第二章数列单元综合测试(人教A版必修5)
2021_2022学年高中数学第2章数列章末综合测评含解析新人教A版必修5
章末综合测评(二) 数列(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知数列1, 3，5，7，3，11，…，2n－1，…，则21是这个数列的( ) A．第10项B．第11项C．第12项D．第21项B[观察可知该数列的通项公式为a n＝2n－1(事实上，根号内的数成等差数列，首项为1，公差为2)，令21＝2n－1，解得n＝11，故选B.]2．一个各项均正的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比q＝( )A．32B． 5C．5－12D．1＋52C[由题意知a n＝a n＋1＋a n＋2＝a n q＋a n q2，即q2＋q－1＝0，解得q＝5－12(负值舍去)，故选C.]3．等比数列{a n}中，a2，a6是方程x2－34x＋64＝0的两根，则a4等于( )A．8 B．－8C．±8 D．以上选项都不对A[∵a2＋a6＝34，a2·a6＝64，∴a24＝64，且a2>0，a6>0，∴a4＝a2q2>0(q为公比)，∴a4＝8.]4．《X丘建算经》是公元5世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中卷上第二十三问：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈．问日益几何？”其意思为“有个女子织布，每天比前一天多织相同量的布，第一天织五尺，一个月(按30天计)共织390尺．问：每天织多少布？”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，估算出每天多织的布约有( )A ．0.55尺B ．0.53尺C ．0.52尺D ．0.5尺A [设每天多织d 尺，由题意a 1＝5，{a n }是等差数列，公差为d ，所以S 30＝30×5＋30×292d ＝390，解得d ≈0.55.]5．“远望嵬嵬塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几碗灯？”源自明代数学家吴敬所著的《九章詳註比纇算法大全》，通过计算得到的答案是( )A ．2B ．3C ．4D ．5B [由题意设尖头a 盏灯，根据题意由上往下数第n 层有2n －1a 盏灯，所以一共有(1＋2＋4＋8＋16＋32＋64)a ＝381盏灯，解得a ＝3.]6．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，log 2S n ＝n (n ＝1，2，3，…)，则数列{a n }( ) A ．是公比为2的等比数列 B ．是公差为2的等差数列 C ．是公比为12的等比数列D ．既非等差数列，也非等比数列 D [∵log 2S n ＝n ，∴S n ＝2n ，则a 1＝2. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2n －1＝2n －1.∵a 1＝2不适合上式，∴{a n }既非等差数列，也非等比数列．]7．已知等差数列{a n }中，a 1>0，前n 项和是S n ，且S 14＝S 8，则当S n 取得最大值时，n 为( )A ．8B ．9C ．10D ．11D [∵S 14＝S 8，∴a 9＋a 10＋a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝3(a 11＋a 12)＝0. ∵a 1>0，∴d <0，∴a 11>0，a 12<0，∴n ＝11.]8．已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )A ．a 1d >0，dS 4>0B ．a 1d <0，dS 4<0C ．a 1d >0，dS 4<0D ．a 1d <0，dS 4>0 B [依题意a 24＝a 3a 8，所以(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )，解得a 1＝－53d ，所以S 4＝2(a 1＋a 4)＝2(a 1＋a 1＋3d )＝－23d ，所以a 1d ＝－53d 2<0，dS 4＝－23d 2<0.]9．已知公差不为0的等差数列{a n }的前23项的和等于前8项的和．若a 8＋a k ＝0，则k ＝( )A ．22B ．23C ．24D ．25C [等差数列的前n 项和S n 可看做关于n 的二次函数(图象过原点).由S 23＝S 8，得S n 的图象关于n ＝312对称，所以S 15＝S 16，即a 16＝0，所以a 8＋a 24＝2a 16＝0，所以k ＝24.]10．设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230.那么a 3·a 6·…·a 30等于( )A ．210B ．215C ．220D ．216C [法一：a 1·a 2·a 3·…·a 30＝a 301q (1＋2＋3＋…＋29)＝(a 101q 145)3，a 3·a 6·a 9·…·a 30＝a 101q (2＋5＋8＋…＋29)＝a 101q 155. 所以a 3·a 6·a 9·…·a 30＝(a 1·a 2·a 3·…·a 30)13q 10＝(230)13·210＝220.故选C.法二：a 1·a 4·a 7·…·a 28，a 2·a 5·a 8·…·a 29，a 3·a 6·a 9·…·a 30构成等比数列，公比为210. 设a 3·a 6·a 9·…·a 30＝x ，则有a 1·a 2·a 3·…·a 30＝x 220·x210·x ＝230.所以x 3＝260，故a 3·a 6·a 9·…·a 30＝220.故选C.]11．设S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 10＝( )A ．15B ．19C ．21D ．30B [由S 3＝a 22得3a 2＝a 22，故a 2＝0或a 2＝3.由S 1，S 2，S 4成等比数列可得S 22＝S 1·S 4，又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ，故(2a 2－d )2＝(a 2－d )·(4a 2＋2d )，化简得3d 2＝2a 2d ，又d ≠0，∴a 2＝3，d ＝2，a 1＝1，∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴a 10＝19.]12．将数列{3n －1}按“第n 组有n 个数”的规则分组如下：(1)，(3，9)，(27，81，243)，…，则第100组中的第一个数是( )A ．34 950B ．35 000C ．35 010D ．35 050A [在“第n 组有n 个数”的规则分组中，各组数的个数构成一个以1为首项，1为公差的等差数列．因前99组数的个数共有（1＋99）×992＝4 950个，故第100组中的第1个数是34 950.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝．－6[S 8＝8×（a 1＋a 8）2＝4(a 3＋a 6)，由于S 8＝4a 3，所以a 6＝0.又a 7＝－2，所以a 8＝－4，a 9＝－6.]14．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝．768[由a n ＋1＝3S n ，得S n ＋1－S n ＝3S n ，即S n ＋1＝4S n ，所以数列{S n }是首项为1，公比为4的等比数列，所以S n ＝4n －1，所以a 6＝S 6－S 5＝45－44＝3×44＝768.]15．已知公差不为零的正项等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，lg a 1，lg a 2，lg a 4也成等差数列，若a 5＝10，则S 5＝.30[设{a n }的公差为d ，则d ≠0.由lg a 1，lg a 2，lg a 4也成等差数列， 得2lg a 2＝lg a 1＋lg a 4，∴a 22＝a 1a 4， 即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，d 2＝a 1d .又d ≠0，故d ＝a 1，a 5＝5a 1＝10，d ＝a 1＝2， S 5＝5a 1＋5×42×d ＝30.]16．已知等差数列{a n }中，a 3＝7，a 6＝16，将此等差数列的各项排成如图所示的三角形数阵：a 1 a 2a 3 a 4a 5a 6 a 7a 8a 9a 10……………则此数阵中第20行从左到右的第10个数是．598[第1行有1项，第2行有2项，第3行有3项，故前19行共有19×1＋19×182×1＝190(项)，第20行第10项为数列{a n }中的第200项．又a 3＝7，a 6＝16，∴d ＝a 6－a 36－3＝16－73＝3，∴a n ＝a 3＋(n －3)·d ＝7＋3(n －3)＝3n －2，∴a 200＝3×200－2＝598.]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知数列{a n }为等差数列，且a 3＝5，a 7＝13. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n ＝log 4b n ，求数列{b n }的前n 项和T n . [解](1)设a n ＝a 1＋(n －1)d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5，a 1＋6d ＝13，解得a 1＝1，d ＝2. 所以{a n }的通项公式为a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.(2)依题意得b n ＝4a n ＝42n －1， 因为b n ＋1b n＝42n ＋142n －1＝16， 所以{b n }是首项为b 1＝41＝4，公比为16的等比数列，所以{b n }的前n 项和T n ＝4×（1－16n ）1－16＝415(16n －1).18．(本小题满分12分)等差数列{a n }中，前三项分别为x ，2x ，5x －4，前n 项和为S n ，且S k ＝2 550.(1)求x 和k 的值；(2)求T ＝1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n的值．[解](1)由4x ＝x ＋5x －4，得x ＝2，所以a n ＝2n ，S n ＝n (n ＋1)，所以k (k ＋1)＝2 550，得k ＝50. (2)因为S n ＝n (n ＋1)，所以1S n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，所以T ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.19．(本小题满分12分)已知{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．(1)求通项a n 及S n ；(2)设{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的通项公式及其前n 项和T n .[解](1)因为{a n }是首项为a 1＝19，公差为d ＝－2的等差数列， 所以a n ＝19－2(n －1)＝－2n ＋21，S n ＝19n ＋n （n －1）2·(－2)＝－n 2＋20n .(2)由题意得b n －a n ＝3n －1，所以b n ＝3n －1－2n ＋21，则T n ＝S n ＋(1＋3＋…＋3n －1)＝－n 2＋20n ＋3n －12. 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝xx ＋1，数列{a n }满足a 1＝1，并且a n ＋1＝f (a n ).(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝1n ＋1a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .[解](1)由题意得a n ＋1＝a na n ＋1，∴1a n ＋1＝a n ＋1a n＝1＋1a n ，即1a n ＋1－1a n ＝1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是一个等差数列，公差为1，首项为1a 1＝1，从而1a n＝n ，∴a n ＝1n.(2)由(1)得b n ＝1n ＋1a n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1， ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.21．(本小题满分12分)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，在等差数列{b n }中，b n >0，且b 1＋b 2＋b 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列．(1)求数列{a n b n }的通项公式； (2)求数列{a n b n }的前n 项和T n .[解](1)∵a n ＝3n －1，∴a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9.∵在等差数列{b n }中，b 1＋b 2＋b 3＝15，∴3b 2＝15，则b 2＝5.设等差数列{b n }的公差为d ，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，∴(1＋5－d )(9＋5＋d )＝64，解得d ＝－10或d ＝2. ∵b n >0，∴d ＝－10应舍去，∴d ＝2， ∴b 1＝3，∴b n ＝2n ＋1. 故a n b n ＝(2n ＋1)·3n －1.(2)由(1)知T n ＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n －1)3n －2＋(2n ＋1)3n －1，①3T n ＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n －1)3n －1＋(2n ＋1)3n ，②①－②，得－2T n ＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n －1－(2n ＋1)3n ＝3＋2(3＋32＋33＋…＋3n －1)－(2n ＋1)3n ＝3＋2×3－3n1－3－(2n ＋1)3n＝3n －(2n ＋1)3n ＝－2n ·3n . ∴T n ＝n ·3n .22．(本小题满分12分)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n 万元．(1)用d 表示a 1，a 2，并写出a n ＋1与a n 的关系式；(2)若公司希望经过m (m ≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d 的值(用m 表示).[解](1)由题意得a 1＝2 000(1＋50%)－d ＝3 000－d ，a 2＝a 1(1＋50%)－d ＝32a 1－d ＝4500－52d ，a n ＋1＝a n (1＋50%)－d ＝32a n －d .(2)由(1)得a n ＝32a n －1－d＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫32a n －2－d －d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322·a n －2－32d －d ＝…＝(32)n －1a 1－d [1＋32＋(32)2＋…＋(32)n －2]. 整理得a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1(3 000－d )－2d [(32)n －1－1]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1·(3 000－3d )＋2d .由题意知a m ＝4 000，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫32m －1·(3 000－3d )＋2d ＝4 000，解得d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫32m －2×1 000⎝ ⎛⎭⎪⎫32m －1＝1 000（3m －2m ＋1）3m －2m.故该企业每年上缴资金d 的值为1 000（3m －2m ＋1）3m －2m万元时，经过m (m ≥3)年企业的剩余资金为4 000万元．故当这幢宿舍楼的楼高层数为20层时，费用最少，最少总费用为1 000A 元．。
最新人教版高中数学必修5第二章单元检测(附答案)
数学人教A版必修5第二章数列单元检测(时间：90分钟，满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．数列的第40项等于()A．9 B．10 C．40 D．412．等差数列{2－3n}中，公差d等于()A．2 B．3 C．－1 D．－33．数列{a n}的前n项和S n＝2n2－3n(n∈N*)，则a4等于()A．11 B．15 C．17 D．204．在等比数列{a n}中，a1＝8，a4＝64，则公比q为()A．2 B．3 C．4 D．85．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是()A．1，12，13，14，…B．－1,2，－3,4，…C．－1，12-，14-，18-，…D．16．600是数列1×2,2×3,3×4,4×5，…的第()A．20项B．24项C．25项D．30项7．(2011·河南商丘二模)已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，若a6＝2，且S5＝30，则S8＝()A．31 B．32 C．33 D．348．等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1,2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4等于() A．7 B．8 C．15 D．169．一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂()A．55 986只B．46 656只C．216只D．36只10．若{a n}为等差数列，S n是其前n项和，且S11＝223π，则tan a6的值为()A B．C．D．3-二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)11．1和9的等比中项是__________．12．等比数列{a n}中，a2 006和a2 012是方程x2＋x－1＝0的两根，则a2 007a2 011＝__________.13．(2011·安徽淮南高三一模)已知数列{a n}的前n项和S n＝n2＋2n－1，则a1＋a3＋a5＋…＋a25＝__________.14．某小朋友用手指按如图所示的规则练习数数，数到 2 009时对应的指头是__________．(填出指头名称：各指头对应依次为大拇指、食指、中指、无名指、小拇指)15．(2011·河南商丘二模)已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋a n＋1＝14n⎛⎫⎪⎝⎭(n∈N*)，S n＝a1＋a2·4＋a3·42＋…＋a n·4n－1，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得5S n－4n a n ＝__________.三、解答题(本大题共2小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(10分)已知数列{a n}是等差数列，a2＝6，a5＝18；数列{b n}的前n项和是T n，且T n＋12nb＝1.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求证：数列{b n}是等比数列．17．(15分)(2011·山东济南二模)设数列{a n}是等差数列，数列{b n}的前n项和为S n＝23(b n－1)，若a2＝b1，a5＝b2.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{b n}的前n项和S n.参考答案1. 答案：A a 40=9. 2. 答案：D 设a n ＝2－3n ，则d ＝a n ＋1－a n ＝[2－3(n ＋1)]－(2－3n )＝－3. 3. 答案：A a 4＝S 4－S 3＝20－9＝11. 4. 答案：A ∵41648a a =＝8＝q 3，∴q ＝2. 5. 答案：C A 项中数列是递减的无穷数列，B 项中数列是摆动数列，D 项中数列是递增的有穷数列．6. 答案：B a 1＝1×2＝1×(1＋1)，a 2＝2×3＝2×(2＋1)，a 3＝3×4＝3×(3＋1)，a 4＝4×5＝4×(4＋1)，…，a n ＝n (n ＋1)，令n (n ＋1)＝600，解得a ＝24或a ＝－25(舍去)，即600是数列的第24项．7. 答案：B 设等差数列{a n }的公差为d ，则有1152,5(51)530,2a d a d +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 解得d ＝43-，a 1＝263，所以S 8＝18(81)82a d ⨯-+＝2648283233⎛⎫⨯+⨯-= ⎪⎝⎭.8. 答案：C 设公比为q ，由于4a 1,2a 2，a 3成等差数列， 则4a 2＝4a 1＋a 3，所以4q ＝4＋q 2，解得q ＝2.所以S 4＝441(1)1215112a q q --==--.9. 答案：B 设第n 天所有的蜜蜂都归巢后共有a n 只蜜蜂，则有a n ＋1＝6a n ，a 1＝6，则{a n }是公比为6的等比数列，则a 6＝a 1q 5＝6×65＝46 656.10. 答案：B S 11＝66111611()11()2211223a a a a a π++===，则a 6＝23π，则tan a 6＝11. 答案：±3 1和9的等比中项为3=±. 12. 答案：－1 由题意，得a 2 006a 2 012＝－1. 又{a n }是等比数列，故a 2 007a 2 011＝a 2 006a 2 012＝－1.13. 答案：350 当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋2×1－1＝2，当n ≥2时，S n －1＝(n －1)2＋2(n －1)－1＝n 2－2，所以a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋2n －1)－(n 2－2)＝2n ＋1. 此时n ＝1，a n ＝2n ＋1＝3≠a 1，所以a n ＝2,1,21,2,n n n =⎧⎨+⎩≥故原式＝2＋(7＋11＋15＋…＋51) ＝12(751)23502⨯++=.14．答案：大拇指 把这些数分成“层”，则第1层有5个数，其他层都是4个数，奇数层小拇指对应的数最大，偶数层大拇指对应的数最大，则2 009＝5＋2 004＝5＋4×501，即2 009在第502层，并且是该层最大的数，所以2 009位于大拇指对应的位置上．15. 答案：n 由于S n ＝a 1＋a 2·4＋a 3·42＋…＋a n －1·4n －2＋a n ·4n －1，则有4S n ＝a 1·4＋a 2·42＋a 3·43＋…＋a n －1·4n －1＋a n ·4n ，上面两式相加得4S n ＋S n ＝a 1＋(a 1·4＋a 2·4)＋(a 2·42＋a 3·42)＋…＋(a n －1·4n －1＋a n ·4n －1)＋a n ·4n ，所以5S n ＝a 1＋4(a 1＋a 2)＋42(a 2＋a 3)＋…＋4n －1(a n －1＋a n )＋a n ·4n .所以5S n －4n a n ＝a 1＋4(a 1＋a 2)＋42(a 2＋a 3)＋…＋4n －1(a n －1＋a n )＝1＋4×14＋42×214⎛⎫ ⎪⎝⎭＋…＋4n －1×114n -⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1＋1＋1＋…＋1＝n .16. 分析：(1)列方程组求出首项和公差； (2)对等式T n ＋112n b =中的n 赋值为n －1，可得b n ＝113n b -. (1)解：设数列{a n }的公差为d ， 由题意，得116,418,a d a d +=⎧⎨+=⎩解得a 1＝2，d ＝4.故a n ＝2＋4(n －1)＝4n －2. (2)证明：当n ＝1时，b 1＝T 1， 由T 1＋112b ＝1，得b 1＝23.当n ≥2时， ∵T n ＋12n b ＝1，∴T n ＝112n b -，T n －1＝1112n b --， ∴T n －T n －1＝12(b n －1－b n )．∴b n ＝12(b n －1－b n )，∴b n ＝13b n －1.∴数列{b n }是以23为首项，13为公比的等比数列．17. 解：(1)∵S 1＝23(b 1－1)＝b 1，∴b 1＝－2.又S 2＝23(b 2－1)＝b 1＋b 2＝－2＋b 2，∴b 2＝4.∴a 2＝－2，a 5＝4. 设等差数列{a n }的公差为d ，则有112,44,a d a d +=-⎧⎨+=⎩解得a 1＝－4，d ＝2.∴数列{a n }的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－4＋(n －1)×2＝2n －6. (2)∵S n ＋1＝23(b n ＋1－1)，① S n ＝23(b n －1)，② ①－②，得S n ＋1－S n ＝23(b n ＋1－b n )＝b n ＋1， 整理得b n ＋1＝－2b n ， ∴1n nb b +＝－2. ∴数列{b n }是等比数列，其公比q ＝－2，b 1＝－2.∴S n ＝1(1)2[1(2)]11(2)n n b q q ----=--- ＝23[(－2)n －1]．。
