数列的概念及表示PPT课件
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《数列概念》课件
《数列概念》PPT课件
数列是一系列按一定规律排列的数值。本课件将介绍数列的基本概念，不同 类型的数列，以及数列的应用。
什么是数列
数列是一系列按照特定规律排列的数值，可以通过公式或递推关系来表示。 数列的概念在数学和实际生活中都有广泛的应用。
数列的基本形式
1 等差数列
数列中的每个数与它前一个数之差相等。
等差数列的求和公式
求和公式：Sn = n/2[2A1 + (n-1)d]，其中Sn表示前n项和，A1表示第一项，d 表示公差。
等比数列
等比数列是一种数列，其中每个数与它前一个数之比相等。可使用通项公式和求和公式来计算等比数列 的任意项和总和。
等比数列的通项公式
通项公式：An = A1 * r^(n-1)，其中An表示第n项，A1表示第一项，r表示公比。
单调有界数列的极限
根据单调有界数列的性质，可以推导出单调有界数列必定存在极限。极限可以是数列的最大值或最小值。
数列的应用
数列不仅在数学中有广泛应用，还在其他学科和实际生活中有很多应用，如 物理学、经济学、生态学等。
数列在物理学中的应用
物理学中的许多自然现象可以用数列来描述和解释，如运动轨迹、震动频率、 量子力学等。数列为解决实际问题提供了重要数学工具。
斐波那契数列的递推公式
递推公式：F(n) = F(n-1) + F(n-2) (n > 2)。
斐波那契数列的通项公式
通项公式：F(n) = (phi^n - (-phi)^(-n)) / sqrt(5)，其中phi = (1 + sqrt(5)) / 2。
序列的极限
极限是数列中数值随着项数无限增加时的趋势或稳定值。极限理论既是数学学科中的重要内容，也有广 泛的应用。
数列ppt课件
判断一个数列是否为混合数列；
详细描述 利用混合数列的性质进行计算； 求混合数列的前n项和。
05
数列的发展历史与未来展望
数列的发展历史
中世纪数列
随着欧洲中世纪的数学发展，数 列研究逐渐丰富，如斐机技术的发展，数列的 应用领域不断扩大，如组合数学 、概率论和统计学等。
递推公式的求解方法
可以通过迭代法、特征根法、归纳法等方法求解递推公式。
03
数列的应用
数列在数学分析中的应用
数学分析基础
数列是数学分析中的基本概念， 是研究连续函数的基础。通过数 列，可以理解函数的极限、连续 性和可微性等基本性质。
级数理论
数列在级数理论中有着重要的应 用。通过数列的收敛性，可以研 究无穷级数的和，以及其在数学 分析中的各种应用。
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判断一个数列是否为等差数列。
等比数列习题与解析
总结词：等比数列是数列中的重要类 型，其习题主要考察等比数列的定义
、通项公式和性质等知识点。
详细描述
求等比数列的通项公式；
求等比数列的前n项和； 利用等比数列的性质进行计算；
判断一个数列是否为等比数列。
混合数列习题与解析
总结词：混合数列是由等差数列和等比数列混合而成的 数列，其习题主要考察混合数列的定义、通项公式和性 质等知识点。 求混合数列的通项公式；
数列的习题与解析
等差数列习题与解析
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总结词：等差数列是数列中的基础类型，其习题主要考察 等差数列的定义、通项公式和性质等知识点。
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求等差数列的通项公式；
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求等差数列的项数；
详细描述 利用混合数列的性质进行计算； 求混合数列的前n项和。
05
数列的发展历史与未来展望
数列的发展历史
中世纪数列
随着欧洲中世纪的数学发展，数 列研究逐渐丰富，如斐机技术的发展，数列的 应用领域不断扩大，如组合数学 、概率论和统计学等。
递推公式的求解方法
可以通过迭代法、特征根法、归纳法等方法求解递推公式。
03
数列的应用
数列在数学分析中的应用
数学分析基础
数列是数学分析中的基本概念， 是研究连续函数的基础。通过数 列，可以理解函数的极限、连续 性和可微性等基本性质。
级数理论
数列在级数理论中有着重要的应 用。通过数列的收敛性，可以研 究无穷级数的和，以及其在数学 分析中的各种应用。
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判断一个数列是否为等差数列。
等比数列习题与解析
总结词：等比数列是数列中的重要类 型，其习题主要考察等比数列的定义
、通项公式和性质等知识点。
详细描述
求等比数列的通项公式；
求等比数列的前n项和； 利用等比数列的性质进行计算；
判断一个数列是否为等比数列。
混合数列习题与解析
总结词：混合数列是由等差数列和等比数列混合而成的 数列，其习题主要考察混合数列的定义、通项公式和性 质等知识点。 求混合数列的通项公式；
数列的习题与解析
等差数列习题与解析
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总结词：等差数列是数列中的基础类型，其习题主要考察 等差数列的定义、通项公式和性质等知识点。
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求等差数列的通项公式；
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求等差数列的项数；
人教版高中数学必修5(A版) 2.1数列的概念与简单表示法 PPT课件
2.1数列的概念与简单表示法
如图表示堆放的钢管，共堆放了6层。自上而下各 层的钢管数排列成一列数：
5，6，7，8，9，10
自然数 1，2，3，4，5， …的倒数排列成一列数：
1
1
1
1
1 ，2 ， 3 ，4， 5， …
-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…排列成一 列数：
-1 ，1，-1，1，-1，1，…
一、定义
像前面的例子中，按一定次序排列的一列数 叫做数列。数列中的每一个数叫做这个数列的项， 各项依次叫做这个数列的第一项（或首项），第 二项，…，第n项， …。 问：下面二列数是否为同一数列？
1，2，3，4，5 5，4，3，2，1
结论：因其排列次序不同，故不是同一数列。
项数有限的数列叫做有穷数列。 项数无限的数列叫做无穷数列。
(2) 在通项公式中依次 n = 1, 2, 3, 4, 5,得到数 列{an} 的前5项为
-1,
2,
-3,
4,
-5.
