二次根式的加减PPT课件 人教版
合集下载
人教版《二次根式的加减》上课课件PPT初中数学3ppt
(2) 18－
92－
3＋ 3
6＋(
3－2)0＋
（1－
2）2.
解：原式＝3 2－322－1－ 2＋1＋ 2－1＝322－1.
数学
例 4 已知 m＝2＋ 3，求mm2－－11－ mm2－－2mm2＋1的值． 解：原式＝（m＋1m）－（1m－1）－m（|m1－－1m| ）.
∵m－1＝2＋ 3－1＝1＋ 3>0， ∴原式＝m＋1＋m1 . 将 m＝2＋ 3代入， 得原式＝2＋ 3＋1＋2＋1 3＝5.
一般地，二次根式的加减时，可以先将二次
1．6．教3材P二13次练根习式第的1，加2减，3题． (例1)12x＋教3材xP＝13_例__1_. _；
法则
(其2)中2x做2对－的3x题2＋目5的x个2＝数_是_(___；)
12．．能二够次熟根练式地的将加二减次运根算式．化为最简二次根式，并进行合并．
根式化成最简二次根式，再将被开方数相同
(4)由此你能得出二次根式的加减运算法则吗？ (5)在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内成立吗？
数学
活动3 知识归纳 二次根式加减时，先将二次根式化成___最__简__二__次__根__式___，再将
___被__开__方__数__相__同___的二次根式进行合并． 强调： 1．二次根式的加减与整式的加减之间的联系与区别：二次根式的加减是 被开方数相同的最简二次根式进行合并，不能合并的保留到结果；整式 的加减是合并同类项，不能合并的保留到结果． 2. 5 与 7 不能合并，因为被开方数不同．
① 48；②－ 125；③ 113；④ 23；⑤ 18.
数学
练习 4．计算：
(1) 18＋ 12－ 8－ 27＋3 13；
解：原式＝3 2＋2 3－2 2－3 3＋ 3 ＝ 2；
人教版《二次根式的加减》课件演示PPT初中数学1
A. 1 B. ±3 C. 3 2 D. 3
4. 下列算式：
① 2 5 7;
② 5 X 3 X 2 X;
③ 8 50 4 25 7 ; 2
④ 3 3a 27a 6 3a . 其中正确的是（ B ） A. ①和③ B. ②和④ C. ③和④
D. ①和④
5. 在 8 ， 12 ， 27， 18 中,与 3 是同类二次根式的是____12_____2_7__. 6. 若最简二次根式 a 2a 7 与 4a 3b 是同类二次根式，则 a=________2______,b=_______1_______.
4. 5x
（1）求它的周长；（结果化为最简二次根式）
（2）
________________.
【化例简2：】如（果最2简二）次根请式 你与 给是出同类一二次根个式，适求a的当值. 的x的值，使它的周长为有理数，并求出此时
（2）
________________.
（2）
__________-__________=（_________-_________）× __________=__________．
三角形的周长． 同类二次根式：几个二次根式化成____________________后，如果被开方数____________________，那么这几个二次根式叫做同类二次根式.
（2）
;
D.
∴1+a＝4a-ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，解得a＝1.
解：（1）该三角形的周长为 思路点拨：将各项化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可.
解：∵最简二次根式 1 a 与 4a 2 是同类二次根式， ∴1+a＝4a-2，解得a＝1.
思路点拨：根据同类二次根式定义中的“被开方数相同”建立关于 a的方程1+a＝4a-2，求出a的值即可.
人教版《二次根式的加减》ppt课件初中数学3
由于两个正方形的木板的边长的
和为 ( 8 18)
计算： 8 18
2 23 2 (2 3) 2 5 2
因为 5 2 7.5 ，所以可以裁出这二块木板
探究
如何计算 8 24 2呢？
分析： 类似8a+4a=12a，我们可以 根据乘法分配律的逆用来进行运算。
解： 8 24 2 (84) 2 12 2
板够宽。还有另一种可能，我们 几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就叫做同类二次根式。
现有一块长、宽5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板？
再考虑木板是否够长。 因为大、小正方形的边长分别为 dm和 dm ，显然木板够宽。
27 3 3
45 3 5
48 4 3 125 5 5
每组二次根式在化简后有什么特点？
梳理
几个二次根式化为最简二次根 式后，若被开方数相同，则这几个 二次根式就叫做同类二次根式。
探究
下列各组二次根式是否为同类二次根式？
(1) 50与0.5 √ (2) 12与 18 ×
(3) a2b与2 b √
(5) 2 3 (6 ) 5 3
梳理
二次根式加减时，先将二次根式化 为最简二次根式，再把被开方数相同的 二次根式进行合并。
注意：对被开方数相同的二次根式 进行合并，实质是对被开方数相同的二 次根式的系数进行合并。
观察
化简:
(1) 8 2 2 50 5 2 18 3 2
( 2 ) 12 2 3 ( 3 ) 20 2 5
如何计算 4 274 12呢？
分析：题中二次根式不是最简 二次根式，所以先要对其进行化简。 再计算。
人教版八年级数学下册《二次根式的加减》二次根式PPT课件
7.5dm
5dm S=18dm2
S=8dm2
8+ 18
探究新知
【讨论】2.所列算式能直接进行加减运算吗?如果不能,把式中 各个二次根式化成最简二次根式后，再试一试(说出每步运算
的依据）.
