物理竞赛中简谐运动周期的四种求法

物理竞赛中简谐运动周期的四种求法
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
物理竞赛中简谐运动周期的四种求法
物理竞赛中在解决简谐运动问题时，经常会涉及周期的求解。

本文通过具体实例，介绍物理竞赛中简谐运动周期的四种求法。

一、周期公式法
由简谐运动的周期公式可知，运用周期公式求周期的关键是求出回复力系数 k。

通常情况下，可以通过两种途径求出回复力系数。

一是通过对简谐运动物体进行受力分析求出回复力，然后根据物体简谐运动时回复力大小的特征F=kx，找到回复力F与位移x的关系求出回复力系数k；二是通过求简谐运动物体在位移为x时的势能，然后根据物体做简谐运动时势能的关系求出回复力数k。

例1如图1所示，摆球质量为m，凹形滑块质量为M，摆长为L，m与M、M与水平面之间光滑，求摆线偏转很小角度，从静止释放后，系统振动的周期。

图1分析与解由于摆球m周期与整个系统运动周期相等，因此系统振动的周期可以通过求摆球m周期来求出。

凹形滑块M受到水平地面的支持力、重力 G=Mg及m对M的水平作用的作用（图2），由于 M只能在水平面上滑动，因此M沿水平面做往复运动时受到的回复力可表示为：(1)
对摆球m进行受力分析（图3），可得到下列关系式：
(2)
例2如图4所示，横截面积为S，粗细均匀的U形管中灌有密度为ρ，质量为m 的水银，现在将B管管口用塞子密封后加热，由于封在B管中空气的膨胀，使水银面在A管内上升，若此时将B管口的塞子拔去，那么水银做简谐运动的周期是多少？
图4
分析与解设A、B两管液面相平时为水银柱的零势能位置，则当B管中水银面距两管液面相平时的液面高度为x时，整个水银柱具有的势能为。

二、刚体角加速度法
绕定轴转动的刚体的角加速度和外力的关系应遵循刚体定轴转动定律：即刚体所受的对于某一固定转轴的合外力矩等于刚体对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩
作用下所获得的角加速度的乘积。

采用这种方法时，往往通过刚体定轴转动定律求出刚体转动的角加速度，然后根据加速度与角加速度的关系求出刚体转动的角速度，从而求出刚体做简谐运动的周期。

例3如图5所示，质量为m的小球用轻杆悬挂，两侧用劲度系数为k的弹簧连接。

杆自由下垂时，弹簧无形变，图中a、b已知，求摆杆做简谐运动的周期T。

图5
分析与解设轻杆向右偏很小的角度θ时，小球向右偏离平衡位置距离x=bsinθ≈bθ，此时右侧弹簧压缩了aθ，左侧弹簧伸长了aθ。

根据刚体定轴转动定律可得：
三、解方程组法
四、比较法
有些复杂简谐运动较难直接求出，此时可采取将所研究的比较复杂的简谐运动与便于求解周期的比较简单的简谐运动进行比较，通过简单的简谐运动周期的求解，得出所要研究的简谐运动的周期。

也可以采取将所研究的简谐运动与已知周期的简谐运动进行比较，求出所研究的简谐运动的周期。

例5单摆由一根轻质杆和杆端重物组成（杆长为L，重物质量为m），若在轻杆的中点处另加一个质量也为m的重物，试求这个异形摆做小角度摆动的周期？
分析与解由于这个异形摆很难直接找到它的摆长，因此无法直接运用单摆周期公式进行求解。

若将这个异形摆等效成一个单摆，找到等效的摆长，就可以运用单摆周期公式求出这个异形摆做小角度摆动的周期。

设想有一，摆长为L′的单摆，它的摆动快慢与异形摆摆动的快慢相同，当这个摆长为L′的单摆在偏离竖直方向相同角度时，与异形摆有相同的角速度，即两者有相同的周期（图6所示）。

图6
设异形摆从与竖直方向成α角（最大摆角）摆动到与竖直方向成β角时的角速度为ω，根据机械能守恒定律有：
设摆长为L′、摆球质量为m′的单摆从与竖直方向成α角（最大摆角）摆到与竖直方向成β角时的角速度为ω′，根据机械能守恒定律有：
例6如图7所示，用三根竖直的长度相同且不可伸长的细轻绳将一个细圆环做微小扭转时的周期为T。

现用轻杆将一与环等质量的小球固定于环心处，试求此时环的微小扭转周期为T′。

分析与解细圆环及小球的质量均为m，当细圆环从最高处下降h时，不放小球时的细圆环的扭动速度为v，放小球时细圆环的扭动速度为v′。

图7
由于细圆环向下运动的速度远小于细圆环扭动的速度，因此可以将细圆环的扭动速度作为细圆环的速度来处理。

对环心处没放小球的细圆环根据机械能守恒定律有：(1)
对环心处放小球的细圆环根据机械能守恒定律有：(2)
通过(1)、(2)两个式子的对比，可得细圆环在两种情况下下降相同高度时扭动速度关系：。