抛物线与几何图形
小学生抛物线ppt课件
通过PPT展示标准方程的推导过 程，解释a、b、c三个参数的含义 和作用，以及如何通过这三个参 数来描述抛物线的形状和位置。
抛物线的焦点和准线
总结词
理解抛物线的焦点和准线是掌握抛物 线性质的关键，它们决定了抛物线的 形状和开口方向。
详细描述
通过PPT展示焦点和准线的定义，解 释如何通过焦点和准线来确定抛物线 的开口方向，以及它们在几何图形中 的应用。
使用直线连接半圆或椭圆的边缘，形成抛物 线的形状。
绘制半圆或椭圆
以对称轴为直径绘制一个半圆或椭圆。
标记顶点
在抛物线上找到最高或最低点，并标记为顶 点。
通过实际例子绘制抛物线
确定坐标系
根据实际问题的特点，确定合 适的坐标系。
绘制抛物线
使用平滑的曲线连接坐标点， 形成抛物线的形状。
选择实际例子
选择一个实际的问题或情境， 例如物体抛射、声音传播等。
在科学实验中的应用
抛物线在科学实验中也有广泛的应用，例如在物理实验中， 抛物线的运动轨迹被用来研究力和运动的规律；在化学实验 中，抛物线的形状被用来描述化学反应的动力学曲线。
抛物线在生物学实验中也有应用，例如在研究动物迁徙、植 物生长和生态系统中，可以利用抛物线的性质来描述它们的 生长和变化规律。
开口向下的抛物线
理解抛物线的开口方向与二次项系数 的相反数的关系。
顶点在原点的抛物线
理解顶点在原点的抛物线的性质和特 点。
顶点不在原点的抛物线
理解顶点不在原点的抛物线的性质和 特点。
抛物线的历史和发展
1 2
早期的抛物线概念
了解古希腊数学家对抛物线的初步认识和探索。
文艺复兴时期的抛物线研究
了解文艺复兴时期数学家对抛物线的深入研究和 贡献。
抛物线知识点
抛物线知识点抛物线是数学中的一种曲线形式，由于其独特的形状和性质，被广泛应用于物理、工程和计算机图形学等领域。
本文将介绍抛物线的定义、性质和应用，并对其相关概念进行阐述。
一、抛物线的定义抛物线是平面解析几何中的一种曲线，可以由以下方程表示：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数，a不等于0。
抛物线的图像呈现出对称、开口向上或向下的特征。
二、抛物线的性质1. 对称性：抛物线关于其顶点对称，即任意一点P在抛物线上，其关于顶点的对称点P'也在抛物线上。
2. 最值点：抛物线的最值点为其顶点，当抛物线开口向上时，顶点为最小值点；当抛物线开口向下时，顶点为最大值点。
3. 切线性质：抛物线上任意一点处的切线与该点处的斜率有关，斜率等于该点的横坐标对应的导数。
4. 焦点与准线：抛物线的焦点是与抛物线上任意一点的距离相等的点，而准线是与抛物线上任意一点的距离相等的直线。
5. 弧长：抛物线的弧长可以通过定积分来计算。
三、抛物线的应用1. 物理学：抛物线的运动规律被广泛应用于物理学中的抛体运动和弹道问题，例如抛物线运动的轨迹、抛射物的飞行轨迹等。
2. 工程学：抛物线的形状在工程学中经常被用于设计桥梁、天桥、水利工程等，以保证结构的稳定性和均衡性。
3. 计算机图形学：抛物线的数学模型被广泛应用于计算机图形学中的曲线绘制、三维建模等领域，用于实现平滑曲线的绘制和物体的形状设计。
4. 照明学：抛物面反射器是一种常见的照明设备，其形状为抛物线，可以将光线聚焦到特定的区域，提高照明效果。
5. 天文学：抛物线的轨迹在天文学中被用于描述彗星或行星等天体的运动轨迹。
抛物线作为一种特殊的数学曲线，具有对称性、最值点、切线性质等特点，广泛应用于物理、工程和计算机图形学等领域。
深入理解和掌握抛物线的定义、性质和应用，有助于我们更好地应用数学知识解决实际问题，并推动科学技术的发展。
抛物线的定义与标准方程
抛物线的定义与标准方程
抛物线是一种几何图形，它的形状像弓形，早在古希腊时期就已被哲学家用来描述天体运动的轨道。
抛物线拥有独特的几何结构，是分析数学中的一个重要的几何图形。
抛物线定义为一个二次方程
y=ax^2+bx+c的解集合，其中a是不等于0的实数，b与c是实数。
bx 和c分别表示抛物线的斜率和截距。
抛物线有若干不同的特性，其定义可以用标准方程表示，即：
y=ax2+bx+c，其中a、b、c分别是抛物线的系数，而a必须为不等于0的实数。
抛物线的系数a可以用来确定抛物线的开口方向，如果a>0，则抛物线向上开口；如果a<0，则抛物线向下开口。
抛物线的中点是抛物线函数的最高点或最低点，即y的最大值或最小值。
另外，抛物线的对称轴是横坐标x的值，由其标准方程中的b系数决定。
此外，抛物线的几何图形还具有一些特殊的性质，比如切线的斜率，其斜率的值等于解抛物线方程时的系数a。
另外，抛物线的曲线旁线总是平行于切线，这对抛物线几何图形的描述非常重要。
在学习数学时，抛物线可以用来解决许多复杂的问题，抛物线的定义与标准方程可以帮助人们理解抛物线的相关特性，从而更好地解决各种复杂的数学问题。
尽管抛物线的定义看起来很简单，但是人们在分析抛物线的运动轨迹及其性质时，还有许多需要注意的地方。
新人教版九年级数学上册同步提升训练：抛物线与几何图形
优质文档新人教版九年级数学上册同步提升训练：抛物线与几何图形———专题讲解———专题总体特征：试题的背景往往是把三角形、四边形或者学生熟悉的图形放在坐标系中，结合有关性质以及图形之间的相互关系构建抛物线，结合二次函数的性质解决点的存在性问题等能力．本专题主要研究抛物线与等腰三角形、直角三角形、平行四边形的综合问题，解决这类试题常常需要用到数形结合思想，转化思想，分类讨论思想等，解题的关键是弄清函数与几何图形之间的联系，在解题的过程中，将函数问题几何化．同时能够学会将大题分解为小题，逐个击破．———典型例题———【例1】（2014•山东德州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P 在过A，B，C三点的抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作y轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．【提示】（1）求得B、C的坐标，利用待定系数法求解；（2）分点A为直角顶点时和C的直角顶点两种情况讨论，根据OA=OC列方程求解；（3）垂线段最短．【感悟】（1）利用抛物线探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分为三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验．（2）利用抛物线探求直角三角形，逐次选择顶角进行讨论，一般运用勾股定理建立方程，然后解方程并检验．【例2】（2014•四川眉山）如图，已知直线y=－3x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2＋bx＋c经过点A和点C，对称轴为直线l：x=－1，该抛物线与x 轴的另一个交点为B．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P在直线l上，求出使△PAC的周长最小的点P 的坐标；（3）点M在此抛物线上，点N在y轴上，以A、B、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不能，请说明理由．【提示】（1）利用抛物线的交点式求解；（2）直线BC与对称轴直线l：x=-1的交点即为所求；（3）按照以AB为对角线、以AB为边讨论．【感悟】在抛物线上构造平行四边形的有关问题，需根据平行四边形的特征与判定．充分利用抛物线的顶点、对称轴及对称性质，对交点的不同的情况、不同的位置与特征进行探索.从简单情形入手，从特殊情况转化，从归纳中探求结论，发现规律．用动态思想，发挥想象能力和猜想能力，先猜想出结论，再加以解题证明．【例3】（2014•四川遂宁）已知：直线l：y=－2，抛物线y=ax2＋bx＋c的对称轴是y轴，且经过点（0，－1），（2，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图①，点P是抛物线上任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，求证：PO=PQ．（3）请你参考（2）中结论解决下列问题：（i）如图②，过原点作任意直线AB，交抛物线y=ax2＋bx＋c于点A、B，分别过A、B两点作直线l的垂线，垂足分别是点M、N，连结ON、OM，求证：ON⊥OM．（ii）已知：如图③，点D（1，1），试探究在该抛物线上是否存在点F，使得FD＋FO取得最小值？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【提示】（1）待定系数法求解；（2）用勾股定理求出PO的值，与PQ=PE＋EQ的值进行比较得出结论；（3）由三角形的内角和定理及平行线的性质、矩形的性质可以得出结论．【感悟】本题考查运用待定系数法求一次函数的解析式的运用，勾股定理的运用，平行线的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，垂直的判定及性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．———小试身手———1．（☆☆）如果一条抛物线y=ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”，[a，b，c]称为“抛物线三角形系数”，若抛物线三角形系数为[－1，b，0]的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，则b的值（）A．±2 B．±3 C．2 D．32．（☆☆2013•浙江湖州）如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB的两个交点之间的距离为23，且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形．．．．．．．的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是（）A．16 B．15 C．14 D．13（第2题图）（第4题图）3．（☆☆☆2014•江阴市二模）点A，B的坐标分别为（－2，3）和（1，3），抛物线y=ax2＋bx＋c（a＜0）的顶点在线段AB上运动时，形状保持不变，且与x轴交于C，D两点（C在D的左侧），给出下列结论：①c＜3；②当x＜－3时，y随x的增大而增大；③若点D的横坐标最大值为5，则点C的横坐标最小值为－5；④当四边形ACDB为平行四边形时，a=−34．其中正确的是（）A．②④B．②③C．①③④D．①②④4．（☆☆☆2013•辽宁锦州）二次函数y=32x2的图象如图，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3…A n在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3…B n在二次函数位于第一象限的图象上，点C1，C2，C3…C n在二次函数位于第二象限的图象上，四边形A0B1A1C1，四边形A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3…四边形A n－1B n A n C n都是菱形，∠A0B1A1=∠A1B2A2=∠A2B3A3…=∠A n－1B n A n=60°，菱形A n－1B n A n C n的周长为．5．（☆☆☆）如图，抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴的一个交点A在点（－2，0）和（－1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则：（1）abc0（填“＞”或“＜”）；（2）a的取值范围是．（第5题图）（第6题图）6．（☆☆☆☆☆2014•浙江丽水模拟）如图，抛物线y=−31x2＋2x与x 轴相交于点B、O，点A是抛物线的顶点，连接AB，把AB所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线l．点P是l上的一点，点Q抛物线是上的一点．设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为t．①当0＜S≤18时，t的取值范围是；②在①的条件下，当t取得最大值时，请你写出使△OPQ为直角三角形且OP为直角边的Q点的坐标：．7．（☆☆☆2014•四川乐山）如图，抛物线y=x2－2mx（m ＞0）与x轴的另一个交点为A，过P（1，－m）作PM⊥x 轴与点M，交抛物线于点B．点B关于抛物线对称轴的对称点为C．