公钥密码体制原理及展望---读《New Directions in Cryptography》

公钥密码体制原理及展望----读《New Directions in Cryptography》姓名学号指导教师时间2010年11月19日星期五公钥密码体制原理及展望----读《New Directions in Cryptography》摘要：本文通过读《New Direction in Cryptography》一文，简述了密码学的发展，重点讨论了公钥密码体制的算法及安全性。

并在此基础上介绍了ECC和量子密码，了解了非对称密码体制的应用，展望了密码学未来的发展方向。

关键字：公钥密码体制，单向陷门函数、ECC、量子密码一概述密码学是研究如何隐密地传递信息的学科。

在现代特別指对信息以及其传输的数学性研究，常被认為是数学和计算机科学的分支，和信息论也密切相关。

回顾密码学的发展历程：第一个阶段是古典密码学（19世纪以前），主要包括代替密码、换位密码以及代替密码与换位密码的组合方式等。

第二阶段是中世纪密码学，它是宗教上被刺激的原文分析对Quran那些导致了发明频率分析打破的技术替换密码。

它是最根本的cryptanalytic前进直到WWII。

所有暗号根本上依然是脆弱直到这个cryptanalytic技术发明polyalphabetic暗号。

第三阶段是从1800到第二次世界大战，由第二次世界大战机械和机电暗号机器在宽用途，虽然这样机器是不切实际的地方继续的人工制在使用中。

巨大前进被做了暗号打破所有在秘密。

第四阶段是现代密码学，C.E.Shannon于1949年发表的划时代论文“The Communication Theory of Secret Systems”，这是现代密码学的第一次发展也是开端。

而更重要的一次发展是1976年，当时在美国斯坦福大学的迪菲（Diffie）和赫尔曼(Hellman)两人提出了公开密钥密码的新思想，论文《New Direction in Cryptography》把密钥分为加密的公钥和解密的私钥，这是现代密码学的经典之作，是密码学的一场革命。

《New Direction in Cryptography》一文为解决传统密码体制（主要针对对称密码体制）密钥分发困难、密钥集中了密文的安全性等缺陷，设计了公钥密码体制，是非对称密码学的开山之作。

下面简要地介绍一下这篇文章的主要内容。

二公钥密码体制基本原理公钥密码算法中的密钥依性质划分，可分为公钥和私钥两种。

用户或系统产生一对密钥，将其中的一个公开，称为公钥；另一个自己保留，称为私钥。

任何获悉用户公钥的人都可用用户的公钥对信息进行加密与用户实现安全信息交互。

由于公钥与私钥之间存在的依存关系，只有用户本身才能解密该信息，任何未受授权用户甚至信息的发送者都无法将此信息解密。

所以在公钥密码系统中，首先要求加密函数具有单向性，即求逆的困难性。

即：一个可逆函数f：A→B，若它满足：1o对所有x∈A，易于计算f(x)。

2o对“几乎所有x∈A”由f(x)求x“极为困难”，以至于实际上不可能做到，则称f为一单向(One-way)函数。

但是，要做加密处理，对加密函数仅有单向的要求还不够，必须还要满足，再知道某个信息后，求逆很容易，这才是有效而优越的加密函数。

Diffie和Hellmam在文章《New Direction in Cryptography》中就引入了这一有用概念，称作单向陷门函数(Trapdoor one-way function)，就是在不知陷门信息下求逆困难，当知道陷门信息后，求逆是易于实现的函数。

基于这个原理，Diffie和Hellmam提出了公钥密码的基本算法：定义在有限信息空间{M}上的，基于算法{Ek }和{Dk }的可逆变换Ek：{M}-> {M}Dk：{M}-> {M}满足下列条件：⑴对任给K∈{K}， Ek是Dk的互逆变换⑵对任意的K∈{K}和M∈{M}，用Ek和Dk进行加密和解密是容易计算的⑶对几乎所有的K∈{K}，从Ek推出Dk在计算上是不可行的⑷对任意的K∈{K}，从K计算Ek和Dk是可行的由此我们就可以知道公钥加密的基本原理了，发送方若要给收信方发送密文则只需查找到他公开的密钥，用该密钥来加密，再直接把密文发送给对方即可。

