偏导数与全微分53354
3.4多元函数的偏导数和全微分ppt课件
类似, 可得三阶, 四阶, …, n 阶偏导数.
如:
若
2z x2
可偏导,
则记
3z x3
x
2z x2
,
3z x2y
y
2z x2
,等等.
26
例1. 设z
x2 y2
x sin
y 3,求全部二阶偏导和
3z . x3
解:
z 2xy2 1 x
z 2x2 y cos y y
2z x2
2y2
2z y2
(x
x, y) x
f
(x,
y)
记作
fx(x, y),
z , x
z , x
fx (x, y). x
称为z 对自变量 x 的偏导函数(简称偏导数)
6
注
1.由偏导数定义知, 所谓 f (x, y) 对x 的偏 导数, 就是将 y 看作常数, 将 f (x, y) 看 作 一 元函数来定义的.因此,在实际计算时,
求 f 'x (x, y)时, 只须将 y 看作常数,用一元 函数求导公式求即可.
求 f 'y (x, y)时, 只须将 x 看作常数,用一元 函数求导公式求即可.
7
2.计算 f xx0 , y0
三种方法： (1) 用定义计算.
(2) 先计算 fxx, y, 再代值得 fxx0 , y0 ． (3) 先计算 f x, y0 , 再计算 fxx, y0 , 再
2 。 于是
x
fx(1,0) 2.
10
例2 求z x2 sin 2 y的偏导数.
解 z 2x sin 2 y x
z x2 cos 2 y 2 2x2 cos 2 y y
偏导数和全微分的关系
偏导数和全微分的关系在微积分学中，偏导数和全微分是两个重要的概念。
它们在物理、工程、经济学等领域中有广泛的应用。
本文将探讨偏导数和全微分的关系，以及它们在实际问题中的应用。
一、偏导数的定义偏导数是指函数在某一点处关于其中一个自变量的变化率。
设函数 $f(x_1,x_2,cdots,x_n)$ 在点$(x_1^0,x_2^0,cdots,x_n^0)$ 处连续，则 $f$ 对 $x_i$ 的偏导数为：$$frac{partial f}{partial x_i}=lim_{Delta x_ito0}frac{f(x_1^0,x_2^0,cdots,x_i^0+Delta x_i,cdots,x_n^0)-f(x_1^0,x_2^0,cdots,x_n^0)}{Delta x_i}$$其中 $Delta x_i$ 是 $x_i$ 的增量。
二、全微分的定义全微分是指函数在某一点处的微小变化量。
设函数$f(x_1,x_2,cdots,x_n)$ 在点 $(x_1^0,x_2^0,cdots,x_n^0)$ 处连续，则 $f$ 在该点的全微分为：$$df=frac{partial f}{partial x_1}dx_1+frac{partialf}{partial x_2}dx_2+cdots+frac{partial f}{partialx_n}dx_n$$其中 $dx_i$ 是 $x_i$ 的微小增量。
三、偏导数和全微分的关系对于一个多元函数 $f(x_1,x_2,cdots,x_n)$，偏导数和全微分之间有以下关系：$$df=frac{partial f}{partial x_1}dx_1+frac{partialf}{partial x_2}dx_2+cdots+frac{partial f}{partialx_n}dx_n$$全微分 $df$ 可以看作是各个偏导数的线性组合。
这个公式可以被看作是对 $f$ 的微小变化的一种描述。
偏导数与全微分
若二元函数z=f(x,y)在D内每一点都有偏导数 则此偏 内每一点都有偏导数, 在 内每一点都有偏导数 则此偏 注 (1) 若二元函数 的函数--------偏导函数 偏导函数. 导数也是 x, y 的函数 偏导函数
f x , f y , z x , z y , ......
