“知三求二”的问题；(3)数列知识在生产实际和社会生活中的应用师肯定学生的回答，必要时给予补充师出示投影胶片1：例题1.【例1】 设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和.若{S n }是等差数列，求的值［合作探究］师 这是一个关于等差数列与等比数列的基本概念和基本性质的基本题，起点比较低，入手的路子宽.你如何想？ 生 独立思考，列式、求解师 组织学生交流不同的解题思路，概括出典型的解题方法的过程参考答案如下：(投影胶片2)解法一：利用定义，∵{S n }是等差数列，∴a n =S n -S n -1=…=S 2-S 1=a 2∴a 1·q n -1=a 1·q.∵a 1≠0,∴q n -2=1.∴解法二：利用性质，∵{S n }是等差数列，∴a n =S n -S n -1=S n -1-S n -2=a n -1a 1·q n -1=a 1·q n -2.∵a 1≠0,q≠0,∴解法三：利用性质，∵2S 2=S 1+S 3，∴2(a 1+a 2)=a 1+a 1+a 2+a 3即a 2＝a 3.∴q=1.师 点评：还可以用求和公式、反证法等师 出示投影胶片3：例题2.【例2】 设数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋2n ＋4(n ∈N(1)写出这个数列的前三项；(2)证明数列除去首项后所成的数列a 2，a 3，…，a n ，…是等差数列.［合作探究］师 第1个问题很容易思考，请同学们独立完成生 迅速作答解：（1）a 1=S 1=7,a 2=S 2-S 1=22+2×2+4-a 3=S 3-S 2=32+2×3+4-(7+5)=7,即a 1=7,a 2=5,a 3师 第2个问题是要证明一个数列是等差数列，这里的关键是要注意条件中的“除去首项后”，你能把握好这个条件的运用吗？生 自主探究，组织数学语言，准确表达推理过程参考答案：(投影胶片4) （2）∵⎩⎨⎧-=-,1,11n nS S n S n ＞1，∴当n ＞1时，a n ＝S n -S n -1＝n 2＋2n ＋4- [(n -1)2＋2(n -1)＋4]＝2n ＋a n ＋1-a n ＝2(定值即数列{a n }除去首项后所成的数列是等差数列. 师 点评：a n ＝S 1,nS n -S n -1,n ＞1 是一个重要的关系式，要充分发挥它的作用还有其他不同的证法，请同学们多交流师 出示投影胶片5：例题3.【例3】 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数.［合作探究］师 三个数成等差数列，在设法上应根据条件的特殊性考虑特殊的设法，同样，三个数成等比数列，也要注意兼顾前三个数已经设出来的形式生 积极思考，列式探究，踊跃发言师 观察学生的思考情况，指点学生寻找合理的思路归纳、概括、总结学生的解题结果，给出如下两种典型解法投影胶片6解法一：设四个数依次为a -d ，a ，a ＋d ，a d a 2)(+，依题意有 (a -d )＋ad a 2)(+＝16,①a ＋(a ＋d )＝12,②由②式得 d ＝12-2a .③将③式代入①式整理得a 2-13a ＋36＝解得a 1＝4，a 2＝代入③式得d 1＝4，d 2＝-从而所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1. 投影胶片7解法二：设四个数依次为x ，y ，12-y ，16-x ，依题意有⎩⎨⎧-=-=-+②①2)12()16(,2)12(y x y y y x由①式得x ＝3y-12.③将③式代入②式得y(16-3y ＋12)＝(12-y)2整理得y 2-13y ＋36＝解得y 1＝4，y 2＝代入③式得x 1＝0，x 2＝从而得所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.师 点评：本题若采用其他设求知量的方法列方程，解题过程会是怎么样的呢？请同学们课外探究一下，并在本题上述设求知量的方法的基础上，思考四个数成等差数列的常见设法，以及四个数成等比数列的常见设法师 出示投影胶片8：例4.【例4】 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，S 12＞0，S 13＜0，（1）求公差d 的取值范围；（2）指出S 1，S 2，…S 12中哪一个值最大，并说明理由. ［合作探究］分析：本题的条件形式上比较特殊，属于同学们不太熟悉的面孔，思考应该从最熟悉的角度入手师 引导：第1个问题，目标是关于d 的范围的问题，故应当考虑到合理的选用等差数列的前n 项和的哪一个公式.其次，条件a 3＝12可以得出a 1与d 的关系，列式中可以用来代换掉另一个量，起到减少求知量的作用生 在教师的引导下，列出式子，将问题化归为一个关于d 的不等式参考答案：投影胶片9 解：（1）依题意有S 12＝12a 1＋21×12×11d ＞0,S 13＝13a 1＋21×13×12d ＜即2a 1＋11d ＞0,① a 1＋6d ＜0.②由a 3＝12，得a 1＝12-2d ,③将③式分别代入①②式得24＋7d ＞0且3＋d ＜0，∴724-＜d ＜-3为所求. 师 对第2个问题的思考，可以有较多的角度，请同学们合作探究，交流你们的想法，寻找更好的思路生 积极活动，在交流中受到启发，得到自己的成功的解法师 收集、整理出学生的不同思路，公布优秀的思考方法和解题过程，归纳出如下几种解法： 投影胶片10（2）解法一：由(1)知d ＜0，∴a 1＞a 2＞a 3＞……＞a 12＞a 13，因此，若在1≤n ≤12中存在自然数n ，使得a n ＞0，a n ＋1＜0，则S n 就是S 1，S 2，…，S 12中的最大值， 由于S 12=12a 1+21×12×11d =6(2a 1+11d )＝6(a 6＋a 7)＞0，S 13=13a 1+21×13×12d =13(a 1+6d )＝13a 7＜∴a 6＞0，a 7＜0，故在S 1，S 2，…，S 12中，S 6最大. 