一个向量类变分不等式及其应用

合集下载

向量法证明不等式(完整版)

向量法证明不等式向量法证明不等式第一篇：向量法证明不等式向量法证明不等式高中新教材引入平面向量和空间向量，将其延伸到欧氏空间上的n维向量，向量的加、减、数乘运算都没有发生改变.若在欧式空间中规定一种涵盖平面向量和空间向量上的数量积的运算，则高中阶段的向量即为n=2，3时的情况.设a，b是欧氏空间的两向量，且a=。

因此，原不等式等价于证明a?b?a?b，其中a?b，向量 a和b不可能同向，不取等号。

二利用a?b?ab证明不等式2222例2 、已知实数mnx满足m?n?a,x??b（a?b），求mx?n得最大值?解析：构造向量a?0，求证：4a0矛盾，故a=0时，4a0，∴存在m，当-1第五篇：不等式的证明．3．在横线上填写恰当的符号2x2若x∈r，且x≠1，那么，1?x．若0＜a＜1，那么－a)． 1413若a＞0，a≠1，那么loga_____loga．当x≥1时，那么x5＋x4＋x32＋x＋1．4．设p＝a2b2＋5，q＝2ab－a2－4a，若p＞q，则实数a，b满足的条件为________．5．设a＞0，b＞0，则下面两式的大小关系为2lg_____lg＋lg．提升你的能力！基础巩固题1．设0＜a＜2，下列不等式成立的是1111?1?a2?1?a2?1?a21?a2?1?ab．1?a1?a a．1?a．1?a2?11111?a2?1?a21?a21?a1?a1?ad．1?a2．若a＜b＜0，则下列不等式关系中不能成立的是11?a．ab11?b．a?ba．｜a｜＞｜b｜d．a2＞b23．若a＞0，b＞0，m＞0，且a＜b，则下列不等式中恒成立的是XX?mXX?m1?a．bb?mb．bb?mXX?ma?ma11b?mb ．bb?md．4．设a、b∈r，用不等号连接下列两个式子，a2＋b2＋ab＋1_____a＋b．5．已知a＞b＞，求证：a2b＋b2＋2a＞ab2＋b2＋a2综合应用题11?1．a，b∈r，那么ab成立的一个充分非必要条件是a．a＞bb．ab＜0．0＜a＜bd．a＜b2．设0＜a＜b＜1，则a＋b，2ab，a2＋b2，2ab中最大的值是ab a．a2＋b2b．a＋b．2abd．23．已知a＞b＞0，则下列不等式成立的是a．a＞b＞2＞abb．a＞2＞ab＞ba?ba?b．a＞2＞b＞abd．a＞ab＞2＞b4．若x为正数，且x3－x＝2，则x与5的大小关系为_____．a2b25．设a b ，求证：a?b+b? a+2b+.6．已知a＞b＞＞0，求证:XXbb＞13探索创新题1x?11．11．设a＞0，a≠1，x＞0，比较2logax与loga2的大小，并证明你的结论．2．12．甲、乙两个粮油公司，同时在某地按同一批发价格购进粮食，他们各购粮两次，已知每次批发价格互不相同，甲公司每次购粮为1万千克，乙公司每次用1万元购粮，试比较这两种购粮方法，哪一种购粮方法购得的粮食平均批发价格较低，并证明你的结论．试试你的身手！1．2．向量法证明不等式附送：向量法证明正弦定理向量法证明正弦定理三级记向量i，使i垂直于a于，△ab三边ab,b,接着得到正弦定理其他步骤在锐角△ab中，证明asina=bsinb=sin=2r：任意三角形ab,4过三角形ab的顶点a作b边上的高，垂足为d.当d落在边b上时，向量ab与向量ad的夹角为90°-b，向量a与向量ad的夹角为90°-，由于向量ab、向量a在向量ad方向上的射影相等，有数量积的几何意义可知向量ab*向量ad=向量a*向量ad即向量ab的绝对值*向量ad的绝对值*os=向量的a绝对值*向量ad的绝对值*os所以sinb=bsin即bsinb=sin当d落在b的延长线上时，同样可以证得第五篇：用正弦定理证明三重向量积用正弦定理证明三重向量积作者：光信1002班李立内容：通过对问题的讨论和转化，最后用正弦定理来证明三重向量积的公式——?a?b。

