《数值计算方法》上机实验报告

《数值计算方法》上机实验报告华北电力大学

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实验名称数值计算方法》上机实验

课程名称数值计算方法

专业班级:电力实08 学生姓名:李超然

学号:200801001008 成绩:

指导教师:郝育黔老师实验日期:2010年04月

华北电力大学实验报告

数值计算方法上机实验报告

一、各算法的算法原理及计算机程序框图 1、牛顿法求解非线性方程

,1,算法原理:

*对于非线性方程，若已知根的一个近似值，将在处展开成一阶

xxfx()0,fx()xkk

泰勒公式

"f(),'2 ,，,，,fxfxfxxxxx()()()()()kkkk2!

忽略高次项，有

' fxfxfxxx()()()(),，,kkk

右端是直线方程，用这个直线方程来近似非线性方程。将非线性方程的fx()fx()0,

**根代入，即 fx()0,x

'* fxfxxx()()()0，,,kkk

解出

fx()*k xx,,k'fx()k

*将右端取为，则是比更接近于的近似值，即 xxxxk，1k，1k fx()k ,,xx，1kk'fx()k

这就是牛顿迭代公式。

,2,计算机程序框图:,见,

,3,输入变量、输出变量说明:

x输入变量:迭代初值，迭代精度，迭代最大次数 ,N0

输出变量:当前迭代次数，当前迭代值 xk1

,4,具体算例及求解结果:

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开始

读入

xN,,,0

1,k

,'fx()0?,0

,

fx()0xx,,01'fx()0

,

xx,,,?10

,

kk，,1,kN,?xx,10

输出迭代输出x输出奇异标志1失败标志

结束

例:导出计算的牛顿迭代公式，并计算。(课本P39例2-16) 115cc(0),

求解结果:

10.750000

10.723837

10.723805

10.723805

2、列主元素消去法求解线性方程组 ,1,算法原理:

高斯消去法是利用现行方程组初等变换中的一种变换，即用一个不为零的数乘一个

方程后加只另一个方程，使方程组变成同解的上三角方程组，然后再自下而上对上三角

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华北电力大学实验报告方程组求解。

列选主元是当高斯消元到第步时，从列的以下(包括)的各元素中选出绝aakkkkkk对值最大的，然后通过行交换将其交换到的位置上。交换系数矩阵中的两行(包括常akk

数项)，只相当于两个方程的位置交换了，因此，列选主元不影响求解的结果。

,2,计算机程序框图:,见下页,

,3,输入变量、输出变量说明:

输入变量:系数矩阵元素，常向量元素 baiji

输出变量:解向量元素 bbb,,12n

,4,具体算例及求解结果:

例:用列选主元法求解下列线性方程组(课本P65例3-3)

0.501.103.106.00xxx，，,,123, 2.004.500.360.020xxx，，,,123

,5.000.966.500.96xxx,，,123,

求解结果:

x,,2.600000,1,x,1.000000,2

,x,2.0000003,

3、分解法求解线性方程组 LU

,1,算法原理:

求解线性方程组时，当对进行分解，则等价于求解，这时可归AAxb,LULUxb,结为利用递推计算相继求解两个三角形(系数矩阵为三角矩阵)方程组，用顺代，由Lyb,

求出，再利用回带，由求出。xyUxy,

,2,计算机程序框图:,见下页,

,3,输入变量、输出变量说明:

输入变量:系数矩阵元素，常向量元素 baiji

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开始

读入数据，abiji

从主程序来ijn,1,2,..,,

ad,kk

k,1kl,

选主元ki,,1aaa/,ikkkik

,ikkn,，，1,2,...，ad,?ikaaaa,,ijikkjik

ad,ijkkn,1,2,...,，，ikbabb,,il,iikki

ijkkn,1,2,...0,，，kk，,1,

ii，,1in,?

,

kn,,1?,,

输出,d,0?奇异标志

bab/,nnnn,

n,()/babab,,lk,?,iijjiii结束ji,，1,inn,,,1,2,...,1 ataata,,,,,ljkjljkj

jkkn,，,1,..., 输出

btbbtb,,,,,lklkbbb,, (12)

返回主程序

结束

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开始

读入数据，abiji

ijn,1,2,..,,

uain,,,1,2,...,11ii

ai1lin,,,2,3,...,i1ul1

r1,

ualuirrn,,,，,,1,...,,ririrrkik,1

r1,

laluuirrn,,,，，()/,1,2,...,,iririkkrrrk,1

i,1

ybyblyin,,,,,,2,3,...,,11iiikkk,1

n

xyuxyuxuin,,,,,/,()/,1,,...,2,1,nnnniiikkiiki,，1

输出

xxx,, (12)

结束

输出变量:解向量元素 bbb...,1,2,,n

,4,具体算例及求解结果:

例:用杜里特尔分解法求解方程组(课本P74例3-8)

x2233，，，，，，1,,,,,, 4771x,2,,,,,,

,,,,,,,,2457x，，，，3，，求解结果:

x,2.000000,1, x,,2.000000,2

,x,1.0000003,

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4、拉格朗日插值法

,1,算法原理:

nxx,i构造基函数，可以证明基函数满足下列条件: ()lx,,kxx,,0iki,ik 0ik,,， lx(),,ki1ik,,

对于给定(1)n，个节点，次拉格朗日插值多项式由下式给出: n

nnxx,i()Lxy,,,kxx,,0,0kiki ,ik