例题2 写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别 是下列各数： （1 ） 1 ， 3 ， 5 ， 7 ； （2 ）
1 1 1 1 1 2 ， 2 3， 3 4， 4 5。
解：（1） an=2n-1; (2)
这告诉我们：无穷(有穷)数列可以看作一个定义 域为自然数集N（N的有限子集）的函数当自变量从 小到大依次取值时对应的一列函数值。
二、数列的三种表示方法 ⑴一般表示法 a1 , a2 , a3 , … an , …
其中 an 表示数列的第n项。有时我们把上 面的数列简记为{an}. 例如：把数列
2，4，6，8，10， … ① 4，5，6，7， 8 ， … ② 分别简记为 {2n} {n+3}
如图表示堆放的钢管，共堆放了6层。自上而下各 层的钢管数排列成一列数：
5，6，7，8，9，10
自然数 1，2，3，4，5， …的倒数排列成一列数：
1
1
1
1
1 ，2 ， 3 ，4， 5， …
-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…排列成一 列数：
-1 ，1，-1，1，-1，1，…
一、定义
像前面的例子中，按一定次序排列的一列数 叫做数列。数列中的每一个数叫做这个数列的项， 各项依次叫做这个数列的第一项（或首项），第 二项，…，第n项， …。 问：下面二列数是否为同一数列？
1，2，3，4，5 5，4，3，2，1
结论：因其排列次序不同，故不是同一数列。
项数有限的数列叫做有穷数列。 项数无限的数列叫做无穷数列。
(2) 在通项公式中依次 n = 1, 2, 3, 4, 5,得到数 列{an} 的前5项为
-1,
2,
-3,
4,
-5.
例题2 写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别 是下列各数： （1 ） 1 ， 3 ， 5 ， 7 ； （2 ）
1 1 1 1 1 2 ， 2 3， 3 4， 4 5。
解：（1） an=2n-1; (2)
这告诉我们：无穷(有穷)数列可以看作一个定义 域为自然数集N（N的有限子集）的函数当自变量从 小到大依次取值时对应的一列函数值。
二、数列的三种表示方法 ⑴一般表示法 a1 , a2 , a3 , … an , …
其中 an 表示数列的第n项。有时我们把上 面的数列简记为{an}. 例如：把数列
2，4，6，8，10， … ① 4，5，6，7， 8 ， … ② 分别简记为 {2n} {n+3}
必修5课件2.1数列的概念及其表示
"一尺之棰,日取其半, 万世不竭 的意思为: 一尺长的木棒 每 " , 日取其一半 永远也取不完.如果将 "一尺之棰" 视为一份, 那 , 么每日剩下的部分依次 为 1 1 1 1 4 1, , , , , . 2 4 8 16 8 某种树木第1 年长出幼枝, 第2 年幼枝 5 长成粗干, 第3 年粗干可生出幼枝 (如 3 图 ), 那么按照这个规律, 各年树木的 2 1 枝干数依次为 1 5 1, 1, 2, 3, 5 , 8 , .
对应,因此, 数列可以看成以正整数集 定义域 的函 数 an f n ,当自变 量 按 照 从 小 到大的 顺 序 依 次取 值时, 所 对应的一列函 数 值 . 反过来, 对于函
数 y f x , 如果 f i i 1, 2, 3 , 有 f 1, f 2, f 3, , f n , .
意义, 那么我们可以得到一个数列
例1 已知数列的第n 项为2n 1, 写出这个数列的 首项、第2 项和第3 项.
解 首项为
a1 2 1 1 1 ;
第2 项为 a2 2 2 1 3 ; 第3 项为 a3 2 3 1 5 .
一般地, 如果数列 an 的第 n 项与序号 n 之间的关系 可以用一个公式来表示, 那么这个公式叫做这个数 列的通项公式 ( the formula of general term ).
2这个数列的奇数项是 0 , 偶数项是 2 , n 所以它的一个通项公式 是 an 1 1 .
写出数列的通项公式, 就是寻找 an与n 的对应关系 an f n .
n n an n 1
an
1 1 2
1 2
2023版高考数学一轮总复习6-1数列的概念及表示课件
an
3.结合相应函数的图象直观判断.
例3
(1)已知数列{an}满足an=
(3 an5
a)n 2, , n 6,
n
6,
且{an}是递增数列,则实数a
2)an=
SS1n(n
1), Sn1 (n
2).
考法一 利用Sn与an的关系求通项公式 1.已知Sn求an的步骤: 1)先利用a1=S1求出a1. 2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n ≥2时an的表达式. 3)对n=1时的结果进行检验,看是否符合n≥2时an的表达式,若符合,则数列 的通项公式合写;若不符合,则应该分n=1与n≥2两段来写.
=n+3× (n 1) n = (3n 1)n ,
2
2
∴a10=
(3
1021)来自10=145.故选B.
答案 B
考法三 数列的单调性和最大(小)项 1.用作差比较法,根据an+1-an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列 或常数列.
2.用作商比较法,根据 an1 (an>0或an<0)与1的大小关系进行判断.
2.数列的性质
递增数列 递减数列 常数列 摆动数列
周期数列
∀n∈N*,an+1>an ∀n∈N*,an+1<an ∀n∈N*,an+1=an 从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于 它的前一项的数列 ∀n∈N*,存在正整数k,使得an+k=an
3.数列的通项公式和递推公式 1)通项公式:如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个式子 an=f(n)来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 2)递推公式:如果已知数列{an}的第一项(或前几项),且从第二项(或某一 项)开始,任何一项an与它的前一项an-1(n≥2)(或前几项)间的关系可以用一 个式子来表示,那么这个式子叫做数列{an}的递推公式. 4.数列{an}的前n项和及其与通项公式的关系 1)Sn=a1+a2+…+an.
3.结合相应函数的图象直观判断.