变分不等式问题与算法

变分不等式问题与算法
变分不等式问题是一个广泛的研究领域，涉及经济、工程、物理和科学计算等多个领域。

这类问题通常描述了一类优化问题，其中目标函数是未知的，而约束条件则是通过某种形式的变分不等式来表达的。

简单来说，一个变分不等式问题是找到一个向量或函数，使得它满足某些条件，而这些条件通常由一个或多个不等式来表示。

这些不等式描述了某些变量之间的关系，而这些关系在问题的解中必须得到满足。

对于变分不等式问题的算法，有许多不同的方法可以用来求解。

以下是一些常见的算法：
1. **投影梯度法**：这是一种迭代方法，通过不断投影和更新解向量来逼近问题的解。

在每一步迭代中，算法会计算当前解向量的梯度，并沿着负梯度的方向进行投影，以找到新的解向量。

2. **增广拉格朗日法**：这种方法结合了拉格朗日乘数法和罚函数法，通过引入一个增广拉格朗日函数来求解变分不等式问题。

这种方法在处理约束优化问题时特别有效。

3. **次梯度法**：这种方法适用于没有封闭形式的解的变分不等式问题。

在每一步迭代中，算法会计算当前解的次梯度，并沿着该方向进行搜索，以找到新的解向量。

4. **预条件共轭梯度法**：这是一种迭代方法，结合了共轭梯度法和预条件技术。

这种方法适用于大规模的变分不等式问题，因为它可以在较少的迭代次数内找到问题的解。

5. **广义梯度法**：这种方法适用于处理包含多个不等式约束的变分不等式问题。

它通过引入广义梯度来更新解向量，以逼近问题的解。

这些算法各有优缺点，适用于不同类型和规模的变分不等式问题。

在实际应用中，选择哪种算法取决于问题的具体性质和要求。

例析向量在不等式中的应用

3 ( 1 十a2+ a' ) > , ( 1+ a + a2) 2.
评析
以上三例都是三维空间向量在不等
2 .求证 :(宁)2 <挚
( P12 例 2)
. ( P l l T 1)
式中的应用. 其关键在于分析题意构造向量，想办法利用向量基本不等式解决问题 .
3. 已知 a ,bE R+ 求证 :a3+ b3> a2b+ ab2.
}二川( }m}}川两边平方即得求证，( 证明略) 例3 已知 a ， b 都是正数满足 a + b= 4. 求
向量作为新增内容进入中学教材，不仅丰
富了中学数学知识体系，而且为我们解决问题
提供了一种全新的、重要的数学方法. 由平面向
量扩充到了空间向量，将学生的思维从二维空间一下子升华到了三维甚至多维空间. 利用向
证‘ 了乏石干丁 + 丫豆石干丁乏返 2万. 证明取向量 m= ( 抓孤干丁， v厄不两下 )，
n= (1 ， 1) 则有 :
量的理论和方法可以有效地解决平面几何、立
体几何、三角、不等式、复数以及物理学中的诸如力、速度、加速度、位移等许多问题. 笔者在此就向量在不等式中的有关应用略作归类，以供
) ( a 2十b2) 2. (Pl 7T 6)
+ n= (a+ c,b+ d). 由不等式
Im + n I < I m I + I n } 即得:
丫(a 十: ) “ 十(b+ d) 2 镇丫 a2+ b2 + 丫 c2+ d2 证

随机向量值变分不等式

随机向量值变分不等式
朱元国
【期刊名称】《应用数学》
【年(卷),期】1998(11)4
【摘要】本文先讨论了一个KyFan截口定理的随机化形式，然后利用它讨论了一个隐式随机向量值变分不等式和一个显式随机向量值变分不等式的随机解的存在性．【总页数】4页(P20-23)
【关键词】随机截口;随机向量值;变分不等式;KyFan截口定理
【作者】朱元国
【作者单位】赣南师院数学与计算机系
【正文语种】中文
【中图分类】O176;O177.91
【相关文献】
1.向量值抽象形式变分不等式和隐变分不等式 [J], 张石生;吴鲜;汪达成;
2.随机变分不等式的随机投影梯度算法 [J], 杨灿;夏福全
3.关于一类随机变分不等式和随机拟变分不等式问题 [J], 张石生;朱元国
4.向量值抽象形式变分不等式和隐变分不等式 [J], 张石生;吴鲜
5.交通网络下的多厂商两阶段随机非合作博弈问题——基于随机变分不等式 [J],
侯丽娜; 孙海琳
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