解：列式如下：
8+ 18
2 2+3 2 （化成最简二次根式） （2+3） 2 （逆用分配律）
5 2.
在有理数 范围内成立的 运算律，在实 数范围内仍然 成立.
课堂检测
5.计算: (1)5 8 - 2 27 18;
解：(1)5 8 - 2 27 18
10 2-6 3 3 2 13 2 - 6 3 ;
(2) 2 18 - 50 1 45 .
3
(2)2 18 - 50 1 45
3
6 2-5 2 5
2 5.
课堂检测
6.如果最简二次根式 3a 8 与 17 2a 可以合并，那么要
其周长；若不能，请说明理由.
解：(1)由题意得 a 8 2 2,b 5, c 3 2 ；
(2)能.理由如下： ∵
即a＜c＜b，
又∵
∴a+c＞b，
∴能够成三角形，周长为
课堂检测
拓广探索题
已知a，b都是有理数，现定义新运算：a*b= a 3 b ，求
（2*3）－（27*32）的值．
解：∵a*b=
探究新知 考 点Байду номын сангаас2 有关代数式的二次根式运算
已知 x 3 1, y 3 1, 试求x2+2xy+y2的值.
解： x2+2xy+y2=（x+y)2
把
代入上式得
原式= （ 3+1）+（ 3 1）2
人教版八年级下册数学《二次根式的加减》二次根式说课复习教学课件
a
（a 0, b 0）
b
b
问题4
在进行二次根式的乘除运算时，需要注意什么？
需要注意的是：运算结果要化成最简形式.
新课导入
问题5 二次根式的加减运算法则是什么？
a c b c ( a b) c
问题6
二次根式的加减运算法则的依据是什么？
加减法则的依据是：乘法分配律.
知识讲解
在七年级我们就已经学
第 十六章 二次根式
二次根式的加减
（第1课时）
课件
学习目标
1
了解二次根式的加、减运算法则.（重点）
2
会用二次根式的加、减运算法则进行简单的运算.（难点）
新课导入
知识回顾
1.同类项的概念： 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项
叫做同类项.
2.合并同类项的概念： 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并
= （2 2 − 3） × （2 2 + 3）
2018
= （ − 1）2018 ＝1.
随堂训练
4.计算：（1)
32 1
+
2+ 3
2− 3
解：（1）
32 + 2 ÷ 2
D. 3( 2 + 3) = 6 + 2 3
随堂训练
2. 已知 = 3 + 2, = 3 − 2, 求下列各式的值：
(1) x 2 2 xy y 2 ;
(2) x 2 y 2 .
解：
(1) x 2 2 xy y 2 ( x y ) 2
[( 3 2) ( 3 2)]2
(3) 8 +
4 3 12 −
1
1
（a 0, b 0）
b
b
问题4
在进行二次根式的乘除运算时，需要注意什么？
需要注意的是：运算结果要化成最简形式.
新课导入
问题5 二次根式的加减运算法则是什么？
a c b c ( a b) c
问题6
二次根式的加减运算法则的依据是什么？
加减法则的依据是：乘法分配律.
知识讲解
在七年级我们就已经学
第 十六章 二次根式
二次根式的加减
（第1课时）
课件
学习目标
1
了解二次根式的加、减运算法则.（重点）
2
会用二次根式的加、减运算法则进行简单的运算.（难点）
新课导入
知识回顾
1.同类项的概念： 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项
叫做同类项.
2.合并同类项的概念： 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并
= （2 2 − 3） × （2 2 + 3）
2018
= （ − 1）2018 ＝1.
随堂训练
4.计算：（1)
32 1
+
2+ 3
2− 3
解：（1）
32 + 2 ÷ 2
D. 3( 2 + 3) = 6 + 2 3
随堂训练
2. 已知 = 3 + 2, = 3 − 2, 求下列各式的值：
(1) x 2 2 xy y 2 ;
(2) x 2 y 2 .
解：
(1) x 2 2 xy y 2 ( x y ) 2
[( 3 2) ( 3 2)]2
(3) 8 +
4 3 12 −
1
1
人教版二次根式的加减课件
3231.55 木板够宽
情境引入
现有一块长为7.5 dm、宽为5 dm的木板， 能否采用如教教材图16.3-1的方式，在这块 木板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2 的正方形木板？
问题3：从长方形木板上截取两个正方形木板， 长方形木板够长吗？你是如何得出答案的？
8 18 2 2 3 2 (2 3) 2 5 2
（4）（24+ 0.5）-（ 1- 6） 8
3
6+
2 4
应用拓展
例 3．已知 4x2+y2-4x-6y+10=0，
求（ 2 x 3
9x +y2
x y3 ）-（x2
1 x -5x
y x ）的值．
分析
本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方 式，
得（2x-1）2+（y-3）2=0，即 x= 1 ，y=3．
3 a 5 a
8 a
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
例题讲解
例2 计算：
（1）2
12 6
1+3 3
48 （2）（ 1220 ）43;3 3
48
.
2236
3+34 3
3
43-23+123
14 3
例题讲解
例2 计算：
（1）2
12 6
大家来 分享!
课后作业 教材习题16.3第2、3题.