（1）若m=2，求点A和点C的坐标；（2）令m＞1，连接CA，若△ACP为直角三角形，求m 的值；（3）在坐标轴上是否存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．8．（☆☆☆2014•广西桂林）如图，已知抛物线y=ax2＋bx＋4与x轴交于A（－2，0）、B两点，与y轴交于C点，其对称轴为直线x=1．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）把线段AC沿x轴向右平移，设平移后A、C的对应点分别为A′、C′，当C′落在抛物线上时，求A′、C′的坐标；（3）除（2）中的点A′、C′外，在x轴和抛物线上是否还分别存在点E、F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出E、F的坐标；若不存在，请说明理由．9．（☆☆☆☆2014•湖南益阳）如图，直线y=－3x＋3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x－2）2＋k经过点A、B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P．（1）求a，k的值；（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．10．（☆☆☆☆2014•浙江金华）如图，直角梯形ABCO的两边OA，OC在坐标轴的正半轴上，BC∥x轴，OA=OC=4，以直线x=1为对称轴的抛物线过A，B，C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）已知直线l的解析式为y=x＋m，它与x轴交于点G，在梯形ABCD的一边上取点P．①当m=0时，如图1，点P是抛物线对称轴与BC的交点，过点P作PH⊥直线l于点H，连结OP，试求△OPH的面积；②当m=－3时，过点P分别作x轴，直线l的垂线，垂足为E，F．是否存在这样的点P，使以P，E，F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．11．（☆☆☆☆2013•湖北黄冈）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，其中A（6，0），B（3，3），C（1，3），动点P 从点O 以每秒2个单位的速度向点A 运动，动点Q 也同时从点B 沿B →C →O 的线路以每秒1个单位的速度向点O 运动，当点P 到达A 点时，点Q 也随之停止，设点P ，Q 运动的时间为t （秒）． （1）求经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式； （2）当点Q 在CO 边上运动时，求△OPQ 的面积S 与时间t 的函数关系式；（3）以O ，P ，Q 顶点的三角形能构成直角三角形吗？若能，请求出t 的值；若不能，请说明理由； （4）经过A ，B ，C 三点的抛物线的对称轴、直线OB 和PQ 能够交于一点吗？若能，请求出此时t 的值（或范围），若不能，请说明理由）．———参考答案———例1．【解析】（1）由A （4，0），可知OA =4，∵OA =OC =4OB ，∴OA =OC =4，OB =1， ∴C （0，4），B （－1，0）．设抛物线的解析式是y =ax 2＋bx ＋x ，则0,1640,4,a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩解得1,3,4,a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩则抛物线的解析式是y =－x 2＋3x ＋4； （2）存在．第一种情况，当以C 为直角顶点时，过点C 作CP 1⊥AC ，交抛物线于点P 1．过点P 1作y 轴的垂线，垂足是M ． ∵∠ACP 1=90°，∴∠MCP 1＋∠ACO =90°． ∵∠ACO ＋∠OAC =90°，∴∠MCP 1=∠OAC ．∵OA =OC ，∴∠MCP 1=∠OAC =45°，∴∠MCP 1=∠MP 1C ，∴MC =MP 1． 设P （m ，－m 2＋3m ＋4），则m =－m 2＋3m ＋4－4，解得m 1=0（舍去），m 2=2． ∴－m 2＋3m ＋4=6，即P （2，6）．第二种情况，当点A 为直角顶点时，过A 作AP 2，AC 交抛物线于点P 2，过点P 2作y 轴的垂线，垂足是N ，AP 交y 轴于点F ．∴P 2N ∥x 轴，由∠CAO =45°，∴∠OAP =45°，∴∠FP 2N =45°，AO =OF ．∴P 2N =NF ． 设P 2（n ，－n 2＋3n ＋4），则n =（－n 2＋3n ＋4）－1，解得n 1=－2，n 2=4（舍去）， ∴－n 2＋3n ＋4=－6，则P 2的坐标是（－2，－6）． 综上所述，P 的坐标是（2，6）或（－2，－6）；（3）连接OD ，由题意可知，四边形OFDE 是矩形，则OD =EF ． 根据垂线段最短，可得当OD ⊥AC 时，OD 最短，即EF 最短．由（1）可知，在直角△AOC 中，OC =OA =4，则AC =22OC OA +=42，根据等腰三角形的性质，D 是AC 的中点． 又∵DF ∥OC ，∴DF =12OC =2，∴点P 的纵坐标是2． 则－x 2＋3x ＋1=2，解得x =317±，∴当EF 最短时，点P 的坐标是（3172+，0）或（3172-，0）．例2．【解析】（1）直线y =－3x ＋3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ， 当y =0时，－3x ＋3=0，解得x =1，则A 点坐标为（1，0）． 当x =0时，y =3，则C 点坐标为（0，3）．抛物线的对称轴为直线x =－1，则B 点坐标为（－3，0）． 把C （0，3）代入y =a （x －1）（x ＋3）得3=－3a ，解得a =－1， 则此抛物线的解析式为y =－（x －1）（x ＋3）=－x 2－2x ＋3； （2）连接BC ，交对称轴于点P ，如图1，设直线BC 的关系式为y =mx ＋n ，把B （－3，0），C （0，3）代入y =mx ＋n 得30,3,m n n -+=⎧⎨=⎩解得1,3.m n =⎧⎨=⎩ ∴直线BC 的关系式为y =x ＋3．当x =－1时，y =－1＋3=2，∴P 点坐标为（－1，2）； （3）当以AB 为对角线，如图2，∵四边形AMBN 为平行四边形，A 点横坐标为1，N 点横坐标为0，B 点横坐标为－3， ∴M 点横坐标为－2，M 点纵坐标为y =－4＋4＋3=3， ∴M 点坐标为（－2，3）； 当以AB 为边时，如图3，∵四边形ABMN 为平行四边形，∴MN =AB =4，即M 1N =4，M 2N =4， ∴F 1的横坐标为－4，F 2的横坐标为4，对于y =－x 2－2x ＋3，当x =－4时，y =－16＋8＋3=－5； 当x =4时，y=－16－8＋3=－21，∴M 点坐标为（－4，－5）或（4，－21）．综上所述，M 点坐标为（－2，3）或（－4，－5）或（4，－21）．例3．【解析】（1）由题意，得0,21,042,b ac a b c ⎧-=⎪⎪-=⎨⎪=++⎪⎩解得1,40,1.a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩∴抛物线的解析式为y =14x 2−1． （2）如图①，设P （a ，14a 2－1），则OE =a ，PE =14a 2－1， ∵PQ ⊥l ，∴EQ =2，∴QP =14a 2＋1． 在Rt △POE 中，由勾股定理，得PO 2221(1)4a a +-14a 2＋1，∴PO =PQ ；（3）①如图②，∵BN ⊥l ，AM ⊥l ， ∴BN =BO ，AM =AO ，BN ∥AM ，∴∠BNO =∠BON ，∠AOM =∠AMO ，∠ABN ＋∠BAM =180°． ∵∠BNO ＋∠BON ＋∠NBO =180°，∠AOM ＋∠AMO ＋∠OAM =180°， ∴∠BNO ＋∠BON ＋∠NBO ＋∠AOM ＋∠AMO ＋∠OAM =360°， ∴2∠BON ＋2∠AOM =180°，∴∠BON ＋∠AOM =90°，∴∠MON =90°， ∴ON ⊥OM ；②如图③，作F′H ⊥l 于H ，DF ⊥l 于G ，交抛物线与F ，作F′E ⊥DG 于E ，∴∠EGH =∠GHF′=∠F′EG =90°，FO =FG ，F′H =F′O ，∴四边形GHF′E 是矩形，FO ＋FD =FG ＋FD =DG ，F′O ＋F′D =F′H ＋F′D ， ∴EG =F′H ，∴DE ＜DF′，∴DE ＋GE ＜HF′＋DF′，∴DG ＜F′O ＋DF′， ∴FO ＋FD ＜F′O ＋DF′，∴F 是所求作的点． ∵D （1，1），∴F 的横坐标为1， ∴F （1，－34）． 1．【答案】A【解析】∵抛物线三角形系数为[－1，b ，0]，∴抛物线解析式为y =－x 2＋bx =－（x －2b）2＋42b ，∴顶点坐标为（2b，42b ）．令y =0，则－x 2＋bx =0，解得x 1=0，x 2=b ，∴与x 轴的交点为（0，0），（b ，0）．∵“抛物线三角形”是等腰直角三角形，∴42b =2||b ，∴b 2=2b 或b 2=－2b ，∵b =0时，抛物线与x 轴只有一个交点（0，0），∴b =0不符合题意，∴b =2或b =－2． 2．【答案】C【解析】如图，开口向下，经过点（0，0），（1，3），（3，3）的抛物线的解析式为y =－x 2＋4x ，然后向右平移1个单位，向上平移1个单位一次得到一条抛物线，可平移6次，所以，一共有7条抛物线，同理可得开口向上的抛物线也有7条，所以，满足上述条件且对称轴平行于y 轴的抛物线条数是7＋7=14．3．【答案】A【解析】∵点A ，B 的坐标分别为（－2，3）和（1，3），∴线段AB 与y 轴的交点坐标为（0，3），又∵抛物线的顶点在线段AB 上运动，抛物线与y 轴的交点坐标为（0，c ），∴c ≤3，（顶点在y 轴上时取“=”），故①错误；∵抛物线的顶点在线段AB 上运动，∴当x ＜－2时，y 随x 的增大而增大，因此，当x ＜－3时，y 随x 的增大而增大，故②正确；若点D 的横坐标最大值为5，则此时对称轴为直线x =1，根据二次函数的对称性，点C 的横坐标最小值为－2－4=－6，故③错误；令y =0，则ax 2＋bx ＋c =0，CD 2=（－a b ）2－4×ac=224a ac b -，根据顶点坐标公式，a b ac 442-=3，∴aacb 42-=－12，∴CD 2=a 1×（－12）=a -12，∵四边形ACDB 为平行四边形，∴CD =AB =1－（－2）=3，∴a-12=32=9，解得a =－34，故④正确； 综上所述，正确的结论有②④． 4．【答案】4n【解析】∵四边形A 0B 1A 1C 1是菱形，∠A 0B 1A 1=60°，∴△A 0B 1A 1是等边三角形．设△A 0B 1A 1的边长为m 1，则B 1（231m ，21m ），代入抛物线的解析式中得32（231m ）2=21m ，解得m 1=0（舍去），m 1=1，故△A 0B 1A 1的边长为1，同理可求得△A 1B 2A 2的边长为2，…依此类推，等边△A n －1B n A n 的边长为n ，故菱形A n －1B n A n C n 的周长为4n ．5．【答案】（1）＜；（2）－43≤a ≤－252 【解析】（1）观察图形发现，抛物线的开口向下，∴a ＜0，∵顶点坐标在第一象限，∴－ab2＞0，∴b ＞0，而抛物线与y 轴的交点在y 轴的上方，∴c ＞0，∴abc ＜0；（2）顶点C 是矩形DEFG 上（包括边界和内部）的一个动点，当顶点C 与D 点重合，顶点坐标为（1，3），则抛物线解析式y =a （x －1）2＋3，由⎪⎩⎪⎨⎧≥+--≤+--,03)11(,03)12(22a a 解得－43≤a ≤－31；当顶点C 与F 点重合，顶点坐标为（3，2），则抛物线解析式y =a （x －3）2＋2，由⎪⎩⎪⎨⎧≥+--≤+--,02)31(,02)32(22a a 解得－81≤a ≤－252；∵顶点可以在矩形内部，∴－43≤a ≤－252． 6．【答案】①－3≤t ＜0或0＜t ≤3（－3≤t ≤3）；②（3，3）或（6，0）或（－3，－9）【解析】①∵抛物线y =−31x 2＋2x 与x 轴相交于点B 、O ，点A 是抛物线的顶点，∴点B 坐标为（6，0）． ∴顶点A 坐标为（3，3）．设直线AB 解析式为y =kx ＋b ．∵A （3，3），B （6，0），∴y =－x ＋6． ∵直线l ∥AB 且过点O ，∴直线l 解析式为y =－x ．∵点P 是l 上一动点且横坐标为t ，∴点P 坐标为（t ，－t ）． 当P 在第四象限时（t ＞0），S =S △AOB ＋S △OBP =21×6×3＋21×6×|－t |=9＋3t ． ∵0＜S ≤18， ∴0＜9＋3t ≤18，∴－3＜t ≤3．