例3
(1)已知数列{an}满足an=
(3 an5
a)n 2, , n 6,
n
6,
且{an}是递增数列,则实数a
2)an=
SS1n(n
1), Sn1 (n
2).
考法一 利用Sn与an的关系求通项公式 1.已知Sn求an的步骤: 1)先利用a1=S1求出a1. 2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n ≥2时an的表达式. 3)对n=1时的结果进行检验,看是否符合n≥2时an的表达式,若符合,则数列 的通项公式合写;若不符合,则应该分n=1与n≥2两段来写.
=n+3× (n 1) n = (3n 1)n ,
2
2
∴a10=
(3
1021)来自10=145.故选B.
答案 B
考法三 数列的单调性和最大(小)项 1.用作差比较法,根据an+1-an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列 或常数列.
2.用作商比较法,根据 an1 (an>0或an<0)与1的大小关系进行判断.
2.数列的性质
递增数列 递减数列 常数列 摆动数列
周期数列
∀n∈N*,an+1>an ∀n∈N*,an+1<an ∀n∈N*,an+1=an 从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于 它的前一项的数列 ∀n∈N*,存在正整数k,使得an+k=an
3.数列的通项公式和递推公式 1)通项公式:如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个式子 an=f(n)来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 2)递推公式:如果已知数列{an}的第一项(或前几项),且从第二项(或某一 项)开始,任何一项an与它的前一项an-1(n≥2)(或前几项)间的关系可以用一 个式子来表示,那么这个式子叫做数列{an}的递推公式. 4.数列{an}的前n项和及其与通项公式的关系 1)Sn=a1+a2+…+an.
中职数学数列的基本知识ppt课件
中职数学数列的基本知识ppt课件目录•数列基本概念与性质•数列求和与通项公式•数列递推关系与性质•数列极限与收敛性判断•数列在实际问题中应用举例PART01数列基本概念与性质数列定义数列表示方法数列的项通常用带下标的字母来表示数列，如{an}。
数列中的每一个数都叫做数列的项。
0302 01数列定义及表示方法按照一定顺序排列的一列数。
等差数列性质任意两项之差为常数。
从第一项开始，依次成等差数列的若干个数的和等于项数乘以中间项。
中间项等于首尾两项和的一半。
等差数列定义：从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列。
等比数列定义：从第二项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数的一种数列。
等比数列性质任意两项之比为常数。
中间项的平方等于首尾两项的乘积。
从第一项开始，依次成等比数列的若干个数的积等于首项乘以末项再乘以公比的次幂。
算术数列几何数列调和数列混合数列常见数列类型及特点01020304每一项与前一项的差为常数，如1, 3, 5, 7,...每一项与前一项的比为常数，如2, 4, 8, 16,...每一项的倒数成等差数列，如1, 1/2, 1/3, 1/4,...不具有明显规律的数列，需要通过其他方法进行分析和处理。
PART02数列求和与通项公式等差数列求和公式推导通过倒序相加法或错位相减法推导等差数列求和公式。
等差数列求和公式应用利用等差数列求和公式解决与等差数列相关的问题，如计算前n项和、求某一项的值等。
等比数列求和公式推导通过错位相减法或等比数列的性质推导等比数列求和公式。
等比数列求和公式应用利用等比数列求和公式解决与等比数列相关的问题，如计算前n 项和、求某一项的值等。
通过观察数列的前几项，找出数列的通项公式。
观察法根据已知的递推关系式，逐步推导出数列的通项公式。
递推法通过设定未知数，建立方程组，求解得到数列的通项公式。
待定系数法通项公式求解方法典型例题解析已知等差数列的前n项和为Sn，且S10=100，S20=300，求S30。
数列(共84张PPT)
Leabharlann 3.2等差数列及其通项公式
观察
在自然数集N中，能被2整除的数称为偶数.按照从小到大的次序写出偶数：
0，2，4，6，8，10，12，16， ⋯ .
偶数数列的第1项是0，从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等于2.
3.2
等差数列及其通项公式
抽象
定义
如果一个数列从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等
由已知，4 = 7，9 = 22，根据通项公式得
1 + 4 − 1 = 7，
ቊ
1 + 9 − 1 = 22.
整理，得
1 + 3 = 7，
ቊ
1 + 8 = 22.
解得
1 = −2， = 3.
因此
20 = −2 + 20 − 1 × 3 = 55.
即第20项是55.
1.2
如果一个数列的第项能用它前面若干项的表达式来表示，那么把
这个表达式称为这个数列的递推公式.
公式（2）是斐波那契数列的递推公式，1 ，2 称为初始项．
3.1
例 1
数列的概念
己知下述数列的通项公式，分别求出它们的前4项：
（1） = 3 + 1；
（2） =
1
；
（3） =
1
；
2
（4） = −1
= 1 + ，
⋯，
−2 + 3 = 1 + − 2 − 1 + 1 + − 2 − 1 −
= 1 + ，
−1 + 2 = 1 + − 1 − 1 + + − 1 − 1 −
观察
在自然数集N中，能被2整除的数称为偶数.按照从小到大的次序写出偶数：
0，2，4，6，8，10，12，16， ⋯ .
偶数数列的第1项是0，从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等于2.
3.2
等差数列及其通项公式
抽象
定义
如果一个数列从第2项起，每一项减去它前面一项所得的差都等
由已知，4 = 7，9 = 22，根据通项公式得
1 + 4 − 1 = 7，
ቊ
1 + 9 − 1 = 22.
整理，得
1 + 3 = 7，
ቊ
1 + 8 = 22.
解得
1 = −2， = 3.
因此
20 = −2 + 20 − 1 × 3 = 55.
即第20项是55.
1.2
如果一个数列的第项能用它前面若干项的表达式来表示，那么把
这个表达式称为这个数列的递推公式.