变分不等式及其应用

变分不等式及其应用摘要变分不等式是一类重要的非线性问题，它在工程、经济、控制理论等领域广泛应用。

变分不等式问题的数学理论最开始应用于解决均衡问题，在此模型中，函数来自对应势能的一阶变分，因此而得名．作为经典变分问题的推广和发展，变分不等式的形式也更多样化。

本文主要研究变分不等式的由来，变分不等式的导出以及一些变分不等式的应用．第一章为预备知识，主要介绍了凸泛函、上下半连续泛函、次连续、Ferchet微分和单调映像等的一些定义，为下文更好的引出变分不等式的概念、导出和应用提供了理论依据。

第二章具体的提出变分不等式的概念并给出一些变分不等式的常见例子。

第三章主要通过可微函数的极值问题、不可微函数的极值问题、Hilbert 空间的投影问题、分布参数系统控制问题等一些问题的探讨说明导出变分不等式一些方法。

第四章研究一类非线性拟变分不等式并应用于二阶半线性椭圆型边值问题。

关键词：变分不等式，极值问题，椭圆方程，边值问题VARIATIONAL INEQUALITYAND ITS APPLICATIONABSTRACTVariational inequalities are important nonlinear problems, it has been widely applied in the fields of engineering, economics, control theory. The mathematical theory of variational inequality problem is originally applied to solve equilibrium problem. In this model, the function comes from the first-order variation of the corresponding potential energy, so it is called variational inequality problem. As the generalization and development of classical variational problems, the form of variational inequalities should be diversification. In this paper, i study the origin, derivation, and applications of variational inequalities.The first chapter is is Preliminaries. In this chaper, i list the definitions of convex functional, upper and lower semi-continuous functional, consecutive, Ferchet differential, montonous map, and so on. They are used forunderstanding the concept, derivation, and applications of variational inequality.In the second chapter, i introduce the concept of variational inequalities and give some common examples of variational inequalities.In the third chapter, by consdering differentiable functions’ extremum problems, non-differentiable functions’ extremum problems, the projection in Hilbert space, control systems of distributed parameter and some other issues, i study the methods of variational inequalities’ derivation.In the fourth chapter, a class of nonlinear quasi-variational inequalitie is introduce, and it is applied to solve second order semi-linear elliptic boundary value problems.Key words:Variational inequalities, extremum problem, elliptic equation，boundary value problem前言 (1)第一章预备知识 (2)第二章变分不等式的概念和例子 (4)§2.1 变分不等式的概念 (4)§2.2变分不等式的例子 (5)第三章变分不等式的导出 (8)§3.1 可微函数的极值问题 (8)§3.2 不可微函数的极值问题 (10)§3.3 Hilbert空间上的投影问题 (11)§3.4 不动点问题 (12)§3.5 分布参数系统控制问题 (14)第四章变分不等式的应用 (17)结论 (19)参考文献............................... 错误!未定义书签。