再见！
2
其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最 简二次根式，再合并同类二次根式，最后代入求值．
巩固提高
练习2
如图，两个圆的圆心相同，它们的面积分别是
12.56和25.12. 求圆环的宽度d（π 取3.14，结果
情境引入
现有一块长为7.5 dm、宽为5 dm的木板， 能否采用如教教材图16.3-1的方式，在这块 木板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2 的正方形木板？
问题3：从长方形木板上截取两个正方形木板， 长方形木板够长吗？你是如何得出答案的？
8 18 2 2 3 2 (2 3) 2 5 2
（4）（24+ 0.5）-（ 1- 6） 8
3
6+
2 4
应用拓展
例 3．已知 4x2+y2-4x-6y+10=0，
求（ 2 x 3
9x +y2
x y3 ）-（x2
1 x -5x
y x ）的值．
分析
本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方 式，
得（2x-1）2+（y-3）2=0，即 x= 1 ，y=3．
3 a 5 a
8 a
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
例题讲解
例2 计算：
（1）2
12 6
1+3 3
48 （2）（ 1220 ）43;3 3
48
.
2236
3+34 3
3
43-23+123
14 3
例题讲解
例2 计算：
（1）2
12 6
大家来 分享!
课后作业 教材习题16.3第2、3题.
再见！
2
其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最 简二次根式，再合并同类二次根式，最后代入求值．
巩固提高
练习2
如图，两个圆的圆心相同，它们的面积分别是
12.56和25.12. 求圆环的宽度d（π 取3.14，结果
人教版《二次根式的加减》PPT精品PPT
（4）
48 4
1 8
2
1 2 3
0.5 .
解：原式 4 3 2 2 3 2 3
10 3 3
【B组】
9. 化简：1 27a a 2 3 3a a 4 108a
3
a
33
解：原式 3a a 3a a 3a 8 3a 7 3a
10. 一个三角形的三边长分别为 5
x ，1 52
20x ，5 x 4
C.
二次根式加减时，可以先将二次根式化成__________________，再将__________________的二次根式进行合并.
④知识点2：同【类. 二例次根2式】如果最简二次根式 1 a 与 4a 2 是同类二次根式，求a的
思路点拨：将各项化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可.
值. 2ac=540,
B.
④
.
在 ， ， ， 中,与 是同类二次根式的是____________.
2a 3b 5c 2 下列计算正确的是（
2）
2
2
∴1+a＝4a-2，解得a＝1.
6ab 2
10ac 2
15bc
（4）
.
5，
∴ 2a2+3b2+5c2=2118, 2ab=120, 2ac=540, 2bc=144.
D.
c=18.
2ac=540,
c=18.
2bc=144.
解：∵最简二次根式 （2）
．
计算27-1318-48的结果是（
）
1a 与
4a 2 是同类二次根式，
B.
∴∴1+a＝4a-2，解∴得a＝11+. a＝， 4a-2，解得a＝1.
人教版《二次根式的加减》PPT
（2）∵
，
6 2 1 33
_______3_____．
∴ ∴
的整数B部.分，是代a=7，数式. 的化简与求值：在二次根式的化简与求值过程中，可以运
（1）
；
用因式分解、约分、____整__体______的思想等简单求解. （1）
；
思路点拨：由二次根式的加减法法则分别求出a+b和a-b，根据平方差公式和完全平方公式把原式分子与分母进行因式分解，再约分化简，后用整体代入思想计算即可.
知识举思一维反导三图
2． 已知a 3 2 2 ，b 3 2 2，求a2b-ab2的值.
解：原式 ab（a b)
3 2 23 2 23 2 2 3 2 2
4 2
分层训练
【A 组】
1. 已知 a 3 1 , b 3 1 , 则ab=（ D ）
A．4 B．2 3 C．0 D．2
2． 已知
， ，求a2b-ab2的值.
（1）化简
；
1 1 2 3 运算时，多项式的乘法法则与____________仍然适Biblioteka .∵ a 2 （1）；
2 3 2 32 3 小明在解决问题：已知 ，求2a2-8a+1的值，他是这样分析与解的：
3,
∴a-2＝ 3 . ∴
.
思路点拨：（1）根据二次根式的乘除法和加减法法则可以解答本题；
二次根式的加减（二）
（1）
；
（2）
化简
∴ a 2 .
2
的结果是（
）
3
，a2-4a+4＝3.
（1）
；
∴a -4a＝-1. 2 2． 已知
， ，求a2b-ab2的值.
思路点拨：由二次根式的加减法法则分别求出a+b和a-b，根据平方差公式和完全平方公式把原式分子与分母进行因式分解，再约分化简，后用整体代入思想计算即可.
人教版《二次根式的加减》PPT优质PPT
18．对任意不相等的两个实数 a，b，定义运算“※”如下：a※b＝
a＋b a－b
，
例如：3※2＝
3＋2 3－2
＝
5
，求 4※1＋8※12 的值．
解：原式＝
4＋1 4－1
＋
8＋12 8－12
＝
5 3
－
20 4
＝
5 3
－
5 2
＝－
5 6
19．已知 4x2＋y2－4x－6y＋10＝0，求(23 x 9x ＋y2
二次根式化成最简二次根式的步骤 分：利用分解因数或分解因式的方法把被开方数的分子、 分母都化成质因数（或最简因式）的幂的乘积的形式.
移：把能开得尽方的因数（或因式）用它的算术平方根 代替，移到根号外，当把根号内的分母中的因式移到根 号外时，要注意依旧写在分母的位置上.
化：化去被开方数中的分母.
约：约分，化为最简二次根式.
巩固新知
在下列二次根式中，能与 2 合并的是（ B ）.