投影胶片11 解法二：S n ＝na 1＋21n (n -1)d ＝n (12-2d )＋21(n 2-n )d ＝2)245()2245(222d d d n d ---- ∵d ＜0，∴2)2245(d n --最小时，S n 最大， 而当724-＜d ＜-3时，有6＜2245d -＜6.5，且n ∈N， ∴当n ＝6时，(n -2245d -)2最小，即S 6最大. 投影胶片12解法三：由d ＜0，可知a 1＞a 2＞a 3＞…＞a 12＞a 13，因此，若在1≤n ≤12中存在自然数n ，使得a n ＞0，a n ＋1＜0， 则S n 就是S 1，S 2，…，S 12中的最大值， 由S 12＞0，S 13＜0，有 12a 1＋21×12×11d ＞0a 1＋5d ＞-2d＞13a 1＋21×13×12d ＜0a 1＋6d＜∴a 6＞0，a 7＜0，故在S 1，S 2，…，S 12中，S 6最大. 投影胶片13解法四：同解法二得S n ＝2d (n -2245d -)2-2245d-∵d ＜0，故S n 的图象是开口向下的一条抛物线上的一些点，注意到S 0＝0，且S 12＞0，S 13＜0，知该抛物线与横轴的一个交点是原点，一个在区间(12，13)内，于是抛物线的顶点在(6，6.5)内，而n ∈N ，知n ＝6时，有S 6是S 1，S 2，…，S 12中的最大值. 课堂小结本节学习了如下内容：1.第二章“数列”一章知识和方法的概括性回顾与思考2.运用中典型例题的探究布置作业1.独立完成复习参考题A 组题2.开展探究活动，思考更深刻的数列知识运用的问题板书设 本章复习(一)本章知识结构典型例题剖析 回顾与思考例例3 例例4习题详解(课本第75页复习参考题组1.（1）B ；（2）B ；（3）B ；（4）A2.（1）a n =nn 212-； （2）a n =1+21)2()1(n n --；（3）a n =(10n -1)97；(4) n n a )1(1-+=，或πn a n cos 1+=以上各题的通项公式不一定唯一3.4.如果a ,b ,c 成等差数列，则b =5；如果a ,b ,c 成等比数列，则b ＝1或b ＝-5.a n 按顺序输出的值为：12，36，108，324，6.138.1·(1+0.13%)87.从12月20日到次年的1月1日，共13天，每天领取的奖品价值呈等差数列分布da 1=100.由S n =a 1n +2)1(-n n d 得S 13=100×13+21213⨯×10=2 080＞2 000，所以第二种领奖方式获奖受益更多9.15天10.(1)S 2=a n +1+a n +2+…+a 2n =(a 1+nd )+(a 2+nd )+…+(a n +nd )=a 1+a 2+…+a n +n ×nd =S 1+n 2dS 3=a 2n +1+a 2n +2+…+a 3n =(a 1+2nd )+(a 2+2nd )+…+(a n +2nd )=a 1+a 2+…+a n +n ×2nd =S 1+2n 2d容易验证2S 2=S 1+S 3，所以S 1,S 2,S 3也是等差数列，公差为n 2d（2）S 2=a n +1+a n +2+…+a 2n =(a 1×q n )+(a 2)×q n +…+(a n )×q n=(a 1+a 2+…+a n )q n =S 1×q nS 3=a 2n +1+a 2n +2+…+a 3n =(a 1×q 2n )+(a 2×q 2n )+…+(a n ×q 2n )=(a 1+a 2+…+a n )q 2n =S 1×q 2n容易验证：S 22=S 1×S 3，所以S 1,S 2,S 3也是等比数列，公比为q n11.a 1=f(x+1)=(x+1)2-4(x+1)+2=x 2-2x-a 3=f(x-1)=(x-1)2-4(x-1)+2=x 2-因为{a n }是等差数列，所以a 1,a 2,a 3也是等差数列，所以2a 2=a 1+a 3即0=2x 2-8x+6.解得x=1或x=1时，a 1=-2,a 2=0,a 3=2，由此可求出a n =2n -x=3时，a 1=2,a 2=0,a 3=-2，由此可求出a n =4-2n .备课资料 一、备用例题一次人才招聘会上，有A 、B 两家公司分别开出了它们的工资标准：A 公司允诺第一个月工资为1 500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B 公司允诺第一年月工资数为2 000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5％，设某人年初被A 、B 两家公司同时录取.试问：(2003年春上海(22)4＋6＋8＝18分(1)若该人分别在A 公司或B 公司连续工作n 年，则他在第n 年的月工资收入分别是多少？(2)该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准(不记其他因素)，该人应该选择哪家公司，为什么？(3)在A 公司工作比在B 公司工作的月工资收入最多可以多多少元?