∂z ∂f ∂z ∂f , , , , ...... ∂x ∂x ∂y ∂y
∂ ∂z ∂2z ( )= = z yx = f yx ; ∂ y ∂x ∂x ∂ y
混合偏导数
∂ ∂z ∂2z ( )= = z yy = f yy . 2 ∂y ∂y ∂y
定理 若 z = f (x, y) 的二阶混合偏导数 f x y , f y x 在 (x,y) 连续 连续, 则 f xy = f yx . 适用于三阶以上 2 2 ∂ z ∂ z y , . z = arctan , 例5 求 ∂y∂x ∂x∂y x y −y ∂z 1 = ⋅ (− 2 ) = 2 , 2 y 2 x x +y ∂x 1 + ( ) x 1 1 ∂z x = y 2 ⋅ x = x2 + y2 , ∂y 1+(x)
∂2z = 6 xy 2 ∂x 2
∂2z = 2 x 3 − 18 xy ∂y 2
∂2z ∂2z 2 2 = 6 x y − 9 y − 1= ∂y∂x ∂x∂y
∂3z = 6 y2 ∂x 3
§2
偏导数与全微分
一、 偏导数 1.偏导数的定义 1.偏导数的定义 的某邻域内有定义, 设 z = f (x,y)在点 ( x0 , y0 )的某邻域内有定义, 当 y 固定在 y0 时, , ) 得一元函数 f ( x , y0 ), 称 f ( x 0 + ∆ x , y0 ) − f ( x 0 , y0 ) lim ∆ x→0 ∆x 的偏导数, 为z = f (x,y)在点 ( x0 , y0 )处对 x 的偏导数, 记为 fx ( x0 , y0 ), 或 ∂ f ( x 0 , y 0 ) , , ) ∂x 或 ∂ z ( x 0 , y0 ) , ∂x f ( x0 + ∆x, y0 ) − f ( x0 , y0 ) ∂z 即 f x ( x 0 , y0 ) = x ( x 0 , y0 )= ∂ f ( x 0 , y 0 ) = lim ; ∂ ∂x ∆x→0 ∆x 类似的, 的偏导数为 类似的, z = f (x,y)在点 ( x0 , y0 ) 处对 y 的偏导数为 , ) f ( x0 , y0 + ∆ y) − f ( x0 , y0 ) ∂f ∂z f y ( x 0 , y0 ) = . = lim ( x0 , y0 ) = ( x 0 , y0 ) ∆ y→0 ∂y ∂y ∆y
偏导和全微分的关系
偏导和全微分的关系
偏导数和全微分是微积分中两重要的概念，它们之间的关系可以通过梯度来解释。
下面是它们的关系：
1. 偏导数是量函数在特定变量上的变化率，它考虑一个变量的变化而把其他变量固定住。
偏导数可以表示为∂f/∂x，其中f表示函数，x表示自变量。
2. 全分是函数在多个变量上的变化的总和。
它考虑了所有变量的变化，并通过个偏导数对应的变化进行加权。
全微分可以表示为df = ∂f/∂x * dx + ∂f/∂y * dy + ...，其中f表示函数，x、y等表示自变量，dx、dy等表示自变量的变化量。
3. 偏导数是全微分的特例，当只有一个变发生微小变化时，全微分等于对应的偏导数乘以变化量。
换句话说，当只有一个变量变化时变成了偏导数的乘积形式。
总结来说，偏导数是只考虑一个变量变化的变化率，而全微分考虑了所有变量的变化，并将各个偏导数对应的变化进行加权。
全微分是偏导数的总和形式，在只有一个变量变化时，全微分等于对应的偏导数乘以变化量。
偏导数与全微分课件
dz
A
.
dz
( x0 , y0 )x f y ( x0 , y0 )y fx z z 0 =AB
0 P y
dz=AB : 切面竖坐标的增量
z dz ( x y )
=AB+BN
y
当x , y 很小时
z dz
x
Q
3、可微性的几何意义与应用
0
y =y0
由一元函数导数的几何意义：
z x
= tan
M
( x , y )
y
x
. .
同理，
z y
?
