11工程电磁场分析的数理基础1

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s 33
• 有时直接采用另一基本方程，即电荷守 恒定律
–它表征时变电荷与全电流密度之间关系的 连续性。
–可由MAXWELL方程组直接导出。
• 广义形式Maxwell
E
H
m e0
H 0 t E t
J
Jm
D r
B rm
对偶性（二重性）
J J f JP,
r r f rP
第1章 电磁场的特性及其数学模型
概要：
基于宏观电磁理论描述表征电磁场特 性的数学方程和关系式，形成建立工 程电磁场数学模型和实施数值计算方 法的数学物理基础。
1.1 数学模型
• 宏观电磁理论的数学模型
– MAXWELL方程组。
• 结合定解条件（边界条件与初始条件），电 磁场问题数学模型可以归结为三大类:
1.4.4 静态场
• 静止电荷产生静电场，恒定电流产生恒定磁 场，其相应的基本方程组为
和 –式中，场量和源量均为不随时间而变化的空间坐
标的函数。
• 客观的静态电磁场的物理现象将呈现为单一 的电场或磁场效应。
1.4.5 MAXWELL方程积分形式
• 运用场论中的斯托克斯定理和高斯散度定理，可导出 各种状态下电磁场基本方程组的积分表达形式。
– 5、盛新庆。计算电磁学要论。中国科学技术大学出版社，2008年 第二版，合肥。
◇ 常用的方法
解析法 数值法
直接法 间接法
有限差分法（FD） 有限元方法（FEM） 矩量法（MoM）
➢镜像法
解析法
➢分离变量法 ➢复变函数法
➢格林函数法
课程内容
• 1、数理基础 • 2、数值积分法 • 3、有限差分法 • 4、有限元法 • 5、矩量法 • 6、软件简介（HFSS、CST）
–此外，各类数值计算方法的相结合，例如
• 微分和积分组合型数学模型的单标量磁位法、双标量磁 位法等。
1.3 电磁场逆问题数值分析
• 各类电磁装置的综合问题，即电磁场逆问题。
– 给定电磁装置/器件理想的性能指标或参数，优化 设计对应装置/器件。
• 对电磁场逆问题求解，都是将其分解为一系 列的正问题，然后采用一定的优化方法通过 迭代解算达到最终优化设计的目的。
– 也就是说，电磁波以速度c传播通过所论电磁系统 的最大线度尺寸L，其所需时间应远小于该电磁波 变动一个周期所对应的时间T。
• 准静态下的源量和场量都是时间和空间的函 数，但电磁波传播的推迟作用可以忽略不计，
– 给定某一瞬间的源，即决定了同一瞬间的场分布， 而该场分布与稍早瞬间的源状态并无关联。
• 这表明，对于给定瞬间准静态的场的分析计 算，完全等同于相应的静态场问题。
–由于每一步迭代计算中，需要进行若干次电磁场 正问题的数值计算和其他一些辅助计算，因此， 相对于正问题，逆问题的求解，计算量大，占用 计算机内存和CPU时间多。
• 电磁场逆问题数值分析处理的流程图如图1-2 所示。
• 逆问题数值分析的全局优化算法，主要 是各类随机优化算法：
–模拟退火算法、 –基因算法、 –进化算法、 –禁忌算法、 –神经网络等。
• 例：天线辐射和接收场、速调管和磁控制管 的场均属于动态电磁场。
• MAXWELL四个方程并不都是独立的。
– 对式（1-1）取散度，代入连续性方程（1-8），即 导出（1-4）；
– 同理，对式（1-2）取散度，即导得（1-3）。 – 因此，只有两个旋度方程（1-1）和（1-2）是独立
方程。
• MAXWELL方程组须与媒质的构成关系式相 结合，才能完成数学模型的构造。
电准静场
• 可忽略电磁感应效应而导出的准静态情况下 的时变电磁场，称为电准静场。
– 其MAXWELL第二方程（1-2）可近似表述为
–其余方程（1-1、3、4）保持有效。
• 电力传输系统和装置中的高压电场，各种电 子器件、设备和天线的近区的电场等，均属 于电准静态场的工程应用。
• 无论是忽略电磁感应效应的电准静态，还是 忽略位移电流效应的磁准静态，它们都满足 所谓静态条件：L<<l（或L/c<<T）。
• 同样，电荷守恒定律表示成
• 可见对于磁准静态场，就导电媒质面言，应 满足良导体条件，即该媒质的电导率g>>e。
– 磁准静态场的激励源频率可扩展至X射线的频率段。
–电工技术中的涡流问题就是这磁准静场的典型应 用实例，它广泛地伴随在电机、变压器、感应加 热装置、磁悬浮系统、磁记录头、螺线管传动机 构等工程问题之中。
• 如等离子体的介电常数、铁氧体中的磁导率。
– 还有介质的本构关系更复杂，不能写成上述形式。
• 如手征介质，其电位移矢量与电磁强度和磁场强度都有 关；对于磁感应强度也是如此。
电通（量）密度==电位移矢量
D e 0 E P e 0 (1 e ) E e 0e r E eE
式中
P为电极化强度矢量, 代表在外场E作用下的极化电荷产生的场矢量.