(精确到1元)并说明理由解：(1)在A 公司连续工作n 年，则第n 年的月工资为a n ＝1 500＋230(n -1)＝230n ＋1 270(元在B 公司连续工作n 年，则第n 年的月工资为b n ＝2 000(1＋1005) n -1＝2 000×1.05 n -1(元(2)在A 公司连续工作10年，则其工资总收入为S 10＝21[12×(1 500＋1 500＋9×230)×10]＝304 200(元在B 公司连续工作10年，则其工资总收入为S 10′＝05.11)05.11(20001210--⨯≈301 869(元S 10＞S 10′，故仅从工资收入总量来看，该人应该选择A 公司(3)a n -b n ＝230n ＋1 270-2 000×1.05 n -1,记为f(n要使得f(n )最大，需满足f(n )＞f(n -1)且f(n )＞f(n ＋于是f(n )-f(n -1)＞0⇒1.05n -2＜f(n ＋1)-f(n )＜0⇒1.05 n -1＞解得1＋ 1.052.3＜n ＜2＋log 1.05经计算得lg2.3＝0.361 7，lg1.05＝0.021 2(注：上海市高考允许使用计算器从而得18.07＜n ＜19.07，n ＝∴f(n ) m a＝f(19)＝230×19＋1 270-2 000×1.05 18≈827(元答：(略 二、阅读材料关于等差数列与等比数列的对比等差数列和等比数列，在数列中起着举足轻重的作用.它们如同一对亲兄弟，再仔细对比就会发现许多有趣的东西，本文略举一二，供大家欣赏1.若an +1-a n =d (d 为常数，n ∈N *)，则{a n }为等差数列，d 为公差； 若nn a a 1+=q(q 为常数，n ∈N *)，则{a n }为等比数列，q 为公比 其中，差与商，d 与q 相对比2.若d =0，则{a n }为等差数列；若q=1，则{a n }为等比数列其中0与1相对比(0与1恰是二进制中表示数的两数3.若l 、m 、n 、p ∈N *，m+n =l+p,则当{a n }为等差数列时，a m +a n =a l +a p ；当{a n }为等比数列时，a m ·a n =a l ·a p其中和与积相对比特别地，若m,l,n 为正整数，m+n =2l,则当{a n }为等差数列时，a m +a n =2a l ；当{a n }为等比数列时，a m ·a n =a l 2其中和与积，倍数与乘方相对比4.若{a n }为等差数列，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++n a a a n ...21为等差数列；若{a n }为正数等比数列，则{}n n a a a ...21为等比数列 其中算术平均数与几何平均数相对比5.若a ＞0,b ＞0，n 为正整数，a n ＞0,则当a ,a 1,a 2,…,a n ,b 成等差数列时，a 1,a 2,…,a n 的算术平均数等于a ,b 的算术平均数，即2...21b a n a a a n +=+++；当a ,a 1,a 2,…,a n ,b 成等比数列时，a 1,a 2,…,a n 的几何平均数等于a ,b的几何平均数，即ab a a a n n = (21)其中算术平均数与几何平均数，等差中项与等比中项相对比6.若n ∈N *,k ∈N *，则当{a n }为等差数列时，S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…,S (k+1)n -S k n ,…为等差数列； 当{a n }为等比数列时，S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…,S (k+1)n -S k n ,…为等比数列其中等差与等比相对比 7.三个数成等差数列可设为：a -d ,a ,a +d ，此时公差为d .等差数列有奇数项时均为可类似假设.四个数成等差数列时可设为a -3d ,a -d ,a +d ,a +3d ，此时公差为2d .等差数列有偶数项时均可类似假设 三个数列成等比数列可设为qa ,a ,a q ，此时公比为q.等比数列有奇数项时，均可类似假设.四个数成等比数列可设为3qa , q a ,a q,a q 3，此时公比为q 2.等比数列有偶数项时可类似假设其中d 与q ，差与商相对比8.等差数列前n 项和公式推导方法：倒序相加法；等比数列(公比不为1)前n 项和公式推导方法：错位相减法 其中倒序与错位，加与减相对比9.在等差数列{a n }中，a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2a 3-a 2)+(a 2-a 1)+a 1=d +d +…+d +d +a 1=a 1+(n -1)d在等比数列中{a n }中,a n =1-n n a a ·21--n n a a ·…·23a a ·12a a ·a 1=q·q·…·q·q·a 1=a 1q n -1其中差之和与商之积相对比当然，等差数列与等比数列还有众多可对比之处，在此就不一一列举了，不足之处，请多加指教。
人教A版数学必修五导学案：2.1数列(1)
⑤某种树木第1年长出幼枝，第2年幼枝长成粗干，第3年粗干可生出幼枝（书29页图2-1-2），那么按照这个规律，各年树木的枝干数依次为
1，1，2，3，5，8…
⑥从1984年到2004年，我国共参加了6次奥运会，各次参赛得的金牌总数依次为
20，22，24，26，28，…
②人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔83年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为
1740，1823，1906，1989，2072，…
③某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为2个，那么每过1分钟，一个细胞分裂的个数依次为
1，2，4，8，16，…
课题:2.1数列（1）
班级：姓名：学号：第学习小组
【学习目标】
了解数列的概念、了解数列的分类、了解数列是一种特殊的函数，会用图象法的列表法表示数列.
