2021年郑州市高三二模理科数学答案

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河南省2021年高考数学二模试卷(理科)(II)卷

河南省 2021 年高考数学二模试卷（理科）（II）卷姓名:________班级:________成绩:________一、选择题： (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2020·北京) 在复平面内，复数 z 对应的点的坐标是，则（）．A.B.C.D.2. （2 分） (2018·中山模拟) 设集合，（）．则集合等于A.B.C.D.3. （2 分） (2016 高二下·右玉期中) 若 a∈R，则“关于 x 的方程 x2+ax+1=0 无实根”是“z=（2a﹣1）+（a ﹣1）i（其中 i 表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的（）A . 充分非必要条件B . 必要非充分条件C . 充要条件D . 既非充分又非必要条件4. （2 分）抛物线的焦点坐标为（）第 1 页共 23 页A . (2,0) B . (-2,0) C. D. 5. （2 分）某程序框图如下，当 E=0.96 时，则输出的 K=（）A . 20 B . 22 C . 24 D . 256. （2 分） (2016 高三上·集宁期中) 设实数 x，y 满足 A. B. C.第 2 页共 23 页，则的取值范围是（）D.7. （2 分） (2017 高一下·扶余期末) 一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为（）A . 120 cm3 B . 100 cm3 C . 80 cm3 D . 60 cm3 8. （2 分） (2019 高二下·泗县月考) 一个盒中有 4 个新乒乓球，2 个旧兵乓球，每次比赛时取出两个，用后放回，则第二次比赛时取到两只都是新球的概率为（）A.B.C.D.9. （2 分） (2016 高一下·包头期中) 若函数 A.是偶函数，则 φ=（）B.C.第 3 页共 23 页D. 10. （2 分） (2016·新课标Ⅲ卷理) 执行如图程序框图，如果输入的 a=4，b=6，那么输出的 n=（）A.3 B.4 C.5 D.611. （2 分） (2017 高二上·临淄期末) 已知 x，y 满足 A.1B . ﹣1C . ﹣2D . ﹣5第 4 页共 23 页，且 z=y﹣2x 的最大值是（）12. （2 分） (2016 高一上·玉溪期中) 已知函数 f（x）= A.，则 f[f（﹣1）]=（）B. C.1 D . 2P二、填空题： (共 4 题；共 4 分)13. （1 分） (2018 高三上·浙江期末) 如图，有 7 个白色正方形方块排成一列，现将其中 4 块涂上黑色，规定从左往右数，无论数到第几块，黑色方块总不少于白色方块的涂法有________种。

河南省六市高三2021届第二次联考(二模)数学(理科)试卷及答案

三、解答题
17．设数列是公差大于零的等差数列，已知， .
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求 .
18．如图所示，在四棱锥中，，，，且，．
(1) 平面；
(2)在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．
19．2020年席卷全球的新冠肺炎给世界人民带来了巨大的灾难，面对新冠肺炎，早发现、早诊断、早隔离、早治疗是有效防控疾病蔓延的重要举措之一.某社区对位居民是否患有新冠肺炎疾病进行筛查，先到社区医务室进行口拭子核酸检测，检测结果成阳性者，再到医院做进一步检查，已知随机一人其口拭子核酸检测结果成阳性的概率为 %，且每个人的口拭子核酸是否呈阳性相互独立.
21．已知函数， .
（1）设图象在点处的切线与的图象相切，求的值；
（2）若函数存在两个极值点，，且，求的最大值.
22．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为 ( 为参数， ).以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
方案一：将位居民分成组，每组人；
方案二：将位居民分成组，每组人；
试分析哪一个方案的工作量更少？
（参考数据：，）
20．已知圆，动圆与圆相外切，且与直线相切.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程.
(2)已知点，过点的直线与曲线交于两个不同的点（与点不重合），直线的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
则由已知可得，，，
所以，解得，
所以楼高（米）．
故选：B．
本题考查解三角形的实际应用．属于基础题．

