2020-2021学年河南省南阳三中九年级上学期第一次月考数学试卷(Word版 含解析)

2020-2021学年河南省南阳三中九年级（上）第一次月考数学试
卷
一、选择题（共10小题）.
1．（3分）下列各式中，一定是二次根式的是（）
A．B．C．D．
2．（3分）若成立，则（）
A．a≥0，b≥0B．a≥0，b≤0C．ab≥0D．ab≤0
3．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4＝0有一个根是0，则m的值是（）
A．2B．﹣2C．2或﹣2D．
4．（3分）计算：（4﹣3）÷2的结果是（）
A．2﹣B．1﹣C．D．
5．（3分）若关于x的方程kx2﹣x﹣＝0有实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＝0B．k≥﹣且k≠0C．k≥﹣D．k＞﹣
6．（3分）为迎接端午促销活动，某服装店从6月份开始对春装进行“折上折“（两次打折数相同）优惠活动．已知一件原价500元的春装，优惠后实际仅需320元，设该店春装原本打x折，则有（）
A．500（1﹣2x）＝320B．500（1﹣x）2＝320
C．500（）2＝320D．500（1﹣）2＝320
7．（3分）一元二次方程y2﹣y﹣＝0配方后可化为（）
A．（y+）2＝1B．（y﹣）2＝1C．（y+）2＝D．（y﹣）2＝8．（3分）下面四个等式：①，②，③，
④，其中正确的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
9．（3分）已知三角形的两边长分别为4和7，第三边长是方程x2﹣16x+55＝0的根．则这个三角形的周长是（）
A．16B．22C．16或22D．0
10．（3分）已知点M（2，2），规定一次变换是：先作点M关于x轴对称，再将对称点向左平移1个单位长度，则连续经过2020次变换后，点M的坐标变为（）
A．（﹣2018，2）B．（﹣2018，﹣2）C．（﹣2017，2）D．（﹣2017，﹣2）二、填空题（共5小题）.
11．（3分）已知x＝（b2﹣4c≥0），则式子x2+bx+c的值是．12．（3分）使式子•＝0成立的a的值为．
13．（3分）方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则方程（2x﹣3）2+2（2x﹣3）﹣3＝0的解是．
14．（3分）为了比较+1与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C ＝90°，BC＝3，D在BC上且BD＝AC＝1．通过计算可得+1．（填“＞”
或“＜”或“＝”）
15．（3分）如图，正方形纸片ABCD边长为6，点E，F分别是AB，CD的中点，点G，H分别在AD，AB上，将纸片沿直线GH对折，当顶点A与线段EF的三等分点重合时，AH的长为．
三、解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）计算：
（1）
（2）
17．（8分）解方程：
（1）1﹣x＝3x2（配方法解）．
（2）3x2﹣x﹣1＝0．
18．（9分）先化简，再求值：（﹣a+1）÷，其中﹣＜a＜且a为整数．
19．（9分）已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝|m|．
（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．
20．（9分）已知+（）2＝2000，y＝++，求y﹣x 的平方根．
21．（10分）某水晶饰品商店购进300个饰品，进价为每个6元，第一天以每个10元的价格售出100个，第二天若按每个10元的价格销售仍可售出100个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出25个，但售价不得低于进价）
（1）若商家想第2天就将这批水晶销售完，则销售价格应定为多少？
（2）单价降低销售一天后，商店对剩余饰品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批饰品共获得625元，问第二天每个饰品的销售价格为多少元？
22．（11分）材料1：对于任意正实数a，b，∵（﹣）2≥0，∴a﹣2+b≥0，a+b ≥2，只有当a＝b时，等号成立．
结论：在a+b≥2，（a，b均为正实数）中，若ab为定值p，则，a+b≥2，只有当a＝b时，a+b有最小值2．
材料2：若函数y＝x+（m＞0，x＞0，m为常数），由材料1结论可知：x+≥2，即x+≥2．∴当x＝，即x2＝m，∴x＝（m＞0）时，函数y＝x+的最小值为2．根据上述内容，回答下列问题：