【课前预习】
1．考察下面的问Βιβλιοθήκη ：①某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位（书29页图2-1-1），那么各排的座位数依次为
6．数列 的通项公式 ， 是此数列中的项吗？若是，是第几项？
7．已知数列 的通项公式为 ，
（1）写出这个数列的前 项，并画出图象；
（2）判断 是否是该数列的项，若是，是第几项？
3．数列的一般形式为： …， ，…简记为 ，其中 称为数列 的第一项（或称为首项）， 称为第二项，…， 称为第 项．
4．数列是特殊的函数：
5．数列的通项公式：
数列可用图象法、列表法和通项公式来表示：
一般地，___________________________________________叫这个数列的通项公式．
高中数学第二章《数列》复习课导学案(无答案)新人教版必修5
《数列》复习、其他知识:a i S i (n 1)a n 5a n nS n S n i (nn(n 1) n2分组求和；倒序相加。
a5.设元技巧：①三数成等差： a d,a,a d :②三数成等比：,a, aq 或a,aq,aq q【预习自测】课本P 67页:第］题： ________第2题： _______________ , ____________________ , _______________ , ______ 第4题： ___________ , _______________. 【课中导学】例1、在数列a n 中，a 1 = 3, n > 2时，a n a n 1 2n 1 0 .1. S na 1 a 2 a 32. 若数列 数列。
3. 若数列4. 数列前 a n 是等差数列, 是等比数列, n 项和：S n 是其前n 项的和,N ，那么 S k ， S 2kSk ，S 3k S 2k 成等差S n 是其前n 项的和，k，那么 S k , S 2kS k , S 3kS 2k 成等比数列。
2)(1)重要公式：1 2 (2)裂项求和；错位相减;(1 )求a2,a3; (2)证明：数列a n n是等比数列，求数列a.的通项公式⑶求数列a n的前n项和S n .变式：设数列a n满足S n i S n 2a“ i，且a i 3，求通项a n。
例2、假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%另外，每年新建住房中，中低「价房的面积均比上一年增加50万平方米，那么，到哪一年底：(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%*4 5 6(1.08 1.36,1.08 1.47,1.08 1.59)【总结】【反馈检测】ai 1, a ? a 5 4, a n 33 则 n 为( )35、 在等比数列 a n 中， (1)若 a 52,a 10 10，贝U 印5 = ___________________ ; (2) 若 a 45,a 8 6，贝U a z a® = _____________ ；(3r )若a 1a ?a 3 a ? 512，则= ____________________;设a .是由正数组成的等比数列，公比q 2，且30818283 a 30 2 ，那么 a 3 a 6 a 9 a 30 _______________ ；⑷若 S n 48, S 2n 60 = 48 ,则 S 3n ___________________ ； ⑸若 a 3 a 2 4 , a ? a 12，则 S n = _________ 。
人教A版高中数学必修五数列学案
第三章 数列一 数列【考点阐述】数列．【考试要求】（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项．【考题分类】（一）选择题（共2题）1.（北京卷理6）．已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于（ ）A ．165-B ．33-C ．30-D ．21-【标准答案】: C 【试题分析】: 由已知4a ＝2a +2a ＝ -12，8a ＝4a +4a ＝－24,10a =8a +2a = -30【高考考点】: 数列【易错提醒】: 特殊性的运用【备考提示】: 加强从一般性中发现特殊性的训练。
2.（江西卷理5文5）在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n +=++，则n a =A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++ 解析：A . 211ln(1)1a a =++，321ln(1)2a a =++，…，11ln(1)1n n a a n -=++- 1234ln()()()()2ln 1231n n a a n n ⇒=+=+- （二）填空题（共2题） 1.（北京卷理14）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种植在点()k k k P x y ，处，其中11x =，11y =，当2k ≥时，111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --⎧⎡--⎤⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，． ()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如(2.6)2T =，(0.2)0T =．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 ；第2008棵树种植点的坐标应为 ．【标准答案】: (1,2) (3, 402)【试题分析】: T ⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-5251k T k 组成的数列为1,0,0,0,0,1, 0,0,0,0,1, 0,0,0,0,1……(k=1,2,3,4……)。