A. 6
1 B. 8
3 C. 4
2 D. 3
1 1 1 2 8 8 22 4
2 2 3 6 3 3 3 3
3 3 3 4 42
合作探究
问题 现有一块长 ，宽 5dm 的木板，能否采用如图所示的方
式，在这块木板上截出两个面积分别是 8dm 和 18dm 的正方 分：利用分解因数或分解因式的方法把被开方数的分子、分母都化成质因数（或最简因式）的幂的乘积的形式.
13．(2020·河北)已知： 18 － 2 ＝a 2 － 2 ＝b 2 ， 则 ab＝__6__．
14．若 y＝2 x－2 ＋ 2－x ＋13 ，则 x ＋ y ＝__2__＋___3_3______.
人教版《二次根式的加减》上课课件PPT初中数学5ppt
解：（1）（ 8+ 3） 6 (2)(2x＋1)2＋(2x－1)2＝______________．
活动3 知识归纳 由整式运算知识迁移到含二次根式的运算． 化简已知条件和所求代数式
8 6+ 3 6 2．你能根据多项式乘多项式的法则计算下列式子吗？
1．你能类比单项式与多项式乘除法法则计算下列各式吗？ 2．你能根据多项式乘多项式的法则计算下列式子吗？ 活动3 知识归纳
当 a＝2＋ 3，b＝2－ 3时，
原式＝2＋2＋3－3＋（22－－
33）＝2
4 ＝2 3
3 3.
数学
练习
1．教材P14练习第1，2题． 2．按如图所示的程序计算，若开始输入n的值是 2 ，则最后输出的结 果是( C )
A．14
B．16
C．8＋5 2
D．14＋ 2
数学
练习
3．估计(2 30－ 24)· 16的值应在( B A．1和2之间 C．3和4之间
2(2．)(按2x如＋图1)所2＋示(的2x程－序1)计2＝算_，__若_开__始_输__入_n_的__值_．是
，则最后输出的结果是( )
32．你能说根出据整多式项的式乘法多公项式吗的？法你则能计根算据下乘列法式公子式吗计？算下列式子吗？
1．教材P14练习第1，2题．
(a-b)2=a2-2ab+b2
(a+b)(a-b)=a2-b2
1．二教次材根P14式练的习混第合1运，算2题法．则：先算________，再算______，最后算_______，有括号的，先算____________．
活2．动正3确知地识运归用纳二次根式加减乘除运算法则及运算律进行运算，并把结果化简
(a+b) =a +2ab+b 2 2 1(1．)(二3x次2＋根2式x的＋混2)合·4x运＝算_法__则_：__先__算______________；_，再算______，最后算_______，有括号的，先算____________．
活动3 知识归纳 由整式运算知识迁移到含二次根式的运算． 化简已知条件和所求代数式
8 6+ 3 6 2．你能根据多项式乘多项式的法则计算下列式子吗？
1．你能类比单项式与多项式乘除法法则计算下列各式吗？ 2．你能根据多项式乘多项式的法则计算下列式子吗？ 活动3 知识归纳
当 a＝2＋ 3，b＝2－ 3时，
原式＝2＋2＋3－3＋（22－－
33）＝2
4 ＝2 3
3 3.
数学
练习
1．教材P14练习第1，2题． 2．按如图所示的程序计算，若开始输入n的值是 2 ，则最后输出的结 果是( C )
A．14
B．16
C．8＋5 2
D．14＋ 2
数学
练习
3．估计(2 30－ 24)· 16的值应在( B A．1和2之间 C．3和4之间
2(2．)(按2x如＋图1)所2＋示(的2x程－序1)计2＝算_，__若_开__始_输__入_n_的__值_．是
，则最后输出的结果是( )
32．你能说根出据整多式项的式乘法多公项式吗的？法你则能计根算据下乘列法式公子式吗计？算下列式子吗？
1．教材P14练习第1，2题．
(a-b)2=a2-2ab+b2
(a+b)(a-b)=a2-b2
1．二教次材根P14式练的习混第合1运，算2题法．则：先算________，再算______，最后算_______，有括号的，先算____________．
活2．动正3确知地识运归用纳二次根式加减乘除运算法则及运算律进行运算，并把结果化简
(a+b) =a +2ab+b 2 2 1(1．)(二3x次2＋根2式x的＋混2)合·4x运＝算_法__则_：__先__算______________；_，再算______，最后算_______，有括号的，先算____________．
(人教版)二次根式的加减PPT课件1
分配律 整式加减
2 ＜ 1 .5 所 以 5 2 ＜ 7 .5
比较二次根式的加减与整式的加减，
你能得出什么结论？
结论
二次根式的加减法则
二次根式加减时，可以先将二次根
式化成最简二次根式，再将被开方数相
同的二次根式进行合并
典例精析
例1 计算：
2 ） 9 a+ 2 5 a （ 1 ） 8 0- 4 5 ．（
16.3 二次根式的加减第1课时
R· 八年级下册
复习回顾
1.满足什么条件的根式是最简二次根式?试化简下列二次根式：
1 8 ， 1 8 ， 8 0 ， 0 . 5 ，， 2 0 . 8
2 2 ,
3 2 , 4 5 ,
2 2
,
2 4
,
2 5 .
2.上述化简后的二次根式有什么特点?你会怎么对它们进行分类? 几个二次根式化简后被开方数相同
8
5 dm
18
8 + 18
8 + 18
根据上述计算，你觉得 在有理数范围内成立的 运算律，在实数范围内 仍然成立吗？
在有理数范围内成立的运算律，在实数 范围内仍然成立.