人教A版高中数学必修五第二章2.2等差数列的性质同步检测题
人教A版高中数学必修五第二章2.2等差数列的性质同步检测题一、选择题1．在等差数列{a n}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝()A．－1B．0C．1 D．62．已知等差数列{a n}，则使数列{b n}一定为等差数列的是() A．b n＝－a n B．b n＝a2nC．b n＝a n D．b n＝1 a n3．在等差数列{a n}中，若a2＝1，a6＝－1，则a4＝() A．－1 B．1C．0 D．－1 24．等差数列{a n}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，则数列{a n}的通项公式是()A．a n＝2n－2(n∈N*) B．a n＝2n＋4(n∈N*)C．a n＝－2n＋12(n∈N*) D．a n＝－2n＋10(n∈N*)5．如果数列{a n}是等差数列，则下列式子一定成立的有()A．a1＋a8<a4＋a5B．a1＋a8＝a4＋a5C．a1＋a8>a4＋a5D．a1a8＝a4a56．已知数列{a n}为等差数列且a1＋a7＋a13＝4π，则tan(a2＋a12)的值为() A． 3 B．±3C．－33D．－ 37．等差数列{a n}中，a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·…·2a10)＝() A．10 B．20C．40 D．2＋log25二、填空题8．等差数列{a n}中，a15＝33，a25＝66，则a35＝________.9．在等差数列{a n}中，a3＋a7＝37，则a2＋a4＋a6＋a8＝________.10．在等差数列{a n }中，若a 5＝a ，a 10＝b ，则a 15＝________.11．数列{a n }满足递推关系a n ＝3a n －1＋3n －1(n ∈N *，n ≥2)，a 1＝5，则使得数列 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n m a 3为等差数列的实数m 的值为________． 12．若m ≠n ，两个等差数列m ，a 1，a 2，n 与m ，b 1，b 2，b 3，n 的公差分别为d 1和d 2，则d 1d 2的值为________． 三、解答题13．梯子的最高一级宽33 cm ，最低一级宽110 cm ，中间还有10级，各级宽度依次成等差数列，计算中间各级的宽度．14．若三个数a －4，a ＋2,26－2a 适当排列后构成递增等差数列，求a 的值和相应的数列．15．两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，问它们有多少个共同的项？16．已知数列{a n}的通项公式为a n＝pn2＋qn(常数p，q∈R)．(1)当p和q满足什么条件时，数列{a n}是等差数列？(2)求证：对任意的实数p和q，数列{a n＋1－a n}都是等差数列．人教A 版高中数学必修五第二章2.2等差数列的性质同步检测题解析一、选择题1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．6解析：由等差数列的性质得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0，选B.答案：B2．已知等差数列{a n }，则使数列{b n }一定为等差数列的是( )A ．b n ＝－a nB ．b n ＝a 2nC ．b n ＝a nD ．b n ＝1a n解析：∵数列{a n }是等差数列，∴a n ＋1－a n ＝d (常数)．对于A ，b n ＋1－b n ＝a n －a n ＋1＝－d ，正确；对于B 不一定正确，如a n ＝n ，则b n＝a 2n ＝n 2，显然不是等差数列；对于C 和D ，a n 及1a n不一定有意义，故选A. 答案：A3．在等差数列{a n }中，若a 2＝1，a 6＝－1，则a 4＝( )A ．－1B ．1C ．0D ．－12解析：∵2a 4＝a 2＋a 6＝1－1＝0，∴a 4＝0.答案：C4．等差数列{a n }的公差d <0，且a 2·a 4＝12，a 2＋a 4＝8，则数列{a n }的通项公式是( )A ．a n ＝2n －2(n ∈N *)B ．a n ＝2n ＋4(n ∈N *)C ．a n ＝－2n ＋12(n ∈N *)D ．a n ＝－2n ＋10(n ∈N *)解析：由⎪⎩⎪⎨⎧<=+=∙，，，08124242d a a a a ⇒⎩⎨⎧==，，2642a a ⇒⎩⎨⎧-==，，281d a ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝8＋(n －1)·(－2)＝－2n ＋10.5．如果数列{a n }是等差数列，则下列式子一定成立的有( )A ．a 1＋a 8<a 4＋a 5B ．a 1＋a 8＝a 4＋a 5C ．a 1＋a 8>a 4＋a 5D ．a 1a 8＝a 4a 5解析：由等差数列的性质有a 1＋a 8＝a 4＋a 5，故选B.答案：B6．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为() A ． 3 B ．±3C ．－33 D ．－ 3解析：由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π，∴a 7＝4π3.∴tan(a 2＋a 12)＝tan(2a 7)＝tan 8π3＝tan 2π3＝－ 3.答案：D7．等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( )A ．10B ．20C ．40D ．2＋log 25解析：由等差数列的性质知a 1＋a 2＋…＋a 10＝5(a 5＋a 6)＝5×4＝20，从而log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝log 2220＝20.答案：B二、填空题8．等差数列{a n }中，a 15＝33，a 25＝66，则a 35＝________.解析：由a 25是a 15与a 35的等差中项知2a 25＝a 15＋a 35，∴a 35＝2a 25－a 15＝2×66－33＝99.答案：999．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________.解析：由等差数列的性质可知，a 2＋a 8＝a 4＋a 6＝a 3＋a 7，∴a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝37×2＝74.10．在等差数列{a n }中，若a 5＝a ，a 10＝b ，则a 15＝________.解析：设数列{a n }的公差为d .法一：由题意知⎩⎨⎧=+==+=，，b d a a a d a a 9411015 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=，，55491a b d b a a∴a 15＝a 1＋14d ＝9a －4b 5＋14×b －a 5＝2b －a .法二：d ＝a 10－a 510－5＝b －a 5， ∴a 15＝a 10＋5d ＝b ＋5×b －a 5＝2b －a .法三：∵a 5，a 10，a 15成等差数列，∴a 5＋a 15＝2a 10.∴a 15＝2a 10－a 5＝2b －a .答案：2b －a11．数列{a n }满足递推关系a n ＝3a n －1＋3n －1(n ∈N *，n ≥2)，a 1＝5，则使得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n m a 3为等差数列的实数m 的值为________． 解析：由题设知a n ＋m 3n －a n －1＋m 3n －1＝3a n －1＋3n －1＋m 3n －a n －1＋m 3n －1 ＝3n －1－2m 3n＝1－1＋2m 3n 为常数， 则1＋2m ＝0，故m ＝－12.答案：－1212．若m ≠n ，两个等差数列m ，a 1，a 2，n 与m ，b 1，b 2，b 3，n 的公差分别为d 1和d 2，则d 1d 2的值为________． 解析：n －m ＝3d 1，d 1＝13(n －m )．又n －m ＝4d 2，d 2＝14(n －m )．∴d 1d 2＝13·(n －m )14·(n －m )＝43. 答案：43三、解答题13．梯子的最高一级宽33 cm ，最低一级宽110 cm ，中间还有10级，各级宽度依次成等差数列，计算中间各级的宽度．解析：由题意可设最低一级宽度为a 1，梯子的宽度依次成等差数列，设为{a n }，依题意a 12＝33，由a 12＝a 1＋(12－1)d ⇒33＝110＋11d ，∴d ＝－7，∴a n ＝110＋(n －1)×(－7)，∴a 2＝103，a 3＝96，a 4＝89，a 5＝82，a 6＝75，a 7＝68，a 8＝61，a 9＝54，a 10＝47，a 11＝40，故梯子中间各级的宽度依次为103,96,89,82,75,68,61,54,47,40.14．若三个数a －4，a ＋2,26－2a 适当排列后构成递增等差数列，求a 的值和相应的数列．解析：显然a －4<a ＋2，(1)若a －4，a ＋2,26－2a 成等差数列，则(a －4)＋(26－2a )＝2(a ＋2)，∴a ＝6，相应的等差数列为：2,8,14.(2)若a －4,26－2a ，a ＋2成等差数列，则(a －4)＋(a ＋2)＝2(26－2a )，∴a ＝9，相应的等差数列为：5,8,11.(3)若26－2a ，a －4，a ＋2成等差数列，则(26－2a )＋(a ＋2)＝2(a －4)，∴a ＝12，相应的等差数列为：2,8,14.15．两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，问它们有多少个共同的项？解析：设两个数列分别为{a n }与{b k }．则a 1＝5，d 1＝8－5＝3，通项公式a n ＝5＋(n －1)·3＝3n ＋2；b 1＝3，d 2＝7－3＝4，通项公式b k ＝3＋(k －1)·4＝4k －1.设数列{a n }的第n 项与{b k }的第k 项相同， 即a n ＝b k ，也就是3n ＋2＝4k －1，∴n ＝43k －1，而n ∈N *，k ∈N *，∴k 必须为3的倍数，设k ＝3r (r ∈N *)，得n ＝4r －1.由条件知⎩⎨⎧≤-≤≤≤，，10014110031r r 解得12≤r ≤1014.又r ∈N *，∴1≤r ≤25(r ∈N *)．∴共有25个共同的项．16．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝pn 2＋qn (常数p ，q ∈R)．(1)当p 和q 满足什么条件时，数列{a n }是等差数列？(2)求证：对任意的实数p 和q ，数列{a n ＋1－a n }都是等差数列． 解析：(1)设数列{a n }是等差数列，则a n ＋1－a n ＝[p (n ＋1)2＋q (n ＋1)]－(pn 2＋qn )＝2pn ＋p ＋q ， 若2pn ＋p ＋q 是一个与n 无关的常数，则2p ＝0，即p ＝0，q ∈R.∴当p ＝0，q ∈R 时，数列{a n }是等差数列．(2)证明：∵a n ＋1－a n ＝2pn ＋p ＋q ，∴a n ＋2－a n ＋1＝2p (n ＋1)＋p ＋q ，∴(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝[2p (n ＋1)＋p ＋q ]－(2pn ＋p ＋q )＝2p (常数)． ∴对任意的实数p 和q ，数列{a n ＋1－a n }都是等差数列．。
新课标A版高中数学必修5：第二章+数列+单元同步测试(含解析)
第二章测试(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.S n 是数列{a n }的前n 项和,log 2S n ＝n (n ＝1,2,3,…),那么数列{a n }( )A.是公比为2的等比数列B.是公差为2的等差数列C.是公比为12的等比数列 D.既非等差数列也非等比数列解析 由log 2S n ＝n ,得S n ＝2n ,a 1＝S 1＝2,a 2＝S 2－S 1＝22－2＝2,a 3＝S 3－S 2＝23－22＝4,…由此可知,数列{a n }既不是等差数列,也不是等比数列. 答案 D2.一个数列{a n },其中a 1＝3,a 2＝6,a n ＋2＝a n ＋1－a n ,则a 5＝( ) A.6 B.－3 C.－12D.－6解析 a 3＝a 2－a 1＝6－3＝3, a 4＝a 3－a 2＝3－6＝－3, a 5＝a 4－a 3＝－3－3＝－6. 答案 D3.首项为a 的数列{a n }既是等差数列,又是等比数列,则这个数列前n 项和为( )A.a n －1B.naC.a nD.(n －1)a解析 由题意,知a n ＝a (a ≠0),∴S n ＝na . 答案 B4.设{a n }是公比为正数的等比数列,若a 1＝1,a 5＝16,则数列{a n }的前7项和为( )A.63B.64C.127D.128解析 a 5＝a 1q 4＝q 4＝16,∴q ＝2. ∴S 7＝1－271－2＝128－1＝127.答案 C5.已知－9,a 1,a 2,－1四个实数成等差数列,－9,b 1,b 2,b 3,－1五个实数成等比数列,则b 2(a 2－a 1)的值等于( )A.－8B.8C.－98D.98 解析 a 2－a 1＝－1－(－9)3＝83, b 22＝(－1)×(－9)＝9,∴b 2＝－3, ∴b 2(a 2－a 1)＝－3×83＝－8. 答案 A6.在－12和8之间插入n 个数,使这n ＋2个数组成和为－10的等差数列,则n 的值为( )A.2B.3C.4D.5解析 依题意,得－10＝－12＋82(n ＋2), ∴n ＝3. 答案 B7.已知{a n }是等差数列,a 4＝15,S 5＝55,则过点P (3,a 3),Q (4,a 4)的直线的斜率为( )A.4B.14C.－4D.－14解析由a 4＝15,S 5＝55,得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝15，5a 1＋5×42d ＝55.解得⎩⎨⎧a 1＝3，d ＝4.∴a 3＝a 4－d ＝11.∴P (3,11),Q (4,15).k PQ ＝15－114－3＝4.答案 A8.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 3＋a 17＝10,则S 19＝( ) A.55 B.95 C.100D.190解析 S 19＝a 1＋a 192×19＝a 3＋a 172×19＝102×19＝95.答案 B9.S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 2＋a 4＋a 15是一个确定的常数,则在数列{S n }中也是确定常数的项是( )A.S 7B.S 4C.S 13D.S 16解析 a 2＋a 4＋a 15＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＋a 1＋14d ＝3a 1＋18d ＝3(a 1＋6d )＝3a 7,∴a 7为常数.∴S 13＝a 1＋a 132×13＝13a 7为常数. 答案 C10.等比数列{a n }中,a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝31,a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝62,则通项是( )A.2n －1B.2nC.2n ＋1D.2n ＋2解析 ∵a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝q (a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5), ∴62＝q ×31,∴q ＝2.∴S 5＝a 1(1－25)1－2＝31.∴a 1＝1,∴a n ＝2n －1. 答案 A11.已知等差数列{a n }中,|a 3|＝|a 9|,公差d <0,则使其前n 项和S n 取得最大值的自然数n 是( )A.4或5B.5或6C.6或7D.不存在解析 由d <0知,{a n }是递减数列,∵|a 3|＝|a 9|,∴a 3＝－a 9,即a 3＋a 9＝0. 又2a 6＝a 3＋a 9＝0,∴a 6＝0. ∴S 5＝S 6且最大. 答案 B12.若a ,b ,c 成等比数列,则方程ax 2＋bx ＋c ＝0( ) A.有两个不等实根 B.有两相等的实根 C.无实数根 D.无法确定解析 a ,b ,c 成等比数列,∴b 2＝ac >0. 而Δ＝b 2－4ac ＝ac －4ac ＝－3ac <0. ∴方程ax 2＋bx ＋c ＝0无实数根. 答案 C二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.2,x ,y ,z,18成等比数列,则x ＝________.解析 设公比为q ,则由2,x ,y ,z,18成等比数列.得18＝2q 4,∴q ＝±3.∴x ＝2q ＝±2 3.答案 ±2 314.若数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n ，0≤a n ≤1，a n －1，a n >1，且a 1＝67,则a 2013＝________.解析 由题意,得a 1＝67,a 2＝127,a 3＝57,a 4＝107,a 5＝37,a 6＝67,a 7＝127,…,∴a 2013＝a 3＝57.答案 5715.一个数列的前n 项和为S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n ＋1n ,则S 17＋S 33＋S 50＝____________.解析 S 17＝－8＋17＝9,S 33＝－16＋33＝17,S 50＝－25,∴S 17＋S 33＋S 50＝1.答案 116.设等比数列{a n }的公比q ＝12,前n 项和为S n ,则S 4a 4＝________.解析 S 4a 4＝a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫124⎝⎛⎭⎪⎫1－12a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝15. 答案 15三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)设S n 为数列{a n }的前n 项和,已知a 1≠0,2a n －a 1＝S 1·S n ,n ∈N *.(1)求a 1,a 2,并求数列{a n }的通项公式; (2)求数列{na n }的前n 项和.解 (1)令n ＝1,得2a 1－a 1＝a 21,即a 1＝a 21,∵a 1≠0,∴a 1＝1,令n ＝2,得2a 2－1＝S 2＝1＋a 2,解得a 2＝2. 当n ≥2时,由2a n －1＝S n,2a n －1＝S n －1两式相减得2a n －2a n －1＝a n ,即a n ＝2a n －1, 于是数列{a n }是首项为1,公比为2的等比数列, 即a n ＝2n －1.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)由(1)知,na n ＝n ·2n －1.记数列{n ·2n －1}的前n 项和为B n ,于是 B n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ×2n －1,① 2B n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n .② ①－②得－B n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n . 从而B n ＝1＋(n －1)·2n .18.(12分)已知等比数列{a n },首项为81,数列{b n }满足b n ＝log 3a n ,其前n 项和为S n .(1)证明{b n }为等差数列;(2)若S 11≠S 12,且S 11最大,求{b n }的公差d 的范围. 解 (1)证明:设{a n }的公比为q , 则a 1＝81,a n ＋1a n＝q ,由a n >0,可知q >0,∵b n ＋1－b n ＝log 3a n ＋1－log 3a n ＝log 3a n ＋1a n ＝log 3q (为常数),∴{b n }是公差为log 3q 的等差数列.(2)由(1)知,b 1＝log 3a 1＝log 381＝4, ∵S 11≠S 12,且S 11最大,∴⎩⎨⎧b 11≥0，b 12<0，即⎩⎨⎧b 1＋10d ≥0，b 1＋11d <0.⎩⎪⎨⎪⎧d ≥－b 110＝－25，d <－b111＝－411.∴－25≤d <－411.19.(12分)等差数列{a n }的各项均为正数,a 1＝3,前n 项和为S n ,{b n }为等比数列,b 1＝1,且b 2S 2＝64,b 3S 3＝960.(1)求a n 与b n ;(2)证明:1S 1＋1S 2＋…＋1S n<34.解 (1)设{a n }的公差为d ,{b n }的公比为q ,则d >0,q ≠0,a n ＝3＋(n －1)d ,b n ＝q n －1,依题意有⎩⎨⎧b 2S 2＝(6＋d )q ＝64，b 3S 3＝(9＋3d )q 2＝960.解得⎩⎨⎧d ＝2，q ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－65，q ＝403，(舍去).故a n ＝2n ＋1,b n ＝8n －1.(2)证明:由(1)知S n ＝3＋2n ＋12×n ＝n (n ＋2),1S n ＝1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －1n ＋2, ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)∵2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)>0 ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n<34. 20.(12分)等比数列{a n }中,已知a 1＝2,a 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若a 3,a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项,试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .解 (1)设{a n }的公比为q ,由已知,得16＝2q 3,解得 q ＝2,∴a n ＝a 1q n －1＝2n .(2)由(1)得a 3＝8,a 5＝32,则b 3＝8,b 5＝32.设{b n }的公差为d ,则有⎩⎨⎧b 1＋2d ＝8，b 1＋4d ＝32，解得⎩⎨⎧b 1＝－16，d ＝12.从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28. 所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n (－16＋12n －28)2＝6n 2－22n . 21.(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n ＝2n 2＋n ,n ∈N *,数列{b n }满足a n ＝4log 2b n ＋3,n ∈N *.(1)求a n ,b n ;(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .解 (1)由S n ＝2n 2＋n ,得当n ＝1时,a 1＝S 1＝3; 当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝4n －1.∴a n ＝4n －1(n ∈N *). 由a n ＝4log 2b n ＋3＝4n －1,得b n ＝2n －1(n ∈N *). (2)由(1)知a n ·b n ＝(4n －1)·2n －1,n ∈N *, ∴T n ＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n －1)×2n －1, 2T n ＝3×2＋7×22＋…＋(4n －5)×2n －1＋(4n －1)×2n .∴2T n －T n ＝(4n －1)×2n －[3＋4(2＋22＋…＋2n －1]＝(4n －5)2n ＋5.故T n ＝(4n －5)2n ＋5.22.(12分)已知数列{a n }满足a 1＝1,a n －2a n －1－2n －1＝0(n ∈N *,n ≥2).(1)求证:数列{a n2n }是等差数列; (2)若数列{a n }的前n 项和为S n ,求S n .解 (1)∵a n －2a n －1－2n －1＝0,∴a n 2n －a n －12n －1＝12, ∴{a n 2n }是以12为首项,12为公差的等差数列.(2)由(1),得a n 2n ＝12＋(n －1)×12,∴a n ＝n ·2n －1, ∴S n ＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1① 则2S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ② ①－②,得 －S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝1·(1－2n )1－2－n ·2n ＝2n －1－n ·2n ,∴S n ＝(n －1)·2n ＋1.。