2020-2021学年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）及答案解析

2020-2021学年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）及答案解析河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合A={x|x2+x≥0}，B={x|5x≥5}，则A∩B=（）A．{x|x≥0或x≤﹣1} B．{x|x≥﹣1} C．{x|x≥1} D．{x|x≥0}2．已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．33．下列函数中既是奇函数又在区间，[﹣1，1]上单调递减的是（）A．y=sinx B．y=﹣|x+1| C．D．y=（2x+2﹣x）4．下列说法错误的是（）A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D．在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好5．在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”．这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有（）盏灯．A．2 B．3 C．5 D．66．执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出y的值为（）A．23 B．11 C．5 D．27．双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为45°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．1+D．1+8．已知实数x，y满足，则z=的最大值是（）A．B．1 C．3 D．99．已知某几何体的三视图如图所示（图中数据单位：cm），则这个几何体的体积为（）A．20cm3B．22cm3C．24cm3D．26cm310．在△ABC中，BC=7，cosA=，cosC=，若动点P满足=+（1﹣λ）（λ∈R），则点P的轨迹与直线AB、AC所围成的封闭区域的面积为（）A．3B．4C．6D．1211．如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE 上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=alnx﹣x2+bx存在极小值，且对于b的所有可能取值f（x）的极小值恒大于0，则a的最小值为（）A．﹣e3B．﹣e2C．﹣e D．﹣二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后的图形关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为______．14．若y3（x+）n（n∈N*）的展开式中存在常数项，则常数项为______．15．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n项的和，则的最小值为______．16．已知抛物线y2=4x，过其焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，M为抛物线的准线与x轴的交点，tan∠AMB=，则|AB|=______．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，选做题3小题，考生任作一题，共10分17．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若=，且sin2A（2﹣cosC）=cos2B+，求角C的大小；（2）若△ABC为锐角三角形，且A=，a=2，求△ABC面积的取值范围．18．微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微信用户使用微信的时间情况，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性微信用户各50名．其中每天玩微信时间超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如表：微信控非微信控合计男性26 24 50女性30 20 50合计56 44 100（1）根据以上数据，能否有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关？（2）现从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；（3）从（2）中抽选取的5人中再随机抽取3人赠送价值200元的护肤品套装，记这3人中“微信控”的人数为X，试求X的分布列及数学期望．参考公式：，其中n=a+b+c+d．P（K20.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010≥k0）k00.455 0.708 1.323 3.841 5.024 6.63519．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB=AA1，∠A1AB=∠A1AD=60°（1）求证：平面A1BD⊥平面A1AC；（2）若BD=，A1D=2，求二面角A1﹣BD﹣B1的大小．20．已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1（﹣c，0）、F2（c，0），P为椭圆C 上任意一点，且最小值为0．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）若动直线l2，l2均与椭圆C相切，且l1∥l2，试探究在x轴上是否存在定点B，使得点B到l1，l2的距离之积恒为1？若存在，请求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．21．设函数f（x）=e x+ln（x+1）﹣ax．（1）当a=2时，判断函数f（x）在定义域内的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≥cosx恒成立，求实数a的取值范围．[选修4-1几何证明选讲]22．自圆O外一点P引圆O的两条割线PAB和PDC，如图所示，其中割线PDC过圆心O．AB= OA，PD=，∠P=15°，（1）求∠PCB的大小；（2）分别球线段BC和PA的长度．[选修4-4坐标系与参数方程]23．已知曲线C的极坐标方程为ρsinθ+2ρcosθ=20，将曲线C1：（α为参数）经过伸缩变换后得到C2（1）求曲线C2的参数方程；（2）若点M在曲线C2上运动，试求出M到曲线C的距离d的取值范围．[选修4-5不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x+a|（1）当a=3时，不等式f（x）≥k+2的解集不是R，求k的取值范围；（2）若不等式f（x）≤1的解集为{x|x≥}，求a的值．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合A={x|x2+x≥0}，B={x|5x≥5}，则A∩B=（）A．{x|x≥0或x≤﹣1} B．{x|x≥﹣1} C．{x|x≥1} D．{x|x≥0}【考点】交集及其运算．【分析】分别求解一元二次不等式与指数不等式化简集合A，B，然后利用交集运算得答案．【解答】解：由x2+x≥0，得x≤﹣1或x≥0，∴A={x|x2+x≥0}={x|x≤﹣1或x≥0}，由5x≥5，得x≥1，∴B={x|5x≥5}={x|x≥1}，∴A∩B={x|x≤﹣1或x≥0}∩{x|x≥1}={x|x≥1}．故选：C．2．已知=b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】先化简复数，再利用复数相等，解出a、b，可得结果．【解答】解：由得a+2i=bi﹣1，所以由复数相等的意义知a=﹣1，b=2，所以a+b=1 另解：由得﹣ai+2=b+i（a，b∈R），则﹣a=1，b=2，a+b=1．故选B．3．下列函数中既是奇函数又在区间，[﹣1，1]上单调递减的是（）A．y=sinx B．y=﹣|x+1| C．D．y=（2x+2﹣x）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．【解答】解：y=sinx是奇函数，但是，[﹣1，1]上单调增函数．y=﹣|x+1|不是奇函数，对于，因为f（﹣x）==﹣=﹣f（x），所以是奇函数，在[﹣1，1]上单调减函数，y=（2x+2﹣x）是偶函数，[﹣1，1]上单调递增．故选：C．4．下列说法错误的是（）A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D．在回归分析中，R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合的效果好【考点】相关系数．【分析】A根据相关关系的定义，判断命题A正确；B线性回归分析的相关系数r的绝对值越接近1，线性相关性越强，判断命题B错误；C一组数据拟合程度的好坏，是残差点分布的带状区域宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，判断命题C正确；D用相关指数R2刻画回归效果时，R2的值越大说明模型拟合效果越好，由此判断命题D正确．【解答】解：对于A，根据相关关系的定义，即可判断自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系是相关关系，∴命题A正确；对于B，线性回归分析中，相关系数r的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，∴命题B错误；对于C，残差图中，对于一组数据拟合程度的好坏评价，是残差点分布的带状区域宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，∴命题C正确；对于D，回归分析中，用相关指数R2刻画回归效果时，R2的值越大说明模型拟合效果越好，∴R2为0.98的模型比R2为0.80的模型拟合效果好，命题D正确．故选：B．5．在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”．这首古诗描述的这个宝塔古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有（）盏灯．A．2 B．3 C．5 D．6【考点】等比数列的前n项和．【分析】由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a为首项，以2为公比的等比数列，由等比数列的求和公式可得a的方程，解方程可得．【解答】解：设第七层有a盏灯，由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a为首项，以2为公比的等比数列，∴由等比数列的求和公式可得=381，解得a=3，∴顶层有3盏灯，故选：B．6．执行如图所示的程序框图，若输入x=2，则输出y的值为（）A．23 B．11 C．5 D．2【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，y=5，不满足输出条件，故x=5，再次执行循环体后，y=11，不满足输出条件，故x=11，再次执行循环体后，y=23，满足输出条件，故输出的y值为23，故选：A．7．双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为45°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．1+D．1+【考点】双曲线的简单性质．【分析】将x=c代入双曲线方程求出点M的坐标，通过解直角三角形列出三参数a，b，c的关系，求出离心率的值．【解答】解：将x=c代入双曲线的方程=1（a＞0，b＞0）得y=，即M（c，）．