接收方不需要再从发送方处获得密钥，只要用自己的私人密钥解密得出明文即可。

这种方法由于不需要通过安全信道将密钥传送给对方，不会因为窃听者非法获得密钥之后密文一攻而破。

成功解决了传统对称加密算法的弊端。

看到这里，我猛然醒悟了，这种算法真是有一举两得的功效，除安全方便地加密解密之外，还能进行单方向的数字签名认证。

验证方要验证被验证方时，只需用其公钥加密一小段消息，再发送给对方解密，若被验证方能解开密文，那么就验证成功了，否则验证失败。

这样就有效地防止了第三方冒名顶替的情况。

这也是文章《New Direction in Cryptography》中第四部分中提到的单向认证的问题。

解决了加密解密的问题之后，还有一个重要的问题有待解决，就是密钥分配问题。

公钥分配算法是基于求对数再取模计算上的困难。

令q是一个素数，在有限域GF(q)上任取q，计算Y= a x *mod（q），其中a是GF(q)上的一个固定基元。

则 X= log a 【Y*mod（q）】。

不难得出由X计算Y是较容易的，约需要计算2×log2q次乘法；然而从Y得出X是困难的，因为需q/2次运算。

这样对每一个用户，从[1，2，…，q-1]中随机的选一个q，计算出Y i=a Xi* mod q ，并将Y i公布，X i保密。

那么当用户i和j通信时，使用K ij=a XiXj *mod q作为他们的公共密钥。

此密钥用户i通过j公布的Y j得到，即K ij= Y j Xi *mod q= (a Xj)Xi *mod q= a XiXj *mod q得到。

用户j的计算同理。

对于第三方要获得此密钥就必须计算，而这在计算上是不可行的，从而达到了在公共信道上分配私钥的效果。

到此为止，文章已为我们架构出了一个公钥加密的基本模型。

接下来作者又为我们从计算的复杂度上证明了公钥密码体制的安全性。

现代密码算法的安全性是基于计算上的不可行性，因此就有必要对计算复杂度进行研究。

在确定型图灵机上可用多项式时间求解的问题定义为P类复杂度，在非确定型图灵上可用多项式时间求解的问题定义为NP类复杂度，显然NP包括P。

Karp还定义了一个NP完全集，即如果NP完全集中的任何一个问题属于P 类，则NP 中的所有问题都属于P。

现在大多数的加密算法用的是NP完全集中的问题。

关于密码分析的难度有如下定理：一个加密和解密算法若是能在P时间内完成的，那么密码分析的难度不会大于NP时间。

在近代公钥密码系统的研究中，其安全性都是基于难解的可计算问题的。

如：(1) 大数分解问题；(2)计算有限域的离散对数问题；(3)平方剩余问题；(4)椭圆曲线的对数问题等。

基于这些问题，于是就有了各种公钥密码体制。

关于公钥密码有众多的研究。

主要集中在以下的几个方面：(1)RSA 公钥体制的研究；(2)椭圆曲线密码体制的研究；(3)各种公钥密码体制的研究；(4)数字签名研究。

三 公钥密码体制介绍虽然RSA 算法是公钥密码体制中的经典算法，但鉴于我们在课堂上已经有了较为详尽的了解，在这里就不再赘述了。

下面来简单地介绍一下ECC 和NUTR 。

1、ECC椭圆曲线在代数学和几何学上已有一百五十多年的研究历史。

有着复杂的数学背景，涉及到数论、群论和射影几何等学科。

1985年：N_Koblitz 和V ．Miller 分另lJ 提出了椭圆曲线密码体制(Elliptic Curve Cryptosystem 。

ECC)。

其安全性依赖于椭圆曲线群上离散对数问题(ECDLP)的难解性，即已知椭圆曲线上的点P 和kp 计算k 的困难程度，不过在当时一直没有像RSA 等密码系统一样受到重视。

从现在来看，ECC 一是目前已知的公钥密码体制中，对每一比特所提供加密强度最高的一种体制，它具有安全性高、计算量小、存储空间占用小、带宽要求低等特点，这些优点使得椭圆曲线公钥密码体制将应用到越来越多的领域。

如存储空间小，这对于加密算法在IC 卡上的应用具有特别重要的意义，带宽要求低使ECC 在无线网络领域具有广泛的应用前景。

1999年ANSI X9．62标准的发布成为ECC 标准化的一个重要里程碑，同年美国政府的国家标准与技术委员会(NIST)发布了新的规定nPS186—2确定了ECC 的地位。

现已颁布的有关ECC 的标准有IEEEP1363及P1363a 、ANSI X9．62、ANSI X9．63ISOhEC14888—3、IETF 、ATM Forum 等．这些标准的公布将提高ECC 技术在世界范围内的通用性，使ECC 技术在全球的广泛应用成为可能。

而SET(Secure Electronic Transaction)协议的制定者已把它作为下一代SET 协议中缺省的公钥密码算法。

目前．求解椭圆曲线离散对数问题(ECDLP)的算法主要有小步一大步法；Pollard P 方法、Pohlig —Hellman 算法和MOV 归约攻击等。

在这些算法中，Pollard P 方法是目前求解一般ECDLP 的最有效算法。

它的时间复杂度为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2πn o ，但它仍是指数级的。

Wiener 和Zueeherato 将该算法时间复杂度改进为⎪⎪⎭⎫⎝⎛2πn o ，Pollard P 算法可以并行实现，使用r 个处理器的运行时间大概是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛r n o 2π。

但在使用ECC 时。

椭圆曲线的选择上一定要避免超奇异曲线和奇异曲线．这两种曲线是不宜用于密码体制的椭圆曲线，它们的ECDLP 相对容易．易遭到特定算法的攻击。

另外，ECDLP 是否存在亚指数时间算法是有待证明的问题，因为它关系ECC 未来的安全性。

2、量子密码1970年美国科学家威斯纳首先将量子物理用于密码学的研究之中，他提出可利用单量子态制造不可伪造的“电子钞票”。

但这个设想的实现需要长时间保存单量子态，不太现实。

1984年，贝内特和布拉萨德提出了第一个量子密码方案，称为BB84方案。

1992年．贝内特又提出一种更简单但效率减半的方案，即B92方案。

目前．在量子密码实验研究上进展最快l的国家为英国、瑞士和美国。

英国国防研究部1993年首先在光纤中实现了基于BB84方案的相位编码量子密钥分发，光纤传输长度为lOkm。

这项研究后来转到英国通信实验室进行。

到1995年。

经多方改进，在30kin长的光纤传输中成功实现了量子密钥分发。

与偏振编码相比，相位编码的好处是对光的偏振态要求不那么苛刻。

在长距离的光纤传输中，光的偏振性会退化，造成误码率的增加。