版新人教A版必修五第二章数列单元测试卷带答案
新人教A版必修五第二章数列单元测试卷（带答案）（120分，分15 0分）一、（每小5分，共60分）1.数列2，5，22，11L的一个通公式是（，.n3n3.an3n1C.an3n1D.a n3n3.已知数列a n，a13，a26，且a n2an1a n，数列的第五（）.B.C.12D.6.是数列7,13,19,25,31,L,中的第（）.2011A.332B.333C.334D.335.在等差数列a n中,若a3a4a5a67450，a2a8（）C.180一个首23，公差整数的等差数列，假如前六均正数，第七起数，它的公差是()A.－2B.－3C.－4D.－56.在等差数列｛an｝中，公差d，若S10＝4S5，a1等于()d11A. C.24数列｛an｝和｛bn｝都是等差数列，此中a1＝25，b1＝75，且a100＋b100＝100，数列｛an＋bn｝的前100之和是()8.已知等差数列｛an｝的公差d＝1，且a1＋a2＋a3＋⋯＋a98＝137，那么a2＋a4＋a6＋⋯＋a98的等于()9.在等比数列｛an｝中，a1＝1，q∈R且｜q｜≠1，若am＝a1a2a3a4a5，m等于()1 0.公差不0的等差数列｛a｝中，a、a、a挨次成等比数列，公比等于()236A .1B.3n－1(a≠0)，个数列的特点是｝的前n和()11.若数列｛aS ＝aA.等比数列B.等差数列C.等比或等差数列 D.非等差数列Sn2n1 2.等差数列｛a｝和｛b｝的前n和分S与，全部自然数n，都有=nＴn Tn3n1a5等于(2920D.11b5 A.B. C.17314311二、填空（每小4分，共16分）13.数列｛a n｝的前n和S n＝n2＋3n＋1，它的通公式.1 4.已知｛1｝是等差数列，且a2＝2－1，a4＝2＋1，a10＝.a n1 5.在等比数列中，若S10＝10，S20＝30，S30＝.1 6.数列11，21，31，41，⋯的前n和.2441 6三、解答：17.（本小分12分）已知等差数列｛an｝中，Sn＝m，Sm＝n(m≠n)，求Sm＋n.18.（安分12分）等差数列｛an｝的前n和Sn，已知a3＝12，S12＞0，S13＜0.求公差d的取范. （安分12分）已知等差数列｛an1102?并求此最大.｝中，a ＝29，S＝S，个数列的前多少和最大20.（安分12分）2a1＝5，an＋1＝2an＋3(n≥1)，求｛an｝的通公式.21.（安分12分）乞降：1＋4＋7＋⋯＋3n25525n122.（安分14分）已知数列｛an｝中，Sn是它的前n和，而且Sn＋1＝4an＋2(n＝1，2，⋯)，a1＝1.(1) bn＝an＋1－2an(n＝1，2，⋯)求｛bn｝是等比数列；(2) cn＝an n(n＝1，2⋯)求｛cn｝是等2差数列；(3)求数列｛an｝的通公式及前 n和公式.数列元量参照答案一、3二、填空13.a n5n12715.70n2n2114.－4716.22n2n2n2三、解答1 7.分析：nｐ2＋qn nｐ2＋qn＝m；①S＝n2＋qm＝n②m①－②得：ｐ(n2－m2)＋q(n－m)＝m－n即ｐ(m＋n)＋q＝－1(m ≠n)Sm＋n＝ｐ(m＋n)2＋q(m＋n)＝(m＋n)［ｐ(m＋n)＋q］＝－(m＋n).121112a1d018.分析：由S12＞0及S13＜0可得2131213a1d022a＋11d＞024＋7d＞01即又∵a3＝12，∴a1＝12－2d∴a＋6d＜03＋d ＜01∴－24＜d＜－3.7分析：数列｛a n｝的公差d∵S10201092019解得d＝－2＝S，∴10×29＋d＝20×29＋d∴a n＝－2n ＋3122个数列的前n和最大，a≥0－2n＋31≥0n需：即an＋1≤0－2(n＋1)＋31≤0∴≤n≤∵n∈N，∴n＝15∴当n＝15，Sn最大，最大151514S＝15×29＋(－2)＝225.20.分析：令an＝bn＋ｋ，an＋1＝bn ＋1＋ｋ2∴b n＋1＋ｋ＝2(bn ＋ｋ)＋3即bn＋1－2bn＝ｋ＋3令ｋ＋3＝0，即ｋ＝－3an＝bn－3，bn＋1＝2bn明｛bn｝等比数列，q＝2b1＝a1－ｋ＝8，∴b n＝8·2n－1＝2n＋2∴a n＝2n＋2－3.2分析：＋＋⋯＋3n23n1.Sn7＋2＝1＋525n25n11Sn＝＋4＋7＋⋯＋3n5＋3n2②552535n15n①－②得：443333n2(15n1)3n25S n1552L5n15n13115n575n12n7Sn75n12n7.45n16n12 2.分析：(1)∵S n＋1n＋n＋1＋2②＝4a＋2①∴S＝4a②－①得Sn＋2n＋1n＋1n即an＋2n＋，－S＝4a－4a(n＝1，2，⋯)＝4a－4a形，得an＋2－2an＋1＝2(an ＋1－2an)∵b n＝an＋1－2an(n＝1，2，⋯)∴b n＋1＝2bn.由此可知，数列｛b n｝是公比2的等比数列；由S2＝a1＋a2＝4a1＋2，又a1＝1，得a2＝5故b1＝a2－2a1＝3∴b n＝3·2n－1.(2) Qc nan(n1,2,L),cn1nan1an a n12a nbnn122n12n1,将bn＝3·2n－1代入，得cn ＋1－cn＝(n＝1，2，⋯)由此可知，数列｛cn｝是公差的等差数列，它的首a11c1＝,故c3(n)3n1.n44( 3)Qc n3n11(3n1)∴a n＝2n·c n＝(3n－1)·2n－2(n＝1，2，⋯)；44当n≥2，S－n－1＋2，因为Sn ＝4an1＋2＝(3n－4)·21＝a1＝1也合适于此公式，因此所求｛an nn－1 (3n－4)·2＋2.｝的前n和公式是：5。
人教课标版高中数学必修5第二章《数列》章末综合测试A卷
第二章《数列》章末综合测试A 卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．数列3，5，9，17，33，…的通项公式a n 等于( )A ．2nB ．2n ＋1C ．2n －1D ．2n ＋12．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1a n －1＋1(n ≥2)，则a 5的值为( ) A.13B.14C.15D.163．各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5等于( )A ．16B ．27C ．36D ．－274．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n －2(n ∈N ＋)，则a n 等于( )A ．2nB ．2n ＋1C ．2n ＋1D ．2n ＋25．在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 29a 11的值为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．96．已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( )A ．－110B ．－90C ．90D ．1107．已知等差数列{a n }，前n 项和用S n 表示，若2a 5＋3a 7＋2a 9＝14，则S 13等于( )A ．26B ．28C ．52D ．138．一个只有有限项的等差数列，它的前5项和为34，最后5项和为146，所有项的和为234，则它的第7项等于( )A ．22B ．21C ．19D ．189．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，且点P (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线x －y ＋1＝0上，则1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n等于( ) A.2n n ＋1B.2n （n ＋1）C.n （n ＋1）2D.n 2（n ＋1）10．已知数列{a n }满足1＋log 3a n ＝log 3a n ＋1(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A.15 B ．－15C ．5D ．－5二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上)11．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，2S 2，3S 3成等差数列，则数列{a n }的公比为________．12．已知{a n }是等差数列，a 4＝－20，a 16＝16，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 20|＝________．13．数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝________．14．在数列{a n }和{b n }中，b n 是a n 和a n ＋1的等差中项，a 1＝2且对任意n ∈N *都有3a n ＋1－a n ＝0，则数列{b n }的通项b n ＝________．15．已知各项均为正数的数列{a n }满足：a 1＝a 3，a 2＝1，a n ＋2＝11＋a n，则a 9＋a 10＝________．三、解答题(本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分10分)已知数列{a n }为等差数列，且a 3＝5，a 7＝13.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足a n ＝log 4b n ，求数列{b n }的前n 项和T n .17．(本小题满分10分)等差数列{a n }中，前三项分别为x ，2x ，5x －4，前n 项和为S n ，且S k ＝2 550.18．(本小题满分10分)已知数列{log 2(a n －1)}(n ∈N *)为等差数列，且a 1＝3，a 3＝9.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n＜1.19．(本小题满分10分)已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *)，满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0.(1)令c n ＝a n b n，求数列{c n }的通项公式； (2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n .20．(本小题满分10分)甲、乙两超市同时开业，第一年的全年销售额为a 万元，由于经营方式不同，甲超市前n 年的总销售额为a 2(n 2－n ＋2)万元，乙超市第n 年的销售额比前一年销售额多a ⎝⎛⎭⎫23n －1万元．(1)求甲、乙两超市第n 年销售额的表达式；(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？参考答案一、选择题1.解析：选B.由于3＝2＋1，5＝22＋1，9＝23＋1，…，所以通项公式是a n ＝2n ＋1，故选B.2.解析：选C.依题意a n >0且n ≥2时，1a n ＝1＋1a n －1，即1a n －1a n －1＝1， ∴数列{1a n}是以1为首项，1为公差的等差数列． ∴1a 5＝1＋(5－1)×1＝5，∴a 5＝15.故选C. 3.解析：选B.由a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，得a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，所以a 3＋a 4a 1＋a 2＝9＝q 2， 因为数列的各项都为正数，所以q ＝3，a 4＋a 5a 3＋a 4＝q ＝3，所以a 4＋a 5＝27. 4.解析：选A.当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2.∴a n ＝2a n －2a n －1，∴a n a n －1＝2. 又a 1＝2，∴a n ＝2n ，故选A.5.解析：选C.因为{a n }是等比数列，所以a 3a 11＝a 5a 9＝a 27，因此a 3a 5a 7a 9a 11＝a 57＝243，解得a 7＝3，又因为a 29＝a 7a 11，所以a 29a 11＝a 7＝3.故选C.6.解析：选D.由题意得(a 1－12)2＝(a 1－4)(a 1－16)，解得a 1＝20.S 10＝10a 1＋10×92×(－2)＝110.故选D. 7.解析：选A.∵a 5＋a 9＝2a 7，∴2a 5＋3a 7＋2a 9＝7a 7＝14，∴a 7＝2，∴S 13＝（a 1＋a 13）×132＝a 7×13＝26.故选A. 8.解析：选D.据题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a n －4＋a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝146，又∵a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝a 4＋a n －3＝a 5＋a n －4，∴a 1＋a n ＝36.又S n ＝12n (a 1＋a n )＝234，∴n ＝13，∴a 1＋a 13＝2a 7＝36，∴a 7＝18.故选D.9.解析：选A.依题意有a n －a n ＋1＋1＝0，即a n ＋1－a n ＝1，所以{a n }是等差数列，且a n ＝1＋(n －1)＝n ，于是S n ＝n （n ＋1）2， 所以1S n ＝2n （n ＋1）＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， 所以1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝2n n ＋1.故选A. 10.解析：选D.由1＋log 3a n ＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，得a n ＋1＝3a n ，即数列{a n }是公比为3的等比数列．设等比数列{a n }的公比为q ，又a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 13[q 3(a 2＋a 4＋a 6)]＝log 13(33×9)＝－5.二、填空题11.解析：由题意，知4S 2＝S 1＋3S 3.①当q ＝1时，4×2a 1＝a 1＋3×3a 1.即8a 1＝10a 1，a 1＝0不符合题意，∴q ≠1；②当q ≠1时，应有4×a 1（1－q 2）1－q ＝a 1（1－q ）1－q ＋3×a 1（1－q 3）1－q，化简得3q 2＝q ，得q ＝13或q ＝0(舍去)． 答案：1312.解析：a 16－a 4＝12d ＝36，∴d ＝3，a n ＝3n －32.∴当n ≤10时，a n <0，当n ≥11时，a n >0.|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 20|＝－(a 1＋a 2＋…＋a 10)＋(a 11＋a 12＋…＋a 20)＝(a 20－a 10)＋(a 19－a 9)＋…＋(a 11－a 1)＝100d ＝300.答案：30013.解析：设等差数列的公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ，a 5＝a 1＋4d ，∴(a 1＋2d ＋3)2＝(a 1＋1)(a 1＋4d ＋5)，解得d ＝－1，∴q ＝a 3＋3a 1＋1＝a 1－2＋3a 1＋1＝1. 答案：114.解析：∵由3a n ＋1－a n ＝0，可得a n ＋1a n＝13(n ∈N *)， ∴数列{a n }是公比为13的等比数列．因此a n ＝2×⎝⎛⎭⎫13n －1.故b n ＝12(a n ＋a n ＋1) ＝12⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫13n －1＋2×⎝⎛⎭⎫13n ＝43⎝⎛⎭⎫13n －1＝4×⎝⎛⎭⎫13n . 答案：4×⎝⎛⎭⎫13n15.解析：由a n ＋2＝11＋a n ，令n ＝1，得a 3＝11＋a 1，由a 1＝a 3，解得a 3＝5－12，由a n ＋2＝11＋a n，求得a 5＝a 7＝a 9＝5－12.令n ＝2，得a 4＝12；令n ＝4，得a 6＝23，令n ＝6，得a 8＝35，令n ＝8，得a 10＝58，所以a 9＋a 10＝5－12＋58＝45＋18. 答案：1＋458三、解答题16.解：(1)设a n ＝a 1＋(n －1)d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5，a 1＋6d ＝13， 解得a 1＝1，d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.(2)依题意得b n ＝4a n ＝42n －1，因为b n ＋1b n ＝42n ＋142n －1＝16， 所以{b n }是首项为b 1＝41＝4，公比为16的等比数列，所以{b n }的前n 项和T n ＝4×（1－16n ）1－16＝415(16n －1)． 17.解：(1)由4x ＝x ＋5x －4，得x ＝2，∴a n ＝2n ，S n ＝n (n ＋1)，∴k (k ＋1)＝2 550，得k ＝50.(2)∵S n ＝n (n ＋1)，∴1S n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1， ∴T ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 18.解：(1)设等差数列{log 2(a n －1)}的公差为d .由a 1＝3，a 3＝9，得log 2(9－1)＝log 2(3－1)＋2d ，则d ＝1.所以log 2(a n －1)＝1＋(n －1)×1＝n ，即a n ＝2n ＋1.(2)证明：因为1a n ＋1－a n ＝12n ＋1－2n ＝12n ， 所以1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n＝121＋122＋123＋…＋12n ＝1－12n ＜1. 19.解：(1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N *)，所以a n ＋1b n ＋1－a n b n＝2，即c n ＋1－c n ＝2. 所以数列{c n }是以首项c 1＝1，公差d ＝2的等差数列，故c n ＝2n －1.(2)由b n ＝3n －1知a n ＝c n b n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n －1)×3n －1，3S n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －1＋(2n －1)×3n ，相减得－2S n ＝1＋2×(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)×3n ＝－2－(2n －2)3n ，所以S n ＝(n －1)3n ＋1.20.解：(1)设甲、乙两超市第n 年的销售额分别为a n ，b n .则有a 1＝a ，当n ≥2时，a n ＝a 2(n 2－n ＋2)－a 2[(n －1)2－(n －1)＋2] ＝(n －1)a ，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ， n ＝1，（n －1）a ， n ≥2. b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝⎣⎡⎦⎤3－2⎝⎛⎭⎫23n －1a (n ∈N *)． (2)易知b n ＜3a ，所以乙超市将被甲超市收购，由b n ＜12a n ，得⎣⎡⎦⎤3－2⎝⎛⎭⎫23n －1a ＜12(n －1)a . ∴n ＋4⎝⎛⎭⎫23n －1＞7，∴n ≥7，即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．。
2018-2019学年人教A版数学必修5第二章 数列单元综合测试题