M
1. 偏导数的几何意义
z
z f ( x, y )
f ( x , y y ) f ( x , y ) z lim y y M y
M
Tx
偏导数与全微分 的几何意义
1. 偏导数的几何意义
z
z f ( x, y )
f ( x 0 x , y 0 ) f ( x 0 , y 0 ) z lim x x M x 0
M
Tx
L
z= f (x,y)
固定 y =y0
得曲线
z f ( x, y) L： y y 0
z =AN ：曲面竖坐标的增量
用切面竖坐标的增量近似曲面竖坐标的增量 N
z
z= f (x ,y)
( )
M
z
B
过点M的切平面：
( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) fx ( z z0 ) 0 即：
z z0
得曲线
z f ( x , y) x x
数学分析第十六章课件偏导数与全微分
解: 已知
则
V 2 rh r r 2h
r 20, h 100, r 0.05, h 1
V 2 20100 0.05 202 (1) 200 (cm3)
即受压后圆柱体体积减少了
作业
• P192:1:(单数题) • P193:7;9 • P208:1:(双数题) • P208:3 • P209:9 • P217:1:(1;3);2:(2;4);6 • P223:2;3;8
定理16.1 ３．全微分与偏导数的关系：
f (x, y) 设 (x0 , y0 ) 可微，在表达式中 分别令 f 0 x 0 和 x 0 y 0
得
定理１６.2
从而：f 在 p0 的全微分可写成
dz |p0 fx (x0 , y0 )dx f y (x0 , y0 )dy
z f (x) 在某区域 G 内（x，y） 点的全微分为
f11,
f12,
f21,
f22
书上记号易混
链式法则的应用
偏微分方程的变换
目的
求解
2）复合函数的全微
设
u
f (x, y),若x, y为自变量，则
du f dx f dy x y
进一步，若x (s,t) y (s,t) 则有
du u ds u dt dx x ds x dt dy y ds y dt
r x 2
2x x2 y2 z2
x r
r z z r
4、计算
的近似值.
解: 设
,则
f x (x, y) y x y1 , f y (x, y) x y ln x
取
则 1.042.02 f (1.04, 2.02 )
1 2 0.04 0 0.02 1.08
偏导数、全微分
2 2
注意到 α t + hβ (h) ≤ | α | + | β (h) |, 且 t 2 + h2 lim α = 0 , lim β (h) = lim β (h) = 0, t →0 h→0
t →0 h→0
h→0
2 2 ∆z = f x ( x, y ) t + f y ( x, y ) h + o( t + h ) 故有
(0 <θ < 1 )
( lim β (h) = 0 )
h→0
lim α = 0
t →0 h→0
∆ z = [ f x ( x, y) + α ] t + f y ( x, y ) h + hβ (h) ) t − f y ( x, y ) h
t +h
2 2
=
α t + hβ (h)
0,
易知 f x (0, 0) = f y (0, 0) = 0 , 但
x2 + y 2 = 0
∆x ∆ y
∆ z − [ f x ( 0, 0 )∆x + f y ( 0, 0 )∆ y] =
(∆x) + (∆ y)
2
2
∆x ∆ y = (∆x) 2 + (∆ y) 2
0
≠ o( ρ ) 因此,函数在点 (0,0) 不可微 .
∂ p ∂V ∂T RT ∴ ⋅ ⋅ =− = −1 pV ∂V ∂T ∂ p
有关偏导数的几点说明：
∂u １. 偏导数 是一个整体记号，不能拆分; ∂x
２. 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义；
例 : 设z = f ( x , y ) =
《偏导数和全微分》PPT课件
.
(先求后代)
z x
(1,
2)
ln 5
2. 5
5
例4
设
z
arctan
(x 2) y y2 xy (x 2)2 y3
求
z y
|( 2, 0 )
.
解
z
|x2
z(2,
y)
arctan
y 2
,
z y
|( 2 , 0 )
dz(2, dy
y)
|y0
d
arctan dy
y 2
|y0
1
1
2 y
2
|y0
1. 2
程，显然，上述拉普拉斯方程是一个偏微分方程.
15
1.什么是传统机械按键设计？
传统的机械按键设计是需要手动按压按键触动 PCBA上的开关按键来实现功能的一种设计方式。
传统机械按键结构
层图：
按
PCB
键
A
开关 键
传统机械按键设计要点： 1.合理的选择按键的类 型，尽量选择平头类的 按键，以防按键下陷。 2.开关按键和塑胶按键 设计间隙建议留 0.05~0.1mm，以防按键 死键。 3.要考虑成型工艺，合 理计算累积公差，以防
x0
x
函数 z f x, y 在点 x0, y0 处对 x 的偏导数，记作
z x
x0 , y0
,
f
x0,
x
y0 ,
zx 或 x0 , y0
fx x0, y0
若 lim f x0 , y0 y f x0 , y0 存在，则称此极限为
y 0
y
函数 z f x, y 在点 x0, y0 处对 y 的偏导数，记作
第二节 偏导数与全微分
一、填空题:
练习题
1、设z
e
y x
,则
z
_____________；
x
z ____________；dz ____________. y
2、若u ln( x 2 y 2 z 2 ),则
du _____________________________.