数学人教A版高中必修5数列专题导学案
高考数列专题考情分析——全国卷中数列与三角函数基本上是交替考查，难度不大，题目多为常规题，从五年全国卷高考试题来看，本专题的热点题型有：一是等差、等比数列的基本运算；二是等差、等比数列的判定与证明；三是数列的求和问题，难度中等。
题型1 等差、等比数列的基本运算方法归纳: 五个基本量，熟悉公式，方程思想，多用性质可以简化运算。
1．【2019年高考全国III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8C ．4D ．22．【2017年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为A ．1B ．2C ．4D ．83．【2017年高考全国II 卷理数】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏D ．9盏4．【2017年高考浙江卷】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件题型二 等差、等比数列的判定与证明方法归纳——紧抓定义证明，难度不大。
5．【2019年高考全国II 卷理数】已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-.（1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列； （2）求{a n }和{b n }的通项公式.题型3 数列的通项与求和问题方法归纳——数列的通项与求和是高考的必考题型，求通项属于基本量问题；求和问题关键在于分析通项的结构体征，选做适合的求和方法，常考的求和方法有：公式法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等。
高中数学 第二章 数列复习课导学案新人教A版必修5
【步步高】2014-2015学年高中数学第二章数列复习课检测试题新人教A版必修5课时目标综合运用等差数列与等比数列的有关知识，解决数列综合问题和实际问题．一、选择题1．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a ＋b ＋c 1 2 121a bcA.1 B ．答案 A解析 由题意知，a ＝12，b ＝516，c ＝316，故a ＋b ＋c ＝1.2．已知等比数列{a n }，a 1＝3，且4a 1、2a 2、a 3成等差数列，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 答案 C解析 由题意可设公比为q ，则4a 2＝4a 1＋a 3， 又a 1＝3，∴q ＝2.∴a 3＋a 4＋a 5＝a 1q 2(1＋q ＋q 2) ＝3×4×(1＋2＋4)＝84.3．已知一个等比数列首项为1，项数为偶数，其奇数项和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为( )A ．4B ．6C ．8D ．10 答案 C解析 设项数为2n ，公比为q .由已知S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n －1. ① S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2n . ②②÷①得，q ＝17085＝2，∴S 2n ＝S 奇＋S 偶＝255＝a 11－q 2n 1－q ＝1－22n1－2，∴2n ＝8.4．在公差不为零的等差数列{a n }中，a 1，a 3，a 7依次成等比数列，前7项和为35，则数列{a n }的通项a n 等于( )A ．nB ．n ＋1C ．2n －1D ．2n ＋1 答案 B解析 由题意a 23＝a 1a 7，即(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，得a 1d ＝2d 2.又d ≠0，∴a 1＝2d ，S 7＝7a 1＋7×62d ＝35d ＝35.∴d ＝1，a 1＝2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋1.5．在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n(n ≥2，n ∈N ＋)，则a 3a 5的值是( ) A.1516 B.158 C.34 D.38 答案 C解析 由已知得a 2＝1＋(－1)2＝2，∴a 3·a 2＝a 2＋(－1)3，∴a 3＝12，∴12a 4＝12＋(－1)4，∴a 4＝3，∴3a 5＝3＋(－1)5，∴a 5＝23，∴a 3a 5＝12×32＝34. 6．已知等比数列{a n }的各项均为正数，数列{b n }满足b n ＝ln a n ，b 3＝18，b 6＝12，则数列{b n }前n 项和的最大值等于( )A ．126B ．130C ．132D ．134 答案 C解析 ∵{a n }是各项不为0的正项等比数列， ∴{b n }是等差数列．又∵b 3＝18，b 6＝12，∴b 1＝22，d ＝－2，∴S n ＝22n ＋n n －12×(－2)＝－n 2＋23n ，＝－(n －232)2＋2324∴当n ＝11或12时，S n 最大，∴(S n )max ＝－112＋23×11＝132. 二、填空题7．三个数成等比数列，它们的和为14，积为64，则这三个数按从小到大的顺序依次为__________．答案 2,4,8解析 设这三个数为a q ，a ，aq .由a q·a ·aq ＝a 3＝64，得a ＝4.由a q ＋a ＋aq ＝4q ＋4＋4q ＝14.解得q ＝12或q ＝2. ∴这三个数从小到大依次为2,4,8.8．一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项与奇数项和之比为32∶27，则这个等差数列的公差是____．