第3章 控制系统的能控性和能观性
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(8)
(9) 3)对于式(5)的系统，系统矩阵虽也为约旦型，但控制矩阵第二行的元素 却为0，其微分子方程组为：
(10) (11)
2．具有一般系统矩阵的多输入系统
系统的状态方程为：
(12)
3.2.2 直接从A与B判别系统的能控性
1．单输入系统 线性连续定常单输入系统：
其能控的充分必要条件是由 A、b 构成的能控性矩阵：
3.1 能控性的定义
3.2 线性定常系统的能控性判别 3.3 线性连续定常系统的能观性 3.4 离散时间系统的能控性与能观性 3.5 时变系统的能控性与能观性 3.6 能控性与能观性的对偶关系 3.7 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型 3.8 线性系统的结构分解 3.9 传递函数阵的实现问题
3.10 传递函数中零极点对消与状态能控性和能观 性之间的关系
，在数学上要求其元在
绝对平方可积的，即
区间是
这个限制条件是为了保证系统状态方程的解存在且唯一。 2)定义中的 ，是系统在允许控制作用下，由初始状态 目标状态(原点)的时刻。
转移到
3)根据能控性定义，可以导出能控状态和控制作用之问的关系式。
4)非奇异变换不改变系统的能控性。
5)如果 是能控状态，则 也是能控状态， 是任意非零实数。
满秩，即
。否则，当
(14) 时，系统为不能控的。
2．多输入系统
对多输入系统，其状态方程为：
(15)
式中,B 为
阶矩阵； 为 r 维列矢量。
其能控的充分必要条件是矩阵：
的秩为 。
3.3 线性连续定常系统的能观性
3.3.1能观性定义
能观性所表示的是输出
反映状态矢量
的能力，与控制
作用没有直接关系，所以分析能观性问题时，只需从齐次状态方程和输
3.1 能控性的定义
1．线性连续定常系统的能控性定义 线性连续定常系统：
如果存在一个分段连续的输入 ，能在有限时间区间
内wenku.baidu.com使
系统由某一初始状态 ，转移到指定的任一终端状态工 ，则称此状态
是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的，
或简称系统是能控的。
几点说明：
1)在线性定常系统中，为简便计，可以假定初始时刻
6)如果 和 是能控状态，则
也必定是能控状态。
7)由线性代数关于线性空间的定义可知，系统中所有的能控状态构成
状态空间中的一个子空间。此子空间称为系统的能控子空间， 记为 。
2．线性连续时变系统的能控性判别
时变系统的状态方程如下：
(1)
系统在
上状态完全能控的充分必要条件是格拉姆矩阵
(2)
为非奇异的。
3.5.2 能观性判别 1．有关线性时变系统能观性的几点讨论
由式(5)可知，当且仅当输出．矩阵C中第一列元素不全为零时，y( t ) 中总包含着系统的全部自由分量而为完全能观。
2．直接从A、C阵判断系统的能观性 约旦标准型
系统具有串联型 的结构，如图所示：
3.4 离散时间系统的能控性与能观性
3.4.1 能控性矩阵 M 离散时间系统的状态方程如下：
当系统为单输入系统时，式中 为标量控制作用．控制阵
，而不计较
的轨迹如何。
2．线性连续时变系统的能控性定义 线性连续时变系统：
3．离散时间系统 这里只考虑单输入的n阶线性定常离散系统：
3.2 线性定常系统的能控性判别
线性定常系统能控性判别准则有两种形式，一种是先将系统进行状态变
换，把状态方程化为约旦标准型
，再根据 阵，确定系统的能控性；
另一种方法是直接根据状态方程的 A 阵和 B 阵，确定其能控性。
1)时间区间
是识别初始状态
所需要的观测时间，对时变
系统来说，这个区问的大小和初始时刻 的选择有关。
2)根据不能观测的定义，可以写出不能观测状态的数学表达式：
(3) 这是一个很重要的关系式，下面的几个推论都是由它推证出来的。
，初始状态
为 ，而任意终端状态就指定为零状态。即
2)也可以假定
=0，而工
为任意终端状态，换句话说，若存在
一个无约束控制作用
，在有限时间
内，能将
由零状态驱
动到任意
。在这种情况下，称为状态的能达性。
3)在讨论能控性问题时，控制作用从理论上说是无约束的，其取值并非