（1）若n＞0，只有当n＝时，n+有最小值；
（2）若函数y＝a+（a＞1），则a＝时，函数y＝a+（a＞1）的最小值为．
（3）求代数式（m＞﹣1）的最小值．
（4）如图，已知A（﹣3，0），B（0，﹣4），点P是第一象限内的一个动点，过P点向坐标轴作垂线，分别交x轴和y轴于C，D两点，矩形OCPD的面积始终为12，求四边形ABCD面积的最小值以及此时P点的坐标．
23．（11分）如图，已知直线y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象分别交于点A（m，3）和点B（6，n），与坐标轴分别交于点C和点D．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点P是反比例函数第一象限内，直线CD上方一动点，当△ABP面积为5时，求点P的坐标．
（3）若M是平面直角坐标系内一动点，在y轴上是否存在一动点Q，使以A、C、Q、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；否则，说明理由．
参考答案
一、选择题（30分）
1．（3分）下列各式中，一定是二次根式的是（）
A．B．C．D．
解：A、被开方数为负数，二次根式无意义，故错误；
B、是三次根式，故错误；
C、x2+1＞0一定成立，被开方数是非负数，故正确；
D、当x＝﹣1时，二次根式无意义，故错误．
故选：C．
2．（3分）若成立，则（）
A．a≥0，b≥0B．a≥0，b≤0C．ab≥0D．ab≤0
解：∵成立，
∴a≥0，b≤0．
故选：B．
3．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4＝0有一个根是0，则m的值是（）
A．2B．﹣2C．2或﹣2D．
解：原方程可变形为（m﹣2）x2+3x+（m+2）（m﹣2）＝0，
把x＝0代入可得到（m+2）（m﹣2）＝0，
解得m＝2或m＝﹣2，
当m＝2时，m﹣2＝0，一元二次方程不成立，故舍去，
所以m＝﹣2．
故选：B．
4．（3分）计算：（4﹣3）÷2的结果是（）
A．2﹣B．1﹣C．D．
解：（4﹣3）÷2
＝4÷2﹣3÷2
＝2﹣．
故选：A．
5．（3分）若关于x的方程kx2﹣x﹣＝0有实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＝0B．k≥﹣且k≠0C．k≥﹣D．k＞﹣
解：当k≠0时，△＝1+4k×＝1+3k≥0，
∴k≥，
∴k≥且k≠0，
当k＝0时，
此时方程为﹣x＝0，满足题意，
故选：C．
6．（3分）为迎接端午促销活动，某服装店从6月份开始对春装进行“折上折“（两次打折数相同）优惠活动．已知一件原价500元的春装，优惠后实际仅需320元，设该店春装原本打x折，则有（）
A．500（1﹣2x）＝320B．500（1﹣x）2＝320
C．500（）2＝320D．500（1﹣）2＝320
解：设该店春装原本打x折，
依题意，得：500•（）2＝320．
故选：C．
7．（3分）一元二次方程y2﹣y﹣＝0配方后可化为（）
A．（y+）2＝1B．（y﹣）2＝1C．（y+）2＝D．（y﹣）2＝解：y2﹣y﹣＝0
y2﹣y＝
y2﹣y+＝1
（y﹣）2＝1
故选：B．
8．（3分）下面四个等式：①，②，③，
④，其中正确的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
解：①3×4＝24，故此选项错误；
②，正确；
③＝7，故此选项错误；
④＝5，故此选项错误；
故选：A．
9．（3分）已知三角形的两边长分别为4和7，第三边长是方程x2﹣16x+55＝0的根．则这个三角形的周长是（）
A．16B．22C．16或22D．0
解：x2﹣16x+55＝0，
（x﹣11）（x﹣5）＝0，
x﹣11＝0，x﹣5＝0，
x1＝11，x2＝5，
①三角形的三边是4，7，11，此时4+7＝11，不符合三角形三边关系定理，
②三角形的三边是4，7，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是4+7+5＝
16，
故选：A．
10．（3分）已知点M（2，2），规定一次变换是：先作点M关于x轴对称，再将对称点向左平移1个单位长度，则连续经过2020次变换后，点M的坐标变为（）
A．（﹣2018，2）B．（﹣2018，﹣2）C．（﹣2017，2）D．（﹣2017，﹣2）解：由题可得，第2020次变换后的点M在x轴上方，
∴点M的纵坐标为2，横坐标为2﹣2020×1＝﹣2018，
∴点M的坐标变为（﹣2018，2），
故选：A．
二、填空题（15分）
11．（3分）已知x＝（b2﹣4c≥0），则式子x2+bx+c的值是0．解：∵x＝（b2﹣4c≥0），