在△MF1F2中tan45°==1即，解得e==+1．故选：C．8．已知实数x，y满足，则z=的最大值是（）A．B．1 C．3 D．9【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域要使z=最大，则x最小，y最大即可，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：则x≥1，y≥1，要使z=的最大，则x最小，y最大即可，由图象知当z=经过点A时，z取得最大值，由，得x=1，y=3，即A（1，3），则z=的最大值是z==9，故选：D．9．已知某几何体的三视图如图所示（图中数据单位：cm），则这个几何体的体积为（）A．20cm3B．22cm3C．24cm3D．26cm3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可知几何体是组合体：左边是三棱锥、右边是直四棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是组合体：左边是三棱锥、右边是直四棱锥，直四棱锥底面是一个边长为1.5、4的矩形，高是3，由俯视图得三棱锥的底面是直角三角形，直角边为1、4，由正视图得高即四棱锥的侧棱为3，∴几何体的体积V=+1.5×4×3=20（cm3）故选：A．10．在△ABC中，BC=7，cosA=，cosC=，若动点P满足=+（1﹣λ）（λ∈R），则点P的轨迹与直线AB、AC所围成的封闭区域的面积为（）A．3B．4C．6D．12【考点】轨迹方程．【分析】根据向量加法的几何意义得出P点轨迹，利用正弦定理解出AB，得出△ABC的面积，从而求出围成封闭区域的面积．【解答】解：设=．∵=+（1﹣λ）=+（1﹣λ）．∴C，D，P三点共线．∴P点轨迹为直线CD．在△ABC中，sinA=．sinC=．由正弦定理得AB==．sinB=sin （A+C ）=sinAcosC+cosAsinC==．∴S △ABC ==．∴S △ACD =S △ABC =．故选：B ．11．如图，在长方形ABCD 中，AB=，BC=1，E 为线段DC 上一动点，现将△AED 沿AE 折起，使点D 在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成轨迹的长度为（）A ．B ．C ．D ．【考点】轨迹方程．【分析】根据图形的翻折过程中变与不变的量和位置关系知，若连接D'K ，则D'KA=90°，得到K 点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形的边长得到圆的半径，求得此弧所对的圆心角的弧度数，利用弧长公式求出轨迹长度．【解答】解：由题意，将△AED 沿AE 折起，使平面AED ⊥平面ABC ，在平面AED 内过点D 作DK ⊥AE ，K 为垂足，由翻折的特征知，连接D'K ，则D'KA=90°，故K 点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是，如图当E 与C 重合时，AK==，取O 为AD ′的中点，得到△OAK 是正三角形．故∠K0A=，∴∠K0D'=，其所对的弧长为=，故选：D．12．已知函数f（x）=alnx﹣x2+bx存在极小值，且对于b的所有可能取值f（x）的极小值恒大于0，则a的最小值为（）A．﹣e3B．﹣e2C．﹣e D．﹣【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求函数的导数，根据函数存在极小值等价为f′（x）=﹣x+b=0有解，转化为一元二次方程，根据一元二次方程根与判别式△之间的关系进行转化求解即可．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），则函数的导数f′（x）=﹣x+b，若函数f（x）=alnx﹣x2+bx存在极小值，则f′（x）=﹣x+b=0有解，即﹣x2+bx+a=0有两个不等的正根，则，得b＞2，（a＜0），由f′（x）=0得x1=，x2=，分析易得f（x）的极小值点为x1，∵b＞2，（a＜0），∴x1==∈（0，），则f（x）极小值=f（x1）=alnx1﹣x12+bx1=alnx1﹣x12+x12﹣a=alnx1+x12﹣a，设g（x）=alnx+x2﹣a，x∈（0，），f（x）的极小值恒大于0等价为g（x）恒大于0，∵g′（x）=+x=＜0，∴g（x）在（0，）上单调递减，故g（x）＞g（）=aln﹣a≥0，得ln≤，即﹣a≤e3，则a≥﹣e3，故a的最小值为是﹣e3，故选：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.13．将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后的图形关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为﹣．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在[0，]上的最小值．【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后，得到y=sin（2x++φ）的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得+φ=kπ，即φ=kπ﹣，k∈Z，又|φ|＜，∴φ=﹣，f（x）=sin（2x﹣）．∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，故当2x﹣=﹣时，f（x）取得最小值为﹣，故答案为：﹣．14．若y3（x+）n（n∈N*）的展开式中存在常数项，则常数项为84 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】写出二项式（x+）n的展开式的通项，可得y3（x+）n 的展开式的通项，再由x，y的指数为0求得n，r的值，则答案可求．【解答】解：二项式（x+）n的展开式的通项为，则要使y3（x+）n（n∈N*）的展开式中存在常数项，需，即n=9，r=3．∴常数项为：．故答案为：84．15．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n项的和，则的最小值为 4 ．【考点】等差数列的性质．【分析】由等比中项的性质、等差数列的通项公式列出方程求公差d，代入等差数列的通项公式、前n项和公式求出a n、S n，代入利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值．【解答】解：因为a1，a3，a13成等比数列，所以，又a1=1，所以（1+2d）2=1×（1+12d），解得d=2或d=0（舍去），所以a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，S n==n2，则====﹣2≥2﹣2=4，当且仅当时取等号，此时n=2，且取到最小值4，故答案为：4．16．已知抛物线y2=4x，过其焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，M为抛物线的准线与x轴的交点，tan∠AMB=，则|AB|= 16 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设AB方程y=k（x﹣1），与抛物线方程y2=4x联立，利用tan∠AMB=，建立k的方程，求出k，即可得出结论．【解答】解：焦点F（1，0），M（﹣1，0），设AB方程y=k （x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2）∵tan∠AMB=，∴=，整理可得2k（x1﹣x2）=（x1+1）（x2+1）+y1y2…（*）y=k（x﹣1），与y2=4x联立可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0 可得x1x2=1，x1+x2=+2，y1y2=﹣4代入（*）可得2k（x1﹣x2）=?，∴x1﹣x2=，∴（+2）2﹣4=（）2，∴k=±，∴x1+x2=+2=14，∴|AB|==16．故答案为：16．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，选做题3小题，考生任作一题，共10分17．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若=，且sin2A（2﹣cosC）=cos2B+，求角C的大小；（2）若△ABC为锐角三角形，且A=，a=2，求△ABC面积的取值范围．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理化简可得tanA=tanB，于是C=π﹣2A，代入sin2A（2﹣cosC）=cos2B+化简可求得A；（2）利用正弦定理用B表示出b，c，得到面积S关于B的函数，求出B的范围，得出S的范围．【解答】解：（1）∵，，∴tanA=tanB，∴A=B．∴C=π﹣2A．∵sin2A（2﹣cosC）=cos2B+，∴sin2A（2+cos2A）=cos2A+，即（1﹣cos2A）（2cos2A+1）=cos2A+，解得cos2A=，∵A+B+C=π，A=B，∴A，∴cosA=，∴A=，C=π﹣2A=．（2）由正弦定理得，∴b=2sinB，c=2sinC=2sin（）=2sinB+2cosB．∴S==2sin2B+2sinBcosB=sin2B﹣cos2B+1=sin（2B﹣）+1．∵△ABC为锐角三角形，∴，∴．∴＜2B﹣＜，∴2＜sin（2B﹣）≤1+．∴△ABC面积的取值范围是（2，1+]．18．微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微信用户使用微信的时间情况，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性微信用户各50名．其中每天玩微信时间超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如表：微信控非微信控合计男性26 24 50女性30 20 50合计56 44 100（1）根据以上数据，能否有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关？（2）现从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数；（3）从（2）中抽选取的5人中再随机抽取3人赠送价值200元的护肤品套装，记这3人中“微信控”的人数为X，试求X的分布列及数学期望．参考公式：，其中n=a+b+c+d．P（K20.50 0.40 0.25 0.05 0.025 0.010≥k0）k00.455 0.708 1.323 3.841 5.024 6.635【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）计算K2的值，与临界值比较，可得结论；（2）从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法，比例为3：2，选出5人赠送营养面膜1份，可得结论．（3）X的取值为1，2，3，再求出X取每一个值的概率，即可求得X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）由题意，K2=≈0.65＜0.708，∴没有60%的把握认为“微信控”与“性别”有关；（2）从参与调查的女性用户中按分层抽样的方法，比例为3：2，选出5人赠送营养面膜1份，所抽取的5人中“微信控”有3人，“非微信控”的人数有2人；（3）X=1，2，3，则P（X=1）==0.3，P（X=2）==0.6，P（X=3）==0.1．X的分布列为：X 1 2 3P 0.3 0.6 0.1X的数学期望为EX=1×0.3+2×0.6+3×0.1=1.8．19．在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，且AB=AA1，∠A1AB=∠A1AD=60°（1）求证：平面A1BD⊥平面A1AC；。