唯一的，因为我们关心的只是它能否将
驱动到
1．转换成约旦标准型的判别方法 线性时不变系统的状态空问表达式为：
(2) 现分两种情况叙述如下： (1)A为对角线矩阵
这时式(2)用房承租形式表示，可有： (3)
(4)
从而可得结构图如图所示。将式(3)带入输出方程式(4)，得：
(2)A 为约旦标准型矩阵 以三阶为例：
这时，状态方程的解为：
从而 (5)
出方程出发，即
(1)
如果对任意给定的输入 ，在有限观测时间
,使得根据
期间的输出 能唯一地确定系统在初始时刻的状态
，则称状态
是能观测的。若系统的每一个状态都是能观测的，则称系统是状态完
全能观测的，或简称是能观的。
3.3.2 定常系统能观性的判别
定常系统能观性的判别也有两种方法，一种是对系统进行坐标变换， 将系统的状态空间表达式变换成约旦标准型，然后根据标准型下的 C 阵， 判别其能观性，另一种方法是直接根据 A 阵和 C 阵进行判别。
(3)
若系统能观，那么在知道
时，应能确定
出
，
，现从式(7)可得：
写成矩阵形式：
(4) 有唯一解的充要条件是其系数矩阵的秩等于 。这个系数矩阵称为 能观性矩阵。仿连续时间系统，记为N。即
(5)
3.5 时变系统的能控性与能观性
3.5.1 能控性判别
1.有关线性时变系统能控性的几点说明
1)定义中的允许控制
列矢量；G为系统矩阵
； 为状态矢量
。
(1) 为维
3.4.2 能观性矩阵N 离散时间系统的能观性，是从下述两个方程出发的。
式中, 为 维列矢量；C 为
(2) 输出矩阵，其余同式(6)。
根据3.3节中能观性定义，如果知道有限采样周期内的输出
，
就能唯一地确定任意初始状态矢量
，则系统是完全能观的，现根据
此定义推导能观性条件。从式(1)，有：
3.2.1 具有约旦标准型系统的能控性判别 1．单输入系统 具有约旦标准型系统矩阵的单输入系统，状态方程为：
(1)
或 (2)
式中
为简明起见，下面列举三个具有上述类型的二阶系统，对其能控性加
以
剖析。
(3)
(4)
(5)
1)对于式(3)的系统，系统矩阵A为对角线型，其标量微分方程形式为： (6)
(7) 2)对于式(4)的系统，系统矩阵A为约旦型，微分方程组为：
(9) 3)对于式(5)的系统，系统矩阵虽也为约旦型，但控制矩阵第二行的元素 却为0，其微分子方程组为：
(10) (11)
2．具有一般系统矩阵的多输入系统
系统的状态方程为：
(12)
3.2.2 直接从A与B判别系统的能控性
1．单输入系统 线性连续定常单输入系统：
其能控的充分必要条件是由 A、b 构成的能控性矩阵：
3.1 能控性的定义
3.2 线性定常系统的能控性判别 3.3 线性连续定常系统的能观性 3.4 离散时间系统的能控性与能观性 3.5 时变系统的能控性与能观性 3.6 能控性与能观性的对偶关系 3.7 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型 3.8 线性系统的结构分解 3.9 传递函数阵的实现问题
3.10 传递函数中零极点对消与状态能控性和能观 性之间的关系
，在数学上要求其元在
绝对平方可积的，即
区间是
这个限制条件是为了保证系统状态方程的解存在且唯一。 2)定义中的 ，是系统在允许控制作用下，由初始状态 目标状态(原点)的时刻。
转移到
3)根据能控性定义，可以导出能控状态和控制作用之问的关系式。
4)非奇异变换不改变系统的能控性。
5)如果 是能控状态，则 也是能控状态， 是任意非零实数。
满秩，即
。否则，当
(14) 时，系统为不能控的。
2．多输入系统
对多输入系统，其状态方程为：
(15)
式中,B 为
阶矩阵； 为 r 维列矢量。
其能控的充分必要条件是矩阵：
的秩为 。
3.3 线性连续定常系统的能观性
3.3.1能观性定义
能观性所表示的是输出
反映状态矢量
的能力，与控制
作用没有直接关系，所以分析能观性问题时，只需从齐次状态方程和输
3.1 能控性的定义
1．线性连续定常系统的能控性定义 线性连续定常系统：
如果存在一个分段连续的输入 ，能在有限时间区间
内wenku.baidu.com使
系统由某一初始状态 ，转移到指定的任一终端状态工 ，则称此状态