又∵t ＞0，∴0＜t ≤3． 当P 在第二象限时（t ＜0），作PM ⊥x 轴于M ，设对称轴与x 轴交点为N ，S =S 梯形ANMP ＋S △ANB －S △PMO =21（t －3）2＋29－21t 2=－3t ＋9； ∵0＜S ≤18，∴0＜－3t ＋9≤18，∴－3≤t ＜3；又∵t ＜0，∴－3≤t ＜0，∴t 的取值范围是－3≤t ＜0或0＜t ≤3． ②存在，点Q 坐标为（3，3）或（6，0）或（－3，－9）． 由（2）知t 的最大值为3，则P （3，－3）； 过O 、P 作直线m 、n 垂直于直线l ，∵直线l 的解析式为y =－x ，∴直线m 的解析式为y =x ． 可设直线n 的解析式为y =x ＋h ，则有3＋h =－3，h =－6． ∴直线n ：y =x －6．联立直线m 与抛物线的解析式有⎪⎩⎪⎨⎧+==,231,2x x y x y 解得⎩⎨⎧==0,0y x 或⎩⎨⎧==.3,3y x ∴Q 1（3，3）；同理可联立直线n 与抛物线的解析式，求得Q 2（6，0），Q 3（－3，－9）．7．【解析】（1）若m =2，抛物线y =x 2－2mx =x 2－4x ，∴对称轴x =2． 令y =0，则x 2－4x =0，解得x =0或x =4，∴A （4，0）． ∵P （1，－2），令x =1，则y =－3， ∴B （1，－3），∴C （3，－3）．（2）∵抛物线y =x 2－2mx （m ＞0），∴A （2m ，0）对称轴x =m ．∵P（1，－m），令x=1，则y=1－2m，∴B（1，1－2m），∴C（2m－1，1－2m）．∵PA2=（－m）2＋（2m－1）2=5m2－4m＋1，PC2=（2m－2）2＋（1－m）2=5m2－10m＋5，AC2=1＋（1－2m）2=2－4m ＋4m2，∵△ACP为直角三角形，∴PA2=PC2＋AC2，即5m2－4m＋1=5m2－10m＋5＋2－4m＋4m2，整理得2m2－5m＋6=0，解得m=32，m=1（舍去），故m=32．（3）∵P（1，－m），C（2m－1，1－2m），设直线PC的解析式为y=kx＋b，∴,12(21),m k bm m k b-=+⎧⎨-=-+⎩解得k=－12．∵PE⊥PC，∴设直线PE为y=2x＋b′，∴－m=2＋b′，解得b′=－2－m，∴直线PE：y=2x－2－m，令y=0，则x=1＋12m，∴E（1＋12m，0），∴PE2=（－m）2＋（12m）2=254m，∴254m=5m2－10m＋5，解得m=2或m=23，∴E（2，0）或E（43，0），∴在x轴上存在E点，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，此时E（2，0）或E（43，0）；令x=0，则y=－2－m，∴E（0，－2－m），∴PE2=（－2）2＋12=5，∴5m2－10m＋5=5，解得m=2，m=0（舍去），∴E（0，－4），∴y轴上存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，此时E（0，－4）．∴在坐标轴上是存在点E，使得△PEC是以P为直角顶点的等腰直角三角形，E点的坐标为（2，0）或（43，0）或（0，－4）．8．【解析】（1）y =－12x2＋x＋4；（2）抛物线的解析式y =－12x2＋x＋4，当x=0时，y=4，可得点C（0，4）．∵抛物线的对称轴为x=1，∴点C关于x=1的对称点C`的坐标为（2，4），∴点C向右平移了2个单位长度，则点A向右平移后的点A`的坐标为（0，0），所以点A`，C`的坐标分别分（0，0），（2，4）．（3）存在，共有两种情况：（一）如图，四边形ACEF是平行四边形，过点F作FD⊥x轴，∴AF=CE，∠AEC=∠EAF，∠ADF=∠AOC=90°，∴∠DAF=∠CEO，∴△ADF≌△EOC，∴DF=CO=4，AD=EO，∴点F的纵坐标为－4．∵点F在抛物线y =－12x2＋x＋4的图象上，即－12x2＋x＋4=－4，解得x=1±17F(171，－4)，∴DO 17－1．∵AO =2，∴AD =EO =DO －AO 17－3，∴点E 17＋3，0），所以点E 173，0），点F 的坐标为(171，－4) ．xy12345678–1–2–3–4–1–2–3–412345B E`EAOCF`HFD（二）如图，四边形ACE`F`∴AC =E`F`，∠CAO =∠F`E`H ，∠∴HF`=CO =4，AO =E`H ，得点F`∵点F`在抛物线y =－12x 2＋x ＋4的图象上，即－12a 2＋a ＋4=－4，解得x =1±17， 则点F`的坐标为（117，－4），∴EH =117E`H =AO =2，∴OE `=317， ∴点E 的坐标为（3170）．所以点E 的坐标为（317，0），点F 的坐标为（117，－4）．9．【解析】（1）∵直线33y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ， ∴(1,0)A ，(0,3)B ．又抛物线2(2)y a x k =-+经过点(1,0)A ，(0,3)B ，∴0,43;a k a k +=⎧⎨+=⎩解得1,1.a k =⎧⎨=-⎩即a ，k 的值分别为1，1-．（2）设Q 点的坐标为(2,)m ，对称轴2x =交x 轴于点F ，过点B 作BE 垂直于直线2x = 于点E ． 在Rt AQF ∆中，22221AQ AF QF m =+=+，在Rt BQE ∆中，22224(3)BQ BE EQ m =+=+-． ∵AQ BQ =，∴2214(3)m m +=+-，∴2m =． ∴Q 点的坐标为(2,2)．（3）当点N 在对称轴上时，NC 与AC 不垂直．所以AC 应为正方形的对角线．又对称轴2x =是AC 的中垂线，所以，M 点与顶点(2,1)P -重合，N 点为点P 关于x 轴的对称点，其坐标为(2,1)． 此时，1MF NF AF CF ====，且AC MN ⊥，∴ 四边形AMCN 为正方形．在Rt AFN ∆中，222AN AF NF =+=，即正方形的边长为2．10．【答案】【解析】（1）由题意得：A （4，0），C （0，4），对称轴为x =1．设抛物线的解析式为y =ax 2＋bx ＋c ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==++,12,4,0416a b c c b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=.4,1,21c b a∴抛物线的函数解析式为y =－21x 2＋x ＋4． （2）①当m =0时，直线l ：y =x ． ∵抛物线对称轴为x =1，∴CP =1．如答图1，延长HP 交y 轴于点M ，则△OMH 、△CMP 均为等腰直角三角形．∴CM =CP =1，∴OM =OC ＋CM =5． ∴S △OPH =S △OMH －S △OMP =21（22OM ）2－21OM •CP =21×（22×5）2－21×5×1=425－25=415． ②当m =－3时，直线l ：y =x －3．设直线l 与x 轴、y 轴交于点G 、点D ，则G （3，0），D （0，－3）．假设存在满足条件的点P ．QE 第20题解图N (M ） F xB OA1 -1 yC Pa ）当点P 在OC 边上时，如答图2－1所示，此时点E 与点O 重合． 设PE =a （0＜a ≤4），则PD =3＋a ，PF =22PD =22（3＋a ）．过点F 作FN ⊥y 轴于点N ，则FN =PN =22PF ，∴EN =|PN －PE |=|22PF －PE |．在Rt △EFN 中，由勾股定理得：EF =22FN EN +=222PF PF PE PE +⋅-．若PE =PF ，则a =22（3＋a ），解得a =3（2＋1）＞4，故此种情形不存在；若PF =EF ，则PF =222PF PF PE PE +⋅-，整理得PE =2PF ，即a =3＋a ，不成立，故此种情形不存在； 若PE =EF ，则PE =222PF PF PE PE +⋅-，整理得PF=2PE ，即22（3＋a ）=2a ，解得a =3．∴P 1（0，3）．b ）当点P 在BC 边上时，如答图2－2所示，此时PE =4．若PE =PF ，则点P 为∠OGD 的角平分线与BC 的交点，有GE =GF ，过点F 分别作FH ⊥PE 于点H ，FK ⊥x 轴于点K ， ∵∠OGD =135°，∴∠EPF =45°，即△PHF 为等腰直角三角形． 设GE =GF =t ，则GK =FK =EH =22t ，∴PH =HF =EK =EG ＋GK =t ＋22t ，∴PE =PH ＋EH =t ＋22t ＋22t =4，解得t =42－4，则OE =3－t =7－42，∴P 2（7－42，4）;c ）∵A （4，0），B （2，4），∴可求得直线AB 解析式为y =－2x ＋8； 联立y=－2x ＋8与y =x －3，解得x =311，y =32． 设直线BA 与直线l 交于点K ，则K （311，32）． 当点P 在线段BK 上时，如答图2－3所示．设P （a ，8－2a ）（2≤a ≤311），则Q （a ，a －3），∴PE =8－2a ，PQ =11－3a ，∴PF =22（11－3a ）．与a ）同理，可求得EF =222PF PF PE PE +⋅-．若PE =PF ，则8－2a =22（11－3a ），解得a =1－22＜0，故此种情形不存在；若PF =EF ，则PF =222PF PF PE PE +⋅-，整理得PE =2PF ，即8－2a =2•22（11－3a ），解得a =3，符合条件，此时P 3（3，2）； 若PE =EF ，则PE =222PF PF PE PE +⋅-，整理得PF =2PE ，即22（11－3a ）=2（8－2a ），解得a =5＞311，故此种情形不存在．d ）当点P 在线段KA 上时，如答图2－4所示．∵PE 、PF 夹角为135°，∴只可能是PE =PF 成立．∴点P 在∠KGA 的平分线上． 设此角平分线与y 轴交于点M ，过点M 作MN ⊥直线l 于点N ，则OM =MN ，MD =2MN ．由OD =OM ＋MD =3，可求得M （0，3－32）．又因为G （3，0），可求得直线MG 的解析式为y =（2－1）x ＋3－32．联立直线MG ：y =（2－1）x ＋3－32与直线AB ：y =－2x ＋8，可求得P 4（1＋22，6－42）．e ）当点P 在OA 边上时，此时PE =0，等腰三角形不存在．综上所述，存在满足条件的点P ，点P 坐标为（0，3）、（3，2）、（7－42，4）、（1＋22，6－42）． 11．【解析】（1）设所求抛物线的解析式为y =ax 2＋bx ＋c ，把A （6，0），B （3，3），C （1，3）三点坐标代入得：3660,933,3,ab ca b ca b c++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得3,1543,1543.5abc⎧=-⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩即所求抛物线解析式为y=－315x2＋4315x＋435；（2）如图1，依据题意得出：OC=CB=2，∠COA=60°，∴当动点Q运动到OC边时，OQ=4－t，∴△OPQ的边OP上的高为OQ×sin60°=（4－t）×32，又∵OP=2t，∴S=12×2t×（4－t）×32=－32（t2－4t）（2≤t≤3）；（3）根据题意得出0≤t≤3，当0≤t≤2时，Q在BC边上运动，此时OP=2t，OQ=23(3)t+-，PQ=23[2(3)]t t+--=23(33)t+-，∵∠POQ＜∠POC=60°，∴若△OPQ为直角三角形，只能是∠OPQ=90°或∠OQP=90°，若∠OPQ=90°，如图2，则OP2＋PQ2=QO2，即4t2＋3＋（3t－3）2=3＋（3－t）2，解得t1=1，t2=0（舍去）；若△OPQ为直角三角形，只能是∠OPQ=90°或∠OQP=90°，若∠OQP=90°，如图，3，则OQ2＋PQ2=PO2，即（3－t）2＋6＋（3t－3）2=4t2，解得t=2，当2＜t≤3时，Q在OC边上运动，此时QP=2t＞4，∠POQ=∠COP=60°，OQ＜OC=2，故△OPQ不可能为直角三角形，综上所述，当t=1或t=2时，△OPQ为直角三角形；（4）由（1）可知，抛物线y=－315x2＋4315x＋435=－315（x－2）2＋16315，其对称轴为x=2，又∵OB的直线方程为y=33x，∴抛物线对称轴与OB交点为M（2，233），又∵P（2t，0）设过P，M的直线解析式为y=kx＋b，∴232,320,k bk t b⎧=+⎪⎨⎪⨯+=⎩解得3,3(1)23.3(1)kttbt⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩即直线PM的解析式为y=33(1)t-x－233(1)tt-，即3（1－t）y=x－2t，又0≤t≤2时，Q（3－t，3），代入上式，得3（1－t）×3=3－t－2t，恒成立，即0≤t≤2时，P，M，Q总在一条直线上，即M在直线PQ上；当2＜t≤3时，OQ=4－t，∠QOP=60°，∴Q（42t-，3(4)2t-），代入上式得3(4)2t-×3（1－t）=42t-－2t，解得t=2或t=43（均不合题意，舍去）．∴综上所述，可知过点A、B、C三点的抛物线的对称轴OB和PQ能够交于一点，此时0≤t≤2．。
