一个向量类变分不等式及其应用
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不变 凸映射 的向量优化 问题 , 得到其解的存在定理 。 关键词 : 向量类 变分不等式 ; 锥预不变 凸; 向量优化问题
中 图分 类 号 : 2 1 6 0 2 . 文 献标 志 码 : A
向量 优化 问题 一直 是非 线性规 划 领域 的一个 热
如 果不存 在 E S 使得 , )一 )∈ Q\0 {} 当 Y=Z =R( 实数集 ) Q =K = [ , , 0 +∞ )则 ,
基金项 目: 国家 自然科学基金资助项 目(0 7 00,0 70 9 17 16 68 2 3 ) 作者简介 : 鲍培文 (9 8一) 女 , 16 , 教授 .
(I 1)当 Y=R( 数集 )Q = [ ,+∞ ) 由上 实 , 0 ,
( V ) ( (。 , 。 VI T x) 一 )圣一Q { } Y \O , x∈S 设 给定 向量 映射 S l我 们考 虑下 面 的 向量 :— , 。 优 化 问 题 ( etrO t zt n Po lm,简 记 为 V co pi ai rbe mi o
。
1 预 备 知 识
本文 始终 假设 和 y均为 实 的赋范线 性 空 间 , | s
定 义 1 17 设有 向量 映射 厂._ , .【 : +l s 。
.
(i)称 是 锥 凸 ( o e—c n e )的 , 果 .为 cn ovx 如 s
c 为非空子集 ; 是 以零元素 0 为顶点 的闭 QCY
凸点锥 ( 书写 简便起 见 , 后零 元 素 0 写 成 0 。 为 今 ) 用 ( y 表示从 到 l的线性 连续算 子 空 间 , , ) ,
设 TS :
满 足
凸集 , YxY ∈S VA ∈ [ 1 , 有 且 , , 0,]均 X( )+( fx 1一A)(, A .) 厂 )一 +( A) ]∈Q; 1一 Y (i i)称 是 锥预 不变 凸( oe—pene)的 , cn rivx 如果存 在 映射 ’: 7. — , , , 0 1 s×s V YES VA E[ ,] 均有 Y+A ( Y 叼 ,)∈ S 使得 ,
( y 与 : , ) S×S— 为 给定 的映射 。 所
谓 向量 类变 分不 等式 ( 简记 为 : L) : ‰ ES VV I 是 求 ,
( V I ( (o , ,0 ) 隹一Q\0} Yx E S V L ) T x ) ( ) { ,
A ( )+( 厂 1一A -) AY+A/xY ]∈Q ) , )-  ̄ ,) (
I l m h
称 ∈S ( 0 )的极小 元 ( ( P 是 V P 或 V0 )的解 ) ,
收 稿 日期 :09— 4— 0 20 0 2
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=0 【 J
l. I0 —
门的研究 课 题 , 其 解 的存 在 性 有 着 广 泛 地 研 究 。 对 凸 函数在 优化理 论 中起着 重要 的作 用 J 。预 不 变 凸 向量映 射虽然 不 是 凸 映射 , 具 有 凸映 射 的 一 些 但 好 的性 质 。本文 利 用 数值 化 方 法 , 讨 论 一 个 具锥 先
极 小元 , 均为 它 的整体极 小元 。
记 Q = { ∈Y :’ Y ‘y ( )=(,,) , ≥0 V , ∈ Q}表 示 Q 的对 偶 锥 。 中 < ,)表 示 泛 函 Y , 其 y z ‘
在点 z 的值 。
用Q = { ∈Y :’ z Y ) ()=( , , y )>0 Y ,z ∈ Q\0} , { }表示 Q 的拟 内部 。 Q有 基 , Q 若 则 ≠
V P : O ) ( P : i . VO ) m I - g )
面的(i 、 i) 则得到数值函数中的相应概念 : ) (i , 凸 函数 与预不 变 凸 函数 。 定义 12 . 设 sc 为 非空 开集 : 一 Y 5 ,。 ∈S 如果 存 在连续 线性 算子 f(。 : — y且 o x) ,
预不 变凸 映射ห้องสมุดไป่ตู้的 向量类 变 分 不 等 式 解 的存 在 性 , 再
(O ) V P 化为通常数值 函数的数学规划问题。
用 y ’表示 y的拓 扑对偶 空 间 。
讨 论这 类变 分不 等式 与具锥 预不 变 凸映射 的 向量优 化问题 的关 系 , 而 得 到 向量优 化 问题 的解 , 后 , 从 最 得 到具锥 预不 变 凸映射 的 向量优 化 问题 的任一 局部
文章编号 :0 6— 4 4 2 1 )3— 2 7— 3 10 0 6 (0 0 0 02 0
一
个 向量 类 变 分不 等 式及 其应 用
鲍 培 文
( 武警特 警学院 数理教研 室 , 北京 10 2 ) 0 6 1
摘
要: 利用 数值 化方法 , 讨论一个具锥预不变 凸映射 的向量类 变分不等式解的存在 性 , 将所 得的结果用 于具锥预
第3 4卷第 3期
21 0 0年 6月
南昌大学学报 ( 理科版 ) Ju a o N nhn n esy N trl c n e or l f ac agU i ri ( a a Si c ) n v t u e
Vo . 4 No. 13 3
J n2 0 u . 01
由定义 易见 :
其中(,) z 表示线性连续算子 z 在点 的值 。
当 叼 ,)= 一Y 则 由 ( V I 得 到下 面 的向 ( Y , V L) 量变分 不 等式 ( VI : V ) 求 EI 满 足 , s
(I 当 s为凸集时 , ) 锥凸映射也是锥预不变凸 的 ; 为此 时 , 须令 叼 ,) =戈一Y即可 ; 因 只 ( Y 反之 不 对 , [ ] 见 7;