江苏省扬州市2021届第一学期高三数学期中调研试卷

2020- 2021 学年度第一学期期中检测试题高三数学2020. I1(全卷满分分150分，考试时间120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求).1.已知复数z满足(1-i)z=2，i为虚数单位，则z等于( )A. 1-IB.1+IC. 12−12i D.12+12i2.已知集合A={x|(x+1)(x-2)≤0}，B={x|√x<2}, 则A∩B=()A. [-1,0]B. [0,1]C. (0,2]D. [0,2]3.已知a=log1.10.9，b=0.91.1, c=1.10.9，则a,b,c的大小关系为( )A. a<b<cB. a<c<bC. b<a<cD. b<c<a4.已知函数f(x) ={x−5 x≥6f(x+2)+1 ,x<6则f(5)的值为( )A. 2B.3C.4D.55.函数f(x)= cos (x—π2) ln( e x+e−x)的图象大致为( )6.在∆ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.根据下列条件解三角形，其中有两个解的龙A. a=8，b=10，A =45°B. a=60，b=81，B=60°C. a=7，b=5，A=80°D. a=14，b=20，A=45°7.我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术:“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣".这可视为中国古代极限思想的佳作.割圆术可以视为将一个圆内接正n边形等分成n个等腰三角形(如图所示),当n变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，可得到sin 20的近似值为（）A.0.035B.0.026C.0.018D.0.0338.已知一个球的半轻为3。

则该球内接正六校锥的体积的最大值为( )A.10√3B. 27√32 B. 16√3 D.35√32二、多项选择题(本大厦共4小题，每小题S分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9.下列命题中正确的是( )A.命题"V xϵR . sinx≤11"的否定是“∋x∈R，sinx>1"B.“a>1"是1a<1”的充分不必要条件C.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+b2>c2,则△ABC为锐角三角形D.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若sin2A= sin2B，则A=B10.若函数f(x)= sin2.x的图象向右平移工个单位得到的图象对应的函数为g(x)，则下列说法中正确的是( )A. g(x) 的图象关于x=5π12对称B.当x∈[0,π2]时，g(x) 的值域为[-√32,√32]C.g(x) 在区间(512π 1112π)上单调递减D.当x∈[0,π]时，方程g(x)=0有3个根.11.已知函数f(x)的定义域为R, f(x+1)为奇函数，且f(2+x)=f(2-x), 则( )A. f(1)=0B. f(x)= f(x+4)C. f(x+1)=-f(-x-1)D. y= f(x)在区间[0,50]上至少有25个零点12.已知正数x,y,z满足3x=4y=6z.则下列说法中正确的是( )A.1x +12y =1zB.3x>4y> 6zC. x+y>(√32 +√2)z D. xy>2z 2 三.填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知幂函数y= f(x)的图象过点(2.14)，则曲线y= f(x)在点(,1)处的切线方程为 14.在△ABC 中，∠BAC=π3， AB=2，AC=3, BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =. 15.黄金比例，用希腊字母φ表示，借用古希腊数学家欧几里德的话:当整条线段的长度与线段中较长段的比例等于较长段与较短段的比例时，就是根据黄金比例来分割- -线段.从下图我们可以更直观地感受黄金比例:用A,B 分别表示较长段与较短段的线段长度，于是将欧几里德的描述用代数方法表示出来:Φ=AB =A+A: ,从而可以解出φ的值.类似地,可以定义其他金属比例.假设把线段分成n+1段，其中有n 段长度相等，记这n 段的每一段长为A.面剩下的一段长为B (长度较短的).如果A 与B 之比等于整条线段的长与A 之比，我们用λn 来表示这个比例，即λn =AB 对于n(n ϵN +N')的每个值对应一个λn ，则称λn 为金属比例.当n=1时，即为黄金比例，此时φ=√5+12;当n=2时，即为白银比例，我们用希腊字母o 表示该比例，则Φ=____16.已知函数f(x)={x 2−4x,x ≤04−x x >a,其中a>0,若函数g(x)=f(x)- 3|x|有两个零点，则实数a 的取值范围是___四、解答题(本大题共6小题，计70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本小题满分10分)在①a=√2,②S=C2 cosB ， ③C=π3这三个条件中任选-一个，补充在下面问题中，并对其进行求解.问题:在∆A BC 中，内角A, B,C 的对边分别为a,b,c,面积为S ， √3bcosA=acosC+ccosA ，b=1,____________，求 c 的值. 注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。