抛物线的几何变换
抛物线的几何变换抛物线是一种常见的曲线形状，它在几何学中有着重要的应用。
通过对抛物线进行几何变换，我们可以得到一系列有趣的结果和应用。
本文将就抛物线的几何变换进行详细探讨。
我们来讨论抛物线的平移变换。
平移是指将图形沿着平行于某个方向的直线移动一定的距离。
对于抛物线来说，平移变换可以使得抛物线在平面上的位置发生改变，但其形状和大小保持不变。
通过平移变换，我们可以将抛物线的顶点从原点移动到任意位置，从而得到不同位置的抛物线。
接下来，我们来探讨抛物线的缩放变换。
缩放是指改变图形的大小，使得图形的各个部分相对于原图形的位置保持不变。
对于抛物线来说，缩放变换可以使得抛物线的形状变得更加扁平或者更加瘦长。
通过缩放变换，我们可以调整抛物线的曲率和尺寸，从而满足不同的需求。
除了平移和缩放变换，我们还可以对抛物线进行旋转变换。
旋转是指将图形绕着某个点或者某个轴进行旋转，使得图形的各个部分相对于原图形的位置保持不变。
对于抛物线来说，旋转变换可以使得抛物线沿着顶点或者其他点进行旋转，从而改变抛物线的朝向和方向。
通过旋转变换，我们可以得到不同方向的抛物线，具有更多的应用场景。
我们还可以对抛物线进行镜像变换。
镜像是指通过某个直线将图形的各个部分对称翻转，使得图形的对称轴上的点保持不变。
对于抛物线来说，镜像变换可以使得抛物线关于某个直线对称，从而得到与原抛物线关于对称轴对称的抛物线。
通过镜像变换，我们可以得到一对关于对称轴对称的抛物线，具有更多的几何特性。
我们来谈论一下抛物线的平移、缩放、旋转和镜像的组合变换。
通过将这些变换结合起来，我们可以得到更加复杂的抛物线图形。
例如，我们可以先进行平移变换，将抛物线移动到指定位置，然后再进行缩放变换，调整抛物线的大小，最后进行旋转变换，改变抛物线的方向。
这样，我们可以得到一个全新的抛物线图形，具有丰富的几何特征。
抛物线的几何变换是一种有趣且实用的数学工具。
通过对抛物线进行平移、缩放、旋转和镜像变换，我们可以得到各种不同形状和特性的抛物线图形。
第17课时：抛物线与几何图形(3)
第17课时：抛物线与几何图形(3)班级_________ 姓名__________学号学习目标：经历探索抛物线与圆有关问题的过程，体会知识之间的相互联系，综合运用所学的知识，提高分析和解决问题的能力，感受数形结合等思想方法． 探索活动： 问题一．抛物线y ＝41x 2＋mx ＋n 经过点(0，23)与(4，23)． (1)求这条抛物线的解析式，并写出它的顶点坐标；(2)现有一半径为1，圆心P 在抛物线上运动的动圆，当⊙P 与坐标轴相切时，求圆心P 的坐标．问题二．如图，在直角坐标系中，⊙A 的半径为4，A 的坐标为(2，0)，⊙A 与x 轴交于E 、F 两点，与y 轴交于C 、D 两点，过点C 作⊙A 的切线BC 交x 轴于B ．(1)求直线BC 的解析式；(2)若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点在直线BC 上，与x 轴的交点恰为⊙A 与x 轴的交点，求抛物线的解析式； (3)试判断点C 是否在抛物线上，并说明理由．问题三．已知：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过原点(0，0)和A (1，－3)，B (－1，5)两点． (1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线与x 轴的另一个交点为C ，以OC 为直径作⊙M ，如果过抛物线上一点P 作⊙M 的切线PD ，切点为D ，且与y 轴的正半轴交点为E ，连结MD ，已知点E 的坐标为(0，m )，求四边形EOMD 的面积(用含m 的代数式表示)；(3)延长DM 交⊙M 于点N ，连结ON ，OD ，当点P 在(2)的条件下运动到什么位置时，能使得S 四边形PCMD ＝S △DON ，请求出此时点P 的坐标．问题四．如图，已知直线y ＝x ＋6交x 、y 轴于A 、C 两点，经过A 、O 两点的抛物线 y ＝ax 2＋bx (a ＜0)的顶点B 在直线AC 上. (1)求A 、C 两点的坐标；(2)求出抛物线的函数关系式；(3)以B 点为圆心，以AB 为半径作⊙B ，将⊙B 沿x 轴翻折得到⊙D ，试判断直线AC 与⊙D 的位置关系，并求出BD 的长；(4)若E 为⊙B 优弧ACO 上一动点，连结AE 、OE ，问在抛物线上是否存在一点M ，使 ∠MOA ︰∠AEO ＝2︰3，若存在，试求出点M第六章 二次函数B P ED M C O Axy课后作业：1、如图，P 是射线y ＝53x (x ＞0)上的一动点，以P 为圆心的圆与y 轴相切于C 点，与x 轴的正半轴交于A 、B 两点.(1)若⊙P 的半径为5，则P 点坐标是( ， )；A 点坐标是( ， )；以P 为顶点，且经过A 点的抛物线的解析式是 ；(2)在(1)的条件下，上述抛物线是否经过点C 关于原点的对称点D ，请说明理由；(3)试问：是否存在这样的直线l ，当P 在运动过程中，经过A 、B 、C 三点的抛物线的顶点都在直线l 上？若存在，请求出直线l 的解析式；若不存在，请说明理由.2、如图，直角坐标系中，O 为坐标原点，A 点坐标为(－3，0)，B 点坐标为(12，0)，以AB 的中点P 为圆心，AB 为直径作OP 与y 轴的负半轴交于点C ，抛物线2y ax bx c =++经过A 、B 、C 三点，其顶点为M 点． (1)求此抛物线的解析式；(2)设点D 是抛物线与⊙P 的第四个交点(除A 、B 、C 三点外)，求直线MD 的解析式； (3)判定(2)中的直线MD 是⊙P 的位置关系，并说明理由．3、如图，在平面直角坐标系中，已知点(B -，(0)A m，(0)m <，以AB 为边在x 轴下方作正方形ABCD ，点E 是线段OD 与正方形ABCD 的外接圆除点D 以外的另一个交点，连结BE 与AD 相交于点F ． (1)求证：BF ＝DO ；(2)设直线l 是BDO △的边BO 的垂直平分线，且与BE 相交于点G ．若G 是BDO △的外心，试求经过B F O ，，三点的抛物线的解析表达式；(3)在(2)的条件下，在抛物线上是否存在点P ，使该点关于直线BE 的对称点在x 轴上？若存在，求出所有这样的点的坐标；若不存在，请说明理由．例3、如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 点坐标为(－8，0)，B 点坐标为(2，0)以AB 的中点P 为圆心，AB 为直径作⊙P 与y 轴的负半轴交于点C .① 求图象经过A ，B ，C 三点的抛物线的解析式； ② 设M 点为①中抛物线的顶点，求出顶点M 的坐标和直线MC 的解析式； ③ 判定②中的直线MC 和⊙P 的位置关系，并说明理由；④ 过坐标原点O 作直线BC 的平行线OG ，与②中的直线MC 相交于点G ，连结AG ，求出点G 的坐标，并证明AG ⊥MC .三、学生练习1、如图，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，D 是抛物线上一点，其坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛-47,21，B 点坐标为(1，0).① 求抛物线的解析式；② 经过A 、B 、D 三点的圆交AC 于点F ，交直线y ＝x ＋3于点E .试判断△BEF 的形状，并加以证明.2、已知：半径为1的⊙O 1与X 轴交于A 、B 两点，圆心O 1的坐标为(2， 0)，二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象经过A 、B 两点，其顶点为F . (1)求 b 、c 的值及二次函数顶点F 的坐标；(2)写出将二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象向下平移1个单位再向左平移2个单位的图象的函数表达式；(3)经过原点O 的直线l 与⊙O 相切，求直线l 的函数表达式.3、已知一个二次函数的图象经过A (4，－3)，B (2，1)和C (－1，－8)三点. ① 求这个二次函数的解析式以及它的图象与x 轴的交点M ，N (M 在N 的左边)的坐标； ② 若以线段MN 为直径作⊙G ，过坐标原点O 作⊙G 的切线OD ，切点为D ，求OD 的长；③ 在直线OD 上是否存在点P ，使得△MNP 是直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由.问题三．如图，等边△ABC的边长为BC 边所在直线为x 轴，BC 的边上的高线AO所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系． (1)求过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；(2)设⊙P 是△ABC 的内切圆，点D 为y 轴上一动点，以D 点为圆心，3为半径的⊙D 与直线．．AB 、AC 都相切时，试判断⊙O 与⊙P 的位置关系，并简要说明理由；(3)若(2)中⊙P 的大小不变，圆心P 沿y 轴运动，设P 点坐标为(0，a )，则⊙P 与直线AB 、AC 有几种位置关系？并写出相应位置关系时，a 的取值范围．图4、如图，在直角坐标系中，以点A 为圆心，以x 轴相交于点BC ，，与y 轴相交于点DE ，.(1)若抛物线213y x bx c =++经过C D ，两点，求抛物线的解析式，并判断点B 是否在该抛物线上.(2)在(1)中的抛物线的对称轴上求一点P ，使得PBD △ 的周长最小.(3)设Q 为(1)中的抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上 是否存在这样的点M ，使得四边形BCQM 是平行四边形.若 存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.已知：如图，抛物线m x x y +-=332312与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，∠ACB ＝90°，⑴求m 的值及抛物线顶点坐标；⑵过A 、B 、C 的三点的⊙M 交y 轴于另一点D ，连结DM 并延长交⊙M 于点E ，过E 点的⊙M 的切线分别交x 轴、y 轴于点F 、G ，求直线FG 的解析式；⑶在条件⑵下，设P 为 CBD上的动点(P 不与C 、D 重合)，连结P A 交y 轴于点H ，问是否存在一个常数k ，始终满足AH ·AP ＝k ，如果存在，请写出求解过程；如果不存在，请说明理由.例1、如图，在平面直角坐标系中，以点M (0，1)为圆心，以2为半径作⊙M 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 、D 两点，连结AM 并延长交⊙M 于P 点，连结PC 交x 轴于E .(1)求出CP 所在直线的解析式； (2)连结AC ，求△ACP 的面积.(3)求出过A 、B 、C 三点的抛物线解析式(4)在过A 、C 、B 三点的抛物线上是否存在点Q ，使△ABQ 与△ABC 相似？(5)在过A 、C 、B 三点的抛物线上是否存在点Q ，使△ABQ 为等腰三角形？例3、如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为1的⊙O 分别交x 轴、y 轴于A 、B 、C 、D 四点，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点C 且与直线AC 只有一个公共点.(1)求直线AC 的解析式(2)求抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的解析式(3)点P 为(2)中y 轴左边抛物线上的点，由点P 作x 轴的垂线，垂足为点Q ，问：此抛物线上是否存在这样的点P ，使△PQB ~ADB ？若存在，求出PD三、学生练习1、已知抛物线2y ax bx c =++，经过点A (0，5)和点B (3 ，2)① 求抛物线的解析式：② 现有一半径为1，圆心P 在抛物线上运动的动圆，问⊙P 在运动过程中，是否存在⊙P 与坐标轴相切的情况？若存在，请求出圆心P 的坐标：若不存在，请说明理由； ③ 若⊙ Q 的半径为r ，点Q 在抛物线上、⊙Q 与两坐轴都相切时求半径r 的值2、OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点O 为原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，OA ＝10，OC ＝6．(1)如图，在AB 上取一点M ，使得△CBM 沿CM 翻折后，点B 落在x 轴上，记作B ′点，求B ′点的坐标；(2)求折痕CM 所在直线的解析式；(3)作B 'G //AB 交CM 于G ，若抛物线m x y +=261过点G ，求抛物线解析式，并判断以原点O 为圆心，OG 为半径的圆与抛物线除交点G 外，是否还有交点？若有，请直接写出交点坐标．3、已知抛物线21y ax bx =+-经过点A (－1，0)、B (m ，0)(m ＞0)，且与y 轴交于点C ． (1)求a 、b 的值(用含m 的式子表示)；(2)如图所示，⊙M 过A 、B 、C 三点，求阴影部分扇形的面积S (用含m 的式子表示)；(3)在x 轴上方，若抛物线上存在点P ，使得以A 、B 、P 为顶点的三角形与△ABC 相似，求m 值．。
