线性变换与矩阵核的关系

故N(A)=span{a}.N(A )的基为:
1 , 2 , 3
x1 x2 31 2 2 3 . x 3
因此,矩阵A的核就是该方程组的基础解系所张成的 空间.
线性映射A 的核N(A )中向量X的坐标向量
( x1 ,, xn ) 应满足上述方程组.
T
例:设线性映射 A :
R3 R 2在基1 (1,1,1)T , 2 (1, 0, 1)T , 3 (0,1,1)T 与基1 (1,1) , 2 (0, 2) 的矩阵表示为
T T
1 1 1 A 0 1 2 ,
求N(A)和N(A ). 解: 由AX=0,即:
1 1 1 x1 3 0 1 2 x2 0, 求出基础解系为:a= -2 . x 1 3
x1 A (1 , , n ) 0. x n
x1 即(1 , , n ) A 0, 根据1 , , n线性无ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ知 x n x1 A 0, 这就是矩阵A的核所满足的方程组. x n
线性映射A 的核N(A )与其矩阵A的核N(A) 的关系:
设A 是n维线性空间V到m维线性空间W上 的线性映射,
1,,n是V的一组基, 1 ,n是W的一组基
A 在这组基下矩阵为A, 求A 的核N(A )与其矩阵 A的核N(A):
x1 设X V,X=(1 , , n ) .则 N(A )中向量X必满足: x n