答案 5解析 S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12；S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11.则⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝354S 偶÷S 奇＝32∶27，∴S 奇＝162，S 偶＝192，∴S 偶－S 奇＝6d ＝30，d ＝5.9．如果b 是a ，c 的等差中项，y 是x 与z 的等比中项，且x ，y ，z 都是正数，则(b －c )log m x ＋(c －a )log m y ＋(a －b )log m z ＝______.答案 0解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，设公差为d ，则(b －c )log m x ＋(c －a )log m y ＋(a －b )log m z ＝－d log m x ＋2d log m y －d log m z＝d log m y 2xz＝d log m 1＝0.10．等比数列{a n }中，S 3＝3，S 6＝9，则a 13＋a 14＋a 15＝________.答案 48解析 易知q ≠1，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 11－q 31－q＝3S 6＝a11－q 61－q＝9，∴S 6S 3＝1＋q 3＝3，∴q 3＝2.∴a 13＋a 14＋a 15＝(a 1＋a 2＋a 3)q 12＝S 3·q 12＝3×24＝48. 三、解答题11．设{a n }是等差数列，b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ，已知：b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1b 2b 3＝18，求等差数列的通项a n .解 设等差数列{a n }的公差为d ，则b n ＋1b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12an ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12d . ∴数列{b n }是等比数列，公比q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12d.∴b 1b 2b 3＝b 32＝18，∴b 2＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋b 3＝178b 1·b 3＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＝18b 3＝2或⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝2b 3＝18.当⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＝18b 3＝2时，q 2＝16，∴q ＝4(q ＝－4<0舍去)此时，b n ＝b 1qn －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18·4n －1＝22n －5. 由b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫125－2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ，∴a n ＝5－2n . 当⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝2b 3＝18时，q 2＝116，∴q ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫q ＝－14<0舍去此时，b n ＝b 1qn －1＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n ，∴a n ＝2n －3.综上所述，a n ＝5－2n 或a n ＝2n －3.12．已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1n a n ＋3(n ∈N *)，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，是否存在t ，使得对任意的n 均有S n >t36总成立？若存在，求出最大的整数t ；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意得(a 1＋d )(a 1＋13d )＝(a 1＋4d )2，整理得2a 1d ＝d 2.∵d >0，∴d ＝2∵a 1＝1.∴a n ＝2n －1 (n ∈N *)．(2)b n ＝1n a n ＋3＝12n n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n2n ＋1. 假设存在整数t 满足S n >t36总成立，又S n ＋1－S n ＝n ＋12n ＋2－n 2n ＋1＝12n ＋2n ＋1>0，∴数列{S n }是单调递增的．∴S 1＝14为S n 的最小值，故t 36<14，即t <9.又∵t ∈Z ，∴适合条件的t 的最大值为8.能力提升13．已知数列{a n }为等差数列，公差d ≠0，其中ak 1，ak 2，…，ak n 恰为等比数列，若k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17，求k 1＋k 2＋…＋k n .解 由题意知a 25＝a 1a 17，即(a 1＋4d )2＝a 1(a 1＋16d )． ∵d ≠0，由此解得2d ＝a 1.公比q ＝a 5a 1＝a 1＋4d a 1＝3.∴ak n ＝a 1·3n －1.又ak n ＝a 1＋(k n －1)d ＝k n ＋12a 1，∴a 1·3n －1＝k n ＋12a 1.