计算电磁学基础 及软件应用
• 参考教材：
– 1、倪光正，杨仕友等. 工程电磁场数值计算。机械工业出版社， 2004年第一版，北京。
– 2、王长清。现代计算电磁学基础。北京大学出版社，2005年第一 版，北京。
– 3、吕英华. 计算电磁学的数值方法. 清华大演出版社，2006年第一 版，北京。
– 4、何国瑜，卢才成等。电磁散射的计算和测量。北京航空航天大 学出版社，2006年第一版，北京。
– 采用相应的数值计算方法，经离散化处理，把连续 型数学模型转化为等价的离散数学模型——由离散 数值构成的联立代数方程组（离散方程组）；
– 最后，在所得该电磁场正问题的场量（含位函数） 离散解的基础上再经各种后处理过程，就可以求出 所需的场域中任意点处一场强、任意区域的能量、 损耗分布等参数与性能指标。
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踏实肯干，努力奋斗。2020年10月24 日上午2 时13分 20.10.2 420.10. 24
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追求至善凭技术开拓市场，凭管理增 创效益 ，凭服 务树立 形象。2 020年1 0月24 日星期 六上午2 时13分 41秒02 :13:412 0.10.24
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严格把控质量关，让生产更加有保障 。2020 年10月 上午2时 13分20 .10.240 2:13Oc tober 24, 2020
1.4 电磁场的Maxwell方程组
• 宏观电磁现象的基本规律：MAXWELL方程 组---描述了场源（电荷、电流）激发电磁场 的一般规律。
• 方程组的基本变量为
–四个场向量：
• 电场强度E（V/m）、 • 磁感应强度B（T）、 • 电位移向量D（C/m2）、 • 磁场强度H（A/m）；
–两个源量：
– 微分方程模型、 – 积分方程模型、 – 变分方程模型。
1.2 电磁场正问题数值分析
• 电磁场的正问题：
– 给定
• 场的计算区域、 • 各区域材料（媒质）组成和特性， • 以及激励源的特性，
–求
• 其场域中场量随时间、空间分布的规律（场分 布）
• 正问题的电磁场数值分析
– 基于MAXWELL方程组建立逼近实际工程电磁场正 问题的连续型的数学模型；
P e0e E
e 11
源自文库
各向异性媒质
e
e 33
磁通（量）密度==磁感应强度
B m0 H M m0 (1 m ) H m0mr H mH
式中
M为磁化强度矢量, 代表在外场H作用下磁化电荷产生的场矢量.