18. (本小题满分12分)已知函数f(x)=√3cos 2x +sin(x+π3)sin(x-π6)-√32(1)求f(x)的最小正周期及对称中心; (2)若f(a)=16,且a∈(π12,π3)，求cos 2a 的值.19. (本小题满分12分)已知函数f(x)=a x+k -a −x (a>0且a≠1)是定义在R 上的奇函数. (1)求实数k 的值:(2)若f()<0,且不等式f(3x+4)+f(-2x 2 +1)≤0对任意r∈[-1,]成立，求实数x 的取值范围.20. (本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC- A 1B 1C 1中，四边形AB B 1A 1和A A 1C C 1均为菱形，平面AB B 1A 1⊥平面A A 1C C 1. ∠A 1AC =π3，∠A 1AB=π4，E 为棱A A 1上一点，BE⊥A A 1.(1)求证: BE⊥ A 1C(2)设AB=2,求二面角B- C C 1-A 的余弦值.21. (本小题满分12分)某校从高二年级随机抽取了20名学生的数学总评成绩和物理总评成绩，记第i 位学生的成绩为(x i ,y i ) (i=1,2,3...20),其中x i ,y i 分别为第i 位学生的数学总评成绩和物理总评成绩.抽取的数据列表如下( 按数学成绩降序整理):(1)根据统计学知识，当相关系数|r|≥0.8时，可视为两个变量之间高度相关.根据抽取的数据，能否说明数学总评成绩与物理总评成绩高度相关?请通过计算加以说明.(2)规定:总评成绩大于等于85分者为优秀，小于85分者为不优秀，对优秀赋分I,对不优秀赋分0，从这20名学生中随机抽取2名学生，若用X表示这2名学生两科赋分的和，求X 的分布列和数学期望.22. (本小题满分12分)已知函数f(x)=e x-mx-2，g(x)= e x-sinx- xcosx-1。

(1)当x≥π时，若不等式f(x)> 0恒成立，求正整数m的值:2(2)当x≥0时，判断函数g(x)的零点个数，并证明你的结论，参考数据: eπ2≈4.82020—2021学年度第一学期期中检测试题高三数学参考答案1．B 2．D 3．A 4．B 5．C 6．A 7．A 8．C9． AB 10． AC 11． ABD 12． ACD13．230x y +-= 14．11315． 1+ 16． (0,1)[7,)+∞17． 在ABC △cos cos cos A a C c A =+，cos sin cos sin cos B A A C C A =+ ………2分 所以3sin cos sin B A B =,因为sin 0B ≠，所以3cos A = ………5分选择①，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得210c -=，解得c ………10分 选择②，1cos sin 22c S B bc A ==，所以cos sin cos()2B A A π==-所以2B A π=-，即2C π=，解得c = ………10分选择③，3C π=，因为sin sin()sin cos cos sin 333B A A A πππ=+=+=所以由sin sin c b C B =得sin 4sin b Cc B== ………10分18． (1) 1cos2()sin()sin()2266x f x x x πππ+++--12cos()sin()266x x x ππ+⨯--1sin(2)23x x π+-1111(sin 2cos2(sin 2cos22222x x x x x +⋅-=⋅+ 1sin(2)23x π=+. ………4分 所以()f x 的最小正周期22T ππ==. ………5分 由2,Z 3x k k ππ+=∈得,Z 26k x k ππ=-∈，所以()f x 的对称中心为(,0),Z 26k k ππ-∈. ……6分 (2) 由1()6f α=得1sin(2)33πα+=，因为(,)123ππα∈，所以2(,)32ππαπ+∈，所以cos(2)3πα+==， ………8分所以cos2cos[(2)]cos(2)cos sin(2)sin 333333ππππππαααα=+-=+⋅++⋅1123=+=………12分 19． (1) 方法1：因为()f x 是R 上的奇函数，所以()010k f a =-=，解得0k = ………3分下面检验，此时()x x f x a a -=-，故()()x x f x a a f x --=-=-，所以()f x 为奇函数 ……5分 方法2：因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，即++x k x x x k a a a a ---=-， ………1分 即)((10)x x k a a a --=+， ………3分所以10k a -=，解得0k = ………5分 (2)由()10f <得10a a-<，解得01a <<， ………6分 所以()x x f x a a -=-是R 上的减函数， ………7分 因为()f x 为奇函数,所以由()()23+4210f tx f x +-+≤得()()()223+42121f tx f x f x ≤--+=- 因为()f x 是R 上的减函数，所以23421tx x +≥-对任意[1,1]t ∈-成立 ………9分 令22()3421352g t tx x tx x =+-+=+-，则()0g t ≥对任意[1,1]t ∈-成立，等价于22(1)3520(1)3520g x x g x x =+-≥-=-+-≥⎧⎪⎨⎪⎩, ………10分 解得11x -≤≤，所以x 的取值范围是[11]-，. ………12分 20． (1) 因为平面11ABB A ⊥平面11AA C C ，1BE AA ⊥，BE ⊂平面11ABB A ，平面11ABB A 平面11AA C C 1=AA ，所以BE ⊥平面11AA C C ， ………4分 又因为11C A ⊂平面11AA C C ，所以11BE C A ⊥. ………5分 (2)方法1：（综合法）作1EF CC ⊥于F ，因为1BE CC ⊥，,BEEF E BE =⊂平面BEF ，EF ⊂平面BEF ，所以1CC ⊥平面BEF ，因为BF ⊂平面BEF ，所以1BF CC ⊥,所以BFE ∠即为二面角1B CC A --的平面角. ………9分（注：对于作出了平面角，但没有证明的给2分） 在菱形11ABB A 中，由2AB =、1=4BAA π∠，可求得BE =在菱形11AA C C 中，由2AB =、1=3A AC π∠，可求得EF =分所以在Rt BEF △中，EF =BFcos BFE ∠. 