∵a 1≠0，∴k n ＝2·3n －1－1，∴k 1＋k 2＋…＋k n ＝2(1＋3＋…＋3n －1)－n ＝3n－n －1.14．设数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和S n 满足关系式： 3tS n －(2t ＋3)S n －1＝3t (t >0，n ＝2,3,4，…)． (1)求证：数列{a n }是等比数列；(2)设数列{a n }的公比为f (t )，作数列{b n }，使b 1＝1，b n ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫1b n －1 (n ＝2,3,4，…)．求数列{b n }的通项b n ；(3)求和：b 1b 2－b 2b 3＋b 3b 4－b 4b 5＋…＋b 2n －1b 2n －b 2n ·b 2n ＋1. (1)证明 由a 1＝S 1＝1，S 2＝1＋a 2，得a 2＝3＋2t 3t ，a 2a 1＝3＋2t 3t.又3tS n －(2t ＋3)S n －1＝3t ， ① 3tS n －1－(2t ＋3)S n －2＝3t . ② ①－②，得3ta n －(2t ＋3)a n －1＝0. ∴a n a n －1＝2t ＋33t，(n ＝2,3，…)． ∴数列{a n }是一个首项为1，公比为2t ＋33t的等比数列．(2)解 由f (t )＝2t ＋33t ＝23＋1t，得b n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b n －1＝23＋b n －1.∴数列{b n }是一个首项为1，公差为23的等差数列．∴b n ＝1＋23(n －1)＝2n ＋13.(3)解 由b n ＝2n ＋13，可知{b 2n －1}和{b 2n }是首项分别为1和53，公差均为43的等差数列．于是b 1b 2－b 2b 3＋b 3b 4－b 4b 5＋…＋b 2n －1b 2n －b 2n b 2n ＋1＝b 2(b 1－b 3)＋b 4(b 3－b 5)＋b 6(b 5－b 7)＋…＋b 2n (b 2n －1－b 2n ＋1)＝－43(b 2＋b 4＋…＋b 2n )＝－43·12n ⎝ ⎛⎭⎪⎫53＋4n ＋13＝－49(2n 2＋3n )．1．等差数列和等比数列各有五个量a1，n，d，a n，S n或a1，n，q，a n，S n.一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和d(或q)，问题可迎刃而解．2．数列的综合问题通常可以从以下三个角度去考虑：①建立基本量的方程(组)求解；②巧用等差数列或等比数列的性质求解；③构建递推关系求解．。
2015高中数学2.4等比数列的性质导学案新人教A版必修5
随堂练习
（1）在等比数列中，，求
（2）已知等比数列满足，则当时，求
课后巩固
1、在等比数列中，，求
2、已知为等比数列，，求
3、设为由正数构成的等比数列，公比,且，求
《等比数列的性质》导学案
复习回顾
数列
等差数列
等比数列
定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列
如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比是同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列
数学表达
通项公式
等差（比）中项
性质探究
等差数列
等比数列
性质1：在等差数列中，d为公差，则有
猜想1：在等比数列中，q为公比，则有
性质2：在等差数列中，若，则有
特别的：若，则
猜想2：在等比数列中，若
，则有
特别的：若，则
性质3：
在等差数列中，d为公差，为前n项和，则成等差数列，公差为。
猜想3：在等比数列中，q为公比，为的前在等比数列中，，求
例2在等比数列中，且，，求
人教A版高中数学必修5第二章 数列2.5 等比数列的前n项和导学案(1)
高中数学 2.5等比数列的前n 项和(1)学案新人教A 版必修5学习目标n 项和公式； 2. 能用等比数列的前n 项和公式解决实际问题. 学习重难点1.重点： 等比数列的前n 项和公式的推导2.难点：等比数列的前n 项和公式实际应用一、课前回顾复习1：什么是数列前n 项和？等差数列的数列前n 项和公式是什么？复习2：已知等比数列中，33a =，681a =，求910,a a .二、新课探究※ 学习探究 探究任务： 等比数列的前n 项和 故事：“国王对国际象棋的发明者的奖励” 新知：等比数列的前n 项和公式设等比数列123,,,n a a a a L L 它的前n 项和是n S =123n a a a a +++L ，公比为q ≠0， 公式的推导方法一：则22111111n n n n S a a q a q a q a q qS --⎧=++++⎪⎨=⎪⎩L ， (1)n q S ∴-= 当1q ≠时，n S = ① 或n S = ②当q =1时，n S = 公式的推导方法二：由等比数列的定义，32121n n a a aq a a a -====L ，有231121n n n n na a a S a q a a a S a -+++-==+++-L L ，即 1n n n S a q S a -=-. ∴ 1(1)n n q S a a q -=-（结论同上）公式的推导方法三：n S =123n a a a a +++L ＝11231()n a q a a a a -++++L ＝11n a qS -+＝1()n n a q S a +-. ∴ 1(1)n n q S a a q -=-（结论同上）试试：求等比数列12，14，18，…的前8项的和.※ 试一试习1已知a 1=27，a 9=1243，q <0，求这个等比数列前5项的和.变式：13a =，548a =. 求此等比数列的前5项和.习2某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)?※ 模仿练习练1. 等比数列中，33139,.22a S a q ==,求及练2. 