2021年郑州市高三二模理科数学答案

2020-2021郑州市第二次质量预测理科数学评分参考

一、选择题

BCDAA BDCAD BB 二、填空题

13. ;y x = 14.-3; 15. 2; 16. (0,].e

三、解答题

17. 解：（1）由题意(1)2n n n a S +=

，11(2),2

n n na

S n --=≥两式相减得， ………………2分 1

(1)(2),22

n n n n a na a n -+=

-≥ ………………4分 即1(1),n n n a na --=111,11n n a a a

n n -====-所以.n a n = ………………6分

（2）1

12+111

=(1)

(1)()(1)1

n n n n b n n n n ++-=-+++，………………8分

2021111111111

(1)()+()()()223342020202120212022T =+-+++-+++

120231=.20222022

=+ ………………12分

18. 解：（1）设AD 、BC 的中点分别为O 、E ，连接PO 、OE 、EP ， 则为直角梯形的中位线，故． ……………2分 又平面平面，平面PAD

平面ABCD AD =，

，所以平面，，又PO OE O =，

所以平面， ………………4分

又PE ⊂平面，故，又E 为中点，所以.……………5分 （2）在上取一点F ，使得，则，，两两垂直，以O 为原点，射线，，分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，

2

(0,0,

)2

P ，11(,,0)22A -，13(,,0)22C -，11(,,0)22D -， …6分

从而：112132(,,),(,,),(0,1,0)2

22222

PA PC DC =-

-=--=， 8分 设平面的法向量为，

OE ABCD BC OE ⊥PAD ⊥ABCD PO AD ⊥PO ⊥ABCD PO BC ⊥BC ⊥PEO PEO BC PE ⊥BC PB PC =AB 4AB AF =OF OE OP OF OE OP PCD (),,n x y z =

由130,222

0x y z y ⎧-+-

=⎪⎨⎪=⎩

………………10分 可取(2,0,1)n =-，6

cos ,3||||

PA n

PA n PA n ⋅<>=

=⋅ 故直线与平面． ………………12分 19.解：（1）由题意知，2222

21,21

91,4,c e a a b a b c ⎧==⎪⎪

⎪+=⎨⎪-=⎪⎪⎩

解得22=4=3a b ，， ………………4分

椭圆C 的方程为22

1.43

x y +=………………5分

（2）显然直线l 斜率不为0，设直线l 方程为1x my =+，与22

143x y +=联立得：

22(34)690m y my ++-=， ………………7分

设P 、Q 点坐标为1122(,),(,),x y x y 则1212

2269,3434

m y y y y m m --+==++， 直线AP 的方程为11(2)2y y x x =

++，令4x =，得1162M y y x =+，同理2

262

N y y x =+， 121212

212121212363636(2)(2)(3)(3)3()9

M N y y y y y y y y x x my my m y y m y y =

==+++++++

222

2936

349.96393434

m m m m m m -+==---++++

………………9分 （3）196||3||318.2AMN M N M M S y y y y ∆=

⋅⋅-=+≥⋅= 当且仅当=3,3M N y y =-或=3,3M N y y -=时等号成立. ………………12分 20. （1）X 服从正态分布(280,25)N ，所以()10.9974

2650.00132

P X -<=

=，…2PB PCD

分

()26510.00130.9987.P X ≥=-= ………………4分

至少一个零件尺寸小于265的概率为10

1(0.9987)10.98710.0129.-=-= ……5分 （2）四年内正常维护费为5000420000⨯=元， ………………6分

故障维修费第一次2000元，第二次4000元，第三次6000元，第四次8000元， 所以四年内生产维护费用总和Y 的可能取值为20000、22000、26000、32000、40000，

则()404381200004256P Y C ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，()3

141327220004464P Y C ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭， ()2

2

24

13272600044128P Y C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3

34133200043464

P Y C ⎛⎫===

⎪⋅⎝⎭⋅， ()4

11400004256P Y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭

， ………………9分 则Y 的分布列为：

故()2000220002600032000400002566412864256

E Y =⨯

+⨯+⨯+⨯+⨯22750.= ………………12分

21.（1）当2a e =，不等式()f x mx m ≥-即为2ln x xe e x e mx m --≥-， …………2分 令()2ln (1),[1,)x

F x xe e x e m x x =----∈+∞

2()(1),x e

F x x e m x

'=+-

-()F x '在[1,)+∞上单调递增，(1)=F m '-， ………………4分 当0m ≤时，(1)0()(1)0F F x F '''≥≥≥，，()F x 在[1,)+∞上单调递增，()(1)0.F x F ≥≥ 当0m >时，(1)0F '<，当,()x F x '→+∞→+∞，所以存在*

(1,)x ∈+∞，*

()0F x '=，

当*

(1,)x x ∈，()0F x '<，

()F x 单调递减，()(1)0.F x F <=不符合题意. 综上，0m ≤. ………………6分