3-1假设检验初述,二类错误

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引例. 某厂生产的螺钉, 按标准强度为68克/mm2, 而实 际生产的螺钉强度 X 服从N(, 3.62 ). 若 E(X) = = 68, 则认为这批螺钉符合要求, 否则认为不符合要求. 现从该厂生产的螺钉中抽取容量为 36 的样本, 其样本 均值为 x 68.5， 问原假设是否正确? 解: ① 提出如下假设: H0 : = 68 原假设的对立面: H1 : 68 称为备择假设
0.4 0.3 0.2 0.1
U 1.96 是一个小概率事件, 如果一次抽样的结果是
这一小概率事件发生了, 则认为原假设不合理, 应予拒绝. 称 X 的取值区间( , 66.824 ) 与 ( 69.18 , + )
例如, 取 = 0.05, 则 c u u0.025 1.96.
2 分布
2 检验
假设检验步骤
1. 根据实际问题所关心的内容, 建立 H0与 H1; 2. 在H0为真时, 选择合适的检验统计量, 要求 该统计量中不含任何未知参数, 且当H0成立 时的分布己知. 3. 给出显著水平 , 确定拒绝域形式, 拒绝域 的端点称为临界值. 4. 根据子样值计算, 并作出决策: 子样值落 入拒绝域时拒绝原假设, 否则接受原假设.
2
/2
-2
/2
1
为检验的拒绝域. 而区间 (66.824, 69.18) 为检验的 接受域 (实际上没理由拒绝). 现 x 68.5 落入接受域, 则接受原假设 H0: = 68.
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• -1 -u/2
•2 u /2
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引例2. 某种产品在通常情况下废品率是5%. 现从生产 出的一批中随机地抽取50件, 检验得知有4个废品. 问能 否认为这批产品的废品率为5% (取小概率 = 5%)? 解: 用假设检验法, 步骤: (1) 提出假设 H0: p 0.05 其中 p为母体的废品率. (2) 母体 X ~ B(1, p )
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t 分布 t 检验
F分布 F 检验
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假设检验的两类错误 二.二类错误 所作判断 由引例可见, 在给定 的前提下, 接受还是拒 绝原假设完全取决于子样值, 因此所作检验可能 导致以下两类错误的产生： 第一类错误 第二类错误 弃真错误 取伪错误 真实情况 H0 为真 H0 为假 接受 H0 正确 第二类错误 (取伪) 拒绝 H0 第一类错误 (弃真) 正确
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2. 假设检验的理论依据 假设检验所以可行, 其理论背景为实际推断原理. 小概率事件在一次试 验中不会发生. …………小概率事件原理 一般地, 规定 为小概率事件的概率大小, 通常取 = 0.05, 0.01,… 在假设检验中, 我们称这个小概率 为显著性水平.
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U 称为检验统计量.
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③ 给定小概率, 找出拒绝域 因此, 可以确定一个常数c, 使得
X 68 P c 或 3.6 6
由U
X 68 1.96 3.6 6
X 69.18 或 X 66/23-26
即 U
X 0.05 0.00095
~ N (0,1) 近似
/2
-2
/2
1
取小概率 = 0.05, 则 P U u 2
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-u/2
•
-1
• 2 u /2
即 P U 1.96 0.05 由
方差 2已知, 正态母体平均数 的检验 拒绝域为:
前情回顾
问题提出
若对参数 一无所知
点估计 参数估计 区间估计
用参数估计 的方法处理
若对 参数 有所 了解
但有 怀疑 猜测 需要 证实 之时
用假 设检 验的 方法 处理
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第三章 假设检验
§1 §2 §3 §4 §5 假设检验初述, 二类错误 检验母体平均数 检验母体方差 单侧假设检验 分布假设检验
拒绝域的推导: H0 : 0 构造统计量 U
X 0

~ N (0,1)
n
则 P U C
即认为这批产品的废品率为5%.
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P U u
2