直线与抛物线相关的一个性质及其应用
直线与抛物线相关的一个性质及其应用
直线与抛物线相关的一个性质及其应用
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直线与抛物线是几何图形中的两种重要图形，它们也有许多有趣的性质。
本文将介绍一种直线与抛物线的相关性质，以及它的应用。
一、直线与抛物线的性质
首先，我们先来了解一下直线与抛物线的性质。
首先，直线是一种几何图形，它由两个点组成，这两个点可以是一条实线，也可以是一条虚线，它的斜率是一定的，并且会受到外力的影响。
而抛物线则是一种函数图形，它的斜率是变化的，而不受外力的影响。
在几何中，我们可以将直线和抛物线联系在一起，当我们将抛物线投射到x-y坐标平面上时，抛物线的焦点是在x轴上的一点。
我们可以证明，该点到抛物线上任意一点的距离总是相同的，因此，可以将这个距离看作是一条直线，而这条直线就是抛物线所对应的焦点到抛物线上任意一点之间的距离。
二、直线与抛物线的应用
既然直线和抛物线之间有这样一个性质，那么它就会有实际的应用。
首先，在数学上，我们可以使用这一性质来求解抛物线上任意一个点到焦点之间的距离，这对于求解抛物线上某些重要特征有重
要意义。
其次，在工业界，这一性质也有很多应用。
例如，在机械工厂里，往往需要将工件在一定的距离内运动到另一个位置，此时就可以利用这一性质来实施运动。
三、总结
本文主要介绍了直线与抛物线之间的一个性质以及它的应用。
通过介绍我们可以看到，这一性质对于求解几何图形和工业界都有重要意义。
因此，我们应当多加关注这一性质，并将它运用于日常生活中。
抛物线的参数方程
抛物线的参数方程抛物线是一种常见的曲线，它可用于描述多种物理过程和实践应用，抛物线可以通过参数方程来描述。
一、什么是抛物线抛物线是一种曲线，是一条沿着y轴方向呈升高趋势的曲线，其本质是次曲线，也就是说，它的曲线方程前面的系数要比后面的系数的平方的多。
抛物线在学术应用上主要用于研究物理现象、物体运动、重力场中的现象等。
二、抛物线的平面参数方程抛物线的平面参数方程可以写为：$y=ax^2+bx+c$，其中$a$，$b$，$c$各为一个实数，当$a$不等于0时，$x$、$y$为参数，当$a$等于0时，抛物线变成一条直线，流形上可以看做是一条平滑的曲线，其解析式可以写为：$y=\frac{a}{3}x^3+\frac{b}{2}x^2+cx+d$，其中$a,b,c,d$各为一个实数。
三、抛物线的几何图形抛物线的几何图形有三种，如下：（1）$a>0$时，抛物线的几何图形是一条朝上的弓形曲线，即两端的点的坐标被定义为$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$，则$x_1<x_2$，$y_1>y_2$，我们可以认为该抛物线是从$(x_1,y_2)$开始升高然后又朝$(x_2, y_1)$下降。
（2）$a<0$时，抛物线的几何图形是一条朝下的弓形曲线，即两端的点的坐标被定义为$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$，则$x_1<x_2$，$y_1<y_2$，我们可以认为该抛物线是从$(x_1,y_2)$开始下降然后又朝$(x_2, y_1)$升高。
（3）$a=0$时，抛物线的几何图形变味一条水平的直线，其斜率也就是$b$是它的斜率，如果$b=0$，则它直接是一条朝水平的直线。
四、抛物线的应用（1）在物理学中，抛物线常用于研究物体在逃逸加速度下的运动轨迹，如火箭、投射物等；（2）在工程学中，抛物线可以用于研究凹凸曲线变型运动，相关工程中需要精确描述形状变化时，抛物线参数方程常常可以派上用场；（3）在统计学中，抛物线可以用于研究期望、经验分布等统计学概念，通过抛物线的参数方程可以将实际的统计数据拟合到抛物线模型中。
第15课时：抛物线与几何图形(1)
第15课时：抛物线与几何图形(1)班级_________ 姓名__________学号学习目标：利用三角形的相关性质，经历探索抛物线与三角形的关系，感受数形结合等思想方法．探索活动：问题一．(1)已知二次函数y＝ax2(a≥1)的图像上两点A、B的横坐标分别是－1、2，点O是坐标原点，如果△AOB是直角三角形，则△OAB的周长为．(2)设抛物线y＝x2＋b的顶点为M，与直线y＝6的两交点为A、B，若△AMB的面积为8，则b的值为．问题二．如图，抛物线经过A(－1，0)、B(0，3)、C(2，3)三点，且与y轴的另一个交点为E，D为顶点．(1)求抛物线的解析式；(2)P是y轴正半轴上一点，且△P AB是以AB为腰的等腰三角形，试求点P的坐标.(3)△AOE与△BDE是否相似，请说明理由．问题三．在平面直角坐标系中，AOB的位置如图所示，已知∠AOB＝90°，AO＝BO，点A 的坐标为(－3，1).(1)求点B的坐标.(2)求过A，O，B三点的抛物线的解析式；(3)设点B关于抛物线的对称轴l的对称点为B1，求ΔAB1B的面积. 问题四．已知抛物线mxxy+-=42与x轴交于A、B两点(B点在A点的左边)，与y轴的负半轴相交于点C．(1)求抛物线的对称轴和顶点坐标(用数或含m的代数式表示)；(2)若此函数的最小值为－9，求抛物线的解析式；(3)在(2)的抛物线上是否存在点P，使△AOP≌△COP？如果存在，请确定点P的位置，并求出点P的坐标：如果不存在，请说明理由．问题五．如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，平行四边形OABC的边OA在x轴上．∠B＝60°，OA＝6，OC＝4，D是BC的中点，延长AD交OC的延长线于点E．(l)画出△ECD关于边CD所在直线为对称轴的对称图形△E1CD，并求出点E1的坐标；(2)求经过C、E1、B三点的抛物线的函数表达式；(3)请探求经过C、E1、B三点的抛物线上是否存在点P．使以点P、B、C为顶点的三角形与△ECD相似，若存在这样的点P，请求出点P的坐标；若不存在这样的点P，请说明理由．第六章二次函数课后作业：1． 抛物线()2226y x =--的顶点为C ，已知3y kx =-+的图象经过点C ， 则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形的周长为 ． 2．在直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，抛物线２y=x -x-6与x 轴交于 A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴相交于点C .如果点M 在y 轴 右侧的抛物线上，AMO 2S 3COB S = 那么点M 的坐标是_________.3．如图，若Ａ(－１，０)、Ｂ(４，０)，∠ACB ＝90°， 求经过Ａ、Ｂ、Ｃ三点的抛物线的解析式。
第五课时 抛物线与几何图形面积 教学设计
通过学生的思考，学生上台展示，教师的讲解与总结，让学生掌握利用函数知识解决面积问题的方法
独立思考和体验，自我辩正，形成能力
本节课活动过程中的心得和体会，不断积累学习的经验，通过作业，了解学生学习的情况。
教学过程设计
问题与情境
出示第一张幻灯片，师生课前情感交流
教师出示第二张幻灯片，展示课前热身2个小题
2个小题由学生在2分钟时间内解决，由学生回答结果，教师给予评价
教师留时间给学生思考，可由学生举手讲解
教师出示例1的幻灯片，留时间给学生思考，然后由学生举手上台讲解，教师给予点评与总结
教师出示例2的幻灯片，同样留足够时间给学生思考，可由小组合作讨论，最后派代表举手发言，上台讲解，教师作出评价与总结
第五课时抛物线与几何图形面积教学设计
教
学
目
标
基础性目标
通过对动点的观察，掌握建立图形面积的函数关系式的方法，会求图形面积的最值。
发展性目标
培养学生分析问题，综合运用函数知识解决面积问题的能力。
融通性目标
通过师生合作，生生合作，让学生体会数学学习的乐趣，
改变中等生对压轴题的看法，通过与其他同学交流、活动，初步形成参与数学活动，主动与他人合作交流的意识。
（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．
【活动4】自我挑战
如图1，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数 的图像与y轴、x轴的交点，点B在二次函数 的图像上，且该二次函数图像上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．
教师带领学生一起分析，教师讲解压轴题的板书格式，学生领会
例举与函数相关的几例几何图形问题
例举与函数相关的几例几何图形问题函数与几何图形问题呈现了完美的结合，函数与几何密不可分，其中复杂的问题可以通过分析函数与几何之间的联系来解决。
下面介绍几个常见的函数与几何图形问题。
一、抛物线：抛物线是一种二元二次函数，它的定义式为：y = ax² + bx + c，它有一个最典型的图形，类似于一个“U”字型，许多科学问题都可以使用该图来描述和解决，抛物线是应用非常广泛的几何图形。
二、双曲线：双曲线是一种三元一次函数，它的定义式为：y² = ax² + bx + c，双曲线通常由两个半双曲线组成，是几何图形当中比较复杂的一种，其在科学研究中发挥重要的作用。
三、圆形：圆形是一种二元一次函数，它的定义式为：(x-a)²+(y-b)²=r²,即圆心（a,b）与半径（r）的函数形式，圆形的函数表达式非常简单，其曲线在理论上可用无穷条线段来逼近，也是几何图形中最重要的图形之一。
四、椭圆：椭圆是一种三元二次函数，它的定义式为：(x-a)²/a²+(y-b)²/b²=1,椭圆是一种比较复杂的几何图形，它和圆形相差较大，它的定义比较复杂，其在科学研究中发挥重要的作用。
五、曲面：曲面是一种三维函数，它的定义式为：z = f(x, y)，它是一种比较复杂的几何图形，其表面结构可以有多种样式，例如凸曲面、凹曲面等，曲面是应用非常广泛的几何图形之一。
总之，函数与几何图形问题是一个十分重要的课题，它们俩结合可以解决许多复杂的科学问题，上述就是常见的几种函数与几何图形问题，它们在科学研究中是扮演着重要的角色。
初中数学专题分类突破：抛物线中几何图形的最值问题