8 + 18能否进一步计算？这是一种什么运算？
能进一步计算，这种计算是两个二次根式 的加法运算．
8＋
18
= 2 2 ＋ 3 2 化成最简二次根式 = （ 2 + 3） 2 =5 2
( 2 ) 原 式 = 23 25 +3 -5 = 33 5
在第（2）小题中，注意去括号的方法， 同时防止 3 5 2的错误。
规律总结
请总结二次根式加减的步骤、依据和基本思想．
步骤： “一化简、二判断、三合并”； 依据： 二次根式的性质、分配律和整式加减法则； 基本思想： 把二次根式加减问题转化为整式加减问题．
2 ＜ 1 .5 所 以 5 2 ＜ 7 .5
比较二次根式的加减与整式的加减，
你能得出什么结论？
结论
二次根式的加减法则
二次根式加减时，可以先将二次根
式化成最简二次根式，再将被开方数相
同的二次根式进行合并
典例精析
例1 计算：
2 ） 9 a+ 2 5 a （ 1 ） 8 0- 4 5 ．（
16.3 二次根式的加减第1课时
R· 八年级下册
复习回顾
1.满足什么条件的根式是最简二次根式?试化简下列二次根式：
1 8 ， 1 8 ， 8 0 ， 0 . 5 ，， 2 0 . 8
2 2 ,
3 2 , 4 5 ,
2 2
,
2 4
,
2 5 .
2.上述化简后的二次根式有什么特点?你会怎么对它们进行分类? 几个二次根式化简后被开方数相同
8
5 dm
18
8 + 18
8 + 18
根据上述计算，你觉得 在有理数范围内成立的 运算律，在实数范围内 仍然成立吗？
在有理数范围内成立的运算律，在实数 范围内仍然成立.
8 + 18能否进一步计算？这是一种什么运算？
能进一步计算，这种计算是两个二次根式 的加法运算．
8＋
18
= 2 2 ＋ 3 2 化成最简二次根式 = （ 2 + 3） 2 =5 2
( 2 ) 原 式 = 23 25 +3 -5 = 33 5
在第（2）小题中，注意去括号的方法， 同时防止 3 5 2的错误。
规律总结
请总结二次根式加减的步骤、依据和基本思想．
步骤： “一化简、二判断、三合并”； 依据： 二次根式的性质、分配律和整式加减法则； 基本思想： 把二次根式加减问题转化为整式加减问题．
人教版八年级下册16.3《二次根式的加减》课件(共33张PPT)
合作探究
问题2
形成知识
怎样计算
8 + 18
？
如果看不出 化，先看算式 3
3 2-
8 + 18 22
能否化简，我们不妨把问题简
能否化简．
2
2 =（ 3 - 1 ） 2 = 2
用分配 律合并
整式 加减
你能得到这样的两个二次根式加减的方法吗？ 将同类二次根式用分配律合并．
合作探究
算式
形成知识
8 + 1 8 与算式 3 22
合作探究 形成知识
例1
（ （ 1）
计算：
8+ 3）
8+ 48 +
6 ；
3） 18 = 4
（4 （ 2）
6 = 8
2 -3
6 +
6） 2
3 6
2 ．
解： （ 1） （
=
3+3
2；
思考：（1）中，每一步的依据是什么？ 第一步的依据是：分配律或多项式乘单项式； 第二步的依据是：二次根式乘法法则； 第三步的依据是：二次根式化简．
（ 48 +
2 0 ）（ 12 -
5 ）= 4
3+2
5-2
3+
5 =2
3 +3 5
化成最简 二次根式
合并被开方 数相同的二 次根式
自主学习 复习引入
思考：二次根式加减，分为几个步骤？
二次根式的加减主要归纳为两个步骤： 第一步，先将二次根式化成最简二次根式； 第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
的结果是
B．
20 3
330 2 3
30 3
3 C．
16.3 二次根式的加减(第1课时)(课件)八年级数学下册(人教版)
知识点一 同类二次根式
活动1 观察下列二次根式的被开数有什么共同特征：
（1） 2，3 2，-
2
5
1
2，
3
2 ···
2
（2） 3，17 3，- 5 3， ·
3··
13
每组的二次根式的被开方数相同
活动2 思考下列二次根式具有的被开数以上特征吗？你怎样发现的？：
9
（3） 2， 8， 18， 32， 0.5，2
2 10
8
2
3
5
3
2
ab
2
b
(1) 75 =____；(2) 8a b =_______；(3) =_____.
5
5
问题 现有一块长 7.5 dm、宽 5 dm 的木板，能否采用如图的方式，在这
块木板上截出两个分别是 8 dm2 和 18 dm2 的正方形木板？
5 dm
5 dm
8 18
8
18
2
2
2
5
2
1 4.
课堂总结
一般地，二次根式的
法
则
加减时，可以先将二次根
式化成最简二次根式，再
将被开方数相同的二次根
二次根
式加减
式进行合并.
注
运算原理
运算律仍然适用
运算顺序
与实数的运
算顺序一样
意
(乘法分配律逆用)
5 2
(有理数的加减)
归纳知识
2.二次根式的加减法法则
将二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式进行合并.