2021年河南郑州高三二模理科数学试卷-学生用卷

2021年河南郑州高三二模理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2021年河南郑州高三二模理科第1题5分设集合A={x|2<x<6}，B={x|log2⁡(x−1)<2}，则A∩B=（）．A. {x|3<x<5}B. {x|2<x<5}C. {3,4}D. {3,4,5}2、【来源】 2021年河南郑州高三二模理科第2题5分若复数a−i2+i（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）．A. 2B. −2C. 12D. −123、【来源】 2021年河南郑州高三二模理科第3题5分2021年河南郑州高三二模文科第3题5分下图是某统计部门网站发布的《某市2020年2∼12月国民经济和社会发展统计公报》中居民消费价格指数（CPI）月度涨跌幅度折线图（注：同比是今年第n个月与去年第n个月之比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期之比）下列说法错误的是（）．①2020年9月CPI环比上升0.5%，同比上涨2.1%② 2020年9月CPI 环比上升0.2%，同比无变化③ 2020年3月CPI 环比下降1.1%，同比上涨0.2%④ 2020年3月CPI 环比下降0.2%，同比上涨1.7%A. ①③B. ①④C. ②④D. ②③4、【来源】 2021年河南郑州高三二模理科第4题5分函数f (x )=sin⁡xln⁡π−x π+x 在(−π,π)的图象大致为（）． A.B.C.D.5、【来源】 2021年河南郑州高三二模理科第5题5分S n是公比不为1的等比数列{a n}的前n项和，S9是S3和S6的等差中项，则S12S6=（）．A. 54B. 34C. 43D. 326、【来源】 2021年河南郑州高三二模理科第6题5分已知x，y满足{x+y−2⩾0x+2y−3⩽0x⩾0，则z=2x+4y的取值范围是（）．A. [0,4]B. [4,6]C. [0,6]D. [6,8]7、【来源】 2021年河南郑州高三二模理科第7题5分已知实数a，b，c满足ln⁡a=e b=1c，则下列不等式中不可能成立的是（）．A. a>b>cB. a>c>bC. c>a>bD. c>b>a8、【来源】 2021年河南郑州高三二模理科第8题5分关于函数f(x)=|sin⁡(2x−π3)+cos⁡(2x−π2)|，下列判断正确的是（）．A. f(x)的值域为[0,√2]B. f(x)是以π为最小正周期的周期函数C. f(x)在[0,π]上有两个零点D. f (x )在区间[π3,2π3]上单调递减9、【来源】 2021年河南郑州高三二模理科第9题5分元宵节是中国传统佳节，放烟花、吃汤圆、观花灯是常见的元宵活动．某社区计划举办元宵节找花灯活动，准备在3个不同的地方悬挂5盏不同的花灯，其中2盏是人物灯．现要求这3个地方都有灯（同一地方的花灯不考虑位置的差别），且人物灯不能挂在同一个地方，则不同的悬挂方法种数为（）．A. 114B. 92C. 72D. 4210、【来源】 2021年河南郑州高三二模理科第10题5分已知函数f (x )=2x 4+e x +e −x −1，若不等式f (1+ax )<f (2+x 2)对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（）．A. (−2√3,2)B. (−2√3,2√3)C. (−2,2√3)D. (−2,2)11、【来源】 2021年河南郑州高三二模理科第11题5分2021年河南郑州高三二模文科第12题5分已知三棱锥P −ABC 的各个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥ 底面ABC ，AB ⊥AC ，AB =6，AC =8，D 是线段AB 上一点，且AD =5DB ．过点D 作球O 的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为28π，则球O 的表面积为（）．A. 128πB. 132πC. 144πD. 156π12、【来源】 2021年河南郑州高三二模理科第12题5分已知梯形ABCD 中，以AB 中点O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系．|AB |=2|CD |，点E 在线段AC 上，且AE →=23EC →．若以A ，B 为焦点的双曲线过C ，D 、E 三点，则该双曲线的离心率为（）．A. √10B. √7C. √6D. √2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2021年河南郑州高三二模理科第13题5分函数f (x )=ln⁡(x +1)+x 2e x 的图象在点(0,f(0))处的切线方程为．14、【来源】 2021年河南郑州高三二模理科第14题5分已知向量a →与b →的夹角为60°，|a →|=3，|b →|=6，则2a →−b →在b →方向上的投影为．15、【来源】 2021年河南郑州高三二模理科第15题5分在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC =90°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ．若a +4c 的最小值为9，则BD = ．16、【来源】 2021年河南郑州高三二模理科第16题5分已知a >0，不等式(x +1)1−a e x+1−aln⁡(x +1)⩾0对任意的x ∈(0,+∞)恒成立，则实数a 的取值范围为．三、必考题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2021年河南郑州高三二模理科第17题12分已知数列{a n }满足a 1=1，S n =(n+1)a n 2．(1) 求数列{a n }的通项公式．(2) 若b n=(−1)n+12a n+1a n a n+1，数列{b n}的前n项和为T n，求T2021．18、【来源】 2021年河南郑州高三二模理科第18题12分在四棱锥P−ABCD中，AP=PD=DC=CB=1，AB=2，∠APD=∠DCB=∠CBA= 90°，平面PAD⊥平面ABCD．(1) 求证：PB=PC．(2) 求直线PA与平面PCD所成角的正弦值．19、【来源】 2021年河南郑州高三二模理科第19题12分已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，点D(1,32)是椭圆C上一点，离心率为12．(1) 求椭圆C的方程．(2) 若直线l过椭圆右焦点F2且与椭圆交于P，Q两点，直线AP，AQ与直线x=4分别交于点M，N．①求证：M，N两点的纵坐标之积为定值．②求△AMN面积的最小值．20、【来源】 2021年河南郑州高三二模理科第20题12分已知某生产线的生产设备在正常运行的情况下，生产的零件尺寸X（单位：mm）服从正态分布N(280,25)．(1) 从该生产线生产的零件中随机抽取10个，求至少有一个尺寸小于265mm的概率．(2) 为了保证生产线正常运行，需要对生产设备进行维护，包括日常维护和故障维修，假设该生产设备使用期限为四年，每一年为一个维护周期，每个周期内日常维护费为5000元，若生产设备能连续运行，则不会产生故障维修费；若生产设备不能连续运行，则除了日常维护费外，还会产生一次故障维修费．已知故障维修费第一次为2000元，此后每增加一次则故障维修费增加2000元．假设每个维护周期互相独立，每个周期内设备不能连续运行的概率为14，求该生产设备运行的四年内生产维护费用总和Y的分布列与数学期望．参考数据：若Z∼N(μ,σ)，则P(μ−σ<Z<μ+σ)=0.6827)，P(μ−2σ<Z<μ+2σ)= 0.0.9545)，P(μ−3σ<Z<μ+3σ)=0.9974)，0.998710≈0.9871．21、【来源】 2021年河南郑州高三二模理科第21题12分已知函数f(x)=xe x−aln⁡x−e．(1) 当a=2e时，不等式f(x)⩾mx−m在[1,+∞)上恒成立，求实数m的取值范围．(2) 若a>0，f(x)最小值为g(a)，求g(a)的最大值以及此时a的值．四、选考题（本大题共2小题，每小题10分，选做1小题）【选修4-4：坐标系与参数方程】22、【来源】 2021年河南郑州高三二模理科第22题10分在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是{x=tcos⁡αy=5+tsin⁡α（t是参数，α∈[0,π2)）．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=4√2sin⁡(θ+π4)−2cos⁡θ．(1) 写出曲线C2的直角坐标方程．(2) 若曲线C1与C2有且仅有一个公共点，求sin2⁡α−sin⁡αcos⁡α的值．【选修4-5：不等式选讲】23、【来源】 2021年河南郑州高三二模理科第23题10分已知函数f(x)=|2x−4|+|x+a|(a>0)．(1) 若a=1，求不等式f(x)⩾5的解集．(2) 若f(x)⩾a2−2a+4恒成立，求实数a的取值范围．1 、【答案】 B;2 、【答案】 C;3 、【答案】 D;4 、【答案】 A;5 、【答案】 A;6 、【答案】 B;7 、【答案】 D;8 、【答案】 C;9 、【答案】 A;10 、【答案】 D;11 、【答案】 B;12 、【答案】 B;13 、【答案】y=x;14 、【答案】−3;15 、【答案】√2;16 、【答案】(0,e];17 、【答案】 (1) a n=n．;(2) T2021=20232022．;18 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) √63．;19 、【答案】 (1) x24+y23=1．;(2)①证明见解析．②18．;20 、【答案】 (1) 265的概率为1−(0.9987)10=1−0.9871=0.0129．;(2) 分布列见解析．;21 、【答案】 (1) m⩽0．;(2) ℎ(x)max=0，a=2e．;22 、【答案】 (1) x2+y2−2x−4y=0．;(2) 2．5;,+∞)．23 、【答案】 (1) (−∞,0]∪[83;(2) [1,2]．;。

2021届河南省郑州、平顶山、濮阳市高三第二次质量预测(二模)数学(理)试卷

D．“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件
6．在区间上任取实数，在区间上任取实数，使函数有两个相异零点的概率是（）
A． B． C． D．
7．已知数列满足（），，，为数列的前项和，则的值为（）
A． B． C． D．
8．已知实数x，y满足则z＝2|x－2|＋|y|的最小值是( )
【解析】因双曲线的两条渐近线分别为，结合图形可知：点到这两条直线的距离分别是，，则，又因为，所以，应选答案C。
12．B
【解析】令，则，即。当时，在上单调递增，则当时，，满足题设；当时，在上不单调递，因此存在实数不满足题设，所以答案D不正确，应选答案B。
（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，试计算数据落在上的概率．
参考数据：若，则，．
（Ⅲ）设生产成本为，质量指标为，生产成本与质量指标之间满足函数关系假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，试计算生产该食品的平均成本．
20．已知椭圆（），以椭圆内一点为中点作弦，设线段的中垂线与椭圆相交于，两点．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）试判断是否存在这样的，使得，，，在同一个圆上，并说明理由．
21．已知函数 , ．
（1）若和在（0，+∞）有相同的单调区间，求a的取值范围；
（2）令，若在定义域内有两个不同的极值点．
①求a的取值范围；
②设两个极值点分别为，证明：．
22．已知直线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线的参数方程是为参数）.
A．6B．5C．4D．3