向量在不等式证明中的应用

}| \geq 0$$
这个不等式说明了，向量的模长是非负的。
矩阵不等式指的是对于任意的矩阵 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$，有：
$$|\mathbf{A} \mathbf{B}| \leq |\mathbf{A}| \cdot |\mathbf{B}|$$
这个不等式说明了，在将向量看做矩阵的一种情况下，矩阵的乘积的模长是小于等于矩阵的模长的乘
当然，在证明不等式时还有很多其他的技巧和方法。比如，可以利用数学归纳法证明某些结论对于所有的正整数都成立。也可以利用数学归纳法证明某些结论对于所有的自然数都成立。
向量在不等式证明中的应用
向量在不等式证明中经常被用到。在数学中，向量是一种线性代数中的数据类型，可以表示空间中的一个点，也可以表示空间中的一个方向和大小。
在证明不等式时，通常会用到向量的几何意义，即表示空间中的点或方向。通常会用到的不等式有三角不等式，奇偶性不等式，以及把向量看做矩阵的乘积时用到的矩阵不等式。
三角不等式指的是对于任意三个向量$\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$, 和 $\mathbf{c}$，有：
$$|\mathbf{a} + \mathbf{b}| \leq |\mathbf{a}| + |\mathbf{b}|$$
这个不等式说明了，向量的模长是可以相加的。
奇偶性不等式指的是对于任意的向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$，有：

一类广义多值向量变分不等式问题

一
（）２若的图象（）＝｛ｘｙ： ∈ＸＹｆｒｘ｝Ｔ：（，），（）是ｔ．ＸＹ中的闭集，７则称＇是闭的．定义３６设是拓扑线性空间Ｘ的非空子集，［集值映射，：一２是一／／Ｋ￣映象，Ｉ如果对任意的有限集｛，，｝膏 …，ｃ：有Ｃ｛ｌ２…，｝１（：Ｏ，，ｃＵ：，）这里Ｃ｛１２ …，｝Ｏ，，表示集合｛，，｝ …，的凸包．引理１５（）【１是闭映射当且仅当对任一网｛｝一，，及任一网｛｝ ∈ｒｘ），（，ｙ有）∈ ．，，（）（）是紧２若值的，在则处上半连续当且仅当对任一网｛｝ — 及任一网｛｝ｙ，， ∈ｒｘ）存在，∈ ｒｘ（，，，（）及｛｝的一个子网｛，，一ｙ｝使ｙ，引理２７（ＫＭ定理）【ＦＫ设是一Ｈｕｄｒ拓扑向量空ａｓｏｆｆ间，是Ｘ内的非空子集，Ｆ：设Ｋ一２为ＫＭ映象，Ｋ再设对每一 ∈ＫＦ为Ｘ中的闭集，，（）且至少存在一点％ ∈Ｋ使得Ｆｘ）（ｏ是Ｘ中的紧集，ｎＥ，．则Ｋ（）≠ ｘ
第１２期
Ｎ．２Ｏ１
宜宾学院学报
ＪｕａｏｉｉｎｖｒｉｏｒｌｆｂｎＵｉｓｙｎＹｅｔ
７
一
类广义多值向量变分不等式问题
张瑞雪，中全何
（西华师范大学数学与信息学院，四川：本文在Ｈｕｄｒ拓扑向量空间中引入和研究了一类广义多值向量变分不等式问题，ａｓｏｆ通过运用ＦＫ定理证明了解的一些存在性定理，ＫＭ推广和改进了文献［［］３］５的相关研究成果．

向量法证明不等式(精选多篇)

向量法证明不等式(精选多篇)第一篇：向量法证明不等式向量法证明不等式高中新教材引入平面向量和空间向量，将其延伸到欧氏空间上的n维向量，向量的加、减、数乘运算都没有发生改变.若在欧式空间中规定一种涵盖平面向量和空间向量上的数量积的运算，则高中阶段的向量即为n=2，3时的情况.设a，b是欧氏空间的两向量，且a=(x1，x2，…，xn)，b=(y1，y2，…，yn)(xi，yi∈r，i=1，…，n)规定a·b=(x1，x2，…，xn)·(y1，y2，…，yn)=x1y1+x2y2+…+xnyn=xiyi.(注：a·b可记为(a，b)，表示两向量的内积)，有由上，我们就可以利用向量模的和与和向量的模的不等式及数量积的不等式建立一系列n元不等式，进而构造n维向量来证明其他不等式.一、利用向量模的和与和向量的模的不等式(即例1设a，b，c∈r+，求证：(a+b+c)≤++≤.证明：先证左边，设m=(a，b)，n=(b，c)，p=(c，a)，则由综上，原不等式成立.点评：利用向量模的和不小于和向量的模建立不等式证明左边，利用向量数量积建立不等式证明右边.作单位向量j⊥acj(ac+cb)=jabjac+jcb=jabjcb=jab|cb|cos(π/2-∠c)=|ab|cos(π/2-∠a)即|cb|sinc=|ab|sinaa/sina=c/sinc其余边同理在三角形abc平面上做一单位向量i,i⊥bc,因为ba+ac+cb=0恒成立，两边乘以i 得i*ba+i*ac=0①根据向量内积定义，i*ba=c*cos(i,ab)=c*sinb,同理i*ac=bcos(i,ac)=b(-sinc)=-bsinc代入①得csinb-bsinc=0所以b/sinb=c/sinc类似地，做另外两边的单位垂直向量可证a/sina=b/sinb,所以a/sina=b/sinb=c/sinc步骤1记向量i，使i垂直于ac于c，△abc三边ab,bc,ca为向量a,b,c∴a+b+c=0则i(a+b+c)=i·a+i·b+i·c=a·cos(180-(c-90))+b·0+c·cos(90-a)=-asinc+csina=0接着得到正弦定理其他步骤2.在锐角△abc中，设bc=a,ac=b,ab=c。