公式（2）是斐波那契数列的递推公式，1 ，2 称为初始项．
3.1
例 1
数列的概念
己知下述数列的通项公式，分别求出它们的前4项：
（1） = 3 + 1；
（2） =
1
；
（3） =
1
；
2
（4） = −1
= 1 + ，
⋯，
−2 + 3 = 1 + − 2 − 1 + 1 + − 2 − 1 −
= 1 + ，
−1 + 2 = 1 + − 1 − 1 + + − 1 − 1 −
数列的概念和简单表示法ppt
递增性
总结词
数列的各项按照从小到大的顺序排列。
详细描述
递增性指的是数列中的每一项都比前一项大，即数列按照从小到大的顺序排列。 例如，一个递增的整数数列可以是1，2，3，4，5，…。
递减性
总结词
数列的各项按照从大到小的顺序排列。
详细描述
递减性指的是数列中的每一项都比后一项小，即数列按照从大到小的顺序排 列。例如，一个递减的整数数列可以是5，4，3，2，1，…。
2023
数列的概念和简单表示法
目录
• 数列的定义和分类 • 数列的表示法 • 数列的特性 • 数列的简单运算 • 数列的扩展知识 • 数列的应用案例
01
数列的定义和分类
数列的定义
数列是一种特殊的函数，它按照顺序排列一组实数。 数列的第一个数叫做首项，最后一个数叫做末项。
数列中的每一个数叫做项，而每个项与它前面的那个 数的差叫做公差。
数列的极限和收敛性
数列的极限
如果当n趋向无穷大时，数列的项无限接近某个常数a，则称a为该数列的极限。
数列的收敛性
如果一个数列存在极限，则称该数列为收敛数列。
06
数列的应用案例
数列在金融领域的应用
复利计算
01
数列常用于计算投资收益的复利，如等比数列的求和公式被广
泛应用于计算累计利息。
风险评估
02
等差数列的性质
等差数列的任意一项都等于其首项加上一个常数，即第n 项a_n=a_1+(n-1)d，其中d为公差。
等比数列的概念和性质
等比数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比等于同一个常数，这个数列 就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比。
等比数列的性质
数列概念及其表示.ppt
23
易错点：
对于数列{an}，
若第 n 项最大，则aann≥≥aann－＋11，，
而不是an>an－1， an>an＋1.
24
例题讲解
题型四 单调性分析 例 4. 已知 an＝9n·1n0＋n 1(n∈N*)，则数列{an}中有没有最 大项？如果有，求出最大项；如果没有，请说明理由． [错解] 设 an 最大(n≥2)，
1. 已 知 函 数 f (x) log 2 x log x 4, (0 x 1) ， 数 列 {an} 满 足
f (2an ) 2n
(1)求 an； (2)判断数列{an}的单调性。
28
2. 数列{an}满足 an n2 kn 1是增数列，求 k 的取值范围。
3.
数列{an}满足 an
题型三 数列递归公式的应用 例 3. 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由公式 an＝an－1＋an－2(n≥3)给出． (1)写出此数列的前 5 项； (2)通过公式 bn＝aan＋n 1构造一个新数列{bn}，写出数列{bn} 的前 4 项．
17
解：(1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)且 a1＝1，a2＝2. ∴a3＝a2＋a1＝2＋1＝3， a4＝a3＋a2＝3＋2＝5， a5＝a4＋a3＝5＋3＝8. ∴数列{an}的前 5 项依次为 1,2,3,5,8.
(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)； (2)a1＝1，an＋1＝a2n＋an2.
20
解：(1)∵a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)， ∴a2＝a1＋(2×1－1)＝1， a3＝a2＋(2×2－1)＝4， a4＝a3＋(2×3－1)＝9， a5＝a4＋(2×4－1)＝16， ∴它的前五项为 0,1,4,9,16，此数列又可写成 (1－1)2，(2－1)2，(3－1)2，(4－1)2，(5－1)2，… 故该数列的一个通项公式为 an＝(n－1)2.
易错点：
对于数列{an}，
若第 n 项最大，则aann≥≥aann－＋11，，
而不是an>an－1， an>an＋1.
24
例题讲解
题型四 单调性分析 例 4. 已知 an＝9n·1n0＋n 1(n∈N*)，则数列{an}中有没有最 大项？如果有，求出最大项；如果没有，请说明理由． [错解] 设 an 最大(n≥2)，
1. 已 知 函 数 f (x) log 2 x log x 4, (0 x 1) ， 数 列 {an} 满 足
f (2an ) 2n
(1)求 an； (2)判断数列{an}的单调性。
28
2. 数列{an}满足 an n2 kn 1是增数列，求 k 的取值范围。
3.
数列{an}满足 an
题型三 数列递归公式的应用 例 3. 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，以后各项由公式 an＝an－1＋an－2(n≥3)给出． (1)写出此数列的前 5 项； (2)通过公式 bn＝aan＋n 1构造一个新数列{bn}，写出数列{bn} 的前 4 项．
17
解：(1)∵an＝an－1＋an－2(n≥3)且 a1＝1，a2＝2. ∴a3＝a2＋a1＝2＋1＝3， a4＝a3＋a2＝3＋2＝5， a5＝a4＋a3＝5＋3＝8. ∴数列{an}的前 5 项依次为 1,2,3,5,8.
(1)a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)； (2)a1＝1，an＋1＝a2n＋an2.
20
解：(1)∵a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)， ∴a2＝a1＋(2×1－1)＝1， a3＝a2＋(2×2－1)＝4， a4＝a3＋(2×3－1)＝9， a5＝a4＋(2×4－1)＝16， ∴它的前五项为 0,1,4,9,16，此数列又可写成 (1－1)2，(2－1)2，(3－1)2，(4－1)2，(5－1)2，… 故该数列的一个通项公式为 an＝(n－1)2.
2.1数列的概念与简单表示法课件人教新课标6
2.若仅由数列{an}的递推关系 an=ban-1+c(n≥2,n∈N*),能否求出数
列{an}的每一项?
提示:不能,要想求出数列{an}的每一项,还需知道数列的第一项或
前几项.