河南省郑州市2021届新高考数学二模试卷含解析

河南省郑州市2021届新高考数学二模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知实数ln333,33ln 3(n ),l 3a b c ==+=，则,,a b c 的大小关系是( ) A ．c b a << B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a c b <<【答案】B 【解析】【分析】根据41ln33<<，利用指数函数对数函数的单调性即可得出．【详解】解：∵41ln33<<， ∴33ln36b =+>，43336a <<<，34643327c ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭． ∴c a b <<．故选：B ．【点睛】本题考查了指数函数对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．在等腰直角三角形ABC 中，,2C CA π∠==，D 为AB 的中点，将它沿CD 翻折，使点A 与点B间的距离为ABCD 的外接球的表面积为（）.A ．5πB ．3C ．12πD ．20π【答案】D 【解析】【分析】如图，将四面体ABCD 放到直三棱柱中，求四面体的外接球的半径转化为求三棱柱外接球的半径，然后确定球心在上下底面外接圆圆心连线中点，这样根据几何关系，求外接球的半径. 【详解】ABC ∆中，易知4AB =，2CD AD BD ===翻折后AB =(222221cos 2222ADB +-∴∠==-⨯⨯ ，120ADB ∴∠=，设ADB ∆外接圆的半径为r ，2324sin120r ∴== ，2r ∴= ，如图：易得CD ⊥平面ABD ，将四面体ABCD 放到直三棱柱中，则球心在上下底面外接圆圆心连线中点，设几何体外接球的半径为R ，222221215R r =+=+= ，∴ 四面体ABCD 的外接球的表面积为2420S R ππ==.故选：D【点睛】本题考查几何体的外接球的表面积，意在考查空间想象能力，和计算能力，属于中档题型，求几何体的外接球的半径时，一般可以用补形法，因正方体，长方体的外接球半径容易求，可以将一些特殊的几何体补形为正方体或长方体，比如三条侧棱两两垂直的三棱锥，或是构造直角三角形法，确定球心的位置，构造关于外接球半径的方程求解.3．已知3log 2a =ln3b =，0.992c -=，则,,a b c 的大小关系为（） A ．b c a >> B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】A 【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的单调性，借助特殊值即可比较大小. 【详解】因为331log 2log 32<=，所以12a <. 因为3＞e ，所以ln3ln 1b e =>=，因为00.991>->-，2xy =为增函数，所以0.991221c -=<< 所以b c a ＞＞，故选：A. 【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，利用单调性比较大小，属于中档题. 4．已知ABC ∆中，角A 、B 所对的边分别是a ，b ，则“a b >”是“A B >”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．充分必要条件【答案】D 【解析】【分析】由大边对大角定理结合充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】ABC ∆中，角A 、B 所对的边分别是a 、b ，由大边对大角定理知“a b >”⇒“A B >”，“A B >”⇒“a b >”.因此，“a b >” 是“A B >”的充分必要条件. 故选：D. 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查三角形的性质等基础知识，考查逻辑推理能力，是基础题． 5．双曲线﹣y 2=1的渐近线方程是（）A ．x±2y=0B ．2x±y=0C ．4x±y=0D ．x±4y=0【答案】A 【解析】试题分析：渐近线方程是﹣y 2=1，整理后就得到双曲线的渐近线．解：双曲线其渐近线方程是﹣y 2=1整理得x±2y=1．故选A ．点评：本题考查了双曲线的渐进方程，把双曲线的标准方程中的“1”转化成“1”即可求出渐进方程．属于基础题．6．已知集合A ＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B ＝{x|x 2﹣4x ﹣5＜0}，则A∩B ＝（） A ．{﹣2，﹣1，0} B ．{﹣1，0，1，2}C ．{﹣1，0，1}D ．{0，1，2}【答案】D 【解析】【分析】解一元二次不等式化简集合B ,再由集合的交集运算可得选项. 【详解】因为集合{2,1,0,1,2},{|(5)(1)0}{|15}A B x x x x x =--=-+<=-<<{}{}{}2,1,0,1,2|150,1,2A B x x ∴⋂=--⋂-<<=，故选：D. 【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.7．若复数z 满足()1i z i +=（i 是虚数单位），则z 的虚部为（） A ．12B ．12-C ．12i D ．12i -【答案】A 【解析】【分析】由()1i z i +=得1z ii=+,然后分子分母同时乘以分母的共轭复数可得复数z ,从而可得z 的虚部. 【详解】因为(1)i z i +=,所以22(1)1111(1)(1)11221i i i i i i z i i i i i --+=====+++-+-, 所以复数z 的虚部为12. 故选A. 【点睛】本题考查了复数的除法运算和复数的概念,属于基础题.复数除法运算的方法是分子分母同时乘以分母的共轭复数,转化为乘法运算.8．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为(mod )N n m =，例如112(mod3)=．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n等于（）．A ．21B ．22C ．23D ．24【答案】C 【解析】从21开始，输出的数是除以3余2，除以5余3，满足条件的是23，故选C. 9．已知集合{|4},{|2,}A x N y x B x x n n Z =∈=-==∈,则A B =（）A ．[0,4]B ．{0,2,4}C ．{2,4}D ．[2,4]【答案】B 【解析】【分析】计算{}0,1,2,3,4A =，再计算交集得到答案【详解】{}{|4}0,1,2,3,4A x N y x =∈=-=,{|2,}B x x n n Z ==∈表示偶数，故{0,2,4}AB =.故选：B . 【点睛】本题考查了集合的交集，意在考查学生的计算能力.10．在直角坐标平面上，点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，点(),Q a b 的坐标满足方程2268240a b a b ++-+=则y bx a--的取值范围是（） A ．[]22-,B ．4747,33⎡⎤---+⎢⎥⎣⎦C ．13,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ D ．6767,33⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】由点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，可得P 在圆()2211x y -+=上，由(),Q a b 坐标满足方程2268240a b a b ++-+=，可得Q 在圆()()22341x y ++-=上，则PQ y bk x a-=-求出两圆内公切线的斜率，利用数形结合可得结果. 【详解】点(),P x y 的坐标满足方程2220x x y -+=，P ∴在圆()2211x y -+=上，(),Q a b 在坐标满足方程2268240a b a b ++-+=，Q ∴在圆()()22341x y ++-=上，则PQ y bk x a-=-作出两圆的图象如图，设两圆内公切线为AB 与CD ，由图可知AB PQ CD k k k ≤≤，设两圆内公切线方程为y kx m =+，则1341k m k m =⇒+=-+-=，圆心在内公切线两侧，()34k m k m ∴+=--+-，可得2m k =+，1==，化为23830k k ++=，43k -±=，即AB CD k k ==，PQ y b k x a -≤=≤- y bx a --的取值范围4433⎡---⎢⎣⎦，故选B.【点睛】本题主要考查直线的斜率、直线与圆的位置关系以及数形结合思想的应用，属于综合题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出曲线图象，充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.11．ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分ACB ∠，若CB a =，CA b =，2a =，1b =，则CD =（） A ．2133a b + B ．1233a b +C ．3455a b + D ．4355a b + 【答案】B 【解析】【分析】由CD 平分ACB ∠，根据三角形内角平分线定理可得BD CBDA CA=，再根据平面向量的加减法运算即得答案. 【详解】CD 平分ACB ∠，根据三角形内角平分线定理可得BD CBDA CA=，又CB a =，CA b =，2a =，1b =， 2,2BDBD DA DA∴=∴=. ()22123333CD CB BD CB BA a b a a b ∴=+=+=+-=+.故选：B . 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题. 12．复数2iz i=-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】【分析】利用复数的四则运算以及几何意义即可求解. 【详解】解：()()()21212222555i i i i z i i i i +-+====-+--+，则复数2i z i =-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点的坐标为：12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，位于第二象限. 故选：B. 【点睛】本题考查了复数的四则运算以及复数的几何意义，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021年河南省六市高考数学第二次联考试卷(理科)(解析版)