3、若函数z y ,当x 2, y 1 ,x 0.1, y 0.2 时, x
且函数z f ( x, y)在点( x, y)的全微分为 dz z x z y ． x y
一元函数在某点的导数存在 多元函数的各偏导数存在
微分存在． 全微分存在．
说明：1)多元函数的各偏导数存在并不能保证 全 微分存在;
2)不连续一定不可微
定理２（充分条件） 如果函数z f ( x, y)的偏 导数z 、z 在点( x, y)连续，则该函数在点( x, y)
(将y看成常数）
z
' x
(1,1)
e 1
z
' y
cos(x
y )e xy
sin(x
y)exy x
(将x看成常数）
z
' y
(1,1)
e1
解2： z(x,1) sin(x 1)ex
dz(x,1) cos(x 1)ex sin(x 1)ex dx
y0
y
记为 z y
(
x0
,
y0
，f ) y
(
x0
,
y0
)
，z
y
(
x0
,
偏导数和全微分的概念
全增量的概念 如果函数z f ( x, y)在点 P( x, y)的某邻域内有定义，
设 P( x x, y y)为这邻域内的任意一点，则称 这两点的函数值之差 f ( x x, y y) f ( x, y) 为函数在点 P 对应于自变量增量x, y 的全增量， 记为 z ，即
z f (x x, y y) f (x, y).
定义，当 y 固定在 y0而 x在 x0处有增量x时，
相应地函数有增量
z f (x0 x, y0) f (x0, y0)
如果
lim z lim f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 )
x x0
x0
x
存在，则称此极限为函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )
处对 x的偏导数，记为
把 x 看成常量
z x
x1
y2
21 328,
z y
x1
y2
31 227.
例2 求z x2 sin 2 y的偏导数.
解
z x
2xsin2 y;
z y
2x2cos2 y .
把 y 看成常量 把 x 看成常量
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8
例3 设f x, y xy x2 y3,求 f , f ,
x y
27
lim f ( x, y)
( x, y)(0,0)
lim
( x, y)(0,0)
(x2
x2 y2 y2 )3
2
lim sin2 cos2 0 f (0,0),
0
故函数 f ( x, y)在点(0, 0)连续。 (再证偏导数存在)
f x (0,0)
lim
x0
f (x,0) x
偏导数与全微分
一、偏导数
注意
偏导数的记号 作分子分母之商.
是一个整体的记号，不能看
一、偏导数
偏导数的概念还可推广到二元以上的函数.
设f(x,y,z)=xy2+yz2+zx2，求各二阶偏导数及fzzx(x,y,z). 解 因为
一、偏导数
引例说明由例2的结果 知，当单位体积空气中固体污染物的数量为1个单位， 气体污染物的数量为2个单位时，固体污染物每增加1 个单位时，大气污染指数将增大22个单位.同样，当气 体污染物的数量增加1个单位时，大气污染指数将增大 18个单位.
二、全微分
在第二章我们已经学习了一元函数y=f(x)微分的概念， 现在用类似的思想和方法，通过多元函数的全增量，把一元 函数微分的概念推广到多元函数．
在研究多元函数的偏导数时，只是某一个自变量变化， 而其他的自变量视为常量，但在实际问题中，往往是几个自 变量同时在变动，下面我们就来研究多元函数各个自变量同 时变化时函数的变化情形．以二元函数为例，为此，我们引 入二元函数全微分的概念．
偏导数与全 微分
一、偏导数
引例在报纸上经常会看到关于城市大气污染指数 P的数据，其常用的运算模型为 P=x2+2xy+4xy2，其 中x表示单位体积空气中固体污染物的数量，如粉尘； y表示单位体积空气中气体污染物的数量，如汽车尾气. 那么这些污染物在空气中含量的变化对指数的影响程 度如何呢？下面通过偏导数来进行分析.