一个球从100m 高出处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的一半再落下，当它第10次着地时，共经过的路程是多少？（精确到1m ）三、总结提升 ※ 学习小结1. 等比数列的前n 项和公式；2. 等比数列的前n 项和公式的推导方法；3. “知三求二”问题，即：已知等比数列之1,,,,n n a a q n S 五个量中任意的三个，列方程组可以求出其余的两个.※ 知识拓展1. 若1q ≠-，*m N ∈，则232,,,m m m m m S S S S S --⋅⋅⋅构成新的等比数列，公比为m q .2. 若三个数成等比数列，且已知积时，可设这三个数为,,aa aq q. 若四个同符号的数成等比数列，可设这四个数为33,,,a aaq aq q q.3. 证明等比数列的方法有：（1）定义法：1n n aq a +=；（2）中项法：212n n n a a a ++=g .4. 数列的前n 项和构成一个新的数列，可用递推公式111(1)nn n S a S S a n -=⎧⎨=+>⎩表示.当堂检测1. 数列1，a ，2a ，3a ，…，1n a -，…的前n 项和为（ ）.A. 11n a a --B. 111n a a +--C. 211n a a+-- D. 以上都不对2. 等比数列中，已知1220a a +=，3440a a +=，则56a a +=（ ）. A. 30 B. 60 C. 80 D. 1603. 设{}n a 是由正数组成的等比数列，公比为2，且30123302a a a a ⋅⋅⋅=，那么36930a a a a ⋅⋅⋅=（ ）.A. 102B. 202C. 1D. 6024. 等比数列的各项都是正数，若1581,16a a ==，则它的前5项和为 .5. 等比数列的前n 项和3n n S a =+，则a ＝ . 课后作业1. 等比数列中，已知1441,64,.a a q S =-=求及2. 在等比数列{}n a中，1625S.g，求+==a a a a33,326。
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S n 5n 3 a ，则 n Tn 2n 1 bn
；
a5 b5
．
（8）已知方程 x 2 x m 0 和 x 2 x n 0 一共四个根组成一个首项为 3 的等
2 2
差数列，则 m n
．
（9） 一个直角三角形三边长组成等差数列， 则它的三边长从小到大的比值为
7 ； 16
（3） 11 ， 101 ， 1001 ， 10001 ；
2 4 6 8 ， ， ， ； 1 3 3 5 5 7 7 9 2 4 2 8 ， ， ； （4） ， 3 9 9 81
（2）
【课外作业】 1．等差数列 an 中，前 m 项（ m 为奇数）和为 77 ，其中偶数项之和为 33 ， 且 a1 am 18，求通项公式．
2
n
姓名：
学号：
第
学习小组
）
（2）a a 是等比数列；
n 1
是等
1 （4） lg | an |是等比数列； 是等比数列； an
其中正确命题的序号为 ． 3．写出数列的一个通项公式，使它的前 4 项分别是下列各数：
， ， （1） 1，
3 4
5 9
（4）一个数列的前 n 项和为 S n 1 2 3 4 (1) n1 n ， 则 S17 S33 S50
n
（5）一个数列 {an } ，当 n 为奇数时， an 5n 1，当 n 为偶数时， an 2 2 ， 则这个数列前 2 m 项的和为 ．
2．在等差数列 an 中，已知 S p q， S q p ( p q) ，求 S pq ．
3．如图是第七届国际数学教育大会 ( ICME 7) 的会徽图案轮廓，它是由一串直角 三 角 形 组 成 的 ， 其 中 OA 1 A 1 A2 A2 A3 A7 A8 1 ， 记
课题:数列复习专题 1
班级： 姓名： 学号： 第 【学习目标】掌握数列有关概念和公式并会运用解决问题 【课前预习】
1．数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列． 2．等差、等比数列的定义． 3．等差、等比数列的通项公式． 4．等差中项、等比中项． 5．等差、等比数列的前 n 项和公式及其推导方法．
学习小组
【课堂研讨】
例 1、 （1）已知等差数列的第 k，n，p 项构成等比数列的连续 3 项，如果这个等差数列 不是常数列，则等比数列的公比为 ．
18 成等比数列，则 x （2） 2，x，y，z，
．
（3）三个数成等比数列，它们的积为 512 ，如果中间一个数加上 2 ，则成等差数列， 这三个数是 ．
．
例 2、某三个互不相等的数组成等差数列，如果适当排列此三数，也可成等比数列，已 知这三个数的和等于 6 ，求这三个数．
【学后反思】
课题:若直角三角形的三边的长组成公差为 3 的等差数列，则三边长分别为（ A． 5 ， 8 ， 11 B． 9 ， 12 ， 15 C． 10 ， 13 ， 16 D． 15 ， 18 ， 21 2．设 an 是等比数列，有下列四个命题： （1） an 比数列； （3）
1 n 8) ,写出数 OA1， OA2， ， OA8 的长度所组成的数列为 an (n N ， 列 an 的通项公式．
A4
A5 A3
A6
O
A2
A1
A7
A8
4．一个正方形被分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖掉，再将剩余的 每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个正方形挖掉，如此继续 下去…… （1）第三次分割时共挖掉了多少个正方形？ （2）设原正方形边长为 a ，第 n 次分割时共挖掉了多少个正方形？ 这些正方形的面积和为多少？
（6） 已知正项等比数列 {an } 共有 2 m 项， 且 a2 a4 9(a3 a4 ) ，a1 a2 a3
a2m 4(a2 a4 a6 a2m ) ，则 a1
，公比 q
．
（7）设 {an } ， {bn } 都是等差数列，它们的前 n 项和分别为 S n ， Tn ， 已知