第2课时
问题导学
数列的通项公式与递推公式
课前预习导学
课堂合作探究
KEQIAN YUXI DAOXUE
KETANG HEZUO TANJIU
故选 A.
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2.已知数列{an}的通项公式为 an=(10-n)·
2n,求数列{an}中的最大项.
解:(方法一)∵an=(10-n)·
2n,
∴an+1-an=(10-n-1)·
故 a2 014=a6×335+4=a4=1.
1
2
5
= ,a7= 6 =1,…,
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数列的通项公式与递推公式
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数列的递推公式给出了相邻两项(或多项)之间的关系,只要知道第
一项就可以用递推公式求出后面的各项,如果各项间的规律明显,可以
第2课时
目标导航
数列的通项公式与递推公式
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预习引导
预习交流
通项公式与递推公式的区别与联系是怎样的?
列{an}的每一项?
提示:不能,要想求出数列{an}的每一项,还需知道数列的第一项或
前几项.
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2.已知数列{an}的通项公式为 an=(10-n)·
2n,求数列{an}中的最大项.
解:(方法一)∵an=(10-n)·
2n,
∴an+1-an=(10-n-1)·
故 a2 014=a6×335+4=a4=1.
1
2
5
= ,a7= 6 =1,…,
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数列的递推公式给出了相邻两项(或多项)之间的关系,只要知道第
一项就可以用递推公式求出后面的各项,如果各项间的规律明显,可以
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通项公式与递推公式的区别与联系是怎样的?
【课件】数列的概念及简单表示课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
这也是具有确定顺序的一列数.
1
3. 的 n 次幂按 1次幂、2 次幂、3 次幂、4次幂
2
1 1
1 1
， ， ， ， ．
③
2 4
8 16
1
1
1
1
a1 , a2 , a3 , a4 ,
2
4
8
16
这也是具有确定顺序的一列数.
归纳: 上面三个例子的共同特征是什么？
依次排成一列数．
n2＋2n
n
n
系为
，故所求的数列的一个通项公式为 an＝n＋
＝
(n∈N*)．
n＋1
n＋1 n＋1
1
1
1
1
(4)原数列的各项可变为 ×9， ×99， ×999， ×9 999，…，易知数列
9
9
9
9
9,99,999,9 999，…的一个通项公式为 an＝10n－1，所以原数列的一个通项公
1 n
式为 an＝ (10 －1)(n∈N*)．
你能仿照上面
的叙述，说明③也
是具有确定顺序的
一列数吗？
探究新知
定义：按照一定顺序排列的一列数叫做 数列
数列中的每一个数叫做这个数列的______.
项
排在第一位的数称为这个数列的第1项（ 首项），排在第二位
的数称为这个数列的第2项，
···，排在第n位的数称为这个数列这个数列的第n项.
数列的一般形式可以写成：
②数列1,2,3,4,…的一个通项公式是an=n.
③数列1,3,5,7,…的一个通项公式是an=2n-1.
④数列2,4,6,8,…的一个通项公式是an=2n.
⑤数列1,2,4,8,…的一个通项公式是an=2n-1.
1
3. 的 n 次幂按 1次幂、2 次幂、3 次幂、4次幂
2
1 1
1 1
， ， ， ， ．
③
2 4
8 16
1
1
1
1
a1 , a2 , a3 , a4 ,
2
4
8
16
这也是具有确定顺序的一列数.
归纳: 上面三个例子的共同特征是什么？
依次排成一列数．
n2＋2n
n
n
系为
，故所求的数列的一个通项公式为 an＝n＋
＝
(n∈N*)．
n＋1
n＋1 n＋1
1
1
1
1
(4)原数列的各项可变为 ×9， ×99， ×999， ×9 999，…，易知数列
9
9
9
9
9,99,999,9 999，…的一个通项公式为 an＝10n－1，所以原数列的一个通项公
1 n
式为 an＝ (10 －1)(n∈N*)．
你能仿照上面
的叙述，说明③也
是具有确定顺序的
一列数吗？
探究新知
定义：按照一定顺序排列的一列数叫做 数列
数列中的每一个数叫做这个数列的______.
项
排在第一位的数称为这个数列的第1项（ 首项），排在第二位
的数称为这个数列的第2项，
···，排在第n位的数称为这个数列这个数列的第n项.
数列的一般形式可以写成：
②数列1,2,3,4,…的一个通项公式是an=n.
③数列1,3,5,7,…的一个通项公式是an=2n-1.
④数列2,4,6,8,…的一个通项公式是an=2n.
⑤数列1,2,4,8,…的一个通项公式是an=2n-1.
4.1数列的概念课件(人教版)
2n2
30n
2(n2
15n)
2 n
15 2
2
225 2
，
因为 n N* ，所以当 n 7 或 n 8 时， Sn 取最小值.
（2）当 n 1 时， a1 S1 2 30 28 .
当 n 2 时， an Sn Sn1 2n2 30n [2(n 1)230(n 1)] 4n 32 .
， Sn1
n ，n
1 2
.
例 6 已知数列an 的前 n 项和公式为 Sn n2 n ，求an 的通项公式.
解：因为 a1 S1 2 ， an Sn Sn1 n2 n [(n 1)2 (n 1)] 2n(n 2) ， 并且当 n 1 时， a1 21 2 依然成立.
所以an 的通项公式是 an 2n .
特别地，各项都相等的数列叫做常数列.
如果数列{an} 的第 n 项 an 与它的序号 n 之间的对应关系可以用一个式子来 表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项.
例 l 根据下列数列{an} 的通项公式，写出数列的前 5 项，并画出它们的图象.
解析：因为 Sn 3n 2 ，所以 Sn1 3n1 2(n 1) ，则 an 3n 3n1 23n1 . 1，n 1
当 n 1 时， a1 S1 3 2 1，不符合上式，所以 an 2 3n1 ，n 2 .
-4 7.数列an 中， a1 1， a2 5 ， an2 an1 an (nN*) ，则a2022 __________.
验证得当 n 1 时， a1 28 满足上式，所以 an 4n 32 .