2021年河南省六市高考数学第二次联考试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．复数i（2+i）的实部为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．22．已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤3}，B＝{x|x2﹣6x+5≤0}，则（∁R A）∩B＝（）A．[1，3]B．（3，5]C．[3，5）D．[1，3）3．在五场篮球比赛中，甲、乙两名运动员得分的茎叶图如图所示．下列说法正确的是（）A．甲的平均得分比乙多，且甲比乙稳定B．甲的平均得分比乙多，但乙比甲稳定C．乙的平均得分比甲多，且乙比甲稳定D．乙的平均得分比甲多，但甲比乙稳定4．“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名．下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面D点看楼顶点A的仰角为30°，沿直线前进79米到达E点，此时看点C的仰角为45°，若BC＝2AC，则楼高AB约为（）A．65米B．74米C．83米D．92米5．在象棋比赛中，参赛的任意两位选手都比赛一场，其中胜者得2分，负者得0分，平局各得1分．现有四名学生分别统计全部选手的总得分为131分，132分，133分，134分，但其中只有一名学生的统计结果是正确的，则参赛选手共有（）A．11位B．12位C．13位D．14位6．由射线（x≥0）逆时针旋转到射线（x≤0）的位置所成角为θ，则cosθ＝（）A．B．C．D．7．执行如图所示的程序框图，若输出i的值为7，则框图中①处可以填入（）A．S＞7B．S＞21C．S＞28D．S＞368．如图，每个小正方形网格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体所有的表面中面积最大的值为（）A．8B．12C．18D．229．若0＜a＜b＜1，x＝a b，y＝b a，z＝log b a，则x，y，z大小关系正确的是（）A．x＜y＜z B．y＜x＜z C．z＜x＜y D．z＜y＜x10．若a，b为正实数，且，则a+b的最小值为（）A．B．C．2D．411．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，点M在C的左支上，过点M作C的一条渐近线的垂线，垂足为N，则当|MF2|+|MN|取最小值10时，△F1NF2面积的最大值为（）A．25B．C．D．12．现有一批大小不同的球体原材料，某工厂要加工出一个四棱锥零件，要求零件底面ABCD 为正方形，AB＝2，侧面△PAD为等边三角形，线段BC的中点为E，若PE＝1，则所需球体原材料的最小体积为（）A．B．C．9πD．二.填空题（每小题5分）.13．已知，为单位向量，且⊥（+2），则向量与的夹角为．14．已知直线ax+y﹣1＝0与圆C：（x﹣1）2+（y+a）2＝1相交于A，B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为．15．已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b sin A＝2c sin B，cos B＝，b ＝3，则△ABC面积为．16．若∀x＞0，不等式lnx+2+≥b（a＞0）恒成立，则的最大值为．三.解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.必考题：共60分17．设数列{a n}是公差大于零的等差数列，已知a1＝3，a22＝a4+24．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足b n＝，求b1+b2+⋅⋅⋅+b2021．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥PC，AD∥BC，AD⊥CD，且PC＝BC＝2AD＝2CD ＝2，PA＝2．（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小为60°？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．19．2020年席卷全球的疫情给世界人民带来了巨大的灾难，面对疫情，早发现、早诊断、早隔离、早治疗是有效防控疾病蔓延的重要举措之一．某社区对55位居民是否患有疫情疾病进行筛查，先到社区医务室进行口拭子核酸检测，检测结果成阳性者，再到医院做进一步检查，已知随机一人其口拭子核酸检测结果成阳性的概率为2%，且每个人的口拭子核酸是否呈阳性相互独立．（1）假设该疾病患病的概率是0.3%，且患病者口拭子核酸呈阳性的概率为98%，设这55位居民中有一位的口拭子核酸检测呈阳性，求该居民可以确诊为疫情患者的概率；（2）根据经验，口拭子核酸检测采用分组检测法可有效减少工作量，具体操作如下：将55位居民分成若干组，先取每组居民的口拭子核酸混在一起进行检测，若结果显示阴性，则可断定本组居民没有患病，不必再检测；若结果显示阳性，则说明本组中至少有一位居民患病，需再逐个进行检测，现有两个分组方案：方案一：将55位居民分成11组，每组5人；方案二：将55位居民分成5组，每组11人；试分析哪一个方案的工作量更少？（参考数据：0.985＝0.904，0.9811＝0.801）20．已知圆M：（x﹣1）2+y2＝，动圆N与圆M相外切，且与直线x＝﹣相切．（1）求动圆圆心N的轨迹C的方程；（2）已知点P（﹣，﹣），Q（1，2），过点P的直线l与曲线C交于两个不同的点A，B（与Q点不重合），直线QA，QB的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．21．已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝x2+ax（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设f（x）图象在点（1，0）处的切线与g（x）的图象相切，求a的值；（3）若函数F（x）＝+g（x）存在两个极值点x1，x2，且|x1﹣x2|≤，求|F（x1）﹣F（x2）|的最大值．选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4一4；坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A，B两点，求△OAB面积的最大值．[选修4一5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+a|+1，（1）当a＝2时，解不等式f（x）+x＜2；（2）若存在a∈[﹣，1]，使得不等式f（x）≥b+|2x+a2|的解集非空，求b的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．复数i（2+i）的实部为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．2解：复数i（2+i）＝2i+i2＝﹣1+2i．故复数i（2+i）的实部为﹣1．故选：A．2．已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤3}，B＝{x|x2﹣6x+5≤0}，则（∁R A）∩B＝（）A．[1，3]B．（3，5]C．[3，5）D．[1，3）解：全集U＝R，集合A＝{x|x≤3}，所以∁R A＝{x|x＞3}，又B＝{x|x2﹣6x+5≤0}＝{x|1≤x≤5}，所以（∁R A）∩B＝{x|3＜x≤5}＝（3，5]．故选：B．3．在五场篮球比赛中，甲、乙两名运动员得分的茎叶图如图所示．下列说法正确的是（）A．甲的平均得分比乙多，且甲比乙稳定B．甲的平均得分比乙多，但乙比甲稳定C．乙的平均得分比甲多，且乙比甲稳定D．乙的平均得分比甲多，但甲比乙稳定解：由茎叶图可知，5场比赛甲的得分为1、2、10、39、38；5场比赛乙的得分为11、22、23、24、30乙运动员的得分大部分集中在22～24分之间，而甲运动员的得分相对比较散故乙篮球运动员比赛得分更稳定．＝＝18，＝＝22，乙的平均得分比甲好甲的最高分为39，乙的最高分为30故最高得分甲比乙高，∴在这五场比赛中，乙的平均得分比甲好，且乙比甲稳定故选：C．4．“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名．下面是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面D点看楼顶点A的仰角为30°，沿直线前进79米到达E点，此时看点C的仰角为45°，若BC＝2AC，则楼高AB约为（）A．65米B．74米C．83米D．92米解：不妨设AC＝x，根据条件可得BC＝BE＝2x，AB＝AC+BC＝3x，∵，∴，∴，∴，∴AB＝3x≈74 米．故选：B．5．在象棋比赛中，参赛的任意两位选手都比赛一场，其中胜者得2分，负者得0分，平局各得1分．现有四名学生分别统计全部选手的总得分为131分，132分，133分，134分，但其中只有一名学生的统计结果是正确的，则参赛选手共有（）A．11位B．12位C．13位D．14位解：由题意，由于胜得2分，负0分，平局各一分，所以每场比赛都会产生2分，那么最后总分一定为偶数，所以131和133被排除，剩下132和134，假设有x个参赛选手，那么总共要进行的比赛为（x﹣1）+（x﹣2）+…+3+2+1＝，如果132是正确的，那么x（x﹣1）＝132，则此方程的解为x＝12，若134是正确的，那么x（x﹣1）＝134，此方程无整数解，所以共有12个参赛选手故选：B．6．由射线（x≥0）逆时针旋转到射线（x≤0）的位置所成角为θ，则cosθ＝（）A．B．C．D．解：如图所示，由射线（x≥0）逆时针旋转到射线（x≤0）的位置所成角为θ，则tanθ＝＝﹣；∴＝﹣，即sinθ＝﹣cosθ；∴sin2θ+cos2θ＝cos2θ+cos2θ＝cos2θ＝1，∴cosθ＝±，应取cosθ＝﹣．故选：A．7．执行如图所示的程序框图，若输出i的值为7，则框图中①处可以填入（）A．S＞7B．S＞21C．S＞28D．S＞36解：模拟程序的运行，可得i＝1，S＝0，S＝1，不满足条件，i＝2，S＝3；不满足条件，i＝3，S＝6；不满足条件，i＝4，S＝10；不满足条件，i＝5，S＝15；不满足条件，i＝6，S＝21；不满足条件，i＝7，S＝28；由题意，此时应该满足条件，退出循环，输出i的值为7．所以判断框中的条件可填写“S≥21？”．故选：B．8．如图，每个小正方形网格的边长为1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体所有的表面中面积最大的值为（）A．8B．12C．18D．22解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱台ABC﹣DEF；如图所示：根据长度构造成三棱锥体O﹣ABC，所以四边形EFCD面积最大，由于AB＝AC＝4，DE＝DF＝2，BC＝4，EF＝2，故，，，，故选：C．9．若0＜a＜b＜1，x＝a b，y＝b a，z＝log b a，则x，y，z大小关系正确的是（）A．x＜y＜z B．y＜x＜z C．z＜x＜y D．z＜y＜x解：∵0＜a＜b＜1；∴a b＜a a＜b a＜b0＝1，log b a＞log b b＝1；∴x＜y＜z．故选：A．10．若a，b为正实数，且，则a+b的最小值为（）A．B．C．2D．4解：∵a，b为正实数，且，∴a+b＝[（2a+b）+（a+2b）]＝[（2a+b）+（a+2b）]（+）＝（2++）≥（2+2）＝，当且仅当a＝b＝时取“＝“，故选：B．11．已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，点M在C的左支上，过点M作C的一条渐近线的垂线，垂足为N，则当|MF2|+|MN|取最小值10时，△F1NF2面积的最大值为（）A．25B．C．D．解：由题意得，|MF2|+|MN|＝|MF1|+2a+|MN|≥|F1N|+2a＝b+2a，当且仅当M，F1，N三点共线时取等号，∴|MF2|+|MN|的最小值为b+2a＝10，∴，即，当且仅当b＝2a＝5时，等号成立，∴，故选：B．12．