是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的，
或简称系统是能控的。
几点说明：
1)在线性定常系统中，为简便计，可以假定初始时刻
6)如果 和 是能控状态，则
也必定是能控状态。
7)由线性代数关于线性空间的定义可知，系统中所有的能控状态构成
状态空间中的一个子空间。此子空间称为系统的能控子空间， 记为 。
2．线性连续时变系统的能控性判别
时变系统的状态方程如下：
(1)
系统在
上状态完全能控的充分必要条件是格拉姆矩阵
(2)
为非奇异的。
3.5.2 能观性判别 1．有关线性时变系统能观性的几点讨论
由式(5)可知，当且仅当输出．矩阵C中第一列元素不全为零时，y( t ) 中总包含着系统的全部自由分量而为完全能观。
2．直接从A、C阵判断系统的能观性 约旦标准型
系统具有串联型 的结构，如图所示：
3.4 离散时间系统的能控性与能观性
3.4.1 能控性矩阵 M 离散时间系统的状态方程如下：
当系统为单输入系统时，式中 为标量控制作用．控制阵
，而不计较
的轨迹如何。
2．线性连续时变系统的能控性定义 线性连续时变系统：
3．离散时间系统 这里只考虑单输入的n阶线性定常离散系统：
3.2 线性定常系统的能控性判别
线性定常系统能控性判别准则有两种形式，一种是先将系统进行状态变
换，把状态方程化为约旦标准型
，再根据 阵，确定系统的能控性；
另一种方法是直接根据状态方程的 A 阵和 B 阵，确定其能控性。
1)时间区间
是识别初始状态
所需要的观测时间，对时变
系统来说，这个区问的大小和初始时刻 的选择有关。
2)根据不能观测的定义，可以写出不能观测状态的数学表达式：
(3) 这是一个很重要的关系式，下面的几个推论都是由它推证出来的。
，初始状态
为 ，而任意终端状态就指定为零状态。即
2)也可以假定
=0，而工
为任意终端状态，换句话说，若存在
一个无约束控制作用
，在有限时间
内，能将
由零状态驱
动到任意
。在这种情况下，称为状态的能达性。
3)在讨论能控性问题时，控制作用从理论上说是无约束的，其取值并非
唯一的，因为我们关心的只是它能否将
驱动到
1．转换成约旦标准型的判别方法 线性时不变系统的状态空问表达式为：
(2) 现分两种情况叙述如下： (1)A为对角线矩阵
这时式(2)用房承租形式表示，可有： (3)
(4)
从而可得结构图如图所示。将式(3)带入输出方程式(4)，得：
(2)A 为约旦标准型矩阵 以三阶为例：
这时，状态方程的解为：
从而 (5)
出方程出发，即
(1)
如果对任意给定的输入 ，在有限观测时间
,使得根据
期间的输出 能唯一地确定系统在初始时刻的状态
，则称状态
是能观测的。若系统的每一个状态都是能观测的，则称系统是状态完
全能观测的，或简称是能观的。
3.3.2 定常系统能观性的判别
定常系统能观性的判别也有两种方法，一种是对系统进行坐标变换， 将系统的状态空间表达式变换成约旦标准型，然后根据标准型下的 C 阵， 判别其能观性，另一种方法是直接根据 A 阵和 C 阵进行判别。
(3)
若系统能观，那么在知道
时，应能确定
出
，
，现从式(7)可得：
写成矩阵形式：
(4) 有唯一解的充要条件是其系数矩阵的秩等于 。这个系数矩阵称为 能观性矩阵。仿连续时间系统，记为N。即
(5)
3.5 时变系统的能控性与能观性
3.5.1 能控性判别
1.有关线性时变系统能控性的几点说明
1)定义中的允许控制
列矢量；G为系统矩阵
； 为状态矢量
。
(1) 为维
3.4.2 能观性矩阵N 离散时间系统的能观性，是从下述两个方程出发的。
式中, 为 维列矢量；C 为
(2) 输出矩阵，其余同式(6)。
根据3.3节中能观性定义，如果知道有限采样周期内的输出
，
就能唯一地确定任意初始状态矢量
，则系统是完全能观的，现根据
此定义推导能观性条件。从式(1)，有：
3.2.1 具有约旦标准型系统的能控性判别 1．单输入系统 具有约旦标准型系统矩阵的单输入系统，状态方程为：
(1)
或 (2)
式中
为简明起见，下面列举三个具有上述类型的二阶系统，对其能控性加
以
剖析。
(3)
(4)
(5)
1)对于式(3)的系统，系统矩阵A为对角线型，其标量微分方程形式为： (6)
(7) 2)对于式(4)的系统，系统矩阵A为约旦型，微分方程组为：