1.数列的相关概念及分类 2.数列的符号表示 3.从函数角度看数列 4.数列的通项公式 5.数列的递推公式 6.数列的前n项和
中职数学数列的基本知识ppt课件
如果两个数列的极限存在 且相等，那么这两个数列 之间的任意数列的极限也 存在且等于这两个数列的 极限。
如果数列单调增加（或减 少）且有上（下）界，那 么该数列的极限存在。
利用无穷小与无穷大的性 质求解数列的极限，如无 穷小与有界函数的乘积仍 为无穷小等。
THANKS
感谢观看
递推数列周期性判断
周期性的定义
递推数列中，如果存在某个正整 数p，使得数列中任意一项与它 前面第p项相等，则称该数列具 有周期性，p为该数列的周期。
周期性判断方法
通过观察、分析数列中各项之间 的变化规律，找出可能存在的周 期p，再验证数列中任意一项是
否与它前面第p项相等。
周期性应用
利用数列的周期性，可以简化数 列的求解过程，如求数列中某项
数列表示方法
数列可以用通项公式或递推公式表示，其中通项公式表示数列中任意一项与项 数n的关系，而递推公式表示数列中相邻项之间的关系。
数列分类及特点
有穷数列和无穷数列
根据项数是否有限，数列可分为有穷 数列和无穷数列。有穷数列项数有限， 无穷数列项数无限。
单调数列和摆动数列
根据数列的增减性，数列可分为单调 数列和摆动数列。单调数列单调递增 或递减，摆动数列则不具备单调性。
性质
等比数列中，任意两项的比值相等，且等于公比；等比数列的 每一项都不为零；等比数列的公比可以是正数、负数或零（除 数列首项外）。
等比数列通项公式推导
公式形式
an=a1×qn-1，其中an表示第n项， a1表示首项，q表示公比，n表示 项数。
推导过程
根据等比数列的定义，可以得到 an/a(n-1)=q，通过递推关系，可 以得到an=a1×q×q×...×q（n-1个 q）=a1×qn-1。
数列的概念(中职数学)ppt课件
通过通项公式可以快速求出等差数列 中任意一项的值。
等差数列的求和公式
公式
Sn=n/2*[2a1+(n-1)d]，其中Sn为前n项和，a1为首项，d为 公差，n为项数。
应用
通过求和公式可以快速求出等差数列前n项的和，解决与等差 数列和相关的问题。
03
等比数列
等比数列的定义与性质
定义
等比数列是指从第二项起，每一项与它 的前一项的比值等于同一个常数的一种 数列。
数列的极限与收敛性
数列极限的定义与性质
数列极限的定义
对于数列{an}，如果存在 常数A，对于任意给定的 正数ε（不论它多么小） ，总存在正整数N，使得 当n>N时，不等式|anA|<ε都成立，那么称常数 A是数列{an}的极限。
唯一性
如果数列{an}收敛，那么 它的极限唯一。
有界性
如果数列{an}收敛，那么 数列{an}一定有界。
等比数列的求和公式
求和公式
Sₙ=a₁(1-q^n)/(1-q)（q≠1），其中Sₙ是前n项和，a₁是首项，q是公比，n是项数。
推导过程
根据等比数列的通项公式，可以得到Sₙ=a₁+a₁×q+a₁×q²+...+a₁×q^(n-1)，通过错位相减法可以得到求和公式 。当q=1时，Sₙ=n×a₁。
04
极限的加法运算法则
lim(an+bn)=lim an+lim bn。
极限的减法运算法则
lim(an-bn)=lim an-lim bn。
极限的乘法运算法则
lim(an×bn)=lim an×lim bn。
极限的除法运算法则
lim(an/bn)=lim an/lim bn（ bn的极限不等于0）。
等差数列的求和公式
公式
Sn=n/2*[2a1+(n-1)d]，其中Sn为前n项和，a1为首项，d为 公差，n为项数。
应用
通过求和公式可以快速求出等差数列前n项的和，解决与等差 数列和相关的问题。
03
等比数列
等比数列的定义与性质
定义
等比数列是指从第二项起，每一项与它 的前一项的比值等于同一个常数的一种 数列。
数列的极限与收敛性
数列极限的定义与性质
数列极限的定义
对于数列{an}，如果存在 常数A，对于任意给定的 正数ε（不论它多么小） ，总存在正整数N，使得 当n>N时，不等式|anA|<ε都成立，那么称常数 A是数列{an}的极限。
唯一性
如果数列{an}收敛，那么 它的极限唯一。
有界性
如果数列{an}收敛，那么 数列{an}一定有界。
等比数列的求和公式
求和公式
Sₙ=a₁(1-q^n)/(1-q)（q≠1），其中Sₙ是前n项和，a₁是首项，q是公比，n是项数。
推导过程
根据等比数列的通项公式，可以得到Sₙ=a₁+a₁×q+a₁×q²+...+a₁×q^(n-1)，通过错位相减法可以得到求和公式 。当q=1时，Sₙ=n×a₁。
04
极限的加法运算法则
lim(an+bn)=lim an+lim bn。
极限的减法运算法则
lim(an-bn)=lim an-lim bn。
极限的乘法运算法则
lim(an×bn)=lim an×lim bn。
极限的除法运算法则
lim(an/bn)=lim an/lim bn（ bn的极限不等于0）。
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列8
摆动数 列
数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可 以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这 个数列的通项公式． 我们可以根据数列的通项公式写出数列．
思考：通项公式可以看成数列的函数解析
式．利用一个数列的通项公式，你能确定 这个数列哪些方面的性质？
-
9
3 教学过程
探索：数列中的项与序号是一种怎样的关系？引导 学生探讨数列：2,4,8,16,32,…中，项与序号之间的对应 关系 .