∴x2+bx+c＝（）2+b•+c
＝++
＝
＝0，
故答案为：0．
12．（3分）使式子•＝0成立的a的值为5．
解：∵式子•＝0成立，
∴a﹣3＝0或a﹣5＝0且a﹣3≥0，a﹣5≥0，
解得：a＝5．
故答案为：5．
13．（3分）方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，则方程（2x﹣3）2+2（2x﹣3）﹣3＝0的解是x1＝2，x2＝0．
解：∵1，﹣3是已知方程x2+2x﹣3＝0的解，
由于另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0与已知方程的形式完全相同
∴2x+3＝1或2x+3＝﹣3
解得x1＝﹣1，x2＝﹣3．
故答案为：x1＝﹣1，x2＝﹣3．
14．（3分）为了比较+1与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C ＝90°，BC＝3，D在BC上且BD＝AC＝1．通过计算可得+1＞．（填“＞”
或“＜”或“＝”）
解：∵∠C＝90°，BC＝3，BD＝AC＝1，
∴CD＝2，AD＝＝，AB＝＝，
∴BD+AD＝+1，
又∵△ABD中，AD+BD＞AB，
∴+1＞，
故答案为：＞．
15．（3分）如图，正方形纸片ABCD边长为6，点E，F分别是AB，CD的中点，点G，H分别在AD，AB上，将纸片沿直线GH对折，当顶点A与线段EF的三等分点重合时，AH的长为或．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥DC，AD＝BC＝AB＝CD＝6，∠A＝90°
∵点E，F分别是AB，CD的中点，
∴AE＝BE＝3＝DF＝CF，
∴四边形AEFD是矩形，
∴AD＝EF＝6，
如图，EM＝EF＝2
∵折叠
∴AH＝HM，
在Rt△HEM中，HM2＝HE2+EM2，∴AH2＝（3﹣AH）2+4，
∴AH＝
如图，EM＝EF＝4，
∵折叠
∴AH＝HM，
在Rt△EHM中，HM2＝HE2+EM2，∴AH2＝（AH﹣3）2+16，
∴AH＝
故答案为：或
三、解答题（共8小题，满分75分）16．（8分）计算：
（1）
（2）
解：（1）原式＝
＝
＝
（2）原式＝
＝
17．（8分）解方程：
（1）1﹣x＝3x2（配方法解）．
（2）3x2﹣x﹣1＝0．
解：（1）移项得：3x2+x＝1，
x2+x＝，
配方得：x2+x+（）2＝+（）2，
（x+）2＝，
开方得：x+＝，
x1＝，x2＝；
（2）3x2﹣x﹣1＝0，
b2﹣4ac＝（﹣）2﹣4×3×（﹣1）＝18，
x＝＝，
解得：x1＝，x2＝．
18．（9分）先化简，再求值：（﹣a+1）÷，其中﹣＜a＜且a为整数．
解：原式＝[﹣]•
＝•
＝﹣，
由﹣＜a＜且a为整数，得到a＝﹣1，0，1，2，
当a＝﹣1时，原式没有意义，舍去；
当a＝0时，原式＝1；
当a＝1时，原式＝；
当a＝2时，原式＝0．
19．（9分）已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝|m|．
（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．
【解答】（1）证明：∵（x﹣3）（x﹣2）＝|m|，
∴x2﹣5x+6﹣|m|＝0，
∵△＝（﹣5）2﹣4（6﹣|m|）＝1+4|m|，
而|m|≥0，
∴△＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵方程的一个根是1，
∴|m|＝2，
解得：m＝±2，
∴原方程为：x2﹣5x+4＝0，
解得：x1＝1，x2＝4．
即m的值为±2，方程的另一个根是4．
20．（9分）已知+（）2＝2000，y＝++，求y﹣x 的平方根．
解：由题意得，998﹣x≥0，
解得x≤998，
所以，1000﹣x+998﹣x＝2000，
解得x＝﹣1，
由题意得，m﹣1≥0且1﹣m≥0，
解得m≥1且m≤1，
所以，m＝1，
y＝＝3，
所以，y﹣x＝3﹣（﹣1）＝3+1＝4，
∵（±2）2＝4，
∴4的平方根是±2，
即y﹣x的平方根是±2．
21．（10分）某水晶饰品商店购进300个饰品，进价为每个6元，第一天以每个10元的价
格售出100个，第二天若按每个10元的价格销售仍可售出100个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出25个，但售价不得低于进价）
（1）若商家想第2天就将这批水晶销售完，则销售价格应定为多少？
（2）单价降低销售一天后，商店对剩余饰品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批饰品共获得625元，问第二天每个饰品的销售价格为多少元？