所以
【例3】
求 解
一、偏导数
《偏导数和全微分》课件
光学：描述光场、折射率场等物理量
量子力学：描述波函数、概率密度等物理量
相对论：描述时空弯曲、引力场等物理量
全微分在几何中的应用
计算曲面的切平面
计算曲面的法线
计算曲面的曲率
计算曲面的旋转曲面
全微分在物理中的应用
力学：计算力、力矩、能量等物理量
热力学：计算温度、压力、体积等物理量
电磁学：计算电场、磁场、电磁波等物理量
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全微分的几何意义
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全微分描述了函数在某点处的变化趋势
全微分是函数在某点处的线性近似
全微分是函数在某点处的切线斜率
全微分是函数在某点处的切线方程
全微分的物理意义
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全微分表示函数在某点处的变化率
全微分是函数在某点处所有偏导数的线性组合
全微分可以用来计算函数在某点处的变化量
全微分是微积分中的重要概念，用于解决实际问题
偏导数和全微分的应用
偏导数在几何中的应用
求曲线的切线斜率
求曲面的切平面参数方程
求曲面的切平面法线
求曲面的切平面方程
偏导数在物理中的应用
力学：描述力场、速度场、加速度场等物理量
热力学：描述温度场、压力场等物理量电磁学：描述电场、磁来自等物理量偏导数的物理意义
偏导数可以用于求解多元函数的极值和条件极值
偏导数是函数在某一点处沿某一方向的变化率
偏导数可以描述函数在某一点处的局部性质
偏导数可以用于求解多元函数的梯度和方向导数
全微分的概念
全微分的定义
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偏导数与全微分的关系
偏导数与全微分的关系偏导数和全微分是微积分学中基本的概念，它们之间有着密切的关系。
在科学研究和工程应用中，这两个概念经常被用来求解复杂的问题。
本文将探讨偏导数和全微分之间的关系，以及它们在实际应用中的意义。
一、偏导数的定义和意义在微积分学中，偏导数是指在函数多元的情况下，对其中一个自变量求导，而把其他自变量看作常数的导数。
例如，对于函数$f(x,y)$，它的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 表示在 $y$ 固定的情况下， $f$ 相对于 $x$ 的变化量。
同样地，$\frac{\partialf}{\partial y}$ 表示在 $x$ 固定的情况下，$f$ 相对于 $y$ 的变化量。
偏导数在物理学和工程学中有着广泛的应用。
例如，偏导数可以用来求出某个物理量相对于时间的变化率，从而可以计算出这个物理量在不同时间点的取值。
在工程学中，偏导数可以用来计算出某个个体参数对系统的影响，从而帮助调节系统，以使其工作在最佳状态。
二、全微分的定义和意义全微分是指在函数多元的情况下，对于自变量的微小变化，函数值相对于自变量的变化量。
其数学表达式为：$$df=\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y$$其中 $\Delta x,\Delta y$ 为自变量的微小变化量，$\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}$ 分别表示函数 $f(x,y)$ 关于 $x,y$ 的偏导数。
全微分可以用来描述函数在某个点处的变化趋势。
例如，对于函数 $f(x,y)$，在某个点 $(x_0,y_0)$ 处的全微分 $df(x_0,y_0)$，可以用来描述函数 $f$ 在这个点处的斜率，从而反映函数在这个点的变化趋势。
偏导数与全微分
一、 偏导数
的某邻域内有定义 定义 设函数 z = f ( x, y)在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域内有定义 且极限
∆x 存在, 存在, 则称此极限为函数 z = f ( x, y) 在点( x0, y0 ) 对x ∂f ; ′ 偏导数， 的偏导数，记为 fx ( x0 , y0 ) ; ∂ x ( x0 , y0 )
∂f 只要把 y 之外的其他自变量暂时看成 求 时， ∂y 常量， 常量，对 y求导数即可 求导数即可
导数运算法则
[u( x) ± v( x)]′ = u′( x) ± v′( x)
[u( x)v( x)]'= u'( x)v( x) + u( x)v'( x)
u( x) u′( x)v( x) − u( x)v′( x) [ ]′ = v( x) v2( x) v( x) ≠ 0