现有一批大小不同的球体原材料，某工厂要加工出一个四棱锥零件，要求零件底面ABCD 为正方形，AB＝2，侧面△PAD为等边三角形，线段BC的中点为E，若PE＝1，则所需球体原材料的最小体积为（）A．B．C．9πD．解：所需原材料体积最小的球体即为四棱锥P﹣ABCD的外接球，如图，设F为AD中点，G为正方形ABCD中心，∵△PAD为边长为2的等边三角形，∴PF＝，又PE＝1，EF＝2，∴∠PEF＝60°∵PE＝EB＝EC＝1，∴E是△PBC的外心，过E作面PBC的垂线与过G与面ABCD的垂线交于O，则O为四棱锥P﹣ABCD外接球的球心．∵∠OEG＝∠OEP﹣∠FEP＝90°﹣60°＝30°，又GE＝2，∴在直角三角形OGE中求出OG＝，又直角△OAG中，AG＝，∴OA＝，即球半径R＝，得V球＝πR3＝π．由于此时四棱锥P﹣ABCD在球心同侧，不是最小球，可让四棱锥下移到面ABCD过球心时，即球半径R＝AC＝时，原材料最省，此时V球＝π×＝π．故选：A．二.填空题：本题共4小题，每小题5分•共20分.13．已知，为单位向量，且⊥（+2），则向量与的夹角为．解：设向量与的夹角为θ，∴＝||•||cosθ＝1×1×cosθ＝cosθ，∵⊥（+2），∴•（+2）＝+2＝0，得1+2cosθ＝0，可得：cosθ＝﹣，∵θ∈[0，π]，∴θ＝．故答案为：．14．已知直线ax+y﹣1＝0与圆C：（x﹣1）2+（y+a）2＝1相交于A，B两点，且△ABC为等腰直角三角形，则实数a的值为﹣1或1．解：∵由题意得到△ABC为等腰直角三角形，∴圆心C（1，﹣a）到直线ax+y﹣1＝0的距离d＝r sin45°，即＝，整理得：1+a2＝2，即a2＝1，解得：a＝﹣1或1，故答案为：﹣1或115．已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b sin A＝2c sin B，cos B＝，b ＝3，则△ABC面积为．解：由b sin A＝2c sin B结合正弦定理得，ab＝2bc即a＝2c，因为cos B＝，b＝3，由余弦定理可得＝＝，解得，c＝，a＝3，又sin B＝＝，则△ABC的面积S＝ac sin B＝3××＝．故答案为：．16．若∀x＞0，不等式lnx+2+≥b（a＞0）恒成立，则的最大值为e2．解：设f（x）＝lnx+2+，则f′（x）＝﹣＝，∵a＞0，∴函数f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上为增函数，即当x＝a时，函数f（x）取得最小值f（a）＝lna+3，由3+lna≥b得≤，设g（a）＝，则g′（a）＝，由g′（a）＞0，得0＜a＜．由g′（a）＜0，得a＞．即当a＝时，g（a）取得最大值，最大值为g（）＝e2，故的最大值为e2，故答案为：e2．三.解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.必考题：共60分17．设数列{a n}是公差大于零的等差数列，已知a1＝3，a22＝a4+24．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足b n＝，求b1+b2+⋅⋅⋅+b2021．解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，则由题意有，解得d ＝﹣6或d＝3，∵d＞0，∴d＝3，∴a n＝3+3（n﹣1）＝3n．（Ⅱ）当n为奇数时，b n＝sin3nπ＝sinπ＝0，当n为偶数时，b n＝cos3nπ＝cos0＝1，故{b n}是以2为周期的周期数列，且b1+b2＝1，∴b1+b2+⋅⋅⋅+b2021＝1010（b1+b2）+b1＝1010+0＝1010．，18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥PC，AD∥BC，AD⊥CD，且PC＝BC＝2AD＝2CD ＝2，PA＝2．（1）证明：PA⊥平面ABCD；（2）在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小为60°？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．【解答】证明：（1）∵在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥PC，AD∥BC，AD⊥CD，且PC＝BC＝2AD＝2CD＝2，PA＝2．∴AB＝AC＝＝2，∴AB2+AC2＝BC2，PA2+AC2＝PC2，∴AB⊥AC，AP⊥AC，∵AB⊥PC，∴AB⊥平面PAC，∴PA⊥AB，∵AB∩AC＝A，∴PA⊥平面ABCD．解：（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，设在线段PD上，存在一点M（a，b，c），使得二面角M﹣AC﹣D的大小为60°，且＝λ，（0≤λ≤1），A（0，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），D（﹣1，1，0），＝（a，b，c﹣2），＝（﹣1，1，﹣2），∴，∴M（﹣λ，λ，2﹣2λ），∴＝（0，2，0），＝（﹣λ，λ，2﹣2λ），设平面ACM的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，0，），平面ACD的法向量＝（0，0，1），∵二面角M﹣AC﹣D的大小为60°，∴cos60°＝＝，解得．∴在线段PD上，存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小为60°，＝4﹣2．19．2020年席卷全球的疫情给世界人民带来了巨大的灾难，面对疫情，早发现、早诊断、早隔离、早治疗是有效防控疾病蔓延的重要举措之一．某社区对55位居民是否患有疫情疾病进行筛查，先到社区医务室进行口拭子核酸检测，检测结果成阳性者，再到医院做进一步检查，已知随机一人其口拭子核酸检测结果成阳性的概率为2%，且每个人的口拭子核酸是否呈阳性相互独立．（1）假设该疾病患病的概率是0.3%，且患病者口拭子核酸呈阳性的概率为98%，设这55位居民中有一位的口拭子核酸检测呈阳性，求该居民可以确诊为疫情患者的概率；（2）根据经验，口拭子核酸检测采用分组检测法可有效减少工作量，具体操作如下：将55位居民分成若干组，先取每组居民的口拭子核酸混在一起进行检测，若结果显示阴性，则可断定本组居民没有患病，不必再检测；若结果显示阳性，则说明本组中至少有一位居民患病，需再逐个进行检测，现有两个分组方案：方案一：将55位居民分成11组，每组5人；方案二：将55位居民分成5组，每组11人；试分析哪一个方案的工作量更少？（参考数据：0.985＝0.904，0.9811＝0.801）解：（1）设事件A为“核酸检测呈阳性“，事件B为“患疾病”由题意可得P（A）＝0.02，P（B）＝0.003，P（A|B）＝0.98，由条件概率公式得：P（AB）＝0.98×0.003，即，故该居民可以确诊为疫情患者的概率为14.7%．（2）设方案一中每组的检测次数为X，则X的取值为1，6，P（X＝1）＝（1﹣0.02）5＝0.985＝0.904，P（X＝6）＝1﹣0.985＝0.096，所以X的分布列为X16P0.9040.096所以E（X）＝1×0.904+6×0.096＝1.48，即方案一检测的总次数的期望为11 1.48＝16.28，设方案二中每组的检测次数为Y，则Y的取值为1，12，P（Y＝1）＝（1﹣0.2）11＝0.801；P（Y＝12）＝1﹣0.801＝0.199，所以Y的分布列为Y112P0.8010.199所以E（Y）＝1×0.801+12×0.199＝3.189，即方案二检测的总次数的期望为3.189×5＝15.945，由16.28＞15.945，则方案二的工作量更少．20．已知圆M：（x﹣1）2+y2＝，动圆N与圆M相外切，且与直线x＝﹣相切．（1）求动圆圆心N的轨迹C的方程；（2）已知点P（﹣，﹣），Q（1，2），过点P的直线l与曲线C交于两个不同的点A，B（与Q点不重合），直线QA，QB的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．解：（1）圆M：（x﹣1）2+y2＝的圆心M（1，0），半径为，设N到直线x＝﹣的距离为d，因为d＝|MN|﹣，所以N到直线x＝﹣1的距离等于N到M（1，0）的距离．由抛物线的定义可得，N的轨迹C为抛物线，C的方程为y2＝4x；（2）设直线l的方程为x+＝m（y+），即2x﹣2my+1﹣m＝0，因为A，B与Q不重合，所以m≠．设QA，QB的斜率分别为k1，k2，k1+k2＝λ，A（x1，y1），B（x2，y2），联立消去x，可得y2﹣4my﹣2m+2＝0，则y1+y2＝4m，y1y2＝2﹣2m，由△＝（4m）2﹣4（2﹣2m）＞0，解得m＜﹣1或m＞且m≠，可得k1＝＝＝，同理可得k2＝，则λ＝+＝＝＝＝．故直线QA、QB的斜率之和为定值．21．已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝x2+ax（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设f（x）图象在点（1，0）处的切线与g（x）的图象相切，求a的值；（3）若函数F（x）＝+g（x）存在两个极值点x1，x2，且|x1﹣x2|≤，求|F（x1）﹣F（x2）|的最大值．解：（1）f（x）＝xlnx的定义域为（0，+∞），f'（x）＝lnx+1，由f'（x）＞0，有，由f'（x）＜0，有，∴f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）由（1）及题意，易得f（x）图象在点（1，0）处的切线斜率为f'（1）＝1，则该切线方程为y＝x﹣1，联立，消去y整理得：x2+（a﹣1）x+1＝0，由△＝（a﹣1）2﹣4＝0⇒a＝3或﹣1；（3）∵F（x）＝x2+ax+2lnx，x∈（0，+∞），，设g（x）＝2x2+ax+2，由（1）知函数F（x）的两个极值点x1，x2满足2x2+ax+2＝0，则，x1x2＝1，不妨设0＜x1＜1＜x2，则F（x）在（x1，x2）上是减函数，F（x1）＞F（x2），∴＝＝，令，则t＞1，又，即，解得1＜x2≤2，∴，∴1＜t≤4，设，则，∴h（t）在（1，4]上为增函数，∴，即；∴|F（x1）﹣F（x2）|的最大值为．选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4一4；坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A，B两点，求△OAB面积的最大值．解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），转换为普通方程为sinαx﹣cosαy+cosα﹣sinα＝0．曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，根据，转换为直角坐标方程为（x﹣2）2+y2＝4．（Ⅱ）把直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π），代入（x﹣2）2+y2＝4，得到：t2+2（sinα﹣cosα）t﹣2＝0，所以t1+t2＝2（cosα﹣sinα），t1t2＝﹣2，故＝，点O（0，0）到直线l的距离d＝，所以＝＝，当且仅当sin2α＝﹣1，即时，等号成立，故△OAB面积的最大值为2．[选修4一5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+a|+1，（1）当a＝2时，解不等式f（x）+x＜2；（2）若存在a∈[﹣，1]，使得不等式f（x）≥b+|2x+a2|的解集非空，求b的取值范围．解：（1）当a＝2时，函数f（x）＝|2x+2|+1，解不等式f（x）+x＜2化为|2x+2|+1+x＜2，即|2x+2|＜1﹣x，∴x﹣1＜2x+2＜1﹣x，解得﹣3＜x＜﹣，∴不等式的解集为{x|﹣3＜x＜﹣}；（2）由f（x）≥b+|2x+a2|，得b≤|2x+a|﹣|2x+a2|+1，设g（x）＝|2x+a|﹣|2x+a2|+1，则不等式的解集非空，等价于b≤g（x）max；由g（x）≤|（2x+a）﹣（2x+a2）|+1＝|a2﹣a|+1，∴b≤|a2﹣a|+1；由题意知存在a∈[﹣，1]，使得上式成立；而函数h（a）＝|a2﹣a|+1在a∈[﹣，1]上的最大值为h（﹣）＝，∴b≤；即b的取值范围是（﹣∞，]．。