向量在不等式中的应用概述

必修4, P108 ，B组第三题
已知a, b, c, d都是实数 ,
求证： (a b )(c d ) (ac bd )
2 2 2 2 2
证明: (a b )(c d ) a c b d a d b c (ac bd) (ad bc) (ac bd )
2 2
1 4 1 6
1 1 1 4 x 9 y 的最小值为 , 最小值点为( , ) 2 4 6
补充练习
1.若a , b R, 且a 2 b 2 10, 则a b的取值范围是( A )
C .
A. - 2 5 ,2 5 10 ,
10
D.
B . 2 10 ,2 10 5, 5
设a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 )，则上述不等式的坐标表示为？ x12 y12 x22 y22 x1 x2 y1 y2
(当且仅当x1 y2－x2 y1＝0时取等号)
必修4, P108 ，B组第三题
已知a, b, c, d都是实数 ,
变式 1 ：求函数 y 3 x-2 2 24 4 x的最大值变式2：解方程 3 x-2 2 24 4 x(a4+b4) (a2+b2)≥ (a3+b3)2 变式：已知a,b为实数,证明： (a4+b4) (a2+b2)≥ (a2b+ab2)2

2.已知x y 1, 那么2 x 2 3 y 2的最小值是( B ) 5 A. 6 6 B. 5 25 C. 36 36 D. 25
3 3.函数 y 2 1 x 2 x 1的最大值为 ______

向量在不等式及最值中的应用

⋅
c，
又因为 a + b + c = 1 ，所以
1 4 9 + + a b c
≥ 6，
即
1 4 9 + + a b c
≥ 36 ．
二、求数的最值
解方程可以化为
x1 + 1 1 x2 = 1 − x3 ， x12 + 1 x2 2 = 3 − 1 x32 ， 2 3 2 3
巧设向量
r 1 r 1 a = x1 , x2 ， b = 1, 2 ． 2
三、求整式的最值
解
设向量
r r a = ( x − 1, y + 2 ) ， b = (1, −2 ) ．
2 2 由 x + y − 2 x + 4 y = 0 ，得
5
= x 2 + y 2 − 2 x + 4 y + 5 = ( x − 1) + ( y + 2 ) =
2 2
r r a ⋅b r2 a ≥ r2 b
例7.求y= 1994-x + x − 1993的值域
解因为 1994 − x ≥ 0 且 x − 1993 ≥ 0 ，所以 1993 ≤ x ≤ 1994 ，可以知道 y ≥ 1 ．
r r 设 a = ( 1994 − x , x − 1993) ， b = (1,1) ．
r r a ⋅b r2 a ≥ r2 则 1= 1994 − x + x − 1993 = b
( 1994 − x + x − 1993) 2 = 2
1994 − x + x − 1993 ≤ 2 即又由于 y ≥ 1 ，所以函数 y = 1994 − x + x − 1993 的值域是 1≤ y ≤ 2 ．