三、全微分
引例 长方形金属薄片受热后面积的改变量
设长由 x变到x + ∆x , 宽由y变到y + ∆y , Q 长方形面积 S = xy , ∴ ∆S = ( x + ∆x )( y + ∆y ) − xy
= x∆y + y∆x + ∆x∆y
(1) (2)
x
x∆y ∆
∆x
∆x∆y ∆
∆y
S = xy
(1)∆z ≈ d z = fx′( x, y)∆x + f y′( x, y)∆y
(2) f ( x0 + ∆x, y0 + ∆y) ≈ f ( x0 , y0 ) +fx′( x0 , y0 )∆x + f y′( x0 , y0 )∆y
偏导数与全微分
偏导数与全微分偏导数和全微分是微积分中非常重要的概念和工具。
它们在求解多元函数的极值、优化问题以及微分方程的应用中起到了关键作用。
本文将介绍偏导数和全微分的定义、性质以及在实际应用中的意义和应用。
一、偏导数偏导数是对多元函数在某一变量上求导的一种推广。
对于函数f(x₁, x₂, ..., xn)，其关于变量 xi 的偏导数表示为∂f/∂xi，即对变量 xi 进行微小变化时，函数 f 的变化量与 xi 的变化量之间的比率。
如果 f 在某一点处的偏导数存在，那么它就是该点的切线斜率。
偏导数可以用几何上的切线来理解，它告诉我们函数在每个变量方向上的变化率。
偏导数的计算方法和一元函数的导数类似，只需将其他变量视为常数进行求导。
例如，对于函数 f(x, y) = x² + 2xy + y²，在求∂f/∂x 时，将y 视为常数，得到∂f/∂x = 2x + 2y。
同理，求∂f/∂y 时，将 x 视为常数，得到∂f/∂y = 2x + 2y。
偏导数不仅可以求一阶偏导数，还可以求高阶偏导数。
二阶偏导数表示对函数的一阶偏导数再次求导，例如∂²f/∂x² 表示对 x 的偏导数再对 x 求导。
高阶偏导数也有类似的定义。
二、全微分全微分是在偏导数的基础上推广出来的概念。
对于函数 f(x₁, x₂, ..., xn)，它的全微分表示为df = ∂f/∂x₁dx₁ + ∂f/∂x₂dx₂ + ... + ∂f/∂xndxn。
全微分可以看作是多元函数的线性逼近。
在某一点处，函数值的增量可以近似表示为各个自变量的增量与其对应的偏导数之积的总和。
全微分的重要性在于它可以帮助我们理解函数的微小变化对应的函数值的变化。
在实际应用中，我们常常使用全微分来近似计算函数值的变化。
三、偏导数与全微分的应用1. 极值和最优化问题：偏导数和全微分可以帮助我们找到多元函数的极值点和最优化问题的解。
通过求解偏导数为零的方程组，我们可以找到函数的驻点，并通过二阶偏导数的正负判断是否为极值点。
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dy dx
可看作函数的微分
dy 与自变量的微分 dx 之商．而偏导数的记号“y ”是一个
x
整体记号，其中的横线没有相除的意义．
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如果一元函数在某点可导，则它在该点必定连续．但
对于.二元函数，即使在某点两个偏导数都存在，也不能 保证它在该点连续．例如函数
xy
f
(x,
y)
x2
y2
0
(x, y) (0, 0) (x, y) (0, 0)
例4-13
设函数
z
xy
(x
0)，证明：xy
z x
1 ln x
z y
2z.
证
把 y 看成常数，则
z yx y1， x
把
x 看成常数，则
z x y ln x， y
所以
x z 1 z x yx y1 1 x y ln x x y x y 2z.
y x ln x y y
ln x
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f y(1, 2).
解 把 y 看成常量，对 x 求导数，（注意到其中 ln 3
为常数，其导数为0）得 fx(x, y) 2x 2 y
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把 x 看成常量，对 y 求导数，得
fy(x, y) 2x 3y2
在点（1，2）处的偏导数为
fx(1, 2) 2 1 2 2 6、 fy(1, 2) 213 22 10
同，而有下列四个二阶偏导数：
x
z x
2z x2
fxx(x, y);
y
z x
2z xy
f xy( x, y);
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z 2 z
xyBiblioteka yxf yx(x, y);
y
z y
2z y 2
f yy(x, y).