所以二面角1B CC A --. ………12分 方法2：（向量法）作1EF CC ⊥于F ，则1EF AA ⊥，因为平面11AAC C ⊥平面11ABB A ，EF ⊂平面11AA C C ，平面11ABB A 平面11AA C C 1=AA ，所以EF ⊥平面11ABB A ，以E 为坐标原点，,,EA EB EF 所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系 …6分 在菱形11ABB A 中，由2AB =、1=4BAA π∠，可求得AE BE ==.在菱形11AA C C 中，由2AB =、1=3A AC π∠，可求得EF =1CF ，所以点B的坐标为()0，点1B的坐标为()2-，点C的坐标为0，.F BC AC 1B 1A 1EEA 1B 1C 1AC B由(1)知BE ⊥平面11AA C C ，所以平面1AC C 的一个法向量()10,1,0n =， .………8分设平面1BC C 的法向量()2,,n x y z =，则21200n BB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即200x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，取0x y z ===，，则平面1BC C的一个法向量(20,n = .………10分所以113cos ,n n <>=………11分 所以二面角1B CC A --. ………12分 21．(1) ()()ii nxx y r y --==∑………3分62467.5155>=>=⨯=， ………5分 所以“数学学期综合成绩”与“物理学期综合成绩”高度相关. ………6分 注：这里处理方案很多，例如：根据赋分规则可知，7个人赋分为2，4个人赋分为1，9个人赋分为0.所以9222036(0)190C P X C ===，49112203619(1)0C C P X C ===，2112204791609(29)C C C P X C +===，114722023810(9)C C P X C ===，27220(4)21190C P X C ===. 所以X 的分布列为：所以190190190()012341901901905E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯== ……12分 122． (1)方法1：分离参数得 当2x π≥时，不等式2x e m x -<恒成立，令2()x e h x x -=，则22(2)(1)2()0x x x e x e e x h x x x ---+'==>， ………2分所以()h x 在[,)2π+∞上递增，所以2min 228()()252e h x h ππππ-==≈， ………3分 因为28125π<<，所以正整数m 的值为1. ………4分 方法2：()x f x e m '=-.① 当2m e π≤时，()0f x '≥，所以()f x 在[,)2π+∞上递增，所以2min ()()2022f x f e m πππ==-⋅->，即222852e m πππ-<≈，又28125π<<，所以正整数m 的值为1. ………2分 ② 当2m e π>时，令()0x f x e m '=-=，则ln x m =.当(,ln )2x m π∈时，()0f x '<，所以()f x 在(,ln )2m π上递减；当(ln ,)x m ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(ln ,)m +∞上递增.所以min ()(ln )ln 2(1ln )20f x f m m m m m m ==--=--<，这与()0f x ≥恒成立矛盾，故不符合. 综上得：正整数m 的值为1. ………4分 (2) 当0x ≥时， 函数()g x 有2个零点. ………5分 证明如下：显然(0)0g =，所以0是()g x 的一个零点， ………6分 ①当2x π>时，()sin cos 120x x g x e x x x e x =--->-->，所以()g x 无零点； ………7分②当02x π≤≤时，()2cos sin x g x e x x x '=-+，令()()2cos sin x h x g x e x x x '==-+， 则()()3sin cos 0x h x g x e x x x '''==++>，所以()g x '在[0,]2π上递增又(0)10,g '=-<2()022g e πππ'=+>，所以存在唯一1(0,)2x π∈使得1()0g x '=. ………9分所以当1(0,)x x ∈时，()0g x '<，故()g x 递减；当1(,)2x x π∈时，()0g x '>，故()g x 递增；因为(0)0g =，所以1()0g x <，又2()202g e ππ=->，所以存在唯一21(,)2x x π∈使得2()0g x =综上得：当0x ≥时， 函数()g x 有2个零点. ………12分。