绝密★启用前2018-2019学年人教A 版数学必修5第二章 数列单元综合测试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．下列各组数成等比数列的是( )①1，－2,4，－8；②－ 2，2，－2 2，4；③x，x 2，x 3，x 4；④a －1，a －2，a －3，a －4. A ． ①② B ． ①②③ C ． ①②④ D ． ①②③④ 2．数列1，－3，5，－7，…的一个通项公式为( ) A ． a n ＝2n －1 B ． a n ＝(－1)n ＋1(2n －1) C ． a n ＝(－1)n(2n －1) D ． a n ＝(－1)n(2n ＋1)3．等差数列{a n }中，若a 2＋a 8＝16，a 4＝6，则公差d 的值是( ) A ． 1 B ． 2 C ． －1 D ． －24．在等比数列{a n }中，已知a 3＝2，a 15＝8，则a 9等于( ) A ． ±4 B ． 4 C ． －4 D ． 165．已知数列{a n }为等差数列，S n 是它的前n 项和．若a 1＝2，S 3＝12，则S 4＝( ) A ． 10 B ． 16 C ． 20 D ． 246．等差数列{a n }中，a 1+a 5=10,a 4=7,则数列{a n }的公差为 A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 47．在等比数列中，已知a 1a 83a 15＝243，则a93a 11的值为( )A ． 3B ． 9C ． 27D ． 818．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝32a n －3，那么这个数列的通项公式是( )…○…※※…○…A ． a n ＝2(n 2＋n ＋1) B ． a n ＝3·2n C ． a n ＝3n ＋1 D ． a n ＝2·3n9．数列1，1+2，1+2+22，…，1+2+22+…+2n －1，…的前n 项和为（ ）A ．2n －n －1B ．2n+1－n －2C ．2nD ．2n+1－n10．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1=−2018,S 20182018−S 20162016=2，则a 2＝( )A ． －2 016B ． －2 018C ． 2 018D ． 2 01611．数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n∈N *，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n －1}是等比数列，则λ的值等于( )A ． 1B ． －1C ．D ． 212．设等比数列{a n }的各项均为正数，公比为q ，前n 项和为S n .若对任意的n ∈N *，有S 2n ＜3S n ，则q 的取值范围是（ ）A ． (0,1]B ． (0,2)C ． [1,2)D ． (0， 2)……○______班……○第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13． 2＋1与 2－1的等比中项是________．14．已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1，a 3＝a 22－4，则a n ＝________．15．在等差数列{a n }中，a 3＝－12，a 3，a 7，a 10成等比数列，则公差d 等于________． 16．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，且每过滤一次可使杂质含量减少13，则要使产品达到市场要求，至少应过滤________次．(取lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1) 三、解答题17．在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81． （1）求a n ；（2）设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．18．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72，b n ＝a n －30， (1)求通项公式a n ；(2)求数列{b n }的前n 项和T n 的最小值．19．购买一件售价为5 000元的商品，采用分期付款的办法，每期付款数相同，购买后1个月付款一次，过1个月再付款一次，如此下去，到第12次付款后全部付清．如果月利率为0.8%，每月利息按复利计算(上月利息计入下月本金)，那么每期应付款多少元？(精确到1元)20．（13分）已知数列{a n }各项均为正数，其前n 项和为S n ，且满足4S n ＝（a n ＋1）2． （1）求{a n }的通项公式； （2）设b n {b n }的前n 项和为T n21．（2014•长安区校级三模）设数列{a n }的前n 项和为Sn ，且S n =4a n ﹣p ，其中p 是不为零的常数．（1）证明：数列{a n }是等比数列；（2）当p=3时，若数列{b n }满足b n+1=b n +a n （n ∈N *），b 1=2，求数列{b n }的通项公式．22．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n +12＝S n ＋1＋S n .(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n =a 2n −1⋅2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .参考答案1．C【解析】【分析】根据等比数列定义判断即可.【详解】由等比数列的定义，知①②④是等比数列．③中当x＝0时，不是等比数列．【点睛】本题主要考查了等比数列的定义，属于容易题.2．B【解析】【分析】根据所给前几项，找到规律写出通项公式即可【详解】1，3，5，7，…是奇数列，通项公式a n＝2n－1，又因为偶数项为负，奇数项为正，故所求通项公式a n＝(－1)n＋1(2n－1)．【点睛】本题主要考查了数列的通项公式，属于容易题.3．B【解析】【分析】利用等差数列性质可求a5，利用相邻两项的差即可求出.【详解】因为{a n}为等差数列，所以a2＋a8＝2a5＝16，解得a5＝8.所以d＝a5－a4＝8－6＝2.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的定义，属于中档题.4．B【解析】【分析】根据等比中项的性质即可求出.因为a 9是a 3和a 15的等比中项，又在等比数列中奇数项的符号相同，所以a 9＝ a 3a 15＝4. 【点睛】本题主要考查了等比数列中等比中项的性质，属于中档题. 5．C 【解析】 【分析】根据等差数列的前n 项和公式，即可求出. 【详解】 因为S 3＝3a 1＋3×22d ＝6＋3d ＝12，解得d ＝2，所以S 4＝4a 1＋4×32d ＝20.【点睛】本题主要考查了等差数列的前n 项和公式，属于中档题. 6．B 【解析】∵a 1＋a 5＝10，a 4＝7，∴ 2a 1＋4d ＝10，a 1＋3d ＝7⇒d ＝27．B 【解析】 【分析】根据等比中项的性质求出a 8，再根据等比中项性质，化简a 93a 11=a 9a 7a 11a 11=a 9a 7=a 82即可.【详解】因为a 1a 15＝a 82，所以a 85＝243＝35，所以a 8＝3，所以a 93a 11=a 9a 7a 11a 11=a 9a 7=a 82＝9.【点睛】本题主要考查了等比数列中等比中项性质的灵活运用，属于中档题. 8．D 【解析】 【分析】根据题意可得s n −1=32a n −3，两式相减即可得a nan −1=3，可证明数列为等比数列，从而写出【详解】由a n ＝S n －S n －1＝(32a n －3)－(32a n －1－3)(n≥2)，得a n a n −1=3，又a 1＝6，所以{a n }是以a 1＝6，q ＝3的等比数列，所以a n ＝2·3n. 【点睛】本题主要考查了根据递推关系求数列的通项公式，，属于中档题. 9．B【解析】因为根据题意可知，1+2+22+…+2n －1和等比数列的和，利用等比数列和等差数列的前n 项和得到和式为2n+1－n －2，选B. 10．A 【解析】 【分析】根据题意可知{S nn }为等差数列，从而可写出通项，求出s22，求出a 2.【详解】因为S n 为等差数列{a n }的前n 项和，所以{Sn n }为等差数列，且首项为－2 018.又因为S 20182018−S 20162016=2，所以公差为1，所以s22＝－2 018＋1＝－2 017.所以S 2＝a 1＋a 2＝－2017×2.即a 2＝－2 016. 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义，等差数列的通项公式及前n 项和的概念，属于中档题. 11．D 【解析】 【分析】由题意可知a n ＋1－1＝λa n －2＝λ(a n −2λ)，根据{a n －1}是等比数列从而求出结果. 【详解】由a n ＋1＝λa n －1，得a n ＋1－1＝λa n －2＝λ(a n −2λ).由于数列{a n －1}是等比数列， 所以2λ＝1，得λ＝2.本题主要考查了等比数列的定义，及递推关系，属于中档题.12．A【解析】若q=1,则S2n=2na1<3na1=3S n,所以q=1符合要求;当q≠1时,<,若q>1,则可得q2n-3q n+2<0,即(q n-1)(q n-2)<0,即1<q n<2,而q>1不可能对任意n值都有q n<2,所以q>1不符合要求;当0<q<1时,可得(q n-1)(q n-2)>0,即q n<1,由于0<q<1,所以对任意n值都有q n<1,所以q<1符合要求.综合可得q的取值范围是(0,1].13．±1【解析】【分析】根据等比数列的等比中项即可求解.【详解】2＋1与2－1的等比中项是±(2+1)(2−1)=±1.【点睛】本题主要考查了等比数列的等比中项，属于容易题.14．2n−1【解析】【分析】设公差为d，由a2＝1＋d，a3＝1＋2d，代入方程即可求出d，写出通项公式.【详解】设公差为d，则a2＝1＋d，a3＝1＋2d，代入a3＝a22－4得1＋2d＝(1＋d)2－4，解得d＝2或d＝－2(舍去)，所以a n＝2n－1.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，属于容易题.15．0或34【解析】【分析】根据等差数列通项知，a7＝a3＋4d，a10＝a3＋7d，再根据a3，a7，a10成等比数列即可求出d.由{a n }为等差数列，得a 7＝a 3＋4d ，a 10＝a 3＋7d ，又a 3，a 7，a 10成等比数列，所以a 72＝a 3a 10， 即(a 3＋4d)2＝a 3(a 3＋7d)，整理后，得12d ＝16d 2，解得d ＝0或d ＝34. 【点睛】本题主要考查了等比数列的等比中项，等差数列的通项公式，属于中档题. 16．8 【解析】 【分析】设原有溶液a ，含杂质2%a ，经过n 次过滤，含杂质2%a×(1－13)n，建立不等式，求解即可.【详解】设原有溶液a ，含杂质2%a ，经过n 次过滤，含杂质2%a×(1－13)n.要使n 次过滤后杂质含量不超过0.1%，则2%×（23）na×100%≤0.1%，即（23）n≤120，n≥1+lg 2lg 3−lg 2=1+0.30100.4771−0.3010≈7.387 8，所以至少应过滤8次． 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，指数不等式的解法，属于中档题.17．（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）因为是等比数列，所以可由得出关于首项和公比的方程组，解出和的值，进而得到的通项；（2）由可得的通项，再由等差数列的前项和公式求出．试题解析： （1）设的公比为，依题意得，解得因此，．（2）因为，所以数列的前项和=考点：1、等差数列的通项；2、等差数列前项和．视频18．(1)a n =4n −2 ； （2）−225.【分析】（1）利用等差数列通项公式及前n项和公式，解方程组即可（2）分析数列的项符号的变化，知其所有负数项的和最小.【详解】(1)由a3＝10，S6＝72，得a1+2d=10,6a1+15d=72,解得所以a n＝4n－2.(2)由(1)知b n＝a n－30＝2n－31.由题意知得≤n≤.因为n∈N＋，所以n＝15.所以{b n}前15项为负值时，T n最小．可知b1＝－29，d＝2，T15＝－225.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及前n项和公式，属于中档题.19．439元【解析】【分析】设每期应付款x元，则第一期付款与到最后一期付款所生利息之和为x·(1＋0.008)11元，依次写出其余各期付款所生利息之和，求各期付款连同利息之和等于所购商品的售价及其利息之和为5 000×1.00812即可求出.【详解】设每期应付款x元，则第一期付款与到最后一期付款所生利息之和为x·(1＋0.008)11元；第二期付款与到最后一期付款所生利息之和为x·(1＋0.008)10元；…第十一期付款与到最后一期付款所生利息之和为x·(1＋0.008)元；第十二期付款已没有利息问题，即为x元．所以各期付款连同利息之和为x(1＋1.008＋1.0082＋…＋1.00811)＝x.又所购商品的售价及其利息之和为5 000×1.00812， 于是有x ＝5 000×1.00812，所以x≈439元．答：每期应付款约439元． 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及前n 项和公式，以及数列在实际问题中的应用，属于难题.20．（1）12-=n a n ；（2 【解析】试题分析：（1）属于常规的已知数列的前n 项和，求通项的问题，借助于⎩⎨⎧-=-11n n n s s s a 21≥=n n ，具体步骤，当1=n 时，1`1s a =求首项，当2≥n 时，令1-=n n ，然后两式相减，得到递推公式，d a a n n =--1常数，所以数列是等差数列，写通项．（2）根据上一问，求数列{}n b 的通项，取得采用裂项相消法求和．所以利用的公式试题解析：（1）因为（a n ＋1）2＝4S n ，所以S nSn ＋1所以S n ＋1－S n ＝a n ＋1即4a n ＋1＝n n a a212-+＋2a n ＋1－2a n ，∴2（a n ＋1＋a n ）＝（a n ＋1＋a n ）（a n ＋1－a n ）．（4分） 因为a n ＋1＋a n ≠0， 所以a n ＋1－a n ＝2，即{a n }为公差等于2的等差数列．由（a 1＋1）2＝4a 1，解得a 1＝1， 所以a n ＝2n －1．（6分）（2）由（1）知b n∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n考点：1．已知n s 求n a ；2．裂项相消法求和． 21．（1）见解析； （2）见解析． 【解析】试题分析：（1）通过S n =4a n ﹣p ，利用a n =S n ﹣S n ﹣1，求出，利用等比数列的定义证明数列{a n }是等比数列；（2）当p=3时，若数列{b n }满足b n +1=b n +a n （n ∈N *），b 1=2，推出，利用b n =b 1+（b 2﹣b ′1）+（b 3﹣b 2）++（b n ﹣b n ﹣1），求数列{b n }的通项公式． 证明：（1）证：因为S n =4a n ﹣p （n ∈N *），则S n ﹣1=4a n ﹣1﹣p （n ∈N *，n≥2）， 所以当n≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=4a n ﹣4a n ﹣1，整理得．由S n =4a n ﹣p ，令n=1，得a 1=4a 1﹣p ，解得．所以a n 是首项为，公比为的等比数列． （2）解：因为a 1=1，则，由b n+1=a n +b n （n=1，2，），得，当n≥2时，由累加得b n =b 1+（b 2﹣b ′1）+（b 3﹣b 2）+…+（b n ﹣b n ﹣1）=，当n=1时，上式也成立．考点：数列递推式；等比关系的确定．22．(1)a n=n(n∈N+)；（2）T n=(2n−3)⋅2n+1+6.【解析】【分析】（1）a＝S n＋1＋S n①，当n≥2时，a＝S n＋S n－1②，①－②得a－a＝a n＋1＋a n可推出a n＋1－a n＝1，即可求解（2）利用错位相减法求和即可.【详解】(1)因为a＝S n＋1＋S n，①所以当n≥2时，a＝S n＋S n－1，②①－②得a－a＝a n＋1＋a n，即(a n＋1＋a n)(a n＋1－a n)＝a n＋1＋a n，因为a n>0，所以a n＋1－a n＝1，所以数列{a n}从第二项起，是公差为1的等差数列．由①知a＝S2＋S1，因为a1＝1，所以a2＝2，所以当n≥2时，a n＝2＋(n－2)×1，即a n＝n.③又因为a1＝1也满足③式，所以a n＝n(n∈N*)．(2)由(1)得b n=a2n−1⋅2a n＝(2n－1)·2n，T n＝2＋3·22＋5·23＋…＋(2n－1)·2n，④2T n＝22＋3·23＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1，⑤④－⑤得－T n＝2＋2×22＋…＋2×2n－(2n－1)·2n＋1，所以－T n＝2＋23(1−2n−1)1−2－(2n－1)·2n＋1，故T n＝(2n－3)·2n＋1＋6.【点睛】本题主要考查了数列前n项和S n与a n的关系，错位相减法求和，以及由递推关系求通项，属于难题.。
数学：第二章《数列》测试(2)(新人教A版必修5).pdf
第二章 数列 单元测试一、选择题1 已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =（ ）A 4−B 6−C 8−D 10−2 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S Sa a 则（ ） A 1 B 1− C 2 D213 若)32lg(),12lg(,2lg +−xx 成等差数列，则x 的值等于（ ）A 1B 0或32C 32D 5log 24 已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q , 则q 的取值范围是（ ）A 15(0,)2+ B 15(,1]2− C 15[1,)2+ D )251,251(++− 5 在ABC ∆中,tan A 是以4−为第三项, 4为第七项的等差数列的公差,tan B 是以13为第三项, 9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是（ ）A 钝角三角形B 锐角三角形C 等腰直角三角形D 以上都不对6 在等差数列{}n a 中，设n a a a S +++=...211，n n n a a a S 2212...+++=++，n n n a a a S 322123...+++=++，则,,,321S S S 关系为（ ）A 等差数列B 等比数列C 等差数列或等比数列D 都不对7 等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log ...log a a a +++=（ ）A 12B 10C 31log 5+D 32log 5+二、填空题1 等差数列{}n a 中, ,33,562==a a 则35a a +=_________2 数列7,77,777,7777…的一个通项公式是______________________3 在正项等比数列{}n a 中，153537225a a a a a a ++=，则35a a +=_______4 等差数列中,若),(n m S S n m ≠=则n m S +=_______5 已知数列{}n a 是等差数列，若471017a a a ++=,45612131477a a a a a a ++++++=L 且13k a =,则k =_________6 等比数列{}n a 前n 项的和为21n −，则数列{}2n a 前n 项的和为______________三、解答题1 三个数成等差数列，其比为3:4:5，如果最小数加上1，则三数成等比数列， 那么原三数为什么？2 求和：12...321−++++n nxx x3 已知数列{}n a 的通项公式112+−=n a n ，如果)(N n a b n n ∈=，求数列{}n b 的前n 项和4 在等比数列{}n a 中，,400,60,364231>=+=n S a a a a 求n 的范围第二章数列参考答案一、选择题1 B 2214322222,(2)(4)(2),212,6a a a a a a a a =−+=+=−=−2 A95539951559S a S a ==⨯= 3 D 2lg 2lg(23)2lg(21),2(23)(21)x x x x ++=−+=−22(2)4250,25,log 5x x x x −⋅−===4 D 设三边为2,,,a aq aq 则222a aq aq a aq aq aq aq a⎧+>⎪+>⎨⎪+>⎩，即222101010q q q q q q ⎧−−<⎪−+>⎨⎪+−>⎩得112211,22q q R q q ⎧+<<⎪⎪⎪∈⎨⎪−+−−⎪><⎪⎩或，即1122q −+<< 5 B 374,4,2,tan 2,a a d A =−===361,9,3,tan 33b b q B ====tan tan()1C A B =−+=，,,A B C 都是锐角6 A 122332232,,,,,,n n n n n n n n n n S S S S S S S S S S S S S ==−=−−−成等差数列7 B 5103132310312103453log log ...log log (...)log ()log (3)10a a a a a a a a +++====二、填空题1 38 352638a a a a +=+=2 )110(97−=n n a 123479,99,999,9999...101,101,101,101,799−−−−=⨯ 3 5 22233553535()2()()25,5a a a a a a a a ++=+=+=4 0 2n S an bn =+该二次函数经过(,0)m n +，即0m n S +=5 18 77999172317,,1177,7,,(9)73k a a a a d a a k d =====−=− 2137(9),183k k −=−⨯=6 413n − 11212111421,21,2,4,1,4,14n n n n n n n n n n S S a a a q S −−−−−=−=−=====−三、解答题1. 解：设原三数为3,4,5,(0)t t t t ≠，不妨设0,t >则2(31)516,5t t t t +== 315,420,525,t t t ===∴原三数为15,20,252 解：记21123...,n n S x x nx −=++++当1x =时，1123...(1)2n S n n n =++++=+ 当1x ≠时，23123...(1),n n n xS x x x n x nx −=++++−+231(1)1...,n nn x S x x x xnx −−=+++++−11nn n x S nx x−=−− ∴原式=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+≠−−−)1(2)1()1(11x n n x nx xx nn3 解：112,5211,6n n n n b a n n −≤⎧==⎨−≥⎩，当5n ≤时，2(9112)102n n S n n n =+−=−当6n ≥时，255525(1211)10502n n n S S S n n n −−=+=++−=−+ ∴⎪⎩⎪⎨⎧≥+−≤+−=)6(,5010)5(,1022n n n n n n S n4 解：22213222236,(1)60,0,6,110,3,a a a a q a a q q ==+=>=+==±当3q =时，12(13)2,400,3401,6,13n n n a S n n N −==>>≥∈−； 当3q =−时，12[1(3)]2,400,(3)801,8,1(3)n n n a S n n −−−=−=>−>≥−−为偶数；∴为偶数且n n ,8≥。
最新人教版高中数学必修5第二章数列测评(a卷)(附答案)