如果二阶偏导数也具有偏导数，则称为原来函数的三
阶偏导数．一般地，函数 z f (x, y) 的 n 1 阶偏导数的偏
y
、
f y
或 zy
即
f
y(
x,
y)
lim
y 0
f (x, y y) y
f
(x, y)
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函数 z f (x, y) 在点 (x0, y0 ) 处关于 x 的偏导数 fx(x0 , y0 )
显然就是偏导函数 fx(x, y) 在点 (x0, y0 ) 处的函数值； fy(x0, y0 ) 显然就是偏导函数 f y(x, y) 在点 (x0 , y0 ) 处的函数 值． 例4-12 设函数 f (x, y) x2 2xy y3 ln 3 ，求 fx(1, 2)、
导数称为函数 z f (x, y) 的 n 阶偏导数．二阶及二 阶以上
的偏导数统称为高阶偏导数（higher-order partial
derivatives）．
例4-15 设 z x2ey x3 y2 xy 2, 求 2z 、 2z 、 2 z 、
2z y 2
和
3z x3
.
x2 xy yx
在点M0 处的切线 M 0Ty 对 y 轴的
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三、高阶偏导数
设函数 z f (x, y) 在区域 D 内具有偏导数
z x
f x( x,
y),
z y
f y(x,
y)
这两个偏导数在 D 内都是 x, y 的二元函数．如果这
两个函数的偏导数也存在，则称这两个函数的偏导数为原
来函数 z f (x, y)的二阶偏导数．依照对变量求导次序的不
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解:
z 2xey 2x2 y2 y, x
f (x0 x, y0 ) f (x0 , y0 ) ,
如果
lim f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 )
x0
x
存在，则称此极限为函数 z f (x, y) 在点 (x0, y0) 处对 x
的偏导数(partial derirative)，记作
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或 f
x(
x0
,
y0
”
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第二节 偏导数与全微分
一、偏导数的概念 二、偏导数的几何意义 三、高阶偏导数 四、全微分
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一、偏导数的概念
定义4-4 设函数 z f (x, y) 在点 (x0, y0 ) 的某一邻域
内有定义，当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有增量 x 时，相应
地函数有增量
偏导数，记作
f
y
(
x0
,
y0
)、z
y
、f y x x0
y y0
x x0 y y0
或
zy xx0 y y0
偏导数是函数 z f (x, y) 沿着两个特殊方向的变化率，
即一个平行于 x ，另一个平行于 y 轴的变化率．
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如果函数 z f (x, y) 在区域 D 内每一点 (x, y) 都有关于
)、z
x
、f x x x0
y y0
x x0 y y0
zx xx0 y y0
同样，当 x 固定在 x0 ，而 y 在 y0 处有增量 y 时，如果
极限
lim f (x0 , y0 y) f (x0, y0 )
y 0
y
存在，则称此极限为函数 z f (x, y) 在点 (x0, y0 ) 处对 y 的
例4-14 已知理想气体状态方程 pV RT (R 为常量），
试证：p V T 1.
V T p
证 因为
p RT , V
p RT ; V V 2
V RT , p
V R ; T p
T
pV , R
T V . 所以
p R
p V
V T
T p
RT V2
R V pR
RT pV
1.
注意：对一元函数来说，导数
x 的偏导数，这个偏导数就是 x 的函数，称为函数 z f (x, y) 关于 x 的偏导函数，简称为偏导数，记作
f
x(
x,
y
)、
z x
、
f x
或
z x
即
f x( x,
y)
lim
x0
f
(x x, y) x
f
(x, y)
同样，有函数 z f (x, y) 关于 y 的偏导函数
f
y(
x,
y)、z
连续．
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二、偏导数的几何意义:
z
f x
x x0 y y0
d dx
f (x, y0 )
x x0
M0
Tx
Ty
是曲线
z
y
f (x, y0
y)在点
M0
处的切线
M 0Tx 对 x 轴的斜率.
f y
x x0 y y0
d dy
f (x0 , y)
y
y0
O
x0
x
y0 y
(x0 , y0 )
是曲线 斜率.
在点（0，0）处的两个偏导数
fx(0, 0)
lim
x0
f
(0 x, 0) x
f
(0, 0)
lim
x0
0 (x)2 0
x
0
lim 0
x0
0
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f y(0, 0)
lim
y 0
f
(0, 0 y) y
f
(0, 0)
lim
y 0
0 0 (y)2
y
0
lim 0
y 0
0
都存在，但由第一节中例4-13知此函数在（0，0）点不