几类向量变分不等式的研究

几类向量变分不等式的研究几类向量变分不等式的研究引言：向量变分不等式作为数学中重要的研究对象之一，广泛应用于优化问题、控制理论、经济学等领域。

本文拟探讨几类常见的向量变分不等式，并从不同角度进行研究和讨论。

一、线性向量变分不等式线性向量变分不等式是指变量为向量、不等式左端是线性函数的一类变分不等式。

这类不等式在优化问题中具有重要意义。

研究该类不等式的方法一般有投影法、KKT条件法、置换数法等。

投影法通过将原问题转化为等价的无约束问题来研究，这种方法具有简洁、直观的特点；KKT条件法则通过引入广义拉格朗日函数，将问题建模为一组约束优化问题来求解；置换数法则运用置换矩阵，通过对原不等式制定合适的矩阵乘积而得到结果。

这些方法各有特点，在实际问题中可根据具体情况选择适合的方法。

二、非线性向量变分不等式非线性向量变分不等式主要指的是不等式左端是非线性函数的变分不等式。

由于非线性函数的复杂性，解决非线性向量变分不等式的方法相对较多。

其中比较常用的方法有拟牛顿法、粒子群算法、遗传算法等。

拟牛顿法是一种常用的优化算法，通过逐步逼近目标函数的极值点而得到结果；粒子群算法是一种基于群体搜索的优化算法，通过模拟鸟群集体协作的方式寻找最优解；遗传算法则是通过模拟生物的进化过程来求解复杂问题。

这些算法各有优缺点，需要根据实际问题的特点选择合适的方法。

三、随机向量变分不等式随机向量变分不等式是在变分不等式的基础上引入了随机因素的一类变分不等式。

这类变分不等式常用于风险分析、金融建模等领域。

研究该类不等式的方法主要有蒙特卡罗仿真法、随机分析法、统计建模法等。

蒙特卡罗仿真法通过生成大量的随机样本来估计问题的解；随机分析法则运用概率统计的方法对问题进行分析和求解；统计建模法则通过建立统计模型来描述随机变量的分布特征。

这些方法在处理随机性较强的问题时具有较好的效果。

结论：几类向量变分不等式在不同的领域中发挥着重要的作用，解决了许多实际问题。

一类广义隐拟向量变分不等式解的存在性问题

１，］映射Ｏ＜（＋）），，在０ｔｒｘ（一），一，，＞处是上半连续的，其
本文研究的广义隐拟向量变分不等式问ＧＶＩ：题（ＩＱ）
收稿日期：０７—１３２００— １
中（（＋），ｒｘ（ — ），ｙ＞＝｛，— ＞ｓ（＋，）＜ＹＩ ∈ｒｘ（一）｝ｓ，根据以上定义可以得到下面引理．
向量变分不等式问题是由ＦＧａｅｓ于１８年在有限维空．ｉｓｎｉ９０
不久前ＧＭＬ和ｓＨＫｍ．．ｅｅ．．ｕ提出隐向量变分不等式（ＶＩ，ＩＶ）随后周密、何诣然在此基础上提出广义隐拟向量变分不等式问ＧＶＩ，题（ＩＱ）在广义伪单调性下讨论了解的存在问题．本文将在广义弱Ｃ一伪单调性下，利ＧＶＩ，
中图分类号：１８０７文献标识码：Ａ文章编号：６１３５２０）６— ０９－３１７ —５６（０８ｏ０００
１引言与预备知识
求
Ｇ，ｘ使得对任意的ＹｅＧ，ｓ∈ ，ｘ存在满足
（，，）隹一ｉｔｓＹｎｘＣ间的情形中提出，，．．ｈｎＧＭＣｅ在无限维空间中其后ＧＹＣｅ和．ｈｎ以下给出证明结论的主要定义和引理．讨论了这一问题．最近十几年来，向量变分不等式问题（Ｖ）ＶＩ和定义１１设Ｆ一２是一个多值映射：．如果对任意的，广义变分不等式问题（ＶＩ引起了广泛的关注，ＧＶ）它们与向量平Ｙ∈Ｘ和 ∈［，］有ａ（）＋（一ａＦｙ（＋（一０１，Ｆｘ１）（）ｃＦ１衡有着紧密的联系，并且在向量值最优化问题等多方面得到应））一，ｙＰ其中ＰＹ中的一个尖锥，Ｆ称为Ｐ一凸的．是则用一．定义１设一２‘ 是一个多．２㈤值映射：