简记：一化、二找、三合并
典例精析
【例3】计算:
(1) 80 45;
1
人教版《二次根式的加减》课件
上面合并被开方数相同二次根式的依据是什么？ 问题1 满足什么条件的二次根式是最简二次根式 问题1 满足什么条件的二次根式是最简二次根式
逆用分配律 ∴在这块木板上可以截出两个分别
判断下列哪些是同类二次根式？ 问题1 满足什么条件的二次根式是最简二次根式 是8dm²和18dm²的正方形木板
系数相加减，二次根式部分不变 答：不能，因为它们都是最简二次根式，
1.合并同类项
（1）2x2 3x2 5x2 , (2)5y2 3y2 2y2
2.类比合并同类项的方法，想想如何计算：
12 27
解：12 27
2 33 3
5 3
3. 5 3能不能进行计算？为什么？ 一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
例4 计算
（1）（ 2 3）（ 2 5）
解：（1）（ 2 3）（ 2 5） （ 2）2 3 2 5 2 15
2 2 2 15
13 2 2
例4 计算
（2）（ 5 3）（ 5 3）
解：（2）（ 5 3）（ 5 3） （ 5）2 （ 3）2 53 2
3
5
问题 现有一块长，宽5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个分别是8dm²和18dm²的正方形木板？
是8dm²和18dm²的正方形木板
3 3 5 经过化简后，各根式被开方数相同，像这样的几个二次根式被称为同类二次根式。
（1）被开方数不含分母；
判断下列哪些是同类二次根式？
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
经过化简后，各根式被开方数相同，像这样的几个二次根式被称为同类二次根式。 怎样列式求两个正方形边长的和？ 答：不能，因为它们都是最简二次根式， （1）被开方数不含分母； 答：不能，因为它们都是最简二次根式， 经过化简后，各根式被开方数相同，像这样的几个二次根式被称为同类二次根式。 经过化简后，各根式被开方数相同，像这样的几个二次根式被称为同类二次根式。 怎样列式求两个正方形边长的和？ 怎样合并被开方数相同的二次根式？ 答：不能，因为它们都是最简二次根式， 问题1 满足什么条件的二次根式是最简二次根式 判断下列哪些是同类二次根式？ （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
逆用分配律 ∴在这块木板上可以截出两个分别
判断下列哪些是同类二次根式？ 问题1 满足什么条件的二次根式是最简二次根式 是8dm²和18dm²的正方形木板
系数相加减，二次根式部分不变 答：不能，因为它们都是最简二次根式，
1.合并同类项
（1）2x2 3x2 5x2 , (2)5y2 3y2 2y2
2.类比合并同类项的方法，想想如何计算：
12 27
解：12 27
2 33 3
5 3
3. 5 3能不能进行计算？为什么？ 一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
例4 计算
（1）（ 2 3）（ 2 5）
解：（1）（ 2 3）（ 2 5） （ 2）2 3 2 5 2 15
2 2 2 15
13 2 2
例4 计算
（2）（ 5 3）（ 5 3）
解：（2）（ 5 3）（ 5 3） （ 5）2 （ 3）2 53 2
3
5
问题 现有一块长，宽5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个分别是8dm²和18dm²的正方形木板？
是8dm²和18dm²的正方形木板
3 3 5 经过化简后，各根式被开方数相同，像这样的几个二次根式被称为同类二次根式。
（1）被开方数不含分母；
判断下列哪些是同类二次根式？
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
经过化简后，各根式被开方数相同，像这样的几个二次根式被称为同类二次根式。 怎样列式求两个正方形边长的和？ 答：不能，因为它们都是最简二次根式， （1）被开方数不含分母； 答：不能，因为它们都是最简二次根式， 经过化简后，各根式被开方数相同，像这样的几个二次根式被称为同类二次根式。 经过化简后，各根式被开方数相同，像这样的几个二次根式被称为同类二次根式。 怎样列式求两个正方形边长的和？ 怎样合并被开方数相同的二次根式？ 答：不能，因为它们都是最简二次根式， 问题1 满足什么条件的二次根式是最简二次根式 判断下列哪些是同类二次根式？ （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
人教版初中九年级数学课精品PPT教学课件-二次根式的加减
秒后△PBQ的面积为35cm2？PQ的距离是多少厘米？
（结果用最简二次根式）
A
P
1 cm/s B
2 cm/s Q C
解：设x秒后△PBQ 的面积为35cm2，
则有PB=x，BQ=2x.
由题意得，1 x 2x 35
2
x2 35
x 35
PQ PB2 BQ2 x2 4x2 5x2 5 35 5 7
答： 35 秒后△PBQ的面积为35cm2，PQ的距离为5 7cm.
例题 计算 8 3 6 8 6 3 6
86 36
4 33 2
注意
（1）加减与乘除的混合运算，先乘除，后 加减，使难点分散.
（2）在运算中，对于各根式不一定要先化简， 而是先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最 后结果一定要化简。
3
2
例题 计算
（1）4 5 2 5 5
4 2 1 5
3 5
注意
（1）如果几个二次根式的被开方数相 同，那么可以直接根据分配律进行加减运算.
（2） 12 20 3 5
2 32 5 3 5 2 3 32 5 5 3 3 5
交换律在二次根式运算中仍然成立. （2）如果所给的二次根式不是最简二次 根式，应该先化简，再进行加减运算.
c 9 5 20 5
二次根式的加 减法，该如何运算？
二次根式的加减
我们可以这样来计算
c 9 5 20 5
？
a 20
b 5
9 52 5 5 (9 2 1) 5
（化成最简二次根式） （分配律）
6 5
二次根式的加减类似于什么运算？
回顾 计算
（1） 2x 3x 5x
（2） 2x2 3x2 5x2 4x2 （3） x 2x 3y 3x 3y （4） 3a2 2a2 a3 a2 a3
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
如图，两个圆的圆心相同，它们的面 积分别是8cm2和18cm2，求圆环的宽度 d( 两圆半径之差).