/2
-2
/2
1
-u/2
•
-1
•2 u
/2
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注: ① 假设检验又称为差异显著性检验; ② 假设检验是具有概率性质的反证法; ③ 越小, 拒绝H0的说服力越强, 称 为显著性水平. ④ 检验方法依照所选用的检验统计量的分布命名. 检验统计 标准正态 量分布 分布 检验方法 U 检验
小概率事件在一次试验中不会发生 假设其中真有 99 个白球， 摸出红球的概率只有 1/100，这是小概率事件. 小概率事件在一次试验中竟然发生 了，不能不使人怀疑所作的假设. 这个例子中所使用的推理方法，可以称为 带概率性质的反证法
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3. 基本思想方法 采用带概率性质的反证法: 先提出假设H0, 再根据一次抽样所 得到的子样值进行计算. 若导致小 概率事件发生, 则否认假设H0; 否 则, 接受假设H0. 下面结合实例来说明假设检验的基本思想.
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假设检验与区间估计的关系 ① 出发点不同: 假设检验中对参数做了假 设后认为其已知, 而区间估计中参数未知; ② 形式上相同: 检验统计量与区间估计中的 样本函数一致, 接受域(acceptance region)与 置信区间一致;
内容小结 1. 假设检验 2. 二类错误
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思考与练习
作业 P116 T1
从正态分布N ( ,1)中取100样品, 计算得 x 5.32. 试检验 H 0 : 5 是否成立. ( 0.01)?
解: 已知: 2 1, 检验假设 H 0 : 5.
当 H 0 成立时的统计量 U 1 X 5 ~ N (0,1) 100
在假设 H0 成立的条件下, 当 n 很大时, 由中心极限定理 X 近似服从正态分布.
E ( X ) 0.05, D( X )
2
n

0.05 0.95 0.00095 50
0.4 0.3 0.2 0.1
故
U
X E( X ) D( X )
~ N (0,1) 近似
m 1 n 子样为X 1 , X 2 , , X n , 子样平均数为 X X i n n i 1 其中m为n个产品中废品数, 因此, X 是子样的废品率.
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② 构造检验统计量 若原假设正确, 则 X ~ N(68 ,
3.62 ) 36
因而 E ( X ) 68, 即 X 偏离68不应该太远, 偏离较远是小概率事件, 由于 U 故
X 68 ~ N (0,1) 3.6 6 取较大值是小概率事件.
称为原假设或零假设
X 68 U 3.6 6 于是可通过U的值检验 X 与68的差异是否显著,
X 0.05 1.96 得 0.00095
U u
；
2
U 检验法
H1 : 0
0.4 0.3 0.2 0.1
X 0.0103 或 X 0.1103
即得检验的拒绝域为: ( , 0.0103 ) 与 ( 0.1103, + ) 现x
4 0.08, 落入接受域, 则接受原假设 H0, 50
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§3.1 假设检验初述, 二类错误

一. 假设检验初述 二. 二类错误
一.假设检验初述 1. 何为假设检验? 假设检验是指在母体上作某项假设 , 从母体 中随机地抽取一个子样 , 用它检验此项假设是否 成立. 母体分布已知, 检验关于未知参数 参数假设检验 的某个假设 分类 分布假设检验 母体分布未知时的 假设检验问题
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本章假设检验的内容
大子样（ U 检验） 单母体，H 0 : 0 正态母体方差未知（t 检验） 检验母体均值 两母体， H : 大子样（ U 检验） 0 1 2 参数检验 假设检验 两正态母体（ t 检验） 2 2 2 单正态母体，H 0 : 0 （ 检验） 检验母体方差 2 2 H : F 两正态母体， （ 检验） 0 1 2 2 分布检验：用皮尔逊定理（ 检验）
犯第一类错误的概率 P{拒绝H 0 H 0为真}= 犯第二类错误的概率 P {接受H 0 H 0为假 }=
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希望所用的检验方法尽量少犯错误, 但不能 完全排除犯错误的可能性. 理想的检验方法应使 犯两类错误的概率都很小, 但在样本的容量给定 的情形下, 不可能使两者都很小, 降低一个, 往往 使另一个增大. 假设检验的指导思想是控制犯第一类错误 的概率不超过, 然后, 若有必要, 通过增大样本 容量的方法来减少 .
得H0的拒绝域为 u u
2
即 ( , u 2 ) ( u 2 , ) ( , u0.005 ) ( u0.005 , )
( , 2.576) (2.576, )
实际上 u
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1
X 5 3.2 2.576, 所以拒绝H 0 , 认为 5. 100 26 /23-26