第二章 数列测评(A 卷)(总分：120分 时间：90分钟)第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．等差数列－2，0，2，…的第15项为A ．11 2B ．12 2C ．13 2D ．142 答案：C ∵a 1＝－2，d ＝2，∴a n ＝－2＋(n －1)×2＝2n －2 2. ∴a 15＝152－22＝13 2.2．等比数列{a n }的首项a 1＝1002，公比q ＝12，记p n ＝a 1·a 2·a 3·…·a n ，则p n 达到最大值时，n 的值为A ．8B ．9C ．10D ．11答案：C a n ＝1002×(12)n －1<1⇒n>10，即等比数列{a n }前10项大于1，从第11项起小于1，故p 10最大．3．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于 A ．64 B ．81 C ．128 D ．243答案：A 公比q ＝a 2＋a 3a 1＋a 2＝63＝2.由a 1＋a 2＝a 1＋2a 1＝3a 1＝3，得a 1＝1，a 7＝26＝64.4．设{a n }是等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝9，a 6＝9，则这个数列的前6项和等于 A ．12 B ．24 C ．36 D ．48答案：B {a n }是等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝9，a 3＝3，a 6＝9.∴d ＝2，a 1＝－1，则这个数列的前6项和等于6(a 1＋a 6)2＝24.5．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于 A ．200 B ．－200 C ．400 D ．－400答案：B 设数列可记为1，－5,9，－13，…，393，－397.其奇数项与偶数项分别是公差为8，－8的等差数列．于是，S 100＝(1＋9＋13＋…＋393)－(5＋13＋…＋397)＝50×(1＋393)2－50×(5＋397)2＝－200.6．各项都是正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，且2a 2，a 3，a 1成等差数列，则a 5＋a 6a 3＋a 4的值为A ．1＋32B ．1－32 C.1－52 D.5＋12答案：A 由2a 2，a 3，a 1成等差数列得2a 3＝2a 2＋a 1，∴2a 1q 2＝2a 1q ＋a 1，整理得2q 2－2q －1＝0，解得q ＝1＋32或q ＝1－32＜0(因等比数列各项都是正数，故舍去)．∴a 5＋a 6a 3＋a 4＝a 3q 2＋a 4q 2a 3＋a 4＝q 2＝(1＋32)2＝1＋32.7．(2009广东高考，理4)已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1等于A ．n(2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2 答案：C 由{a n }为等比数列，则a 5·a 2n －5＝a 1·a 2n －1＝22n ， 则(a 1·a 3·a 5·…·a 2n －1)2＝(22n )n ⇒a 1·a 3·…·a 2n －1＝2n 2， 故log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝log 2(a 1·a 3·…·a 2n －1)＝n 2.8．在各项均不为零的等差数列{a n }中，若a n ＋1－a n 2＋a n －1＝0(n ≥2)，则S 2n －1－4n 等于 A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2 答案：A 由a n ＋1－a n 2＋a n －1＝0(n ≥2),2a n ＝a n ＋1＋a n －1，得a n 2＝2a n ，即a n ＝2或a n ＝0(舍去)，所以S 2n －1－4n ＝(2n －1)×2－4n ＝－2.9．一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为56，则判断框中应填入的条件是A ．i<4?B ．i<5?C ．i ≥5?D ．i<6? 答案：D 该程序的功能是求和∑i ＝1n1i(i ＋1)，由输出结果56＝11×2＋12×3＋…＋1n ×(n ＋1)＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1，得n ＝5. 10．(2009山东潍坊高三第二次质检，11)已知函数f(x)＝log 2x 的反函数为f －1(x)，等比数列{a n }的公比为2，若f －1(a 2)·f －1(a 4)＝210，则2f(a 1)＋f(a 2)＋…＋f(a 2009)等于A ．21004×2008B ．21005×2009C ．21005×2008D ．21004×2009答案：D 由题意，得f －1(x)＝2x ，故f －1(a 2)·f －1(a 4)＝4222aa ⋅＝210， ∴a 2＋a 4＝10，即2a 1＋8a 1＝10. ∴a 1＝1.则f(a 1)＋f(a 2)＋…＋f(a 2009)＝log 2(a 1·a 2·…·a 2009)＝log 220＋1＋2＋…＋2008＝1＋20082×2008＝1004×2009.第Ⅱ卷(非选择题 共70分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案需填在题中横线上) 11．若等差数列{a n }中，a 1＋4a 7＋a 13＝96，则2a 2＋a 17的值是__________． 答案：48 ∵a 1＋4a 7＋a 13＝96，a 1＋a 13＝2a 7， ∴a 7＝16.∴2a 2＋a 17＝a 1＋a 3＋a 17＝a 7＋a 11＋a 3＝a 7＋2a 7＝3a 7＝48.12．在数列{a n }中，n ∈N *，若a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝k(k 为常数)，则称{a n }为“等差比数列”．下列是对“等差比数列”的判断：①k 不可能为0；②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是等差比数列；④等差比数列中可以有无数项为0，其中正确判断的序号是__________．答案：①④ 从定义可知，数列{a n }若构成“等差比数列”，则相邻两项不可能相等，所以①正确；而等差数列与等比数列均可能为常数列，就有可能不能构成“等差比数列”，所以②③错误；如数列为{2,0,2,0,2，0，…}，则能构成“等差比数列”，所以④正确．综上所述，正确的判断是①④.13．在等比数列{a n }中，若a 5＋a 6＝a(a ≠0)，a 15＋a 16＝b ，则a 25＋a 26等于__________．答案：b 2a 由a 15＋a 16a 5＋a 6＝(a 5＋a 6)q 10a 5＋a 6＝b a ，则q 10＝ba ，则a 25＋a 26＝a 5q 20＋a 6q 20＝(a 5＋a 6)(q 10)2＝a ×(b a )2＝b 2a.14．对于一切实数x ，令[x]为不大于x 的最大整数，则函数f(x)＝[x]称为高斯函数或取整函数．若a n ＝f(n3)，n ∈N *，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 3n ＝__________.答案：3n 2－n 2 ∵f(x)＝[x]，∴a n ＝f(n 3)＝[n3]，n ∈N *.于是，S 3n ＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5＋a 6)＋…＋(a 3n －2＋a 3n －1＋a 3n ) ＝(0＋0＋1)＋(1＋1＋2)＋…＋[(n －1)＋(n －1)＋n]＝1＋4＋…＋(3n －2)＝n[1＋(3n －2)]2＝3n 2－n 2.三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答应写出必要的文字说明、解题步骤或证明过程)15．(本小题满分10分)(2009福建高考，文17)等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n .答案：解：(1)设{a n }的公比为q. 由已知得16＝2q 3，解得q ＝2，∴a n ＝a 1q n －1＝2n .(2)由(1)得a 3＝8，a 5＝32，则b 3＝8，b 5＝32.设{b n }的公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＋2d ＝8，b 1＋4d ＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝－16，d ＝12.从而b n ＝－16＋12(n －1)＝12n －28. ∴数列{b n }的前n 项和S n ＝n(－16＋12n －28)2＝6n 2－22n.16．(本小题满分10分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n(2n －1)(n ∈N *)． (1)证明数列{a n }为等差数列；(2)设数列{b n }满足b n ＝S 1＋S 22＋S 33＋…＋S nn(n ∈N *)，试判定：是否存在自然数n ，使得b n ＝900，若存在，求出n 的值；若不存在，请说明理由．答案：(1)证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n(2n －1)－(n －1)(2n －3)＝4n －3， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，适合． ∴a n ＝4n －3.∵a n －a n －1＝4(n ≥2)，∴{a n }为等差数列．(2)解：由(1)知，S n ＝2n 2－n ，∴S nn＝2n －1.∴b n ＝S 1＋S 22＋S 33＋…＋S nn＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)＝n 2.由n 2＝900，得n ＝30，即存在满足条件的自然数，且n ＝30.17．(本小题满分10分)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1，n ∈N *. (1)证明数列{a n －n}是等比数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .答案：(1)证明：由题设a n ＋1＝4a n －3n ＋1，得a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n)，n ∈N *. 又a 1－1＝1，所以数列{a n －n}是首项为1，且公比为4的等比数列．(2)解：由(1)可知a n －n ＝4n －1，于是数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －1＋n ，所以数列{a n }的前n 项和S n ＝(1＋4＋…＋4n －1)＋(1＋2＋…＋n)＝4n －13＋n(n ＋1)2.18．(本小题满分12分)等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.(1)求a n 与b n ；(2)求和：1S 1＋1S 2＋…＋1S n.答案：解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d 为正数，a n ＝3＋(n －1)d ，b n ＝q n －1.依题意有⎩⎪⎨⎪⎧S 3b 3＝(9＋3d)q 2＝960，S 2b 2＝(6＋d)q ＝64.解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝8或⎩⎨⎧d ＝－65，q ＝403(舍去)．故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝8n －1. (2)S n ＝3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n(n ＋2)， ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n(n ＋2) ＝12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2) ＝12(1＋12－1n ＋1－1n ＋2) ＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2). 19．(本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝2，a 4＝8，且满足a n ＋2＝2a n ＋1－a n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n －1·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .答案：解：(1)∵a n ＋2＝2a n ＋1－a n (n ∈N *)， ∴a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n . ∴{a n }为等差数列．设公差为d ，则由题意，得8＝2＋3d ，∴d ＝2. ∴a n ＝2＋2(n －1)＝2n.(2)∵b n ＝2n －1·2n ＝n·2n ，∴S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n .①∴2S n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1.②①－②，得－S n ＝21＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝2×(1－2n )1－2－n ×2n ＋1＝2n ＋1－2－n ×2n ＋1＝(1－n)×2n ＋1－2.∴S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2.。
人教A版高中数学必修五第二章数列单元试题.doc
新课标数学必修5第二章数列单元试题说明：本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答．共100分，考试时间90分钟．第Ⅰ卷（选择题 共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．在正整数100至500之间能被11整除的个数为（ ）A ．34B ．35C ．36D ．37考查等差数列的应用．【解析】观察出100至500之间能被11整除的数为110、121、132、…它们构成一个等差数列，公差为11，数a n =110+（n －1）·11=11n +99，由a n ≤500，解得n ≤36．4，n ∈N *，∴n ≤36．【答案】C2．在数列{a n }中，a 1=1，a n +1=a n 2－1（n ≥1），则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5等于（ ）A ．－1B ．1C ．0D ．2考查数列通项的理解及递推关系．【解析】由已知：a n +1=a n 2－1=（a n +1）（a n －1），∴a 2=0，a 3=－1，a 4=0，a 5=－1．【答案】A3．{a n }是等差数列，且a 1+a 4+a 7=45，a 2+a 5+a 8=39，则a 3+a 6+a 9的值是（ ）A ．24B ．27C ．30D ．33考查等差数列的性质及运用．【解析】a 1+a 4+a 7，a 2+a 5+a 8，a 3+a 6+a 9成等差数列，故a 3+a 6+a 9=2×39－45=33．【答案】D4．设函数f （x ）满足f （n +1）=2)(2n n f （n ∈N *）且f （1）=2，则f （20）为（ ） A ．95 B ．97C ．105D ．192考查递推公式的应用．【解析】f （n +1）－f （n ）=2n ⇒⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⨯=-⨯=-⨯=-1921)19()20( 221)2()3(121)1()2(f f f f f f 相加得f （20）－f （1）=21（1+2+…+19）⇒f （20）=95+f （1）=97． 【答案】B5．等差数列{a n }中，已知a 1=－6，a n =0，公差d ∈N *，则n （n ≥3）的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8考查等差数列的通项．【解析】a n =a 1+（n －1）d ，即－6+（n －1）d =0⇒n =d6+1 ∵d ∈N *，当d =1时，n 取最大值n =7．【答案】C6．设a n =－n 2+10n +11，则数列{a n }从首项到第几项的和最大（ ）A ．第10项B ．第11项C ．第10项或11项D ．第12项 考查数列求和的最值及问题转化的能力．【解析】由a n =－n 2+10n +11=－（n +1）（n －11），得a 11=0，而a 10>0，a 12<0，S 10=S 11．【答案】C7．已知等差数列{a n }的公差为正数，且a 3·a 7=－12，a 4+a 6=－4，则S 20为（ ）A ．180B ．－180C ．90D ．－90考查等差数列的运用．【解析】由等差数列性质，a 4+a 6=a 3+a 7=－4与a 3·a 7=－12联立，即a 3，a 7是方程x 2+4x －12=0的两根，又公差d >0，∴a 7>a 3⇒a 7=2，a 3=－6，从而得a 1=－10，d =2，S 20=180．【答案】A8．现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余钢管的根数为（ ）A ．9B ．10C ．19D ．29考查数学建模和探索问题的能力．【解析】1+2+3+…+n <200，即2)1(-n n <200． 显然n =20时，剩余钢管最少，此时用去22019⨯=190根． 【答案】B9．由公差为d 的等差数列a 1、a 2、a 3…重新组成的数列a 1+a 4， a 2+a 5， a 3+a 6…是（ ）A ．公差为d 的等差数列B ．公差为2d 的等差数列C ．公差为3d 的等差数列D ．非等差数列考查等差数列的性质．【解析】（a 2+a 5）－（a 1+a 4）=（a 2－a 1）+（a 5－a 4）=2d ．（a 3+a 6）－（a 2+a 5）=（a 3－a 2）+（a 6－a 5）=2d ．依次类推．【答案】B10．在等差数列{a n }中，若S 9=18，S n =240，a n －4=30，则n 的值为（ ）A ．14B ．15C ．16D ．17考查等差数列的求和及运用．【解析】S 9=2)(991a a +=18⇒a 1+a 9=4⇒2（a 1+4d ）=4． ∴a 1+4d =2，又a n =a n －4+4d ．∴S n =2)(1n a a n +=16n =240． ∴n =15．【答案】B第Ⅱ卷（非选择题 共70分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 11．在数列{a n }中，a 1=1，a n +1=22+n n a a （n ∈N *），则72是这个数列的第_________项． 考查数列概念的理解及观察变形能力． 【解析】由已知得11+n a =n a 1+21，∴{n a 1}是以11a =1为首项，公差d =21的等差数列． ∴n a 1=1+（n －1）21，∴a n =12+n =72，∴n =6． 【答案】612．在等差数列{a n }中，已知S 100=10，S 10=100，则S 110=_________．考查等差数列性质及和的理解．【解析】S 100－S 10=a 11+a 12+…+a 100=45（a 11+a 100）=45（a 1+a 110）=－90⇒a 1+a 110=－2．S 110=21（a 1+a 110）×110=－110． 【答案】－11013．在－9和3之间插入n 个数，使这n +2个数组成和为－21的等差数列，则n =_______． 考查等差数列的前n 项和公式及等差数列的概念．【解析】－21=2)39)(2(+-+n ，∴n =5． 【答案】5 14．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，若n n T S =132+n n ，则1111b a =_________． 考查等差数列求和公式及等差中项的灵活运用． 【解】1111b a =2)(212)(212)(2)(211211211211b b a a b b a a ++=++=322112132122121=+⨯⨯=T S ． 【答案】3221三、解答题（本大题共5小题，共54分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题满分8分）若等差数列5，8，11，…与3，7，11，…均有100项，问它们有多少相同的项？考查等差数列通项及灵活应用．【解】设这两个数列分别为{a n }、{b n }，则a n =3n +2，b n =4n －1，令a k =b m ，则3k +2=4m －1．∴3k =3（m －1）+m ，∴m 被3整除．设m =3p （p ∈N *），则k =4p －1．∵k 、m ∈［1，100］．则1≤3p ≤100且1≤p ≤25．∴它们共有25个相同的项．16．（本小题满分10分）在等差数列{a n }中，若a 1=25且S 9=S 17，求数列前多少项和最大．考查等差数列的前n 项和公式的应用．【解】∵S 9=S 17，a 1=25，∴9×25+2)19(9-⨯d =17×25+2)117(17-d 解得d =－2，∴S n =25n +2)1(-n n （－2）=－（n －13）2+169． 由二次函数性质，故前13项和最大．注：本题还有多种解法．这里仅再列一种．由d =－2，数列a n 为递减数列．a n =25+（n －1）（－2）≥0，即n ≤13．5．∴数列前13项和最大．17．（本小题满分12分）数列通项公式为a n =n 2－5n +4，问（1）数列中有多少项是负数？（2）n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．考查数列通项及二次函数性质．【解】（1）由a n 为负数，得n 2－5n +4<0，解得1<n <4．∵n ∈N *，故n =2或3，即数列有2项为负数，分别是第2项和第3项．（2）∵a n =n 2－5n +4=（n －25）2－49，∴对称轴为n =25=2．5 又∵n ∈N *，故当n =2或n =3时，a n 有最小值，最小值为22－5×2+4=－2．18．（本小题满分12分）甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动，甲第一分钟走2 m ，以后每分钟比前1分钟多走1 m ，乙每分钟走5 m ．（1）甲、乙开始运动后，几分钟相遇．（2）如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m ，乙继续每分钟走5 m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？考查等差数列求和及分析解决问题的能力．【解】（1）设n 分钟后第1次相遇，依题意得2n +2)1(-n n +5n =70 整理得：n 2+13n －140=0，解得：n =7，n =－20（舍去）∴第1次相遇在开始运动后7分钟．（2）设n 分钟后第2次相遇，依题意有：2n +2)1(-n n +5n =3×70 整理得：n 2+13n －6×70=0，解得：n =15或n =－28（舍去）第2次相遇在开始运动后15分钟．19．（本小题满分12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n +2S n ·S n －1=0（n ≥2），a 1=21． （1）求证：{nS 1}是等差数列； （2）求a n 表达式；（3）若b n =2（1－n ）a n （n ≥2），求证：b 22+b 32+…+b n 2<1． 考查数列求和及分析解决问题的能力．【解】（1）∵－a n =2S n S n －1，∴－S n +S n －1=2S n S n －1（n ≥2） S n ≠0，∴n S 1－11-n S =2，又11S =11a =2，∴{nS 1}是以2为首项，公差为2的等差数列． （2）由（1）n S 1=2+（n －1）2=2n ，∴S n =n21 当n ≥2时，a n =S n －S n －1=－)1(21-n n n =1时，a 1=S 1=21，∴a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=)2( 1)-(21-)1( 21n n n n （3）由（2）知b n =2（1－n ）a n =n 1 ∴b 22+b 32+…+b n 2=221+231+…+21n <211⨯+321⨯+…+n n )1(1- =（1－21）+（21－31）+…+（11-n －n 1）=1－n1<1．。
人教A版高中数学必修五章节素质测试题——第二章 数列