初中数学专题分类突破：抛物线中几何图形的最值问题 , 类型 1 线段的最值问题)例1图【例1】 如图所示，线段AB ＝10，点P 在线段AB 上，在AB 的同侧分别以AP ，BP 为边长作正方形APCD 和BPEF ，点M ，N 分别是EF ，CD 的中点，则MN 的最小值是__5__．变式 某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似抛物线y ＝1100x 2的形状．今在一个坡度为1∶5的斜坡上，沿水平距离间隔50米架设两个离地面高度为20米的塔柱(如图)，这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离是( B )变式图A ．12.75米B ．13.75米C ．14.75米D ．17.75米, 类型 2 线段和差的最值问题【例2】 如图所示，已知抛物线y ＝－x 2＋px ＋q 的对称轴为直线x ＝－3，过其顶点M 的一条直线y ＝kx ＋b 与该抛物线的另一个交点为N(－1，1)．若要在y 轴上找一点P ，使得PM ＋PN 最小，则点P 的坐标为( A )A ．(0，2)B.⎝⎛⎭⎪⎫0，53C.⎝⎛⎭⎪⎫0，43D.⎝⎛⎭⎪⎫0，32例2图变式图变式 如图所示，二次函数y ＝－x 2－3x ＋4的图象交x 轴于A ，B ，交y 轴于点C.点P 是抛物线的对称轴上一动点，若|PA －PC|的值最大，则点P 的坐标为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，10 ．, 类型 3 面积的最值问题【例3】 正方形OABC 的边长为4，对角线相交于点P ，抛物线l 经过O ，P ，A 三点，点E 是正方形内抛物线l 上的动点．则△OAE 与△OCE 面积之和的最大值是__9__．例3图变式图变式 如图所示，二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象经过点A(2，4)与B(6，0)． (1)a ＝__－12__，b ＝__3__；(2)点C 是该二次函数图象上A ，B 两点之间的一动点，横坐标为x(2＜x ＜6)，写出四边形OACB 的面积S 关于点C 的横坐标x 的函数表达式，并求S 的最大值．解：(1)将A(2，4)与B(6，0)代入y ＝ax 2＋bx ， 得⎩⎨⎧4a ＋2b ＝4，36a ＋6b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－12，b ＝3，变式答图(2)如图，过A作x轴的垂线，垂足为D(2，0)，连结CD，CB，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，S△OAD ＝12OD·AD＝12×2×4＝4；S△ACD ＝12AD·CE＝12×4×(x－2)＝2x－4；S△BCD ＝12BD·CF＝12×4×⎝⎛⎭⎪⎫－12x2＋3x＝－x2＋6x，则S＝S△OAD ＋S△ACD＋S△BCD＝4＋2x－4－x2＋6x＝－x2＋8x，∴S关于x的函数表达式为S＝－x2＋8x(2＜x＜6)．∵S＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16，∴当x＝4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16.1．（泸州中考）已知抛物线y＝14x2＋1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x轴第1题图的距离始终相等，如图，点M的坐标为(3，3)，P是抛物线y＝14x2＋1上一动点，则△PMF周长的最小值是( C)A．3 B．4 C．5 D．6第2题图2．如图所示，抛物线y＝－x2－2x＋3 的图象与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．(1)写出A，B，C三点的坐标：A(__－3__，__0__)，B(__1__，__0__)，C(__0__，__3__)．(2)点M为线段AB上一点(点M不与点A，B重合)，过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N.若点P 在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积．解：(2)由抛物线y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4可知，对称轴为直线x＝－1，设点M的横坐标为m，则PM＝－m2－2m＋3，MN＝(－m－1)×2＝－2m－2，∴矩形PMNQ的周长＝2(PM＋MN)＝2(－m2－2m＋3－2m－2)＝－2m2－8m＋2＝－2(m＋2)2＋10，∴当m ＝－2时矩形的周长最大．∵点A(－3，0)，C(0，3)，可求得直线AC 的函数表达式为y ＝x ＋3， 当x ＝－2时，y ＝－2＋3＝1，则点E(－2，1)， ∴EM ＝1，AM ＝1，∴S ＝12AM ·EM ＝12.第3题图3．（东营中考）如图所示，直线y ＝－33x ＋3分别与x 轴、y 轴交于B ，C 两点，点A 在x 轴上，∠ACB ＝90°，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过A ，B 两点．(1)求抛物线的解析式；(2)点M 是直线BC 上方抛物线上的一点，过点M 作MH⊥BC 于点H ，作MD∥y 轴交BC 于点D ，求△DMH 周长的最大值．解：(1)∵直线y ＝－33x ＋3分别与x 轴、y 轴交于B ，C 两点， ∴B(3，0)，C(0，3)， ∴OB ＝3，OC ＝3，∴BC ＝23， ∴∠CBO ＝30°，∠BCO ＝60°，∵∠ACB ＝90°，∴∠ACO ＝30°，∴AO ＝1，∴A(－1，0)． ∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3经过A ，B 两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋3＝0，9a ＋3b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－33，b ＝233，∴抛物线解析式为y ＝－33x 2＋233x ＋ 3. (2)∵MD∥y 轴，MH ⊥BC ，∴∠MDH ＝∠BCO＝60°，则∠DMH＝30°， ∴DH ＝12DM ，MH ＝32DM ，∴△DMH 的周长＝DM ＋DH ＋MH ＝DM ＋12DM ＋32DM ＝3＋32DM ，∴当DM 有最大值时，其周长有最大值， ∵点M 是直线BC 上方抛物线上的一点，∴可设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－33t 2＋233t ＋3，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，－33t ＋3，∴DM ＝－33t 2＋233t ＋3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－33t ＋3＝－33t 2＋3t ＝－33⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋334，∴当t ＝32时，DM 有最大值，最大值为334，此时3＋32DM ＝3＋32×334＝93＋98，即△DMH 周长的最大值为93＋98.第4题图4．已知：抛物线l 1：y ＝－x 2＋bx ＋3交x 轴于点A ，B(点A 在点B 的左侧)，交y 轴于点C ，其对称轴为x ＝1，抛物线l 2经过点A ，与x 轴的另一个交点为E(5，0)，交y 轴于点D ⎝⎛⎭⎪⎫0，－52. (1)求抛物线l 2的函数表达式；(2)M 为抛物线l 2上一动点，过点M 作直线MN ∥y 轴，交抛物线l 1于点N ，求点M 自点A运动至点E 的过程中，线段MN 长度的最大值．解：(1)∵抛物线l 1：y ＝－x 2＋bx ＋3的对称轴为x ＝1，∴－b－2＝1，解得b ＝2，∴抛物线l 1的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3，令y ＝0，可得－x 2＋2x ＋3＝0，解得x ＝－1或x ＝3， ∴A 点坐标为(－1，0)，∵抛物线l 2经过A ，E 两点， ∴可设抛物线l 2的解析式为y ＝a(x ＋1)(x －5)， 又∵抛物线l 2交y 轴于点D ⎝⎛⎭⎪⎫0，－52， ∴－52＝－5a ，解得a ＝12，∴y ＝12(x ＋1)(x －5)＝12x 2－2x －52，∴抛物线l 2的函数表达式为y ＝12x 2－2x －52.(2)由题意可设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，12x 2－2x －52，∵MN ∥y 轴，∴N(x ，－x 2＋2x ＋3)，令－x 2＋2x ＋3＝12x 2－2x －52，解得x ＝－1或x ＝113.①当－1＜x≤113时，MN ＝(－x 2＋2x ＋3)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －52＝－32x 2＋4x ＋112＝－32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －432＋496， 显然，－1＜43≤113，∴当x ＝43时，MN 有最大值496；②当113＜x≤5时，MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x －52－(－x 2＋2x ＋3)＝32x 2－4x －112＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －432－496，显然，当x ＞43时，MN 随x 的增大而增大，∴当x＝5时，MN有最大值，32×⎝⎛⎭⎪⎫5－432－496＝12.综上可知在点M自点A运动至点E的过程中，线段MN长度的最大值为12.。
抛物线与几何图形的综合
抛物线与几何图形的综合◆类型一二次函数与三角形的综合一、全等三角形的存在性问题1．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(1，－4)和(－2，5)，请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线与x轴的两个交点为A，B，与y轴交于点C.在该抛物线上是否存在点D，使得△ABC与△ABD全等？若存在，求出D点的坐标；若不存在，请说明理由．二、线段(或周长)的最值问题及等腰三角形的存在性问题2．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P的坐标；(3)点M也是直线l上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．◆类型二二次函数与平行四边形的综合3．如图，抛物线y＝ax2＋2ax＋c(a＞0)与y轴交于点C，与x轴交于A，B 两点，A点在B点左侧．若点E在x轴上，点P在抛物线上，且以A，C，E，P为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，抛物线y＝12x2＋x－32与x轴相交于A，B两点，顶点为P.(1)求点A，B的坐标；(2)在抛物线上是否存在点E，使△ABP的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；(3)坐标平面内是否存在点F，使得以A，B，P，F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F的坐标．◆类型三二次函数与矩形、菱形、正方形的综合5．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2－2x＋2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为________.第5题图第6题图6．如图，抛物线y ＝ax 2－x －32与x 轴正半轴交于点A(3，0)．以OA 为边在x 轴上方作正方形OABC ，延长CB 交抛物线于点D ，再以BD 为边向上作正方形BDEF.则a ＝，点E 的坐标是_________________．7.如图，对称轴为直线x ＝72的抛物线经过点A(6，0)和B(0，－4)．(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；(2)设点E(x ，y)是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式；(3)当(2)中的平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形．8．正方形OABC 的边长为4，对角线相交于点P ，抛物线l 经过O ，P ，A 三点，点E 是正方形内的抛物线l 上的动点．(1)建立适当的平面直角坐标系，①直接写出O ，P ，A 三点的坐标；②求抛物线l 的解析式；(2)求△OAE 与△OCE 面积之和的最大值．答案：。
2.4.2抛物线简单几何性质(3)
即当k 1，或k 1 时，方程组只有一个解， 2
即直线与抛物线只有一个公共点。
20由 0，即2k 2 k 1 0
分析:
解得1 k 1 . 2
直线与抛物线有两个 公共点时△>0
即当1 k 1 ,且k 0时，方程组有两个解， 2
即直线与抛物线有两个公共点。 分析:
变题3 : 设M (a,0)是抛物线y2 2 px
( p 0)的轴上的一个定点， 过M的 直线交抛物线于A(x1, y1)、B (x2, y2 )
两点,求证 : y1 y2与x1x2均为定值.
y A
OFx B
小结: 设而不求,联立方程组,韦达定理这是研
究直线和圆锥曲线的位置关系问题的重要方 法.