2021届河南省高三理数第二次质量检测试卷及答案

高三理数第二次质量检测试卷一、单项选择题1.集合，，那么〔〕A. {-1}B.C.D.2.假设复数满足，那么〔〕A. 0B. 1C.D. 23.随着“互联网+〞上升为国家战略，某地依托“互联网+智慧农业〞推动精准扶贫.其地域内山村的经济收入从2021年的4万元，增长到2021年的14万元，2021年更是到达52万元，在实现华美蜕变的过程中，村里的支柱性收入也在悄悄发生变化，具体如以下列图所示，那么以下结论正确的选项是〔〕A. 2021年外出务工收入比2021年外出务工收入减少B. 种植收入2021年增长缺乏2021年的2倍C. 2021年养殖收入与2021年其它收入持平D. 2021年其它收入比2021年全部收入总和高4.双曲线〔〕的焦点为，，虚轴上端点为，假设，那么〔〕A. B. C. 1 D. 25.直线，和平面，.命题：假设，，，那么直线与直线平行或异面；命题：假设，，那么；命题：假设，，过平面内一点作直线的垂线，那么；那么以下为真命题的是〔〕A. B. C. D.6.如下列图，高尔顿钉板是一个关于概率的模型，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗的水平位置恰好位于下一层的两颗正中间．小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落，当有大量的小球都滚下时，最终在钉板下面不同位置收集到小球．假设一个小球从正上方落下，落到3号位置的概率是〔〕A. B. C. D.7.在平行四边形中，，，假设点，满足，，那么〔〕A. 1B. -1C. 2D. -28.数列的前项和为，，，那么〔〕A. B. C. D.9. ，，那么，，的大小关系为〔〕A. B. C. D.10.各项均为正数的等比数列，，，成等差数列，假设中存在两项，，使得为其等比中项，那么的最小值为〔〕A. 4B. 9C.D.11.抛物线，过其焦点作抛物线相互垂直的两条弦，，设，的中点分别为，，那么直线与轴交点的坐标是〔〕A. B. C. D. 不能确定12.设函数〔〕，当时，对于三角形的内角，假设存在使成立，那么的可能取值是〔〕A. B. C. D.二、填空题13.函数的图象在点处的切线方程为________.14.假设，满足约束条件，那么的取值范围为________．15. ，假设点关于直线的对称点坐标为，那么________．16.四棱锥的顶点均在球的球面上，底面是矩形，，，，二面角大小为120°，当面积最大时，球的外表积为________．三、解答题17.的内角A、、的对边分别是、、，且，，．〔1〕求的面积；〔2〕求的值．18.如下列图的五面体中，四边形是正方形，平面平面，，．〔1〕证明：平面平面；〔2〕求直线与平面所成角的正弦值．19.2021年某地在全国志愿效劳信息系统注册登记志愿者8万多人．2021年7月份以来，共完成1931个志愿效劳工程，8900多名志愿者开展志愿效劳活动累计超过150万小时．为了了解此地志愿者对志愿效劳的认知和参与度，随机调查了500名志愿者每月的志愿效劳时长〔单位：小时〕，并绘制如下列图的频率分布直方图．〔1〕求这500名志愿者每月志愿效劳时长的样本平均数和样本方差〔同一组中的数据用该组区间的中间值代表〕；〔2〕由直方图可以认为，目前该地志愿者每月效劳时长服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算：假设，令，那么，且．〔ⅰ〕利用直方图得到的正态分布，求；〔ⅱ〕从该地随机抽取20名志愿者，记表示这20名志愿者中每月志愿效劳时长超过10小时的人数，求〔结果精确到0.001〕以及的数学期望．参考数据：，．假设，那么．20.椭圆的离心率，过右焦点的直线与椭圆交于，两点，在第一象限，且．〔1〕求椭圆的方程；〔2〕在轴上是否存在点，满足对于过点的任一直线与椭圆的两个交点，，都有为定值？假设存在，求出点的坐标；假设不存在，说明理由．21.函数．〔1〕讨论的单调性；〔2〕假设恒成立，求正整数的最大值．参考数据：．22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的参数方程为〔为参数〕，直线的极坐标方程为.〔1〕求曲线普通方程和直线的直角坐标方程；〔2〕曲线和直线相交于、两点，求三角形面积.23.函数.〔1〕解不等式；〔2〕对，恒成立，求的取值范围.答案解析局部一、单项选择题1.【解析】【解答】因为，，所以.故答案为：B.【分析】首先由指数函数的单调性以及一元二次不等式的解法即可得出集合M与N，再由并集的定义即可得出答案。