新课标高中数学人教A 版必修5章节素质测试题——第二章 数列（考试时间：120分钟 满分：150分）姓名__________评价_________一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分. 以下给出的四个备选答案中,只有一个正确）1.（09安徽文5）已知{}n a 为等差数列，99,105642531=++=++a a a a a a ，则20a 等于（ ）A. 1-B. 1C. 3D.72.（12福建理2）等差数列}{n a 中，7,10451==+a a a ，则数列}{n a 的公差为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43.（10全国Ⅱ理4）如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么 1a +2a +…+7a =（ ）A. 14B. 21C. 28D.354.（08福建理3）设{}n a 是公比为正数的等比数列，若16,151==a a ,则数列{}n a 前7项的和为（ ）A.63B.64C.127D.1285.（10全国Ⅰ理4）已知各项均为正数的等比数列{}n a ，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =（ ） A. 52 B. 7 C. 6 D. 426.（12安徽文5）公比为2的等比数列{n a } 的各项都是正数，且 3a 11a =16，则5a =（ ）A. 1B. 2C. 4D. 87.（08北京理6）已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于（ ）A ．165-B ．33-C ．30-D ．21-8.（09重庆文5）设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ）A ．2744n n +B ．2533n n +C ．2324n n + D ．2n n + 9.（09宁夏理6）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若63S S =3 ，则96S S =（ ） A. 2 B. 73C. 83D.3 10.（11湖北文9）《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为（ ）A ．1升B ．6766升C ．4744升D ．3733升。
高中数学第二章数列单元质量测评新人教A版必修5
高中数学第二章数列单元质量测评新人教A 版必修5本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．有穷数列1,23,26,29，…，23n ＋6的项数是( )A ．3n ＋7B ．3n ＋6C ．n ＋3D ．n ＋2 答案 C解析 此数列的次数依次为0,3,6,9，…，3n ＋6，为等差数列，且首项a 1＝0，公差为d ＝3，设3n ＋6是第x 项，则3n ＋6＝0＋(x －1)×3⇒x ＝n ＋3.2．已知等差数列{a n }的公差为1，且S 99＝99，则a 3＋a 6＋…＋a 96＋a 99的值是( ) A ．99 B ．66 C ．33 D ．0 答案 B解析 设A ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97，B ＝a 2＋a 5＋…＋a 98，C ＝a 3＋a 6＋…＋a 99，A ＋B ＋C ＝S 99，B －A ＝33，C －B ＝33，∴A ＝C －66，故C －66＋C －33＋C ＝S 99＝99，∴C ＝66.3．已知{a n }是首项为1，公差为3的等差数列，如果a n ＝2020，则序号n 等于( ) A ．667 B ．668 C ．672 D ．674 答案 D解析 由2020＝1＋3(n －1)，解得n ＝674.4．已知数列{a n }为等比数列，a 1＝1，q ＝2，且第m 项至第n (m <n )项的和为112，则m ＋n 的值为( )A ．11B ．12C ．13D ．14 答案 B解析 由已知，得1×1－2n1－2－1×1－2m －11－2＝112，即2m －1·(2n －m ＋1－1)＝24×7，则⎩⎪⎨⎪⎧2m －1＝24，2n －m ＋1－1＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，n ＝7，所以m ＋n ＝12，故选B.5．记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 5＋a 21＝a 12，那么S 27＝( ) A ．2015 B ．2014 C ．2013 D ．0 答案 D解析 设等差数列{a n }的公差为d .∵a 5＋a 21＝a 12， ∴2a 1＋24d ＝a 1＋11d ，∴a 1＋13d ＝0，即a 14＝0.∴S 27＝27a 1＋a 272＝27×2a 142＝27a 14＝0.故选D.6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 11－a 8＝3，S 11－S 8＝3，则使a n >0的最小正整数n 的值是( )A ．8B ．9C ．10D ．11 答案 C解析 由S 11－S 8＝3，得a 11＋a 10＋a 9＝3,3a 10＝3，a 10＝1，所以a 1＋9d ＝1，a 11－a 8＝3d ＝3，所以d ＝1，于是a 1＝－8，从而a n ＝－9＋n >0的最小正整数n 的值是10.7．在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n ，则a 10＝( )A ．2B ．3C ．－1 D.12答案 D解析 ∵a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n，∴a 2＝1－2＝－1，同理可得：a 3＝2，a 4＝12，…，∴a n ＋3＝a n .∴a 10＝a 3×3＋1＝a 1＝12.故选D.8．设等差数列{a n }的公差为2，前10项和为490，等差数列{b n }的公差为4，前10项和为240.以a k ，b k 为邻边的矩形内的最大圆的面积记为S k ，若k ≤18，则S k ＝( )A ．π(2k ＋1)2B ．π(2k ＋3)2C ．π(k ＋1)2D ．π(k ＋18)2答案 A解析 由10a 1＋10×10－12×2＝490，得a 1＝40，∴a n ＝40＋2(n －1)＝2n ＋38.由10b 1＋10×10－12×4＝240，得b 1＝6，∴b n ＝6＋4(n－1)＝4n ＋2.∵a k －b k ＝(2k ＋38)－(4k ＋2)＝36－2k ，∴当k ≤18时，36－2k ≥0，即2k ＋38≥4k ＋2，∴以a k 和b k 为邻边的矩形内的最大圆的半径为2k ＋1，则该最大圆的面积S k ＝π(2k ＋1)2.9．数列{a n }中，a n ＝3n －7 (n ∈N ＋)，数列{b n }满足b 1＝13，b n －1＝27b n (n ≥2且n ∈N ＋)，若a n ＋log k b n 为常数，则满足条件的k 值( )A ．唯一存在，且为13B ．唯一存在，且为3C ．存在且不唯一D ．不一定存在答案 B解析 依题意，b n ＝b 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫127n －1＝13·⎝ ⎛⎭⎪⎫133n －3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133n －2，∴a n ＋log k b n ＝3n －7＋log k ⎝ ⎛⎭⎪⎫133n －2＝3n －7＋(3n －2)log k 13＝⎝⎛⎭⎪⎫3＋3log k 13n －7－2log k 13. ∵a n ＋log k b n 是常数，∴3＋3log k 13＝0，即log k 3＝1，∴k ＝3.10．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．18 答案 B解析 ∵(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋(a 6－a 5)＝3d ， ∴99－105＝3d .∴d ＝－2.又∵a 1＋a 3＋a 5＝3a 1＋6d ＝105，∴a 1＝39. ∴S n ＝na 1＋n n －12d ＝－n 2＋40n ＝－(n －20)2＋400.∴当n ＝20时，S n 有最大值．11．已知数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则56是数列中的( )A ．第48项B ．第49项C ．第50项D ．第51项 答案 C解析 将数列分为第1组一个，第2组二个，…，第n 组n 个，即⎝ ⎛⎭⎪⎫11，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，21，⎝ ⎛⎭⎪⎫13，22，31，…，⎝⎛⎭⎪⎫1n ，2n －1，…，n 1，则第n 组中每个数分子分母的和为n ＋1.则56为第10组中的第5个，其项数为(1＋2＋3＋…＋9)＋5＝50.12．若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积，则称该数列为“m 积数列”．若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2017积数列”，且a 1>1，则当其前n 项的乘积取最大值时n 的值为( )A ．1008B ．1009C ．1007或1008D ．1008或1009答案 A解析 由题意，a 2017＝a 1a 2…a 2017， ∴a 1a 2…a 2016＝1，∴a 1a 2016＝a 2a 2015＝a 3a 2014＝…＝a 1007a 1010＝a 1008·a 1009＝1，∵a 1>1，q >0，∴a 1008>1,0<a 1009<1， ∴前n 项积最大时n 的值为1008. 故选A.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．若等比数列{a n }满足a 2a 4＝12，则a 1a 23a 5＝________.答案 14解析 ∵a 2a 4＝a 23＝12，∴a 1a 23a 5＝a 43＝14.14．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝________. 答案 73解析 因S 6S 3＝3，故q ≠1，∴a 11－q 61－q ×1－q a 11－q3＝1＋q 3＝3， 即q 3＝2.所以S 9S 6＝a 11－q 91－q ×1－q a 11－q 6＝1－231－22＝73.15．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，那么位于表中的第n 行第n ＋1列的数是________．答案 n 2＋n解析 由题中数表，知第n 行中的项分别为n,2n,3n ，…，组成一等差数列，设为{a n }，则a 1＝n ，d ＝2n －n ＝n ，所以a n ＋1＝n ＋n ·n ＝n 2＋n ，即第n 行第n ＋1列的数是n 2＋n .16．已知{a n }是等差数列，d 为其公差，S n 是其前n 项和，若只有S 4是{S n }中的最小项，则可得出的结论中正确的是________．①d >0 ②a 4<0 ③a 5>0 ④S 7<0 ⑤S 8>0 答案 ①②③④解析 由已知条件得a 5>0，a 4<0，则d >0，故①②③正确． 因为S 7＝7a 1＋a 72＝7a 4<0，故④正确．S 8＝8a 1＋a 82＝4(a 4＋a 5)无法判断其正负，故⑤错误．综上可得结论正确的有①②③④.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公比是正数的等比数列{b n }的前n 项和为T n ，已知a 1＝1，b 1＝3，a 3＋b 3＝17，T 3－S 3＝12，求{a n }，{b n }的通项公式．解 设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q . 由a 3＋b 3＝17得1＋2d ＋3q 2＝17，① 由T 3－S 3＝12得q 2＋q －d ＝4.② 由①、②及q >0解得q ＝2，d ＝2. 故所求的通项公式为a n ＝2n －1，b n ＝3×2n －1.18．(本小题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n＝2S n －n 2，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)当n ＝1时，T 1＝2S 1－1， ∵T 1＝S 1＝a 1，∴a 1＝2a 1－1，求得a 1＝1.(2)当n ≥2时，S n ＝T n －T n －1＝2S n －n 2－[2S n －1－(n －1)2]＝2S n －2S n －1－2n ＋1， ∴S n ＝2S n －1＋2n －1，① ∴S n ＋1＝2S n ＋2n ＋1，② 由②－①，得a n ＋1＝2a n ＋2， ∴a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，即a n ＋1＋2a n ＋2＝2(n ≥2)． 求得a 1＋2＝3，a 2＋2＝6，则a 2＋2a 1＋2＝2， ∴{a n ＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列． ∴a n ＋2＝3·2n －1，∴a n ＝3·2n －1－2，n ∈N *.19．(本小题满分12分)在等差数列{a n }中，a 10＝23，a 25＝－22， (1)该数列前多少项的和最大？最大和是多少？ (2)求数列{|a n |}的前n 项和． 解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝23，a 1＋24d ＝－22，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝50，d ＝－3.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋53，令a n >0，得n <533，∴当n ≤17，n ∈N *时，a n >0；当n ≥18，n ∈N *时，a n <0， ∴{a n }前17项的和最大．S max ＝S 17＝17×50＋17×8×(－3)＝442.(2)当n ≤17，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n n －12d ＝－32n 2＋1032n ， ∴当n ≤17，n ∈N *时，{|a n |}前n 项和为－32n 2＋1032n ，当n ≥18，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－a 18－a 19－…－a n ＝2(a 1＋a 2＋…＋a 17)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝32n 2－1032n ＋884，当n ≥18，n ∈N *时，{|a n |}前n 项和为32n 2－1032n ＋884.20．(本小题满分12分)数列{a n }的前n 项和为S n ，a n 是S n 和1的等差中项，等差数列{b n }满足b 1＋S 4＝0，b 9＝a 1.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)若c n ＝1b n ＋16b n ＋18，求数列{c n }的前n 项和W n .解 (1)∵a n 是S n 和1的等差中项，∴S n ＝2a n －1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1)＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－1. ∴a 1＝1且a n ≠0，∴a n a n －1＝2，∴{a n }是首项为1，公比为2的等比数列，∴a n ＝2n －1，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝1－2n1－2＝2n－1.设{b n }的公差为d ，b 1＝－S 4＝－15，b 9＝－15＋8d ＝1，∴d＝2，∴b n ＝－15＋(n －1)×2＝2n －17. (2)c n ＝12n －12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴W n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12－14n ＋2＝n 2n ＋1.21．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝76，S n 是{a n }的前n 项和，点(2S n ＋a n ，S n ＋1)在f (x )＝12x ＋13的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若c n ＝⎝⎛⎭⎪⎫a n －23n ，T n 为c n 的前n 项和，n ∈N *，求T n .解 (1)∵点(2S n ＋a n ，S n ＋1)在f (x )＝12x ＋13的图象上，∴S n ＋1＝12×(2S n ＋a n )＋13，∴a n ＋1＝12a n ＋13.∵a n ＋1－23＝12⎝⎛⎭⎪⎫a n －23，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23是以a 1－23＝76－23＝12为首项，以12为公比的等比数列，∴a n －23＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，即a n ＝23＋12n .(2)∵c n ＝⎝⎛⎭⎪⎫a n －23n ＝n 2n ，∴T n ＝12＋2×122＋3×123＋…＋n2n ，①。
高中数学人教A版必修5第二章 数列本章复习与测试(有答案)
10. 已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99.以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（ ）A.21B.20C.19D. 18 11. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,1==++a S S S m n m n ，那么=10a （ ）A.1B.9C.10D.55 12. 已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=，且25252(3)n n a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++=（ ）A. (21)n n -B. 2(1)n +C. 2nD. 2(1)n - 二、填空题13. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若972S =，则249a a a ++=_______________. 14. 在等比数列{}n a 中，若公比q=4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式=n a _____________.15. 设数列{}n a 中，1211++==+n a a a n n ，，则通项=n a _____________.16. 设{}n a 为公比1>q 的等比数列，若ɑ2019和ɑ2020是方程03842=+-x x 的两根，则 ɑ2020+ɑ2021 =_____________. 三、解答题17. 已知{}n a 为等比数列，320,2423=+=a a a ，求{}n a 的通项公式.18. 已知{}n a 为等差数列，且36a =-，60a =. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅰ）若等比数列{}n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求{}n b 的前n 项和公式.19. 已知等差数列{}n a 满足3577,26a a a =+=,{}n a 的前n 项和为n S .（Ⅰ）求na 及n S ；（Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）若1a 与5a 的等差中项为18，n b 满足n n b a 2log 2=，求数列{}n b 的前n 项和．21. 成等差数列的三个正数之和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{}n b 中的543,,b b b .（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅰ）数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+45n S 是等比数列．参考答案：二、填空题13. ___24____. 14. )(4*1N n n ∈-. 15. )(22*2N n n n ∈++. 16.______18______.三、解答题17.解：设等比数列{}n a 的公比为q ，则.2,23432q q a a qq a a ====.32022,32042=+∴=+q q a a 即.3131+=+q q解之得3=q 或.31=q当3=q 时，)(32*333N n q a a n n n ∈⨯==--；当31=q 时，)(32)31(2*3333N n q a a n n n n ∈=⨯==---. 18.解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差d .因为366,0a a =-=,所以.102,2,633136-=-===-=d a a d a a d 从而所以10(1)2212n a n n =-+-⋅=-.（Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q .因为24,832121-=++=-=a a a b b ,所以824q -=-.即q =3.所以{}n b 的前n 项和公式为1(1)4(13)1n n n b q S q-==--. 19. 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d..13,2626756=∴=+=a a a a由⎩⎨⎧=+==+=135721613d a a d a a 解得.231==d a ，12)1(1+=-+=∴n d n a a n ，.22)(21n n a a n S n n +=+=（Ⅱ）12+=n a n ，)1(412+=-∴n n a n ，⎪⎭⎫⎝⎛+-=+=11141)1(41n n n n b n .n n b b b T +++=∴ 21=)1113121211(41+-++-+-n n =)111(41+-n =4(1)nn +.所以数列{}n b 的前n 项和n T =4(1)nn + .20. 解：（Ⅰ）q p S a +-==211，23)2()44(122-=+--+-=-=p q p q p S S a ， 25)44()69(233-=+--+-=-=p q p q p S S a ，由3122a a a +=得,25246-++-=-p q p p.0=∴q（Ⅱ）根据题意，5132a a a +=所以1a 与5a 的等差中项为183=a .由（Ⅰ）知.4,1825=∴=-p p 从而.8,10,221===d a a.68)1(1-=-+=∴n d n a a n.34log ,68log 222-=-==∴n b n b a n n n故.16216812)2(213434---⨯=⨯=⋅==n n n n n b因此，数列}{n b 是等比数列，首项21=b ，公比.16=q所以数列{}n b 的前n 项和qq b T n n --=1)1(121. 解：（Ⅰ）设成等差数列的三个正数分别为,,a d a a d -+， 依题意，得15, 5.a d a a d a -+++==解得 所以{}n b 中的345,,b b b 依次为7,10,18.d d -+依题意，有(7)(18)100,213d d d d -+===-解得或（舍去） 故{}n b 的10,5743==-=b d b ，公比2=q . 由22311152,52,.4b b b b =⋅=⋅=即解得所以{}n b 是以54为首项，2为以比的等比数列，其通项公式为1352524n n n b --=⋅=⋅. （Ⅱ）数列{}n b 的前n 项和25(12)5452124n n n S --==⋅--，即22545-⋅=+n n S所以1112555524, 2.542524n n n n S S S -+-+⋅+===⋅+因此55{}42n S +是以为首项，公比为2的等比数列.22.解: （Ⅰ）因为对任意的n N +∈,点(,)n n S ，均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图象上.所以得n n S b r =+,11a S b r ==+,b b r b r b S S a -=+-+=-=22122)()(，2323233)()(b b r b r b S S a -=+-+=-=，{}n a 为等比数列,3122a a a =∴.从而).1()()1(222-⋅+=-b b r b b b.1,10r b b b b +=-∴≠>且又 解得1r =-.（Ⅱ）当2=b 时，由（Ⅰ）知，12-=n n S .当2≥n 时，.22)12(22)12()12(11111-----=-=-=---=-=n n n n n n n n n S S a111=-=b a 满足上式，所以其通项公式为)(2*1N n a n n ∈=-.所以111114422n n n n n n n b a -++++===⨯ 234123412222n n n T ++=++++，………………（1） 3451212341222222n n n n n T +++=+++++……（2） ）（）（21-,得: 23451212111112222222n n n n T +++=+++++- 31211(1)112212212n n n -+⨯-+=+--12311422n n n +++=--. 所以113113322222n n n n n n T ++++=--=-.。