当k 1或k 1 时， 2
即直线与抛物线没有公共点。
注:在方程中,二次项系数含有k,所以要对k进行讨论
作图要点:画出直线与抛物线只有一个公共点时的情 形,观察直线绕点P转动的情形
变式一:已知抛物线方程y2=4x,当b为何值时,直线 l:y=x+b与抛物线(1)只有一个公共点(2)两个公共 点(3)没有公共点.当直线与抛物线有公共点时,b的 最大值是多少?
证明：以抛物线的对称轴为x轴，它的顶点为原点，
建立直角坐标系。设抛物线的方程为y2 2 px,
y
点A的坐标为(
y02 2p
,
y0
),则直线OA的方程为y
抛物线的准线是x p
2p y0
x,
A
2 联立可得点D的纵坐标为y
p2
.
因为点F的坐标是(
p
,0)
y0
,所以直线A
F的
2
抛物线载体下的几何图形
（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点 D，如果以点C为圆心 的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与OC的位置关系，并 给出证明； 【解题思路】分别求出圆的半径及圆心到直 线的距离即可判别直线与圆的位置关系
（ 3 ）在抛物线上是否存在一点 P ，使△ACP 是以 AC 为直角边的 三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
例4：（2013浙江舟山）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物
线 y x m2 m2 m 的顶点为A，与y轴的交点为B．连结AB，
1 4 1 4
AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD＝AC，连结BD．
作AE∥x轴，DE∥y轴． （1）当m＝2时，求点B的坐标； 【解题思路】将m＝2，x＝0直接代入二次函数 解析式，便可求得点B的纵坐标；
纵观近几年的中考试卷，在压轴题里面，以函数（特别是二次 函数）为载体，综合几何图形的题型是中考的热点和难点，这 类试题常常需要用到数形结合思想，转化思想，分类讨论思想 等，这类试题具有拉大考生分数差距的作用．它既突出考查了 初中数学的主干知识，又突出了与高中衔接的重要内容． 本课时主要研究抛物线与等腰三角形、直角三角形、相似三角 形、平行四边形的综合问题，解决这类试题的关键是弄清函数 与几何图形之间的联系，在解题的过程中，将函数问题几何化 ．同时能够学会将大题分解为小题，逐个击破．
②过点 D 作 AB 的平行线，与第（ 3 ）①题确定的函数图象的另 一个交点为 P，当 m 为何值时 ? 以A， B ， D，P为顶点的四边形是 平行四边形? 【解题思路】利用P点的坐标在第①问的函数 图象上，问题可获得解决.
例5：（2013广东湛江）如图，在平面直角坐标系中，顶点为 （3，4）的抛物线交y轴于A点，交 x轴于B、C两点（点B在点C的 左侧），已知A点坐标为（0，－5）． （1）求此抛物线的解析式；
第16课时：抛物线与几何图形(2)
第16课时：抛物线与几何图形(2)班级_________ 姓名__________学号学习目标：利用四边形的相关性质，经历探索抛物线与四边形的关系的过程，感受数形结合等思想方法． 探索活动：问题一．(1)已知抛物线1232-+=x x y 交x 轴于A 、B 两点(A 在B 左侧)，交y 轴于C 点，且在二次函数的第一象限内的图象上，有一动点P ，点P 在A ，C ，B 三点围成的四边形ACBP的面的面积为258，则点P 的坐标为 ( ) A 、1(1,2 B 、(1，32) C 、2(1,3D 、12(,)23(2)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋c (a ＜0) 正方形的三个顶点A 、B 、C ，则ac 的值是 .问题二．如图，在平面直角坐标中，抛物线的顶点P 到x 轴的距离是４，抛物线与x 轴相交于O 、M 两点，4OM =；矩形ABCD 的边BC 在线段的OM 上，点、在抛物线上．(1)请写出P 、M 两点坐标，并求这条抛物线的解析式；(2)设矩形ABCD 的周长为l ，求l 的最大值.问题三．如图， ABCD 在直角坐标系中的位置，O 是坐标原点，OB ∶OC ∶OA 1∶3∶5，S ＝12，抛物线经过D 、A 、B 三点.(1)求A 、C 两点的坐标； (2)求抛物线解析式；(3)E 是抛物线与DC 交点，以DE 且另两顶点中有一个顶点P 在抛物线上.求P 点的坐标.问题四．如图，已知抛物线L 1： y ＝x 2－4的图像与x 有交于A 、C 两点， (1)若抛物线l 2与l 1关于x 轴对称，求l 2的解析式；(2)若点B 是抛物线l 1上的一动点(B 不与A 、C 重合)，以AC 为对角线，A 、B 、C 三点为顶点的平行四边形的第四个顶点定为D ，求证：点D 在l 2上；(3)探索：当点B 分别位于l 1在x 轴上、下两部分的图像上时，平行四边形ABCD 的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由.问题五．已知，在Rt △OAB 中，∠OAB ＝90°，∠BOA ＝30°，AB ＝2.若以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B 在第一象限内.将Rt △OAB 沿OB 折叠后，点A 落在第一象限内的点C 处. (1)求点C 的坐标；(2)若抛物线y ＝ax 2＋bx (a ≠0)经过C 、A 两点，求此抛物线的解析式；(3)若抛物线的对称轴与OB 交于点D ，点P 为线段DB 上一点，过P 作y 轴的平行线，交抛物线于点M .问：是否存在这样的点P ，使得四边形CDPM 为等腰梯形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由.第六章 二次函数课后作业：1．如图，抛物线621212++-=x y 与x 轴交于 A 、B 两点，与y 轴相交于C 点． (1)求△ABC 的面积；(2)已知E 点(0，－3)，在第一象限的抛物线上取点D ，连结DE ，使DE 被x 轴平分，试判定四边形ACDE 的形状，并证明你的结论．2．如图，已知二次函数m mx y 42+-=的顶点坐标为(0，2)，矩形ABCD 的顶点B 、C 在x 轴上，顶点A 、D 在抛物线上，且在x 轴上方. (1)求二次函数解析式；(2)设A 点的坐标为(x ，y )，试求矩形ABCD 的周长P 关于自变量x 的函数关系式； (3)矩形ABCD 的周长能否为9？试证明你的结论.3．如图，已知二次函数图象的顶点坐标为()10C ，，直线y x m =+与该二次函数的图象交于A ，B 两点，其中A 点的坐标为()34，，B 点在y 轴上． (1)求m 的值及这个二次函数的解析式；(2)P 为线段AB 上的一个动点(点P 与A ，B 不重合)，过P 作x 轴的垂线与这个二次函数的图象交于E 点，设线段PE 的长为h ，点P 的横坐标为x ，求h 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(3)D 为直线AB 与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB 上是否存在一点P ，使得四边形DCEP 是平行四边形？若存在，请求出此时P 点的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，已知抛物线P ：y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0) 与x 轴交于A 、B 两点(点A 在x 轴的正半轴上)，与y 轴交于点C ，矩形DEFG 的一条边DE 在线段AB 上，顶点F 、G 分别在线段BC 、AC 上，抛物线P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：(1) 求A 、B 、C 三点的坐标；(2) 若点D 的坐标为(m ，0)，矩形DEFG 的面积为S ，求S 与m 的函数关系，并指出m 的取值范围；(3) 当矩形DEFG 的面积S 取最大值时，连接DF 并延长至点M ，使FM ＝k ·DF ，若点M 不在抛物线P 上，求k 的取值范围.y P D A Ex C O B。
高中数学《抛物线的简单几何性质》课件
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
答案
探究 3 抛物线中的定值、定点问题 例 3 已知抛物线 x2＝2py(p>0)，其焦点 F 到准线的距离为 1.过 F 作抛物 线的两条弦 AB 和 CD(点 A，C 在第一象限)，且 M，N 分别是 AB，CD 的中 点． (1)若 AB⊥CD，求△FMN 面积的最小值； (2)设直线 AC 的斜率为 kAC，直线 BD 的斜率为 kBD，且 kAC＋4kBD＝0，求 证：直线 AC 过定点，并求此定点．
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
答案
(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p2＋ x2＋p2＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9，
所以 x1＋x2＝6.于是线段 AB 的中点 M 的横坐标是 3，又准线方程是 x＝ －32，所以 M 到准线的距离等于 3＋32＝92.
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
解析
课堂互动探究
课前自主学习
课堂合作研究
随堂基础巩固
课后课时精练
探究 1 抛物线的简单几何性质 例 1 (1)已知抛物线 y2＝8x，求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称 轴、变量 x 的范围； (2)抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆 9x2＋4y2＝36 短轴所在的直 线，抛物线的焦点到顶点的距离为 3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．
又 F32，0，
所以直线 l 的方程为 y＝ 3x－32.
y2＝6x， 联立y＝ 3x－32，
消去 y 得 x2－5x＋94＝0.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝5，而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p2＋x2＋p2 ＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝5＋3＝8.
