偏导数与全微分53354

例4-13
设函数
z
xy
(x
0)，证明：xy
z x
1 ln x
z y
2z.
证
把 y 看成常数，则
z yx y1， x
把
x 看成常数，则
z x y ln x， y
所以
x z 1 z x yx y1 1 x y ln x x y x y 2z.
y x ln x y y
ln x
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同，而有下列四个二阶偏导数：
x
z x
2z x2
fxx(x, y);
y
z x
2z xy
f xy( x, y);
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z 2 z
x
y
yx
f yx(x, y);
y
z y
2z y 2
f yy(x, y).
如果二阶偏导数也具有偏导数，则称为原来函数的三
阶偏导数．一般地，函数 z f (x, y) 的 n 1 阶偏导数的偏
x 的偏导数，这个偏导数就是 x 的函数，称为函数 z f (x, y) 关于 x 的偏导函数，简称为偏导数，记作
f
x(
x,
y
)、
z x
、
f x
或
z x
即
f x( x,
y)
lim
x0
f
(x x, y) x
f
(x, y)
同样，有函数 z f (x, y) 关于 y 的偏导函数
f
y(
x,
y)、z
dy dx
可看作函数的微分
dy 与自变量的微分 dx 之商．而偏导数的记号“y ”是一个
x
整体记号，其中的横线没有相除的意义．
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如果一元函数在某点可导，则它在该点必定连续．但
对于.二元函数，即使在某点两个偏导数都存在，也不能 保证它在该点连续．例如函数
xy
f
(x,
y)
x2
y2
0
(x, y) (0, 0) (x, y) (0, 0)
连续．
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二、偏导数的几何意义:
z
f x
x x0 y y0
d dx
f (x, y0 )
x x0
M0
Tx
Ty
是曲线
z
y
f (x, y0
y)在点
M0
处的切线
M 0Tx 对 x 轴的斜率.
f y
x x0 y y0
d dy
f (x0 , y)
y
y0
O
x0
x
y0 y
(x0 , y0 )
是曲线 斜率.
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解:
z 2xey 2x2 y2 y, x
导数称为函数 z f (x, y) 的 n 阶偏导数．二阶及二 阶以上
的偏导数统称为高阶偏导数（higher-order partial
derivatives）．
例4-15 设 z x2ey x3 y2 xy 2, 求 2z 、 2z 、 2 z 、
2z y 2
和
3z x3
.
x2 xy yx
f (x0 x, y0 ) f (x0 , y0 ) ,
如果
lim f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 )
x0
x
存在，则称此极限为函数 z f (x, y) 在点 (x0, y0) 处对 x
的偏导数(partial derirative)，记作
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或 f
x(
x0
,
y0
例4-14 已知理想气体状态方程 pV RT (R 为常量），
试证：p V T 1.
V T p
证 因为
p RT , V
p RT ; V V 2
V RT , p
V R ; T p
T
pV , R
T V . 所以
p R
p V
V T
T p
RT V2
R V pR
RT pV
1.
注意：对一元函数来说，导数
f y(1, 2).
解 把 y 看成常量，对 x 求导数，（注意到其中 ln 3
为常数，其导数为0）得 fx(x, y) 2x 2 y
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把 x 看成常量，对 y 求导数，得
fy(x, y) 2x 3y2
在点（1，2）处的偏导数为
fx(1, 2) 2 1 2 2 6、 fy(1, 2) 213 22 10
y
、
f y
或 zy
即
f
y(
x,
Leabharlann Baidu
y)
lim
y 0
f (x, y y) y
f
(x, y)
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函数 z f (x, y) 在点 (x0, y0 ) 处关于 x 的偏导数 fx(x0 , y0 )
显然就是偏导函数 fx(x, y) 在点 (x0, y0 ) 处的函数值； fy(x0, y0 ) 显然就是偏导函数 f y(x, y) 在点 (x0 , y0 ) 处的函数 值． 例4-12 设函数 f (x, y) x2 2xy y3 ln 3 ，求 fx(1, 2)、
”
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第二节 偏导数与全微分
一、偏导数的概念 二、偏导数的几何意义 三、高阶偏导数 四、全微分
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一、偏导数的概念
定义4-4 设函数 z f (x, y) 在点 (x0, y0 ) 的某一邻域
内有定义，当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有增量 x 时，相应
地函数有增量
偏导数，记作
f
y
(
x0
,
y0
)、z
y
、f y x x0
y y0
x x0 y y0
或
zy xx0 y y0
偏导数是函数 z f (x, y) 沿着两个特殊方向的变化率，
即一个平行于 x ，另一个平行于 y 轴的变化率．
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如果函数 z f (x, y) 在区域 D 内每一点 (x, y) 都有关于
在点M0 处的切线 M 0Ty 对 y 轴的
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三、高阶偏导数
设函数 z f (x, y) 在区域 D 内具有偏导数
z x
f x( x,
y),
z y
f y(x,
y)
这两个偏导数在 D 内都是 x, y 的二元函数．如果这
两个函数的偏导数也存在，则称这两个函数的偏导数为原
来函数 z f (x, y)的二阶偏导数．依照对变量求导次序的不
在点（0，0）处的两个偏导数
fx(0, 0)
lim
x0
f
(0 x, 0) x
f
(0, 0)
lim
x0
0 (x)2 0
x
0
lim 0
x0
0
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f y(0, 0)
lim
y 0
f
(0, 0 y) y
f
(0, 0)
lim
y 0
0 0 (y)2
y
0
lim 0
y 0
0
都存在，但由第一节中例4-13知此函数在（0，0）点不
)、z
x
、f x x x0
y y0
x x0 y y0
zx xx0 y y0
同样，当 x 固定在 x0 ，而 y 在 y0 处有增量 y 时，如果
极限
lim f (x0 , y0 y) f (x0, y0 )
y 0
y
存在，则称此极限为函数 z f (x, y) 在点 (x0, y0 ) 处对 y 的