R-r
练习1： (1) 18 8 2
(2) 75 27 8 3 1 (3) 48 6 6 3 3
(4)下列计算正确的是（Ｄ ） A. 5 2 3 B.8 3 2 11 2 C.4 5 5 4
8 18 4 2
运用以前所学知识进行总结
例1计算： （1） 12 75 （2） 80 45 （3） 9a 25a
解：
比较二次根式的加减 与整式的加减，你能 得出什么结论？ 二次根式的加减实质是 合并同类二次根式． 整式的加减的实质是合 并同类项．
1. 12 2. 80
要进行二次根式加减运算,它们 具备什么特征才能进行合并？同类二次根式
(1)说出 2 5 的三个同类二次根式;
(2)试举出一组同类二次根式. (3)下列各式中哪些是同类二次根式?
1 1 2 a 3 3 2 , 75 , , , 3, 8ab ,6b , 2 50 27 3 2b
练习4下列计算正确的是（B） A. 2x 3 x 5 x B.2a x 3b x (2a 3b) x C.4 5 5 5 20 5 14a 22b D. 7 a 11b 2
强调： 先化简，
(2) 8 18 12
解：原式 4 2 9 2 4 3 2 2 3 2 2 3 5 2 2 3
再合并
例2计算： 1 (1)2 12 6 3 48 3 (2)( 12 20) ( 3 5) 2 x 1 (3) 9x 6 2x 3 4 x
1.同类二次根式的定义? 2.二次根式加减运算的步骤?
75 2 3 5 3 (2 5) 3 7 3 45 4 5 3 5 (4 3) 5 5
3.
9a 25a 3 a 5 a (3 5) a 8 a
先化简,后合并
计算:
8 18 4 2
如何合并 同类二次 根式?
2 23 24 2 2 3 4 2 9 2
1 2 x 3 3 1 3 2 5 x33 5 2 . 12 20 4 32 3 2 3 12 1 . 2 12 6 48 314 x3 x x 2 3. 9 x 6 3 2 x 52 3 4 x
解：
3 3 5
例3：
2 3
2 10 3 9 4 b 2 ab 3
8ab 2b 2ab
a 2b
6b
6b
a · 2b 2b · 2b
3 2ab
1 2， 50
是同类二次根式
1 75， 27 ，3 是同类二次根式 2 3
8ab ， 6b
3
a 2b
是同类二次根式
注意：判断一组式子是否为同类 二次根式，只需看化为最简二次 根式后的被开方数是否相同，与 最简二次根式前面的因式及符号 无关．
练习
1.判断:下列计算是否正确?为什么?
1
2 3
5 ; 22 2 2 2 ;
3
8 18 2
4 9 2 3 5
2.在下列各组根式中，是同类二次根式的 是（ B ）
A. C. 3. 与 A.
2 , 12
B.
2
2,
4ab , ab
D.
a 1, a 1
(1)两列火车分别运煤2x吨和3x吨,问这两 +3x=5x吨 列火车共运多少？2x _______________ (2)两列火车分别运煤2x吨和3y吨,问这两 (2x +3y)吨 列火车共运多少？_______________
以下问题你能用同样的方法计算吗？
13
2 4 2
2
5 2
3
判断同类二次根式的关键是什么？
(1)化成最简二次根式，
(2)被开方数相同,根指数相同(都等于2)
例 题 解 析
例1: 下列各式中,哪些是同类二 次根式?
2
75
1 27
1 50
3
2 3 8ab 3
6b
a 2b
解： 75 5 3 5 3
2 1 50 1 27 2 3
1 5 2 1 3 3 3
与合并同类项类似,把同类二次根式的系 数相加减,做为结果的系数,根号及根号内部 都不变,
总结二次根式加减运算的步骤
二次根式加减法的步骤：
交流 归纳 （1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式。
一化
二找
三合并
注意:不是同类二次根式的二次根式 (如 与2 )不能合并 3
二次根式计算、化简的 结果符合什么要求？
（1）被开方数不含分母；
分母不含根号；
（2）被开方数中不含能开得尽 方的因数或因式.
把下列各根式化简
(1) 12
(2) 48
(3) 18
(4) 50
2 3
1 (5) 2
4 3
(6) 32
3 2
5 2
1 (7) 45 (8) 1 3
2 2
4 2
3 5
2 3 3
下列3组根式各有什么特征?
2 (1) 2， 3 2， 2 2， 15 2， 2 3 2 (2) 3 ,5 3 ,6 3 ,17 , 3 13
1 (3) 2 , 8 ,5 18, 32, 2
几个二次根式化成最简二次根式以 后，如果被开方数相同，这几个二 次根式就叫做同类二次根式.