高考一轮复习 抛物线 知识点+例题+练习
自主梳理1．抛物线的概念平面内到一个定点F 和一条定直线l (F 不在l 上)的距离________的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的________，直线l 叫做抛物线的________．2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0) p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0x ＝0焦点 F (p2，0) F (－p2，0)F (0，p 2)F (0，－p2)离心率 e ＝1准线 方程 x ＝－p 2x ＝p 2 y ＝－p 2y ＝p 2 范围 x ≥0， y ∈R x ≤0， y ∈R y ≥0， x ∈R y ≤0， x ∈R 开口 方向向右向左向上向下自我检测1．抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是________．2．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为________．3．设抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程是________．4．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝________.5．已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过该抛物线焦点F 且不与x 轴垂直的直线AB 交抛物线于A 、B 两点，过点A 、点B 分别作AM 、BN 垂直于抛物线的准线，分别交准线于M 、N 两点，那么∠MFN ＝________.学生姓名 教师姓名班主任 日期时间段年级课时教学内容 抛物线复习教学目标 1.掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质. 2.理解数形结合的思想． 重点 同上 难点同上探究点一抛物线的定义及应用例1已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求P A ＋PF的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．变式迁移1已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为________．探究点二求抛物线的标准方程例2已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程．变式迁移2 根据下列条件求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点F 是双曲线16x 2－9y 2＝144的左顶点； (2)过点P (2，－4)．探究点三 抛物线的几何性质例3 过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的直线和抛物线相交于A ，B 两点，如图所示．(1)若A ，B 的纵坐标分别为y 1，y 2，求证：y 1y 2＝－p 2；(2)若直线AO 与抛物线的准线相交于点C ，求证：BC ∥x 轴．变式迁移3 已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦，F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．求证：(1)x 1x 2＝p 24；(2)1AF ＋1BF为定值．一、填空题1．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB 等于________．2．将两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n ，则n ＝________.3．已知抛物线y 2＝2px ，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是________．4．抛物线y 2＝x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________．5．设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 为抛物线上一点，若OA →·AF →＝－4，则点A 的坐标为________．6．设圆C 位于抛物线y 2＝2x 与直线x ＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C 的半径能取到的最大值为________．7．已知A 、B 是抛物线x 2＝4y 上的两点，线段AB 的中点为M (2,2)，则AB ＝________.8．设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点A (0，2)．若线段F A 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．二、解答题9．已知顶点在原点，焦点在x 轴上的抛物线截直线y ＝2x ＋1所得的弦长为15，求抛物线方程．10．已知抛物线C：x2＝8y.AB是抛物线C的动弦，且AB过F(0,2)，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明：AQ⊥BQ.轨迹方程自主梳理1．曲线的方程与方程的曲线如果曲线C 上点的坐标(x ，y )都是方程f (x ，y )＝0的解，且以方程f (x ，y )＝0的解(x ，y )为坐标的点都在曲线C 上，那么，方程f (x ，y )＝0叫做曲线C 的方程．曲线C 叫做方程f (x ，y )＝0的曲线．2．求曲线方程的一般方法(五步法)求曲线(图形)的方程，一般有下面几个步骤：(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标； (2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}； (3)用坐标表示条件p (M )，列出方程f (x ，y )＝0； (4)化方程f (x ，y )＝0为最简形式；(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．3．求曲线方程的常用方法：(1)直接法；(2)定义法；(3)代入法；(4)参数法．自我检测1．已知动点P 在曲线2x 2－y ＝0上移动，则点A (0，－1)与点P 连线中点的轨迹方程为______________．2．一动圆与圆O ：x 2＋y 2＝1外切，而与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8＝0内切，那么动圆的圆心P 的轨迹是__________________________________________________________________．3．已知A (0,7)、B (0，－7)、C (12,2)，以C 为一个焦点作过A 、B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是______________________．4．若M 、N 为两个定点且MN ＝6，动点P 满足PM →·PN →＝0，则P 点的轨迹方程为________．5．若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是__________________．探究点一 直接法求轨迹方程例1 动点P 与两定点A (a,0)，B (－a,0)连线的斜率的乘积为k ，试求点P 的轨迹方程，并讨论轨迹是什么曲线．变式迁移1 已知两点M (－2,0)、N (2,0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →||MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为______________．探究点二 定义法求轨迹方程例2 已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且O 1O 2＝4.动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．变式迁移2 在△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B ⎝⎛⎭⎫－a 2，0，C ⎝⎛⎭⎫a2，0，且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程为____________________________________．探究点三 相关点法(代入法)求轨迹方程例3 如图所示，从双曲线x 2－y 2＝1上一点Q 引直线x ＋y ＝2的垂线，垂足为N . 求线段QN 的中点P 的轨迹方程．变式迁移3 已知长为1＋2的线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，P是AB 上一点，且AP →＝22PB →.求点P 的轨迹C 的方程．一、填空题1．已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆的一个动点，如果M 是线段F 1P 的中点，则动点M 的轨迹是_________________________________________________________________．2．已知A 、B 是两个定点，且AB ＝3，CB －CA ＝2，则点C 的轨迹方程为______________．3．长为3的线段AB 的端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，AC →＝2CB →，则点C 的轨迹方程为____________．4．如图，圆O ：x 2＋y 2＝16，A (－2，0)，B (2,0)为两个定点．直线l 是圆O 的一条切线，若经过A 、B 两点的抛物线以直线l 为准线，则抛物线焦点所在的轨迹是________．5．P 是椭圆x 216＋y 29＝1上的动点，作PD ⊥y 轴，D 为垂足，则PD 中点的轨迹方程为____________．6．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足P A ＝2PB ，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于______．7．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长CD ＝3，则顶点A 的轨迹方程为______________．8．平面上有三点A (－2，y )，B ⎝⎛⎭⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为__________．二、解答题9．已知抛物线y2＝4px (p>0)，O为顶点，A，B为抛物线上的两动点，且满足OA⊥OB，如果OM⊥AB于点M，求点M的轨迹方程．10．已知椭圆C的中心为平面直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C的方程；(2)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的一点，OPOM＝λ，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．。
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辅导材料:抛物线与几何图形说明:抛物线与几何图形相结合的题目是考试的常考题型,同时也是考试的重点和难点.常见的题型有抛物线与平行四边形的结合、抛物线与等腰三角形的结合、抛物线与直角三角形的结合、抛物线与相似三角形的结合等等,其涉及到的知识点较多，知识点之间的综合性较强,故考生在平时应多给与关注,进行适量的练习,以期掌握这类题型的一般解决方法.抛物线与直角三角形的结合首先补充两个重要的知识点:（1）直角三角形的性质: 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.（2）对于两条直线:222111::b x k y l b x k y l +=+=若21l l ⊥,则121-=k k .注意 此结论通常用来求一次函数的解析式. 例如:直线1l 的解析式为2+-=x y ,直线2l 与1l 垂直,且直线2l 经过点)2,1(-,求直线2l 的解析式.解:由题意可设直线2l 为:b x y +=∵其图象经过点)2,1(-∴3,21-=-=+b b∴直线2l 的解析式为3-=x y .▲例 1.（2015.省实验中学）如图所示,抛物线cbxxy++=2与直线1-=xy交于A、B两点,点A的纵坐标为4-,点B在y轴上,直线AB与x轴交于点F,点P 是线段AB下方的抛物线上一动点,横坐标为m,过点P作PC x⊥轴于C,交直线AB于D.（1）求抛物线的解析式;（2）当m取何值时,线段PD的长度取得最大值,其最大值是多少?（3）是否存在点P,使△PAD是直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.yxDC ABOFPyx备用图DCABOFP提示: 要求会在平面直角坐标系中求一条线段的长度._____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________▲例2.（2015.连云港）如图,已知一条直线过点( 0 , 4 ),且与抛物线241x y =交于A 、B 两点,其中点A 的横坐标是2-.（1）求这条直线的函数关系式及点B 的坐标; （2）在x 轴上是否存在点C,使得△ABC 是直角三角形?若存在,求出点C 的坐标,若不存在,请说明理由;（3）过线段AB 上一点P,作PM//x 轴,交抛物线于点M,点M 在第一象限,点N 为( 0 , 1),当点M 的横坐标为何值时,MN ＋3MP 的长度最大?最大值是多少? y x NA B P M yx备用图NA BP M提示: 要求会熟练使用勾股定理和两点间的距离公式.__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________▲例3.如图,直线2+=x y 与抛物线)0(62≠++=a bx ax y 相交于点A ⎪⎭⎫ ⎝⎛25,21和点B ),4(m ,点P 是线段AB 上异于A 、B 的动点,过点P 作PC x ⊥轴于点D,交抛物线于点C.（1）求抛物线的解析式;（2）求△PAC 为直角三角形时点P 的坐标. x y C D A BE OP x y备用图C D AB E O P要点提示: 解决运动变化中的等腰三角形和直角三角形的存在性问题,首先要明确已知条件对图形的限定,然后进行分类讨论,分别画出符合要求的图形,再进行求解.__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________▲例4.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC 的三个顶点为O( 0 , 0 )、A( 0 , 8 )、C( 6 , 0 ),抛物线c bx x y ++-=294经过点A 、C,与边AB 交于点D.动点P 从点C 出发沿CB 方向以每秒21个单位的速度向点B 运动,同时,点Q 从点A 出发沿AC 方向以每秒1个单位的速度向点C 运动,设运动时间为t 秒（100<<t ）,连结PQ.（1）求抛物线的解析式;（2）设△CPQ 的面积为S ,求S 关于t 的函数关系式,并求t 为何值时,S 取得最大值;（3）当△CPQ 的面积S 取最大值时,在抛物线c bx x y ++-=294的对称轴l 上,是否存在点M,使△DMQ 为直角三角形,若存在,请直接写出所有符合条件的点M 的坐标;若不存在,请说明理由. x yD B A C O QP备用图要点提示:在讨论直角三角形的存在性问题时,应分为三种情况:每个内角为直角. ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________▲例 5.如图,抛物线c bx ax y ++=2经过点)4,0()0,3(C A 、-,点B 在抛物线上,CB//x 轴,且AB 平分∠CAO.（1）求抛物线的解析式;（2）线段AB 上有一动点P,过P 作y 轴的平行线,交抛物线于点Q,求线段PQ 的最大值;（3）抛物线的对称轴上是否存在点M,使△ABM 是以AB 为直角边的直角三角形?如果存在,直接写出点M 的坐标;如果不存在,说明理由. x y B C AO___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________抛物线与等腰三角形的结合当讨论一个等腰三角形的存在性问题时,也应分三种情况进行讨论:每条边作一次底边.在解决问题时,往往会用到等腰三角形“三线合一”的性质以及勾股定理.●例6.如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(4,0)、C(8,0)、D(8,8).抛物线bxax=2过A、C两点.y+（1）直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;（2）动点P从点A出发,沿线段AB向终点B运动,同时点Q从点C出发,沿线段CD向终点D运动,速度均为每秒1个单位长度,运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.①过点E作EF⊥AD于点F,交抛物线于点G.当t为何值时,线段EG最长?②连结EQ.在点P、Q运动的过程中,判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?直接写出相应的t值._____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________●例7.如图,抛物线n mx x y ++-=221与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C,抛物线的对称轴交x 轴于点D.已知A )0,1(-,C )2,0(.（1）求抛物线的表达式;（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出P 点的坐标;如果不存在,请说明理由;（3）点E 是线段BC 上的一个动点,过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E 运动到什么位置时,四边形CDBF 的面积最大?求出四边形CDBF 的最大面积及此时E 点的坐标. y x C D B A O yx备用图CD B A O____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________●例8.如图,在平面直角坐标系中,抛物线32-+=bx ax y 与x 轴交于点A )0,1(-,B )0,3(两点,直线2-=x y 与x 轴交于点D,与y 轴交于点C.点P 是x 轴下方的抛物线上一动点,过点P 作PF x ⊥轴于点F,交直线CD 于点E.设点P 的横坐标为m .（1）求抛物线的解析式;（2）若PE = 3EF,求m 的值;（3）连结PC,是否存在点P,使△PCE 为等腰直角三角形?若存在,请直接写出相应的点P 的横坐标m 的值;若不存在,请说明理由. x y EFD A B C OP xy备用图E F D A B C O P____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________●例9.如图,抛物线c bx x y ++-=22交x 轴于点A 、B,交y 轴于点C,直线62+=x y 过点A 和点C.（1）求抛物线的解析式;（2）点P 是该二次函数在第一象限的图象上一动点,连结AP 、CP,求△PAC 面积的最大值;（3）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M,在对称轴上是否存在点R,使△CMR 为等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点R 的坐标;若不存在,请说明理由. y x 图1AC O B y x 图2AC O B yx备用图ACO B____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________●例10.如图,已知抛物线bx ax y +=2过点( 2 , 0 ),且顶点A 的纵坐标为1.过抛物线上一点P 向直线45=y 作垂线,垂足为点Q.点B 在抛物线的对称轴上,点B 的纵坐标为43.直线45=y 与抛物线的对称轴交于点C. （1）求抛物线的解析式;（2）若BQ=PQ,求点P 的坐标,并判断此时△PBQ 是不是等边三角形,请说明理由;（3）在抛物线上是否存在点P,使PQ=PB 成立?若存在,请直接写出点P 的坐标或点P 的运动范围;若不存在,请说明理由.备用图抛物线与特殊四边形的结合。