通过以上的探索与思考，构建通项公式的概念。然后学生分组完成下列表格：函数与数列的比较
函数
数列（特殊的函数）
定义域
R 或 R 的子集
N 或它的有限子集1, 2, , n
解析式 图象
y f (x)
点的集合
an f (n)
一些散点的点的集合
-
11
典例展示
例1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项
分别是下列各数：
（1）1，- 1， 1 ，23
14；
（2）2，0，2， 0；
解：（1）这个数列的前4项的绝对值都 是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数
（-1）n+1 项为负，所以，它的一个通项公式为：an= n
-
12
（2）2，0，2， 0；
这个数列的前4项构成一个摆动数列， 奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个 通项公式为： an=（-1）n+1+1
-
-
15
变式1．数列的前5项分别是以下各数， 写出各数列的一个通项公式：
（1）1， 1 3
，
1， 5
1， 7
19；an=2n1-1
（n∈Z+）
（2）-
1 2×1
，
1 2×2
，-
1 2×3
，
1 2×4
，-
（-1）n an= 2n
（n∈Z+）
（3）1，
√2 2
，
1， 2
√2 4
，
1 4
． a（n=n∈12n2-1Z+）
第二章 数列
2.1 数列的概念与简单表示法
-
1
得数为： 18446744073709551615
-
2
传说古希腊毕达哥拉斯学派数学家研 究的问题： 三角形中小正方形 数
1, 3,
6,
10, .…..
正方形中小正方形数
1, 4, 9,
提问：这些数有什么规律- 吗？
16, ……
3
数列的基本概念
数列 数列的项
1 2×5
；
-
16
例2 下图中的三角形称为希尔宾斯基 （Sierpinski）三角形．在下图4个三角形中， 着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项， 请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐 标系中画出它的图象．
解：如图，这4个三角形中着色三角形的个数依次为1，3， 9，27 ．则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号
项
2 4 8 16 32 … an 2n …
序号 1 2 3 4 5 … n
…
学生分组探讨正方形数1,4,9,16,25,36，…，中 序号与项的关系 .
-
10
数列an 中项与序号的关系的一般形式则为：项 a1ຫໍສະໝຸດ a2a3a4
a5 … an
序号 1
23
4 5…
n
3 教学过程
…
…
思考：数列 an 2n 与函数 f (x) 2x 的联系与区别？数列 an n2 与函数 f (x) x2 的联系与区别？
根据数列的前若干项写
出的通项公式的形式唯一吗？
请举例说明． 如（1）也可以写
作：
1
an=- n （n=2m，m=1，2，3，…）
或
an=
1 n（n=2m-1，m=1，2，3，…）
-
13
与函数一样，数列也可以用图象、列表等方 法来表示．
数列的图象是一系列孤立的点．
例如，全体正偶数按从小到大的顺序构成数
摆动数列
从第2项起， 有些项大于 它的前一项， 有些项小于 它的前一项
-
7
你能按照上面的标准对下列数列进行分类吗?
⑴全体自然数构成数列：
0，1，2，3, … .无穷数
递增数 列
⑵1996~2002年某市普通高中列生人数（单位： 构成数列
万人） 82，93，105，119，129，130，132. ⑶无穷多个3构成数列
递有增穷数数 列列
3，3，3，3，3, … . 无穷数
常数列
⑷目前通用的人民币面额从列大到小的顺序构成数列（单
位⑸:-元1的）1次100.幂20，，，05.210次，，幂02.00，，5，130次0，.0幂52，，，204，.0次11….幂，…0.5，有列构递列穷成减数数数列
-1，1，-1，1, … .无穷数
称为递推公式．递推公式也是数列的一种表 示方法．
-
18
例3：一个数列{an}中，a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1
－an，那么这个数列的第5项为( )
A．6
B．－3
C．－12
D．－6
解析：由递推关系式可求得 a3＝a2－a1＝6－3＝3，a4 ＝a3－a2＝3－6＝－3，∴a5＝a4－a3＝－3－3＝－6.
列
2，4，6，…，2n，… .
这个数列还可以用列表和图象分别表示在下表
和下图中
an
10
n 1 2 3…k… 8 6
a 2 4 6…2… 4
n
k
2
O 1 2345n
-
14
5
做出常数数列：4,4,4,4,图象
4
3
做出摆动数列：- 1，1，- 1，1，图象
2
我我们们好好孤孤单单！！
1
0 1 2 3 45
减1 ．所以，这个数列的一个通项公式是：an=3n-1
-
17
递推公式
如果一个数列{an}的首项a1=1，从第2项起的每一
项等于它的前一项的2倍再加1，即
an=2an-1+1（n＞1），
那么
a2=2a1+1= 3， a3=2a2+1= 7，…
像这样给出数列的方法叫做递推法，其中
an=2an-1+1（n＞1）
-
5
• 数列的分类： • 1、按项的个数分： • 项数有限的数列叫做有穷数列； • 项数无限的数列叫做无穷数列。
-
6
2、按数列的“项间的大小比较”(随序号变化的 情况)来分：
递增数 列
从第2项 起，每一 项都大于 它的前一 项
递减数 列
从第2 项起， 每一项 都小于 它的前 一项
常数 列
各项 都相等
首项 第2 项 第n 项
按照一定顺序排列着的一列数 数列中每一个数 排在第一位的数 排在第2位的数 排在第n位的数
4
数列的一般记法:
• 数列a1,a2,a3,a4,…,an,… 可简记为{an}.（右 下标n表示项的位置序号）。
思考：数列{an}是集合吗？ {an}与an有何区 别？
集合中的元素具有无序性 、互异性，而数列不具 备这些特征，数列{an}不是集合,它是数列的一个整 体符号.{an}表示数列a1, a2, a3, a4,…, an,…，而an 表示数列的第n项.
摆动数 列
数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可 以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这 个数列的通项公式． 我们可以根据数列的通项公式写出数列．
思考：通项公式可以看成数列的函数解析
式．利用一个数列的通项公式，你能确定 这个数列哪些方面的性质？
-
9
3 教学过程
探索：数列中的项与序号是一种怎样的关系？引导 学生探讨数列：2,4,8,16,32,…中，项与序号之间的对应 关系 .