高中数学 第二章 数列单元质量测评(含解析)新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学试题
第二章 单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．数列3，5，9，17，33，…的通项公式a n 等于( ) A ．2n B ．2n ＋1 C ．2n －1 D ．2n ＋1答案 B解析 由于3＝2＋1，5＝22＋1，9＝23＋1，…，所以通项公式是a n ＝2n＋1．(或特值法，当n ＝1时只有B 项符合．)2．记等差数列的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d ＝( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．7 答案 B解析 S 4－S 2＝a 3＋a 4＝20－4＝16，∴a 3＋a 4－S 2＝(a 3－a 1)＋(a 4－a 2)＝4d ＝16－4＝12，∴d ＝3． 3．在数列{a n }中，a 1＝2，2a n ＋1－2a n ＝1，则a 101的值为( ) A ．49 B ．50 C ．51 D ．52 答案 D解析 ∵2a n ＋1－2a n ＝1，∴a n ＋1－a n ＝12．∴数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝12的等差数列．∴a 101＝2＋12×(101－1)＝52．4．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＝32，a 11＋a 12＋a 13＝118，则a 4＋a 10＝( ) A ．45 B ．50 C ．75 D ．60 答案 B解析 ∵a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝32，a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝118，∴3(a 2＋a 12)＝150，即a 2＋a 12＝50，∴a 4＋a 10＝a 2＋a 12＝50．5．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10等于( )A ．18B ．24C ．60D ．90 答案 C解析 由a 24＝a 3a 7得(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋6d )，即2a 1＋3d ＝0． ① 又S 8＝8a 1＋562d ＝32，则2a 1＋7d ＝8． ②由①②，得d ＝2，a 1＝－3． 所以S 10＝10a 1＋902d ＝60．故选C ．6．等比数列{a n }的通项为a n ＝2·3n －1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列{b n }，那么162是新数列{b n }的( )A ．第5项B ．第12项C ．第13项D ．第6项 答案 C解析 162是数列{a n }的第5项，则它是新数列{b n }的第5＋(5－1)×2＝13项． 7．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．这个问题中，甲所得为( )A ．54钱B ．43钱C ．32钱D ．53钱 答案 B解析 依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，则由题意可知，a －2d ＋a －d ＝a ＋a ＋d ＋a ＋2d ，即a ＝－6d ，又a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝5a ＝5，∴a ＝1，则a －2d ＝a －2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 6＝43a ＝43．故选B ．8．已知{a n }是等差数列，a 3＝5，a 9＝17，数列{b n }的前n 项和S n ＝3n，若a m ＝b 1＋b 4，则正整数m 等于( )A ．29B ．28C ．27D ．26 答案 A解析 因为{a n }是等差数列，a 9＝17，a 3＝5，所以6d ＝17－5，得d ＝2，a n ＝2n －1．又因为S n ＝3n，所以当n ＝1时，b 1＝3，当n ≥2时，S n －1＝3n －1，b n ＝3n －3n －1＝2·3n －1，由a m ＝b 1＋b 4，得2m －1＝3＋54，得m ＝29，故选A ．9．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝2且a 2，a 4＋2，a 5成等差数列，记S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 5＝( )A ．32B ．62C ．27D ．81答案 B解析 设各项均为正数的等比数列{a n }的公比为q ， 又a 1＝2，则a 2＝2q ，a 4＋2＝2q 3＋2，a 5＝2q 4， ∵a 2，a 4＋2，a 5成等差数列，∴4q 3＋4＝2q ＋2q 4， ∴2(q 3＋1)＝q (q 3＋1)，由q ＞0，解得q ＝2， ∴S 5＝21－251－2＝62．故选B ．10．已知数列{a n }前n 项和为S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －1(4n －3)，则S 15＋S 22－S 31的值是( )A ．13B ．－76C ．46D ．76 答案 B解析 ∵S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋ (－1)n －1(4n －3)，∴S 14＝7×(1－5)＝－28，a 15＝60－3＝57， S 22＝11×(1－5)＝－44， S 30＝15×(1－5)＝－60， a 31＝124－3＝121，∴S 15＝S 14＋a 15＝29，S 31＝S 30＋a 31＝61． ∴S 15＋S 22－S 31＝29－44－61＝－76．故选B ．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤0，f x －1＋1，x >0，把方程f (x )＝x 的根按从小到大的顺序排列成一个数列{a n }，则该数列的通项公式为( )A ．a n ＝n n －12(n ∈N *)B ．a n ＝n (n －1)(n ∈N *) C ．a n ＝n －1(n ∈N *) D ．a n ＝n －2(n ∈N *) 答案 C解析 令2x－1＝x (x ≤0)，易得x ＝0． 当0<x ≤1时，由已知得f (x －1)＋1＝x ， 即2x －1－1＋1＝2x －1＝x ，则x ＝1．当1<x ≤2时，由已知得f (x )＝x ， 即f (x －1)＋1＝x ，即f (x －2)＋1＋1＝x ，故2x －2＋1＝x ，则x ＝2．因此，a 1＝0，a 2＝1，a 3＝2， 结合各选项可知该数列的通项公式为a n ＝n －1(n ∈N *)．故选C ．12．已知数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，S n 为其前n 项和，则S 60＝( ) A ．3690 B ．1830 C ．1845 D ．3660 答案 B解析 ①当n 为奇数时，a n ＋1－a n ＝2n －1，a n ＋2＋a n ＋1＝2n ＋1，两式相减得 a n ＋2＋a n ＝2；②当n 为偶数时，a n ＋1＋a n ＝2n －1，a n ＋2－a n ＋1＝2n ＋1，两式相加得a n ＋2＋a n ＝4n ，故S 60＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 59＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 60)＝2×15＋(4×2＋4×6＋…＋4×58) ＝30＋4×450＝1830．故选B ．第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知数列{a n }中，a 1＝10，a n ＋1＝a n －12，则它的前n 项和S n 的最大值为________．答案 105解析 ∵a n ＋1－a n ＝－12，∴d ＝－12，又a 1＝10，∴a n ＝－n 2＋212(n ∈N *)．∵a 1＝10>0，d ＝－12<0，设从第n 项起为负数，则－n 2＋212<0(n ∈N *)．∴n >21，于是前21项和最大，最大值为S 21＝105．14．已知等比数列{a n }为递增数列，若a 1＞0，且2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的公比q ＝________．答案 2解析 ∵{a n }是递增的等比数列，且a 1＞0，∴q ＞1． 又∵2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，∴2a n ＋2a n q 2＝5a n q ．∵a n ≠0，∴2q 2－5q ＋2＝0，∴q ＝2或q ＝12(舍去)，∴公比q 为2．15．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n(n ∈N *)，则a 1＋a 2＋…＋a 51＝________．答案 676解析 当n 为正奇数时，a n ＋2－a n ＝0，又a 1＝1，则所有奇数项都是1；当n 为正偶数时，a n ＋2－a n ＝2，又a 2＝2，则所有偶数项是首项和公差都是2的等差数列，所以a 1＋a 2＋…＋a 51＝(a 1＋a 3＋…＋a 51)＋(a 2＋a 4＋…＋a 50)＝26a 1＋25a 2＋25×242×2＝676．16．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加3万元，该设备每年生产的收入均为21万元．设该设备使用了n (n ∈N *)年后，盈利总额达到最大值(盈利总额等于总收入减去总成本)，则n 等于________．答案 7解析 设该设备第n 年的运营费用为a n 万元，则数列{a n }是以2为首项，3为公差的等差数列，则a n ＝3n －1．设该设备使用n 年的运营费用总和为T n ， 则T n ＝n 2＋3n －12＝32n 2＋12n ． 设n 年的盈利总额为S n ，则S n ＝21n －⎝ ⎛⎭⎪⎫32n 2＋12n －9＝－32n 2＋412n －9． 由二次函数的性质可知，当n ＝416时，S n 取得最大值，又n ∈N *，故当n ＝7时，S n 取得最大值．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设a ，b ，c 是实数，3a ，4b ，5c 成等比数列，且1a ，1b ，1c成等差数列，求a c ＋c a的值．解 ∵3a ，4b ，5c 成等比数列，∴16b 2＝15ac ． ① ∵1a ，1b ，1c 成等差数列，∴2b ＝1a ＋1c． ②由①，得4b2·15ac ＝64． ③将②代入③，得1a ＋1c2·15ac ＝64，∴1a 2＋1c 2＋2ac ac ＝6415． ∴c a ＋a c ＝3415． 18．(本小题满分12分)数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，若a n ＋S n ＝n ，c n ＝a n －1．(1)求证：数列{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式．解 (1)证明：∵a 1＝S 1，a n ＋S n ＝n ， ① ∴a 1＋S 1＝1，得a 1＝12．又a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1， ②由①②两式相减得2(a n ＋1－1)＝a n －1， 即a n ＋1－1a n －1＝12，也即c n ＋1c n ＝12， 故数列{c n }是等比数列． (2)∵c 1＝a 1－1＝－12，∴c n ＝－12n ，a n ＝c n ＋1＝1－12n ，a n －1＝1－12n －1．故当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝12n －1－12n ＝12n ． 又b 1＝a 1＝12也适合上式，∴b n ＝12n ．19．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n (n ∈N *)． (1)证明：数列{a n ＋1－a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)证明：∵a n ＋2＝3a n ＋1－2a n ， ∴a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )，∴a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n＝2．∵a 1＝1，a 2＝3，∴{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝2为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1－a n ＝2n，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝2n－1．故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n－1．20．(本小题满分12分)2010年4月14日，冰岛南部艾雅法拉火山喷发，弥漫在欧洲上空多日的火山灰严重影响欧洲多个国家的机场正常运营．由于风向，火山灰主要飘落在该火山口的东北方向与东南方向之间的地区．假设火山喷发停止后，需要了解火山灰的飘散程度，为了测量的需要，现将距离火山喷口中心50米内的扇形面记为第1区、50米至100米的扇环面记为第2区、…、50(n －1)米至50n 米的扇环面记为第n 区，若测得第1区的火山灰每平方米的平均质量为1吨、第2区每平方米的平均质量较第1区减少了2%、第3区较第2区又减少了2%，依此类推，问：(1)离火山口1225米处的火山灰大约为每平方米多少千克？(结果精确到1千克) (2)第几区内的火山灰总质量最大？提示：当n 较大时，可用(1－x )n ≈1－nx 进行近似计算． 解 (1)设第n 区的火山灰为每平方米a n 千克， 依题意，数列{a n }为等比数列，且a 1＝1000(千克)， 公比q ＝1－2%＝0．98， ∴a n ＝a 1×qn －1＝1000×0．98n －1．∵离火山口1225米处的位置在第25区，∴a 25＝1000×(1－0．02)24≈1000×(1－24×0．02)＝520，即离火山口1225米处的火山灰大约为每平方米520千克．(2)设第n 区的火山灰总质量为b n 千克，且该区的火山灰总质量最大． 依题意，第n 区的面积为14π{(50n )2－[50(n －1)]2}＝625π(2n －1)， ∴b n ＝625π(2n －1)×a n ．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b n ≥b n －1，b n ≥b n ＋1，解得49．5≤n ≤50．5．∵n ∈N *， ∴n ＝50，即第50区的火山灰总质量最大．21．(本小题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2，数列{b n }为等比数列，且a 1＝b 1，b 2(a 2－a 1)＝b 1．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)设c n ＝a n b n，求数列{c n }的前n 项和T n ． 解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－2(n －1)2＝4n －2，∵当n ＝1时，a 1＝4－2＝2也适合上式， ∴{a n }的通项公式为a n ＝4n －2， 即{a n }是a 1＝2，公差d ＝4的等差数列． 设{b n }的公比为q ，则b 1qd ＝b 1， ∴q ＝14．故b n ＝b 1q n －1＝2×14n －1．即{b n }的通项公式为b n ＝24n －1．(2)∵c n ＝a n b n ＝4n －224n －1＝(2n －1)4n －1，∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝1＋3×41＋5×42＋…＋(2n －1)4n －1，4T n ＝1×4＋3×42＋5×43＋…＋(2n －3)4n －1＋(2n －1)4n．两式相减，得3T n ＝－1－2(41＋42＋43＋…＋4n －1)＋(2n －1)4n ＝13[(6n －5)4n＋5]，∴T n ＝19[(6n －5)4n＋5]．22．(本小题满分12分)已知a 1＝2，点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )＝x 2＋2x 的图象上，其中n ＝1，2，3，…．(1)证明：数列{lg (1＋a n )}是等比数列； (2)设T n ＝(1＋a 1)·(1＋a 2)…(1＋a n )，求T n ；(3)记b n ＝1a n ＋1a n ＋2，求数列{b n }的前n 项和S n ，并证明S n <1．解 (1)证明：由已知a n ＋1＝a 2n ＋2a n ， ∴a n ＋1＋1＝(a n ＋1)2，∴lg (1＋a n ＋1)＝2lg (1＋a n )， ∴{lg (1＋a n )}是公比为2的等比数列． (2)由(1)知lg (1＋a n )＝2n －1·lg (1＋a 1)＝2n －1·lg 3＝lg 32n －1，∴1＋a n ＝32n －1，∴T n ＝(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a n ) ＝320·321·322 (32)n －1＝31＋2＋22＋…＋2n －1＝32n－1．(3)∵点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )＝x 2＋2x 的图象上， ∴a n ＋1＝a 2n ＋2a n ，∴a n ＋1＝a n (a n ＋2)．∴1a n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋2，∴1a n ＋2＝1a n －2a n ＋1， ∴b n ＝1a n ＋1a n ＋2＝1a n ＋1a n －2a n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1． ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝2⎝⎛1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a n ＋1． ∵a n ＝32n －1－1，a 1＝2，a n ＋1＝32n－1，∴S n ＝1－232n －1．32n－1>32－1＝8>2，∴0<232n－1<1．∴S n <1．。
人教A版高中数学高二版数学必修5第二章《数列》综合测试
第二章单元综合测试时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．下列解析式中不是数列1，－1,1，－1,1，…的通项公式的是( )A ．a n ＝(－1) nB ．a n ＝(－1)n ＋1C ．a n ＝(－1)n －1D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1， n 为奇数－1， n 为偶数解析：该数列为摆动数列，且奇数项为1，偶数项为－1，故B ，C ，D 均正确．答案：A2．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49D ．64解析：∵a 8＝S 8－S 7＝82－72＝64－49＝15. 答案：A3．数列0,0,0，…，0，…( ) A ．是等差数列但不是等比数列B ．是等比数列但不是等差数列C ．既是等差数列又是等比数列D ．既不是等差数列又不是等比数列解析：数列{0}是等差数列，但由于等比数列中a n ≠0，故A 正确． 答案：A4．等差数列1，－1，－3，…，－89的项数是( ) A ．92 B ．47 C ．46D ．45解析：由题意可知a 1＝1，a n ＝－89，d ＝－1－1＝－2. ∴由a n ＝a 1＋(n －1)d ，可知n ＝46. 答案：C5．已知数列{a n }，a n ≠0，若a 1＝3,2a n ＋1－a n ＝0，则a 6＝( ) A.316 B.332 C ．16D ．32解析：∵2a n ＋1－a n ＝0，∴a n ＋1a n＝12，则数列{a n }是首项a 1＝3，公比q ＝12的等比数列．∴a n ＝a 1·q n －1＝3×(12)n －1，∴a 6＝3×(12)6－1＝332.答案：B6．已知等比数列{a n }中，S 2＝7，S 4＝28，则S 6＝( ) A ．49 B ．35 C ．91D ．112解析：∵{a n }为等比数列，∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也为等比数列，即7, 21，S 6－28成等比数列，∴212＝7×(S 6－28)，∴S 6＝91. 答案：C7．在等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝48，a 2＋a 5＋a 8＝40，则a 3＋a 6＋a 9的值是( )A ．30B ．32C ．34D ．36解析：a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝48，所以a 4＝16.同理可得a 5＝403.又a 5＝a 4＋d ＝403，所以d ＝－83，所以a 6＝a 4＋2d ＝323，所以a 3＋a 6＋a 9＝3a 6＝32.答案：B8．已知－9，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－9，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则b 2(a 2－a 1)等于( )A ．－8B ．8C ．－98D.98解析：设d 为等差数列的公差，q 为等比数列的公比．因－1＝－9＋3d ，所以d ＝83，所以a 2－a 1＝83.又－1＝－9·q 4，所以q 2＝13，b 2＝－9q 2＝－3，故b 2·(a 2－a 1)＝－8. 答案：A9．等差数列{a n }中a 1>0，S 3＝S 10，则当S n 取最大值时n 的值是( )A ．6B ．7C ．6或7D ．不存在解析：由S 3＝S 10可知，a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝0.∴a 7＝0. 又a 1>0，∴a 6>0，∴S n 取最大值时n 的值为6或7. 答案：C10．已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2解析：由a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)得a 2n ＝22n ，由a n >0得a n ＝2n ，∴log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n (1＋2n －1)2＝n 2.