专题5.1 平面向量的概念及线性运算(讲)(解析版)

专题5.1 平面向量的概念及线性运算
1.了解向量的实际背景；
2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；
3.理解向量的几何表示；
4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；
5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义；
6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
知识点一向量的有关概念
知识点二向量的线性运算
知识点三 共线向量定理
向量a(a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa.,向量概念的4点注意 (1)注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0. (2)单位向量有无数个，它们的模相等，但方向不一定相同．
(3)零向量和单位向量是两个特殊的向量，它们的模是确定的，但是方向不确定，因此在解题时要注意它们的特殊性．
比如：命题“若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c”是假命题，因为当b 为零向量时，a ，c 可为任意向量，两者不一定平行．
(4)任一组平行向量都可以平移到同一直线上． 【特别提醒】向量线性运算的3点提醒 (1)两个向量的和仍然是一个向量．
(2)利用三角形法则时，两向量要首尾相连，利用平行四边形法则时，两向量要有相同的起点． (3)当两个向量共线时，三角形法则仍然适用，而平行四边形法则不适用． 【拓展提升】共线向量定理的深解读
定理中限定了a≠0，这是因为如果a ＝0，则λa ＝0， (1)当b≠0时，定理中的λ不存在； (2)当b ＝0时，定理中的λ不唯一．
因此限定a≠0的目的是保证实数λ的存在性和唯一性． 知识点四 必备结论
1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即A 1A 2―→＋A 2A 3―→＋A 3A 4―→＋…＋A n －1A n ―→＝A 1A n ―→
.特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．
2.在△ABC 中，AD ，BE ，CF 分别为三角形三边上的中线，它们交于点G (如图所示)，易知G 为△ABC 的重心，则有如下结论：
(1) GA ―→＋GB ―→＋GC ―→
＝0； (2) AG ―→＝13
(AB ―→＋AC ―→)；
(3) GD ―→＝12(GB ―→＋GC ―→)＝16
(AB ―→＋AC ―→)．
3．若OA ―→＝λOB ―→＋μOC ―→
(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
4．对于任意两个向量a ，b ，都有：①||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|；②|a ＋b|2＋|a －b|2＝2(|a|2＋|b|2)．当a ，b
不共线时：①的几何意义是三角形中的任意一边的长小于其他两边长的和且大于其他两边长的差的绝对值；②的几何意义是平行四边形中两邻边的长与两对角线的长之间的关系．
考点一 平面向量的有关概念
【典例1】（河北衡水二中2019届高三调研）给出下列四个命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；
②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →
”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是( ) A.②③ B.①②
C.③④
D.②④
【答案】A
【解析】①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.
②正确.∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →
，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则|AB →|＝|DC →
|，
AB →∥DC →且AB →，DC →方向相同，因此AB →＝DC →.
③正确.∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c .
④不正确.当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件.
综上所述，正确命题的序号是②③. 【归纳总结】向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度．
(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．
(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向量共线． 【变式1】（山东泰安一中2019届高三模拟）给出下列命题： ①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；
②λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；
③λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误的命题的个数为( ) A ．0 B.1 C ．2 D ．3
【答案】D
【解析】①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②错误，当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0.③错误，当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ＝0，此时，a 与b 可以是任意向量．故错误的命题有3个，故选D.
考点二 向量的线性运算
【典例2】 (2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB ―→
＝( ) A.34AB ―→－14AC ―→ B.14AB ―→－34AC ―→ C.34AB ―→＋14AC ―→ D ．14AB ―→＋34AC ―→
【答案】A
【解析】作出示意图如图所示．EB ―→＝ED ―→＋DB ―→＝12AD ―→＋12CB ―→＝12×12(AB ―→＋AC ―→)＋12(AB ―→－AC ―→)＝
34AB ―→－14
AC ―→
.
【方法技巧】向量的线性运算，即用几个已知向量表示某个向量，基本技巧为：一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．
【变式2】（山西平遥中学2019届期末）在△ABC 中，AB ―→＝c ，AC ―→＝b ，若点D 满足BD ―→＝2DC ―→
，则AD ―→
等于( )
A.23b ＋1
3c B.53c －23b C.23b －13c D ．13b ＋23c
【答案】A
【解析】∵BD ―→＝2DC ―→
，
∴AD ―→－AB ―→＝BD ―→＝2DC ―→＝2(AC ―→－AD ―→)， ∴3AD ―→＝2AC ―→＋AB ―→，
∴AD ―→＝23AC ―→＋13AB ―→＝23b ＋13c.
考点三 根据向量线性运算求参数
【典例3】（湖南长郡中学2019届期中）在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO ―→＝λAB ―→＋μBC ―→
，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ等于( )
A ．1 B.12 C.13 D ．23
【答案】D
【解析】由题意易得AD ―→＝AB ―→＋BD ―→＝AB ―→＋13BC ―→
，
则2AO ―→＝AB ―→＋13BC ―→，即AO ―→＝12AB ―→＋16BC ―→.
故λ＋μ＝12＋16＝2
3
.
【方法技巧】解决此类问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值.
【变式3】（四川省百校2019届高三模拟冲刺）已知向量，若，则实数（ ） A ．2 B ．-2
C ．
D ．
【答案】D
【解析】向量（2，﹣1），（1，λ）， 则（4，﹣1+2λ）， （3，﹣2﹣λ）， 又（）∥（），
所以4（﹣2﹣λ）﹣3（﹣1+2λ）＝0， 解得λ． 故选D 。

考点四 线向量定理的应用
【典例4】(2019·河南郑州第一次质量预测)已知A ，B ，C 是直线l 上不同的三个点，点O 不在直线l 上，则使等式x 2OA →＋xOB →＋BC →
＝0成立的实数x 的取值集合为( )
A.{0}
B.∅
C.{－1}
D.{0，－1}
【答案】C 【解析】
方法一 若要x 2OA →＋xOB →＋BC →＝0成立，BC →必须与x 2OA →＋xOB →共线，由于OA →－OB →＝BA →与BC →
共线，所以OA →和OB →的系数必须互为相反数，则x 2＝－x ，解得x ＝0或x ＝－1，而当x ＝0时，BC →
＝0，此时B ，C 两点重合，不合题意，舍去.故x ＝－1.
方法二 ∵BC →＝OC →－OB →，∴x 2OA →＋xOB →＋OC →－OB →＝0，即OC →＝－x 2OA →－(x －1)OB →
，∵A ，B ，C 三点共线，
∴－x 2－(x －1)＝1，即x 2＋x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1.当x ＝0时，x 2OA →＋xOB →＋BC →
＝0，此时B ，C 两点重合，不合题意，舍去.故x ＝－1.
【方法技巧】利用共线向量定理解题的方法
(1)a ∥b ⇔a ＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用．
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．即A ，B ，C 三点共线⇔AB ―→，AC ―→
共线．
(3)若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.
(4)OA ―→＝λOB ―→＋μOC ―→
(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1.
【变式4】(2019·安徽合肥市第二次质量检测)设两个非零向量a 与b 不共线，若a 与b 的起点相同，且a ，t b ，1
3
(a ＋b)的终点在同一条直线上，则实数t 的值为________．
【答案】1
2
【解析】
∵a ，t b ，1
3(a ＋b)三个向量的终点在同一条直线上，且a 与b 的起点相同，
∴a －t b 与a －13(a ＋b)共线，即a －t b 与23a －1
3b 共线，
∴存在实数λ，使a －t b ＝ λ⎝⎛⎭⎫
23a －13b ，
∴⎩⎨⎧
1＝2
3λ，t ＝1
3λ，
解得λ＝32，t ＝1
2
.。