1 2
12 是同类二次根式的是( D ) 1 32 B. 24 C. 125 D. 6
27
4.如果最简二次根式 m n 2 2 与 是同类二次根式,求m、n 的值.
mn
例：计算
(1)3 2 3 2 2 3 3
解：原式 （3 2 2 2） （ 3 3 3）
2 2 3
3 1 D. a a a 2 2
练习2计算：
5
（1） 80 20 5
（2） 18 （ 98 27） 10 2 3 3
1 3 6 2 4
1 （3）( 24 0. 5) ( 6) 8
1 1 (4) 32 3 10 0.08 48 4 2 3 3 2
R-r
练习1： (1) 18 8 2
(2) 75 27 8 3 1 (3) 48 6 6 3 3
(4)下列计算正确的是（Ｄ ） A. 5 2 3 B.8 3 2 11 2 C.4 5 5 4
8 18 4 2
运用以前所学知识进行总结
例1计算： （1） 12 75 （2） 80 45 （3） 9a 25a
解：
比较二次根式的加减 与整式的加减，你能 得出什么结论？ 二次根式的加减实质是 合并同类二次根式． 整式的加减的实质是合 并同类项．
1. 12 2. 80
要进行二次根式加减运算,它们 具备什么特征才能进行合并？同类二次根式
(1)说出 2 5 的三个同类二次根式;
(2)试举出一组同类二次根式. (3)下列各式中哪些是同类二次根式?
1 1 2 a 3 3 2 , 75 , , , 3, 8ab ,6b , 2 50 27 3 2b
练习4下列计算正确的是（B） A. 2x 3 x 5 x B.2a x 3b x (2a 3b) x C.4 5 5 5 20 5 14a 22b D. 7 a 11b 2
强调： 先化简，
(2) 8 18 12
解：原式 4 2 9 2 4 3 2 2 3 2 2 3 5 2 2 3
再合并
例2计算： 1 (1)2 12 6 3 48 3 (2)( 12 20) ( 3 5) 2 x 1 (3) 9x 6 2x 3 4 x
1.同类二次根式的定义? 2.二次根式加减运算的步骤?
75 2 3 5 3 (2 5) 3 7 3 45 4 5 3 5 (4 3) 5 5
3.
9a 25a 3 a 5 a (3 5) a 8 a
先化简,后合并
计算:
8 18 4 2
如何合并 同类二次 根式?
2 23 24 2 2 3 4 2 9 2
1 2 x 3 3 1 3 2 5 x33 5 2 . 12 20 4 32 3 2 3 12 1 . 2 12 6 48 314 x3 x x 2 3. 9 x 6 3 2 x 52 3 4 x
解：
3 3 5
例3：
2 3
2 10 3 9 4 b 2 ab 3
8ab 2b 2ab
a 2b
6b
6b
a · 2b 2b · 2b
3 2ab
1 2， 50
是同类二次根式
1 75， 27 ，3 是同类二次根式 2 3
8ab ， 6b
3
a 2b
是同类二次根式
注意：判断一组式子是否为同类 二次根式，只需看化为最简二次 根式后的被开方数是否相同，与 最简二次根式前面的因式及符号 无关．
练习
1.判断:下列计算是否正确?为什么?
1
2 3
5 ; 22 2 2 2 ;
3
8 18 2
4 9 2 3 5
2.在下列各组根式中，是同类二次根式的 是（ B ）
A. C. 3. 与 A.
2 , 12
B.
2
2,
4ab , ab
D.
a 1, a 1
(1)两列火车分别运煤2x吨和3x吨,问这两 +3x=5x吨 列火车共运多少？2x _______________ (2)两列火车分别运煤2x吨和3y吨,问这两 (2x +3y)吨 列火车共运多少？_______________
以下问题你能用同样的方法计算吗？
13
2 4 2
2
5 2
3
判断同类二次根式的关键是什么？
(1)化成最简二次根式，
(2)被开方数相同,根指数相同(都等于2)
例 题 解 析
例1: 下列各式中,哪些是同类二 次根式?
2
75
1 27
1 50
3
2 3 8ab 3
6b
a 2b
解： 75 5 3 5 3
2 1 50 1 27 2 3
1 5 2 1 3 3 3
与合并同类项类似,把同类二次根式的系 数相加减,做为结果的系数,根号及根号内部 都不变,
总结二次根式加减运算的步骤
二次根式加减法的步骤：
交流 归纳 （1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式。
一化
二找
三合并
注意:不是同类二次根式的二次根式 (如 与2 )不能合并 3
二次根式计算、化简的 结果符合什么要求？
（1）被开方数不含分母；
分母不含根号；
（2）被开方数中不含能开得尽 方的因数或因式.
把下列各根式化简
(1) 12
(2) 48
(3) 18
(4) 50
2 3
1 (5) 2
4 3
(6) 32
3 2
5 2
1 (7) 45 (8) 1 3
2 2
4 2
3 5
2 3 3
下列3组根式各有什么特征?
2 (1) 2， 3 2， 2 2， 15 2， 2 3 2 (2) 3 ,5 3 ,6 3 ,17 , 3 13
1 (3) 2 , 8 ,5 18, 32, 2
几个二次根式化成最简二次根式以 后，如果被开方数相同，这几个二 次根式就叫做同类二次根式.
1 2
12 是同类二次根式的是( D ) 1 32 B. 24 C. 125 D. 6
27
4.如果最简二次根式 m n 2 2 与 是同类二次根式,求m、n 的值.
mn
例：计算
(1)3 2 3 2 2 3 3
解：原式 （3 2 2 2） （ 3 3 3）
2 2 3
3 1 D. a a a 2 2
练习2计算：
5
（1） 80 20 5
（2） 18 （ 98 27） 10 2 3 3
1 3 6 2 4
1 （3）( 24 0. 5) ( 6) 8
1 1 (4) 32 3 10 0.08 48 4 2 3 3 2