通过以上的探索与思考，构建通项公式的概念。然后学生分组完成下列表格：函数与数列的比较
函数
数列（特殊的函数）
定义域
R 或 R 的子集
N 或它的有限子集1, 2, , n
解析式 图象
y f (x)
点的集合
an f (n)
一些散点的点的集合
-
11
典例展示
例1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项
分别是下列各数：
（1）1，- 1， 1 ，23
14；
（2）2，0，2， 0；
解：（1）这个数列的前4项的绝对值都 是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数
（-1）n+1 项为负，所以，它的一个通项公式为：an= n
-
12
（2）2，0，2， 0；
这个数列的前4项构成一个摆动数列， 奇数项是2，偶数项是0，所以它的一个 通项公式为： an=（-1）n+1+1
-
-
15
变式1．数列的前5项分别是以下各数， 写出各数列的一个通项公式：
（1）1， 1 3
，
1， 5
1， 7
19；an=2n1-1
（n∈Z+）
（2）-
1 2×1
，
1 2×2
，-
1 2×3
，
1 2×4
，-
（-1）n an= 2n
（n∈Z+）
（3）1，
√2 2
，
1， 2
√2 4
，
1 4
． a（n=n∈12n2-1Z+）
第二章 数列
2.1 数列的概念与简单表示法
-
1
得数为： 18446744073709551615
-
2
传说古希腊毕达哥拉斯学派数学家研 究的问题： 三角形中小正方形 数
1, 3,
6,
10, .…..
正方形中小正方形数
1, 4, 9,
提问：这些数有什么规律- 吗？
16, ……
3
数列的基本概念
数列 数列的项
1 2×5
；
-
16
例2 下图中的三角形称为希尔宾斯基 （Sierpinski）三角形．在下图4个三角形中， 着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项， 请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐 标系中画出它的图象．
解：如图，这4个三角形中着色三角形的个数依次为1，3， 9，27 ．则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号
项
2 4 8 16 32 … an 2n …
序号 1 2 3 4 5 … n
…
学生分组探讨正方形数1,4,9,16,25,36，…，中 序号与项的关系 .
-
10
数列an 中项与序号的关系的一般形式则为：项 a1ຫໍສະໝຸດ a2a3a4
a5 … an
序号 1
23
4 5…
n
3 教学过程
…
…
思考：数列 an 2n 与函数 f (x) 2x 的联系与区别？数列 an n2 与函数 f (x) x2 的联系与区别？
根据数列的前若干项写
出的通项公式的形式唯一吗？
请举例说明． 如（1）也可以写
作：
1
an=- n （n=2m，m=1，2，3，…）
或
an=
1 n（n=2m-1，m=1，2，3，…）
-
13
与函数一样，数列也可以用图象、列表等方 法来表示．
数列的图象是一系列孤立的点．
例如，全体正偶数按从小到大的顺序构成数
摆动数列
从第2项起， 有些项大于 它的前一项， 有些项小于 它的前一项
-
7
你能按照上面的标准对下列数列进行分类吗?
⑴全体自然数构成数列：
0，1，2，3, … .无穷数
递增数 列
⑵1996~2002年某市普通高中列生人数（单位： 构成数列
万人） 82，93，105，119，129，130，132. ⑶无穷多个3构成数列
递有增穷数数 列列
3，3，3，3，3, … . 无穷数
常数列
⑷目前通用的人民币面额从列大到小的顺序构成数列（单
位⑸:-元1的）1次100.幂20，，，05.210次，，幂02.00，，5，130次0，.0幂52，，，204，.0次11….幂，…0.5，有列构递列穷成减数数数列
-1，1，-1，1, … .无穷数
称为递推公式．递推公式也是数列的一种表 示方法．
-
18
例3：一个数列{an}中，a1＝3，a2＝6，an＋2＝an＋1
－an，那么这个数列的第5项为( )
A．6
B．－3
C．－12
D．－6
解析：由递推关系式可求得 a3＝a2－a1＝6－3＝3，a4 ＝a3－a2＝3－6＝－3，∴a5＝a4－a3＝－3－3＝－6.
列
2，4，6，…，2n，… .
这个数列还可以用列表和图象分别表示在下表
和下图中
an
10
n 1 2 3…k… 8 6
a 2 4 6…2… 4
n
k
2
O 1 2345n
-
14
5
做出常数数列：4,4,4,4,图象
4
3
做出摆动数列：- 1，1，- 1，1，图象
2
我我们们好好孤孤单单！！
1
0 1 2 3 45
减1 ．所以，这个数列的一个通项公式是：an=3n-1
-
17
递推公式
如果一个数列{an}的首项a1=1，从第2项起的每一
项等于它的前一项的2倍再加1，即
an=2an-1+1（n＞1），
那么
a2=2a1+1= 3， a3=2a2+1= 7，…
像这样给出数列的方法叫做递推法，其中
an=2an-1+1（n＞1）
-
5
• 数列的分类： • 1、按项的个数分： • 项数有限的数列叫做有穷数列； • 项数无限的数列叫做无穷数列。
-
6
2、按数列的“项间的大小比较”(随序号变化的 情况)来分：
递增数 列
从第2项 起，每一 项都大于 它的前一 项
递减数 列
从第2 项起， 每一项 都小于 它的前 一项
常数 列
各项 都相等
首项 第2 项 第n 项
按照一定顺序排列着的一列数 数列中每一个数 排在第一位的数 排在第2位的数 排在第n位的数
4
数列的一般记法:
• 数列a1,a2,a3,a4,…,an,… 可简记为{an}.（右 下标n表示项的位置序号）。
思考：数列{an}是集合吗？ {an}与an有何区 别？
集合中的元素具有无序性 、互异性，而数列不具 备这些特征，数列{an}不是集合,它是数列的一个整 体符号.{an}表示数列a1, a2, a3, a4,…, an,…，而an 表示数列的第n项.