向量知识在函数及不等式中的应用

向量知识在函数及不等式中的应用
福建福州第十三中学陈玉如
向量作为新增内容进入中学教材 , 不仅丰富了中学数学知识体系 , 而且为我们解决问题提供了一种全新的 , 重要的数学方法 . 下面例举向量在不等式问题及函数最值方面的应用. 1 基本知识 (1)柯布不等式在一般欧氏空间中的向量叙述方式:
= 1 ,求证: ax 2 + by 2 ≥ (ax + by ) 2 .(人教版第二册 P17 第 7 题)
证明取 α = ( a , b ), β = ( ax, b y ) , 则由柯布不等式 〈α , β 〉 2 ≤ 〈α , α 〉 ⋅ 〈 β , β 〉 的向量 ·21·
表示得到: (ax + by )2 ≤ (a + b)(ax 2 + by 2 ) . ∵ a + b = 1, ∴ (ax + by )2 ≤ (ax 2 + by 2 ) . 例 3 已知 a, b, c ∈ R ,求证: a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca .(人教版第二册 P16 第 1 题) 证明取 α = (a, b, c), β = (b, c, a) , 则由柯布不等式 〈α , β 〉 2 ≤ 〈α , α 〉 ⋅ 〈 β , β 〉 的向量表示得到: (ab + bc + ca ) 2
例 2 已知向量 a = ( x 2 , x + 1), b = (1 − x, t ) , 若函数 f ( x) = a ⋅ b ,在区间 (−1,1) 上是增函数, 求 t 的取值范围. 分析依定义 f ( x) = a ⋅ b = x 2 (1 − x) + t ( x + 1)

一类向量变分不等式解集的非空性和紧性

明显地，果Ａ＝１（Ｖ一１和（Ｖ一）化为常见的ＶＩ是，每个 ∈Ｋ，如，ＶＩ）ＶＩ２退Ｖ．即对Ａ∈（，］令。：０１，
（为（ＶＩ）（ＶＩ２的解，Ａ，）ＧＶ一１或ＧＶ：）一则（，）ＶＩ１ｚ是Ｖ的解．如果Ｐ）（；Ｐ， ∈Ｋ，（Ｖ一１（Ｖ一）Ｖ则ＶＩ）ＶＩ２退化为Ｙｕ等研究的问题】．
以及向量变分不等式（Ｖ一）求 ‰ ∈ 使得ＶＩ２：Ｋ，
＜ＴＡ（ｙ＋（１一Ａ：，＞一ｉｔ（ｏ，））Ｙ— ｏｎＰ）Ｖｙ∈艮
令（Ｖ —１和（Ｖ一）ＶＩ）ＶＩ２的解集分别为Ｓ和ｓ．，
，
Ｐ（为ｙ中的闭凸点锥且满足ｉｔｘ ≠∥和Ｐ（ ≠ ）ｎＰ（））给定 ∈Ｋ，Ａ∈（，］研究如下向量变分不等式（Ｖ一１：０１，ＶＩ）求。 ∈Ｋ，使得
＜ＴＡｏ１））Ｙ一０～ｉｔＸ）（ｘ＋（一，＞ｎＰ（０，Ｖ；Ｙ∈
西华师范大学学报（自然科学版）
２００８年
引理２１（Ｋ：理）．ＫＭ定
假设极值映象Ｆ：一２Ｋ为ＫＭ映象，Ｋ如果对每个 ∈Ｅ，）闭的，至Ｆ（是且
Ｅ＾
少存在一点。 ∈Ｅ，（）紧的，ｎＦ）Ｆ。是则（ ≠ ．
２００８年９月
Ｓｐ２０ｅ．０８
文章编号：６３５７（０８０－２１０１７－０２２０）３０３－３