M m H
m11
各向异性媒质
m
m33
电流密度
J sE
s 11
各向异性电导率材料
• 计算机编程和应用方面的能力， • 计算机软件支持条件等。
• 电磁场数值分析中常用的数值计算方法有：
–应用于微分方程型数学模型的
• 有限差分法、 • 有限元法 • 蒙特卡洛法；
–应用于积分方程型数学模型的
• 模拟电荷法、 • 矩量法 • 边界元法， • 以及基于直接积分运算关系式的数值积分法等。
（不同于对偶方程）
J m jmH zH
– y与单位长度导纳有相同量纲，称其为导纳率；
– z与单位长度阻抗有相同量纲，称其为阻抗率。
– 可以理解为：电场是由变化的磁流产生的；磁场是由变化的 电流产生。（类似于静态场）
– 广义电磁流是时谐电磁场的源。
1.4.3 准静态场
磁准静态场
• 导电媒质场域中位移电流密度远小于传导电 流密度，则可忽略位移电流效应，称该时变 电磁场为准静态情况下的电磁场（磁准静态 场）。
• 电流密度J（A/m2）、 • 电荷密度r（C/m3）。
• 在静止媒质中
–微分形式为：
•三个媒质的构成关系式：
– 如果介质的本构参数（m、e、s）是频率的函数， 则称此类介质为色散介质。
• 如等离子体、水、生物肌体组织、雷达吸波材料。
– 如果介质中的本构参数是张量形式，则称此类介 质为各向异性介质。
–其MAXWELL第一方程可近似表达为 瞬时表示
–其余方程（1-2）、（1-3）、（1-4）保持有效。
• 基于式（1-14），因任一向量旋度的散度恒等 于零，故在准静态下电荷守恒定律归结为
• 显然，若该磁准静态场处于正弦激励、 稳态工况下，则式（1-14）将一步可由相 量表示为
– 并与其它相量形式的方程（1-11、12、13） 共同组成时谐的磁准静态场基本方程组。
而得，即所论场点p处电场的实时描述为
• 故正弦稳态情况下的时变电磁场（时谐电磁 场），MAXWELL方程组对应的相量形式为
–式中，以相量形式表征的各场量和源量均仅为空 间坐标的函数，其模为相应正弦量的有效值。
• 在时谐场的频域中，常引入包括位移电流和位移磁流
的广义电磁流 概念：
Je
s
je
E
yE
电磁场正问题 数值分析处理 的流程图如图 1-1所示。
• 电磁场正问题数值分析，
– 必须具备
• 一定的数学、物理基础， • 有关电磁场的专门知识， • 采用恰当的理想化假设， • 准确地给出定解条件（初始条件和边界条件）。
– 还应具有
• 对于计算流程的前处理（如场域剖分、数据文件构成 等）、
• 数据处理和后处理（如等位线、通量线描绘，以及场强、 电磁参数、能量和力的计算等），
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作业标准记得牢，驾轻就熟除烦恼。2 020年1 0月24 日星期 六2时13 分41秒 02:13:4 124 October 2020
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好的事情马上就会到来，一切都是最 好的安 排。上 午2时13 分41秒 上午2 时13分0 2:13:41 20.10.2 4
r f , J f 为自由电荷密度和自由电流密度; 式中 r P , J P为极化电荷密度和极化电流密度;
r m , Jm为虚的磁荷密度和虚拟磁流密度.
1.4.1 动态电磁场
• 时变电磁场的MAXWELL方程组为
• 场量（E、B、D、H）和源量（J、r）均为 空间坐标（位矢r = {x, y,z}）和时间坐标(t)的 函数。
– 每个旋度方程对应于三个标量方程，所以两个旋度 方程给出了六个标量方程。
– 在给定场源与相应的定解条件下，时变电磁场待求 场向量（E、B、D、H），共十二个独立的分量。
1.4.2 时谐电磁场
• 随时间按正弦规律变化的电磁场
– 线性媒质中非正弦周期变化的电磁场，可分解为基波 和各次谐波正弦激励的叠加；
• 动态电磁场，与MAXWELL方程组的微分形式对应 的积分表达式为
电磁场的基本规律
波动方程
达朗贝尔方程 (σ=0):
洛伦兹规范
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树立质量法制观念、提高全员质量意 识。20. 10.2420 .10.24Saturday , October 24, 2020
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人生得意须尽欢，莫使金樽空对月。0 2:13:41 02:13:4 102:13 10/24/2 020 2:13:41 AM
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安全象只弓，不拉它就松，要想保安 全，常 把弓弦 绷。20. 10.2402 :13:410 2:13Oc t-2024- Oct-20
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加强交通建设管理，确保工程建设质 量。02:13:4102 :13:410 2:13Saturday , October 24, 2020
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安全在于心细，事故出在麻痹。20.10. 2420.1 0.2402:13:4102 :13:41 October 24, 2020
– 例如，波导场、交流电机和电器中的电磁场等。
• 线性媒质、正弦激励且稳态条件下，MAXWELL 方程组可归结为不显含时间的复相量表示形式。
– 任何一个电、磁场量都可用一复相量表示。
• 例如，电场强度可用一个与时间无关的复相 量表示成： E (r) E(r)e jE (r)
– 它所对应的实际时变电场则可取 2E (r)e jt的实部