解：（1）设降低x元销售（0≤x≤4），由题意得：
300﹣100﹣（100+25x）＝0
解得：x＝4
10﹣4＝6（元）
答：销售价格应定为6元．
（2）设单价降低x元销售，由题意得：
（10﹣6）×100+（10﹣x﹣6）（100+25x）+（4﹣6）[300﹣100﹣（100+25x）]＝625化简得：x2﹣2x+1＝0
∴x1＝x2＝1
∴10﹣1＝9
∴第二天每个饰品的销售价格为9元．
22．（11分）材料1：对于任意正实数a，b，∵（﹣）2≥0，∴a﹣2+b≥0，a+b ≥2，只有当a＝b时，等号成立．
结论：在a+b≥2，（a，b均为正实数）中，若ab为定值p，则，a+b≥2，只有当a＝b时，a+b有最小值2．
材料2：若函数y＝x+（m＞0，x＞0，m为常数），由材料1结论可知：x+≥2，即x+≥2．∴当x＝，即x2＝m，∴x＝（m＞0）时，函数y＝x+的最小值为2．根据上述内容，回答下列问题：
（1）若n＞0，只有当n＝1时，n+有最小值；
（2）若函数y＝a+（a＞1），则a＝4时，函数y＝a+（a＞1）的最小值为7．
（3）求代数式（m＞﹣1）的最小值．
（4）如图，已知A（﹣3，0），B（0，﹣4），点P是第一象限内的一个动点，过P点向坐标轴作垂线，分别交x轴和y轴于C，D两点，矩形OCPD的面积始终为12，求四边形ABCD面积的最小值以及此时P点的坐标．
解：（1）∵n＞0，
∴n+≥2，
即n+≥2，
∴当n＝时，即n2＝1，时，n+有最小值．
∵n＞0，
∴n＝1，
故答案为1．
（2）∵a＞1，
∴a+＝a﹣1++1≥2+1，
∴a+≥7，
∴a﹣1＝时，y有最小值，最小值为7．
∴（a﹣1）2＝9，
∵a＞1，
∴a＝4时，y有最小值，最小值为7．
故答案为4，7．
（3）∵＝＝m+1+≥2•，
∴≥4，
∴代数式（m＞﹣1）的最小值为4．
（4）设P（m，n），
∵矩形PCOD的面积为12，
∴mn＝12，
∴n＝
∵A（﹣3，0），B（0，﹣4），
∴OA＝3，OB＝4，
∵S四边形ABCD＝S△AOD+S△AOB+S△BOC+S△DOC，
＝×3×+×4×3+×4×m+×m×，
＝2m++12≥2•+12，
∴S四边形ABCD≥24，
∴当2m＝时，即m＝3时，四边形ABCD的面积最小，最小值为24．
∴P（3，4）．
23．（11分）如图，已知直线y＝kx+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象分别交于点A（m，3）和点B（6，n），与坐标轴分别交于点C和点D．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若点P是反比例函数第一象限内，直线CD上方一动点，当△ABP面积为5时，求点P的坐标．
（3）若M是平面直角坐标系内一动点，在y轴上是否存在一动点Q，使以A、C、Q、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；否则，说明理由．
解：（1）把点A（m，3）、B（6，n）分别代入y＝①得3m＝6，6n＝6，解得m＝2，n＝1，
∴A（2，3），B（6，1），
把A（2，3），B（6，1）代入y＝kx+b得，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4；
（2）将直线AB向右平移h个单位得到直线l，直线l与反比例函数的交点即为所求点P，
过点D作DH⊥l交于点H，设直线l交x轴于点M，
由直线AB的表达式知，tan∠HMD＝，则sin∠HMD＝，
则HD＝DM sin∠HMD＝h×＝h，
由点A、B的坐标知，AB＝＝2，
则△ABP面积＝×AB×h＝×2h＝5，解得h＝，则DM＝h＝5，
即直线AB向右平移5个单位得到直线l，则直线l的表达式为y＝﹣（x﹣5）+4②，联立①②并解得：，
故点P的坐标为（1，6）或（12，）；
（3）存在，理由：
设点P（a，b），点Q（0，t），由A、C的坐标知，AC2＝5，
①当AC是边时，
点C向右平移2个单位向下平移1个单位得到点A，同样点P（Q）向右平移2个单位向下平移1个单位得到点点Q（P），
则a+2＝0且b﹣1＝t且AC＝PC或a﹣2＝0且b+1＝t且AC＝QC，
即a+2＝0且b﹣1＝t且a2+（b﹣4）2＝5或a﹣2＝0且b+1＝t且（t﹣4）2＝5，
解得t＝4（舍去）或2或4±，
②当AC是对角线时，
由中点公式得：（2+0）＝（3+4）＝（b+t）且CP＝CQ，即a2+（b﹣4）2＝（t ﹣4）2，
解得t＝1.5；
故点Q的坐标为（0，2）或（0，4+）或（0，4﹣）或（0，1.5）．。