Banach空间中一类广义向量变分不等式解的存在性

射，Ｖｚ∈ Ｋ，１是ｙ中的真闭凸锥，ｉｔ（）≠ 声Ｃｚ｝ｎ｛且Ｃ（）ｚｎＣｘ，｛（）一Ｃ（｝｛｝设： ×Ｋ — ｙ，）一０．，ＫＡ，Ｋ — Ｌ（ｙ）Ｎ：Ｘ，Ｔ：Ｘ，，Ｌ（ｙ）×ＬＸ，一２ ’ 叼Ｋ × Ｋ— （Ｙ）ｘ ¨，：Ｋ是５映射．个考虑下面的广义向量变分不等式问题ＧＶＶＩ求ｚ ∈ Ｋ，Ｐ：ＶＹ∈ Ｋ，Ｓ ∈ Ｎ（，ｘＡｒＴ）使得
定义２ＫＫＭ映射）设Ｅ是一线性空间，是Ｅ的一非空子集，Ｆ一２一多值映射．Ｇ为［（ＫＧ：是称ＫＫＭ映射，果对任一有限集｛１，，）二Ｋ，Ｃ｛１３，，｝二ＵＧ（，中Ｃ｛，２ … ，如ｚ， … （２二有Ｏ．，２ … （ｘ）其７２２二Ｏ。ｚ，
Ｖｙ ∈ Ｋ，Ｆ（）ｒｙ．＞＿）ｆ（）硭一ｉｔｘ．＜ｘ，（，）＋厂ｌ２７（一ｘｎＣ（）
在文献［］中，ｒｎＡｈｄ６Ｉｆ和ａｍａ利用ＫＫＭ定理和逃逸序列的方法研究了该向量变分不等式解的存在性．为了得到本文的结果，要下面的定义和引理．需
关键词：义向量变分不等式；广ＫＫＭ定理；集值映射；的存在性解中图分类号ｉ７．１Ｏｌ７９文献标志码：Ａ文章编号：１７ —９７（０２０ — ０６— ４６１４６２１）２０２０

变分不等式的一些求解方法及其应用

变分不等式的一些求解方法及其应用首先，让我们来了解一下什么是变分不等式。

在实际问题中，我们经常需要优化一些目标函数，即找到使目标函数取得最大值或最小值的自变量的取值。

而变分不等式则是对这种求极值问题的一种推广，它不仅仅要求目标函数的一阶导数或二阶导数等于零，还要求目标函数的变分（即函数的微小改变）满足特定的条件。

那么，我们如何求解变分不等式呢？一种常用的方法是通过泛函导数来求解变分不等式。

首先，我们假设目标函数在一些区域内具有一定的光滑性（即连续可导或可微分），然后对目标函数进行微小的变分，得到变分泛函。

接着，我们将变分泛函进行泰勒展开，并保留一阶项，将它与一个测试函数进行内积运算，并且对整个等式进行积分。

通过一系列的变换和推导，最终可以得到关于测试函数的变分不等式。

最终目标是找到能够满足变分不等式的测试函数。

另一种求解变分不等式的方法是使用拉格朗日乘数法。

这种方法适用于目标函数和约束条件都是连续可导的情况。

首先，我们通过引入拉格朗日乘子，将变分不等式转化为带有约束条件的优化问题。

然后，通过求解该优化问题的极值点，得到目标函数的极值，并满足变分不等式的约束条件。

1.函数极值：变分不等式在求解函数的极值问题中起着重要的作用。

通过求解变分不等式，可以得到一个函数在一些区间内的最大值或最小值，从而找到函数的极值点。

2.最优性：变分不等式在求解最优性问题中也有重要的应用。

在一些实际问题中，我们需要确定一些系统的最优性，即找到使系统性能达到最优水平的一组参数。

通过求解变分不等式，可以得到系统的最优参数，并满足系统的约束条件。

3.优化问题：变分不等式在优化问题中应用广泛。

在实际问题中，我们经常需要优化一些目标函数，以达到最优解。

通过求解变分不等式，可以找到目标函数的最优解，并且满足特定的约束条件。

总之，变分不等式是数学分析中的一个重要概念，它不仅仅可以用来求解函数极值问题，还可以应用于最优性和优化问题。

通过合理选择求解方法，可以得到变分不等式的解析解或数值解，从而得到目标函数的最优值，满足问题的约束条件。