答案：C 11．定义：称np 1＋p 2＋…＋p n为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”，若数列{a n }的前n 项的“均倒数”为12n －1，则数列{a n }的通项公式为( )A ．2n －1B ．4n －1C ．4n －3D ．4n －5解析：设数列{a n }的前n 项和为S n ，则 由已知得n a 1＋a 2＋…＋a n ＝nS n ＝12n －1，∴S n ＝n (2n －1)＝2n 2－n当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－n －[2(n －1)2－(n －1)]＝4n －3 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12－1＝1适合上式， ∴a n ＝4n －3. 答案：C12．数列1,2＋12，3＋12＋14，…，n ＋12＋14＋…＋12n －1的前n 项和为( )A ．n ＋1－(12)n －1B.12n 2＋32n ＋12n －1－2 C.12n 2＋12n ＋12n －1－2 D ．n ＋12n －1－1解析：a n ＝n ＋12＋122＋…＋12n －1＝n ＋12(1－12n －1)1－12＝n ＋1－12n －1，∴S n ＝(1＋2＋…＋n )＋n －(1＋12＋122＋…＋12n －1)＝n (n ＋1)2＋n －1－12n1－12＝12n 2＋32n ＋12n －1－2. 答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．等比数列{a n }中，a 3＝12，a 5＝48，那么a 7＝________. 解析：由题意可知a 3，a 5，a 7成等比数列，∴a 25＝a 3·a 7，∴a 7＝48212＝192. 答案：19214．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋1，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1. 又当n ＝1时，a 1＝S 1＝2不满足a n ＝2n －1，∴a n ＝⎩⎨⎧ 2 (n ＝1)，2n －1 (n ≥2).答案：⎩⎨⎧2 (n ＝1)2n －1 (n ≥2)15．已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n ，B n ，且满足A n B n ＝2nn ＋3，则a 1＋a 2＋a 12b 2＋b 4＋b 9＝________.解析：a 1＋a 2＋a 12b 2＋b 4＋b 9＝3a 1＋12d 13b 1＋12d 2＝a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝9×a 1＋a 929×b 1＋b 92＝A 9B 9＝2×99＋3＝32. 答案：3216．在数列{a n }中，a 1＝1，(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1(n ≥2)，S n 是其前n 项的和，则S n 等于________．解析：∵(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1，∴a n a n －1＝n －1n ＋1，∴a n ＝a na n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n －1n ＋1·n －2n ·n －3n －1·…·24·13·1＝2n (n ＋1)＝2(1n －1n ＋1)．∴S n ＝2(1－1n ＋1)＝2nn ＋1. 答案：2nn ＋1三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)公差d ≠0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4是a 3与a 7的等比中项，且S 8＝32，求S 10的大小．解：根据题意得⎩⎨⎧(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋6d )，8a 1＋28d ＝32，解得⎩⎨⎧a 1＝－3，d ＝2.所以S 10＝S 8＋a 9＋a 10＝32＋2a 1＋17d ＝60.18．(12分)已知a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，且a 1＝a 2＋36，a 3＝a 4＋4，求a 1，a 2，a 3，a 4.解：∵a 1＝a 2＋36，a 3＝a 4＋4， ∴a 1－a 2＝36，a 3－a 4＝4.又a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，设公比为q ， ∴a 3－a 4a 1－a 2＝q 2(a 1－a 2)a 1－a 2＝436＝19，∴q ＝±13.(1)当q ＝13时，由a 1－a 2＝a 1(1－q )＝36，得a 1＝54，∴a 2＝18，a 3＝6，a 4＝2.(2)当q ＝－13时，由a 1－a 2＝a 1(1－q )＝36，得a 1＝27，∴a 2＝－9，a 3＝3，a 4＝－1.∴a 1，a 2，a 3，a 4的值为54,18,6,2或27，－9,3，－1.19．(12分)已知数列{a n }的首项a 1＝3，通项a n ＝2n p ＋nq (n ∈N *，p ，q 为常数)，且a 1，a 4，a 5成等差数列，求：(1)p ，q 的值；(2)数列{a n }的前n 项和S n 的公式．解：(1)由a 1＝3，得2p ＋q ＝3，又a 4＝24p ＋4q ，a 5＝25p ＋5q ，且a 1＋a 5＝2a 4， 得3＋25p ＋5q ＝25p ＋8q ，解得p ＝1，q ＝1. (2)由(1)得a n ＝2n ＋n ，S n ＝(2＋22＋…＋2n )＋(1＋2＋…＋n ) ＝2n ＋1－2＋n (n ＋1)2.20．(12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S nn )(n ∈N ＋)均在函数y ＝3x －2的图象上，(1)求证：数列{a n }为等差数列；(2)设T n 是数列{3a n a n ＋1}的前n 项和，求使T n <m20对所有n ∈N ＋都成立的最小正整数m .解：(1)依题意，S nn ＝3n －2， 即S n ＝3n 2－2n ， n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)] ＝6n －5.当n ＝1时，a 1＝S 1＝1符合上式， 所以a n ＝6n －5(n ∈N ＋)．又∵a n －a n －1＝6n －5－[6(n －1)－5]＝6， ∴{a n }是一个以1为首项，6为公差的等差数列． (2)由(1)知，3a n a n ＋1＝3(6n －5)[6(n ＋1)－5] ＝12(16n －5－16n ＋1)， 故T n ＝12[(1－17)＋(17－113)＋…＋(16n －5－16n ＋1)]＝12(1－16n ＋1)，因此使得12(1－16n ＋1)<m20(n ∈N ＋)成立的m 必须且仅需满足12≤m 20，即m ≥10，故满足要求的最小正整数m 为10.21．(12分)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，a ∈N *.(1)求数列{a n }的通项；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n3，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13(n ≥2)，3n －1a n ＝n 3－n －13＝13(n ≥2)，a n ＝13n (n ≥2)．验证n ＝1时也满足上式，∴a n ＝13n (n ∈N *)．(2)b n ＝n ·3n ，S n ＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n ·3n3S n ＝1·32＋2·33＋…＋(n －1)·3n ＋n ·3n ＋1 上述两式相减得：－2S n ＝3＋32＋33＋3n －n ·3n ＋1＝3－3n ＋11－3－n ·3n ＋1.即S n ＝n 2·3n ＋1－14·3n ＋1＋34.22． (12分)定义：如果一个数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，那么称此数列为“三角形”数列．已知数列{a n }满足a n ＝nd (d >0)．(1)试判断数列{a n }是否是“三角形”数列，并说明理由；(2)在数列{b n }中，b 1＝1，前n 项和S n 满足4S n ＋1－3S n ＝4. 1°证明数列{b n }是“三角形”数列；2°设d ＝1，数列{a n ·b n }的前n 项和为T n ，若不等式T n ＋(34)n ·a n－16<0对任意的n ∈N *恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)数列{a n }不是“三角形”数列．理由如下：由a n ＝nd 得a 1＝d ，a 2＝2d ，a 3＝3d ，所以a 1＋a 2＝a 3，故a 1，a 2，a 3不能构成一个三角形的三边长，即数列{a n }不是“三角形”数列．(2)1°由4S n ＋1－3S n ＝4，①得4S n －3S n －1＝4(n ≥2，n ∈N *)．②由①－②得4(S n ＋1－S n )－3(S n －S n －1)＝0，故4b n ＋1－3b n ＝0，即b n ＋1b n＝34(n ≥2，n ∈N *)． 由4S n ＋1－3S n ＝4得4S 2－3S 1＝4，即4(b 2＋b 1)－3b 1＝4.又b 1＝1，则b 2＝34，故b n ＋1b n＝34(n ∈N *)．所以b n ＝b 1×(34)n －1＝(34)n －1(n ∈N *)． 故数列{b n }为单调递减数列．所以b n >b n ＋1>b n ＋2.又b n ＋1＋b n ＋2＝(34)n ＋(34)n ＋1＝2116·(34)n －1>(34)n －1， 即b n ＋1＋b n ＋2>b n .故b n ，b n ＋1，b n ＋2能构成一个三角形的边长，所以数列{b n }是“三角形”数列．2°由于a n ＝n ，故a n ·b n ＝n ·(34)n －1， 所以T n ＝1×1＋2×34＋3×(34)2＋…＋(n －1)×(34)n －2＋n ·(34)n －1，③34T n ＝1×34＋2×(34)2＋3×(34)3＋…＋(n －1)×(34)n －1＋n ·(34)n ，④ ③－④得：14T n ＝1＋34＋(34)2＋…＋(34)n －1－n ·(34)n ＝1－(34)n 1－34－n ·(34)n . 整理得：T n ＝16－4(n ＋4)·(34)n . 由T n ＋(34)n ·a n－16<0， 得不等式a <4(n 2＋4n )对任意的n ∈N *恒成立，故a <[4(n 2＋4n)]min，而[4(n2＋4n)]min＝20，所以a<20.。
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第二章数列单元综合测试时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．数列{2n ＋1}的第40项a 40等于( ) A ．9 B ．10 C ．40D ．41解析：a 40＝2×40＋1＝81＝9.答案：A2．等差数列{2－3n }中，公差d 等于( ) A ．2 B ．3 C ．－1D ．－3解析：设a n ＝2－3n ，则an ＋1－a n ＝[2－3(n ＋1)]－(2－3n )＝－3. 答案：D3．数列{a n }的通项公式是a n ＝2n ，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 10等于( )A ．10B ．210C ．210－2D ．211－2解析：∴数列{a n }是公比为2的等比数列且a 1＝2.答案：D4．在等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a 7＝5，S 7＝21，那么S 10等于( ) A ．55 B ．40 C ．35D ．70解析：设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋6d ＝5，7a 1＋21d ＝21，解得d ＝23，a 1＝1，则S 10＝10a 1＋45d ＝40. 答案：B5．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4等于( ) A ．7 B ．8 C ．15D ．16解析：设公比为q ，由于4a 1,2a 2，a 3成等差数列， 则4a 2＝4a 1＋a 3，所以4q ＝4＋q 2，解得q ＝2. 所以S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝1－241－2＝15.答案：C6．等差数列{a n }的前n 项和为S n, 若a 3＋a 17＝10，则S 19的值是( ) A ．55 B ．95 C ．100D ．不确定解析：a 3＋a 17＝a 1＋a 19，∴S 19＝19(a 1＋a 19)2＝192×10＝95.答案：B7．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13＝( )A ．120B ．105C ．90D ．75解析：{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，即3a 2＝15，则a 2＝5. 又a 1a 2a 3＝80，∴a 1a 3＝(5－d )(5＋d )＝16，∴d ＝3.答案：B8．一个只有有限项的等差数列，它前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第7项等于( )A ．22B ．21C ．19D ．18解析：设该数列有n 项，且首项为a 1，末项为a n, 公差为d .则依题意有⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝34，①5a n －10d ＝146，②a 1＋an2·n ＝234，③①＋②可得a 1＋a n ＝36.代入③得n ＝13.从而有a 1＋a 13＝36. 又所求项a 7恰为该数列的中间项，∴a 7＝a 1＋a 132＝362＝18.故选D.答案：D9．三个不同的实数a ，b ，c 成等差数列，又a ，c ，b 成等比数列，则ab 等于( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4解析：∵2b ＝a ＋c ，∴c ＝2b －a .∵c 2＝ab ，∴a 2－5ab ＋4b 2＝0，∴a ＝b (舍去)或a ＝4b ，∴a b＝4. 答案：D10．已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1等于( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2解析：设公比为q ，答案：C11．在一直线上共插有13面小旗，相邻两面小旗之间距离为10 m ，在第一面小旗处有一个人，把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗，要使他走的路程最短，应集中到哪一面小旗的位置上( )A ．7B ．6C ．5D ．4解析：图1如图1所示，设将旗集中到第x 面小旗处，则从第一面旗到第x 面旗共走路程为10(x－1)m ，然后回到第二面旗处再到第x 面处的路程是20(x －2)m ，…，从第x －1面到第x 面来回共20 m ，从第x 面处到第x ＋1面处路程为20 m ，从第x 面到第x ＋2面处的路程为20×2 m ，….总共的路程为s ＝10(x －1)＋20(x －2)＋20(x －3)＋…＋20×1＋20×1＋20×2＋…＋20×(13－x )＝10(x －1)＋20·(x －2)(x －1)2＋20·(13－x )(14－x )2＝10[(x －1)＋(x －2)(x －1)＋(13－x )(14－x )]＝10(2x 2－29x ＋183)＝20(x －294)2＋31154.∵x ∈N *，∴当x ＝7时，s 有最小值为780 m ， 即将旗集中到第7面小旗处，所走的路程最短． 答案：A12．若数列{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2007＋a 2008>0，a 2007·a 2008<0，则使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是( )A ．4013B ．4014C ．4015D ．4016解析：由已知a 1>0，a 2007·a 2008<0，可得数列{a n }为递减数列，即d <0，a 2007>0，a 2008<0.利用等差数列的性质及前n 项和公式可得所以使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是4014，选B. 答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．数列{a n }中的前n 项和S n ＝n 2－2n ＋2，则通项公式a n ＝________. 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2－2n ＋2)－[(n －1)2－2(n －1)＋2]＝2n －3. 又n ＝1时，2n －3≠a 1，所以有a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n >1.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －3，n >114．设{a n }为公比q >1的等比数列，若a 2006和a 2007是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 2008＋a 2009＝________.解析：方程4x 2－8x ＋3＝0的两根是12和32，答案：1815．等差数列{a n }中，若S 12＝8S 4，且d ≠0，则a 1d等于________．解析：∵S 12＝12a 1＋66d ，S 4＝4a 1＋6d ，又S 12＝8S 4，∴12a 1＋66d ＝32a 1＋48d .∴20a 1＝18d ，∴a 1d ＝1820＝910.答案：91016．用[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.78]＝0，[3.01]＝3，如果定义数列{x n }的通项公式为x n ＝[n5](n ∈N *)，则x 1＋x 2＋…＋x 5n ＝________.解析：x 5n ＝[5n5]＝[n ]＝n ，则x 1＋x 2＋…＋x 5n ＝5[x 5＋x 10＋x 15＋…＋x 5(n －1)]＋x 5n ＝5(1＋2＋…＋n －1)＋n ＝52n 2－32n .答案：52n 2－32n三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(本小题10分)三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减2，则成等差数列．求这三个数．解：设三数为aq，a ，aq .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝512，(a q －2)＋(aq －2)＝2a ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，q ＝12.所以这三个数为4,8,16或16,8,4.18．(本小题12分)求和：(a －1)＋(a 2－2)＋…＋(a n －n )，a ≠0. 解：原式＝(a ＋a 2＋…＋a n )－(1＋2＋…＋n )＝(a ＋a 2＋…＋a n )－n (n ＋1)2＝⎩⎪⎨⎪⎧a (1－a n )1－a－n (n ＋1)2(a ≠1)，n －n 22(a ＝1).19．(本小题12分)已知数列{a n }是等差数列，a 2＝6，a 5＝18；数列{b n }的前n 项和是T n ，且T n ＋12b n ＝1.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列． 解：(1)设{a n }的公差为d ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝6，a 1＋4d ＝18，解得a 1＝2，d ＝4. ∴a n ＝2＋4(n －1)＝4n －2.(2)证明：当n ＝1时，b 1＝T 1，由T 1＋12b 1＝1，得b 1＝23.当n ≥2时，∵T n ＝1－12b n ，Tn －1＝1－12b n －1，∴T n －T n －1＝12(bn －1－b n )．∴b n ＝12(b n －1－b n )．∴b n ＝13b n －1. ∴{b n }是以23为首项，13为公比的等比数列．20．(本小题12分)假设某市2007年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底，该市历年所建中低价房的累计面积(以2007年为累计的第一年)等于4750万平方米？解：设n 年后该市每年所建中低价房的面积为a n ， 由题意可知{a n }是等差数列，其中a 1＝250，d ＝50，则S n ＝250n ＋n (n －1)2×50＝25n 2＋225n .令25n 2＋225n ＝4750，即n 2＋9n －190＝0， 解得n ＝－19或n ＝10. 又n 是正整数，∴n ＝10.到2016年底，该市历年所建中低价房的累计面积等于4750万平方米． 21．(本小题12分)设a 1＝1，a 2＝53，an ＋2＝53an ＋1－23a n (n ∈N *)．(1)令b n ＝an ＋1－a n (n ∈N *)，求数列{b n }的通项公式；(2)求数列{na n }的前n 项和S n .解：(1)因为b n ＋1＝a n ＋2－a n ＋1＝53a n ＋1－23a n －a n ＋1＝23(a n ＋1－a n )＝23b n ，所以数列{b n }是首项为b 1＝a 2－a 1＝23，公比为23的等比数列，所以b n ＝(23)n (n ＝1,2，…)．22．(本小题12分)将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10记表中的第一列数a 1，a 2，a 4，a 7，…构成的数列为{b n }，b 1＝a 1＝1.S n 为数列{b n }的前n 项和，且满足2b nb n S n －S 2n＝1(n ≥2)．(1)证明数列{1S n}成等差数列，并求数列{b n }的通项公式；(2)上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当a 81＝－491时，求上表中第k (k ≥3)行所有项的和．解：(1)证明：由已知，当n ≥2时，2b nb n S n －S 2n＝1，又因为S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，又因为S 1＝b 1＝a 1＝1，所以数列{1S n }是首项为1，公差为12的等差数列．由上可知1S n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12，即S n ＝2n ＋1.所以当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝－2n (n ＋1). 因此b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，－2n (n ＋1)，n ≥2. (2)设题表中从第三行起，每行的公比都为q ，且q >0.因为1＋2＋…＋12＝12×132＝78，所以表中第1行至第12行共含有数列{a n }的前78项．故a 81在表中第13行第三列，因此a 81＝b 13·q 2＝－491.又b 13＝－213×14，所以q ＝2.记表中第k (k ≥3)行所有项的和为S ，即S ＝b k (1－q k )1－q ＝－2k (k ＋1)·1－2k 1－2＝2k (k ＋1)(1－2k )(k ≥3)．。